學測考題重點導引

國 立 板 橋 高 級 中 學教 務 主 任 鄭 清 貴

96年1 月3日

主講人

學經歷鄭 清 貴(鄭豪、鄭善文)老師71級國立高雄師範學院數學系畢72年起任教板橋市中山國中─數學教師77年起任教板橋高中─數學教師83年考上國立中央大學數學研究所85年6月國立中央大學數學研究所畢板橋高中資優班數學專題研究指導教師

明霖書局著作有：

舊版高中基礎數學一、二、三、四冊習作評量

理科數學上下冊習作評量

普通數學上下冊習作評量

高中數學一、二、三、四冊進度講義

高中數學一、二、三、四冊習作評量

系統高中數學總複習AB冊

高中選修數學甲上下冊全講義

高中選修數學乙上下冊全講義

系統高中數學一、二、三、四冊習作評量

TOP高中基礎數學模擬試題(自然組)TOP高中基礎數學模擬試題(社會組)螺旋式高中基礎數學總複習

從國中至高中根基數學科的橋樑

九年一貫新教材國中總複習(93年6月出版)

翰林書局著作有：

舊版最高水準高中基礎數學一、二、三、四冊12K試卷最高水準高中數學一、二、三、四冊進度講義

95課綱新教材最高水準高中數學試卷

龍騰書局著作有：總複習試卷

南一書局：高中數學學習手冊第四冊

康熙：模擬試卷

曾任亞大、超群、吳子凡、偉文、瑋人及瑋文家教班高中數學科教師

拔萃教學光碟高中數學主講老師

全華出版社：

95課綱新教材高中基礎數學一、二、三、四冊分冊進度講義

主講內容

建立自信心

平日築基

數學觀念的建立與養成

了解讀書的方法

考古題演練

選擇一套適合自己的教材

建立自信心

大考一直希望建立一個指標常模

考題能測驗考生的數學基本能力

命題以課綱為主，教科書為輔

考題生活化增多

平日築基

每天持之以恆練習，以看連續劇的方式對待(要有傻勁，不是短時間就有回報)不要用看的，要拿筆演練

睡覺前思考這個單元的內容

數學觀念的建立與養成

循序漸進，先從基本觀念題切入

再慢慢進入有思考性、有變化性及綜合性考題

考題不是在評量考生挑戰數學的程度

了解讀書的方法

了解數學每個式子的含意

組成一個讀書團隊，可以互相問問題

一個題目不容許思考太久

考古題的演練

95年考古題占三成多，驗證「教授所見略同」

距學測不到一個月，應多演練考古題

演練時需了解題目的考法及含意

選擇一套適合自己的教材

一綱多本的多元化教材，造成學生及家長的憂慮

其實選一套教材足可應付學測考試

艱深的考題已不容易再見到

各章節重點導引

「p ⇒ q」≡「～q ⇒～ p」

第一冊第一章基礎概念

第一冊第二章數與坐標系

1. 設a、b、c∈Z，a│b，a│c ⇒

a│mb ± nc，其中m、n∈Z。

2. 判別質數的方法：設a＞1，a∈N，若不大於的每一個質

數都不是a 的因數，則a為質數。

3. 質數p 可分解只有四種情形：p＝1×p＝p×1＝（－1）×（－p）＝（－p）×（－1）。

4. 因數的問題：設N= （標準分解式，其中 為三相異質數，a、b、c∈N）。(1) 質因數的個數=3。(2) 所有正因數的個數 ＝

cba ppp 321 ××321 ,, ppp

)1)(1)(1( +++ cba

(3) 所有因數的個數＝2

(4) 所有正因數的總和s=)1( 1

21

11

appp ++++ Λ)1( 2

22

12

bppp ++++× Λ)1( 3

23

13

cppp ++++× Λ

)1)(1)(1( +++ cba

(5) 所有正因數的倒數和

＝

(6) 所有正因數的乘積

＝

NS

2)1)(1)(1( +++ cba

N

5. 尤拉公式：N＝（標準分解式）

⇒ 不大於N 且與N 互質的個數為

N（1─ ）（1─ ） (1─ ）

cba rqp ××

p1

q1

r1

6. 判斷倍數的問題：設n∈N(1) 2│n ⇔ 2│個位，

