高校ゼミ数学B 確認テスト
右の図の平行四辺形 ABCD において,点 M,N はそれぞれ辺 AB,CD の中点である。次のようなベクトルをすべて求めよ。 (各12点×2)
⑴ A>
M と等しいベクトル
⑵ M>
N の逆ベクトル
a>
,b>
が次の⑴,⑵のように表されているとき,a>
+b>
,a>
-b>
をそれぞれ図示せよ。 (各10点×4)
⑴ a>
+b>
a>
-b>
⑵ a>
+b>
a>
-b>
長方形 ABCD の辺 AB,CD の中点をそれぞれ M,N とし,右の図のように,辺 AD を 3 等分する点を E,F,辺 BCを 3 等分する点を G,H とする。A
>
M=a>
,A>
E=b>
とするとき,次のベクトルを a>
,b>
を用いて表せ。 (各12点×3)
⑴ A>
G
⑵ A>
N
⑶ B>
F
1
2
3
1 ベクトルとその演算氏
名
得
点 100
A D
B
M N
C
b
a
b
a
b
a
b
a
A E F D
B
M N
G H C
b
a
高校ゼミ数学B 確認テスト
右の図のベクトル a>
,b>
を成分で表し,それぞれの大きさを求めよ。 (各 6点×4)
a>
成分表示 大きさ b
>
成分表示 大きさ
a>
=(1,-2),b>
=(-3,1) のとき,次の問いに答えよ。 (各 8 点×6)
⑴ 次のベクトルを成分を用いて表せ。また,その大きさを求めよ。 ① a
>
+b>
成分表示 大きさ ② 2a
>
-b>
成分表示 大きさ ⑵ p
>
=(9,-8) を s a>
+t b>
の形に表せ。
⑶ a>
と q>
=(≈,6) が平行になるように,定数 ≈ の値を定めよ。
3 点 O(0,0),A(4,2),B(3,-1) について,次のベクトルの成分と大きさを求めよ。 (各 7点×4)
⑴ O>
A
成分表示 大きさ ⑵ A
>
B
成分表示 大きさ
1
2
3
2 ベクトルの成分氏
名
得
点 100
O
¥
≈
b
a
高校ゼミ数学B 確認テスト
|a>
|=5,|b>
|=6 とし,a>
と b>
のなす角を iとする。次のそれぞれの場合について,内積 a>
・b>
を求めよ。 (各 8点×3)
⑴ i=60° ⑵ i=150° ⑶ i=90°
次の 2 つのベクトル a>
,b>
について,内積 a>
・b>
,なす角 i を求めよ。 (各 8点×6)
⑴ a>
=(2,3),b>
=(-1,5)
内積 なす角 ⑵ a
>
=(1, 3 ),b>
=( 3,1)
内積 なす角 ⑶ a
>
=( 2,-1),b>
=( 2,2)
内積 なす角
次の問いに答えよ。 (各 7点×4)
⑴ 次の内積を計算し,その結果を a>
・b>
,|a>
|,|b>
| を用いて表せ。 ① a
>
・( a>
+2b>
)
② ( a>
-b>
)・( a>
+3b>
)
③ (3a>
+b>
)・(3a>
-b>
)
⑵ |a>
|=1,|b>
|=4,a>
・b>
=-3 のとき,|2a>
-b>
| の値を求めよ。
1
2
3
3 ベクトルの内積氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
3 点 P( p>
),Q( q>
),R( r>
) に対して,次のベクトルを p>
,q>
,r>
のいずれかを用いて表せ。 (各12点×3)
⑴ P>
Q ⑵ R>
P ⑶ Q>
R
2 点 A( a>
),B( b>
) について,次の点の位置ベクトルを a>
,b>
を用いて表せ。 (各12点×4)
⑴ 線分 AB を 4:3 に内分する点 ⑵ 線分 AB を 4:3 に外分する点
⑶ 線分 AB を 2:7 に内分する点 ⑷ 線分 AB を 2:7 に外分する点
3 点 A( a>
),B( b>
),C( c>
) を頂点とする△ABC において,重心を G( ©>
),辺 AB,BC,CA を 2:1 に外分する点をそれぞれ P( p
>
),Q( q>
),R( r>
) とする。△PQR の重心を G'( ©>
' ) とするとき,G と G' は一致することを証明せよ。 (16点)
1
2
3
4 位置ベクトル氏
名
得
点 100
R
P
BC Q
A
①
②
高校ゼミ数学B 確認テスト
次の直線の方程式を,媒介変数 t を用いて表せ。また,t を消去して得られる ≈ と ¥ の方程式を求めよ。 (各14点×4) ⑴ 点 A(-1,2) を通り,方向ベクトルが d
>
=(1,3) である直線
媒介変数表示 方程式 ⑵ 2 点 A(2,4),B(-1,7) を通る直線
媒介変数表示 方程式
次の問いに答えよ。 (各14点×2)
⑴ 点 A(-2,3)を通り,法線ベクトルが n>
=(-1,4) である直線の方程式を求めよ。
⑵ 2 直線 ≈+ 3 ¥-3=0, 3 ≈-3¥+6=0 のなす鋭角を求めよ。
2 点 A(2,5),B(-4,3) を直径の両端とする円の方程式を,ベクトルを利用して求めよ。 (16点)
1
2
3
5 ベクトル方程式氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
3 点 P,Q,R の位置ベクトルが,それぞれ a>
-2b>
,2a>
+b>
,3a>
+4b>
であるとき,3 点 P,Q,R は一直線上にあることを証明せよ。 (25点)
△ABC において,辺 AB の中点を D,辺 AC を 1:3 に内分する点を E,BE と CD の交点を F とする。A>
B=a>
,A
>
C=b>
とするとき,A>
F を a>
,b>
を用いて表せ。 (25点)
次の三角形の面積を求めよ。 (各25点×2)
⑴ 3 点 O(0,0),A(2,1),B(-1,3) を頂点とする△OAB
⑵ 3 点 A(1,4),B(-2,1),C(3,-2) を頂点とする△ABC
1
2
3
6 図形への応用氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
2 点 A(5,6,-1),B(-4,3,5) について,次のものを求めよ。 (各 8点×6)
⑴ z≈ 平面に関して,点 A と対称な点の座標 ⑵ ¥ 軸に関して,点 B と対称な点の座標
⑶ 2 点 A,B 間の距離 ⑷ 点 A を通り,≈¥ 平面に平行な平面の方程式
⑸ 線分 AB を 2:1 に内分する点の座標 ⑹ 線分 AB を 2:1 に外分する点の座標
右の図の直方体において,A>
B=a>
,A>
D=b>
,A>
E=c>
とするとき,次のベクトルを a>
,b>
,c>
を用いて表せ。 (各 8点×3)
⑴ H>
C
⑵ F>
H
⑶ D>
F
a>
=(1,2,-1),b>
=(2,3,0),c>
=(-1,1,1) のとき,次の問いに答えよ。 (各 7点×4)
⑴ a>
を基本ベクトル e>
1,e>
2,e>
3 を用いて表せ。
⑵ a>
+b>
-c>
を成分を用いて表せ。また,その大きさを求めよ。 成分表示 大きさ ⑶ p
>
=(-3,4,1) を la>
+mb>
+nc>
の形に表せ。
1
2
3
7 空間座標とベクトル氏
名
得
点 100
D
A
E
C
F
B
H G
b
a
c
高校ゼミ数学B 確認テスト
右の図の 1 辺の長さが 2 の立方体において,次の内積を求めよ。 (各10点×4)
⑴ A>
B・E>
H ⑵ A>
D・D>
E
⑶ A>
C・A>
F ⑷ D>
F・D>
G
次の 2 つのベクトル a>
,b>
について,内積 a>
・b>
,なす角 i を求めよ。 (各10点×4)
⑴ a>
=(1,2,3),b>
=(3,-1,2)
内積 なす角 ⑵ a
>
=(1,-2,2),b>
=(3,4,-5)
内積 なす角
a>
=(2,-1,≈),b>
=(3,≈,4) のとき,次の 2 つのベクトルが垂直となるように ≈ の値を定めよ。 (各10点×2)
⑴ a>
,b>
⑵ a>
,a>
-2b>
1
2
3
8 ベクトルの内積氏
名
得
点 100
D
A
E
C
F
B
HG
高校ゼミ数学B 確認テスト
4 点 A( a>
),B( b>
),C( c>
),D( d>
) を頂点とする四面体 ABCD において,辺 AB を 1:2 に内分する点を P( p>
),△BCD の重心を G( ©
>
)とする。このとき,次の点の位置ベクトルを求めよ。 (各10点×4)
⑴ 点 P( p>
) ⑵ 線分 CP を 3:2 に外分する点 Q( q>
)
⑶ 点 G( ©>
) ⑷ 線分 AG を 3:1 に内分する点 R( r>
)
4 点 A(1,2,4),B(3,1,5),C(0,4,1),D(≈,3,1)が同一平面上にあるとき,実数 ≈ の値を求めよ。 (10点)
次の問いに答えよ。 (各10点×5)
⑴ 中心が点(2,-4,5)で,半径が 6 である球面の方程式を求めよ。
⑵ 点 A(3,4,1)を通り,d>
=(1,3,-2) に平行な直線の方程式を,媒介変数 t を用いて表せ。また,t を消去して得られる直線の方程式を求めよ。
媒介変数表示 方程式 ⑶ 点 A(-1,4,2)を通り,n
>
=(2,3,-2) に垂直な平面の方程式を求めよ。また,この平面と ≈ 軸との交点の座標を求めよ。
平面 交点
1
2
3
9 位置ベクトルと空間図形氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
