２０２０年 第１４卷 第１期

　　　金融学季刊QuarterlyJournalofFinance

　Vol1049008１４ No1049008１２０２０

通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

陆　军　黄　嘉　陈　峥lowast

　　【摘　要】　本文考虑一个具有通胀风险与损失厌恶偏好的银行的风险资产配置问题假定

银行将其资产和负债视为一种特定类型的证券投资组合负债相当于其资产组合中的空头在不

同时刻银行的风险偏好由一个S型效用函数来描述银行的风险偏好由风险厌恶区域和风险偏

好区域共同组成本文假定金融市场是完备的采用鞅方法求解得到最优贷款投资与最优存款

投资的解析表达式并对通胀风险损失厌恶偏好对银行风险资产投资策略的影响以及不同效用

下银行的风险资产配置行为特点进行数值模拟分析结果表明在S型效用下通胀风险损失厌

恶偏好对银行最优风险资产投资策略具有重要影响存在损失厌恶偏好的银行会采取一个更加灵

活的风险资产投资策略其贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况相关

【关键词】　银行资产配置　损失厌恶　通胀风险　鞅方法

一引　　言

２００８年金融危机期间经济不确定性较高实体经济波动幅度较大诸多学者

的研究表明经济不确定性给实体经济带来巨大的冲击(Bloom２００９Bekaert等

２０１３Williams２０１２Gnabo和 Moccero２０１５Naraidoo和 Raputsoane２０１５等)

在经济不确定性的冲击下银行无法准确掌握信贷资产的风险收益分布因而会采

取相对保守的经营策略一个直观的表现是银行信贷萎缩Talavera等(２０１２)研究

发现在宏观经济不确定性较高时贷款质量降低银行减少贷款投放尤其是小银

行对宏观经济不确定性的反应更加强烈Baum 等(２０１３)重新检验了 Kashyap和

Stein(２０００)关于货币政策银行信贷渠道的研究检验在存在经济不确定性的情形下

lowast 陆军中山大学岭南(大学)学院教授黄嘉中山大学岭南(大学)学院博士研究生陈峥中山大学管理

学院副研究员通讯作者及联系方式陈峥广东省广州市新港西路 １３５号中山大学管理学院EＧmail

chenzhengmailsysueducn本文得到国家自然科学基金面上项目(７１８７３１５２)中山大学高校基本科研业务

费专项资金(１４０００３１６１０１６３)的资助感谢匿名审稿人的审稿意见文责自负

９９　　　

银行信贷行为的稳健性Valencia(２０１７)认为宏观经济不确定性增加了银行破产

的概率风险中立的银行将启动自我保险机制收缩信贷供给银行的资本充足率

越低宏观经济不确定性对银行信贷供给的抑制作用越显著

对于经济不确定的度量已有研究主要采用两种方法一是构建经济政策不确

定性指数(Baker等２０１６Jurado等２０１５)二是用宏观经济指标预测的截面方差衡

量(Rossi和Sekhposyan２０１５Bloom２０１４)无论是采用哪种方法较高的经济

不确定性程度往往伴随着通胀风险的上升进而影响银行的风险资产投资行为

在经济高度不确定性的情况下通胀风险上升银行投资组合的实际回报率将发生

变化其风险态度随之改变当投资组合处于收益区域时通胀风险对投资组合实

际回报率的影响相对较低银行更加厌恶风险其资产负债管理行为也将变得更加

谨慎相比之下投资组合处于损失区域的银行将采取更积极的投资策略以尽可

能减小通胀风险上升对其投资组合实际回报率的负面效应

为此本文提出一个考虑通胀风险与损失厌恶偏好的有限期限连续时间模

型分析银行的风险资产配置问题在我们的模型中银行是损失厌恶的意味着

它在面临损失或收益时对风险有不同的态度Willman等(２００２)从行为金融的角

度对４家投资银行的采访数据进行分析发现银行更关注的是避免损失而不是赚

钱Alam 和 BoonTang(２０１２)通过考察１４个国家９９家银行数据表明位于目标

风险水平以上的伊斯兰银行倾向于表现出风险厌恶态度同时由于面临通胀风

险银行需要权衡当通胀风险可能进一步扩大投资损失时如何调整风险资产的

配置本文的主要贡献在于第一首次将行为金融中的S型效用函数引入银行的

资产负债管理研究框架通过求解得到银行最优风险资产配置策略的解析解更

好地刻画在经济下行时期银行风险偏好的转变在现有的研究银行资产负债管

理问题的文献中将负债看作是银行的负资产采用均值方差的方法来分析风险

厌恶的银行的最优资产配置行为(Pyle１９７１Hart和Jaffee１９７４Kaplanski和

Levy２０１５)没有考虑银行风险偏好可能发生的变化同时损失偏好的引入也

可以为银行风险承担 U 形特征的ldquo资本约束效应rdquo提供进一步的支持(Calem 等

１９９９Berger等１９９４Haq等２０１２Košak等２０１５)第二我们通过引入通胀

风险分析银行的资产配置行为和风险偏好对货币政策银行风险承担渠道的ldquo央

行沟通效应rdquo的相关研究进行补充(Borio和 Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５汪莉和王先爽２０１５)如果通胀风险确实显著影响银行的风险

资产投资行为那么在经济下行时期中央银行提高货币政策透明度能够降低通

胀波动的不确定性使银行增加发放贷款和吸收存款的激励可能会刺激其风险

承担的行为

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１００　　

论文余下部分的结构安排如下第二部分是基本模型第三部分是模型求解与

结果分析第四部分是数值模拟第五部分是结论

二基 本 模 型

假设存在一个金融市场在市场中交易是连续发生的没有交易成本和税收

在这样一个完备市场中考虑一家代表性银行的资产组合管理假定银行拥有的信

息是对称的银行内部不存在委托代理问题

　　(一)通胀风险

假定经济中存在通货膨胀风险为了刻画通货膨胀风险我们首先定义一个随

机的商品价格指数变动过程P(t)它服从如下几何布朗运动(GeometricBrownian

MotionGBM)

dP(t)

P(t)＝μPdt＋σPdzp(t)P(０)＝P０ ＞０ (１)

其中μP 表示价格水平的期望增长率σP 表示价格水平的波动率σPdzP(t)能够较

好地刻画通货膨胀风险

　　(二)资产组合管理与损失厌恶的银行

根据Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的分析范式银行的资产(负债)市场是

完全竞争的银行将其所有的资产和负债视为一种特定类型的证券投资组合负债

相当于银行资产组合中的空头

在本文的模型中银行在任意t期对贷款和存款两种风险资产以及一种无风险

债券进行资产组合管理假定银行的初始资产为x０令λ(t)＝(λ１(t)λ２(t))prime其

中λ１(t)λ２(t)和１－λ１(t)－λ２(t)分别表示银行投资在贷款存款和无风险债券中

的资产比例

假定贷款回报过程服从如下几何布朗运动

dRL(t)

RL(t)＝μLdt＋σL(ρLdzi(t)＋ １－ρ２LdzP(t))RL(０)＝RL

０ ＞０ (２)

其中μL 表示贷款回报的期望增长率σL 表示银行贷款回报的波动率σL 越大贷款

回报的不确定性越大违约风险越高贷款回报的不确定性源于企业偿债能力不足

和通胀风险ρL 刻画的是贷款回报的风险结构ρL 越大贷款的违约风险主要取决

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０１　　

于企业经营现金流的不确定性反之贷款的违约风险主要取决于通胀风险通胀风

险过高将会降低企业的项目回报增大企业贷款违约的概率

假定存款价格过程服从如下几何布朗运动

dRD(t)

RD(t)＝μDdt＋σPdzP(t)RD(０)＝RD０ ＞０ (３)

其中μD 表示存款价格的期望增长率σP 反映了存款价格与通货膨胀之间存在较强

的正相关通货膨胀率上升存款价格往往提高σPdzP(t)刻画的是通胀风险对存款

价格的影响

无风险债券价格过程服从如下的常微分方程

dB(t)

B(t)＝rdt (４)

其中r表示无风险利率

基于上述银行的资产组合的假设我们可以将波动率矩阵定义为

σ＝σL １－ρ

２L σLρL

σP ０

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide

(５)

风险价格可以表示为

ξ＝σ－１ μL －r

μD －r

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide＝

μD －rσP

σP(μL －r)－σL １－ρ２L (μD －r)

σPσLρL

aelig

egrave

ccedilccedilccedilccedilccedilccedil

ouml

oslash

dividedividedividedividedividedivide

equivξ１

ξ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (６)

因此在此完备的金融市场中存在唯一的定价核即H(t)＝e－rt－１２ξ２t－ξprimez(t)为了方

便起见记z(t)1051675 (zp(t)zi(t))prime表示二维布朗运动

经过计算可得银行的资产Xλ(t)满足

dXλ(t)＝λ１(t)Xλ(t)

RL(t)dRL(t)＋

λ２(t)Xλ(t)

RD(t)dRD(t)　　　　　　　　

＋(１－λ１(t)－λ２(t))Xλ(t)

B(t) dB(t)

＝Xλ(t)(r＋λ１(t)(μL －r)＋λ２(t)(μD －r))dt[

　＋(λ１(t)σL １－ρ２L ＋λ２(t)σP)dzP(t)＋λ１(t)σLρLdzi(t)]

＝Xλ(t)rdt＋λprime(t)σ(ξdt＋dz(t))[ ] (７)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０２　　

根据 Kahneman和 Tversky(１９７９)提出的前景理论投资者经常基于某一目标

参考水平进行决策关注的是实际财富与该目标参考水平之间的差异与收益相比

投资者对损失更加敏感因此我们采用具有损失厌恶特征的S型效用函数来刻画

银行的偏好即

U(Xλ(T))＝－A(θ－Xλ(t))γ１ ifXλ(t)leθ

B(Xλ(t)－θ)γ２ ifXλ(t)＞θ (８)

其中A 和B 是两个正的常数A ＞B 代表着损失厌恶损失厌恶比率AB 越大损

失厌恶的程度越高γ１ 和γ２ 是损失区域和收益区域的曲率系数一般假定０＜γ１ ＜

１和０＜γ２ ＜１此时效用函数是S型效用函数θ是目标利润水平即参考点参考

点θ一般是提前选定的对资产组合管理策略有直接影响θ通常大于零当外部市

场环境较好时银行的资产组合产生的收益将不低于参考点θ反之其资产组合收

益将低于参考点θ

假定银行在时间 [０T]内进行投资其面临的决策问题可以表述为

maxλ

E[U(Xλ(T))]

stλsatisfies(７) (９)

同时银行在时间 [０T]内满足偿付能力约束Xλ(t)ge０

三模型求解与结果分析

在本部分我们将求解损失厌恶银行的最优风险资产配置决策并分析通胀风

险对银行最优风险资产配置决策的影响然后我们考虑两个特例比较损失厌恶

偏好与通胀风险的引入如何改变银行最优风险资产配置决策

　　(一)基本结果

由于银行是损失厌恶的我们采用鞅方法来求解其最优资产组合具体步骤为

首先求解一个静态的终端问题得到银行的最优终端资产然后复制出对应于此

终端资产的最优资产组合策略

为了简化起见记我们需要求解的终端静态问题为

maxλ

E[U(Xλ(T))]

stE[Xλ(T)H(T)]＝x０

Xλ(T)ge０

(１０)

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０３　　

利用Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的鞅方法求解上述终端静态问题我们

可以得到在贷款到期时银行的最优终端资产

命题１损失厌恶的银行的最优终端资产Xλlowast (T)为

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(１１)

其中H－

满足f(H－)＝０函数f 具有如下的形式

f(x)＝１－γ２

γ２

１yxaelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyx＋Aθγ１

和y ＞０是Lagrange乘子满足

E[H(T)Xλlowast (T)]＝x０

证明见本文附录一

命题１表明具有损失厌恶偏好的银行的最优终端资产的表现形式是一个不连

续的分段 函 数银 行 的 最 优 终 端 资 产 取 决 于 外 部 市 场 环 境即 或 者 等 于θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

或者等于０具体而言在较好的外部市场环境中定价核较小风险

资产收益较高银行能够从资产组合中获得足够收益在较恶劣的市场环境中定价

核较大风险资产收益下降银行资产组合的损失可能性增大

在求得贷款合同到期时刻的最优终端资产之后我们进一步推导出银行的最优

资产端和风险资产的最优投资比例

命题２(１)损失厌恶的银行的最优资产为

Xλlowast (t)＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－))＋

Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (１２)

其中

d１(x)＝log

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(１３)

d２(x)＝d１(x)＋ξ T－t

１－γ２

(１４)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０４　　

Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t) (１５)

另外H－

和y ＞０由命题１给定

(２)记Λ(t)＝θe－r(T－t)

ξ T－tφ(d１(H

－))＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)aelig

egraveccedilccedil

φ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

ouml

oslashdividedivide 其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数φ(1048944)表示标准正态分

布的概率密度函数那么银行投资到风险资产的最优比例为

λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t)

Λ(t) (１６)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１ (t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivideΛ(t)

Xλlowast (t)　　　　　　　　　 (１７)

λlowast２ (t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivideΛ(t)

Xλlowast (t)(１８)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ (t)＞０λlowast

２ (t)＜０

证明见本文附录二

命题２表明在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行将在贷款业务中进

行正向投资在存款业务中进行负向投资如果μD ＜r＜μL贷款回报的期望溢价

μL －r大于０存款价格的期望溢价μD －r小于０则银行在贷款的最优投资比例为

λlowast１ (t)＞０在存款的最优投资比例为λlowast

２ (t)＜０

如果μD ＜r＜μL 不成立得到的结论λlowast１ (t)＜０即银行提供两种类型存款

并投资于无风险债券或者λlowast２ (t)＞０相当于银行以无风险利率借入资金同时投

资于包括两种类型贷款显然不符合现实中银行的传统资产负债业务

由命题２我们可以得到以下推论

推论１对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是μL －r的增函

数同时又是μD －r的减函数存款的最优投资比例|λlowast２ (t)|是μL－r的增函数同

时又是μD －r的减函数

推论１表明根据风险资产的预期溢价的变化损失厌恶的银行将相应调整贷款

和存款的最优投资比例这是因为贷款期望收益率μL 增大时贷款回报的预期溢价

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０５　　

上升投资在贷款上的比例增加同时需要吸收更多的存款以满足贷款发放规模的

增加存款期望收益率μD 增大时存款价格的预期溢价上升投资在存款上的比例

减少同时贷款回报的预期风险溢价相对下降投资在贷款上的比例相应减小

推论２对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是σLσP 和ρL 的

减函数存款的最优投资|λlowast２ (t)|是σLσP 和ρL 的减函数

推论２表明经济不确定性越大银行发放贷款和吸收存款的激励越大一般而

言σL 和σP 越大贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的

激励越小但是ρL 越小贷款回报率与通胀风险的相关性越大在通胀风险较高

的情形中相关系数 １－ρ２L 越大损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款和

发放贷款的规模以最大化其利润水平达到参考点θ的概率避免潜在亏损对目标利

润的负面影响

　　(二)结果分析

首先如果不考虑通胀风险的影响我们假定ρL ＝１即贷款回报与通胀风险不

存在相关性贷款回报过程服从如下几何布朗运动

dRL(t)

RL(t)＝μLdt＋σLdzi(t)RL(０)＝RL０ ＞０ (１９)

此时波动率矩阵简化为σ＝０ σL

σP ０

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide 经过一些简单的计算我们可以得到银行

的贷款最优投资比例和最优存款投资比例分别为

λlowast１ρ(t)＝

μL －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２０)

λlowast２ρ(t)＝

μD －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２１)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ ρ

(t)＞０λlowast２ ρ

(t)＜０其中Λ(t)仍是前文所定义

的结果表明贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的激

励越小在外部市场状况不好时由于通胀风险不影响贷款回报在一定程度上降低

其利润水平偏离参考点θ 的概率损失厌恶的银行增加贷款和存款的激励相对较

小这一投资策略显然与我们模型中损失厌恶的银行处于通胀风险下的投资策略

有所不同进一步由式(１７)和式(２０)式(１８)和式(２１)可知当存在通胀风险相关

性时无风险利率r越低银行对风险资产的投资比例越高且在低利率环境下通胀

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０６　　

风险相关性 １－ρ２L 越大银行的风险投资激励越强

最后参考Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的分析范式假定银行在风险厌恶偏

好的前提下进行资产组合管理在我们的模型中当参考点水平θ等于零时效用函数

即退化到了CRRA型即银行是风险厌恶的此时银行的最优风险资产投资比例为

λlowastCRRA(t)＝

σ－１ξ

１－γ２

(２２)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１CRRA(t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２　　　　　　　　　 (２３)

λlowast２CRRA(t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２

(２４)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１CRRA(t)＞０λlowast

２CRRA(t)＜０结果表明具有风险厌恶偏

好的银行的最优风险资产投资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小(γ２ 越小)

贷款和存款的最优投资比例越低这一投资策略明显与损失厌恶的银行的投资策

略具有较大差异性在我们的模型中银行的风险资产投资策略是时变的且具有

随着市场状况变化的特征

四数 值 模 拟

在本部分我们进行数值模拟分析主要考察损失厌恶偏好通胀风险对银行最

优风险资产投资策略的影响并进一步比较在S型效用函数和传统的CRRA 效用下

银行的贷款和存款的投资行为特性

　　(一)基准情形

首先我们使用如下的参数设置作为数值模拟的基准情形在基准情形中代

表性银行初始资产为x０＝１０无风险利率水平为r＝０1049008０５投资期限为T＝２０(年)

贷款回报过程的漂移率和波动率分别为μL＝０1049008０７和σL＝０1049008２０存款价格过程的漂移

率为μD ＝０1049008０３５价格过程的漂移率和波动率分别为μP ＝０1049008０３和σP ＝０1049008１５相关系

数为ρL ＝０1049008５

对于S型效用函数中的参数我们主要依据 Kahneman和 Tversky(１９９２)的估

计假设①A＝２1049008２５B＝１A ＞B体现了投资者具有损失厌恶的特性② 银行对

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０７　　

损失厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008１５对风险厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008２０③ 财富参考

