高ゼミ エセンス／スタンダード...
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高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト 右の図の平行四辺形 ABCD において，点 M，N はそれぞれ辺 AB，CD の中点である。次のようなベクトルをす べて求めよ。 (各12点×2) ⑴ A > M と等しいベクトル ⑵ M > N の逆ベクトル a > ，b > が次の⑴，⑵のように表されているとき，a > +b > ，a > -b > をそれぞれ図示せよ。 (各10点×4) ⑴ a > +b > a > -b > ⑵ a > +b > a > -b > 長方形 ABCD の辺 AB，CD の中点をそれぞれ M，N とし，右の図のように，辺 AD を 3 等分する点を E，F， 辺 BCを 3 等分する点を G，H とする。A > M=a > ，A > E=b > とするとき，次のベクトルを a > ，b > を用いて表せ。 (各12点×3) ⑴ A > G ⑵ A > N ⑶ B > F 1 2 3 1 ベクトルとその演算 氏名得点100 A D B M N C b a b a b a b a A E F D B M N G H C b a
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高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
右の図の平行四辺形 ABCD において，点 M，N はそれぞれ辺 AB，CD の中点である。次のようなベクトルをすべて求めよ。 (各12点×2)
⑴ A>
M と等しいベクトル
⑵ M>
N の逆ベクトル
a>
，b>
が次の⑴，⑵のように表されているとき，a>
+b>
，a>
-b>
をそれぞれ図示せよ。 (各10点×4)
⑴ a>
+b>
a>
-b>
⑵ a>
+b>
a>
-b>
長方形 ABCD の辺 AB，CD の中点をそれぞれ M，N とし，右の図のように，辺 AD を 3 等分する点を E，F，辺 BCを 3 等分する点を G，H とする。A
>
M=a>
，A>
E=b>
とするとき，次のベクトルを a>
，b>
を用いて表せ。 (各12点×3)
⑴ A>
G
⑵ A>
N
⑶ B>
F
1
2
3
1 ベクトルとその演算氏
名
得
点 100
A D
B
M N
C
b
a
b
a
b
a
b
a
A E F D
B
M N
G H C
b
a
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
右の図のベクトル a>
，b>
を成分で表し，それぞれの大きさを求めよ。 （各 6点×4)
a>
成分表示 大きさ b
>
成分表示 大きさ
a>
=(1，-2)，b>
=(-3，1) のとき，次の問いに答えよ。 (各 8 点×6)
⑴ 次のベクトルを成分を用いて表せ。また，その大きさを求めよ。 ① a
>
+b>
成分表示 大きさ ② 2a
>
-b>
成分表示 大きさ ⑵ p
>
=(9，-8) を s a>
+t b>
の形に表せ。
⑶ a>
と q>
=(≈，6) が平行になるように，定数 ≈ の値を定めよ。
3 点 O(0，0)，A(4，2)，B(3，-1) について，次のベクトルの成分と大きさを求めよ。 （各 7点×4）
⑴ O>
A
成分表示 大きさ ⑵ A
>
B
成分表示 大きさ
1
2
3
2 ベクトルの成分氏
名
得
点 100
O
¥
≈
b
a
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
|a>
|=5，|b>
|=6 とし，a>
と b>
のなす角を iとする。次のそれぞれの場合について，内積 a>
･b>
を求めよ。 （各 8点×3）
⑴ i=60° ⑵ i=150° ⑶ i=90°
次の 2 つのベクトル a>
，b>
について，内積 a>
･b>
，なす角 i を求めよ。 （各 8点×6）
⑴ a>
=(2，3)，b>
=(-1，5)
内積 なす角 ⑵ a
>
=(1， 3 )，b>
=( 3，1)
内積 なす角 ⑶ a
>
=( 2，-1)，b>
=( 2，2)
内積 なす角
次の問いに答えよ。 （各 7点×4）
⑴ 次の内積を計算し，その結果を a>
･b>
，|a>
|，|b>
| を用いて表せ。 ① a
>
･( a>
+2b>
)
② ( a>
-b>
)･( a>
+3b>
)
③ (3a>
+b>
)･(3a>
-b>
)
⑵ |a>
|=1，|b>
|=4，a>
･b>
=-3 のとき，|2a>
-b>
| の値を求めよ。
1
2
3
3 ベクトルの内積氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
3 点 P( p>
)，Q( q>
)，R( r>
) に対して，次のベクトルを p>
，q>
，r>
のいずれかを用いて表せ。 （各12点×3）
⑴ P>
Q ⑵ R>
P ⑶ Q>
R
2 点 A( a>
)，B( b>
) について，次の点の位置ベクトルを a>
，b>
を用いて表せ。 （各12点×4）
⑴ 線分 AB を 4：3 に内分する点 ⑵ 線分 AB を 4：3 に外分する点
⑶ 線分 AB を 2：7 に内分する点 ⑷ 線分 AB を 2：7 に外分する点
3 点 A( a>
)，B( b>
)，C( c>
) を頂点とする△ABC において，重心を G( ©>
)，辺 AB，BC，CA を 2：1 に外分する点をそれぞれ P( p
>
)，Q( q>
)，R( r>
) とする。△PQR の重心を G'( ©>
' ) とするとき，G と G' は一致することを証明せよ。 （16点）
1
2
3
4 位置ベクトル氏
名
得
点 100
R
P
BC Q
A
①
②
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次の直線の方程式を，媒介変数 t を用いて表せ。また，t を消去して得られる ≈ と ¥ の方程式を求めよ。 （各14点×4） ⑴ 点 A(-1，2) を通り，方向ベクトルが d
>
=(1，3) である直線
媒介変数表示 方程式 ⑵ 2 点 A(2，4)，B(-1，7) を通る直線
媒介変数表示 方程式
次の問いに答えよ。 （各14点×2）
⑴ 点 A(-2，3)を通り，法線ベクトルが n>
=(-1，4) である直線の方程式を求めよ。
⑵ 2 直線 ≈+ 3 ¥-3=0， 3 ≈-3¥+6=0 のなす鋭角を求めよ。
2 点 A(2，5)，B(-4，3) を直径の両端とする円の方程式を，ベクトルを利用して求めよ。 （16点）
1
2
3
5 ベクトル方程式氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
3 点 P，Q，R の位置ベクトルが，それぞれ a>
-2b>
，2a>
+b>
，3a>
+4b>
であるとき，3 点 P，Q，R は一直線上にあることを証明せよ。 （25点）
△ABC において，辺 AB の中点を D，辺 AC を 1：3 に内分する点を E，BE と CD の交点を F とする。A>
B=a>
，A
>
C=b>
とするとき，A>
F を a>
，b>
を用いて表せ。 （25点）
次の三角形の面積を求めよ。 （各25点×2）
⑴ 3 点 O(0，0)，A(2，1)，B(-1，3) を頂点とする△OAB
⑵ 3 点 A(1，4)，B(-2，1)，C(3，-2) を頂点とする△ABC
1
2
3
6 図形への応用氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
2 点 A(5，6，-1)，B(-4，3，5) について，次のものを求めよ。 （各 8点×6）
⑴ z≈ 平面に関して，点 A と対称な点の座標 ⑵ ¥ 軸に関して，点 B と対称な点の座標
⑶ 2 点 A，B 間の距離 ⑷ 点 A を通り，≈¥ 平面に平行な平面の方程式
⑸ 線分 AB を 2：1 に内分する点の座標 ⑹ 線分 AB を 2：1 に外分する点の座標
右の図の直方体において，A>
B=a>
，A>
D=b>
，A>
E=c>
とするとき，次のベクトルを a>
，b>
，c>
を用いて表せ。 （各 8点×3）
⑴ H>
C
⑵ F>
H
⑶ D>
F
a>
=(1，2，-1)，b>
=(2，3，0)，c>
=(-1，1，1) のとき，次の問いに答えよ。 （各 7点×4）
⑴ a>
を基本ベクトル e>
1，e>
2，e>
3 を用いて表せ。
⑵ a>
+b>
-c>
を成分を用いて表せ。また，その大きさを求めよ。 成分表示 大きさ ⑶ p
>
=(-3，4，1) を la>
+mb>
+nc>
の形に表せ。
1
2
3
7 空間座標とベクトル氏
名
得
点 100
D
A
E
C
F
B
H G
b
a
c
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
右の図の 1 辺の長さが 2 の立方体において，次の内積を求めよ。 （各10点×4）
⑴ A>
B・E>
H ⑵ A>
D・D>
E
⑶ A>
C・A>
F ⑷ D>
F・D>
G
次の 2 つのベクトル a>
，b>
について，内積 a>
･b>
，なす角 i を求めよ。 （各10点×4）
⑴ a>
=(1，2，3)，b>
=(3，-1，2)
内積 なす角 ⑵ a
>
=(1，-2，2)，b>
=(3，4，-5)
内積 なす角
a>
=(2，-1，≈)，b>