次のような等差数列について,初めの 5 項,一般項,第10項をそれぞれ求めよ。 (各 6点×6)
⑴ 初項 5,公差 2
初めの 5 項 一般項 第10項 ⑵ 初項 8,公差 -3
初めの 5 項 一般項 第10項
次の問いに答えよ。 (各 6点×4)
⑴ 第 3 項が 7,第 8 項が 32 である等差数列 {an} の初項と公差を求めよ。また,一般項 an を求めよ。
初項 公差 一般項 ⑵ 数列 9,≈,-≈,…… が等差数列であるとき,≈ の値を求めよ。
次の和を求めよ。 (各10点×4)
⑴ 初項 4,末項 31,項数 10 の等差数列の和
⑵ 初項 3,公差 7 の等差数列の初項から第 n 項までの和
⑶ 1+2+3+……+30
⑷ 1+3+5+……+39
1
2
3
10 等差数列氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
次のような等比数列について,初めの 5 項と一般項をそれぞれ求めよ。 (各10点×4)
⑴ 初項 5,公比 2
初めの 5 項 一般項
⑵ 初項 6,公比 -13
初めの 5 項 一般項
次の問いに答えよ。 (各 6 点×4)
⑴ 第 3 項が 18,第 6 項が 486 である等比数列 {an} の初項と公比を求めよ。また,一般項 an を求めよ。
初項 公比 一般項
⑵ 数列 5,≈,809,…… が等比数列であるとき,≈ の値を求めよ。
次の和を求めよ。 (各12点×3)
⑴ 初項 3,公比 -2,項数 6 の等比数列の和
⑵ 初項 7,公比 1,項数 8 の等比数列の和
⑶ 等比数列 1, 14, 1
42, 143,…… の初項から第 n 項までの和
1
2
3
11 等比数列氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
次の和を求めよ。 (各12点×6)
⑴ 12+22+32+……+152 ⑵ 13+23+33+……+103
⑶ 20
¸k=1
5 ⑷ n
¸k=1
3k
⑸ n
¸k=1
(2k-3) ⑹ n
¸k=1
k(3k-4)
階差数列を利用して,次の数列の一般項 an を求めよ。 (14点)
2, 3, 10, 23, 42, 67, ……
初項から第 n 項までの和 Sn が,Sn=n2-4n で表される数列 {an} の一般項を求めよ。 (14点)
1
2
3
12 いろいろな数列氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
次の条件によって定まる数列 {an} の第 2 項から第 5 項を求めよ。 (各12点×2)
⑴ a1=2,an+1=4an-5 ⑵ a1=1,an+1=3an+n
次の条件によって定まる数列 {an} の一般項を求めよ。 (各12点×4)
⑴ a1=3,an+1=an+4 ⑵ a1=2,an+1=3an
⑶ a1=2,an+1=an+4n-1 ⑷ a1=1,an+1=an+(-2)n
次の条件によって定まる数列 {an} の一般項を求めよ。 (各14点×2)
⑴ a1=2,an+1=4an-3
⑵ a1=0,a2=1,an+2-8an+1+15an=0
1
2
3
13 漸化式氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
n が自然数のとき,次の等式(A)が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明する。
11・2
+1
2・3+
13・4
+……+1
n(n+1)=
nn+1
…(A)
下の下線部を補い,(続き)を書いて証明を完成せよ。 (各15点×4)
〔証明〕 [1] n=1 のとき,
よって,n=1 のとき(A)は成り立つ。 [2] n=k のとき,(A)が成り立つ,すなわち,
…① が成り立つと仮定する。
①の両辺に を加えると
(続き)
これは,(A)において n=k+1 のときであるから,n=k+1 のときも(A)は成り立つ。 [1],[2]より,すべての自然数 n について,(A)は成り立つ。
n が 2 以上の自然数のとき,次の不等式(A)が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明する。 3n>4n …(A)
下の下線部を補い,(続き)を書いて証明を完成せよ。 (各10点×4)
〔証明〕 [1] n=2 のとき, よって,n=2 のとき(A)は成り立つ。 [2] n≥2 として,n=k のとき,(A)が成り立つ,すなわち, …① が成り立つと仮定する。 ①の両辺に をかけると (続き)
これは,(A)において n=k+1 のときであるから,n=k+1 のときも(A)は成り立つ。 [1],[2]より,2 以上の自然数 n について,(A)は成り立つ。
1
2
14 数学的帰納法氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
次の変数 X の確率分布を求めよ。 (各 8 点×2)
⑴ 6 枚のカード 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 の中から 1 枚を抜き出し,そのカードの数字を X とする。
⑵ 2 枚の100円硬貨を同時に投げるとき,表の出た硬貨の金額の和を X とする。
確率変数 X が次の確率分布に従うとき,X の期待値,分散,標準偏差をそれぞれ求めよ。 (各 7 点×6)
⑴
期待値 分散 標準偏差 ⑵
期待値 分散 標準偏差
5 枚のカード 1 , 1 , 2 , 2 , 3 の中から同時に 2 枚を抜き出し,それらのカードの数字の和を X とする。次の問いに答えよ。 (各 7 点×6)
⑴ X の確率分布を求めよ。
⑵ 確率変数 X の期待値,分散を求めよ。
期待値 分散 ⑶ Y=5X-3 とする。確率変数 Y の期待値,分散,標準偏差を求めよ。
期待値 分散 標準偏差
1
2
X 0 2 4 計
P110
310
610
1
X 0 1 2 3 4 計
P115
215
315
415
515
1
3
15 確率変数の期待値と分散氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
確率変数 X,Y の確率分布が次の表で与えられているとき,X+Y,4 X+3Y の期待値をそれぞれ求めよ。 (各11点×2)
X+Y の期待値 4 X+3Y の期待値
次の問いに答えよ。 (各12点×2)
⑴ 1 個のさいころを 2 回投げるとき,出た目の数の積の期待値を求めよ。
⑵ 3 つの確率変数 X,Y,Z が互いに独立で,確率分布がいずれも次の表で与えられるとき,XYZ の期待値を求めよ。
袋の中に 1,2,3,4 を 1 つずつ書いた 4 個の同じ大きさの玉が入っている。この袋の中から 1 個の玉を取り出し,その数字を調べてからもとの袋に戻す試行を行う。次の問いに答えよ。 (各 9 点×6)
⑴ この試行を 1 回行うとき,取り出した玉の数字の期待値,分散を求めよ。
期待値 分散 ⑵ この試行を 2 回続けて行うとき,1 回目,2 回目に取り出した玉の数字をそれぞれ X,Y とする。 ① X+Y の分散,標準偏差を求めよ。
分散 標準偏差 ② 4 X-2Y の分散,標準偏差を求めよ。
分散 標準偏差
1
X 1 2 計
P25
35
1
Y 1 2 計
P45
15
1
2
変数 1 2 計
確率 23
13
1
3
16 確率変数の和と積氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
次の問いに答えよ。 (各 8 点×4)
⑴ 1 枚の硬貨を 5 回投げて,表の出る回数を X とする。 ① X はどのような二項分布に従うか。B(n,p)の形に表せ。
② 確率 P(X=2) を求めよ。
⑵ 1 個のさいころを 4 回投げて,1 または 6 の目が出る回数を X とする。 ① X はどのような二項分布に従うか。B(n,p)の形に表せ。
② 確率 P(X≥3) を求めよ。
確率変数 X が次の二項分布に従うとき,X の期待値,分散,標準偏差を求めよ。 (各 6 点×6)
⑴ B ⎛⎝8, 29⎞⎠
期待値 分散 標準偏差
⑵ B ⎛⎝20, 38⎞⎠
期待値 分散 標準偏差
次の問いに答えよ。 (各 8 点×4)
⑴ 2 枚の硬貨を同時に投げ,硬貨の表,裏を記録する。この試行を60回くり返すとき,2 枚とも表が出る回数をX とする。X の期待値,標準偏差を求めよ。
期待値 標準偏差 ⑵ 赤玉 3 個と白玉 2 個が入っている袋から同時に 2 個の玉を取り出し,色を調べてから袋にもどす。この試行を
50回くり返すとき,取り出した 2 個の玉が同じ色である回数を X とする。X の期待値,標準偏差を求めよ。
期待値 標準偏差
1
2
3
17 二項分布氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
※ 1~ 3 では,正規分布表を用いてもよい。 確率変数 Z が標準正規分布 N(0,1)に従うとき,次の確率を求めよ。 (各10点×6)
⑴ P(0≤Z≤1.35) ⑵ P(-0.92≤Z≤0)
⑶ P(Z≥1.5) ⑷ P(Z≤0.7)
⑸ P(-1.6≤Z≤0.8) ⑹ P(0.45≤Z≤2)
次の問いに答えよ。 (各10点×3)