4│n ⇔ 4│末二位，8│n ⇔ 8│末三位。

(2) 3│n ⇔ 3│各位數字和，9│n ⇔ 9│各位數字和。

(3) 5│n ⇔ 5│個位 ⇔ 個位數為0或5。

(4) 11│n ⇔ 11│（末位起，奇數位數字和─偶數位數字和）

(5) 7│n ⇔ 7│［末位起向左，每三位為一節，（奇數節數字和）─（偶數節數字和）］

(6) 13│n ⇔ 13│［末位起向左，每三位為一節，（奇數節數字和）─（偶數節數字和）］

7. 最大公因數與最小公倍數：(1) 如何求最大公因數：

1. 短除法2 .輾轉相除法3. a│b，a│c ⇒ a│ma ± nc，其 中m、n ∈n

(2) 輾轉相除法：若a、b、q、r ∈Z，且a＝bq＋r，其中0 ≤ r＜│b│或0 ≤ r ＜│g│

⇒（a，b）＝（b，r）（a，q）＝（q，r）

(3) 設a，b∈Z，ab 0⇒│ab│＝（a，b）［a，b］

(4) 設a、b∈Z，且（a，b）＝1⇒（a ± b，ab）＝1

≠

(5) 設a、b、c∈Z，且（a，b）＝（b，c）＝（c，a）＝1

⇒│abc│＝（a，b，c）［a，b，c］

8 .二元一次方程式ax＋by＝c 之整數解，其中a、b、c∈Z：

(1) ax＋by＝（a，b）必有整數解。

(2) ax＋by＝c 有整數解⇒（a，b）│c

9. p 為質數且a、b∈Z，p│ab ⇒ p│a 或p│b

10. 餘數問題：(1) b，q，r∈Z， 除以b

之餘數 ≡ 除以b 之餘數(2) 設n∈N，且N 除以a、b、c 之

餘數均為r⇒ n＝［a，b，c］t＋r，t∈Z

nrbq )( +nr

(3) 設n∈N，且N 除以a、b、c 之餘數均不足r⇒ n＝［a，b，c］t－r，t∈Z

(4) 餘數不規則：設n∈N，且n 除以a、b、c 之餘數分別為

⇒n＝ ，其中∈Z

321 ,, rrr121 ][],[],,[ rtatbatcba +++

21,, ttt

11. 二大不等式：(1) 算術平均≥幾何平均

(2) 三角不等式（絕對值不等式）a，b∈R，

│a＋b│≤│a│＋│b│

abbaba ≥+⇒>>2

0,0

12. 斜率的定義：

⇒ 斜率m＝13. 利用點斜式求直線方程式：

212211 ),,(),,( xxyxByxA ≠

12

12

xxyy

−−

)( 00 xxmyy −=−

14. 截距式：(1) 一直線L 過A（a，0），

B（0，b），且ab 0⇒ L： ＝1

(2) L 與兩軸所圍三角形面積＝│ab│

≠

by

ax+

21

15. 三角形之四心坐標求法：，且三邊

長

(1) 重心坐標：(2) 內心坐標：I( )

),(),,(),,( 332211 yxCyxByxA

bCAaBCcAB === ,,

)3

,3

( 321321yyyxxx

G++++

cbacybyay

cbacxbxax

＋＋

＋＋，

＋＋

＋＋ 321321

(3) 垂心坐標：利用二條高之直線方程式求交點

(4) 外心坐標： 利用二條垂直平分線方程式求交點

16. 了解三條直線不能圍成一個三角形之考題

17. 三相異直線,

共點

⇒ ＝0

0:,0: 22221111 =++=++ cybxaLcybxaL 0: 3333 =++ cybxaL

333

222

111

cbacbacba

　　

　　

　　

18. ＋ 及│ － │之極值問題：

(1) 直線L上一點P，如何求 ＋ 之最小值

(2) 直線L上一點P，如何求│ － │之最大值

PA PAPB PB

PB

PB

PA

PA

19. 正射影點及對稱點之求法：，L：ax＋by＋c＝0，

如何求點A 關於L 之對稱點及正射影點坐標

),( 00 yxA

20. 常用複數之算式：(1)