=(3，≈，4) のとき，次の 2 つのベクトルが垂直となるように ≈ の値を定めよ。 （各10点×2）
⑴ a>
，b>
⑵ a>
，a>
-2b>
1
2
3
8 ベクトルの内積氏
名
得
点 100
D
A
E
C
F
B
HG
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
4 点 A( a>
)，B( b>
)，C( c>
)，D( d>
) を頂点とする四面体 ABCD において，辺 AB を 1：2 に内分する点を P( p>
)，△BCD の重心を G( ©
>
)とする。このとき，次の点の位置ベクトルを求めよ。 （各10点×4）
⑴ 点 P( p>
) ⑵ 線分 CP を 3：2 に外分する点 Q( q>
)
⑶ 点 G( ©>
) ⑷ 線分 AG を 3：1 に内分する点 R( r>
)
4 点 A(1，2，4)，B(3，1，5)，C(0，4，1)，D(≈，3，1)が同一平面上にあるとき，実数 ≈ の値を求めよ。 （10点）
次の問いに答えよ。 （各10点×5）
⑴ 中心が点(2，-4，5)で，半径が 6 である球面の方程式を求めよ。
⑵ 点 A(3，4，1)を通り，d>
=(1，3，-2) に平行な直線の方程式を，媒介変数 t を用いて表せ。また，t を消去して得られる直線の方程式を求めよ。
媒介変数表示 方程式 ⑶ 点 A(-1，4，2)を通り，n
>
=(2，3，-2) に垂直な平面の方程式を求めよ。また，この平面と ≈ 軸との交点の座標を求めよ。
平面 交点
1
2
3
9 位置ベクトルと空間図形氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次のような等差数列について，初めの 5 項，一般項，第10項をそれぞれ求めよ。 （各 6点×6）
⑴ 初項 5，公差 2
初めの 5 項 一般項 第10項 ⑵ 初項 8，公差 -3
初めの 5 項 一般項 第10項
次の問いに答えよ。 （各 6点×4）
⑴ 第 3 項が 7，第 8 項が 32 である等差数列 {an} の初項と公差を求めよ。また，一般項 an を求めよ。
初項 公差 一般項 ⑵ 数列 9，≈，-≈，…… が等差数列であるとき，≈ の値を求めよ。
次の和を求めよ。 （各10点×4）
⑴ 初項 4，末項 31，項数 10 の等差数列の和
⑵ 初項 3，公差 7 の等差数列の初項から第 n 項までの和
⑶ 1+2+3+……+30
⑷ 1+3+5+……+39
1
2
3
10 等差数列氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次のような等比数列について，初めの 5 項と一般項をそれぞれ求めよ。 （各10点×4）
⑴ 初項 5，公比 2
初めの 5 項 一般項
⑵ 初項 6，公比 -13
初めの 5 項 一般項
次の問いに答えよ。 （各 6 点×4）
⑴ 第 3 項が 18，第 6 項が 486 である等比数列 {an} の初項と公比を求めよ。また，一般項 an を求めよ。
初項 公比 一般項
⑵ 数列 5，≈，809，…… が等比数列であるとき，≈ の値を求めよ。
次の和を求めよ。 （各12点×3）
⑴ 初項 3，公比 -2，項数 6 の等比数列の和
⑵ 初項 7，公比 1，項数 8 の等比数列の和
⑶ 等比数列 1， 14， 1
42， 143，…… の初項から第 n 項までの和
1
2
3
11 等比数列氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次の和を求めよ。 （各12点×6）
⑴ 12+22+32+……+152 ⑵ 13+23+33+……+103
⑶ 20
¸k=1
5 ⑷ n
¸k=1
3k
⑸ n
¸k=1
(2k-3) ⑹ n
¸k=1
k(3k-4)
階差数列を利用して，次の数列の一般項 an を求めよ。 （14点）
2， 3， 10， 23， 42， 67， ……
初項から第 n 項までの和 Sn が，Sn=n2-4n で表される数列 {an} の一般項を求めよ。 （14点）
1
2
3
12 いろいろな数列氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次の条件によって定まる数列 {an} の第 2 項から第 5 項を求めよ。 （各12点×2）
⑴ a1=2，an+1=4an-5 ⑵ a1=1，an+1=3an+n
次の条件によって定まる数列 {an} の一般項を求めよ。 （各12点×4）
⑴ a1=3，an+1=an+4 ⑵ a1=2，an+1=3an
⑶ a1=2，an+1=an+4n-1 ⑷ a1=1，an+1=an+(-2)n
次の条件によって定まる数列 {an} の一般項を求めよ。 （各14点×2）
⑴ a1=2，an+1=4an-3
⑵ a1=0，a2=1，an+2-8an+1+15an=0
1
2
3
13 漸化式氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
n が自然数のとき，次の等式(A)が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明する。
11・2
+1
2・3+
13・4
+……+1
n(n+1)=
nn+1
…(A)
下の下線部を補い，(続き)を書いて証明を完成せよ。 （各15点×4）
〔証明〕 [1] n=1 のとき，
よって，n=1 のとき(A)は成り立つ。 [2] n=k のとき，(A)が成り立つ，すなわち，
…① が成り立つと仮定する。
①の両辺に を加えると
(続き)
これは，(A)において n=k+1 のときであるから，n=k+1 のときも(A)は成り立つ。 [1]，[2]より，すべての自然数 n について，(A)は成り立つ。
n が 2 以上の自然数のとき，次の不等式(A)が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明する。 3n>4n …(A)
下の下線部を補い，(続き)を書いて証明を完成せよ。 （各10点×4）
〔証明〕 [1] n=2 のとき， よって，n=2 のとき(A)は成り立つ。 [2] n≥2 として，n=k のとき，(A)が成り立つ，すなわち， …① が成り立つと仮定する。 ①の両辺に をかけると (続き)
これは，(A)において n=k+1 のときであるから，n=k+1 のときも(A)は成り立つ。 [1]，[2]より，2 以上の自然数 n について，(A)は成り立つ。
1
2
14 数学的帰納法氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次の変数 X の確率分布を求めよ。 （各 8 点×2）
⑴ 6 枚のカード 1 ， 1 ， 1 ， 2 ， 2 ， 3 の中から 1 枚を抜き出し，そのカードの数字を X とする。
⑵ 2 枚の100円硬貨を同時に投げるとき，表の出た硬貨の金額の和を X とする。
確率変数 X が次の確率分布に従うとき，X の期待値，分散，標準偏差をそれぞれ求めよ。 （各 7 点×6）
⑴
期待値 分散 標準偏差 ⑵
期待値 分散 標準偏差
5 枚のカード 1 ， 1 ， 2 ， 2 ， 3 の中から同時に 2 枚を抜き出し，それらのカードの数字の和を X とする。次の問いに答えよ。 （各 7 点×6）
⑴ X の確率分布を求めよ。
⑵ 確率変数 X の期待値，分散を求めよ。
期待値 分散 ⑶ Y=5X-3 とする。確率変数 Y の期待値，分散，標準偏差を求めよ。
期待値 分散 標準偏差
1
2
X 0 2 4 計
P110
310
610
1
X 0 1 2 3 4 計
P115
215
315
415
515
1
3
15 確率変数の期待値と分散氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
確率変数 X，Y の確率分布が次の表で与えられているとき，X+Y，4 X+3Y の期待値をそれぞれ求めよ。 （各11点×2）
X+Y の期待値 4 X+3Y の期待値
次の問いに答えよ。 （各12点×2）
⑴ 1 個のさいころを 2 回投げるとき，出た目の数の積の期待値を求めよ。
⑵ 3 つの確率変数 X，Y，Z が互いに独立で，確率分布がいずれも次の表で与えられるとき，XYZ の期待値を求めよ。
袋の中に 1，2，3，4 を 1 つずつ書いた 4 個の同じ大きさの玉が入っている。この袋の中から 1 個の玉を取り出し，その数字を調べてからもとの袋に戻す試行を行う。次の問いに答えよ。 （各 9 点×6）
⑴ この試行を 1 回行うとき，取り出した玉の数字の期待値，分散を求めよ。
期待値 分散 ⑵ この試行を 2 回続けて行うとき，1 回目，2 回目に取り出した玉の数字をそれぞれ X，Y とする。 ① X+Y の分散，標準偏差を求めよ。
分散 標準偏差 ② 4 X-2Y の分散，標準偏差を求めよ。
分散 標準偏差
1
X 1 2 計
P25
35
1
Y 1 2 計
P45
15
1
2
変数 1 2 計
確率 23
13
1
3
16 確率変数の和と積氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次の問いに答えよ。 （各 8 点×4）
⑴ 1 枚の硬貨を 5 回投げて，表の出る回数を X とする。 ① X はどのような二項分布に従うか。B(n，p)の形に表せ。
② 確率 P(X=2) を求めよ。
⑵ 1 個のさいころを 4 回投げて，1 または 6 の目が出る回数を X とする。 ① X はどのような二項分布に従うか。B(n，p)の形に表せ。
② 確率 P(X≥3) を求めよ。