⑴ 確率変数 X が正規分布 N(10,42)に従うとき,確率 P(8≤ X≤13) を求めよ。
⑵ 確率変数 X が正規分布 N(60,102)に従うとき,確率 P( X≥72) を求めよ。
⑶ 17歳男子の身長が,平均 170 cm,標準偏差 5 cm の正規分布に従うものとする。17歳男子の中で,身長が168 cm 以上 173 cm 以下の人は約何%いるか。
赤玉 1 個と白玉 3 個が入った袋から 1 個の玉を取り出し,色を調べてから袋に戻す。この試行を1200回くり返すとき,赤玉が取り出される回数が285回以下である確率を求めよ。 (10点)
1
2
3
18 正規分布氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
※母平均を m で表す。 0 と書かれたカードが 5 枚,1 と書かれたカードが 4 枚,2 と書かれたカードが 3 枚,3 と書かれたカードが 2
枚,4 と書かれたカードが 1 枚ある。この15枚のカードを母集団,カードの数字を変量とするとき,母集団分布,母平均,母標準偏差を求めよ。 (各 8 点×3)
母集団分布 母平均 母標準偏差
次の問いに答えよ。 (各10点×6)
⑴ 3 枚のカード 1 , 3 , 5 を母集団,カードの数字を変量とする。 ① 母集団分布,母平均を求めよ。
母集団分布 母平均 ② この母集団から大きさ 2 の無作為標本を復元抽出するとき,標本平均 X の確率分布,期待値を求めよ。
確率分布 期待値 ⑵ 母平均 60,母標準偏差 8 の十分大きい母集団から,大きさ 25 の無作為標本を抽出するとき,その標本平均 X
の期待値と標準偏差を求めよ。
期待値 標準偏差
母平均 170,母標準偏差 20 の母集団から,大きさ 100 の無作為標本を抽出する。次の問いに答えよ。 (各 8 点×2) ⑴ 標本平均 X は,近似的にどのような正規分布に従うとみなせるか。
⑵ 標本平均 X が 175 より大きい値をとる確率を求めよ。ただし,正規分布表を用いてもよい。
1
2
3
19 母集団と標本氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
次の問いに答えよ。 (各25点×2)
⑴ ある県の男子高校生の中から900人を無作為に選んで調べたところ,握力の平均が 43.2 kg であった。 母標準偏差を 7.5 kg として,この県の男子高校生の平均握力 m に対する信頼度95%の信頼区間を求めよ。
⑵ 大量に生産されたある製品から,100個を無作為に抽出して長さを測ったところ,平均値は 273.6 mm,標準偏差は 6.1 mm であった。この製品の長さの平均値 m を信頼度95%で推定せよ。
ある検定試験の得点の母標準偏差は15点であるという。その母平均 m を信頼度95%で推定するとき,信頼区間の幅を2.8点以下にするには,標本の大きさ n を少なくともいくらにすればよいか。 (25点)
ある都市で,有権者から無作為に抽出した600人について A 政党の支持者を調べたら240人いた。この都市における A 政党の支持率 p を,信頼度95%で推定せよ。 (25点)
1
2
3
20 推定氏
名
得
点 100
Y-①-1
高校ゼミ数学B 確認テスト
右の図の平行四辺形 ABCD において,点 M,N はそれぞれ辺 AB,CD の中点である。次のようなベクトルをすべて求めよ。 (各12点×2)
⑴ A>
M と等しいベクトル
M>
B,D>
N,N>
C
⑵ M>
N の逆ベクトル
N>
M,D>
A,C>
B
a>
,b>
が次の⑴,⑵のように表されているとき,a>
+b>
,a>
-b>
をそれぞれ図示せよ。 (各10点×4)
⑴ a>
+b>
a>
-b>
⑵ a>
+b>
a>
-b>
長方形 ABCD の辺 AB,CD の中点をそれぞれ M,N とし,右の図のように,辺 AD を 3 等分する点を E,F,辺 BCを 3 等分する点を G,H とする。A
>
M=a>
,A>
E=b>
とするとき,次のベクトルを a>
,b>
を用いて表せ。 (各12点×3)
⑴ A>
G=A>
B+B>
G
=2a>
+b>
2a>
+b>
⑵ A>
N=A>
D+D>
N
=3b>
+a>
=a
>
+3b>
a>
+3b>
⑶ B>
F=A>
F-A>
B
=2b>
-2a>
=-2a
>
+2b>
-2a>
+2b>
1
2
3
1 ベクトルとその演算氏
名
得
点 100
A D
B
M N
C
b
a
a+b
b
a
a-b
b
a
a+b
b
a
a-b
A E F D
B
M N
G H C
b
a
高校ゼミ数学B 確認テスト
右の図のベクトル a>
,b>
を成分で表し,それぞれの大きさを求めよ。 (各 6点×4)
a>
=(3,-2) |a>
|= 32+(-2)2 = 13
b>
=(-4,3) |b>
|= (-4)2+32 = 25 =5
a>
成分表示 (3,-2) 大きさ 13
b>
成分表示 (-4,3) 大きさ 5
a>
=(1,-2),b>
=(-3,1) のとき,次の問いに答えよ。 (各 8 点×6)
⑴ 次のベクトルを成分を用いて表せ。また,その大きさを求めよ。 ① a
>
+b>
a>
+b>
=(1,-2)+(-3,1)=(1-3,-2+1)
=(-2,-1)
|a>
+b>
|= (-2)2+(-1)2 = 5 成分表示 (-2,-1) 大きさ 5
② 2a>
-b>
2a>
-b>
=2(1,-2)-(-3,1)=(2,-4)-(-3,1)
=(2-(-3),-4-1)=(5,-5)
|2a>
-b>
|= 52+(-5)2 = 50 =5 2 成分表示 (5,-5) 大きさ 5 2
⑵ p>
=(9,-8) を s a>
+t b>
の形に表せ。 p
>
=s a>
+t b>
とおくと, (9,-8)=s(1,-2)+t(-3,1)=(s-3t,-2s+t)
よって,s-3t=9
-2s+t=-8 これを解いて,s=3,t=-2 ゆえに,p
>
=3a>
-2b>
p
>
=3a>
-2b>
⑶ a>
と q>
=(≈,6) が平行になるように,定数 ≈ の値を定めよ。 a
>
™q>
より,(≈,6)=k(1,-2) となる実数 k が存在する。
(≈,6)=(k,-2k) より,≈=k,6=-2k
k=-3 より,≈=-3
≈=-3
3 点 O(0,0),A(4,2),B(3,-1) について,次のベクトルの成分と大きさを求めよ。 (各 7点×4)
⑴ O>
A
O>
A=(4,2)
|O>
A|= 42+22 = 20 =2 5
成分表示 (4,2) 大きさ 2 5
⑵ A>
B
A>
B=(3-4,-1-2)=(-1,-3)
|A>
B|= (-1)2+(-3)2 = 10
成分表示 (-1,-3) 大きさ 10
1
2
3
2 ベクトルの成分氏
名
得
点 100
O
¥
≈
b
a
高校ゼミ数学B 確認テスト
|a>
|=5,|b>
|=6 とし,a>
と b>
のなす角を iとする。次のそれぞれの場合について,内積 a>
・b>
を求めよ。 (各 8点×3)
⑴ i=60° ⑵ i=150° ⑶ i=90°
a
>
・b>
=5*6*cos 60°
=30*12
=15
a
>
・b>
=5*6*cos 150°
=30*⎛⎝-32⎞⎠=-15 3
a
>
・b>
=5*6*cos 90°
=30*0
=0 15 -15 3 0
次の 2 つのベクトル a>
,b>
について,内積 a>
・b>
,なす角 i を求めよ。 (各 8点×6)
⑴ a>
=(2,3),b>
=(-1,5)
a
>
・b>
=2*(-1)+3*5=13 また,|a>
|= 22+32 = 13 |b>
|= (-1)2+52 = 26
よって,cos i=a
>
・b>
|a>
||b>
|=
1313 26
=12 0°≤i≤180° より,i=45°
内積 13 なす角 i=45°
⑵ a>
=(1, 3 ),b>
=( 3,1)
a
>
・b>
=1* 3 + 3 *1=2 3 また,|a>
|= 12+( 3 )2 =2 |b>
|= ( 3 )2+12 =2
よって,cos i=2 32*2
=32 0°≤i≤180° より,i=30°
内積 2 3 なす角 i=30°
⑶ a>
=( 2,-1),b>
=( 2,2)
a
>
・b>
= 2 * 2 +(-1)*2=0
よって,cos i=0
0°≤i≤180° より,i=90° 内積 0 なす角 i=90°
次の問いに答えよ。 (各 7点×4)
⑴ 次の内積を計算し,その結果を a>
・b>
,|a>
|,|b>
| を用いて表せ。 ① a
>
・( a>
+2b>
)
=a>
・a>
+a>
・2b>
=|a>
|2+2a>
・b>
|a>
|2+2a>
・b>
② ( a>
-b>
)・( a>
+3b>
)
=a>
・a>
+a>
・3b>
-b>
・a>
-b>
・3b>
=|a>
|2+3a>
・b>
-a>
・b>
-3|b>
|2=|a>
|2+2a>
・b>
-3|b>
|2 |a>
|2+2a>
・b>
-3|b>
|2
③ (3a>
+b>
)・(3a>
-b>
)
=3a>
・3a>
-3a>
・b>
+b>
・3a>
-b>
・b>
=9|a>
|2-3a>
・b>
+3a>
・b>
-|b>
|2=9|a>
|2-|b>
|2 9|a>