(2)

ii 2)1( 2 =+

ii 2)1( 2 −=−

(3) ω＝

⇒(4) ω＝

⇒

231－ i±

01,1 23 =++= ωωω

01,1 23 =+−−= ωωω

231－ i±

21. × 與 之關係：設a、b∈R，則 × ＝

a b ab

⎪⎩

⎪⎨⎧

其他情形。，

。＜，＜，若－

ab

baab 00

a b

22. 與 之關係：

設a、b∈R，則

＝

ab

ab

ab

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

其他情形。，

＞，＜若，－

ab

baab 00

23. 之根的性質：設a、b、c∈R(1) D ≥0 ⇔ 兩實根(2) D＞0 ⇔ 兩相異實根(3) D＝0 ⇔ 兩相等實根(4) D＜0 ⇔ 兩共軛複數根(5) a、b、c∈Q，D 為完全平方式⇔兩有理根

02 =++ cbxax

24. 根與係數關係：(1) 設a、b、c∈R，且a 0，

兩根為α、β

⇒α＋β＝－ ，αβ＝(2) 已知α 、 β 為一個一元二次方程式之兩根

⇒ 此方程式為

02 =++ cbxax≠

ab

ac

0)(2 =++− αββα xx

第一冊第三章 數列與級數

1. 等差數列與等差級數：＜ ＞為一等差數列，公差為d

(1) 一般項(2) 前n 項和

na

dnaan )1(1 −+=

==2

﹞）1－＋（2﹝ 1 dnanSn

21 ）＋（ naan

2. 已知一數列＜ ＞，其前n 項和為 ，如何求第 n 項？

⇒ ＝

na

na⎩⎨⎧

≥− 。，－。＝，

21

1

1

nSSnS

nn

nS

3. 等比數列與等比級數：＜ ＞為一等比數列，公比為 r

(1) 一般項

(2) 前n 項和 ＝

na

11

−= nn raa

nS⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

=

。，－

）－（

。，

111

1

1

1

rrra

rnan

4. 兩等差級數其前n 項和的比＝其第 項的比

（ ： ） 其中n 為奇數。5. 一等差（等比）級數之前n、2n、

3n 項之和，依次為成等差（等

比）。

': nn SS 21＋n

21＋na

'

21+na

nnn SSS 32 ,,

nnnnn SSSSS 232 ,, −−⇒

6 等比數列之收斂：＜ ＞收斂⇔ －1

8. 了解循環小數化成分數。9. 分式型之級數，如何求其總和：利用拆項法

(1)

(2) ＝

111

11

＋－＝

）＋（ nnnn

）＋）（＋（ 212

nnn ）＋）（＋（－

）＋（ 211

11

nnnn

10. 數學歸納法之證明。

11. 遞迴數列求 na

第一冊第四章 多項式

1. 了解多項式之定義及其係數之求法

2. 利用綜合除法，求值問題，及其延伸考題：如求f（11）之值

3. 了解餘式定理及其應用考題：如除以g（x）之

餘式＝ 除以g（x）之餘式

4. 了解因式定理及其應用考題

nxrxgxf )}()()({ +nxr )}({

5. 一次因式的檢驗方法，及如何檢驗：設為一整係數n 次多項式，若整係數一次因式ax－b 為f（x）之因式，且（a，b）＝1，則 ，

a-b|f(1),a+b|f(-1)

011

1)( axaxaxaxfn

nn

n ++++=−

− Λ

0|,| abaa n

6. 如何求最高公因式：(1) 利用分解因式法(2) 利用輾轉相除法(3) 利用d（x）|f（x）

，d（x）|g（x）⇒d（x）|h（x）f（x）± k（x）g（x）

7. 如何求最低公倍式：(1)

(2)

)](),())[(),(()()( xgxfxgxfkxgxf =

=+ )(deg)(deg xgxf

)](),(deg[))(),(deg( xgxfxgxf +

8. 設f（x）為一實係數多項式，且複數z 為f（x）＝0 之一根⇒ 亦為 f（x）＝0 之一根z

9. 一元三次方程式之根與係數關係：α、β、γ 為其三根，且a、b、c∈R，

⇒

023 =+++ dcxbxax

0≠a

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

。＝－

，＝＋＋

，＝－＋＋

ad

ca

ab

αβγ

γαβγαβ

γβα

10. 勘根定理：設f（x）＝0 為一實係數方程式，若f（a）f（b）＜0，則a，b 之間至少有一個使f（x）＝0 的根

第二冊第一章 指數與對數

1. 指數律：a、b＞0，m、n∈R(1) (2) (3) (4)