確率変数 X が次の二項分布に従うとき，X の期待値，分散，標準偏差を求めよ。 （各 6 点×6）
⑴ B ⎛⎝8， 29⎞⎠
期待値 分散 標準偏差
⑵ B ⎛⎝20， 38⎞⎠
期待値 分散 標準偏差
次の問いに答えよ。 （各 8 点×4）
⑴ 2 枚の硬貨を同時に投げ，硬貨の表，裏を記録する。この試行を60回くり返すとき，2 枚とも表が出る回数をX とする。X の期待値，標準偏差を求めよ。
期待値 標準偏差 ⑵ 赤玉 3 個と白玉 2 個が入っている袋から同時に 2 個の玉を取り出し，色を調べてから袋にもどす。この試行を
50回くり返すとき，取り出した 2 個の玉が同じ色である回数を X とする。X の期待値，標準偏差を求めよ。
期待値 標準偏差
1
2
3
17 二項分布氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
※ 1～ 3 では，正規分布表を用いてもよい。 確率変数 Z が標準正規分布 N(0，1)に従うとき，次の確率を求めよ。 （各10点×6）
⑴ P(0≤Z≤1.35) ⑵ P(-0.92≤Z≤0)
⑶ P(Z≥1.5) ⑷ P(Z≤0.7)
⑸ P(-1.6≤Z≤0.8) ⑹ P(0.45≤Z≤2)
次の問いに答えよ。 （各10点×3）
⑴ 確率変数 X が正規分布 N(10，42)に従うとき，確率 P(8≤ X≤13) を求めよ。
⑵ 確率変数 X が正規分布 N(60，102)に従うとき，確率 P( X≥72) を求めよ。
⑶ 17歳男子の身長が，平均 170 cm，標準偏差 5 cm の正規分布に従うものとする。17歳男子の中で，身長が168 cm 以上 173 cm 以下の人は約何％いるか。
赤玉 1 個と白玉 3 個が入った袋から 1 個の玉を取り出し，色を調べてから袋に戻す。この試行を1200回くり返すとき，赤玉が取り出される回数が285回以下である確率を求めよ。 （10点）
1
2
3
18 正規分布氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
※母平均を m で表す。 0 と書かれたカードが 5 枚，1 と書かれたカードが 4 枚，2 と書かれたカードが 3 枚，3 と書かれたカードが 2
枚，4 と書かれたカードが 1 枚ある。この15枚のカードを母集団，カードの数字を変量とするとき，母集団分布，母平均，母標準偏差を求めよ。 （各 8 点×3）
母集団分布 母平均 母標準偏差
次の問いに答えよ。 （各10点×6）
⑴ 3 枚のカード 1 ， 3 ， 5 を母集団，カードの数字を変量とする。 ① 母集団分布，母平均を求めよ。
母集団分布 母平均 ② この母集団から大きさ 2 の無作為標本を復元抽出するとき，標本平均 X の確率分布，期待値を求めよ。
確率分布 期待値 ⑵ 母平均 60，母標準偏差 8 の十分大きい母集団から，大きさ 25 の無作為標本を抽出するとき，その標本平均 X
の期待値と標準偏差を求めよ。
期待値 標準偏差
母平均 170，母標準偏差 20 の母集団から，大きさ 100 の無作為標本を抽出する。次の問いに答えよ。 （各 8 点×2） ⑴ 標本平均 X は，近似的にどのような正規分布に従うとみなせるか。
⑵ 標本平均 X が 175 より大きい値をとる確率を求めよ。ただし，正規分布表を用いてもよい。
1
2
3
19 母集団と標本氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次の問いに答えよ。 （各25点×2）
⑴ ある県の男子高校生の中から900人を無作為に選んで調べたところ，握力の平均が 43.2 kg であった。 母標準偏差を 7.5 kg として，この県の男子高校生の平均握力 m に対する信頼度95％の信頼区間を求めよ。
⑵ 大量に生産されたある製品から，100個を無作為に抽出して長さを測ったところ，平均値は 273.6 mm，標準偏差は 6.1 mm であった。この製品の長さの平均値 m を信頼度95％で推定せよ。
ある検定試験の得点の母標準偏差は15点であるという。その母平均 m を信頼度95％で推定するとき，信頼区間の幅を2.8点以下にするには，標本の大きさ n を少なくともいくらにすればよいか。 （25点）
ある都市で，有権者から無作為に抽出した600人について A 政党の支持者を調べたら240人いた。この都市における A 政党の支持率 p を，信頼度95％で推定せよ。 （25点）
1
2
3
20 推定氏
名
得
点 100
Y-①-1
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
右の図の平行四辺形 ABCD において，点 M，N はそれぞれ辺 AB，CD の中点である。次のようなベクトルをすべて求めよ。 (各12点×2)
⑴ A>
M と等しいベクトル
M>
B，D>
N，N>
C
⑵ M>
N の逆ベクトル
N>
M，D>
A，C>
B
a>
，b>
が次の⑴，⑵のように表されているとき，a>
+b>
，a>
-b>
をそれぞれ図示せよ。 (各10点×4)
⑴ a>
+b>
a>
-b>
⑵ a>
+b>
a>
-b>
長方形 ABCD の辺 AB，CD の中点をそれぞれ M，N とし，右の図のように，辺 AD を 3 等分する点を E，F，辺 BCを 3 等分する点を G，H とする。A
>
M=a>
，A>
E=b>
とするとき，次のベクトルを a>
，b>
を用いて表せ。 (各12点×3)
⑴ A>
G=A>
B+B>
G
=2a>
+b>
2a>
+b>
⑵ A>
N=A>
D+D>
N
=3b>
+a>
=a
>
+3b>
a>
+3b>
⑶ B>
F=A>
F-A>
B
=2b>
-2a>
=-2a
>
+2b>
-2a>
+2b>
1
2
3
1 ベクトルとその演算氏
名
得
点 100
A D
B
M N
C
b
a
a+b
b
a
a-b
b
a
a+b
b
a
a-b
A E F D
B
M N
G H C
b
a
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
右の図のベクトル a>
，b>
を成分で表し，それぞれの大きさを求めよ。 （各 6点×4)
a>
=(3，-2) |a>
|= 32+(-2)2 = 13
b>
=(-4，3) |b>
|= (-4)2+32 = 25 =5
a>
成分表示 (3，-2) 大きさ 13
b>
成分表示 (-4，3) 大きさ 5
a>
=(1，-2)，b>
=(-3，1) のとき，次の問いに答えよ。 (各 8 点×6)
⑴ 次のベクトルを成分を用いて表せ。また，その大きさを求めよ。 ① a
>
+b>
a>
+b>
=(1，-2)+(-3，1)=(1-3，-2+1)
=(-2，-1)
|a>
+b>
|= (-2)2+(-1)2 = 5 成分表示 (-2，-1) 大きさ 5
② 2a>
-b>
2a>
-b>
=2(1，-2)-(-3，1)=(2，-4)-(-3，1)
=(2-(-3)，-4-1)=(5，-5)
|2a>
-b>
|= 52+(-5)2 = 50 =5 2 成分表示 (5，-5) 大きさ 5 2
⑵ p>
=(9，-8) を s a>
+t b>
の形に表せ。 p
>
=s a>
+t b>
とおくと， (9，-8)=s(1，-2)+t(-3，1)=(s-3t，-2s+t)
よって，s-3t=9
-2s+t=-8 これを解いて，s=3，t=-2 ゆえに，p
>
=3a>
-2b>
p
>
=3a>
-2b>
⑶ a>
と q>
=(≈，6) が平行になるように，定数 ≈ の値を定めよ。 a
>
™q>
より，(≈，6)=k(1，-2) となる実数 k が存在する。
(≈，6)=(k，-2k) より，≈=k，6=-2k
k=-3 より，≈=-3
≈=-3
3 点 O(0，0)，A(4，2)，B(3，-1) について，次のベクトルの成分と大きさを求めよ。 （各 7点×4）
⑴ O>
A
O>
A=(4，2)
|O>
A|= 42+22 = 20 =2 5
成分表示 (4，2) 大きさ 2 5
⑵ A>
B
A>
B=(3-4，-1-2)=(-1，-3)
|A>
B|= (-1)2+(-3)2 = 10
成分表示 (-1，-3) 大きさ 10
1
2
3
2 ベクトルの成分氏
名
得
点 100
O
¥
≈
b
a
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
|a>
|=5，|b>
|=6 とし，a>
と b>
のなす角を iとする。次のそれぞれの場合について，内積 a>
･b>
を求めよ。 （各 8点×3）
⑴ i=60° ⑵ i=150° ⑶ i=90°
a
>
･b>
=5*6*cos 60°
=30*12
=15
a
>
･b>
=5*6*cos 150°
=30*⎛⎝-32⎞⎠=-15 3
a
>
･b>
=5*6*cos 90°
=30*0
=0 15 -15 3 0
次の 2 つのベクトル a>
，b>
について，内積 a>
･b>
，なす角 i を求めよ。 （各 8点×6）
⑴ a>
=(2，3)，b>
=(-1，5)
a
>
・b>
=2*(-1)+3*5=13 また，|a>
|= 22+32 = 13 |b>
|= (-1)2+52 = 26
よって，cos i=a
>
・b>
|a>
||b>
|=
1313 26
=12 0°≤i≤180° より，i=45°
内積 13 なす角 i=45°
⑵ a>
=(1， 3 )，b>
=( 3，1)
a
>
・b>
=1* 3 + 3 *1=2 3 また，|a>
|= 12+( 3 )2 =2 |b>
|= ( 3 )2+12 =2
よって，cos i=2 32*2