|2-|b>
|2
⑵ |a>
|=1,|b>
|=4,a>
・b>
=-3 のとき,|2a>
-b>
| の値を求めよ。 |2a
>
-b>
|2=(2a>
-b>
)・(2a>
-b>
)
=2a>
・2a>
-2a>
・b>
-b>
・2a>
+b>
・b>
=4|a>
|2-4a>
・b>
+|b>
|2=4*12-4*(-3)+42=32
|2a>
-b>
|≥0 であるから,|2a>
-b>
|=4 2 4 2
1
2
3
3 ベクトルの内積氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
3 点 P( p>
),Q( q>
),R( r>
) に対して,次のベクトルを p>
,q>
,r>
のいずれかを用いて表せ。 (各12点×3)
⑴ P>
Q ⑵ R>
P ⑶ Q>
R
=O
>
Q-O>
P
=q>
-p>
=O>
P-O>
R
=p>
-r>
=O>
R-O>
Q
=r>
-q>
q>
-p>
p>
-r>
r>
-q>
2 点 A( a>
),B( b>
) について,次の点の位置ベクトルを a>
,b>
を用いて表せ。 (各12点×4)
⑴ 線分 AB を 4:3 に内分する点 ⑵ 線分 AB を 4:3 に外分する点
3a
>
+4b>
4+3=
3a>
+4b>
7=
37
a>
+47
b>
-3a
>
+4b>
4-3=-3a
>
+4b>
37
a>
+47
b>
-3a>
+4b>
⑶ 線分 AB を 2:7 に内分する点 ⑷ 線分 AB を 2:7 に外分する点
7a
>
+2b>
2+7=
7a>
+2b>
9=
79
a>
+29
b>
-7a
>
+2b>
2-7=
7a>
-2b>
5=
75
a>
-25
b>
79
a>
+29
b>
75
a>
-25
b>
3 点 A( a>
),B( b>
),C( c>
) を頂点とする△ABC において,重心を G( ©>
),辺 AB,BC,CA を 2:1 に外分する点をそれぞれ P( p
>
),Q( q>
),R( r>
) とする。△PQR の重心を G'( ©>
' ) とするとき,G と G' は一致することを証明せよ。 (16点)
△ABC の重心 G の位置ベクトルは, ©>
=a
>
+b>
+c>
3 …①
△PQR の重心 G' の位置ベクトルは,©>
'=p
>
+q>
+r>
3 …②
ここで,p>
=-a
>
+2b>
2-1=-a
>
+2b>
同様に,q>
=-b>
+2c>
,r>
=-c>
+2a>
より, p
>
+q>
+r>
=(-a>
+2b>
)+(-b>
+2c>
)+(-c>
+2a>
)
=a>
+b>
+c>
これを②に代入して, ©>
'=a
>
+b>
+c>
3 …③
①,③より,©>
=©>
'
よって,G と G' は一致する。
1
2
3
4 位置ベクトル氏
名
得
点 100
R
P
BC Q
A
①
②
高校ゼミ数学B 確認テスト
次の直線の方程式を,媒介変数 t を用いて表せ。また,t を消去して得られる ≈ と ¥ の方程式を求めよ。 (各14点×4) ⑴ 点 A(-1,2) を通り,方向ベクトルが d
>
=(1,3) である直線
直線上の任意の点を P(≈,¥)とし,P( p
>
),A( a>
)とすると,p>
=a>
+t d>
より, (≈,¥)=(-1,2)+t(1,3)=(-1+t,2+3t)
よって, ≈=-1+t …①
¥=2+3t …②
①*3-② より,3≈-¥=-5 3≈-¥+5=0
媒介変数表示≈=-1+t
¥=2+3t 方程式 3≈-¥+5=0
⑵ 2 点 A(2,4),B(-1,7) を通る直線
直線上の任意の点をP(≈,¥)とし,P( p
>
),A( a>
),B( b>
) とすると,p>
=(1-t)a>
+t b>
より, (≈,¥)=(1-t)(2,4)+t(-1,7)=(2-2t-t,4-4t+7t)=(2-3t,4+3t)
よって, ≈=2-3t …①
¥=4+3t …②
①+② より,≈+¥=6 ≈+¥-6=0
媒介変数表示≈=2-3t
¥=4+3t 方程式 ≈+¥-6=0
次の問いに答えよ。 (各14点×2)
⑴ 点 A(-2,3)を通り,法線ベクトルが n>
=(-1,4) である直線の方程式を求めよ。
直線上の任意の点を P(≈,¥) とし,P( p
>
),A( a>
) とすると,n>
⊥A>
P より,n>
・( p>
-a>
)=0
p>
-a>
=(≈,¥)-(-2,3)=(≈+2,¥-3) だから, n
>
・( p>
-a>
)=(-1)*(≈+2)+4*(¥-3)=-≈+4¥-14=0
よって,≈-4¥+14=0 ≈-4¥+14=0
⑵ 2 直線 ≈+ 3 ¥-3=0, 3 ≈-3¥+6=0 のなす鋭角を求めよ。
直線 ≈+ 3 ¥-3=0 の法線ベクトルは,a>
=(1, 3 )
直線 3 ≈-3¥+6=0 の法線ベクトルは,b>
=( 3,-3)
ここで,|a>
|= 1+( 3 )2 =2 |b>
|= ( 3 )2+(-3)2 =2 3 a>
・b>
=1* 3 + 3 *(-3)=-2 3
法線ベクトル a>
と b>
のなす角を i とすると
cos i=a
>
・b>
|a>
||b>
|=
-2 32*2 3
=-12 0°≤i≤180° であるから,i=120°
2 直線のなす鋭角は,180°-120°=60° 60°
2 点 A(2,5),B(-4,3) を直径の両端とする円の方程式を,ベクトルを利用して求めよ。 (16点)
円周上の任意の点を P(≈,¥)とし,P( p>
),A( a>
),B( b>
)とすると, p
>
-a>
=(≈,¥)-(2,5)=(≈-2,¥-5)
p>
-b>
=(≈,¥)-(-4,3)=(≈+4,¥-3)
( p>
-a>
)・( p>
-b>
)=0 だから,(≈-2)(≈+4)+(¥-5)(¥-3)=0
よって,≈2+2≈-8+¥2-8¥+15=0
(≈+1)2+(¥-4)2=8-15+1+16
(≈+1)2+(¥-4)2=10 (≈+1)2+(¥-4)2=10
1
2
3
5 ベクトル方程式氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
3 点 P,Q,R の位置ベクトルが,それぞれ a>
-2b>
,2a>
+b>
,3a>
+4b>
であるとき,3 点 P,Q,R は一直線上にあることを証明せよ。 (25点)
O>
P=a>
-2b>
,O>
Q=2a>
+b>
,O>
R=3a>
+4b>
より, P
>
R=O>
R-O>
P=(3a>
+4b>
)-( a>
-2b>
)=2a>
+6b>
=2( a>
+3b>
)
P>
Q=O>
Q-O>
P=(2a>
+b>
)-( a>
-2b>
)=a>
+3b>
よって,P>
R=2P>
Q が成り立つ。
したがって,3 点 P,Q,R は一直線上にある。
△ABC において,辺 AB の中点を D,辺 AC を 1:3 に内分する点を E,BE と CD の交点を F とする。A>
B=a>
,A
>
C=b>
とするとき,A>
F を a>
,b>
を用いて表せ。 (25点)
3 点 B,F,E は一直線上にあるので,BF:FE=s:(1-s) とおくと,
A>
F=(1-s)A>
B+sA>
E=(1-s)a>
+s⎛⎝14
b>⎞⎠=(1-s)a
>
+14
s b>
…①
3 点 C,F,D は一直線上にあるので,CF:FD=t:(1-t) とおくと,
A>
F=(1-t)A>
C+t A>
D=(1-t)b>
+t⎛⎝12
a>⎞⎠=
12
t a>
+(1-t)b>
…②
①,②より,1-s=12
t, 14
s=1-t a>
—0>
,b>
—0>
,a>
™b>
これらを解いて,s=47,t=
67 よって,A
>
F=37
a>
+17
b>
A
>
F=37
a>
+17
b>
次の三角形の面積を求めよ。 (各25点×2)
⑴ 3 点 O(0,0),A(2,1),B(-1,3) を頂点とする△OAB
|O>
A|= 22+12 = 5 |O>
B|= (-1)2+32 = 10
O>
A・O>
B=2*(-1)+1*3=1 より,
cos i=1
5 10=
210 sin i= 1-⎛⎝
210
⎞⎠
2
=7 210
よって,S=12
|O>
A||O>
B|sin i=12
* 5 * 10 * 7 210
=72
別解 ⑵の の公式を使うと,S=
12
|2・3-1・(-1)|=72
72
⑵ 3 点 A(1,4),B(-2,1),C(3,-2) を頂点とする△ABC
A>
B=O>
B-O>
A=(-2,1)-(1,4)=(-3,-3)
A>
C=O>
C-O>
A=(3,-2)-(1,4)=(2,-6)
よって,S=12
|(-3)*(-6)-(-3)*2|=12
A>
B=(a1,a2),A>
C=(b1,b2) のとき,
△ABC=12
|a1b2-a2b1|
12
1
2
3
6 図形への応用氏
名
得
点 100
A
B C
E
D
F1-t
①
③1-s
s t
高校ゼミ数学B 確認テスト
2 点 A(5,6,-1),B(-4,3,5) について,次のものを求めよ。 (各 8点×6)
⑴ z≈ 平面に関して,点 A と対称な点の座標 ⑵ ¥ 軸に関して,点 B と対称な点の座標 ¥ 座標の符号が逆になる。 ≈,z 座標の符号が逆になる。