点水平为θ＝６０

根据基准情形的参数设置我们分别对推论１和推论２进行了数值分析为了简

便和不失一般性我们主要关注初始投资时刻t＝０结果表明贷款的最优投资比

例λlowast１ (t)与贷款收益率的期望溢价μL －r之间是正相关的它与存款收益率的期望

溢价μD －r贷款回报波动率σL价格波动率σP 和通胀风险相关性ρL 之间是负相

关类似地关于存款的最优投资比例λlowast２ (t)具有一致的结论具体的数值分析结

果详见本文附录三

　　(二)最优贷款投资路径和最优存款投资路径

在最优投资路径的数值分析中我们采用蒙特卡洛模拟方法分别对贷款和存

款的最优投资比例模拟了１０００次最优路径并计算平均权重最终模拟得到整个投

资期 [０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径然后我们通过在基准情形

的基础上调整相应的参数设置分别考察损失厌恶偏好通胀风险对风险资产最优

投资路径的影响

１1049008 损失厌恶偏好的影响

在考察损失厌恶偏好的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情

形(按初始的参数设置其中参考点和损失厌恶比率分别为θ＝６０AB＝２1049008２５图

１中黑色实线表示)较高损失厌恶程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌

恶比率分别调整为θ＝６０AB＝４1049008５０)较高参考点的情形(保持其他参数不变参

考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝２1049008２５)较高参考点较高损失厌恶

图１　 参考点θ和损失厌恶比率AB 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０８　　

程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝

４1049008５０图中蓝色点线表示)我们的结果充分说明了损失厌恶偏好显著地改变银行

的风险资产配置行为

如图１所示我们发现与S型效用表示的银行损失厌恶偏好一致随着参考点

θ的逐渐增大银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和存款最优投资λlowast

２ (t)增大当θ处于较

高水平时银行是风险偏好的愿意增加其风险资产的投资比例这是因为较高的

参考点水平是难以实现的尤其当θ高于某一阈值时银行将处于损失的区域此时

银行是损失厌恶的为了减小亏损银行愿意承担更大的风险它会随着参考点水

平进一步提高增大贷款的发放和存款的吸收以尽可能地使资产积累达到参考点

水平在保持参考点θ不变的条件下当损失厌恶比率AB 增大时表明银行更加

厌恶损失它会降低贷款和存款的投资比例以避免承担过大的风险随着投资时

刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和存款最优投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻由于银行是损失厌恶的参考点θ越高λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越大但是在参考点θ

一定的条件下银行越厌恶风险损失厌恶比率AB 越大λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)将有所

减小

银行在进行资产配置的过程中存在损失厌恶偏好一个可能的解释是资本约束

效应Calem 等(１９９９)证明了银行资本与风险承担之间呈 U 形关系对于资本水平

低的银行来说银行的风险偏好较低当资本达到某一特定的门槛值后经营杠杆压

力增大充裕的资本缓冲使银行开始倾向于追逐高风险高收益项目以获得更多利

润银行风险承担的激励更大Berger等(１９９４)Haq等(２０１２)的实证研究支持上

述资本约束效应的存在因此在资本较低的情形下银行的规模相对较小小银行

为了避免破产风险它对风险资产投资的投资比例较低此时银行是风险厌恶的在

资本达到一定水平后银行的规模相对较大大银行的资产组合满足甚至超过目标

参考点水平她会愿意接受更多的风险来追求更高的收益而不仅仅是把财富投资

到无风险资产去保证获取较低的收益水平此时银行是风险偏好的

２1049008 通胀风险的影响

在考察通胀风险的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情形(按

初始的参数设置其中价格波动率和通胀风险相关系数分别为σP＝０1049008１５ １－ρ２L ＝

０1049008８７图２中黑色实线表示)较高通胀风险的情形(保持其他参数不变价格波动率

和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008８７)较低通胀风险相关程

度的情形(保持其他参数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０９　　

０1049008１５ １－ρ２L ＝０1049008６０)较高通胀风险较低通胀风险相关程度的情形(保持其他参

数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008６０)

我们的结果充分说明通胀风险对银行的风险资产配置具有重要的作用

图２　价格波动率σP 和通胀风险相关系数ρL 的影响

如图２所示我们发现当价格波动率σP 增大时银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和

存款最优投资λlowast２ (t)随之减小这是因为随着通胀波动率增大贷款回报和存款价格

的不确定性增大从而银行的风险资产投资降低在保持σP 一定的条件下通胀风

险相关系数１－ρL 越大贷款最优投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)越高

说明在通胀不确定性越大的情形中损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款

和发放贷款的规模以实现参考点利润水平或最小化偏离θ的概率进一步比较不

同的通胀风险相关系数１－ρL我们还发现在１－ρL 处于较高水平时通胀风险σP 增

大相同比例贷款最优投资λlowast１ (t)和最优存款投资λlowast

２ (t)的下降幅度更大随着投

资时刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻通胀风险越高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越小在通胀风险一定的条件

下通胀风险与风险资产回报的相关性越高银行为了减小潜在损失也会提高风险

资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

这一研究发现与货币政策银行风险承担渠道的ldquo央行沟通效应rdquo相符ldquo央行沟

通效应rdquo认为中央银行的沟通策略对银行风险承担具有正向影响即央行沟通能够

提高货币政策透明度增强银行对货币政策走向的预测能力那么银行将会预测央

行在经济形势开始恶化时未来会主动大幅度地降低利率从而会显著增加其风险承

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１０　　

担(Borio和Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５)结合图２可

以发现当通胀风险相关系数 １－ρ２L 足够大时中央银行提高货币政策透明度可

以减少通胀波动的不确定性具有损失厌恶偏好的银行的贷款和存款的投资比例显

著增加风险承担能力更强

　　(三)S型效用和CRRA型效用的对比

由式(２０)至式(２１)可知具有CRRA型风险厌恶偏好的银行的最优风险资产投

资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小贷款和存款的最优投资比例越低具有

损失厌恶偏好的银行的最优风险资产投资比例是时变的与外部市场状况相关为

了进一步考察S型效用和CRRA型效用下银行贷款投资和存款投资的差异我们进

行了两种数值模拟①根据基准情形的参数设置关注在初始投资时刻t＝０时定价

核对贷款投资比例和存款投资比例的影响② 采用蒙特卡洛方法模拟得到不同效

用下整个投资期[０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径模拟次数为

１０００次

图３显示了在S型效用和CRRA型效用中定价核对银行的贷款最优投资比例

和存款最优投资比例的差异性影响从图３可以发现在 CRRA 型效用下银行的

贷款和存款投资比例是常数不随市场状况而发生变化在S型效用下损失厌恶

的银行会采取一个更加灵活的贷款和存款投资策略当定价核很低的时候市场状

况比较好风险资产收益较高银行愿意承担更大的风险来追求更高的收益当定

图３　定价核H(t)对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１１　　

价核变大的时候市场状况不断恶化此时银行面临损失的可能性增大银行逐渐减

小贷款和存款的投资比例因此在S型效用下具有损失厌恶偏好的银行能够更

好地进行风险管理

图４显示在S型效用和CRRA型效用下银行的贷款最优投资路径和存款最优

投资路径具有明显的差异性从图４可以发现在 CRRA 型效用下银行的贷款和

存款投资比例在整个投资期内是保持不变的不随时间而发生变化在 S型效用

下银行的贷款最优投资路径和存款最优投资路径具有时变特征随着投资时刻t的增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期T时刻

银行为了最大化利润(处于厌恶风险区域)或者尽可能减小潜在损失(处于偏好风

险区域)银行都会提高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

图４　不同效用函数下的最优贷款投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)

五结　　论

本文利用S型效用函数框架研究了一个包含通胀风险和损失厌恶偏好的银行

的资产组合管理问题首先我们将Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的S型效

用框架拓展到Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的银行资产负债管理分析范式在

PyleＧHartＧJaffee的分析范式中存款相当于负的资产其次我们通过引入通胀风险

刻画宏观风险对银行的风险偏好的重要影响

我们所得到的银行的最优投资策略解析解表明具有损失厌恶偏好的银行的最

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

参 考 文 献

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第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

９９　　　

银行信贷行为的稳健性Valencia(２０１７)认为宏观经济不确定性增加了银行破产

的概率风险中立的银行将启动自我保险机制收缩信贷供给银行的资本充足率

越低宏观经济不确定性对银行信贷供给的抑制作用越显著

对于经济不确定的度量已有研究主要采用两种方法一是构建经济政策不确

定性指数(Baker等２０１６Jurado等２０１５)二是用宏观经济指标预测的截面方差衡

量(Rossi和Sekhposyan２０１５Bloom２０１４)无论是采用哪种方法较高的经济

不确定性程度往往伴随着通胀风险的上升进而影响银行的风险资产投资行为

在经济高度不确定性的情况下通胀风险上升银行投资组合的实际回报率将发生

变化其风险态度随之改变当投资组合处于收益区域时通胀风险对投资组合实

际回报率的影响相对较低银行更加厌恶风险其资产负债管理行为也将变得更加

谨慎相比之下投资组合处于损失区域的银行将采取更积极的投资策略以尽可

能减小通胀风险上升对其投资组合实际回报率的负面效应

为此本文提出一个考虑通胀风险与损失厌恶偏好的有限期限连续时间模

型分析银行的风险资产配置问题在我们的模型中银行是损失厌恶的意味着

它在面临损失或收益时对风险有不同的态度Willman等(２００２)从行为金融的角

度对４家投资银行的采访数据进行分析发现银行更关注的是避免损失而不是赚

钱Alam 和 BoonTang(２０１２)通过考察１４个国家９９家银行数据表明位于目标

风险水平以上的伊斯兰银行倾向于表现出风险厌恶态度同时由于面临通胀风

险银行需要权衡当通胀风险可能进一步扩大投资损失时如何调整风险资产的

配置本文的主要贡献在于第一首次将行为金融中的S型效用函数引入银行的

资产负债管理研究框架通过求解得到银行最优风险资产配置策略的解析解更

好地刻画在经济下行时期银行风险偏好的转变在现有的研究银行资产负债管

理问题的文献中将负债看作是银行的负资产采用均值方差的方法来分析风险

厌恶的银行的最优资产配置行为(Pyle１９７１Hart和Jaffee１９７４Kaplanski和

Levy２０１５)没有考虑银行风险偏好可能发生的变化同时损失偏好的引入也

可以为银行风险承担 U 形特征的ldquo资本约束效应rdquo提供进一步的支持(Calem 等

１９９９Berger等１９９４Haq等２０１２Košak等２０１５)第二我们通过引入通胀

风险分析银行的资产配置行为和风险偏好对货币政策银行风险承担渠道的ldquo央

行沟通效应rdquo的相关研究进行补充(Borio和 Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５汪莉和王先爽２０１５)如果通胀风险确实显著影响银行的风险

资产投资行为那么在经济下行时期中央银行提高货币政策透明度能够降低通

胀波动的不确定性使银行增加发放贷款和吸收存款的激励可能会刺激其风险

承担的行为

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１００　　

论文余下部分的结构安排如下第二部分是基本模型第三部分是模型求解与

结果分析第四部分是数值模拟第五部分是结论

二基 本 模 型

假设存在一个金融市场在市场中交易是连续发生的没有交易成本和税收

在这样一个完备市场中考虑一家代表性银行的资产组合管理假定银行拥有的信

息是对称的银行内部不存在委托代理问题

　　(一)通胀风险

假定经济中存在通货膨胀风险为了刻画通货膨胀风险我们首先定义一个随

机的商品价格指数变动过程P(t)它服从如下几何布朗运动(GeometricBrownian

MotionGBM)

dP(t)

P(t)＝μPdt＋σPdzp(t)P(０)＝P０ ＞０ (１)

其中μP 表示价格水平的期望增长率σP 表示价格水平的波动率σPdzP(t)能够较

好地刻画通货膨胀风险

　　(二)资产组合管理与损失厌恶的银行

根据Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的分析范式银行的资产(负债)市场是

完全竞争的银行将其所有的资产和负债视为一种特定类型的证券投资组合负债

相当于银行资产组合中的空头

在本文的模型中银行在任意t期对贷款和存款两种风险资产以及一种无风险

债券进行资产组合管理假定银行的初始资产为x０令λ(t)＝(λ１(t)λ２(t))prime其

中λ１(t)λ２(t)和１－λ１(t)－λ２(t)分别表示银行投资在贷款存款和无风险债券中

的资产比例

假定贷款回报过程服从如下几何布朗运动

dRL(t)

RL(t)＝μLdt＋σL(ρLdzi(t)＋ １－ρ２LdzP(t))RL(０)＝RL

０ ＞０ (２)

其中μL 表示贷款回报的期望增长率σL 表示银行贷款回报的波动率σL 越大贷款

回报的不确定性越大违约风险越高贷款回报的不确定性源于企业偿债能力不足

和通胀风险ρL 刻画的是贷款回报的风险结构ρL 越大贷款的违约风险主要取决

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０１　　

于企业经营现金流的不确定性反之贷款的违约风险主要取决于通胀风险通胀风

险过高将会降低企业的项目回报增大企业贷款违约的概率

假定存款价格过程服从如下几何布朗运动

dRD(t)

RD(t)＝μDdt＋σPdzP(t)RD(０)＝RD０ ＞０ (３)

其中μD 表示存款价格的期望增长率σP 反映了存款价格与通货膨胀之间存在较强

的正相关通货膨胀率上升存款价格往往提高σPdzP(t)刻画的是通胀风险对存款

价格的影响

无风险债券价格过程服从如下的常微分方程

dB(t)

B(t)＝rdt (４)

其中r表示无风险利率

基于上述银行的资产组合的假设我们可以将波动率矩阵定义为

σ＝σL １－ρ

２L σLρL

σP ０

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide

(５)

风险价格可以表示为

ξ＝σ－１ μL －r

μD －r

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide＝

μD －rσP

σP(μL －r)－σL １－ρ２L (μD －r)

σPσLρL

aelig

egrave

ccedilccedilccedilccedilccedilccedil

ouml

oslash

dividedividedividedividedividedivide

equivξ１

ξ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (６)

因此在此完备的金融市场中存在唯一的定价核即H(t)＝e－rt－１２ξ２t－ξprimez(t)为了方

便起见记z(t)1051675 (zp(t)zi(t))prime表示二维布朗运动

经过计算可得银行的资产Xλ(t)满足

dXλ(t)＝λ１(t)Xλ(t)

RL(t)dRL(t)＋

λ２(t)Xλ(t)

RD(t)dRD(t)　　　　　　　　

＋(１－λ１(t)－λ２(t))Xλ(t)

B(t) dB(t)

＝Xλ(t)(r＋λ１(t)(μL －r)＋λ２(t)(μD －r))dt[

　＋(λ１(t)σL １－ρ２L ＋λ２(t)σP)dzP(t)＋λ１(t)σLρLdzi(t)]

＝Xλ(t)rdt＋λprime(t)σ(ξdt＋dz(t))[ ] (７)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

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根据 Kahneman和 Tversky(１９７９)提出的前景理论投资者经常基于某一目标

参考水平进行决策关注的是实际财富与该目标参考水平之间的差异与收益相比

投资者对损失更加敏感因此我们采用具有损失厌恶特征的S型效用函数来刻画

银行的偏好即

U(Xλ(T))＝－A(θ－Xλ(t))γ１ ifXλ(t)leθ

B(Xλ(t)－θ)γ２ ifXλ(t)＞θ (８)

其中A 和B 是两个正的常数A ＞B 代表着损失厌恶损失厌恶比率AB 越大损

失厌恶的程度越高γ１ 和γ２ 是损失区域和收益区域的曲率系数一般假定０＜γ１ ＜

１和０＜γ２ ＜１此时效用函数是S型效用函数θ是目标利润水平即参考点参考

点θ一般是提前选定的对资产组合管理策略有直接影响θ通常大于零当外部市

场环境较好时银行的资产组合产生的收益将不低于参考点θ反之其资产组合收

益将低于参考点θ

假定银行在时间 [０T]内进行投资其面临的决策问题可以表述为

maxλ

E[U(Xλ(T))]

stλsatisfies(７) (９)

同时银行在时间 [０T]内满足偿付能力约束Xλ(t)ge０

三模型求解与结果分析

在本部分我们将求解损失厌恶银行的最优风险资产配置决策并分析通胀风

险对银行最优风险资产配置决策的影响然后我们考虑两个特例比较损失厌恶

偏好与通胀风险的引入如何改变银行最优风险资产配置决策

　　(一)基本结果

由于银行是损失厌恶的我们采用鞅方法来求解其最优资产组合具体步骤为

首先求解一个静态的终端问题得到银行的最优终端资产然后复制出对应于此

终端资产的最优资产组合策略

为了简化起见记我们需要求解的终端静态问题为

maxλ

E[U(Xλ(T))]

stE[Xλ(T)H(T)]＝x０

Xλ(T)ge０

(１０)

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０３　　

利用Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的鞅方法求解上述终端静态问题我们

可以得到在贷款到期时银行的最优终端资产

命题１损失厌恶的银行的最优终端资产Xλlowast (T)为

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(１１)

其中H－

满足f(H－)＝０函数f 具有如下的形式

f(x)＝１－γ２

γ２

１yxaelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyx＋Aθγ１

和y ＞０是Lagrange乘子满足

E[H(T)Xλlowast (T)]＝x０

证明见本文附录一

命题１表明具有损失厌恶偏好的银行的最优终端资产的表现形式是一个不连

续的分段 函 数银 行 的 最 优 终 端 资 产 取 决 于 外 部 市 场 环 境即 或 者 等 于θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

或者等于０具体而言在较好的外部市场环境中定价核较小风险

资产收益较高银行能够从资产组合中获得足够收益在较恶劣的市场环境中定价

核较大风险资产收益下降银行资产组合的损失可能性增大

在求得贷款合同到期时刻的最优终端资产之后我们进一步推导出银行的最优

资产端和风险资产的最优投资比例

命题２(１)损失厌恶的银行的最优资产为

Xλlowast (t)＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－))＋

Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (１２)

其中

d１(x)＝log

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(１３)

d２(x)＝d１(x)＋ξ T－t

１－γ２

(１４)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

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Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t) (１５)

另外H－

和y ＞０由命题１给定

(２)记Λ(t)＝θe－r(T－t)

ξ T－tφ(d１(H

－))＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)aelig

egraveccedilccedil

φ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

ouml

oslashdividedivide 其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数φ(1048944)表示标准正态分

布的概率密度函数那么银行投资到风险资产的最优比例为

λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t)

Λ(t) (１６)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１ (t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivideΛ(t)

Xλlowast (t)　　　　　　　　　 (１７)

λlowast２ (t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivideΛ(t)

Xλlowast (t)(１８)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ (t)＞０λlowast

２ (t)＜０

证明见本文附录二

命题２表明在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行将在贷款业务中进

行正向投资在存款业务中进行负向投资如果μD ＜r＜μL贷款回报的期望溢价

μL －r大于０存款价格的期望溢价μD －r小于０则银行在贷款的最优投资比例为

λlowast１ (t)＞０在存款的最优投资比例为λlowast

２ (t)＜０

如果μD ＜r＜μL 不成立得到的结论λlowast１ (t)＜０即银行提供两种类型存款

并投资于无风险债券或者λlowast２ (t)＞０相当于银行以无风险利率借入资金同时投

资于包括两种类型贷款显然不符合现实中银行的传统资产负债业务

由命题２我们可以得到以下推论

推论１对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是μL －r的增函

数同时又是μD －r的减函数存款的最优投资比例|λlowast２ (t)|是μL－r的增函数同

时又是μD －r的减函数

推论１表明根据风险资产的预期溢价的变化损失厌恶的银行将相应调整贷款

和存款的最优投资比例这是因为贷款期望收益率μL 增大时贷款回报的预期溢价

金 融 学 季 刊 第１４卷

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上升投资在贷款上的比例增加同时需要吸收更多的存款以满足贷款发放规模的