=32 0°≤i≤180° より，i=30°
内積 2 3 なす角 i=30°
⑶ a>
=( 2，-1)，b>
=( 2，2)
a
>
・b>
= 2 * 2 +(-1)*2=0
よって，cos i=0
0°≤i≤180° より，i=90° 内積 0 なす角 i=90°
次の問いに答えよ。 （各 7点×4）
⑴ 次の内積を計算し，その結果を a>
･b>
，|a>
|，|b>
| を用いて表せ。 ① a
>
･( a>
+2b>
)
=a>
・a>
+a>
・2b>
=|a>
|2+2a>
・b>
|a>
|2+2a>
･b>
② ( a>
-b>
)･( a>
+3b>
)
=a>
・a>
+a>
・3b>
-b>
・a>
-b>
・3b>
=|a>
|2+3a>
・b>
-a>
・b>
-3|b>
|2=|a>
|2+2a>
・b>
-3|b>
|2 |a>
|2+2a>
･b>
-3|b>
|2
③ (3a>
+b>
)･(3a>
-b>
)
=3a>
・3a>
-3a>
・b>
+b>
・3a>
-b>
・b>
=9|a>
|2-3a>
・b>
+3a>
・b>
-|b>
|2=9|a>
|2-|b>
|2 9|a>
|2-|b>
|2
⑵ |a>
|=1，|b>
|=4，a>
･b>
=-3 のとき，|2a>
-b>
| の値を求めよ。 |2a
>
-b>
|2=(2a>
-b>
)･(2a>
-b>
)
=2a>
･2a>
-2a>
･b>
-b>
･2a>
+b>
･b>
=4|a>
|2-4a>
･b>
+|b>
|2=4*12-4*(-3)+42=32
|2a>
-b>
|≥0 であるから，|2a>
-b>
|=4 2 4 2
1
2
3
3 ベクトルの内積氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
3 点 P( p>
)，Q( q>
)，R( r>
) に対して，次のベクトルを p>
，q>
，r>
のいずれかを用いて表せ。 （各12点×3）
⑴ P>
Q ⑵ R>
P ⑶ Q>
R
=O
>
Q-O>
P
=q>
-p>
=O>
P-O>
R
=p>
-r>
=O>
R-O>
Q
=r>
-q>
q>
-p>
p>
-r>
r>
-q>
2 点 A( a>
)，B( b>
) について，次の点の位置ベクトルを a>
，b>
を用いて表せ。 （各12点×4）
⑴ 線分 AB を 4：3 に内分する点 ⑵ 線分 AB を 4：3 に外分する点
3a
>
+4b>
4+3=
3a>
+4b>
7=
37
a>
+47
b>
-3a
>
+4b>
4-3=-3a
>
+4b>
37
a>
+47
b>
-3a>
+4b>
⑶ 線分 AB を 2：7 に内分する点 ⑷ 線分 AB を 2：7 に外分する点
7a
>
+2b>
2+7=
7a>
+2b>
9=
79
a>
+29
b>
-7a
>
+2b>
2-7=
7a>
-2b>
5=
75
a>
-25
b>
79
a>
+29
b>
75
a>
-25
b>
3 点 A( a>
)，B( b>
)，C( c>
) を頂点とする△ABC において，重心を G( ©>
)，辺 AB，BC，CA を 2：1 に外分する点をそれぞれ P( p
>
)，Q( q>
)，R( r>
) とする。△PQR の重心を G'( ©>
' ) とするとき，G と G' は一致することを証明せよ。 （16点）
△ABC の重心 G の位置ベクトルは， ©>
=a
>
+b>
+c>
3 …①
△PQR の重心 G' の位置ベクトルは，©>
'=p
>
+q>
+r>
3 …②
ここで，p>
=-a
>
+2b>
2-1=-a
>
+2b>
同様に，q>
=-b>
+2c>
，r>
=-c>
+2a>
より， p
>
+q>
+r>
=(-a>
+2b>
)+(-b>
+2c>
)+(-c>
+2a>
)
=a>
+b>
+c>
これを②に代入して， ©>
'=a
>
+b>
+c>
3 …③
①，③より，©>
=©>
'
よって，G と G' は一致する。
1
2
3
4 位置ベクトル氏
名
得
点 100
R
P
BC Q
A
①
②
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次の直線の方程式を，媒介変数 t を用いて表せ。また，t を消去して得られる ≈ と ¥ の方程式を求めよ。 （各14点×4） ⑴ 点 A(-1，2) を通り，方向ベクトルが d
>
=(1，3) である直線
直線上の任意の点を P(≈，¥)とし，P( p
>
)，A( a>
)とすると，p>
=a>
+t d>
より， (≈，¥)=(-1，2)+t(1，3)=(-1+t，2+3t)
よって， ≈=-1+t …①
¥=2+3t …②
①*3-② より，3≈-¥=-5 3≈-¥+5=0
媒介変数表示≈=-1+t
¥=2+3t 方程式 3≈-¥+5=0
⑵ 2 点 A(2，4)，B(-1，7) を通る直線
直線上の任意の点をP(≈，¥)とし，P( p
>
)，A( a>
)，B( b>
) とすると，p>
=(1-t)a>
+t b>
より， (≈，¥)=(1-t)(2，4)+t(-1，7)=(2-2t-t，4-4t+7t)=(2-3t，4+3t)
よって， ≈=2-3t …①
¥=4+3t …②
①+② より，≈+¥=6 ≈+¥-6=0
媒介変数表示≈=2-3t
¥=4+3t 方程式 ≈+¥-6=0
次の問いに答えよ。 （各14点×2）
⑴ 点 A(-2，3)を通り，法線ベクトルが n>
=(-1，4) である直線の方程式を求めよ。
直線上の任意の点を P(≈，¥) とし，P( p
>
)，A( a>
) とすると，n>
⊥A>
P より，n>
・( p>
-a>
)=0
p>
-a>
=(≈，¥)-(-2，3)=(≈+2，¥-3) だから， n
>
・( p>
-a>
)=(-1)*(≈+2)+4*(¥-3)=-≈+4¥-14=0
よって，≈-4¥+14=0 ≈-4¥+14=0
⑵ 2 直線 ≈+ 3 ¥-3=0， 3 ≈-3¥+6=0 のなす鋭角を求めよ。
直線 ≈+ 3 ¥-3=0 の法線ベクトルは，a>
=(1， 3 )
直線 3 ≈-3¥+6=0 の法線ベクトルは，b>
=( 3，-3)
ここで，|a>
|= 1+( 3 )2 =2 |b>
|= ( 3 )2+(-3)2 =2 3 a>
・b>
=1* 3 + 3 *(-3)=-2 3
法線ベクトル a>
と b>
のなす角を i とすると
cos i=a
>
・b>
|a>
||b>
|=
-2 32*2 3
=-12 0°≤i≤180° であるから，i=120°
2 直線のなす鋭角は，180°-120°=60° 60°
2 点 A(2，5)，B(-4，3) を直径の両端とする円の方程式を，ベクトルを利用して求めよ。 （16点）
円周上の任意の点を P(≈，¥)とし，P( p>
)，A( a>
)，B( b>
)とすると， p
>
-a>
=(≈，¥)-(2，5)=(≈-2，¥-5)
p>
-b>
=(≈，¥)-(-4，3)=(≈+4，¥-3)
( p>
-a>
)・( p>
-b>
)=0 だから，(≈-2)(≈+4)+(¥-5)(¥-3)=0
よって，≈2+2≈-8+¥2-8¥+15=0
(≈+1)2+(¥-4)2=8-15+1+16
(≈+1)2+(¥-4)2=10 (≈+1)2+(¥-4)2=10
1
2
3
5 ベクトル方程式氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
3 点 P，Q，R の位置ベクトルが，それぞれ a>
-2b>
，2a>
+b>
，3a>
+4b>
であるとき，3 点 P，Q，R は一直線上にあることを証明せよ。 （25点）
O>
P=a>
-2b>
，O>
Q=2a>
+b>
，O>
R=3a>
+4b>
より， P
>
R=O>
R-O>
P=(3a>
+4b>
)-( a>
-2b>
)=2a>
+6b>
=2( a>
+3b>
)
P>
Q=O>
Q-O>
P=(2a>
+b>
)-( a>
-2b>
)=a>
+3b>
よって，P>
R=2P>
Q が成り立つ。
したがって，3 点 P，Q，R は一直線上にある。
△ABC において，辺 AB の中点を D，辺 AC を 1：3 に内分する点を E，BE と CD の交点を F とする。A>
B=a>
，A
>
C=b>
とするとき，A>
F を a>
，b>
を用いて表せ。 （25点）
3 点 B，F，E は一直線上にあるので，BF：FE=s：(1-s) とおくと，
A>
F=(1-s)A>
B+sA>
E=(1-s)a>
+s⎛⎝14
b>⎞⎠=(1-s)a
>
+14
s b>
…①
3 点 C，F，D は一直線上にあるので，CF：FD=t：(1-t) とおくと，
A>
F=(1-t)A>
C+t A>
D=(1-t)b>
+t⎛⎝12
a>⎞⎠=
12
t a>
+(1-t)b>
…②
①，②より，1-s=12
t， 14
s=1-t a>
—0>
，b>
—0>
，a>
™b>
これらを解いて，s=47，t=
67 よって，A
>
F=37
a>
+17
b>
A
>
F=37
a>
+17
b>
次の三角形の面積を求めよ。 （各25点×2）
⑴ 3 点 O(0，0)，A(2，1)，B(-1，3) を頂点とする△OAB
|O>
A|= 22+12 = 5 |O>
B|= (-1)2+32 = 10
O>
A・O>
B=2*(-1)+1*3=1 より，
cos i=1
5 10=
210 sin i= 1-⎛⎝
210
⎞⎠
2
=7 210
よって，S=12
|O>
A||O>
B|sin i=12
* 5 * 10 * 7 210