(5) (6)

(7)

nmnm aaa +=× nmnm aaa −=÷mnnm aa =)( nnn baab =)(

n

nn

ab

ab

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

nm

n m aa ＝

np mpn m aa ＝

2 指數函數及其圖形：(1) a＞1

a.圖形恆過（0，1）

b. 2121 xx aaxx >⇔>

(2) 0＜a＜1a.圖形恆過（0，1）

b.0＜a＜1

2121

xx aaxx

3 指數方程式：a、b＞0，a 1，b 1

(1)

(2)

≠≠

2≥+ − xx aa

yxaa yx =⇔=

4. 指數不等式：a＞0，a 1，

(1) a＞1 ⇒ f（x）＞g（x）

(2) 0＜a＜1 ⇒ f（x）＜g（x）

≠)()( xgxf aa >

5. 對數有意義之條件：

6. 指數、對數之互換：

⇒balog⎪⎩

⎪⎨

⎧≠

010

＞

＞

baa

baxb xa =⇔=log

7. 對數之運算性質：a＞0，a 1，M、N＞0，b＞0(1)(2) (3) (4)

(5)

≠01log =a

nana =logMNNM aaa logloglog =+

NMNM aaa logloglog =−

bnb an

a loglog =

(6) 換底公式：（c＞0，c 1）

(7) (8) 連鎖律：（a，b，c，d 均為異於1 的正數）

(9) a、b、c＞0，a 1，b 1，c 1，則

abb

c

ca log

loglog =≠

1loglog =× ab baddcb acba loglogloglog =××

≠≠≠ac bb ca loglog =

8. 對數方程式：a＞0，a 1(1) (2)⇒ f（x）＞0，g（x）＞0，

f（x）＝g（x）(3) ⇒ 等式兩邊先取對數再解。

≠0)(,)()(log >=⇒= xfaxfbxf ba

)(log)(log xgxf aa =

)(log xfx xa =

9. 對數函數及其圖形：設a＞0，a 1

(1) a＞1a.圖形恆過（1，0）

b.a＞1

≠

2121 loglog xxxx aa >⇔>

(2) 0＜a＜1a. 圖形恆過（1，0）

b.0＜a＜1

2121 loglog xxxx aa

10. 對數不等式：設a＞0，a 1(1)

⇒

≠)(log)(log,1 xgxfa aa

⎪⎩

⎪⎨

⎧

）（）＜（

）＞（

）＞（

xgxfxgxf

00

(2)

⇒

)(log)(log,10 xgxfa aa

11. 首數、尾數：設N＞0，N＝ ，其中1≤ a＜10，n∈Z⇒ logN＝n＋loga

(1) n∈Z 稱為首數(2) loga 稱為尾數，0≤ loga＜1

na 10×

12. 首數與位數之關係：設N＞0，N＝ ，其中1≤ a＜10，n∈Z(1) N＞1，首數n ⇔ N 之整數部分為n＋1位

(2) 0＜N＜1，首數n ⇔ N 化為小數點後第－n 位起不為零

na 10×

(3) 最高位數字（首位數）由尾數loga 中之a 可得

(4) 小數點後第一個不為零的數字，由尾數loga 中之a 可得

第二冊第二章 三角函數

1. 基本恆等式：(1) 平方關係：

(2) 商數關係：tanθ＝ ，cotθ＝

1cossin 22 =+ θθθθ 22 sectan1 =+θθ 22 csccot1 =+

θθ

cossin

θθ

sincos

(3) 餘角關係：θ＋φ＝90°，則sinθ＝cosφtanθ＝cotφsecθ＝cscφ

(4) 倒數關係：sinθ‧cscθ＝1cosθ‧secθ＝1tanθ‧cotθ＝1

2 特殊等式：(1) tanθ＋cotθ＝＝secθ‧cscθ(2) (3) 3 同界角：θ 和φ 為同界角⇔ θ ＝φ＋360°×n，

n∈Z

θθθθ 2244 cossin21cossin −=+

θθθθ 2266 cossin31cossin −=+

4. 化任意角為銳角：φ＝90°×n±θ，n∈Z，其中0°＜θ＜90°

(1) n 為奇數：sin 與cos 互換，tan與cot互換，sec 與csc 互換

(2) n 為偶數：三角函數不變，保持原函數

(3) 正、負號看象限(4)