增加存款期望收益率μD 增大时存款价格的预期溢价上升投资在存款上的比例

减少同时贷款回报的预期风险溢价相对下降投资在贷款上的比例相应减小

推论２对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是σLσP 和ρL 的

减函数存款的最优投资|λlowast２ (t)|是σLσP 和ρL 的减函数

推论２表明经济不确定性越大银行发放贷款和吸收存款的激励越大一般而

言σL 和σP 越大贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的

激励越小但是ρL 越小贷款回报率与通胀风险的相关性越大在通胀风险较高

的情形中相关系数 １－ρ２L 越大损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款和

发放贷款的规模以最大化其利润水平达到参考点θ的概率避免潜在亏损对目标利

润的负面影响

　　(二)结果分析

首先如果不考虑通胀风险的影响我们假定ρL ＝１即贷款回报与通胀风险不

存在相关性贷款回报过程服从如下几何布朗运动

dRL(t)

RL(t)＝μLdt＋σLdzi(t)RL(０)＝RL０ ＞０ (１９)

此时波动率矩阵简化为σ＝０ σL

σP ０

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide 经过一些简单的计算我们可以得到银行

的贷款最优投资比例和最优存款投资比例分别为

λlowast１ρ(t)＝

μL －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２０)

λlowast２ρ(t)＝

μD －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２１)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ ρ

(t)＞０λlowast２ ρ

(t)＜０其中Λ(t)仍是前文所定义

的结果表明贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的激

励越小在外部市场状况不好时由于通胀风险不影响贷款回报在一定程度上降低

其利润水平偏离参考点θ 的概率损失厌恶的银行增加贷款和存款的激励相对较

小这一投资策略显然与我们模型中损失厌恶的银行处于通胀风险下的投资策略

有所不同进一步由式(１７)和式(２０)式(１８)和式(２１)可知当存在通胀风险相关

性时无风险利率r越低银行对风险资产的投资比例越高且在低利率环境下通胀

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

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风险相关性 １－ρ２L 越大银行的风险投资激励越强

最后参考Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的分析范式假定银行在风险厌恶偏

好的前提下进行资产组合管理在我们的模型中当参考点水平θ等于零时效用函数

即退化到了CRRA型即银行是风险厌恶的此时银行的最优风险资产投资比例为

λlowastCRRA(t)＝

σ－１ξ

１－γ２

(２２)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１CRRA(t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２　　　　　　　　　 (２３)

λlowast２CRRA(t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２

(２４)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１CRRA(t)＞０λlowast

２CRRA(t)＜０结果表明具有风险厌恶偏

好的银行的最优风险资产投资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小(γ２ 越小)

贷款和存款的最优投资比例越低这一投资策略明显与损失厌恶的银行的投资策

略具有较大差异性在我们的模型中银行的风险资产投资策略是时变的且具有

随着市场状况变化的特征

四数 值 模 拟

在本部分我们进行数值模拟分析主要考察损失厌恶偏好通胀风险对银行最

优风险资产投资策略的影响并进一步比较在S型效用函数和传统的CRRA 效用下

银行的贷款和存款的投资行为特性

　　(一)基准情形

首先我们使用如下的参数设置作为数值模拟的基准情形在基准情形中代

表性银行初始资产为x０＝１０无风险利率水平为r＝０1049008０５投资期限为T＝２０(年)

贷款回报过程的漂移率和波动率分别为μL＝０1049008０７和σL＝０1049008２０存款价格过程的漂移

率为μD ＝０1049008０３５价格过程的漂移率和波动率分别为μP ＝０1049008０３和σP ＝０1049008１５相关系

数为ρL ＝０1049008５

对于S型效用函数中的参数我们主要依据 Kahneman和 Tversky(１９９２)的估

计假设①A＝２1049008２５B＝１A ＞B体现了投资者具有损失厌恶的特性② 银行对

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０７　　

损失厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008１５对风险厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008２０③ 财富参考

点水平为θ＝６０

根据基准情形的参数设置我们分别对推论１和推论２进行了数值分析为了简

便和不失一般性我们主要关注初始投资时刻t＝０结果表明贷款的最优投资比

例λlowast１ (t)与贷款收益率的期望溢价μL －r之间是正相关的它与存款收益率的期望

溢价μD －r贷款回报波动率σL价格波动率σP 和通胀风险相关性ρL 之间是负相

关类似地关于存款的最优投资比例λlowast２ (t)具有一致的结论具体的数值分析结

果详见本文附录三

　　(二)最优贷款投资路径和最优存款投资路径

在最优投资路径的数值分析中我们采用蒙特卡洛模拟方法分别对贷款和存

款的最优投资比例模拟了１０００次最优路径并计算平均权重最终模拟得到整个投

资期 [０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径然后我们通过在基准情形

的基础上调整相应的参数设置分别考察损失厌恶偏好通胀风险对风险资产最优

投资路径的影响

１1049008 损失厌恶偏好的影响

在考察损失厌恶偏好的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情

形(按初始的参数设置其中参考点和损失厌恶比率分别为θ＝６０AB＝２1049008２５图

１中黑色实线表示)较高损失厌恶程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌

恶比率分别调整为θ＝６０AB＝４1049008５０)较高参考点的情形(保持其他参数不变参

考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝２1049008２５)较高参考点较高损失厌恶

图１　 参考点θ和损失厌恶比率AB 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

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程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝

４1049008５０图中蓝色点线表示)我们的结果充分说明了损失厌恶偏好显著地改变银行

的风险资产配置行为

如图１所示我们发现与S型效用表示的银行损失厌恶偏好一致随着参考点

θ的逐渐增大银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和存款最优投资λlowast

２ (t)增大当θ处于较

高水平时银行是风险偏好的愿意增加其风险资产的投资比例这是因为较高的

参考点水平是难以实现的尤其当θ高于某一阈值时银行将处于损失的区域此时

银行是损失厌恶的为了减小亏损银行愿意承担更大的风险它会随着参考点水

平进一步提高增大贷款的发放和存款的吸收以尽可能地使资产积累达到参考点

水平在保持参考点θ不变的条件下当损失厌恶比率AB 增大时表明银行更加

厌恶损失它会降低贷款和存款的投资比例以避免承担过大的风险随着投资时

刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和存款最优投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻由于银行是损失厌恶的参考点θ越高λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越大但是在参考点θ

一定的条件下银行越厌恶风险损失厌恶比率AB 越大λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)将有所

减小

银行在进行资产配置的过程中存在损失厌恶偏好一个可能的解释是资本约束

效应Calem 等(１９９９)证明了银行资本与风险承担之间呈 U 形关系对于资本水平

低的银行来说银行的风险偏好较低当资本达到某一特定的门槛值后经营杠杆压

力增大充裕的资本缓冲使银行开始倾向于追逐高风险高收益项目以获得更多利

润银行风险承担的激励更大Berger等(１９９４)Haq等(２０１２)的实证研究支持上

述资本约束效应的存在因此在资本较低的情形下银行的规模相对较小小银行

为了避免破产风险它对风险资产投资的投资比例较低此时银行是风险厌恶的在

资本达到一定水平后银行的规模相对较大大银行的资产组合满足甚至超过目标

参考点水平她会愿意接受更多的风险来追求更高的收益而不仅仅是把财富投资

到无风险资产去保证获取较低的收益水平此时银行是风险偏好的

２1049008 通胀风险的影响

在考察通胀风险的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情形(按

初始的参数设置其中价格波动率和通胀风险相关系数分别为σP＝０1049008１５ １－ρ２L ＝

０1049008８７图２中黑色实线表示)较高通胀风险的情形(保持其他参数不变价格波动率

和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008８７)较低通胀风险相关程

度的情形(保持其他参数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０９　　

０1049008１５ １－ρ２L ＝０1049008６０)较高通胀风险较低通胀风险相关程度的情形(保持其他参

数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008６０)

我们的结果充分说明通胀风险对银行的风险资产配置具有重要的作用

图２　价格波动率σP 和通胀风险相关系数ρL 的影响

如图２所示我们发现当价格波动率σP 增大时银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和

存款最优投资λlowast２ (t)随之减小这是因为随着通胀波动率增大贷款回报和存款价格

的不确定性增大从而银行的风险资产投资降低在保持σP 一定的条件下通胀风

险相关系数１－ρL 越大贷款最优投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)越高

说明在通胀不确定性越大的情形中损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款

和发放贷款的规模以实现参考点利润水平或最小化偏离θ的概率进一步比较不

同的通胀风险相关系数１－ρL我们还发现在１－ρL 处于较高水平时通胀风险σP 增

大相同比例贷款最优投资λlowast１ (t)和最优存款投资λlowast

２ (t)的下降幅度更大随着投

资时刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻通胀风险越高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越小在通胀风险一定的条件

下通胀风险与风险资产回报的相关性越高银行为了减小潜在损失也会提高风险

资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

这一研究发现与货币政策银行风险承担渠道的ldquo央行沟通效应rdquo相符ldquo央行沟

通效应rdquo认为中央银行的沟通策略对银行风险承担具有正向影响即央行沟通能够

提高货币政策透明度增强银行对货币政策走向的预测能力那么银行将会预测央

行在经济形势开始恶化时未来会主动大幅度地降低利率从而会显著增加其风险承

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１０　　

担(Borio和Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５)结合图２可

以发现当通胀风险相关系数 １－ρ２L 足够大时中央银行提高货币政策透明度可

以减少通胀波动的不确定性具有损失厌恶偏好的银行的贷款和存款的投资比例显

著增加风险承担能力更强

　　(三)S型效用和CRRA型效用的对比

由式(２０)至式(２１)可知具有CRRA型风险厌恶偏好的银行的最优风险资产投

资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小贷款和存款的最优投资比例越低具有

损失厌恶偏好的银行的最优风险资产投资比例是时变的与外部市场状况相关为

了进一步考察S型效用和CRRA型效用下银行贷款投资和存款投资的差异我们进

行了两种数值模拟①根据基准情形的参数设置关注在初始投资时刻t＝０时定价

核对贷款投资比例和存款投资比例的影响② 采用蒙特卡洛方法模拟得到不同效

用下整个投资期[０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径模拟次数为

１０００次

图３显示了在S型效用和CRRA型效用中定价核对银行的贷款最优投资比例

和存款最优投资比例的差异性影响从图３可以发现在 CRRA 型效用下银行的

贷款和存款投资比例是常数不随市场状况而发生变化在S型效用下损失厌恶

的银行会采取一个更加灵活的贷款和存款投资策略当定价核很低的时候市场状

况比较好风险资产收益较高银行愿意承担更大的风险来追求更高的收益当定

图３　定价核H(t)对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１１　　

价核变大的时候市场状况不断恶化此时银行面临损失的可能性增大银行逐渐减

小贷款和存款的投资比例因此在S型效用下具有损失厌恶偏好的银行能够更

好地进行风险管理

图４显示在S型效用和CRRA型效用下银行的贷款最优投资路径和存款最优

投资路径具有明显的差异性从图４可以发现在 CRRA 型效用下银行的贷款和

存款投资比例在整个投资期内是保持不变的不随时间而发生变化在 S型效用

下银行的贷款最优投资路径和存款最优投资路径具有时变特征随着投资时刻t的增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期T时刻

银行为了最大化利润(处于厌恶风险区域)或者尽可能减小潜在损失(处于偏好风

险区域)银行都会提高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

图４　不同效用函数下的最优贷款投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)

五结　　论

本文利用S型效用函数框架研究了一个包含通胀风险和损失厌恶偏好的银行

的资产组合管理问题首先我们将Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的S型效

用框架拓展到Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的银行资产负债管理分析范式在

PyleＧHartＧJaffee的分析范式中存款相当于负的资产其次我们通过引入通胀风险

刻画宏观风险对银行的风险偏好的重要影响

我们所得到的银行的最优投资策略解析解表明具有损失厌恶偏好的银行的最

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

参 考 文 献

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第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１００　　

论文余下部分的结构安排如下第二部分是基本模型第三部分是模型求解与

结果分析第四部分是数值模拟第五部分是结论

二基 本 模 型

假设存在一个金融市场在市场中交易是连续发生的没有交易成本和税收

在这样一个完备市场中考虑一家代表性银行的资产组合管理假定银行拥有的信

息是对称的银行内部不存在委托代理问题

　　(一)通胀风险

假定经济中存在通货膨胀风险为了刻画通货膨胀风险我们首先定义一个随

机的商品价格指数变动过程P(t)它服从如下几何布朗运动(GeometricBrownian

MotionGBM)

dP(t)

P(t)＝μPdt＋σPdzp(t)P(０)＝P０ ＞０ (１)

其中μP 表示价格水平的期望增长率σP 表示价格水平的波动率σPdzP(t)能够较

好地刻画通货膨胀风险

　　(二)资产组合管理与损失厌恶的银行

根据Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的分析范式银行的资产(负债)市场是

完全竞争的银行将其所有的资产和负债视为一种特定类型的证券投资组合负债

相当于银行资产组合中的空头

在本文的模型中银行在任意t期对贷款和存款两种风险资产以及一种无风险

债券进行资产组合管理假定银行的初始资产为x０令λ(t)＝(λ１(t)λ２(t))prime其

中λ１(t)λ２(t)和１－λ１(t)－λ２(t)分别表示银行投资在贷款存款和无风险债券中

的资产比例

假定贷款回报过程服从如下几何布朗运动

dRL(t)

RL(t)＝μLdt＋σL(ρLdzi(t)＋ １－ρ２LdzP(t))RL(０)＝RL

０ ＞０ (２)

其中μL 表示贷款回报的期望增长率σL 表示银行贷款回报的波动率σL 越大贷款

回报的不确定性越大违约风险越高贷款回报的不确定性源于企业偿债能力不足

和通胀风险ρL 刻画的是贷款回报的风险结构ρL 越大贷款的违约风险主要取决

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０１　　

于企业经营现金流的不确定性反之贷款的违约风险主要取决于通胀风险通胀风

险过高将会降低企业的项目回报增大企业贷款违约的概率

假定存款价格过程服从如下几何布朗运动

dRD(t)

RD(t)＝μDdt＋σPdzP(t)RD(０)＝RD０ ＞０ (３)

其中μD 表示存款价格的期望增长率σP 反映了存款价格与通货膨胀之间存在较强

的正相关通货膨胀率上升存款价格往往提高σPdzP(t)刻画的是通胀风险对存款

价格的影响

无风险债券价格过程服从如下的常微分方程

dB(t)

B(t)＝rdt (４)

其中r表示无风险利率

基于上述银行的资产组合的假设我们可以将波动率矩阵定义为

σ＝σL １－ρ

２L σLρL

σP ０

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide

(５)

风险价格可以表示为

ξ＝σ－１ μL －r

μD －r

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide＝

μD －rσP

σP(μL －r)－σL １－ρ２L (μD －r)

σPσLρL

aelig

egrave

ccedilccedilccedilccedilccedilccedil

ouml

oslash

dividedividedividedividedividedivide

equivξ１

ξ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (６)

因此在此完备的金融市场中存在唯一的定价核即H(t)＝e－rt－１２ξ２t－ξprimez(t)为了方

便起见记z(t)1051675 (zp(t)zi(t))prime表示二维布朗运动

经过计算可得银行的资产Xλ(t)满足

dXλ(t)＝λ１(t)Xλ(t)

RL(t)dRL(t)＋

λ２(t)Xλ(t)

RD(t)dRD(t)　　　　　　　　

＋(１－λ１(t)－λ２(t))Xλ(t)

B(t) dB(t)

＝Xλ(t)(r＋λ１(t)(μL －r)＋λ２(t)(μD －r))dt[

　＋(λ１(t)σL １－ρ２L ＋λ２(t)σP)dzP(t)＋λ１(t)σLρLdzi(t)]

＝Xλ(t)rdt＋λprime(t)σ(ξdt＋dz(t))[ ] (７)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０２　　

根据 Kahneman和 Tversky(１９７９)提出的前景理论投资者经常基于某一目标

参考水平进行决策关注的是实际财富与该目标参考水平之间的差异与收益相比

投资者对损失更加敏感因此我们采用具有损失厌恶特征的S型效用函数来刻画

银行的偏好即

U(Xλ(T))＝－A(θ－Xλ(t))γ１ ifXλ(t)leθ

B(Xλ(t)－θ)γ２ ifXλ(t)＞θ (８)

其中A 和B 是两个正的常数A ＞B 代表着损失厌恶损失厌恶比率AB 越大损

失厌恶的程度越高γ１ 和γ２ 是损失区域和收益区域的曲率系数一般假定０＜γ１ ＜

１和０＜γ２ ＜１此时效用函数是S型效用函数θ是目标利润水平即参考点参考

点θ一般是提前选定的对资产组合管理策略有直接影响θ通常大于零当外部市

场环境较好时银行的资产组合产生的收益将不低于参考点θ反之其资产组合收

益将低于参考点θ

假定银行在时间 [０T]内进行投资其面临的决策问题可以表述为

maxλ

E[U(Xλ(T))]

stλsatisfies(７) (９)

同时银行在时间 [０T]内满足偿付能力约束Xλ(t)ge０

三模型求解与结果分析

在本部分我们将求解损失厌恶银行的最优风险资产配置决策并分析通胀风

险对银行最优风险资产配置决策的影响然后我们考虑两个特例比较损失厌恶

偏好与通胀风险的引入如何改变银行最优风险资产配置决策

　　(一)基本结果

由于银行是损失厌恶的我们采用鞅方法来求解其最优资产组合具体步骤为

首先求解一个静态的终端问题得到银行的最优终端资产然后复制出对应于此

终端资产的最优资产组合策略

为了简化起见记我们需要求解的终端静态问题为

maxλ

E[U(Xλ(T))]

stE[Xλ(T)H(T)]＝x０

Xλ(T)ge０

(１０)

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０３　　

利用Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的鞅方法求解上述终端静态问题我们

可以得到在贷款到期时银行的最优终端资产

命题１损失厌恶的银行的最优终端资产Xλlowast (T)为

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(１１)

其中H－

满足f(H－)＝０函数f 具有如下的形式

f(x)＝１－γ２

γ２

１yxaelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyx＋Aθγ１

和y ＞０是Lagrange乘子满足

E[H(T)Xλlowast (T)]＝x０

证明见本文附录一

命题１表明具有损失厌恶偏好的银行的最优终端资产的表现形式是一个不连

续的分段 函 数银 行 的 最 优 终 端 资 产 取 决 于 外 部 市 场 环 境即 或 者 等 于θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