(5,-6,-1) (4,3,-5)
⑶ 2 点 A,B 間の距離 ⑷ 点 A を通り,≈¥ 平面に平行な平面の方程式
AB= (-4-5)2+(3-6)2+{5-(-1)}2
= 126
=3 14
点(a,b,c)を通り,≈¥ 平面に平行な平面の方程式は,z=c
3 14 z=-1
⑸ 線分 AB を 2:1 に内分する点の座標 ⑹ 線分 AB を 2:1 に外分する点の座標
⎛⎝
1・5+2・(-4)2+1
,1・6+2・32+1
,1・(-1)+2・52+1
⎞⎠
より,(-1,4,3)
⎛⎝-1・5+2・(-4)
2-1,-1・6+2・3
2-1,-1・(-1)+2・5
2-1⎞⎠
より,(-13,0,11)
(-1,4,3) (-13,0,11)
右の図の直方体において,A>
B=a>
,A>
D=b>
,A>
E=c>
とするとき,次のベクトルを a>
,b>
,c>
を用いて表せ。 (各 8点×3)
⑴ H>
C=E>
B=A>
B-A>
E
=a>
-c>
a>
-c>
⑵ F>
H=B>
D=A>
D-A>
B
=b>
-a>
=-a>
+b>
-a>
+b>
⑶ D>
F=H>
F-H>
D=-F>
H+D>
H
=-(-a>
+b>
)+c>
=a>
-b>
+c>
a>
-b>
+c>
a>
=(1,2,-1),b>
=(2,3,0),c>
=(-1,1,1) のとき,次の問いに答えよ。 (各 7点×4)
⑴ a>
を基本ベクトル e>
1,e>
2,e>
3 を用いて表せ。 e
>
1=(1,0,0),e>
2=(0,1,0),e>
3=(0,0,1)
a>
=(1,0,0)+2(0,1,0)-(0,0,1)=e>
1+2e>
2-e>
3 a>
=e>
1+2e>
2-e>
3
⑵ a>
+b>
-c>
を成分を用いて表せ。また,その大きさを求めよ。 a
>
+b>
-c>
=(1,2,-1)+(2,3,0)-(-1,1,1)=(4,4,-2)
|a>
+b>
-c>
|= 42+42+(-2)2 = 36 =6 成分表示 (4,4,-2) 大きさ 6
⑶ p>
=(-3,4,1) を la>
+mb>
+nc>
の形に表せ。
p
>
=la>
+mb>
+nc>
とおくと,(-3,4,1)=l(1,2,-1)+m(2,3,0)+n(-1,1,1)
よって, l+2m-n=-3,2l+3m+n=4,-l+n=1
これを解いて,l=2,m=-1,n=3 ゆえに,p>
=2a>
-b>
+3c>
p>
=2a>
-b>
+3c>
1
2
3
7 空間座標とベクトル氏
名
得
点 100
D
A
E
C
F
B
H G
b
a
c
高校ゼミ数学B 確認テスト
右の図の 1 辺の長さが 2 の立方体において,次の内積を求めよ。 (各10点×4)
⑴ A>
B・E>
H ⑵ A>
D・D>
E
E>
H=A>
D より,i=90°
cos 90°=0 より,A>
B・E>
H=0
^ADE=45° より,i=135°
A>
D・D>
E=2*2 2 *cos 135°
=2*2 2 *⎛⎝-12⎞⎠=-4
0 -4
⑶ A>
C・A>
F ⑷ D>
F・D>
G
△ACF は正三角形であり,i=60°
A>
C・A>
F=2 2 *2 2 *cos 60°
=2 2 *2 2 * 12
=4
|D>
F|= 22+22+22 =2 3,|D>
G|=2 2
^DGF=90°
△DFG は直角三角形であり,D
>
F・D>
G=|D>
F||D>
G|cos i
=2 3 *2 2 *2 22 3
=8 4 8
次の 2 つのベクトル a>
,b>
について,内積 a>
・b>
,なす角 i を求めよ。 (各10点×4)
⑴ a>
=(1,2,3),b>
=(3,-1,2)
a
>
・b>
=1*3+2*(-1)+3*2=7 また,|a>
|= 12+22+32 = 14 |b>
|= 32+(-1)2+22 = 14
cos i=a
>
・b>
|a>
||b>
|=
714 14
=12 0°≤i≤180° より,i=60°
内積 7 なす角 i=60°
⑵ a>
=(1,-2,2),b>
=(3,4,-5)
a
>
・b>
=1*3+(-2)*4+2*(-5)=-15 また,|a>
|= 12+(-2)2+22 =3 |b>
|= 32+42+(-5)2 =5 2
cos i=-15
3×5 2=-
12 0°≤i≤180° より,i=135°
内積 -15 なす角 i=135°
a>
=(2,-1,≈),b>
=(3,≈,4) のとき,次の 2 つのベクトルが垂直となるように ≈ の値を定めよ。 (各10点×2)
⑴ a>
,b>
a
>
⊥b>
a>
・b>
=0
a>
・b>
=2*3+(-1)*≈+≈*4=3≈+6 より,3≈+6=0 ≈=-2
≈=-2
⑵ a>
,a>
-2b>
a
>
⊥( a>
-2b>
) a>
・( a>
-2b>
)=0
a>
-2b>
=(2,-1,≈)-2(3,≈,4)=(-4,-1-2≈,≈-8)
a>
・( a>
-2b>
)=2*(-4)+(-1)*(-1-2≈)+≈*(≈-8)=≈2-6≈-7
≈2-6≈-7=0 より,≈=-1,7 ≈=-1,7
1
2
3
8 ベクトルの内積氏
名
得
点 100
D
A
E
C
F
B
HG
⑴~⑷のそれぞれの 2 つのベクトルのなす角を i とする。1
D
A
E
C
F
B
HG
22
32
i
高校ゼミ数学B 確認テスト
4 点 A( a>
),B( b>
),C( c>
),D( d>
) を頂点とする四面体 ABCD において,辺 AB を 1:2 に内分する点を P( p>
),△BCD の重心を G( ©
>
)とする。このとき,次の点の位置ベクトルを求めよ。 (各10点×4)
⑴ 点 P( p>
) ⑵ 線分 CP を 3:2 に外分する点 Q( q>
)
p>
=2a
>
+b>
1+2=
2a>
+b>
3=
23
a>
+13
b>
q
>
=-2c
>
+3⎛⎝2a
>
+b>
3⎞⎠
3-2=2a
>
+b>
-2c>
p
>
=23
a>
+13
b>
q>
=2a>
+b>
-2c>
⑶ 点 G( ©>
) ⑷ 線分 AG を 3:1 に内分する点 R( r>
)
©>
=b
>
+c>
+d>
3=
13
b>
+13
c>
+13
d>
r
>
=a
>
+3⎛⎝b
>
+c>
+d>
3⎞⎠
3+1=
a>
+b>
+c>
+d>
4
=14
a>
+14
b>
+14
c>
+14
d>
©
>
=13
b>
+13
c>
+13
d>
r
>
=14
a>
+14
b>
+14
c>
+14
d>
4 点 A(1,2,4),B(3,1,5),C(0,4,1),D(≈,3,1)が同一平面上にあるとき,実数 ≈ の値を求めよ。 (10点)
A>
D=(≈-1,1,-3),A>
B=(2,-1,1),A>
C=(-1,2,-3)
A>
D=a A>
B+b A>
C となる実数 a,b があるから, (≈-1,1,-3)=a(2,-1,1)+b(-1,2,-3)=(2a-b,-a+2b,a-3b)
よって, 2a-b=≈-1 …① -a+2b=1 …② a-3b=-3 …③
②,③より,a=3,b=2 ①に代入すると,≈=5 ≈=5
次の問いに答えよ。 (各10点×5)
⑴ 中心が点(2,-4,5)で,半径が 6 である球面の方程式を求めよ。
(≈-2)2+{¥-(-4)}2+(z-5)2=62
すなわち,(≈-2)2+(¥+4)2+(z-5)2=36
(≈-2)2+(¥+4)2+(z-5)2=36
⑵ 点 A(3,4,1)を通り,d>
=(1,3,-2) に平行な直線の方程式を,媒介変数 t を用いて表せ。また,t を消去して得られる直線の方程式を求めよ。
(≈,¥,z)=(3,4,1)+t(1,3,-2) p
>
=a>
+td>
=(3+t,4+3t,1-2t)
また,(t=)≈-3=¥-4
3=
z-1-2
媒介変数表示
≈=3+t
¥=4+3t
z=1-2t 方程式 ≈-3=¥-4
3=
z-1-2
⑶ 点 A(-1,4,2)を通り,n>
=(2,3,-2) に垂直な平面の方程式を求めよ。また,この平面と ≈ 軸との交点の座標を求めよ。
平面上の任意の点を P(≈,¥,z)とすると,A
>
P=(≈+1,¥-4,z-2)
n>
・A>
P=0 より,2(≈+1)+3(¥-4)-2(z-2)=0 すなわち,2≈+3¥-2z=6
これに ¥=0,z=0 を代入すると,≈=3
≈ 軸との交点の座標は,(3,0,0) 平面 2≈+3¥-2z=6 交点 (3,0,0)
1
2
3
⎛⎝©
>
=b
>
+c>
+d>
3⎞⎠
9 位置ベクトルと空間図形氏
名
得
点 100
⎛⎝r
>
=a
>
+b>
+c>
+d>
4⎞⎠
高校ゼミ数学B 確認テスト
次のような等差数列について,初めの 5 項,一般項,第10項をそれぞれ求めよ。 (各 6点×6)
⑴ 初項 5,公差 2
5, 7, 9, 11, 13,…… an=5+(n-1)・2=2n+3 a10=2・10+3=23
+2 +2 +2 +2
初めの 5 項 5,7,9,11,13 一般項 2n+3 第10項 23
⑵ 初項 8,公差 -3
8, 5, 2, -1, -4,…… an=8+(n-1)・(-3)=-3n+11 a10=-3・10+11=-19
-3 -3 -3 -3