5. 三角函數值之範圍：(1) －1≤sinθ ≤1，－1≤cosθ ≤1(2) tanθ，cotθ∈R。(3) │secθ│≥1，│cscθ│≥ 1

6. 比較大小：(1) 0°＜θ＜45° ⇒

sinθ＜cosθtanθ＜1＜cotθ＜cscθ

(2) 45°＜θ＜90° ⇒sinθ＞cosθcotθ＜1＜tanθ＜secθ

(3) 0°＜θ＜90° ⇒sinθ＜tanθ＜secθ

cosθ＜cotθ＜cscθ

7. 三角形之面積公式：△ABC 中，∠A、∠B、∠C 之對邊長分別為

(1) △＝ bc sinA＝ ca sinB＝ab sinC。

(2) △＝rs（△ABC 之內切圓半徑為r，s＝ ）

cABbCAaBC === ,,

2cba ＋＋

21 2

121

(3) △＝（△ABC 之外接圓半徑為R）(4) 海龍公式：

△＝

Rabc4

）－）（－）（－（ csbsass

8. 正弦定理：

＝2R

(1) sinA：sinB：sinC＝a：b：c

(2) a：b：c＝

（ 分別表a、b、c 三邊之對應高）

Cc

Bb

Aa

sinsinsin＝＝

cba hhh1:1:1

cba hhh ::

9 餘弦定理：(1)

(2)

(3)

Abccba cos2222 −+=

Bcaacb cos2222 −+=

Cabbac cos2222 −+=

10. 投影定理：(1) a＝b cosC＋c cosB

(2) b＝a cosC＋c cosA

(3) c＝a cosB＋b cosA

11. 平行四邊形定理：一平行四邊形各邊的平方和等於兩對角線長之平和，即

)(2222222

BDACDACABCAB +=+++

12. 三角形之中線長定理：△ABC 中，M 為 之中點⇒

BC)(2

2222BMAMACAB +=+

13. 三角形之分角線長：△ABC中，∠A 之內角平分線交於

D，如何求 長？利用△ABC 之面積＝△ABD 之面積＋△ACD 之面積

⇒

＝

θ2sin21

××× ACAB

θθ sin21sin

21

×××+××× ACADADAB

14. 判定三角形之形狀：△ABC 中(1) ⇔∠A為鈍角(2) ⇔∠A＝90°(3) ⇔∠A為銳角，但不能判斷△ABC 之形狀

222 acb +

15. 構成鈍角三角形之條件∠A 為鈍角：

(1) (2)

(3)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

000

＞

＞

＞

cba

⎪⎩

⎪⎨

⎧

cbabcaacb

＞＋

＞＋

＞＋

222 acb

第二冊第三章三角函數的性質

1. 扇形：(1) 弧長s＝rθ(2) 扇形OAB 之面積

＝ θ221

21 rrs =

2. 三角函數及其圖形：(1) y＝sinx，y＝cosx，y＝secx，

y＝cscx之週期均為2π

(2) y＝tanx，y＝cotx 之週期均為π

(3) y＝sinx 之圖形：

y＝cosx 之圖形：

y＝tanx 之圖形：

3. 和角公式：(1) sin（α ± β）＝

sinαcosβ±cosαsinβ(2) cos（α ± β）＝

cosαcosβrsinαsinβ(3) tan（α ± β）＝

(4) cot（α ± β）＝

βαβα

tantan1tantan

µ±

αβαβcotcot

1cotcot±

µ

4. ∠A＋∠B＋∠C＝180°之正、餘切公式：

(1) (2)

(3) (4)