或者等于０具体而言在较好的外部市场环境中定价核较小风险

资产收益较高银行能够从资产组合中获得足够收益在较恶劣的市场环境中定价

核较大风险资产收益下降银行资产组合的损失可能性增大

在求得贷款合同到期时刻的最优终端资产之后我们进一步推导出银行的最优

资产端和风险资产的最优投资比例

命题２(１)损失厌恶的银行的最优资产为

Xλlowast (t)＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－))＋

Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (１２)

其中

d１(x)＝log

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(１３)

d２(x)＝d１(x)＋ξ T－t

１－γ２

(１４)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０４　　

Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t) (１５)

另外H－

和y ＞０由命题１给定

(２)记Λ(t)＝θe－r(T－t)

ξ T－tφ(d１(H

－))＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)aelig

egraveccedilccedil

φ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

ouml

oslashdividedivide 其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数φ(1048944)表示标准正态分

布的概率密度函数那么银行投资到风险资产的最优比例为

λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t)

Λ(t) (１６)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１ (t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivideΛ(t)

Xλlowast (t)　　　　　　　　　 (１７)

λlowast２ (t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivideΛ(t)

Xλlowast (t)(１８)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ (t)＞０λlowast

２ (t)＜０

证明见本文附录二

命题２表明在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行将在贷款业务中进

行正向投资在存款业务中进行负向投资如果μD ＜r＜μL贷款回报的期望溢价

μL －r大于０存款价格的期望溢价μD －r小于０则银行在贷款的最优投资比例为

λlowast１ (t)＞０在存款的最优投资比例为λlowast

２ (t)＜０

如果μD ＜r＜μL 不成立得到的结论λlowast１ (t)＜０即银行提供两种类型存款

并投资于无风险债券或者λlowast２ (t)＞０相当于银行以无风险利率借入资金同时投

资于包括两种类型贷款显然不符合现实中银行的传统资产负债业务

由命题２我们可以得到以下推论

推论１对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是μL －r的增函

数同时又是μD －r的减函数存款的最优投资比例|λlowast２ (t)|是μL－r的增函数同

时又是μD －r的减函数

推论１表明根据风险资产的预期溢价的变化损失厌恶的银行将相应调整贷款

和存款的最优投资比例这是因为贷款期望收益率μL 增大时贷款回报的预期溢价

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０５　　

上升投资在贷款上的比例增加同时需要吸收更多的存款以满足贷款发放规模的

增加存款期望收益率μD 增大时存款价格的预期溢价上升投资在存款上的比例

减少同时贷款回报的预期风险溢价相对下降投资在贷款上的比例相应减小

推论２对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是σLσP 和ρL 的

减函数存款的最优投资|λlowast２ (t)|是σLσP 和ρL 的减函数

推论２表明经济不确定性越大银行发放贷款和吸收存款的激励越大一般而

言σL 和σP 越大贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的

激励越小但是ρL 越小贷款回报率与通胀风险的相关性越大在通胀风险较高

的情形中相关系数 １－ρ２L 越大损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款和

发放贷款的规模以最大化其利润水平达到参考点θ的概率避免潜在亏损对目标利

润的负面影响

　　(二)结果分析

首先如果不考虑通胀风险的影响我们假定ρL ＝１即贷款回报与通胀风险不

存在相关性贷款回报过程服从如下几何布朗运动

dRL(t)

RL(t)＝μLdt＋σLdzi(t)RL(０)＝RL０ ＞０ (１９)

此时波动率矩阵简化为σ＝０ σL

σP ０

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide 经过一些简单的计算我们可以得到银行

的贷款最优投资比例和最优存款投资比例分别为

λlowast１ρ(t)＝

μL －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２０)

λlowast２ρ(t)＝

μD －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２１)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ ρ

(t)＞０λlowast２ ρ

(t)＜０其中Λ(t)仍是前文所定义

的结果表明贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的激

励越小在外部市场状况不好时由于通胀风险不影响贷款回报在一定程度上降低

其利润水平偏离参考点θ 的概率损失厌恶的银行增加贷款和存款的激励相对较

小这一投资策略显然与我们模型中损失厌恶的银行处于通胀风险下的投资策略

有所不同进一步由式(１７)和式(２０)式(１８)和式(２１)可知当存在通胀风险相关

性时无风险利率r越低银行对风险资产的投资比例越高且在低利率环境下通胀

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０６　　

风险相关性 １－ρ２L 越大银行的风险投资激励越强

最后参考Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的分析范式假定银行在风险厌恶偏

好的前提下进行资产组合管理在我们的模型中当参考点水平θ等于零时效用函数

即退化到了CRRA型即银行是风险厌恶的此时银行的最优风险资产投资比例为

λlowastCRRA(t)＝

σ－１ξ

１－γ２

(２２)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１CRRA(t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２　　　　　　　　　 (２３)

λlowast２CRRA(t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２

(２４)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１CRRA(t)＞０λlowast

２CRRA(t)＜０结果表明具有风险厌恶偏

好的银行的最优风险资产投资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小(γ２ 越小)

贷款和存款的最优投资比例越低这一投资策略明显与损失厌恶的银行的投资策

略具有较大差异性在我们的模型中银行的风险资产投资策略是时变的且具有

随着市场状况变化的特征

四数 值 模 拟

在本部分我们进行数值模拟分析主要考察损失厌恶偏好通胀风险对银行最

优风险资产投资策略的影响并进一步比较在S型效用函数和传统的CRRA 效用下

银行的贷款和存款的投资行为特性

　　(一)基准情形

首先我们使用如下的参数设置作为数值模拟的基准情形在基准情形中代

表性银行初始资产为x０＝１０无风险利率水平为r＝０1049008０５投资期限为T＝２０(年)

贷款回报过程的漂移率和波动率分别为μL＝０1049008０７和σL＝０1049008２０存款价格过程的漂移

率为μD ＝０1049008０３５价格过程的漂移率和波动率分别为μP ＝０1049008０３和σP ＝０1049008１５相关系

数为ρL ＝０1049008５

对于S型效用函数中的参数我们主要依据 Kahneman和 Tversky(１９９２)的估

计假设①A＝２1049008２５B＝１A ＞B体现了投资者具有损失厌恶的特性② 银行对

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０７　　

损失厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008１５对风险厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008２０③ 财富参考

点水平为θ＝６０

根据基准情形的参数设置我们分别对推论１和推论２进行了数值分析为了简

便和不失一般性我们主要关注初始投资时刻t＝０结果表明贷款的最优投资比

例λlowast１ (t)与贷款收益率的期望溢价μL －r之间是正相关的它与存款收益率的期望

溢价μD －r贷款回报波动率σL价格波动率σP 和通胀风险相关性ρL 之间是负相

关类似地关于存款的最优投资比例λlowast２ (t)具有一致的结论具体的数值分析结

果详见本文附录三

　　(二)最优贷款投资路径和最优存款投资路径

在最优投资路径的数值分析中我们采用蒙特卡洛模拟方法分别对贷款和存

款的最优投资比例模拟了１０００次最优路径并计算平均权重最终模拟得到整个投

资期 [０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径然后我们通过在基准情形

的基础上调整相应的参数设置分别考察损失厌恶偏好通胀风险对风险资产最优

投资路径的影响

１1049008 损失厌恶偏好的影响

在考察损失厌恶偏好的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情

形(按初始的参数设置其中参考点和损失厌恶比率分别为θ＝６０AB＝２1049008２５图

１中黑色实线表示)较高损失厌恶程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌

恶比率分别调整为θ＝６０AB＝４1049008５０)较高参考点的情形(保持其他参数不变参

考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝２1049008２５)较高参考点较高损失厌恶

图１　 参考点θ和损失厌恶比率AB 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０８　　

程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝

４1049008５０图中蓝色点线表示)我们的结果充分说明了损失厌恶偏好显著地改变银行

的风险资产配置行为

如图１所示我们发现与S型效用表示的银行损失厌恶偏好一致随着参考点

θ的逐渐增大银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和存款最优投资λlowast

２ (t)增大当θ处于较

高水平时银行是风险偏好的愿意增加其风险资产的投资比例这是因为较高的

参考点水平是难以实现的尤其当θ高于某一阈值时银行将处于损失的区域此时

银行是损失厌恶的为了减小亏损银行愿意承担更大的风险它会随着参考点水

平进一步提高增大贷款的发放和存款的吸收以尽可能地使资产积累达到参考点

水平在保持参考点θ不变的条件下当损失厌恶比率AB 增大时表明银行更加

厌恶损失它会降低贷款和存款的投资比例以避免承担过大的风险随着投资时

刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和存款最优投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻由于银行是损失厌恶的参考点θ越高λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越大但是在参考点θ

一定的条件下银行越厌恶风险损失厌恶比率AB 越大λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)将有所

减小

银行在进行资产配置的过程中存在损失厌恶偏好一个可能的解释是资本约束

效应Calem 等(１９９９)证明了银行资本与风险承担之间呈 U 形关系对于资本水平

低的银行来说银行的风险偏好较低当资本达到某一特定的门槛值后经营杠杆压

力增大充裕的资本缓冲使银行开始倾向于追逐高风险高收益项目以获得更多利

润银行风险承担的激励更大Berger等(１９９４)Haq等(２０１２)的实证研究支持上

述资本约束效应的存在因此在资本较低的情形下银行的规模相对较小小银行

为了避免破产风险它对风险资产投资的投资比例较低此时银行是风险厌恶的在

资本达到一定水平后银行的规模相对较大大银行的资产组合满足甚至超过目标

参考点水平她会愿意接受更多的风险来追求更高的收益而不仅仅是把财富投资

到无风险资产去保证获取较低的收益水平此时银行是风险偏好的

２1049008 通胀风险的影响

在考察通胀风险的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情形(按

初始的参数设置其中价格波动率和通胀风险相关系数分别为σP＝０1049008１５ １－ρ２L ＝

０1049008８７图２中黑色实线表示)较高通胀风险的情形(保持其他参数不变价格波动率

和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008８７)较低通胀风险相关程

度的情形(保持其他参数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０９　　

０1049008１５ １－ρ２L ＝０1049008６０)较高通胀风险较低通胀风险相关程度的情形(保持其他参

数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008６０)

我们的结果充分说明通胀风险对银行的风险资产配置具有重要的作用

图２　价格波动率σP 和通胀风险相关系数ρL 的影响

如图２所示我们发现当价格波动率σP 增大时银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和

存款最优投资λlowast２ (t)随之减小这是因为随着通胀波动率增大贷款回报和存款价格

的不确定性增大从而银行的风险资产投资降低在保持σP 一定的条件下通胀风

险相关系数１－ρL 越大贷款最优投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)越高

说明在通胀不确定性越大的情形中损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款

和发放贷款的规模以实现参考点利润水平或最小化偏离θ的概率进一步比较不

同的通胀风险相关系数１－ρL我们还发现在１－ρL 处于较高水平时通胀风险σP 增

大相同比例贷款最优投资λlowast１ (t)和最优存款投资λlowast

２ (t)的下降幅度更大随着投

资时刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻通胀风险越高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越小在通胀风险一定的条件

下通胀风险与风险资产回报的相关性越高银行为了减小潜在损失也会提高风险

资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

这一研究发现与货币政策银行风险承担渠道的ldquo央行沟通效应rdquo相符ldquo央行沟

通效应rdquo认为中央银行的沟通策略对银行风险承担具有正向影响即央行沟通能够

提高货币政策透明度增强银行对货币政策走向的预测能力那么银行将会预测央

行在经济形势开始恶化时未来会主动大幅度地降低利率从而会显著增加其风险承

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１０　　

担(Borio和Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５)结合图２可

以发现当通胀风险相关系数 １－ρ２L 足够大时中央银行提高货币政策透明度可

以减少通胀波动的不确定性具有损失厌恶偏好的银行的贷款和存款的投资比例显

著增加风险承担能力更强

　　(三)S型效用和CRRA型效用的对比

由式(２０)至式(２１)可知具有CRRA型风险厌恶偏好的银行的最优风险资产投

资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小贷款和存款的最优投资比例越低具有

损失厌恶偏好的银行的最优风险资产投资比例是时变的与外部市场状况相关为

了进一步考察S型效用和CRRA型效用下银行贷款投资和存款投资的差异我们进

行了两种数值模拟①根据基准情形的参数设置关注在初始投资时刻t＝０时定价

核对贷款投资比例和存款投资比例的影响② 采用蒙特卡洛方法模拟得到不同效

用下整个投资期[０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径模拟次数为

１０００次

图３显示了在S型效用和CRRA型效用中定价核对银行的贷款最优投资比例

和存款最优投资比例的差异性影响从图３可以发现在 CRRA 型效用下银行的

贷款和存款投资比例是常数不随市场状况而发生变化在S型效用下损失厌恶

的银行会采取一个更加灵活的贷款和存款投资策略当定价核很低的时候市场状

况比较好风险资产收益较高银行愿意承担更大的风险来追求更高的收益当定

图３　定价核H(t)对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１１　　

价核变大的时候市场状况不断恶化此时银行面临损失的可能性增大银行逐渐减

小贷款和存款的投资比例因此在S型效用下具有损失厌恶偏好的银行能够更

好地进行风险管理

图４显示在S型效用和CRRA型效用下银行的贷款最优投资路径和存款最优

投资路径具有明显的差异性从图４可以发现在 CRRA 型效用下银行的贷款和

存款投资比例在整个投资期内是保持不变的不随时间而发生变化在 S型效用

下银行的贷款最优投资路径和存款最优投资路径具有时变特征随着投资时刻t的增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期T时刻

银行为了最大化利润(处于厌恶风险区域)或者尽可能减小潜在损失(处于偏好风

险区域)银行都会提高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

图４　不同效用函数下的最优贷款投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)

五结　　论

本文利用S型效用函数框架研究了一个包含通胀风险和损失厌恶偏好的银行

的资产组合管理问题首先我们将Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的S型效

用框架拓展到Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的银行资产负债管理分析范式在

PyleＧHartＧJaffee的分析范式中存款相当于负的资产其次我们通过引入通胀风险

刻画宏观风险对银行的风险偏好的重要影响

我们所得到的银行的最优投资策略解析解表明具有损失厌恶偏好的银行的最

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

参 考 文 献

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第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０１　　

于企业经营现金流的不确定性反之贷款的违约风险主要取决于通胀风险通胀风

险过高将会降低企业的项目回报增大企业贷款违约的概率

假定存款价格过程服从如下几何布朗运动

dRD(t)

RD(t)＝μDdt＋σPdzP(t)RD(０)＝RD０ ＞０ (３)

其中μD 表示存款价格的期望增长率σP 反映了存款价格与通货膨胀之间存在较强

的正相关通货膨胀率上升存款价格往往提高σPdzP(t)刻画的是通胀风险对存款

价格的影响

无风险债券价格过程服从如下的常微分方程

dB(t)

B(t)＝rdt (４)

其中r表示无风险利率

基于上述银行的资产组合的假设我们可以将波动率矩阵定义为

σ＝σL １－ρ

２L σLρL

σP ０

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide

(５)

风险价格可以表示为

ξ＝σ－１ μL －r

μD －r

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide＝

μD －rσP

σP(μL －r)－σL １－ρ２L (μD －r)

σPσLρL

aelig

egrave

ccedilccedilccedilccedilccedilccedil

ouml

oslash

dividedividedividedividedividedivide

equivξ１

ξ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (６)

因此在此完备的金融市场中存在唯一的定价核即H(t)＝e－rt－１２ξ２t－ξprimez(t)为了方

便起见记z(t)1051675 (zp(t)zi(t))prime表示二维布朗运动

经过计算可得银行的资产Xλ(t)满足

dXλ(t)＝λ１(t)Xλ(t)

RL(t)dRL(t)＋

λ２(t)Xλ(t)

RD(t)dRD(t)　　　　　　　　

＋(１－λ１(t)－λ２(t))Xλ(t)

B(t) dB(t)

＝Xλ(t)(r＋λ１(t)(μL －r)＋λ２(t)(μD －r))dt[

　＋(λ１(t)σL １－ρ２L ＋λ２(t)σP)dzP(t)＋λ１(t)σLρLdzi(t)]

＝Xλ(t)rdt＋λprime(t)σ(ξdt＋dz(t))[ ] (７)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０２　　

根据 Kahneman和 Tversky(１９７９)提出的前景理论投资者经常基于某一目标

参考水平进行决策关注的是实际财富与该目标参考水平之间的差异与收益相比

投资者对损失更加敏感因此我们采用具有损失厌恶特征的S型效用函数来刻画

银行的偏好即

U(Xλ(T))＝－A(θ－Xλ(t))γ１ ifXλ(t)leθ

B(Xλ(t)－θ)γ２ ifXλ(t)＞θ (８)

其中A 和B 是两个正的常数A ＞B 代表着损失厌恶损失厌恶比率AB 越大损

失厌恶的程度越高γ１ 和γ２ 是损失区域和收益区域的曲率系数一般假定０＜γ１ ＜

１和０＜γ２ ＜１此时效用函数是S型效用函数θ是目标利润水平即参考点参考

点θ一般是提前选定的对资产组合管理策略有直接影响θ通常大于零当外部市

场环境较好时银行的资产组合产生的收益将不低于参考点θ反之其资产组合收

益将低于参考点θ

假定银行在时间 [０T]内进行投资其面临的决策问题可以表述为

maxλ

E[U(Xλ(T))]

stλsatisfies(７) (９)

同时银行在时间 [０T]内满足偿付能力约束Xλ(t)ge０

三模型求解与结果分析

在本部分我们将求解损失厌恶银行的最优风险资产配置决策并分析通胀风

险对银行最优风险资产配置决策的影响然后我们考虑两个特例比较损失厌恶

偏好与通胀风险的引入如何改变银行最优风险资产配置决策

　　(一)基本结果

由于银行是损失厌恶的我们采用鞅方法来求解其最优资产组合具体步骤为

首先求解一个静态的终端问题得到银行的最优终端资产然后复制出对应于此

终端资产的最优资产组合策略

为了简化起见记我们需要求解的终端静态问题为

maxλ

E[U(Xλ(T))]

stE[Xλ(T)H(T)]＝x０

Xλ(T)ge０

(１０)

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０３　　

利用Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的鞅方法求解上述终端静态问题我们

可以得到在贷款到期时银行的最优终端资产

命题１损失厌恶的银行的最优终端资产Xλlowast (T)为

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(１１)

其中H－

满足f(H－)＝０函数f 具有如下的形式

f(x)＝１－γ２

γ２

１yxaelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyx＋Aθγ１

和y ＞０是Lagrange乘子满足

E[H(T)Xλlowast (T)]＝x０

证明见本文附录一

命题１表明具有损失厌恶偏好的银行的最优终端资产的表现形式是一个不连

续的分段 函 数银 行 的 最 优 终 端 资 产 取 决 于 外 部 市 场 环 境即 或 者 等 于θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

