TRANSFORMACIONES LINEALES

Elba AlcaláC.I. 26.436.611

Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (esdecir, con la operación y la acción) de estos espacios.

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una funciónT : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c: a) T (u + v) = T (u) + T (v) b) T (c u) = c T (u)

Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro.

Transformaciones Lineales

Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama.

f : P(2) R2

(a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (a-b, 2c+a )

P(2)

(a+bx+cx2 )

R2

f (a+bx+cx2 ) = (y, z)f

f (1-x) = (2,1)f (3+x-2x2) = (2,-1)f (0+0x+0x2) = (0,0)

(1-x)(3+x-2x2)(0+0x+0x2)

V1V2V3

Solución:

1EJERCICIOS

Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama.

f : R3 R2

(x, y, z ) f (x, y, z) = (2x+y+3z, -x+2y+4z)

R3 R2

f(x, y, z ) f (x, y, z ) = (a, b)

(1,3,2)(3,5,1)(0,0,0)

f (1,3,2) = (11, 13)f (3,5,1) = (14, 11)f (0,0,0) = (0,0)

V1V2V3

Solución:

2

EJERCICIOS

Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama.

f : R3 M2

(x, y, z ) f (x, y, z) =

x+y-z x+3y+2z

2x+y-3z -3x+2y+3z

(1,0,1)

(-2,3,1)

(0,0,0)

f (1,3,2) =

f (3,5,1) =

f (0,0,0) =

V1

V2

V3

0 3-1 00 9-4 150 00 0

R3

(x, y, z )

M2

f (x, y, z ) = f a b

c d

Solución:

3EJERCICIOS

Es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior y el método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN 1

2

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN 3

NÚCLEOEl núcleo es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial V, cuyo vector correspondiente en el espacio vectorial W es el vector cero.

...

... f

V W

v1v5v9

0wN (f)

Sean:V,W: Espacios Vectoriales

v1,v5,v90w

Vectores

N (f) = { v Є V | f (v) = 0w }

Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo. f : R2 R3

(x, y) f (x, y) = (x-y,2x, y+x)

R2

(x, y)

R3

f (x, y) = (a, b, c)f

N f : {x, y / f (x, y) = (x-y,2x, y+x) = (0,0,0)}

1 -1 02 0 01 1 0

x-y = 0 2x = 0y+x = 0

y = 0 x = 0

N f : {(x, y)/ x = 0 y = 0}

<

N f : {(0, 0)}En este caso, el núcleo de la función es el cero vector.

Solución:

1EJERCICI

O

Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T L(V, W). La imagen ∈de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T:

im(T) := {ɯ W : v V tal que ɯ = ∈ ∃ ∈ T(v)}.

f: R 3 → R 3 definida como f(x1, x2, x3) = (x1 − x2, −x1 + x2, 2x1 − 2x2 + x3).

Im(f) = {y R ∈ 3 / x R ∃ ∈ 3 , f(x) = y} = {y R ∈ 3 / (x∃ 1, x2, x3) R∈ 3 , (x1 − x2, x1 − x2, 2x1 − 2x2 + x3) = y}. y = (x1 − x2, −x1 + x2, 2x1 − 2x2 + x3) = (x1, −x1, 2x1) + (−x2, x2, −2x2) + (0, 0, x3) = x1.(1, −1, 2) + x2.(−1, 1, −2) + x3.(0, 0, 1).

Im(f) = < (1, −1, 2),(−1, 1, −2),(0, 0, 1) > = < (1, −1, 2),(0, 0, 1) >

IMAGEN

1 Hallar la imagen de la transformación lineal

Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T L(V, W). El rango de T se define como la dimensión ∈de la imagen de T:

r(T) = dim(im(T)).

Determine el rango y el espacio de los renglones de A.

RANGO

1

Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T L(V, W). La nulidad de T se define como la dimensión ∈

del núcleo de T: nul(T) = dim(ker(T)).

Determine le rango y nulidad para las siguientes matrices

NULIDAD

1

MATRICES EN LA TRANSFORMACIÓN LINEAL

TEOREMA 1 Sea A una matriz de m x n . Entonces la transformación matricial TA: R n R m definida por. TA(x) = A x (para x en Rn)es una transformación lineal.

TEOREMA 2 Sea T: Rn Rm una transformación lineal. Entonces T es una transformación matricial. Mas específicamente, T = TA, donde A es la matriz de m x n

A =

Esta matriz se la conoce como matriz estándar de la transformación lineal T

T(e1); T(e2); ... ; T(en)

TEOREMA 3 Sean T: Rm Rn y S: Rn Rp transformaciones lineales. Entonces S T: Rm Rp es una transformación lineal. Además, sus matrices estándar se encuentran relacionadas mediante

S T = S T

• TEOREMA 4 Sea T: Rn Rn una matriz invertible. Entonces su matriz

estándar (T) es una matriz invertible, y (T-1)= (T -1).

MATRICES EN LA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn-Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices.Pero esto no es todo, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz.

MATRICES EN LA TRANSFORMACIÓN LINEAL

CONCLUSIÓN

Las transformaciones lineales son mapeos de importancia fundamental en el álgebra lineal y en sus aplicaciones. Desempeñan un papel muy importante en muchos ámbitos como lo son las matemáticas, física, ingeniería, procesamiento de imágenes, graficas en computadora y muchas otras áreas de la ciencia y la vida diaria. Después de realizar este trabajo se puede concluir que los temas vistos anteriormente durante el semestre son importantes dentro de las transformaciones lineales.

BIBLIOGRAFÍA

http://ima.ucv.cl/http://ima.ucv.cl/http://ima.ucv.cl/http://www.virtual.unal.edu.co/http://www.matem.unam.mx/http://www.ciencia.net/http://html.rincondelvago.com/