12

tan2

tan2

tan2

tan2

tan2

tan =++ ACCBBACBACBA tantantantantantan ⋅⋅=++

1cotcotcotcotcotcot =++ ACCBBA

2cot

2cot

2cot

2cot

2cot

2cot CBACBA =++

5. 平方差公式：(1) sin（α＋β）‧sin（α－β）＝

＝（sinα＋sinβ）（sinα－sinβ）(2) cos（α＋β）‧cos（α－β）＝

αββα 2222 coscossinsin −=−

αββα 2222 sincossincos −=−

6. 倍角公式：(1) sin2θ＝2sinθcosθ(2)

(3) sin2θ＝ ，cos2θ＝

tan2θ＝

θθθ 22 sincos2cos −=θθ 22 sin211cos2 −=−=

θθ2tan1

tan2＋ θ

θ2

2

tan＋1tan1−

θθ2tan1

tan2－

7. 半角公式：“±＂符號的選取，視所在象限而決定。

(1)

(2)

2θ

2cos1

2sin θθ −±=

2cos1

2cos θθ +±=

(3)θ

θθθθ

cos1sin

cos1cos1

2tan

+=

−−

±=

θθθθ

θθ

cossin1cossin1

sincos1

++−+

=−

=

8. 三倍角公式：(1)

(2)

θθθ cos3cos43cos 3 −=

θθθ 3sin4sin33sin −=

9. cos 的連乘積考題：p＝cosθcos2θcos4θ

⇒ 等式兩邊同乘以 ×sinθ 解之32

10. 和差化積公式：角度相加減÷2。(1) sinα＋sinβ＝2 sin cos

⇒s＋s＝2sc

(2) sinα－sinβ＝2 cos sin⇒s－s＝2sc

2βα＋

2βα＋

2βα－

2βα－

(3) cosα＋cosβ＝2 cos cos⇒c＋c＝2cc

(4) cosα－cosβ＝－2 sin sin⇒c－c＝2ss

2βα＋

2βα＋

2βα－

2βα－

11. 積化和差公式：角度相加減(1) 2 sinα cosβ＝sin（α＋β）＋sin（α－β）

(2) 2 cosαsinβ＝sin（α＋β）－sin（α－β）

(3) 2 cosα cosβ＝cos（α＋β）＋cos（α－β）

(4) －2 sinα sinβ＝cos（α＋β）＋cos（α－β）

12. cos 連加的考題：p＝cos θ＋cos2θ＋cos3θ⇒等式兩邊同乘以2 sinθ解之,可

利用前後項相消

13. 正餘弦的疊合：(1) y＝a cosx＋b sinx＋c

＝ sin（x＋θ）＋c或 cos（x－θ）＋c

(2) y＝a cos x＋b sinx＋c之週期為2π

(3) － ≤a cosx＋b sinx≤

22 ba +22 ba +

22 ba + 22 ba +

14. 三角函數的極值求法：下列五種為較常考的題型

〈型一〉a sinx＋b cosx＋c，利用疊合解之

〈型二〉二次型，利用配方法解

之：

或

cxbxay ++= cossin2

cxbxay ++= sincos2

〈型三〉sinx＋cosx 與sinx cosx同時出現時，

令t＝sinx＋cosx，－ ≤t≤ ，

sinx cosx=

22

212－t

〈型四〉分式型，y＝

，利用交叉相乘，展開後再利用疊合解之

xdcxba

cossin

＋

＋

〈型五〉sin2x（或cos2x）與sinxcosx 同時出現時，將角度化為二倍角2 x後再疊合：sin2x＝

cos2x＝

2 sinx cosx＝sin2x

22cos1 x－

22cos1 x＋

15. 複數的極式：∈C，x、 y∈R

(1) │z│＝(2) ，

r＝│z│，θ 為輻角(3) 限制0≤ θ

16. 複數極式的乘除：

(1) (2)