或者等于０具体而言在较好的外部市场环境中定价核较小风险

资产收益较高银行能够从资产组合中获得足够收益在较恶劣的市场环境中定价

核较大风险资产收益下降银行资产组合的损失可能性增大

在求得贷款合同到期时刻的最优终端资产之后我们进一步推导出银行的最优

资产端和风险资产的最优投资比例

命题２(１)损失厌恶的银行的最优资产为

Xλlowast (t)＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－))＋

Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (１２)

其中

d１(x)＝log

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(１３)

d２(x)＝d１(x)＋ξ T－t

１－γ２

(１４)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０４　　

Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t) (１５)

另外H－

和y ＞０由命题１给定

(２)记Λ(t)＝θe－r(T－t)

ξ T－tφ(d１(H

－))＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)aelig

egraveccedilccedil

φ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

ouml

oslashdividedivide 其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数φ(1048944)表示标准正态分

布的概率密度函数那么银行投资到风险资产的最优比例为

λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t)

Λ(t) (１６)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１ (t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivideΛ(t)

Xλlowast (t)　　　　　　　　　 (１７)

λlowast２ (t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivideΛ(t)

Xλlowast (t)(１８)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ (t)＞０λlowast

２ (t)＜０

证明见本文附录二

命题２表明在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行将在贷款业务中进

行正向投资在存款业务中进行负向投资如果μD ＜r＜μL贷款回报的期望溢价

μL －r大于０存款价格的期望溢价μD －r小于０则银行在贷款的最优投资比例为

λlowast１ (t)＞０在存款的最优投资比例为λlowast

２ (t)＜０

如果μD ＜r＜μL 不成立得到的结论λlowast１ (t)＜０即银行提供两种类型存款

并投资于无风险债券或者λlowast２ (t)＞０相当于银行以无风险利率借入资金同时投

资于包括两种类型贷款显然不符合现实中银行的传统资产负债业务

由命题２我们可以得到以下推论

推论１对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是μL －r的增函

数同时又是μD －r的减函数存款的最优投资比例|λlowast２ (t)|是μL－r的增函数同

时又是μD －r的减函数

推论１表明根据风险资产的预期溢价的变化损失厌恶的银行将相应调整贷款

和存款的最优投资比例这是因为贷款期望收益率μL 增大时贷款回报的预期溢价

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０５　　

上升投资在贷款上的比例增加同时需要吸收更多的存款以满足贷款发放规模的

增加存款期望收益率μD 增大时存款价格的预期溢价上升投资在存款上的比例

减少同时贷款回报的预期风险溢价相对下降投资在贷款上的比例相应减小

推论２对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是σLσP 和ρL 的

减函数存款的最优投资|λlowast２ (t)|是σLσP 和ρL 的减函数

推论２表明经济不确定性越大银行发放贷款和吸收存款的激励越大一般而

言σL 和σP 越大贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的

激励越小但是ρL 越小贷款回报率与通胀风险的相关性越大在通胀风险较高

的情形中相关系数 １－ρ２L 越大损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款和

发放贷款的规模以最大化其利润水平达到参考点θ的概率避免潜在亏损对目标利

润的负面影响

　　(二)结果分析

首先如果不考虑通胀风险的影响我们假定ρL ＝１即贷款回报与通胀风险不

存在相关性贷款回报过程服从如下几何布朗运动

dRL(t)

RL(t)＝μLdt＋σLdzi(t)RL(０)＝RL０ ＞０ (１９)

此时波动率矩阵简化为σ＝０ σL

σP ０

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide 经过一些简单的计算我们可以得到银行

的贷款最优投资比例和最优存款投资比例分别为

λlowast１ρ(t)＝

μL －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２０)

λlowast２ρ(t)＝

μD －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２１)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ ρ

(t)＞０λlowast２ ρ

(t)＜０其中Λ(t)仍是前文所定义

的结果表明贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的激

励越小在外部市场状况不好时由于通胀风险不影响贷款回报在一定程度上降低

其利润水平偏离参考点θ 的概率损失厌恶的银行增加贷款和存款的激励相对较

小这一投资策略显然与我们模型中损失厌恶的银行处于通胀风险下的投资策略

有所不同进一步由式(１７)和式(２０)式(１８)和式(２１)可知当存在通胀风险相关

性时无风险利率r越低银行对风险资产的投资比例越高且在低利率环境下通胀

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０６　　

风险相关性 １－ρ２L 越大银行的风险投资激励越强

最后参考Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的分析范式假定银行在风险厌恶偏

好的前提下进行资产组合管理在我们的模型中当参考点水平θ等于零时效用函数

即退化到了CRRA型即银行是风险厌恶的此时银行的最优风险资产投资比例为

λlowastCRRA(t)＝

σ－１ξ

１－γ２

(２２)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１CRRA(t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２　　　　　　　　　 (２３)

λlowast２CRRA(t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２

(２４)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１CRRA(t)＞０λlowast

２CRRA(t)＜０结果表明具有风险厌恶偏

好的银行的最优风险资产投资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小(γ２ 越小)

贷款和存款的最优投资比例越低这一投资策略明显与损失厌恶的银行的投资策

略具有较大差异性在我们的模型中银行的风险资产投资策略是时变的且具有

随着市场状况变化的特征

四数 值 模 拟

在本部分我们进行数值模拟分析主要考察损失厌恶偏好通胀风险对银行最

优风险资产投资策略的影响并进一步比较在S型效用函数和传统的CRRA 效用下

银行的贷款和存款的投资行为特性

　　(一)基准情形

首先我们使用如下的参数设置作为数值模拟的基准情形在基准情形中代

表性银行初始资产为x０＝１０无风险利率水平为r＝０1049008０５投资期限为T＝２０(年)

贷款回报过程的漂移率和波动率分别为μL＝０1049008０７和σL＝０1049008２０存款价格过程的漂移

率为μD ＝０1049008０３５价格过程的漂移率和波动率分别为μP ＝０1049008０３和σP ＝０1049008１５相关系

数为ρL ＝０1049008５

对于S型效用函数中的参数我们主要依据 Kahneman和 Tversky(１９９２)的估

计假设①A＝２1049008２５B＝１A ＞B体现了投资者具有损失厌恶的特性② 银行对

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０７　　

损失厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008１５对风险厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008２０③ 财富参考

点水平为θ＝６０

根据基准情形的参数设置我们分别对推论１和推论２进行了数值分析为了简

便和不失一般性我们主要关注初始投资时刻t＝０结果表明贷款的最优投资比

例λlowast１ (t)与贷款收益率的期望溢价μL －r之间是正相关的它与存款收益率的期望

溢价μD －r贷款回报波动率σL价格波动率σP 和通胀风险相关性ρL 之间是负相

关类似地关于存款的最优投资比例λlowast２ (t)具有一致的结论具体的数值分析结

果详见本文附录三

　　(二)最优贷款投资路径和最优存款投资路径

在最优投资路径的数值分析中我们采用蒙特卡洛模拟方法分别对贷款和存

款的最优投资比例模拟了１０００次最优路径并计算平均权重最终模拟得到整个投

资期 [０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径然后我们通过在基准情形

的基础上调整相应的参数设置分别考察损失厌恶偏好通胀风险对风险资产最优

投资路径的影响

１1049008 损失厌恶偏好的影响

在考察损失厌恶偏好的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情

形(按初始的参数设置其中参考点和损失厌恶比率分别为θ＝６０AB＝２1049008２５图

１中黑色实线表示)较高损失厌恶程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌

恶比率分别调整为θ＝６０AB＝４1049008５０)较高参考点的情形(保持其他参数不变参

考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝２1049008２５)较高参考点较高损失厌恶

图１　 参考点θ和损失厌恶比率AB 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０８　　

程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝

４1049008５０图中蓝色点线表示)我们的结果充分说明了损失厌恶偏好显著地改变银行

的风险资产配置行为

如图１所示我们发现与S型效用表示的银行损失厌恶偏好一致随着参考点

θ的逐渐增大银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和存款最优投资λlowast

２ (t)增大当θ处于较

高水平时银行是风险偏好的愿意增加其风险资产的投资比例这是因为较高的

参考点水平是难以实现的尤其当θ高于某一阈值时银行将处于损失的区域此时

银行是损失厌恶的为了减小亏损银行愿意承担更大的风险它会随着参考点水

平进一步提高增大贷款的发放和存款的吸收以尽可能地使资产积累达到参考点

水平在保持参考点θ不变的条件下当损失厌恶比率AB 增大时表明银行更加

厌恶损失它会降低贷款和存款的投资比例以避免承担过大的风险随着投资时

刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和存款最优投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻由于银行是损失厌恶的参考点θ越高λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越大但是在参考点θ

一定的条件下银行越厌恶风险损失厌恶比率AB 越大λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)将有所

减小

银行在进行资产配置的过程中存在损失厌恶偏好一个可能的解释是资本约束

效应Calem 等(１９９９)证明了银行资本与风险承担之间呈 U 形关系对于资本水平

低的银行来说银行的风险偏好较低当资本达到某一特定的门槛值后经营杠杆压

力增大充裕的资本缓冲使银行开始倾向于追逐高风险高收益项目以获得更多利

润银行风险承担的激励更大Berger等(１９９４)Haq等(２０１２)的实证研究支持上

述资本约束效应的存在因此在资本较低的情形下银行的规模相对较小小银行

为了避免破产风险它对风险资产投资的投资比例较低此时银行是风险厌恶的在

资本达到一定水平后银行的规模相对较大大银行的资产组合满足甚至超过目标

参考点水平她会愿意接受更多的风险来追求更高的收益而不仅仅是把财富投资

到无风险资产去保证获取较低的收益水平此时银行是风险偏好的

２1049008 通胀风险的影响

在考察通胀风险的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情形(按

初始的参数设置其中价格波动率和通胀风险相关系数分别为σP＝０1049008１５ １－ρ２L ＝

０1049008８７图２中黑色实线表示)较高通胀风险的情形(保持其他参数不变价格波动率

和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008８７)较低通胀风险相关程

度的情形(保持其他参数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０９　　

０1049008１５ １－ρ２L ＝０1049008６０)较高通胀风险较低通胀风险相关程度的情形(保持其他参

数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008６０)

我们的结果充分说明通胀风险对银行的风险资产配置具有重要的作用

图２　价格波动率σP 和通胀风险相关系数ρL 的影响

如图２所示我们发现当价格波动率σP 增大时银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和

存款最优投资λlowast２ (t)随之减小这是因为随着通胀波动率增大贷款回报和存款价格

的不确定性增大从而银行的风险资产投资降低在保持σP 一定的条件下通胀风

险相关系数１－ρL 越大贷款最优投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)越高

说明在通胀不确定性越大的情形中损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款

和发放贷款的规模以实现参考点利润水平或最小化偏离θ的概率进一步比较不

同的通胀风险相关系数１－ρL我们还发现在１－ρL 处于较高水平时通胀风险σP 增

大相同比例贷款最优投资λlowast１ (t)和最优存款投资λlowast

２ (t)的下降幅度更大随着投

资时刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻通胀风险越高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越小在通胀风险一定的条件

下通胀风险与风险资产回报的相关性越高银行为了减小潜在损失也会提高风险

资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

这一研究发现与货币政策银行风险承担渠道的ldquo央行沟通效应rdquo相符ldquo央行沟

通效应rdquo认为中央银行的沟通策略对银行风险承担具有正向影响即央行沟通能够

提高货币政策透明度增强银行对货币政策走向的预测能力那么银行将会预测央

行在经济形势开始恶化时未来会主动大幅度地降低利率从而会显著增加其风险承

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１０　　

担(Borio和Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５)结合图２可

以发现当通胀风险相关系数 １－ρ２L 足够大时中央银行提高货币政策透明度可

以减少通胀波动的不确定性具有损失厌恶偏好的银行的贷款和存款的投资比例显

著增加风险承担能力更强

　　(三)S型效用和CRRA型效用的对比

由式(２０)至式(２１)可知具有CRRA型风险厌恶偏好的银行的最优风险资产投

资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小贷款和存款的最优投资比例越低具有

损失厌恶偏好的银行的最优风险资产投资比例是时变的与外部市场状况相关为

了进一步考察S型效用和CRRA型效用下银行贷款投资和存款投资的差异我们进

行了两种数值模拟①根据基准情形的参数设置关注在初始投资时刻t＝０时定价

核对贷款投资比例和存款投资比例的影响② 采用蒙特卡洛方法模拟得到不同效

用下整个投资期[０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径模拟次数为

１０００次

图３显示了在S型效用和CRRA型效用中定价核对银行的贷款最优投资比例

和存款最优投资比例的差异性影响从图３可以发现在 CRRA 型效用下银行的

贷款和存款投资比例是常数不随市场状况而发生变化在S型效用下损失厌恶

的银行会采取一个更加灵活的贷款和存款投资策略当定价核很低的时候市场状

况比较好风险资产收益较高银行愿意承担更大的风险来追求更高的收益当定

图３　定价核H(t)对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１１　　

价核变大的时候市场状况不断恶化此时银行面临损失的可能性增大银行逐渐减

小贷款和存款的投资比例因此在S型效用下具有损失厌恶偏好的银行能够更

好地进行风险管理

图４显示在S型效用和CRRA型效用下银行的贷款最优投资路径和存款最优

投资路径具有明显的差异性从图４可以发现在 CRRA 型效用下银行的贷款和

存款投资比例在整个投资期内是保持不变的不随时间而发生变化在 S型效用

下银行的贷款最优投资路径和存款最优投资路径具有时变特征随着投资时刻t的增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期T时刻

银行为了最大化利润(处于厌恶风险区域)或者尽可能减小潜在损失(处于偏好风

险区域)银行都会提高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

图４　不同效用函数下的最优贷款投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)

五结　　论

本文利用S型效用函数框架研究了一个包含通胀风险和损失厌恶偏好的银行

的资产组合管理问题首先我们将Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的S型效

用框架拓展到Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的银行资产负债管理分析范式在

PyleＧHartＧJaffee的分析范式中存款相当于负的资产其次我们通过引入通胀风险

刻画宏观风险对银行的风险偏好的重要影响

我们所得到的银行的最优投资策略解析解表明具有损失厌恶偏好的银行的最

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

参 考 文 献

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第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０２　　

根据 Kahneman和 Tversky(１９７９)提出的前景理论投资者经常基于某一目标

参考水平进行决策关注的是实际财富与该目标参考水平之间的差异与收益相比

投资者对损失更加敏感因此我们采用具有损失厌恶特征的S型效用函数来刻画

银行的偏好即

U(Xλ(T))＝－A(θ－Xλ(t))γ１ ifXλ(t)leθ

B(Xλ(t)－θ)γ２ ifXλ(t)＞θ (８)

其中A 和B 是两个正的常数A ＞B 代表着损失厌恶损失厌恶比率AB 越大损

失厌恶的程度越高γ１ 和γ２ 是损失区域和收益区域的曲率系数一般假定０＜γ１ ＜

１和０＜γ２ ＜１此时效用函数是S型效用函数θ是目标利润水平即参考点参考

点θ一般是提前选定的对资产组合管理策略有直接影响θ通常大于零当外部市

场环境较好时银行的资产组合产生的收益将不低于参考点θ反之其资产组合收

益将低于参考点θ

假定银行在时间 [０T]内进行投资其面临的决策问题可以表述为

maxλ

E[U(Xλ(T))]

stλsatisfies(７) (９)

同时银行在时间 [０T]内满足偿付能力约束Xλ(t)ge０

三模型求解与结果分析

在本部分我们将求解损失厌恶银行的最优风险资产配置决策并分析通胀风

险对银行最优风险资产配置决策的影响然后我们考虑两个特例比较损失厌恶

偏好与通胀风险的引入如何改变银行最优风险资产配置决策

　　(一)基本结果

由于银行是损失厌恶的我们采用鞅方法来求解其最优资产组合具体步骤为

首先求解一个静态的终端问题得到银行的最优终端资产然后复制出对应于此

终端资产的最优资产组合策略

为了简化起见记我们需要求解的终端静态问题为

maxλ

E[U(Xλ(T))]

stE[Xλ(T)H(T)]＝x０

Xλ(T)ge０

(１０)

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０３　　

利用Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的鞅方法求解上述终端静态问题我们

可以得到在贷款到期时银行的最优终端资产

命题１损失厌恶的银行的最优终端资产Xλlowast (T)为

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(１１)

其中H－

满足f(H－)＝０函数f 具有如下的形式

f(x)＝１－γ２

γ２

１yxaelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyx＋Aθγ１

和y ＞０是Lagrange乘子满足

E[H(T)Xλlowast (T)]＝x０

证明见本文附录一

命题１表明具有损失厌恶偏好的银行的最优终端资产的表现形式是一个不连

续的分段 函 数银 行 的 最 优 终 端 资 产 取 决 于 外 部 市 场 环 境即 或 者 等 于θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

或者等于０具体而言在较好的外部市场环境中定价核较小风险

资产收益较高银行能够从资产组合中获得足够收益在较恶劣的市场环境中定价

核较大风险资产收益下降银行资产组合的损失可能性增大

在求得贷款合同到期时刻的最优终端资产之后我们进一步推导出银行的最优

资产端和风险资产的最优投资比例

命题２(１)损失厌恶的银行的最优资产为

Xλlowast (t)＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－))＋

Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (１２)

其中

d１(x)＝log

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(１３)

d２(x)＝d１(x)＋ξ T－t

１－γ２

(１４)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０４　　

Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t) (１５)

另外H－

和y ＞０由命题１给定

(２)记Λ(t)＝θe－r(T－t)

ξ T－tφ(d１(H

－))＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)aelig

egraveccedilccedil

φ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

ouml

oslashdividedivide 其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数φ(1048944)表示标准正态分

布的概率密度函数那么银行投资到风险资产的最优比例为

λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t)

Λ(t) (１６)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１ (t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivideΛ(t)

Xλlowast (t)　　　　　　　　　 (１７)

λlowast２ (t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivideΛ(t)

Xλlowast (t)(１８)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ (t)＞０λlowast