初めの 5 項 8,5,2,-1,-4 一般項 -3n+11 第10項 -19
次の問いに答えよ。 (各 6点×4)
⑴ 第 3 項が 7,第 8 項が 32 である等差数列 {an} の初項と公差を求めよ。また,一般項 an を求めよ。 初項を a,公差を d とすると,an=a+(n-1)d
a3=7 より,a+2d=7 …① a8=32 より,a+7d=32 …②①,②を解くと,a=-3,d=5
また,an=-3+(n-1)・5
=5n-8
初項 -3 公差 5 一般項 an=5n-8
⑵ 数列 9,≈,-≈,…… が等差数列であるとき,≈ の値を求めよ。
2≈=9+(-≈) 数列 a,b,c が等差数列 2b=a+c
これを解いて,≈=3
≈=3
次の和を求めよ。 (各10点×4)
⑴ 初項 4,末項 31,項数 10 の等差数列の和
S10=12
・10(4+31)=175 Sn=12
n(a+l)
175
⑵ 初項 3,公差 7 の等差数列の初項から第 n 項までの和
Sn=12
n{2・3+(n-1)・7}=12
n(7n-1) Sn=12
n{2a+(n-1)d}
12
n(7n-1)
⑶ 1+2+3+……+30
自然数の和。 12
・30(30+1)=465 1+2+3+……+n=12
n(n+1)
465
⑷ 1+3+5+……+39
奇数の和。39=2・20-1 より,1+3+5+……+39=202=400 1+3+5+……+(2n-1)=n2
400
1
2
3
10 等差数列氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
次のような等比数列について,初めの 5 項と一般項をそれぞれ求めよ。 (各10点×4)
⑴ 初項 5,公比 2
5, 10, 20, 40, 80,……
*2 *2 *2 *2
初めの 5 項 5,10,20,40,80 一般項 5・2n-1
⑵ 初項 6,公比 -13
6, -2, 23, -
29, 2
27,……
*⎛⎝-13⎞⎠*⎛⎝-
13⎞⎠*⎛⎝-
13⎞⎠*⎛⎝-
13⎞⎠
初めの 5 項 6,-2, 23,-
29, 2
27 一般項 6・⎛⎝-13⎞⎠
n-1
次の問いに答えよ。 (各 6 点×4)
⑴ 第 3 項が 18,第 6 項が 486 である等比数列 {an} の初項と公比を求めよ。また,一般項 an を求めよ。
初項を a,公比を r とすると,an=ar n-1
a3=18 より, ar 2=18 …①
a6=486 より, ar 5=486 …②
②÷① より, r 3=27 r は実数であるから,r=3
これと①より,a=2
初項 2 公比 3 一般項 an=2・3n-1
⑵ 数列 5,≈,809,…… が等比数列であるとき,≈ の値を求めよ。
≈2=5・ 809
=4009
より,≈=±203 数列 a,b,c が等比数列 b2=ac
≈=±20
3
次の和を求めよ。 (各12点×3)
⑴ 初項 3,公比 -2,項数 6 の等比数列の和
S6=3{(-2)6-1}
-2-1=-63 r—1 のとき,Sn=
a(1-rn)1-r
=a(rn-1)
r-1
-63
⑵ 初項 7,公比 1,項数 8 の等比数列の和 S8=8・7=56 r=1 のとき,Sn=na
56
⑶ 等比数列 1, 14, 1
42, 143,…… の初項から第 n 項までの和
Sn=
1 1-⎛⎝14⎞⎠
n
1-14
=43
⎛⎝1-14n⎞⎠
43
⎛⎝1-14n⎞⎠
1
2
3
11 等比数列氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
次の和を求めよ。 (各12点×6)
⑴ 12+22+32+……+152 ⑵ 13+23+33+……+103
=
16
・15(15+1)(2・15+1) 16
n(n+1)(2n+1)
=1240
=12
・10(10+1)2
12
n(n+1)2
=552
=3025 1240 3025
⑶ 20
¸k=1
5 5+5+5+……+5
20個
⑷ n
¸k=1
3k
100 32
(3n-1)
⑸ n
¸k=1
(2k-3) ⑹ n
¸k=1
k(3k-4)=3 n
¸k=1
k2-4 n
¸k=1
k
n(n-2) 12
n(n+1)(2n-3)
階差数列を利用して,次の数列の一般項 an を求めよ。 (14点)
2, 3, 10, 23, 42, 67, ……
an=3n2-8n+7
初項から第 n 項までの和 Sn が,Sn=n2-4n で表される数列 {an} の一般項を求めよ。 (14点)
n≥2 のとき,an=Sn-Sn-1=n2-4n-{(n-1)2-4(n-1)}
=2n-5 …①
n=1 のとき,a1=S1=12-4・1=-3
①で n=1 とすると,a1=2・1-5=-3 となり,①は n=1 のときも成り立つ。
よって,求める一般項は,an=2n-5
an=2n-5
1
=20・5 n
¸k=1
c=nc
=100=
n
¸k=1
3・3k-1 初項 3,公比 3 の等比数列の和
=3(3n-1)
3-1
=32
(3n-1)
=2 n
¸k=1
k-n
¸k=1
3
=2・ 12
n(n+1)-3n
=n2-2n
=n(n-2)
=3・ 16
n(n+1)(2n+1)-4・ 12
n(n+1)
=12
n(n+1){(2n+1)-4}
=12
n(n+1)(2n-3)
2
階差数列を {bn} とすると,{bn}:1, 7, 13, 19, 25,……初項 1,公差 6 の等差数列であるから,bn=1+(n-1)・6=6n-5
n≥2 のとき,an=2+n-1
¸k=1
(6k-5)=2+6・ 12
(n-1)n-5(n-1)
=3n2-8n+7 …①
①で n=1 とすると,a1=3・12-8・1+7=2 となり,①は n=1 のときも成り立つ。
よって,求める一般項は,an=3n2-8n+7
3
12 いろいろな数列氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
次の条件によって定まる数列 {an} の第 2 項から第 5 項を求めよ。 (各12点×2)
⑴ a1=2,an+1=4an-5 ⑵ a1=1,an+1=3an+n
a2=4a1-5=4・2-5=3
a3=4a2-5=4・3-5=7
a4=4a3-5=4・7-5=23
a5=4a4-5=4・23-5=87
a2=3a1+1=3・1+1=4
a3=3a2+2=3・4+2=14
a4=3a3+3=3・14+3=45
a5=3a4+4=3・45+4=139
3,7,23,87 4,14,45,139
次の条件によって定まる数列 {an} の一般項を求めよ。 (各12点×4)
⑴ a1=3,an+1=an+4 ⑵ a1=2,an+1=3an
{an} は初項 3,公差 4 の等差数列であるから
an=3+(n-1)・4=4n-1 {an} は初項 2,公比 3 の等比数列であるから
an=2・3n-1
an=4n-1 an=2・3n-1
⑶ a1=2,an+1=an+4n-1 ⑷ a1=1,an+1=an+(-2)n
an=2n2-3n+3 an=
1-(-2)n
3
次の条件によって定まる数列 {an} の一般項を求めよ。 (各14点×2)
⑴ a1=2,an+1=4an-3
an+1=4an-3 より, an+1-1=4(an-1) a=4a-3 を解くと a=1
bn=an-1 とおくと,bn+1=4bn
{bn} は公比 4 の等比数列で,初項は b1=a1-1=2-1=1 であるから,一般項は, bn=1・4n-1=4n-1
bn=an-1 より, an=bn+1=4n-1+1
an=4n-1+1
⑵ a1=0,a2=1,an+2-8an+1+15an=0
an+2-8an+1+15an=0 は,次の 2 通りに変形できる。 ≈2-8≈+15=0 の解は,≈=3,5
an+2-3an+1=5(an+1-3an) …① an+2-5an+1=3(an+1-5an) …②
①より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a1=1,公比 5 の等比数列であるから,an+1-3an=5n-1 …③
②より,数列 {an+1-5an} は初項 a2-5a1=1,公比 3 の等比数列であるから,an+1-5an=3n-1 …④
③-④ より,2an=5n-1-3n-1 an=5n-1-3n-1
2
an=5n-1-3n-1
2
1
2
an+1-an=4n-1 より,{an} の階差数列の第 n 項
が 4n-1 であるから,n≥2 のとき
an=2+n-1
¸k=1
(4k-1)
=2+4・12
(n-1)n-(n-1)=2n2-3n+3
初項は 2 なので,この式は
n=1 のときも成り立つ。
an+1-an=(-2)n より,{an} の階差数列の第 n 項が
(-2)n であるから,n≥2 のとき
an=1+n-1
¸k=1
(-2)k=1+-2{1-(-2)n-1}
1-(-2)
=1-(-2)n
3
初項は 1 なので,この式は
n=1 のときも成り立つ。
3
13 漸化式氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
n が自然数のとき,次の等式(A)が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明する。