)sin(cos 2222 θθ irz +=)sin(cos 1111 θθ irz +=

)]sin()[cos( 21212121 θθθθ +++=× irrzz

)]sin()[cos( 21212

1

2

1 θθθθ −+−= irr

zz

17. 隸美弗定理：

，r＝│z│，n∈Z⇒ )sin(cos θθ ninrz nn ±=

)sin(cos θθ irz +=

18. 複數的特殊公式：(1) θcos21 =+

zz

θnz

z nn cos21 =+⇒

θniz

z nn sin21 ±=−

θθ sincos iz ±=

(2) zzzz =

++

⇒=111||

19. 1 的n 次方根：，n∈N，n≥2。

(1) 根為

， k＝0，1，2， …… ，n－1。

1=nz

nki

nkzk

ππ 2sin2cos +=

(2) 設

，則所有根可以用ω 表示，其根為

(3) n 個根落在複數平面的一個單位圓上，且將圓周n 等分

132 ,,,,,1 −nωωωω Λ

ni

nππω 2sin2cos +=

(4) 設

a.b.c. ω 為 之一根d.＝

1=nω01 132 =+++++ −nωωωω Λ

1=nz1321 −+++++ nzzzz Λ)())(( 2 nzzz ωωω −−− Λ

ni

nππω 2sin2cos +=

20. a＋bi 的n 次方根：

設 ，其中r＝

(1) 根為

k＝0，1，2，……，n－1。

Rbabiazn ∈+= ,,)sin(cos θθ irbiazn +=+=

22 ba +

)2sin2(cosn

kin

krz nkπθπθ +

++

=

(2) 設 ⇒所有根可表為

(3) n 個根落在複數平面上的一個半徑為之圓上 ，且將圓周n 等分

ni

nππω 2sin2cos +=

kn

ni

nr ωθθ ⋅+ )sin(cos

n r

第三冊第一章 平面向量

1. 向量的坐標表示法：

⇒ ＝ ，

│ │＝ ＝

),(),,( 2211 yxByxA\____

AB ),( 1212 yyxx −−

\____AB AB 212

212 ）－＋（）－（ yyxx

2. 共線的性質：(1) A、B、C 三相異點共線⇔存在

t∈R，使得(2) A、B、C 三相異點共線⇔存在x、y∈R，使得且x＋y＝1

tAB =\____ \____

AC

\____\____\____

OByOAxOC +=

3. 向量的加、減法及係數積：設 ，r∈R(1) (2) (3)

),(),,( 2211 yxbyxa ==ϖϖ

),( 2121 yyxxba ++=+ϖϖ

),( 2121 yyxxba −−=−ϖϖ

),( 11 ryrxar =ϖ

4. 分點公式：(1) 若點P 為 的內分點，且 ＝m：n，則

(2) 點P之坐標為（ ， ）

),(),,( 2211 yxByxA

BPAP :\____\____\____

OBnm

mOAnm

nOP+

++

=

nmmxnx

＋

＋ 21nm

myny＋

＋ 21

AB

5. 重心：設G 為△ABC 的重心，D為之中點

(1)

(2)

(3)

\____\____\____

21

21 ACABAD +=

\____\____\____

31

31 ACABAG +=

)(31 \____\____\____\____ OCOBOAOG ++=

(4) (5)

⇒ G（ ， ）(6) △ABG、△BCG、△CAG 之面積相等

\____\____\____\____

0=++ GCGBGA),(),,(),,( 332211 yxCyxByxA

3321 xxx ＋＋

3321 yyy ＋＋

6 內心：設I 為△ABC 之內心，∠A之內角平分線交於D

(1) ＝c：b(2) ＝（b＋c）：a

(3)

DCBD :IDAI :

\____\____\____

ACcb

cABcb

bAD+

++

=

(4)

(5)(6)

⇒I（ ， ）

\____\____\____\____

OCcba

cOBcba

bOAcba

aOI++

+++

+++

=

\____\____\____\____

0=++ CIcBIbAIa),(),,(),,( 332211 yxCyxByxA

cbacxbxax

＋＋

＋＋ 221cbacybyay

＋＋

＋＋ 221

7. 向量的內積：設 ⇒

(1) ，其中θ 為與 之夾角

(2)

),(),,( 2211 yxbyxa ==ϖϖ

θcos|||| babaϖϖϖϖ =⋅

aϖ bϖ

2121 yyxxba +=⋅ϖϖ

8. 內積的運算性質：(1) (2) (3) (4)

2|| aaa ϖϖϖ =⋅abba ϖ

ϖϖϖ ⋅=⋅)()()(