２ (t)＜０

证明见本文附录二

命题２表明在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行将在贷款业务中进

行正向投资在存款业务中进行负向投资如果μD ＜r＜μL贷款回报的期望溢价

μL －r大于０存款价格的期望溢价μD －r小于０则银行在贷款的最优投资比例为

λlowast１ (t)＞０在存款的最优投资比例为λlowast

２ (t)＜０

如果μD ＜r＜μL 不成立得到的结论λlowast１ (t)＜０即银行提供两种类型存款

并投资于无风险债券或者λlowast２ (t)＞０相当于银行以无风险利率借入资金同时投

资于包括两种类型贷款显然不符合现实中银行的传统资产负债业务

由命题２我们可以得到以下推论

推论１对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是μL －r的增函

数同时又是μD －r的减函数存款的最优投资比例|λlowast２ (t)|是μL－r的增函数同

时又是μD －r的减函数

推论１表明根据风险资产的预期溢价的变化损失厌恶的银行将相应调整贷款

和存款的最优投资比例这是因为贷款期望收益率μL 增大时贷款回报的预期溢价

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０５　　

上升投资在贷款上的比例增加同时需要吸收更多的存款以满足贷款发放规模的

增加存款期望收益率μD 增大时存款价格的预期溢价上升投资在存款上的比例

减少同时贷款回报的预期风险溢价相对下降投资在贷款上的比例相应减小

推论２对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是σLσP 和ρL 的

减函数存款的最优投资|λlowast２ (t)|是σLσP 和ρL 的减函数

推论２表明经济不确定性越大银行发放贷款和吸收存款的激励越大一般而

言σL 和σP 越大贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的

激励越小但是ρL 越小贷款回报率与通胀风险的相关性越大在通胀风险较高

的情形中相关系数 １－ρ２L 越大损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款和

发放贷款的规模以最大化其利润水平达到参考点θ的概率避免潜在亏损对目标利

润的负面影响

　　(二)结果分析

首先如果不考虑通胀风险的影响我们假定ρL ＝１即贷款回报与通胀风险不

存在相关性贷款回报过程服从如下几何布朗运动

dRL(t)

RL(t)＝μLdt＋σLdzi(t)RL(０)＝RL０ ＞０ (１９)

此时波动率矩阵简化为σ＝０ σL

σP ０

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide 经过一些简单的计算我们可以得到银行

的贷款最优投资比例和最优存款投资比例分别为

λlowast１ρ(t)＝

μL －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２０)

λlowast２ρ(t)＝

μD －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２１)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ ρ

(t)＞０λlowast２ ρ

(t)＜０其中Λ(t)仍是前文所定义

的结果表明贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的激

励越小在外部市场状况不好时由于通胀风险不影响贷款回报在一定程度上降低

其利润水平偏离参考点θ 的概率损失厌恶的银行增加贷款和存款的激励相对较

小这一投资策略显然与我们模型中损失厌恶的银行处于通胀风险下的投资策略

有所不同进一步由式(１７)和式(２０)式(１８)和式(２１)可知当存在通胀风险相关

性时无风险利率r越低银行对风险资产的投资比例越高且在低利率环境下通胀

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０６　　

风险相关性 １－ρ２L 越大银行的风险投资激励越强

最后参考Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的分析范式假定银行在风险厌恶偏

好的前提下进行资产组合管理在我们的模型中当参考点水平θ等于零时效用函数

即退化到了CRRA型即银行是风险厌恶的此时银行的最优风险资产投资比例为

λlowastCRRA(t)＝

σ－１ξ

１－γ２

(２２)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１CRRA(t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２　　　　　　　　　 (２３)

λlowast２CRRA(t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２

(２４)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１CRRA(t)＞０λlowast

２CRRA(t)＜０结果表明具有风险厌恶偏

好的银行的最优风险资产投资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小(γ２ 越小)

贷款和存款的最优投资比例越低这一投资策略明显与损失厌恶的银行的投资策

略具有较大差异性在我们的模型中银行的风险资产投资策略是时变的且具有

随着市场状况变化的特征

四数 值 模 拟

在本部分我们进行数值模拟分析主要考察损失厌恶偏好通胀风险对银行最

优风险资产投资策略的影响并进一步比较在S型效用函数和传统的CRRA 效用下

银行的贷款和存款的投资行为特性

　　(一)基准情形

首先我们使用如下的参数设置作为数值模拟的基准情形在基准情形中代

表性银行初始资产为x０＝１０无风险利率水平为r＝０1049008０５投资期限为T＝２０(年)

贷款回报过程的漂移率和波动率分别为μL＝０1049008０７和σL＝０1049008２０存款价格过程的漂移

率为μD ＝０1049008０３５价格过程的漂移率和波动率分别为μP ＝０1049008０３和σP ＝０1049008１５相关系

数为ρL ＝０1049008５

对于S型效用函数中的参数我们主要依据 Kahneman和 Tversky(１９９２)的估

计假设①A＝２1049008２５B＝１A ＞B体现了投资者具有损失厌恶的特性② 银行对

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０７　　

损失厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008１５对风险厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008２０③ 财富参考

点水平为θ＝６０

根据基准情形的参数设置我们分别对推论１和推论２进行了数值分析为了简

便和不失一般性我们主要关注初始投资时刻t＝０结果表明贷款的最优投资比

例λlowast１ (t)与贷款收益率的期望溢价μL －r之间是正相关的它与存款收益率的期望

溢价μD －r贷款回报波动率σL价格波动率σP 和通胀风险相关性ρL 之间是负相

关类似地关于存款的最优投资比例λlowast２ (t)具有一致的结论具体的数值分析结

果详见本文附录三

　　(二)最优贷款投资路径和最优存款投资路径

在最优投资路径的数值分析中我们采用蒙特卡洛模拟方法分别对贷款和存

款的最优投资比例模拟了１０００次最优路径并计算平均权重最终模拟得到整个投

资期 [０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径然后我们通过在基准情形

的基础上调整相应的参数设置分别考察损失厌恶偏好通胀风险对风险资产最优

投资路径的影响

１1049008 损失厌恶偏好的影响

在考察损失厌恶偏好的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情

形(按初始的参数设置其中参考点和损失厌恶比率分别为θ＝６０AB＝２1049008２５图

１中黑色实线表示)较高损失厌恶程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌

恶比率分别调整为θ＝６０AB＝４1049008５０)较高参考点的情形(保持其他参数不变参

考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝２1049008２５)较高参考点较高损失厌恶

图１　 参考点θ和损失厌恶比率AB 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０８　　

程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝

４1049008５０图中蓝色点线表示)我们的结果充分说明了损失厌恶偏好显著地改变银行

的风险资产配置行为

如图１所示我们发现与S型效用表示的银行损失厌恶偏好一致随着参考点

θ的逐渐增大银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和存款最优投资λlowast

２ (t)增大当θ处于较

高水平时银行是风险偏好的愿意增加其风险资产的投资比例这是因为较高的

参考点水平是难以实现的尤其当θ高于某一阈值时银行将处于损失的区域此时

银行是损失厌恶的为了减小亏损银行愿意承担更大的风险它会随着参考点水

平进一步提高增大贷款的发放和存款的吸收以尽可能地使资产积累达到参考点

水平在保持参考点θ不变的条件下当损失厌恶比率AB 增大时表明银行更加

厌恶损失它会降低贷款和存款的投资比例以避免承担过大的风险随着投资时

刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和存款最优投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻由于银行是损失厌恶的参考点θ越高λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越大但是在参考点θ

一定的条件下银行越厌恶风险损失厌恶比率AB 越大λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)将有所

减小

银行在进行资产配置的过程中存在损失厌恶偏好一个可能的解释是资本约束

效应Calem 等(１９９９)证明了银行资本与风险承担之间呈 U 形关系对于资本水平

低的银行来说银行的风险偏好较低当资本达到某一特定的门槛值后经营杠杆压

力增大充裕的资本缓冲使银行开始倾向于追逐高风险高收益项目以获得更多利

润银行风险承担的激励更大Berger等(１９９４)Haq等(２０１２)的实证研究支持上

述资本约束效应的存在因此在资本较低的情形下银行的规模相对较小小银行

为了避免破产风险它对风险资产投资的投资比例较低此时银行是风险厌恶的在

资本达到一定水平后银行的规模相对较大大银行的资产组合满足甚至超过目标

参考点水平她会愿意接受更多的风险来追求更高的收益而不仅仅是把财富投资

到无风险资产去保证获取较低的收益水平此时银行是风险偏好的

２1049008 通胀风险的影响

在考察通胀风险的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情形(按

初始的参数设置其中价格波动率和通胀风险相关系数分别为σP＝０1049008１５ １－ρ２L ＝

０1049008８７图２中黑色实线表示)较高通胀风险的情形(保持其他参数不变价格波动率

和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008８７)较低通胀风险相关程

度的情形(保持其他参数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０９　　

０1049008１５ １－ρ２L ＝０1049008６０)较高通胀风险较低通胀风险相关程度的情形(保持其他参

数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008６０)

我们的结果充分说明通胀风险对银行的风险资产配置具有重要的作用

图２　价格波动率σP 和通胀风险相关系数ρL 的影响

如图２所示我们发现当价格波动率σP 增大时银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和

存款最优投资λlowast２ (t)随之减小这是因为随着通胀波动率增大贷款回报和存款价格

的不确定性增大从而银行的风险资产投资降低在保持σP 一定的条件下通胀风

险相关系数１－ρL 越大贷款最优投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)越高

说明在通胀不确定性越大的情形中损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款

和发放贷款的规模以实现参考点利润水平或最小化偏离θ的概率进一步比较不

同的通胀风险相关系数１－ρL我们还发现在１－ρL 处于较高水平时通胀风险σP 增

大相同比例贷款最优投资λlowast１ (t)和最优存款投资λlowast

２ (t)的下降幅度更大随着投

资时刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻通胀风险越高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越小在通胀风险一定的条件

下通胀风险与风险资产回报的相关性越高银行为了减小潜在损失也会提高风险

资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

这一研究发现与货币政策银行风险承担渠道的ldquo央行沟通效应rdquo相符ldquo央行沟

通效应rdquo认为中央银行的沟通策略对银行风险承担具有正向影响即央行沟通能够

提高货币政策透明度增强银行对货币政策走向的预测能力那么银行将会预测央

行在经济形势开始恶化时未来会主动大幅度地降低利率从而会显著增加其风险承

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１０　　

担(Borio和Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５)结合图２可

以发现当通胀风险相关系数 １－ρ２L 足够大时中央银行提高货币政策透明度可

以减少通胀波动的不确定性具有损失厌恶偏好的银行的贷款和存款的投资比例显

著增加风险承担能力更强

　　(三)S型效用和CRRA型效用的对比

由式(２０)至式(２１)可知具有CRRA型风险厌恶偏好的银行的最优风险资产投

资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小贷款和存款的最优投资比例越低具有

损失厌恶偏好的银行的最优风险资产投资比例是时变的与外部市场状况相关为

了进一步考察S型效用和CRRA型效用下银行贷款投资和存款投资的差异我们进

行了两种数值模拟①根据基准情形的参数设置关注在初始投资时刻t＝０时定价

核对贷款投资比例和存款投资比例的影响② 采用蒙特卡洛方法模拟得到不同效

用下整个投资期[０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径模拟次数为

１０００次

图３显示了在S型效用和CRRA型效用中定价核对银行的贷款最优投资比例

和存款最优投资比例的差异性影响从图３可以发现在 CRRA 型效用下银行的

贷款和存款投资比例是常数不随市场状况而发生变化在S型效用下损失厌恶

的银行会采取一个更加灵活的贷款和存款投资策略当定价核很低的时候市场状

况比较好风险资产收益较高银行愿意承担更大的风险来追求更高的收益当定

图３　定价核H(t)对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１１　　

价核变大的时候市场状况不断恶化此时银行面临损失的可能性增大银行逐渐减

小贷款和存款的投资比例因此在S型效用下具有损失厌恶偏好的银行能够更

好地进行风险管理

图４显示在S型效用和CRRA型效用下银行的贷款最优投资路径和存款最优

投资路径具有明显的差异性从图４可以发现在 CRRA 型效用下银行的贷款和

存款投资比例在整个投资期内是保持不变的不随时间而发生变化在 S型效用

下银行的贷款最优投资路径和存款最优投资路径具有时变特征随着投资时刻t的增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期T时刻

银行为了最大化利润(处于厌恶风险区域)或者尽可能减小潜在损失(处于偏好风

险区域)银行都会提高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

图４　不同效用函数下的最优贷款投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)

五结　　论

本文利用S型效用函数框架研究了一个包含通胀风险和损失厌恶偏好的银行

的资产组合管理问题首先我们将Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的S型效

用框架拓展到Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的银行资产负债管理分析范式在

PyleＧHartＧJaffee的分析范式中存款相当于负的资产其次我们通过引入通胀风险

刻画宏观风险对银行的风险偏好的重要影响

我们所得到的银行的最优投资策略解析解表明具有损失厌恶偏好的银行的最

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

参 考 文 献

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金 融 学 季 刊 第１４卷

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第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０３　　

利用Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的鞅方法求解上述终端静态问题我们

可以得到在贷款到期时银行的最优终端资产

命题１损失厌恶的银行的最优终端资产Xλlowast (T)为

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(１１)

其中H－

满足f(H－)＝０函数f 具有如下的形式

f(x)＝１－γ２

γ２

１yxaelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyx＋Aθγ１

和y ＞０是Lagrange乘子满足

E[H(T)Xλlowast (T)]＝x０

证明见本文附录一

命题１表明具有损失厌恶偏好的银行的最优终端资产的表现形式是一个不连

续的分段 函 数银 行 的 最 优 终 端 资 产 取 决 于 外 部 市 场 环 境即 或 者 等 于θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

或者等于０具体而言在较好的外部市场环境中定价核较小风险

资产收益较高银行能够从资产组合中获得足够收益在较恶劣的市场环境中定价

核较大风险资产收益下降银行资产组合的损失可能性增大

在求得贷款合同到期时刻的最优终端资产之后我们进一步推导出银行的最优

资产端和风险资产的最优投资比例

命题２(１)损失厌恶的银行的最优资产为

Xλlowast (t)＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－))＋

Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (１２)

其中

d１(x)＝log

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(１３)

d２(x)＝d１(x)＋ξ T－t

１－γ２

(１４)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０４　　

Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t) (１５)

另外H－

和y ＞０由命题１给定

(２)记Λ(t)＝θe－r(T－t)

ξ T－tφ(d１(H

－))＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)aelig

egraveccedilccedil

φ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

ouml

oslashdividedivide 其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数φ(1048944)表示标准正态分

布的概率密度函数那么银行投资到风险资产的最优比例为

λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t)

Λ(t) (１６)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１ (t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivideΛ(t)

Xλlowast (t)　　　　　　　　　 (１７)

λlowast２ (t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivideΛ(t)

Xλlowast (t)(１８)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ (t)＞０λlowast

２ (t)＜０

证明见本文附录二

命题２表明在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行将在贷款业务中进

行正向投资在存款业务中进行负向投资如果μD ＜r＜μL贷款回报的期望溢价

μL －r大于０存款价格的期望溢价μD －r小于０则银行在贷款的最优投资比例为

λlowast１ (t)＞０在存款的最优投资比例为λlowast

２ (t)＜０

如果μD ＜r＜μL 不成立得到的结论λlowast１ (t)＜０即银行提供两种类型存款

并投资于无风险债券或者λlowast２ (t)＞０相当于银行以无风险利率借入资金同时投

资于包括两种类型贷款显然不符合现实中银行的传统资产负债业务

由命题２我们可以得到以下推论

推论１对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是μL －r的增函

数同时又是μD －r的减函数存款的最优投资比例|λlowast２ (t)|是μL－r的增函数同

时又是μD －r的减函数

推论１表明根据风险资产的预期溢价的变化损失厌恶的银行将相应调整贷款

和存款的最优投资比例这是因为贷款期望收益率μL 增大时贷款回报的预期溢价

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０５　　

上升投资在贷款上的比例增加同时需要吸收更多的存款以满足贷款发放规模的

增加存款期望收益率μD 增大时存款价格的预期溢价上升投资在存款上的比例

减少同时贷款回报的预期风险溢价相对下降投资在贷款上的比例相应减小

推论２对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是σLσP 和ρL 的

减函数存款的最优投资|λlowast２ (t)|是σLσP 和ρL 的减函数

推论２表明经济不确定性越大银行发放贷款和吸收存款的激励越大一般而

言σL 和σP 越大贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的

激励越小但是ρL 越小贷款回报率与通胀风险的相关性越大在通胀风险较高

的情形中相关系数 １－ρ２L 越大损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款和

发放贷款的规模以最大化其利润水平达到参考点θ的概率避免潜在亏损对目标利

润的负面影响

　　(二)结果分析

首先如果不考虑通胀风险的影响我们假定ρL ＝１即贷款回报与通胀风险不

存在相关性贷款回报过程服从如下几何布朗运动

dRL(t)

RL(t)＝μLdt＋σLdzi(t)RL(０)＝RL０ ＞０ (１９)

此时波动率矩阵简化为σ＝０ σL

σP ０

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide 经过一些简单的计算我们可以得到银行

的贷款最优投资比例和最优存款投资比例分别为

λlowast１ρ(t)＝

μL －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２０)

λlowast２ρ(t)＝

μD －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２１)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ ρ

(t)＞０λlowast２ ρ

(t)＜０其中Λ(t)仍是前文所定义

的结果表明贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的激

励越小在外部市场状况不好时由于通胀风险不影响贷款回报在一定程度上降低

其利润水平偏离参考点θ 的概率损失厌恶的银行增加贷款和存款的激励相对较

小这一投资策略显然与我们模型中损失厌恶的银行处于通胀风险下的投资策略

有所不同进一步由式(１７)和式(２０)式(１８)和式(２１)可知当存在通胀风险相关

性时无风险利率r越低银行对风险资产的投资比例越高且在低利率环境下通胀

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０６　　

风险相关性 １－ρ２L 越大银行的风险投资激励越强

最后参考Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的分析范式假定银行在风险厌恶偏

好的前提下进行资产组合管理在我们的模型中当参考点水平θ等于零时效用函数

即退化到了CRRA型即银行是风险厌恶的此时银行的最优风险资产投资比例为

λlowastCRRA(t)＝

σ－１ξ

１－γ２

(２２)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１CRRA(t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２　　　　　　　　　 (２３)

λlowast２CRRA(t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２

(２４)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１CRRA(t)＞０λlowast

２CRRA(t)＜０结果表明具有风险厌恶偏

好的银行的最优风险资产投资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小(γ２ 越小)

贷款和存款的最优投资比例越低这一投资策略明显与损失厌恶的银行的投资策

略具有较大差异性在我们的模型中银行的风险资产投资策略是时变的且具有

随着市场状况变化的特征

四数 值 模 拟

在本部分我们进行数值模拟分析主要考察损失厌恶偏好通胀风险对银行最

优风险资产投资策略的影响并进一步比较在S型效用函数和传统的CRRA 效用下

银行的贷款和存款的投资行为特性

　　(一)基准情形

首先我们使用如下的参数设置作为数值模拟的基准情形在基准情形中代

表性银行初始资产为x０＝１０无风险利率水平为r＝０1049008０５投资期限为T＝２０(年)

贷款回报过程的漂移率和波动率分别为μL＝０1049008０７和σL＝０1049008２０存款价格过程的漂移

率为μD ＝０1049008０３５价格过程的漂移率和波动率分别为μP ＝０1049008０３和σP ＝０1049008１５相关系

数为ρL ＝０1049008５

对于S型效用函数中的参数我们主要依据 Kahneman和 Tversky(１９９２)的估

计假设①A＝２1049008２５B＝１A ＞B体现了投资者具有损失厌恶的特性② 银行对

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０７　　

损失厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008１５对风险厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008２０③ 财富参考