=72
別解 ⑵の の公式を使うと，S=
12
|2・3-1・(-1)|=72
72
⑵ 3 点 A(1，4)，B(-2，1)，C(3，-2) を頂点とする△ABC
A>
B=O>
B-O>
A=(-2，1)-(1，4)=(-3，-3)
A>
C=O>
C-O>
A=(3，-2)-(1，4)=(2，-6)
よって，S=12
|(-3)*(-6)-(-3)*2|=12
A>
B=(a1，a2)，A>
C=(b1，b2) のとき，
△ABC=12
|a1b2-a2b1|
12
1
2
3
6 図形への応用氏
名
得
点 100
A
B C
E
D
F1-t
①
③1-s
s t
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
2 点 A(5，6，-1)，B(-4，3，5) について，次のものを求めよ。 （各 8点×6）
⑴ z≈ 平面に関して，点 A と対称な点の座標 ⑵ ¥ 軸に関して，点 B と対称な点の座標 ¥ 座標の符号が逆になる。 ≈，z 座標の符号が逆になる。
(5，-6，-1) (4，3，-5)
⑶ 2 点 A，B 間の距離 ⑷ 点 A を通り，≈¥ 平面に平行な平面の方程式
AB= (-4-5)2+(3-6)2+{5-(-1)}2
= 126
=3 14
点(a，b，c)を通り，≈¥ 平面に平行な平面の方程式は，z=c
3 14 z=-1
⑸ 線分 AB を 2：1 に内分する点の座標 ⑹ 線分 AB を 2：1 に外分する点の座標
⎛⎝
1・5+2・(-4)2+1
，1・6+2・32+1
，1・(-1)+2・52+1
⎞⎠
より，(-1，4，3)
⎛⎝-1・5+2・(-4)
2-1，-1・6+2・3
2-1，-1・(-1)+2・5
2-1⎞⎠
より，(-13，0，11)
(-1，4，3) (-13，0，11)
右の図の直方体において，A>
B=a>
，A>
D=b>
，A>
E=c>
とするとき，次のベクトルを a>
，b>
，c>
を用いて表せ。 （各 8点×3）
⑴ H>
C=E>
B=A>
B-A>
E
=a>
-c>
a>
-c>
⑵ F>
H=B>
D=A>
D-A>
B
=b>
-a>
=-a>
+b>
-a>
+b>
⑶ D>
F=H>
F-H>
D=-F>
H+D>
H
=-(-a>
+b>
)+c>
=a>
-b>
+c>
a>
-b>
+c>
a>
=(1，2，-1)，b>
=(2，3，0)，c>
=(-1，1，1) のとき，次の問いに答えよ。 （各 7点×4）
⑴ a>
を基本ベクトル e>
1，e>
2，e>
3 を用いて表せ。 e
>
1=(1，0，0)，e>
2=(0，1，0)，e>
3=(0，0，1)
a>
=(1，0，0)+2(0，1，0)-(0，0，1)=e>
1+2e>
2-e>
3 a>
=e>
1+2e>
2-e>
3
⑵ a>
+b>
-c>
を成分を用いて表せ。また，その大きさを求めよ。 a
>
+b>
-c>
=(1，2，-1)+(2，3，0)-(-1，1，1)=(4，4，-2)
|a>
+b>
-c>
|= 42+42+(-2)2 = 36 =6 成分表示 (4，4，-2) 大きさ 6
⑶ p>
=(-3，4，1) を la>
+mb>
+nc>
の形に表せ。
p
>
=la>
+mb>
+nc>
とおくと，(-3，4，1)=l(1，2，-1)+m(2，3，0)+n(-1，1，1)
よって， l+2m-n=-3，2l+3m+n=4，-l+n=1
これを解いて，l=2，m=-1，n=3 ゆえに，p>
=2a>
-b>
+3c>
p>
=2a>
-b>
+3c>
1
2
3
7 空間座標とベクトル氏
名
得
点 100
D
A
E
C
F
B
H G
b
a
c
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
右の図の 1 辺の長さが 2 の立方体において，次の内積を求めよ。 （各10点×4）
⑴ A>
B・E>
H ⑵ A>
D・D>
E
E>
H=A>
D より，i=90°
cos 90°=0 より，A>
B・E>
H=0
^ADE=45° より，i=135°
A>
D・D>
E=2*2 2 *cos 135°
=2*2 2 *⎛⎝-12⎞⎠=-4
0 -4
⑶ A>
C・A>
F ⑷ D>
F・D>
G
△ACF は正三角形であり，i=60°
A>
C・A>
F=2 2 *2 2 *cos 60°
=2 2 *2 2 * 12
=4
|D>
F|= 22+22+22 =2 3，|D>
G|=2 2
^DGF=90°
△DFG は直角三角形であり，D
>
F・D>
G=|D>
F||D>
G|cos i
=2 3 *2 2 *2 22 3
=8 4 8
次の 2 つのベクトル a>
，b>
について，内積 a>
･b>
，なす角 i を求めよ。 （各10点×4）
⑴ a>
=(1，2，3)，b>
=(3，-1，2)
a
>
・b>
=1*3+2*(-1)+3*2=7 また，|a>
|= 12+22+32 = 14 |b>
|= 32+(-1)2+22 = 14
cos i=a
>
・b>
|a>
||b>
|=
714 14
=12 0°≤i≤180° より，i=60°
内積 7 なす角 i=60°
⑵ a>
=(1，-2，2)，b>
=(3，4，-5)
a
>
・b>
=1*3+(-2)*4+2*(-5)=-15 また，|a>
|= 12+(-2)2+22 =3 |b>
|= 32+42+(-5)2 =5 2
cos i=-15
3×5 2=-
12 0°≤i≤180° より，i=135°
内積 -15 なす角 i=135°
a>
=(2，-1，≈)，b>
=(3，≈，4) のとき，次の 2 つのベクトルが垂直となるように ≈ の値を定めよ。 （各10点×2）
⑴ a>
，b>
a
>
⊥b>
a>
・b>
=0
a>
・b>
=2*3+(-1)*≈+≈*4=3≈+6 より，3≈+6=0 ≈=-2
≈=-2
⑵ a>
，a>
-2b>
a
>
⊥( a>
-2b>
) a>
・( a>
-2b>
)=0
a>
-2b>
=(2，-1，≈)-2(3，≈，4)=(-4，-1-2≈，≈-8)
a>
・( a>
-2b>
)=2*(-4)+(-1)*(-1-2≈)+≈*(≈-8)=≈2-6≈-7
≈2-6≈-7=0 より，≈=-1，7 ≈=-1，7
1
2
3
8 ベクトルの内積氏
名
得
点 100
D
A
E
C
F
B
HG
⑴～⑷のそれぞれの 2 つのベクトルのなす角を i とする。1
D
A
E
C
F
B
HG
22
32
i
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
4 点 A( a>
)，B( b>
)，C( c>
)，D( d>
) を頂点とする四面体 ABCD において，辺 AB を 1：2 に内分する点を P( p>
)，△BCD の重心を G( ©
>
)とする。このとき，次の点の位置ベクトルを求めよ。 （各10点×4）
⑴ 点 P( p>
) ⑵ 線分 CP を 3：2 に外分する点 Q( q>
)
p>
=2a
>
+b>
1+2=
2a>
+b>
3=
23
a>
+13
b>
q
>
=-2c
>
+3⎛⎝2a
>
+b>
3⎞⎠
3-2=2a
>
+b>
-2c>
p
>
=23
a>
+13
b>
q>
=2a>
+b>
-2c>
⑶ 点 G( ©>
) ⑷ 線分 AG を 3：1 に内分する点 R( r>
)
©>
=b
>
+c>
+d>
3=
13
b>
+13
c>
+13
d>
r
>
=a
>
+3⎛⎝b
>
+c>
+d>
3⎞⎠
3+1=
a>
+b>
+c>
+d>
4
=14
a>
+14
b>
+14
c>
+14
d>
©
>
=13
b>
+13
c>
+13
d>
r
>
=14
a>
+14
b>
+14
c>
+14
d>
4 点 A(1，2，4)，B(3，1，5)，C(0，4，1)，D(≈，3，1)が同一平面上にあるとき，実数 ≈ の値を求めよ。 （10点）
A>
D=(≈-1，1，-3)，A>
B=(2，-1，1)，A>
C=(-1，2，-3)
A>
D=a A>
B+b A>
C となる実数 a，b があるから， (≈-1，1，-3)=a(2，-1，1)+b(-1，2，-3)=(2a-b，-a+2b，a-3b)
よって， 2a-b=≈-1 …① -a+2b=1 …② a-3b=-3 …③
②，③より，a=3，b=2 ①に代入すると，≈=5 ≈=5
次の問いに答えよ。 （各10点×5）
⑴ 中心が点(2，-4，5)で，半径が 6 である球面の方程式を求めよ。
(≈-2)2+{¥-(-4)}2+(z-5)2=62
すなわち，(≈-2)2+(¥+4)2+(z-5)2=36
(≈-2)2+(¥+4)2+(z-5)2=36
⑵ 点 A(3，4，1)を通り，d>
=(1，3，-2) に平行な直線の方程式を，媒介変数 t を用いて表せ。また，t を消去して得られる直線の方程式を求めよ。
(≈，¥，z)=(3，4，1)+t(1，3，-2) p
>
=a>
+td>
=(3+t，4+3t，1-2t)
また，(t=)≈-3=¥-4
3=
z-1-2
媒介変数表示
≈=3+t
¥=4+3t
z=1-2t 方程式 ≈-3=¥-4
3=
z-1-2
⑶ 点 A(-1，4，2)を通り，n>
=(2，3，-2) に垂直な平面の方程式を求めよ。また，この平面と ≈ 軸との交点の座標を求めよ。
平面上の任意の点を P(≈，¥，z)とすると，A
>
P=(≈+1，¥-4，z-2)
n>
・A>
P=0 より，2(≈+1)+3(¥-4)-2(z-2)=0 すなわち，2≈+3¥-2z=6
これに ¥=0，z=0 を代入すると，≈=3