11・2
+1
2・3+
13・4
+……+1
n(n+1)=
nn+1
…(A)
下の下線部を補い,(続き)を書いて証明を完成せよ。 (各15点×4)
〔証明〕 [1] n=1 のとき,
(左辺)=1
1・2=
12 (右辺)=
11+1
=12 よって,n=1 のとき(A)は成り立つ。
[2] n=k のとき,(A)が成り立つ,すなわち,
1
1・2+
12・3
+1
3・4+……+
1k(k+1)
=k
k+1 …① が成り立つと仮定する。
①の両辺に 1(k+1){(k+1)+1}
を加えると
(続き)
11・2
+1
2・3+
13・4
+……+1
k(k+1)+
1(k+1){(k+1)+1}
=k
k+1+
1(k+1){(k+1)+1}
=k(k+2)+1
(k+1)(k+2)=
k2+2k+1(k+1)(k+2)
=(k+1)2
(k+1)(k+2)=
k+1k+2
=k+1
(k+1)+1
これは,(A)において n=k+1 のときであるから,n=k+1 のときも(A)は成り立つ。 [1],[2]より,すべての自然数 n について,(A)は成り立つ。
n が 2 以上の自然数のとき,次の不等式(A)が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明する。 3n>4n …(A)
下の下線部を補い,(続き)を書いて証明を完成せよ。 (各10点×4)
〔証明〕 [1] n=2 のとき, (左辺)=32=9 (右辺)=4・2=8 よって,n=2 のとき(A)は成り立つ。 [2] n≥2 として,n=k のとき,(A)が成り立つ,すなわち, 3k>4k …① が成り立つと仮定する。 ①の両辺に 3 をかけると (続き)
3k+1>4k・3 …②
ここで,4k・3=12k=4(k+1)+8k-4
k≥2 のとき,8k-4>0 であるから,4k・3>4(k+1) …③
②,③より,3k+1>4(k+1)
これは,(A)において n=k+1 のときであるから,n=k+1 のときも(A)は成り立つ。 [1],[2]より,2 以上の自然数 n について,(A)は成り立つ。
1
2
14 数学的帰納法氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
次の変数 X の確率分布を求めよ。 (各 8 点×2)
⑴ 6 枚のカード 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 の中から 1 枚を抜き出し,そのカードの数字を X とする。
⑵ 2 枚の100円硬貨を同時に投げるとき,表の出た硬貨の金額の和を X とする。
〇〇(200)
*(100)*
〇(100)
*(0)
※以下,X の期待値を E(X),分散を V(X),標準偏差を v(X) で表す。
確率変数 X が次の確率分布に従うとき,X の期待値,分散,標準偏差をそれぞれ求めよ。 (各 7 点×6)
⑴
v(X)=
95
=3 5
5 期待値 3 分散
95 標準偏差
3 55
⑵
v(X)=
149
=143
期待値83 分散
149 標準偏差
143
5 枚のカード 1 , 1 , 2 , 2 , 3 の中から同時に 2 枚を抜き出し,それらのカードの数字の和を X とする。次の問いに答えよ。 (各 7 点×6)
⑴ X の確率分布を求めよ。
P(X=2)= 2C2
5C2=
110
P(X=3)= 2C1・2C1
5C2=
410
P(X=4)= 2C2
5C2+ 2C1・1C1
5C2=
310 P(X=5)= 2C1・1C1
5C2=
210
⑵ 確率変数 X の期待値,分散を求めよ。
E(X)=2・ 110
+3・ 410
+4・ 310
+5・ 210
=185,V(X)=22・
110
+32・ 410
+42・ 310
+52・ 210
-⎛⎝185⎞⎠
2
=695
-32425
=2125
期待値185 分散
2125
⑶ Y=5X-3 とする。確率変数 Y の期待値,分散,標準偏差を求めよ。
E(Y)=E(5X-3)=5E(X)-3=5・185
-3=15 V(Y)=V(5X-3)=52V(X)=25・2125
=21
v(Y)= V(Y)= 21 期待値 15 分散 21 標準偏差 21
1
X 1 2 3 計
P36
26
16
1
X 0 100 200 計
P14
24
14
1
2
X 0 2 4 計
P110
310
610
1
E(X)=0・ 110
+2・ 310
+4・ 610
=3010
=3 別解 V(X)=02・
110
+22・ 310
+42・ 610
-32
V(X)=(0-3)2・ 110
+(2-3)2・ 310
+(4-3)2・ 610
=1810
=95
X 0 1 2 3 4 計
P115
215
315
415
515
1
E(X)=0・ 115
+1・ 215
+2・ 315
+3・ 415
+4・ 515
=4015
=83
V(X)=02・ 115
+12・ 215
+22・ 315
+32・ 415
+42・ 515
-⎛⎝83⎞⎠
2
=13015
-649
=149
3
X 2 3 4 5 計
P110
410
310
210
1
=95
15 確率変数の期待値と分散氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
確率変数 X,Y の確率分布が次の表で与えられているとき,X+Y,4 X+3Y の期待値をそれぞれ求めよ。 (各11点×2)
X+Y の期待値145 4 X+3Y の期待値 10
次の問いに答えよ。 (各12点×2)
⑴ 1 個のさいころを 2 回投げるとき,出た目の数の積の期待値を求めよ。
494
⑵ 3 つの確率変数 X,Y,Z が互いに独立で,確率分布がいずれも次の表で与えられるとき,XYZ の期待値を求めよ。
6427
袋の中に 1,2,3,4 を 1 つずつ書いた 4 個の同じ大きさの玉が入っている。この袋の中から 1 個の玉を取り出し,その数字を調べてからもとの袋に戻す試行を行う。次の問いに答えよ。 (各 9 点×6)
⑴ この試行を 1 回行うとき,取り出した玉の数字の期待値,分散を求めよ。
期待値52 分散
54
⑵ この試行を 2 回続けて行うとき,1 回目,2 回目に取り出した玉の数字をそれぞれ X,Y とする。 ① X+Y の分散,標準偏差を求めよ。
分散52 標準偏差
102
② 4 X-2Y の分散,標準偏差を求めよ。
分散 25 標準偏差 5
1
X 1 2 計
P25
35
1
Y 1 2 計
P45
15
1
E(X)=1・ 25
+2・ 35
=85,E(Y)=1・
45
+2・ 15
=65
E(X+Y)=85
+65
=145
E(4X+3Y)=4E(X)+3E(Y)=4・ 85
+3・ 65
=505
=10
2
1 回目,2 回目に出る目の数をそれぞれ X,Y とすると,X と Y は独立な確率変数で,
E(X)=E(Y)=1・ 16
+2・ 16
+3・ 16
+4・ 16
+5・ 16
+6・ 16
=216
=72
よって,E(XY)=E(X)E(Y)=72
・ 72
=494
変数 1 2 計
確率 23
13
1
E(X)=E(Y)=E(Z)=1・ 23
+2・ 13
=43
よって,E(XYZ)=E(X)E(Y)E(Z)=43
・ 43
・ 43
=6427
3
期待値は,1・ 14
+2・ 14
+3・ 14
+4・ 14
=52
分散は,12・ 14
+22・ 14
+32・ 14
+42・ 14
-⎛⎝52⎞⎠
2
=54
XとYは互いに独立な確率変数であるから,V(X+Y)=V(X)+V(Y)=54
+54
=52
v(X+Y)=52
=102
V(4X-2Y)=42V(X)+(-2)2V(Y)=16・ 54
+4・ 54
=25
v(4X-2Y)= 25 =5
16 確率変数の和と積氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
次の問いに答えよ。 (各 8 点×4)
⑴ 1 枚の硬貨を 5 回投げて,表の出る回数を X とする。 ① X はどのような二項分布に従うか。B(n,p)の形に表せ。
B ⎛⎝5, 12⎞⎠
② 確率 P(X=2) を求めよ。
516
⑵ 1 個のさいころを 4 回投げて,1 または 6 の目が出る回数を X とする。 ① X はどのような二項分布に従うか。B(n,p)の形に表せ。
B ⎛⎝4, 13⎞⎠
② 確率 P(X≥3) を求めよ。
19
確率変数 X が次の二項分布に従うとき,X の期待値,分散,標準偏差を求めよ。 (各 6 点×6)
⑴ B ⎛⎝8, 29⎞⎠
期待値169 分散
11281 標準偏差
4 79
⑵ B ⎛⎝20, 38⎞⎠
期待値152 分散
7516 標準偏差
5 34
次の問いに答えよ。 (各 8 点×4)
⑴ 2 枚の硬貨を同時に投げ,硬貨の表,裏を記録する。この試行を60回くり返すとき,2 枚とも表が出る回数をX とする。X の期待値,標準偏差を求めよ。
期待値 15 標準偏差3 5
2
⑵ 赤玉 3 個と白玉 2 個が入っている袋から同時に 2 個の玉を取り出し,色を調べてから袋にもどす。この試行を50回くり返すとき,取り出した 2 個の玉が同じ色である回数を X とする。X の期待値,標準偏差を求めよ。
期待値 20 標準偏差 2 3
1