点水平为θ＝６０

根据基准情形的参数设置我们分别对推论１和推论２进行了数值分析为了简

便和不失一般性我们主要关注初始投资时刻t＝０结果表明贷款的最优投资比

例λlowast１ (t)与贷款收益率的期望溢价μL －r之间是正相关的它与存款收益率的期望

溢价μD －r贷款回报波动率σL价格波动率σP 和通胀风险相关性ρL 之间是负相

关类似地关于存款的最优投资比例λlowast２ (t)具有一致的结论具体的数值分析结

果详见本文附录三

　　(二)最优贷款投资路径和最优存款投资路径

在最优投资路径的数值分析中我们采用蒙特卡洛模拟方法分别对贷款和存

款的最优投资比例模拟了１０００次最优路径并计算平均权重最终模拟得到整个投

资期 [０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径然后我们通过在基准情形

的基础上调整相应的参数设置分别考察损失厌恶偏好通胀风险对风险资产最优

投资路径的影响

１1049008 损失厌恶偏好的影响

在考察损失厌恶偏好的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情

形(按初始的参数设置其中参考点和损失厌恶比率分别为θ＝６０AB＝２1049008２５图

１中黑色实线表示)较高损失厌恶程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌

恶比率分别调整为θ＝６０AB＝４1049008５０)较高参考点的情形(保持其他参数不变参

考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝２1049008２５)较高参考点较高损失厌恶

图１　 参考点θ和损失厌恶比率AB 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０８　　

程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝

４1049008５０图中蓝色点线表示)我们的结果充分说明了损失厌恶偏好显著地改变银行

的风险资产配置行为

如图１所示我们发现与S型效用表示的银行损失厌恶偏好一致随着参考点

θ的逐渐增大银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和存款最优投资λlowast

２ (t)增大当θ处于较

高水平时银行是风险偏好的愿意增加其风险资产的投资比例这是因为较高的

参考点水平是难以实现的尤其当θ高于某一阈值时银行将处于损失的区域此时

银行是损失厌恶的为了减小亏损银行愿意承担更大的风险它会随着参考点水

平进一步提高增大贷款的发放和存款的吸收以尽可能地使资产积累达到参考点

水平在保持参考点θ不变的条件下当损失厌恶比率AB 增大时表明银行更加

厌恶损失它会降低贷款和存款的投资比例以避免承担过大的风险随着投资时

刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和存款最优投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻由于银行是损失厌恶的参考点θ越高λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越大但是在参考点θ

一定的条件下银行越厌恶风险损失厌恶比率AB 越大λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)将有所

减小

银行在进行资产配置的过程中存在损失厌恶偏好一个可能的解释是资本约束

效应Calem 等(１９９９)证明了银行资本与风险承担之间呈 U 形关系对于资本水平

低的银行来说银行的风险偏好较低当资本达到某一特定的门槛值后经营杠杆压

力增大充裕的资本缓冲使银行开始倾向于追逐高风险高收益项目以获得更多利

润银行风险承担的激励更大Berger等(１９９４)Haq等(２０１２)的实证研究支持上

述资本约束效应的存在因此在资本较低的情形下银行的规模相对较小小银行

为了避免破产风险它对风险资产投资的投资比例较低此时银行是风险厌恶的在

资本达到一定水平后银行的规模相对较大大银行的资产组合满足甚至超过目标

参考点水平她会愿意接受更多的风险来追求更高的收益而不仅仅是把财富投资

到无风险资产去保证获取较低的收益水平此时银行是风险偏好的

２1049008 通胀风险的影响

在考察通胀风险的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情形(按

初始的参数设置其中价格波动率和通胀风险相关系数分别为σP＝０1049008１５ １－ρ２L ＝

０1049008８７图２中黑色实线表示)较高通胀风险的情形(保持其他参数不变价格波动率

和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008８７)较低通胀风险相关程

度的情形(保持其他参数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０９　　

０1049008１５ １－ρ２L ＝０1049008６０)较高通胀风险较低通胀风险相关程度的情形(保持其他参

数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008６０)

我们的结果充分说明通胀风险对银行的风险资产配置具有重要的作用

图２　价格波动率σP 和通胀风险相关系数ρL 的影响

如图２所示我们发现当价格波动率σP 增大时银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和

存款最优投资λlowast２ (t)随之减小这是因为随着通胀波动率增大贷款回报和存款价格

的不确定性增大从而银行的风险资产投资降低在保持σP 一定的条件下通胀风

险相关系数１－ρL 越大贷款最优投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)越高

说明在通胀不确定性越大的情形中损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款

和发放贷款的规模以实现参考点利润水平或最小化偏离θ的概率进一步比较不

同的通胀风险相关系数１－ρL我们还发现在１－ρL 处于较高水平时通胀风险σP 增

大相同比例贷款最优投资λlowast１ (t)和最优存款投资λlowast

２ (t)的下降幅度更大随着投

资时刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻通胀风险越高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越小在通胀风险一定的条件

下通胀风险与风险资产回报的相关性越高银行为了减小潜在损失也会提高风险

资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

这一研究发现与货币政策银行风险承担渠道的ldquo央行沟通效应rdquo相符ldquo央行沟

通效应rdquo认为中央银行的沟通策略对银行风险承担具有正向影响即央行沟通能够

提高货币政策透明度增强银行对货币政策走向的预测能力那么银行将会预测央

行在经济形势开始恶化时未来会主动大幅度地降低利率从而会显著增加其风险承

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１０　　

担(Borio和Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５)结合图２可

以发现当通胀风险相关系数 １－ρ２L 足够大时中央银行提高货币政策透明度可

以减少通胀波动的不确定性具有损失厌恶偏好的银行的贷款和存款的投资比例显

著增加风险承担能力更强

　　(三)S型效用和CRRA型效用的对比

由式(２０)至式(２１)可知具有CRRA型风险厌恶偏好的银行的最优风险资产投

资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小贷款和存款的最优投资比例越低具有

损失厌恶偏好的银行的最优风险资产投资比例是时变的与外部市场状况相关为

了进一步考察S型效用和CRRA型效用下银行贷款投资和存款投资的差异我们进

行了两种数值模拟①根据基准情形的参数设置关注在初始投资时刻t＝０时定价

核对贷款投资比例和存款投资比例的影响② 采用蒙特卡洛方法模拟得到不同效

用下整个投资期[０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径模拟次数为

１０００次

图３显示了在S型效用和CRRA型效用中定价核对银行的贷款最优投资比例

和存款最优投资比例的差异性影响从图３可以发现在 CRRA 型效用下银行的

贷款和存款投资比例是常数不随市场状况而发生变化在S型效用下损失厌恶

的银行会采取一个更加灵活的贷款和存款投资策略当定价核很低的时候市场状

况比较好风险资产收益较高银行愿意承担更大的风险来追求更高的收益当定

图３　定价核H(t)对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１１　　

价核变大的时候市场状况不断恶化此时银行面临损失的可能性增大银行逐渐减

小贷款和存款的投资比例因此在S型效用下具有损失厌恶偏好的银行能够更

好地进行风险管理

图４显示在S型效用和CRRA型效用下银行的贷款最优投资路径和存款最优

投资路径具有明显的差异性从图４可以发现在 CRRA 型效用下银行的贷款和

存款投资比例在整个投资期内是保持不变的不随时间而发生变化在 S型效用

下银行的贷款最优投资路径和存款最优投资路径具有时变特征随着投资时刻t的增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期T时刻

银行为了最大化利润(处于厌恶风险区域)或者尽可能减小潜在损失(处于偏好风

险区域)银行都会提高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

图４　不同效用函数下的最优贷款投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)

五结　　论

本文利用S型效用函数框架研究了一个包含通胀风险和损失厌恶偏好的银行

的资产组合管理问题首先我们将Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的S型效

用框架拓展到Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的银行资产负债管理分析范式在

PyleＧHartＧJaffee的分析范式中存款相当于负的资产其次我们通过引入通胀风险

刻画宏观风险对银行的风险偏好的重要影响

我们所得到的银行的最优投资策略解析解表明具有损失厌恶偏好的银行的最

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

参 考 文 献

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第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０４　　

Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t) (１５)

另外H－

和y ＞０由命题１给定

(２)记Λ(t)＝θe－r(T－t)

ξ T－tφ(d１(H

－))＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)aelig

egraveccedilccedil

φ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

ouml

oslashdividedivide 其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数φ(1048944)表示标准正态分

布的概率密度函数那么银行投资到风险资产的最优比例为

λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t)

Λ(t) (１６)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１ (t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivideΛ(t)

Xλlowast (t)　　　　　　　　　 (１７)

λlowast２ (t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivideΛ(t)

Xλlowast (t)(１８)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ (t)＞０λlowast

２ (t)＜０

证明见本文附录二

命题２表明在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行将在贷款业务中进

行正向投资在存款业务中进行负向投资如果μD ＜r＜μL贷款回报的期望溢价

μL －r大于０存款价格的期望溢价μD －r小于０则银行在贷款的最优投资比例为

λlowast１ (t)＞０在存款的最优投资比例为λlowast

２ (t)＜０

如果μD ＜r＜μL 不成立得到的结论λlowast１ (t)＜０即银行提供两种类型存款

并投资于无风险债券或者λlowast２ (t)＞０相当于银行以无风险利率借入资金同时投

资于包括两种类型贷款显然不符合现实中银行的传统资产负债业务

由命题２我们可以得到以下推论

推论１对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是μL －r的增函

数同时又是μD －r的减函数存款的最优投资比例|λlowast２ (t)|是μL－r的增函数同

时又是μD －r的减函数

推论１表明根据风险资产的预期溢价的变化损失厌恶的银行将相应调整贷款

和存款的最优投资比例这是因为贷款期望收益率μL 增大时贷款回报的预期溢价

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０５　　

上升投资在贷款上的比例增加同时需要吸收更多的存款以满足贷款发放规模的

增加存款期望收益率μD 增大时存款价格的预期溢价上升投资在存款上的比例

减少同时贷款回报的预期风险溢价相对下降投资在贷款上的比例相应减小

推论２对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是σLσP 和ρL 的

减函数存款的最优投资|λlowast２ (t)|是σLσP 和ρL 的减函数

推论２表明经济不确定性越大银行发放贷款和吸收存款的激励越大一般而

言σL 和σP 越大贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的

激励越小但是ρL 越小贷款回报率与通胀风险的相关性越大在通胀风险较高

的情形中相关系数 １－ρ２L 越大损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款和

发放贷款的规模以最大化其利润水平达到参考点θ的概率避免潜在亏损对目标利

润的负面影响

　　(二)结果分析

首先如果不考虑通胀风险的影响我们假定ρL ＝１即贷款回报与通胀风险不

存在相关性贷款回报过程服从如下几何布朗运动

dRL(t)

RL(t)＝μLdt＋σLdzi(t)RL(０)＝RL０ ＞０ (１９)

此时波动率矩阵简化为σ＝０ σL

σP ０

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide 经过一些简单的计算我们可以得到银行

的贷款最优投资比例和最优存款投资比例分别为

λlowast１ρ(t)＝

μL －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２０)

λlowast２ρ(t)＝

μD －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２１)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ ρ

(t)＞０λlowast２ ρ

(t)＜０其中Λ(t)仍是前文所定义

的结果表明贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的激

励越小在外部市场状况不好时由于通胀风险不影响贷款回报在一定程度上降低

其利润水平偏离参考点θ 的概率损失厌恶的银行增加贷款和存款的激励相对较

小这一投资策略显然与我们模型中损失厌恶的银行处于通胀风险下的投资策略

有所不同进一步由式(１７)和式(２０)式(１８)和式(２１)可知当存在通胀风险相关

性时无风险利率r越低银行对风险资产的投资比例越高且在低利率环境下通胀

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０６　　

风险相关性 １－ρ２L 越大银行的风险投资激励越强

最后参考Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的分析范式假定银行在风险厌恶偏

好的前提下进行资产组合管理在我们的模型中当参考点水平θ等于零时效用函数

即退化到了CRRA型即银行是风险厌恶的此时银行的最优风险资产投资比例为

λlowastCRRA(t)＝

σ－１ξ

１－γ２

(２２)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１CRRA(t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２　　　　　　　　　 (２３)

λlowast２CRRA(t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２

(２４)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１CRRA(t)＞０λlowast

２CRRA(t)＜０结果表明具有风险厌恶偏

好的银行的最优风险资产投资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小(γ２ 越小)

贷款和存款的最优投资比例越低这一投资策略明显与损失厌恶的银行的投资策

略具有较大差异性在我们的模型中银行的风险资产投资策略是时变的且具有

随着市场状况变化的特征

四数 值 模 拟

在本部分我们进行数值模拟分析主要考察损失厌恶偏好通胀风险对银行最

优风险资产投资策略的影响并进一步比较在S型效用函数和传统的CRRA 效用下

银行的贷款和存款的投资行为特性

　　(一)基准情形

首先我们使用如下的参数设置作为数值模拟的基准情形在基准情形中代

表性银行初始资产为x０＝１０无风险利率水平为r＝０1049008０５投资期限为T＝２０(年)

贷款回报过程的漂移率和波动率分别为μL＝０1049008０７和σL＝０1049008２０存款价格过程的漂移

率为μD ＝０1049008０３５价格过程的漂移率和波动率分别为μP ＝０1049008０３和σP ＝０1049008１５相关系

数为ρL ＝０1049008５

对于S型效用函数中的参数我们主要依据 Kahneman和 Tversky(１９９２)的估

计假设①A＝２1049008２５B＝１A ＞B体现了投资者具有损失厌恶的特性② 银行对

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０７　　

损失厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008１５对风险厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008２０③ 财富参考

点水平为θ＝６０

根据基准情形的参数设置我们分别对推论１和推论２进行了数值分析为了简

便和不失一般性我们主要关注初始投资时刻t＝０结果表明贷款的最优投资比

例λlowast１ (t)与贷款收益率的期望溢价μL －r之间是正相关的它与存款收益率的期望

溢价μD －r贷款回报波动率σL价格波动率σP 和通胀风险相关性ρL 之间是负相

关类似地关于存款的最优投资比例λlowast２ (t)具有一致的结论具体的数值分析结

果详见本文附录三

　　(二)最优贷款投资路径和最优存款投资路径

在最优投资路径的数值分析中我们采用蒙特卡洛模拟方法分别对贷款和存

款的最优投资比例模拟了１０００次最优路径并计算平均权重最终模拟得到整个投

资期 [０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径然后我们通过在基准情形

的基础上调整相应的参数设置分别考察损失厌恶偏好通胀风险对风险资产最优

投资路径的影响

１1049008 损失厌恶偏好的影响

在考察损失厌恶偏好的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情

形(按初始的参数设置其中参考点和损失厌恶比率分别为θ＝６０AB＝２1049008２５图

１中黑色实线表示)较高损失厌恶程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌

恶比率分别调整为θ＝６０AB＝４1049008５０)较高参考点的情形(保持其他参数不变参

考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝２1049008２５)较高参考点较高损失厌恶

图１　 参考点θ和损失厌恶比率AB 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０８　　

程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝

４1049008５０图中蓝色点线表示)我们的结果充分说明了损失厌恶偏好显著地改变银行

的风险资产配置行为

如图１所示我们发现与S型效用表示的银行损失厌恶偏好一致随着参考点

θ的逐渐增大银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和存款最优投资λlowast

２ (t)增大当θ处于较

高水平时银行是风险偏好的愿意增加其风险资产的投资比例这是因为较高的

参考点水平是难以实现的尤其当θ高于某一阈值时银行将处于损失的区域此时

银行是损失厌恶的为了减小亏损银行愿意承担更大的风险它会随着参考点水

平进一步提高增大贷款的发放和存款的吸收以尽可能地使资产积累达到参考点

水平在保持参考点θ不变的条件下当损失厌恶比率AB 增大时表明银行更加

厌恶损失它会降低贷款和存款的投资比例以避免承担过大的风险随着投资时

刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和存款最优投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻由于银行是损失厌恶的参考点θ越高λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越大但是在参考点θ

一定的条件下银行越厌恶风险损失厌恶比率AB 越大λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)将有所

减小

银行在进行资产配置的过程中存在损失厌恶偏好一个可能的解释是资本约束

效应Calem 等(１９９９)证明了银行资本与风险承担之间呈 U 形关系对于资本水平

低的银行来说银行的风险偏好较低当资本达到某一特定的门槛值后经营杠杆压

力增大充裕的资本缓冲使银行开始倾向于追逐高风险高收益项目以获得更多利

润银行风险承担的激励更大Berger等(１９９４)Haq等(２０１２)的实证研究支持上

述资本约束效应的存在因此在资本较低的情形下银行的规模相对较小小银行

为了避免破产风险它对风险资产投资的投资比例较低此时银行是风险厌恶的在

资本达到一定水平后银行的规模相对较大大银行的资产组合满足甚至超过目标

参考点水平她会愿意接受更多的风险来追求更高的收益而不仅仅是把财富投资

到无风险资产去保证获取较低的收益水平此时银行是风险偏好的

２1049008 通胀风险的影响

在考察通胀风险的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情形(按

初始的参数设置其中价格波动率和通胀风险相关系数分别为σP＝０1049008１５ １－ρ２L ＝

０1049008８７图２中黑色实线表示)较高通胀风险的情形(保持其他参数不变价格波动率

和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008８７)较低通胀风险相关程

度的情形(保持其他参数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０９　　

０1049008１５ １－ρ２L ＝０1049008６０)较高通胀风险较低通胀风险相关程度的情形(保持其他参

数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008６０)

我们的结果充分说明通胀风险对银行的风险资产配置具有重要的作用

图２　价格波动率σP 和通胀风险相关系数ρL 的影响

如图２所示我们发现当价格波动率σP 增大时银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和

存款最优投资λlowast２ (t)随之减小这是因为随着通胀波动率增大贷款回报和存款价格

的不确定性增大从而银行的风险资产投资降低在保持σP 一定的条件下通胀风

险相关系数１－ρL 越大贷款最优投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)越高

说明在通胀不确定性越大的情形中损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款

和发放贷款的规模以实现参考点利润水平或最小化偏离θ的概率进一步比较不

同的通胀风险相关系数１－ρL我们还发现在１－ρL 处于较高水平时通胀风险σP 增

大相同比例贷款最优投资λlowast１ (t)和最优存款投资λlowast

２ (t)的下降幅度更大随着投

资时刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻通胀风险越高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越小在通胀风险一定的条件