≈ 軸との交点の座標は，(3，0，0) 平面 2≈+3¥-2z=6 交点 (3，0，0)
1
2
3
⎛⎝©
>
=b
>
+c>
+d>
3⎞⎠
9 位置ベクトルと空間図形氏
名
得
点 100
⎛⎝r
>
=a
>
+b>
+c>
+d>
4⎞⎠
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次のような等差数列について，初めの 5 項，一般項，第10項をそれぞれ求めよ。 （各 6点×6）
⑴ 初項 5，公差 2
5， 7， 9， 11， 13，…… an=5+(n-1)・2=2n+3 a10=2・10+3=23
+2 +2 +2 +2
初めの 5 項 5，7，9，11，13 一般項 2n+3 第10項 23
⑵ 初項 8，公差 -3
8， 5， 2， -1， -4，…… an=8+(n-1)・(-3)=-3n+11 a10=-3・10+11=-19
-3 -3 -3 -3
初めの 5 項 8，5，2，-1，-4 一般項 -3n+11 第10項 -19
次の問いに答えよ。 （各 6点×4）
⑴ 第 3 項が 7，第 8 項が 32 である等差数列 {an} の初項と公差を求めよ。また，一般項 an を求めよ。 初項を a，公差を d とすると，an=a+(n-1)d
a3=7 より，a+2d=7 …① a8=32 より，a+7d=32 …②①，②を解くと，a=-3，d=5
また，an=-3+(n-1)・5
=5n-8
初項 -3 公差 5 一般項 an=5n-8
⑵ 数列 9，≈，-≈，…… が等差数列であるとき，≈ の値を求めよ。
2≈=9+(-≈) 数列 a，b，c が等差数列 2b=a+c
これを解いて，≈=3
≈=3
次の和を求めよ。 （各10点×4）
⑴ 初項 4，末項 31，項数 10 の等差数列の和
S10=12
・10(4+31)=175 Sn=12
n(a+l)
175
⑵ 初項 3，公差 7 の等差数列の初項から第 n 項までの和
Sn=12
n{2・3+(n-1)・7}=12
n(7n-1) Sn=12
n{2a+(n-1)d}
12
n(7n-1)
⑶ 1+2+3+……+30
自然数の和。 12
・30(30+1)=465 1+2+3+……+n=12
n(n+1)
465
⑷ 1+3+5+……+39
奇数の和。39=2・20-1 より，1+3+5+……+39=202=400 1+3+5+……+(2n-1)=n2
400
1
2
3
10 等差数列氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次のような等比数列について，初めの 5 項と一般項をそれぞれ求めよ。 （各10点×4）
⑴ 初項 5，公比 2
5， 10， 20， 40， 80，……
*2 *2 *2 *2
初めの 5 項 5，10，20，40，80 一般項 5・2n-1
⑵ 初項 6，公比 -13
6， -2， 23， -
29， 2
27，……
*⎛⎝-13⎞⎠*⎛⎝-
13⎞⎠*⎛⎝-
13⎞⎠*⎛⎝-
13⎞⎠
初めの 5 項 6，-2， 23，-
29， 2
27 一般項 6・⎛⎝-13⎞⎠
n-1
次の問いに答えよ。 （各 6 点×4）
⑴ 第 3 項が 18，第 6 項が 486 である等比数列 {an} の初項と公比を求めよ。また，一般項 an を求めよ。
初項を a，公比を r とすると，an=ar n-1
a3=18 より， ar 2=18 …①
a6=486 より， ar 5=486 …②
②÷① より， r 3=27 r は実数であるから，r=3
これと①より，a=2
初項 2 公比 3 一般項 an=2・3n-1
⑵ 数列 5，≈，809，…… が等比数列であるとき，≈ の値を求めよ。
≈2=5・ 809
=4009
より，≈=±203 数列 a，b，c が等比数列 b2=ac
≈=±20
3
次の和を求めよ。 （各12点×3）
⑴ 初項 3，公比 -2，項数 6 の等比数列の和
S6=3{(-2)6-1}
-2-1=-63 r—1 のとき，Sn=
a(1-rn)1-r
=a(rn-1)
r-1
-63
⑵ 初項 7，公比 1，項数 8 の等比数列の和 S8=8・7=56 r=1 のとき，Sn=na
56
⑶ 等比数列 1， 14， 1
42， 143，…… の初項から第 n 項までの和
Sn=
1 1-⎛⎝14⎞⎠
n
1-14
=43
⎛⎝1-14n⎞⎠
43
⎛⎝1-14n⎞⎠
1
2
3
11 等比数列氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次の和を求めよ。 （各12点×6）
⑴ 12+22+32+……+152 ⑵ 13+23+33+……+103
=
16
・15(15+1)(2・15+1) 16
n(n+1)(2n+1)
=1240
=12
・10(10+1)2
12
n(n+1)2
=552
=3025 1240 3025
⑶ 20
¸k=1
5 5+5+5+……+5
20個
⑷ n
¸k=1
3k
100 32
(3n-1)
⑸ n
¸k=1
(2k-3) ⑹ n
¸k=1
k(3k-4)=3 n
¸k=1
k2-4 n
¸k=1
k
n(n-2) 12
n(n+1)(2n-3)
階差数列を利用して，次の数列の一般項 an を求めよ。 （14点）
2， 3， 10， 23， 42， 67， ……
an=3n2-8n+7
初項から第 n 項までの和 Sn が，Sn=n2-4n で表される数列 {an} の一般項を求めよ。 （14点）
n≥2 のとき，an=Sn-Sn-1=n2-4n-{(n-1)2-4(n-1)}
=2n-5 …①
n=1 のとき，a1=S1=12-4・1=-3
①で n=1 とすると，a1=2・1-5=-3 となり，①は n=1 のときも成り立つ。
よって，求める一般項は，an=2n-5
an=2n-5
1
=20・5 n
¸k=1
c=nc
=100=
n
¸k=1
3・3k-1 初項 3，公比 3 の等比数列の和
=3(3n-1)
3-1
=32
(3n-1)
=2 n
¸k=1
k-n
¸k=1
3
=2・ 12
n(n+1)-3n
=n2-2n
=n(n-2)
=3・ 16
n(n+1)(2n+1)-4・ 12
n(n+1)
=12
n(n+1){(2n+1)-4}
=12
n(n+1)(2n-3)
2
階差数列を {bn} とすると，{bn}：1， 7， 13， 19， 25，……初項 1，公差 6 の等差数列であるから，bn=1+(n-1)・6=6n-5
n≥2 のとき，an=2+n-1
¸k=1
(6k-5)=2+6・ 12
(n-1)n-5(n-1)
=3n2-8n+7 …①
①で n=1 とすると，a1=3・12-8・1+7=2 となり，①は n=1 のときも成り立つ。
よって，求める一般項は，an=3n2-8n+7
3
12 いろいろな数列氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次の条件によって定まる数列 {an} の第 2 項から第 5 項を求めよ。 （各12点×2）
⑴ a1=2，an+1=4an-5 ⑵ a1=1，an+1=3an+n
a2=4a1-5=4・2-5=3
a3=4a2-5=4・3-5=7
a4=4a3-5=4・7-5=23
a5=4a4-5=4・23-5=87
a2=3a1+1=3・1+1=4
a3=3a2+2=3・4+2=14
a4=3a3+3=3・14+3=45
a5=3a4+4=3・45+4=139
3，7，23，87 4，14，45，139
次の条件によって定まる数列 {an} の一般項を求めよ。 （各12点×4）
⑴ a1=3，an+1=an+4 ⑵ a1=2，an+1=3an
{an} は初項 3，公差 4 の等差数列であるから
an=3+(n-1)・4=4n-1 {an} は初項 2，公比 3 の等比数列であるから
an=2・3n-1
an=4n-1 an=2・3n-1
⑶ a1=2，an+1=an+4n-1 ⑷ a1=1，an+1=an+(-2)n
an=2n2-3n+3 an=
1-(-2)n
3
次の条件によって定まる数列 {an} の一般項を求めよ。 （各14点×2）
⑴ a1=2，an+1=4an-3
an+1=4an-3 より， an+1-1=4(an-1) a=4a-3 を解くと a=1
bn=an-1 とおくと，bn+1=4bn
{bn} は公比 4 の等比数列で，初項は b1=a1-1=2-1=1 であるから，一般項は， bn=1・4n-1=4n-1
bn=an-1 より， an=bn+1=4n-1+1
an=4n-1+1
⑵ a1=0，a2=1，an+2-8an+1+15an=0
an+2-8an+1+15an=0 は，次の 2 通りに変形できる。 ≈2-8≈+15=0 の解は，≈=3，5
an+2-3an+1=5(an+1-3an) …① an+2-5an+1=3(an+1-5an) …②
①より，数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a1=1，公比 5 の等比数列であるから，an+1-3an=5n-1 …③
②より，数列 {an+1-5an} は初項 a2-5a1=1，公比 3 の等比数列であるから，an+1-5an=3n-1 …④
③-④ より，2an＝5n-1-3n-1 an=5n-1-3n-1
2
an=5n-1-3n-1
2
1
2
an+1-an=4n-1 より，{an} の階差数列の第 n 項
が 4n-1 であるから，n≥2 のとき
an=2+n-1
¸k=1
(4k-1)
=2+4・12
(n-1)n-(n-1)=2n2-3n+3
初項は 2 なので，この式は