n=5 1 回投げて表の出る確率は,p=12
P(X=2)=5C2 ⎛⎝
12⎞⎠
2⎛⎝
12⎞⎠
3
=1032
=516
n=4 1 回投げて 1 または 6 の目が出る確率は,p=26
=13
P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)
=4C3⎛⎝
13⎞⎠
3
・ 23
+4C4⎛⎝
13⎞⎠
4
=19
2
E(X)=8・ 29
=169 V(X)=8・
29
・ 79
=11281 v(X)= 8・
29
・ 79
=4 7
9
E(X)=20・ 38
=152 V(X)=20・
38
・ 58
=7516 v(X)= 20・
38
・ 58
=5 3
4
3
X は二項分布 B ⎛⎝60, 14⎞⎠ に従う。E(X)=60・
14
=15 v(X)= 60・ 14
・ 34
=3 5
2
Xは二項分布 B ⎛⎝50, 25⎞⎠ に従う。E(X)=50・
25
=20 v(X)= 50・ 25
・ 35
=2 3
17 二項分布氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
※ 1~ 3 では,正規分布表を用いてもよい。 確率変数 Z が標準正規分布 N(0,1)に従うとき,次の確率を求めよ。 (各10点×6)
⑴ P(0≤Z≤1.35) ⑵ P(-0.92≤Z≤0)
0.4115 0.3212
⑶ P(Z≥1.5) ⑷ P(Z≤0.7)
0.0668 0.7580
⑸ P(-1.6≤Z≤0.8) ⑹ P(0.45≤Z≤2)
0.7333 0.3036
次の問いに答えよ。 (各10点×3)
⑴ 確率変数 X が正規分布 N(10,42)に従うとき,確率 P(8≤ X≤13) を求めよ。
0.4649
⑵ 確率変数 X が正規分布 N(60,102)に従うとき,確率 P( X≥72) を求めよ。
0.1151
⑶ 17歳男子の身長が,平均 170 cm,標準偏差 5 cm の正規分布に従うものとする。17歳男子の中で,身長が168 cm 以上 173 cm 以下の人は約何%いるか。
約38%
赤玉 1 個と白玉 3 個が入った袋から 1 個の玉を取り出し,色を調べてから袋に戻す。この試行を1200回くり返すとき,赤玉が取り出される回数が285回以下である確率を求めよ。 (10点)
0.1587
1
=p(1.35)
=0.4115
=p(0.92)
=0.3212
=0.5-p(1.5)
=0.5-0.4332
=0.0668
=0.5+p(0.7)
=0.5+0.2580
=0.7580
=P(-1.6≤Z≤0)+P(0≤Z≤0.8)
=p(1.6)+p(0.8)
=0.4452+0.2881
=0.7333
=P(0≤Z≤2)-P(0≤Z≤0.45)
=p(2)-p(0.45)
=0.4772-0.1736
=0.3036
2
Z=X-10
4 とおくと,Z は標準正規分布 N(0,1)に従う。
X=8 のとき Z=-0.5,X=13 のとき Z=0.75 であるから,P(8≤X≤13)=P(-0.5≤Z≤0.75)=p(0.5)+p(0.75)=0.1915+0.2734=0.4649
Z=X-60
10 とおくと,Z は N(0,1)に従う。
X=72 のとき Z=1.2 であるから,P(X≥72)=P(Z≥1.2)=0.5-p(1.2)=0.5-0.3849=0.1151
X が N(170,52)に従うとき,Z=X-170
5 は N(0,1)に従う。
X=168 のとき Z=-0.4,X=173 のとき Z=0.6 であるから,P(168≤X≤173)=P(-0.4≤Z≤0.6)=p(0.4)+p(0.6)
=0.1554+0.2257=0.3811 約38%
3
確率変数 X が二項分布 B⎛⎝1200, 14⎞⎠ に従うとき,m=1200・
14
=300,v 2=1200・ 14
・ 34
=225=152 より,
X は近似的に正規分布 N(300,152)に従い,Z=X-300
15 とおくと,Z は標準正規分布 N(0,1)に従う。
P(X≤285)=P(Z≤-1)=P(Z≥1)=0.5-p(1)=0.5-0.3413=0.1587
18 正規分布氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
※母平均を m で表す。 0 と書かれたカードが 5 枚,1 と書かれたカードが 4 枚,2 と書かれたカードが 3 枚,3 と書かれたカードが 2
枚,4 と書かれたカードが 1 枚ある。この15枚のカードを母集団,カードの数字を変量とするとき,母集団分布,母平均,母標準偏差を求めよ。 (各 8 点×3)
母集団分布
変量 0 1 2 3 4 計
確率 515
415
315
215
115
1 母平均
43 母標準偏差
143
次の問いに答えよ。 (各10点×6)
⑴ 3 枚のカード 1 , 3 , 5 を母集団,カードの数字を変量とする。 ① 母集団分布,母平均を求めよ。
母集団分布
変量 1 3 5 計
確率 13
13
13
1 母平均 3
② この母集団から大きさ 2 の無作為標本を復元抽出するとき,標本平均 X の確率分布,期待値を求めよ。
確率分布
X 1 2 3 4 5 計
P19
29
39
29
19
1 期待値 3
⑵ 母平均 60,母標準偏差 8 の十分大きい母集団から,大きさ 25 の無作為標本を抽出するとき,その標本平均 X
の期待値と標準偏差を求めよ。
期待値 60 標準偏差85
母平均 170,母標準偏差 20 の母集団から,大きさ 100 の無作為標本を抽出する。次の問いに答えよ。 (各 8 点×2) ⑴ 標本平均 X は,近似的にどのような正規分布に従うとみなせるか。
N(170,4)
⑵ 標本平均 X が 175 より大きい値をとる確率を求めよ。ただし,正規分布表を用いてもよい。
0.0062
1
m=0・ 515
+1・ 415
+2・ 315
+3・ 215
+4・ 115
=2015
=43
v 2=02・ 515
+12・ 415
+22・ 315
+32・ 215
+42・ 115
-⎛⎝43⎞⎠
2
=103
-169
=149 v>0 より,v=
149
=143
2
m=1・ 13
+3・ 13
+5・ 13
=3
X1
X2 1 3 5
1 1 2 3
3 2 3 4
5 3 4 5
1 回目を X1,2 回目を X2 とすると,X =X1+X2
2 の値は左のようになる。
E( X )=1・19
+2・29
+3・39
+4・29
+5・19
=3
E( X )=m=60
v( X )=v
n=
825
=85
3
N ⎛⎝170, 202
100⎞⎠ すなわち,N(170,4)
Z=X -170
2 とおくと,Z は近似的に標準正規分布 N(0,1)に従う。
X =175 のとき,Z=2.5 であるから,P(X >175)=P(Z>2.5)=0.5-p(2.5)=0.5-0.4938=0.0062
19 母集団と標本氏
名
得
点 100
高校ゼミ数学B 確認テスト
次の問いに答えよ。 (各25点×2)
⑴ ある県の男子高校生の中から900人を無作為に選んで調べたところ,握力の平均が 43.2 kg であった。 母標準偏差を 7.5 kg として,この県の男子高校生の平均握力 m に対する信頼度95%の信頼区間を求めよ。
[42.7,43.7] 単位は kg
⑵ 大量に生産されたある製品から,100個を無作為に抽出して長さを測ったところ,平均値は 273.6 mm,標準偏差は 6.1 mm であった。この製品の長さの平均値 m を信頼度95%で推定せよ。
[272.4,274.8] 単位は mm
ある検定試験の得点の母標準偏差は15点であるという。その母平均 m を信頼度95%で推定するとき,信頼区間の幅を2.8点以下にするには,標本の大きさ n を少なくともいくらにすればよいか。 (25点)
少なくとも 441 にすればよい
ある都市で,有権者から無作為に抽出した600人について A 政党の支持者を調べたら240人いた。この都市における A 政党の支持率 p を,信頼度95%で推定せよ。 (25点)
[0.36,0.44]
1
標本平均 X =43.2,母標準偏差 v=7.5,標本の大きさ n=900 であるから,
1.96・ v
n=1.96・
7.5900≒0.5
信頼度95%の信頼区間は,[43.2-0.5,43.2+0.5]
すなわち, [42.7,43.7] 単位は kg
標本平均 X =273.6,標本標準偏差 S=6.1,標本の大きさ n=100 であるから,
1.96・ Sn
=1.96・ 6.1100≒1.2
信頼度95%の信頼区間は,[273.6-1.2,273.6+1.2]
すなわち, [272.4,274.8] 単位は mm
2
母平均 m に対する信頼度95%の信頼区間の幅は,
2・1.96・ v
n であるから,2・1.96・
15n
≤2.8
よって, n≥⎛⎝2・1.96・15
2.8⎞⎠
2
=212=441
3
標本比率 R は, R=240600
=0.4
n=600 であるから,1.96・ R(1-R)n
=1.96・ 0.4・0.6600
=1.96・0.02≒0.04
求める信頼区間は, [0.4-0.04,0.4+0.04]
すなわち, [0.36,0.44]
20 推定氏
名
得
点 100
Y-①-1