n=1 のときも成り立つ。
an+1-an=(-2)n より，{an} の階差数列の第 n 項が
(-2)n であるから，n≥2 のとき
an=1+n-1
¸k=1
(-2)k=1+-2{1-(-2)n-1}
1-(-2)
=1-(-2)n
3
初項は 1 なので，この式は
n=1 のときも成り立つ。
3
13 漸化式氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
n が自然数のとき，次の等式(A)が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明する。
11・2
+1
2・3+
13・4
+……+1
n(n+1)=
nn+1
…(A)
下の下線部を補い，(続き)を書いて証明を完成せよ。 （各15点×4）
〔証明〕 [1] n=1 のとき，
(左辺)=1
1・2=
12 (右辺)=
11+1
=12 よって，n=1 のとき(A)は成り立つ。
[2] n=k のとき，(A)が成り立つ，すなわち，
1
1・2+
12・3
+1
3・4+……+
1k(k+1)
=k
k+1 …① が成り立つと仮定する。
①の両辺に 1(k+1){(k+1)+1}
を加えると
(続き)
11・2
+1
2・3+
13・4
+……+1
k(k+1)+
1(k+1){(k+1)+1}
=k
k+1+
1(k+1){(k+1)+1}
=k(k+2)+1
(k+1)(k+2)=
k2+2k+1(k+1)(k+2)
=(k+1)2
(k+1)(k+2)=
k+1k+2
=k+1
(k+1)+1
これは，(A)において n=k+1 のときであるから，n=k+1 のときも(A)は成り立つ。 [1]，[2]より，すべての自然数 n について，(A)は成り立つ。
n が 2 以上の自然数のとき，次の不等式(A)が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明する。 3n>4n …(A)
下の下線部を補い，(続き)を書いて証明を完成せよ。 （各10点×4）
〔証明〕 [1] n=2 のとき， (左辺)=32=9 (右辺)=4・2=8 よって，n=2 のとき(A)は成り立つ。 [2] n≥2 として，n=k のとき，(A)が成り立つ，すなわち， 3k>4k …① が成り立つと仮定する。 ①の両辺に 3 をかけると (続き)
3k+1>4k・3 …②
ここで，4k・3=12k=4(k+1)+8k-4
k≥2 のとき，8k-4>0 であるから，4k・3>4(k+1) …③
②，③より，3k+1>4(k+1)
これは，(A)において n=k+1 のときであるから，n=k+1 のときも(A)は成り立つ。 [1]，[2]より，2 以上の自然数 n について，(A)は成り立つ。
1
2
14 数学的帰納法氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次の変数 X の確率分布を求めよ。 （各 8 点×2）
⑴ 6 枚のカード 1 ， 1 ， 1 ， 2 ， 2 ， 3 の中から 1 枚を抜き出し，そのカードの数字を X とする。
⑵ 2 枚の100円硬貨を同時に投げるとき，表の出た硬貨の金額の和を X とする。
〇〇(200)
*(100)*
〇(100)
*(0)
※以下，X の期待値を E(X)，分散を V(X)，標準偏差を v(X) で表す。
確率変数 X が次の確率分布に従うとき，X の期待値，分散，標準偏差をそれぞれ求めよ。 （各 7 点×6）
⑴
v(X)=
95
=3 5
5 期待値 3 分散
95 標準偏差
3 55
⑵
v(X)=
149
=143
期待値83 分散
149 標準偏差
143
5 枚のカード 1 ， 1 ， 2 ， 2 ， 3 の中から同時に 2 枚を抜き出し，それらのカードの数字の和を X とする。次の問いに答えよ。 （各 7 点×6）
⑴ X の確率分布を求めよ。
P(X=2)= 2C2
5C2=
110
P(X=3)= 2C1・2C1
5C2=
410
P(X=4)= 2C2
5C2+ 2C1・1C1
5C2=
310 P(X=5)= 2C1・1C1
5C2=
210
⑵ 確率変数 X の期待値，分散を求めよ。
E(X)=2・ 110
+3・ 410
+4・ 310
+5・ 210
=185，V(X)=22・
110
+32・ 410
+42・ 310
+52・ 210
-⎛⎝185⎞⎠
2
=695
-32425
=2125
期待値185 分散
2125
⑶ Y=5X-3 とする。確率変数 Y の期待値，分散，標準偏差を求めよ。
E(Y)=E(5X-3)=5E(X)-3=5・185
-3=15 V(Y)=V(5X-3)=52V(X)=25・2125
=21
v(Y)= V(Y)= 21 期待値 15 分散 21 標準偏差 21
1
X 1 2 3 計
P36
26
16
1
X 0 100 200 計
P14
24
14
1
2
X 0 2 4 計
P110
310
610
1
E(X)=0・ 110
+2・ 310
+4・ 610
=3010
=3 別解 V(X)=02・
110
+22・ 310
+42・ 610
-32
V(X)=(0-3)2・ 110
+(2-3)2・ 310
+(4-3)2・ 610
=1810
=95
X 0 1 2 3 4 計
P115
215
315
415
515
1
E(X)=0・ 115
+1・ 215
+2・ 315
+3・ 415
+4・ 515
=4015
=83
V(X)=02・ 115
+12・ 215
+22・ 315
+32・ 415
+42・ 515
-⎛⎝83⎞⎠
2
=13015
-649
=149
3
X 2 3 4 5 計
P110
410
310
210
1
=95
15 確率変数の期待値と分散氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
確率変数 X，Y の確率分布が次の表で与えられているとき，X+Y，4 X+3Y の期待値をそれぞれ求めよ。 （各11点×2）
X+Y の期待値145 4 X+3Y の期待値 10
次の問いに答えよ。 （各12点×2）
⑴ 1 個のさいころを 2 回投げるとき，出た目の数の積の期待値を求めよ。
494
⑵ 3 つの確率変数 X，Y，Z が互いに独立で，確率分布がいずれも次の表で与えられるとき，XYZ の期待値を求めよ。
6427
袋の中に 1，2，3，4 を 1 つずつ書いた 4 個の同じ大きさの玉が入っている。この袋の中から 1 個の玉を取り出し，その数字を調べてからもとの袋に戻す試行を行う。次の問いに答えよ。 （各 9 点×6）
⑴ この試行を 1 回行うとき，取り出した玉の数字の期待値，分散を求めよ。
期待値52 分散
54
⑵ この試行を 2 回続けて行うとき，1 回目，2 回目に取り出した玉の数字をそれぞれ X，Y とする。 ① X+Y の分散，標準偏差を求めよ。
分散52 標準偏差
102
② 4 X-2Y の分散，標準偏差を求めよ。
分散 25 標準偏差 5
1
X 1 2 計
P25
35
1
Y 1 2 計
P45
15
1
E(X)=1・ 25
+2・ 35
=85，E(Y)=1・
45
+2・ 15
=65
E(X+Y)=85
+65
=145
E(4X+3Y)=4E(X)+3E(Y)=4・ 85
+3・ 65
=505
=10
2
1 回目，2 回目に出る目の数をそれぞれ X，Y とすると，X と Y は独立な確率変数で，
E(X)=E(Y)=1・ 16
+2・ 16
+3・ 16
+4・ 16
+5・ 16
+6・ 16
=216
=72
よって，E(XY)=E(X)E(Y)=72
・ 72
=494
変数 1 2 計
確率 23
13
1
E(X)=E(Y)=E(Z)=1・ 23
+2・ 13
=43
よって，E(XYZ)=E(X)E(Y)E(Z)=43
・ 43
・ 43
=6427
3
期待値は，1・ 14
+2・ 14
+3・ 14
+4・ 14
=52
分散は，12・ 14
+22・ 14
+32・ 14
+42・ 14
-⎛⎝52⎞⎠
2
=54
XとYは互いに独立な確率変数であるから，V(X+Y)=V(X)+V(Y)=54
+54
=52
v(X+Y)=52
=102
V(4X-2Y)=42V(X)+(-2)2V(Y)=16・ 54
+4・ 54
=25
v(4X-2Y)= 25 =5
16 確率変数の和と積氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次の問いに答えよ。 （各 8 点×4）
⑴ 1 枚の硬貨を 5 回投げて，表の出る回数を X とする。 ① X はどのような二項分布に従うか。B(n，p)の形に表せ。
B ⎛⎝5， 12⎞⎠
② 確率 P(X=2) を求めよ。
516
⑵ 1 個のさいころを 4 回投げて，1 または 6 の目が出る回数を X とする。 ① X はどのような二項分布に従うか。B(n，p)の形に表せ。
B ⎛⎝4， 13⎞⎠
② 確率 P(X≥3) を求めよ。
19
確率変数 X が次の二項分布に従うとき，X の期待値，分散，標準偏差を求めよ。 （各 6 点×6）
⑴ B ⎛⎝8， 29⎞⎠
期待値169 分散
11281 標準偏差
4 79
⑵ B ⎛⎝20， 38⎞⎠
期待値152 分散
7516 標準偏差
5 34
次の問いに答えよ。 （各 8 点×4）
⑴ 2 枚の硬貨を同時に投げ，硬貨の表，裏を記録する。この試行を60回くり返すとき，2 枚とも表が出る回数をX とする。X の期待値，標準偏差を求めよ。
期待値 15 標準偏差3 5
2
⑵ 赤玉 3 個と白玉 2 個が入っている袋から同時に 2 個の玉を取り出し，色を調べてから袋にもどす。この試行を50回くり返すとき，取り出した 2 個の玉が同じ色である回数を X とする。X の期待値，標準偏差を求めよ。
期待値 20 標準偏差 2 3
1
n=5 1 回投げて表の出る確率は，p=12
P(X=2)=5C2 ⎛⎝
12⎞⎠
2⎛⎝
12⎞⎠
3
=1032
=516
n=4 1 回投げて 1 または 6 の目が出る確率は，p=26
=13
P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)
=4C3⎛⎝
13⎞⎠
3
・ 23
+4C4⎛⎝
13⎞⎠
4
=19
2
E(X)=8・ 29
=169 V(X)=8・
29
・ 79
=11281 v(X)= 8・
29
・ 79
=4 7
9
E(X)=20・ 38
=152 V(X)=20・
38
・ 58
=7516 v(X)= 20・
38
・ 58
=5 3
4
3
X は二項分布 B ⎛⎝60， 14⎞⎠ に従う。E(X)=60・
14
=15 v(X)= 60・ 14
・ 34
=3 5
2
Xは二項分布 B ⎛⎝50， 25⎞⎠ に従う。E(X)=50・
25
=20 v(X)= 50・ 25
・ 35
=2 3
17 二項分布氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
※ 1～ 3 では，正規分布表を用いてもよい。 確率変数 Z が標準正規分布 N(0，1)に従うとき，次の確率を求めよ。 （各10点×6）
⑴ P(0≤Z≤1.35) ⑵ P(-0.92≤Z≤0)
0.4115 0.3212
⑶ P(Z≥1.5) ⑷ P(Z≤0.7)
0.0668 0.7580
⑸ P(-1.6≤Z≤0.8) ⑹ P(0.45≤Z≤2)
0.7333 0.3036
次の問いに答えよ。 （各10点×3）
⑴ 確率変数 X が正規分布 N(10，42)に従うとき，確率 P(8≤ X≤13) を求めよ。
0.4649
⑵ 確率変数 X が正規分布 N(60，102)に従うとき，確率 P( X≥72) を求めよ。
0.1151
⑶ 17歳男子の身長が，平均 170 cm，標準偏差 5 cm の正規分布に従うものとする。17歳男子の中で，身長が168 cm 以上 173 cm 以下の人は約何％いるか。
約38％
赤玉 1 個と白玉 3 個が入った袋から 1 個の玉を取り出し，色を調べてから袋に戻す。この試行を1200回くり返すとき，赤玉が取り出される回数が285回以下である確率を求めよ。 （10点）
0.1587
1
=p(1.35)
=0.4115
=p(0.92)
=0.3212
=0.5-p(1.5)
=0.5-0.4332
=0.0668
=0.5+p(0.7)
=0.5+0.2580
=0.7580
=P(-1.6≤Z≤0)+P(0≤Z≤0.8)
=p(1.6)+p(0.8)
=0.4452+0.2881
=0.7333
=P(0≤Z≤2)-P(0≤Z≤0.45)
=p(2)-p(0.45)
=0.4772-0.1736
=0.3036
2
Z=X-10
4 とおくと，Z は標準正規分布 N(0，1)に従う。
X=8 のとき Z=-0.5，X=13 のとき Z=0.75 であるから，P(8≤X≤13)=P(-0.5≤Z≤0.75)=p(0.5)+p(0.75)=0.1915+0.2734=0.4649
Z=X-60
10 とおくと，Z は N(0，1)に従う。
X=72 のとき Z=1.2 であるから，P(X≥72)=P(Z≥1.2)=0.5-p(1.2)=0.5-0.3849=0.1151
X が N(170，52)に従うとき，Z=X-170
5 は N(0，1)に従う。
X=168 のとき Z=-0.4，X=173 のとき Z=0.6 であるから，P(168≤X≤173)=P(-0.4≤Z≤0.6)=p(0.4)+p(0.6)
=0.1554+0.2257=0.3811 約38％
3
確率変数 X が二項分布 B⎛⎝1200， 14⎞⎠ に従うとき，m=1200・
14
=300，v 2=1200・ 14
・ 34
=225=152 より，
X は近似的に正規分布 N(300，152)に従い，Z=X-300
15 とおくと，Z は標準正規分布 N(0，1)に従う。
P(X≤285)=P(Z≤-1)=P(Z≥1)=0.5-p(1)=0.5-0.3413=0.1587
18 正規分布氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
※母平均を m で表す。 0 と書かれたカードが 5 枚，1 と書かれたカードが 4 枚，2 と書かれたカードが 3 枚，3 と書かれたカードが 2
枚，4 と書かれたカードが 1 枚ある。この15枚のカードを母集団，カードの数字を変量とするとき，母集団分布，母平均，母標準偏差を求めよ。 （各 8 点×3）
母集団分布
変量 0 1 2 3 4 計
確率 515
415
315
215
115
1 母平均
43 母標準偏差
143
次の問いに答えよ。 （各10点×6）
⑴ 3 枚のカード 1 ， 3 ， 5 を母集団，カードの数字を変量とする。 ① 母集団分布，母平均を求めよ。
母集団分布
変量 1 3 5 計
確率 13
13
13
1 母平均 3
② この母集団から大きさ 2 の無作為標本を復元抽出するとき，標本平均 X の確率分布，期待値を求めよ。
確率分布
X 1 2 3 4 5 計
P19
29
39
29
19
1 期待値 3
⑵ 母平均 60，母標準偏差 8 の十分大きい母集団から，大きさ 25 の無作為標本を抽出するとき，その標本平均 X
の期待値と標準偏差を求めよ。
期待値 60 標準偏差85
母平均 170，母標準偏差 20 の母集団から，大きさ 100 の無作為標本を抽出する。次の問いに答えよ。 （各 8 点×2） ⑴ 標本平均 X は，近似的にどのような正規分布に従うとみなせるか。
N(170，4)
⑵ 標本平均 X が 175 より大きい値をとる確率を求めよ。ただし，正規分布表を用いてもよい。
0.0062
1
m=0・ 515
+1・ 415
+2・ 315
+3・ 215
+4・ 115
=2015
=43
v 2=02・ 515
+12・ 415
+22・ 315
+32・ 215
+42・ 115
-⎛⎝43⎞⎠
2
=103
-169
=149 v>0 より，v=
149
=143
2
m=1・ 13
+3・ 13
+5・ 13
=3
X1
X2 1 3 5
1 1 2 3
3 2 3 4
5 3 4 5
1 回目を X1，2 回目を X2 とすると，X =X1+X2
2 の値は左のようになる。
E( X )=1・19
+2・29
+3・39
+4・29
+5・19
=3
E( X )=m=60
v( X )=v
n=
825
=85
3
N ⎛⎝170， 202
100⎞⎠ すなわち，N(170，4)
Z=X -170
2 とおくと，Z は近似的に標準正規分布 N(0，1)に従う。
X =175 のとき，Z=2.5 であるから，P(X >175)=P(Z>2.5)=0.5-p(2.5)=0.5-0.4938=0.0062
19 母集団と標本氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学Ｂ 確認テスト
次の問いに答えよ。 （各25点×2）
⑴ ある県の男子高校生の中から900人を無作為に選んで調べたところ，握力の平均が 43.2 kg であった。 母標準偏差を 7.5 kg として，この県の男子高校生の平均握力 m に対する信頼度95％の信頼区間を求めよ。
[42.7，43.7] 単位は kg
⑵ 大量に生産されたある製品から，100個を無作為に抽出して長さを測ったところ，平均値は 273.6 mm，標準偏差は 6.1 mm であった。この製品の長さの平均値 m を信頼度95％で推定せよ。
[272.4，274.8] 単位は mm
ある検定試験の得点の母標準偏差は15点であるという。その母平均 m を信頼度95％で推定するとき，信頼区間の幅を2.8点以下にするには，標本の大きさ n を少なくともいくらにすればよいか。 （25点）
少なくとも 441 にすればよい
ある都市で，有権者から無作為に抽出した600人について A 政党の支持者を調べたら240人いた。この都市における A 政党の支持率 p を，信頼度95％で推定せよ。 （25点）
[0.36，0.44]
1
標本平均 X =43.2，母標準偏差 v=7.5，標本の大きさ n=900 であるから，
1.96・ v
n=1.96・
7.5900≒0.5
信頼度95％の信頼区間は，[43.2-0.5，43.2+0.5]
すなわち， [42.7，43.7] 単位は kg
標本平均 X =273.6，標本標準偏差 S=6.1，標本の大きさ n=100 であるから，
1.96・ Sn
=1.96・ 6.1100≒1.2
信頼度95％の信頼区間は，[273.6-1.2，273.6+1.2]
すなわち， [272.4，274.8] 単位は mm
2
母平均 m に対する信頼度95％の信頼区間の幅は，
2・1.96・ v
n であるから，2・1.96・
15n
≤2.8
よって， n≥⎛⎝2・1.96・15
2.8⎞⎠
2
=212=441
3
標本比率 R は， R=240600
=0.4
n=600 であるから，1.96・ R(1-R)n
=1.96・ 0.4・0.6600
=1.96・0.02≒0.04
求める信頼区間は， [0.4-0.04，0.4+0.04]
すなわち， [0.36，0.44]
20 推定氏
名
得
点 100
Y-①-1