下通胀风险与风险资产回报的相关性越高银行为了减小潜在损失也会提高风险

资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

这一研究发现与货币政策银行风险承担渠道的ldquo央行沟通效应rdquo相符ldquo央行沟

通效应rdquo认为中央银行的沟通策略对银行风险承担具有正向影响即央行沟通能够

提高货币政策透明度增强银行对货币政策走向的预测能力那么银行将会预测央

行在经济形势开始恶化时未来会主动大幅度地降低利率从而会显著增加其风险承

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１０　　

担(Borio和Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５)结合图２可

以发现当通胀风险相关系数 １－ρ２L 足够大时中央银行提高货币政策透明度可

以减少通胀波动的不确定性具有损失厌恶偏好的银行的贷款和存款的投资比例显

著增加风险承担能力更强

　　(三)S型效用和CRRA型效用的对比

由式(２０)至式(２１)可知具有CRRA型风险厌恶偏好的银行的最优风险资产投

资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小贷款和存款的最优投资比例越低具有

损失厌恶偏好的银行的最优风险资产投资比例是时变的与外部市场状况相关为

了进一步考察S型效用和CRRA型效用下银行贷款投资和存款投资的差异我们进

行了两种数值模拟①根据基准情形的参数设置关注在初始投资时刻t＝０时定价

核对贷款投资比例和存款投资比例的影响② 采用蒙特卡洛方法模拟得到不同效

用下整个投资期[０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径模拟次数为

１０００次

图３显示了在S型效用和CRRA型效用中定价核对银行的贷款最优投资比例

和存款最优投资比例的差异性影响从图３可以发现在 CRRA 型效用下银行的

贷款和存款投资比例是常数不随市场状况而发生变化在S型效用下损失厌恶

的银行会采取一个更加灵活的贷款和存款投资策略当定价核很低的时候市场状

况比较好风险资产收益较高银行愿意承担更大的风险来追求更高的收益当定

图３　定价核H(t)对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１１　　

价核变大的时候市场状况不断恶化此时银行面临损失的可能性增大银行逐渐减

小贷款和存款的投资比例因此在S型效用下具有损失厌恶偏好的银行能够更

好地进行风险管理

图４显示在S型效用和CRRA型效用下银行的贷款最优投资路径和存款最优

投资路径具有明显的差异性从图４可以发现在 CRRA 型效用下银行的贷款和

存款投资比例在整个投资期内是保持不变的不随时间而发生变化在 S型效用

下银行的贷款最优投资路径和存款最优投资路径具有时变特征随着投资时刻t的增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期T时刻

银行为了最大化利润(处于厌恶风险区域)或者尽可能减小潜在损失(处于偏好风

险区域)银行都会提高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

图４　不同效用函数下的最优贷款投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)

五结　　论

本文利用S型效用函数框架研究了一个包含通胀风险和损失厌恶偏好的银行

的资产组合管理问题首先我们将Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的S型效

用框架拓展到Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的银行资产负债管理分析范式在

PyleＧHartＧJaffee的分析范式中存款相当于负的资产其次我们通过引入通胀风险

刻画宏观风险对银行的风险偏好的重要影响

我们所得到的银行的最优投资策略解析解表明具有损失厌恶偏好的银行的最

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

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aversionininvestmentbankingafieldstudy[J]AccountingOrganizationsandSociety２７(１２)８５９８

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

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态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

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其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

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附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

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图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

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上升投资在贷款上的比例增加同时需要吸收更多的存款以满足贷款发放规模的

增加存款期望收益率μD 增大时存款价格的预期溢价上升投资在存款上的比例

减少同时贷款回报的预期风险溢价相对下降投资在贷款上的比例相应减小

推论２对于损失厌恶的银行而言贷款的最优投资比例λlowast１ (t)是σLσP 和ρL 的

减函数存款的最优投资|λlowast２ (t)|是σLσP 和ρL 的减函数

推论２表明经济不确定性越大银行发放贷款和吸收存款的激励越大一般而

言σL 和σP 越大贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的

激励越小但是ρL 越小贷款回报率与通胀风险的相关性越大在通胀风险较高

的情形中相关系数 １－ρ２L 越大损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款和

发放贷款的规模以最大化其利润水平达到参考点θ的概率避免潜在亏损对目标利

润的负面影响

　　(二)结果分析

首先如果不考虑通胀风险的影响我们假定ρL ＝１即贷款回报与通胀风险不

存在相关性贷款回报过程服从如下几何布朗运动

dRL(t)

RL(t)＝μLdt＋σLdzi(t)RL(０)＝RL０ ＞０ (１９)

此时波动率矩阵简化为σ＝０ σL

σP ０

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide 经过一些简单的计算我们可以得到银行

的贷款最优投资比例和最优存款投资比例分别为

λlowast１ρ(t)＝

μL －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２０)

λlowast２ρ(t)＝

μD －rσPσL

Λ(t)

Xλlowast (t)(２１)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１ ρ

(t)＞０λlowast２ ρ

(t)＜０其中Λ(t)仍是前文所定义

的结果表明贷款回报和存款价格的波动率越高银行发放贷款和吸收存款的激

励越小在外部市场状况不好时由于通胀风险不影响贷款回报在一定程度上降低

其利润水平偏离参考点θ 的概率损失厌恶的银行增加贷款和存款的激励相对较

小这一投资策略显然与我们模型中损失厌恶的银行处于通胀风险下的投资策略

有所不同进一步由式(１７)和式(２０)式(１８)和式(２１)可知当存在通胀风险相关

性时无风险利率r越低银行对风险资产的投资比例越高且在低利率环境下通胀

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１０６　　

风险相关性 １－ρ２L 越大银行的风险投资激励越强

最后参考Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的分析范式假定银行在风险厌恶偏

好的前提下进行资产组合管理在我们的模型中当参考点水平θ等于零时效用函数

即退化到了CRRA型即银行是风险厌恶的此时银行的最优风险资产投资比例为

λlowastCRRA(t)＝

σ－１ξ

１－γ２

(２２)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１CRRA(t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２　　　　　　　　　 (２３)

λlowast２CRRA(t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２

(２４)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１CRRA(t)＞０λlowast

２CRRA(t)＜０结果表明具有风险厌恶偏

好的银行的最优风险资产投资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小(γ２ 越小)

贷款和存款的最优投资比例越低这一投资策略明显与损失厌恶的银行的投资策

略具有较大差异性在我们的模型中银行的风险资产投资策略是时变的且具有

随着市场状况变化的特征

四数 值 模 拟

在本部分我们进行数值模拟分析主要考察损失厌恶偏好通胀风险对银行最

优风险资产投资策略的影响并进一步比较在S型效用函数和传统的CRRA 效用下

银行的贷款和存款的投资行为特性

　　(一)基准情形

首先我们使用如下的参数设置作为数值模拟的基准情形在基准情形中代

表性银行初始资产为x０＝１０无风险利率水平为r＝０1049008０５投资期限为T＝２０(年)

贷款回报过程的漂移率和波动率分别为μL＝０1049008０７和σL＝０1049008２０存款价格过程的漂移

率为μD ＝０1049008０３５价格过程的漂移率和波动率分别为μP ＝０1049008０３和σP ＝０1049008１５相关系

数为ρL ＝０1049008５

对于S型效用函数中的参数我们主要依据 Kahneman和 Tversky(１９９２)的估

计假设①A＝２1049008２５B＝１A ＞B体现了投资者具有损失厌恶的特性② 银行对

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０７　　

损失厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008１５对风险厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008２０③ 财富参考

点水平为θ＝６０

根据基准情形的参数设置我们分别对推论１和推论２进行了数值分析为了简

便和不失一般性我们主要关注初始投资时刻t＝０结果表明贷款的最优投资比

例λlowast１ (t)与贷款收益率的期望溢价μL －r之间是正相关的它与存款收益率的期望

溢价μD －r贷款回报波动率σL价格波动率σP 和通胀风险相关性ρL 之间是负相

关类似地关于存款的最优投资比例λlowast２ (t)具有一致的结论具体的数值分析结

果详见本文附录三

　　(二)最优贷款投资路径和最优存款投资路径

在最优投资路径的数值分析中我们采用蒙特卡洛模拟方法分别对贷款和存

款的最优投资比例模拟了１０００次最优路径并计算平均权重最终模拟得到整个投

资期 [０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径然后我们通过在基准情形

的基础上调整相应的参数设置分别考察损失厌恶偏好通胀风险对风险资产最优

投资路径的影响

１1049008 损失厌恶偏好的影响

在考察损失厌恶偏好的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情

形(按初始的参数设置其中参考点和损失厌恶比率分别为θ＝６０AB＝２1049008２５图

１中黑色实线表示)较高损失厌恶程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌

恶比率分别调整为θ＝６０AB＝４1049008５０)较高参考点的情形(保持其他参数不变参

考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝２1049008２５)较高参考点较高损失厌恶

图１　 参考点θ和损失厌恶比率AB 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０８　　

程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝

４1049008５０图中蓝色点线表示)我们的结果充分说明了损失厌恶偏好显著地改变银行

的风险资产配置行为

如图１所示我们发现与S型效用表示的银行损失厌恶偏好一致随着参考点

θ的逐渐增大银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和存款最优投资λlowast

２ (t)增大当θ处于较

高水平时银行是风险偏好的愿意增加其风险资产的投资比例这是因为较高的

参考点水平是难以实现的尤其当θ高于某一阈值时银行将处于损失的区域此时

银行是损失厌恶的为了减小亏损银行愿意承担更大的风险它会随着参考点水

平进一步提高增大贷款的发放和存款的吸收以尽可能地使资产积累达到参考点

水平在保持参考点θ不变的条件下当损失厌恶比率AB 增大时表明银行更加

厌恶损失它会降低贷款和存款的投资比例以避免承担过大的风险随着投资时

刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和存款最优投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻由于银行是损失厌恶的参考点θ越高λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越大但是在参考点θ

一定的条件下银行越厌恶风险损失厌恶比率AB 越大λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)将有所

减小

银行在进行资产配置的过程中存在损失厌恶偏好一个可能的解释是资本约束

效应Calem 等(１９９９)证明了银行资本与风险承担之间呈 U 形关系对于资本水平

低的银行来说银行的风险偏好较低当资本达到某一特定的门槛值后经营杠杆压

力增大充裕的资本缓冲使银行开始倾向于追逐高风险高收益项目以获得更多利

润银行风险承担的激励更大Berger等(１９９４)Haq等(２０１２)的实证研究支持上

述资本约束效应的存在因此在资本较低的情形下银行的规模相对较小小银行

为了避免破产风险它对风险资产投资的投资比例较低此时银行是风险厌恶的在

资本达到一定水平后银行的规模相对较大大银行的资产组合满足甚至超过目标

参考点水平她会愿意接受更多的风险来追求更高的收益而不仅仅是把财富投资

到无风险资产去保证获取较低的收益水平此时银行是风险偏好的

２1049008 通胀风险的影响

在考察通胀风险的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情形(按

初始的参数设置其中价格波动率和通胀风险相关系数分别为σP＝０1049008１５ １－ρ２L ＝

０1049008８７图２中黑色实线表示)较高通胀风险的情形(保持其他参数不变价格波动率

和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008８７)较低通胀风险相关程

度的情形(保持其他参数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０９　　

０1049008１５ １－ρ２L ＝０1049008６０)较高通胀风险较低通胀风险相关程度的情形(保持其他参

数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008６０)

我们的结果充分说明通胀风险对银行的风险资产配置具有重要的作用

图２　价格波动率σP 和通胀风险相关系数ρL 的影响

如图２所示我们发现当价格波动率σP 增大时银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和

存款最优投资λlowast２ (t)随之减小这是因为随着通胀波动率增大贷款回报和存款价格

的不确定性增大从而银行的风险资产投资降低在保持σP 一定的条件下通胀风

险相关系数１－ρL 越大贷款最优投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)越高

说明在通胀不确定性越大的情形中损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款

和发放贷款的规模以实现参考点利润水平或最小化偏离θ的概率进一步比较不

同的通胀风险相关系数１－ρL我们还发现在１－ρL 处于较高水平时通胀风险σP 增

大相同比例贷款最优投资λlowast１ (t)和最优存款投资λlowast

２ (t)的下降幅度更大随着投

资时刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻通胀风险越高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越小在通胀风险一定的条件

下通胀风险与风险资产回报的相关性越高银行为了减小潜在损失也会提高风险

资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

这一研究发现与货币政策银行风险承担渠道的ldquo央行沟通效应rdquo相符ldquo央行沟

通效应rdquo认为中央银行的沟通策略对银行风险承担具有正向影响即央行沟通能够

提高货币政策透明度增强银行对货币政策走向的预测能力那么银行将会预测央

行在经济形势开始恶化时未来会主动大幅度地降低利率从而会显著增加其风险承

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１０　　

担(Borio和Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５)结合图２可

以发现当通胀风险相关系数 １－ρ２L 足够大时中央银行提高货币政策透明度可

以减少通胀波动的不确定性具有损失厌恶偏好的银行的贷款和存款的投资比例显

著增加风险承担能力更强

　　(三)S型效用和CRRA型效用的对比

由式(２０)至式(２１)可知具有CRRA型风险厌恶偏好的银行的最优风险资产投

资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小贷款和存款的最优投资比例越低具有

损失厌恶偏好的银行的最优风险资产投资比例是时变的与外部市场状况相关为

了进一步考察S型效用和CRRA型效用下银行贷款投资和存款投资的差异我们进

行了两种数值模拟①根据基准情形的参数设置关注在初始投资时刻t＝０时定价

核对贷款投资比例和存款投资比例的影响② 采用蒙特卡洛方法模拟得到不同效

用下整个投资期[０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径模拟次数为

１０００次

图３显示了在S型效用和CRRA型效用中定价核对银行的贷款最优投资比例

和存款最优投资比例的差异性影响从图３可以发现在 CRRA 型效用下银行的

贷款和存款投资比例是常数不随市场状况而发生变化在S型效用下损失厌恶

的银行会采取一个更加灵活的贷款和存款投资策略当定价核很低的时候市场状

况比较好风险资产收益较高银行愿意承担更大的风险来追求更高的收益当定

图３　定价核H(t)对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１１　　

价核变大的时候市场状况不断恶化此时银行面临损失的可能性增大银行逐渐减

小贷款和存款的投资比例因此在S型效用下具有损失厌恶偏好的银行能够更

好地进行风险管理

图４显示在S型效用和CRRA型效用下银行的贷款最优投资路径和存款最优

投资路径具有明显的差异性从图４可以发现在 CRRA 型效用下银行的贷款和

存款投资比例在整个投资期内是保持不变的不随时间而发生变化在 S型效用

下银行的贷款最优投资路径和存款最优投资路径具有时变特征随着投资时刻t的增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期T时刻

银行为了最大化利润(处于厌恶风险区域)或者尽可能减小潜在损失(处于偏好风

险区域)银行都会提高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

图４　不同效用函数下的最优贷款投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)

五结　　论

本文利用S型效用函数框架研究了一个包含通胀风险和损失厌恶偏好的银行

的资产组合管理问题首先我们将Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的S型效

用框架拓展到Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的银行资产负债管理分析范式在

PyleＧHartＧJaffee的分析范式中存款相当于负的资产其次我们通过引入通胀风险

刻画宏观风险对银行的风险偏好的重要影响

我们所得到的银行的最优投资策略解析解表明具有损失厌恶偏好的银行的最

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

参 考 文 献

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第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０６　　

风险相关性 １－ρ２L 越大银行的风险投资激励越强

最后参考Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的分析范式假定银行在风险厌恶偏

好的前提下进行资产组合管理在我们的模型中当参考点水平θ等于零时效用函数

即退化到了CRRA型即银行是风险厌恶的此时银行的最优风险资产投资比例为

λlowastCRRA(t)＝

σ－１ξ

１－γ２

(２２)

具体而言投资在贷款和存款的最优投资比例分别为

λlowast１CRRA(t)＝ μL －r

σPσLρL－

１－ρ２L (μD －r)

σ２PρL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２　　　　　　　　　 (２３)

λlowast２CRRA(t)＝

(μD －r)(σPρL ＋σL －σLρ２L)

σ２Pρ

２LσL

－１－ρ

２L (μL －r)

ρ２LσPσL

aelig

egrave

ccedilccedil

ouml

oslash

dividedivide１

１－γ２

(２４)

且如果μD ＜r＜μL则有λlowast１CRRA(t)＞０λlowast

２CRRA(t)＜０结果表明具有风险厌恶偏

好的银行的最优风险资产投资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小(γ２ 越小)

贷款和存款的最优投资比例越低这一投资策略明显与损失厌恶的银行的投资策

略具有较大差异性在我们的模型中银行的风险资产投资策略是时变的且具有

随着市场状况变化的特征

四数 值 模 拟

在本部分我们进行数值模拟分析主要考察损失厌恶偏好通胀风险对银行最

优风险资产投资策略的影响并进一步比较在S型效用函数和传统的CRRA 效用下

银行的贷款和存款的投资行为特性

　　(一)基准情形

首先我们使用如下的参数设置作为数值模拟的基准情形在基准情形中代

表性银行初始资产为x０＝１０无风险利率水平为r＝０1049008０５投资期限为T＝２０(年)

贷款回报过程的漂移率和波动率分别为μL＝０1049008０７和σL＝０1049008２０存款价格过程的漂移

率为μD ＝０1049008０３５价格过程的漂移率和波动率分别为μP ＝０1049008０３和σP ＝０1049008１５相关系

数为ρL ＝０1049008５

对于S型效用函数中的参数我们主要依据 Kahneman和 Tversky(１９９２)的估

计假设①A＝２1049008２５B＝１A ＞B体现了投资者具有损失厌恶的特性② 银行对

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０７　　

损失厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008１５对风险厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008２０③ 财富参考

点水平为θ＝６０

根据基准情形的参数设置我们分别对推论１和推论２进行了数值分析为了简

便和不失一般性我们主要关注初始投资时刻t＝０结果表明贷款的最优投资比

例λlowast１ (t)与贷款收益率的期望溢价μL －r之间是正相关的它与存款收益率的期望

溢价μD －r贷款回报波动率σL价格波动率σP 和通胀风险相关性ρL 之间是负相

关类似地关于存款的最优投资比例λlowast２ (t)具有一致的结论具体的数值分析结

果详见本文附录三

　　(二)最优贷款投资路径和最优存款投资路径

在最优投资路径的数值分析中我们采用蒙特卡洛模拟方法分别对贷款和存

款的最优投资比例模拟了１０００次最优路径并计算平均权重最终模拟得到整个投

资期 [０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径然后我们通过在基准情形

的基础上调整相应的参数设置分别考察损失厌恶偏好通胀风险对风险资产最优

投资路径的影响

１1049008 损失厌恶偏好的影响

在考察损失厌恶偏好的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情

形(按初始的参数设置其中参考点和损失厌恶比率分别为θ＝６０AB＝２1049008２５图

１中黑色实线表示)较高损失厌恶程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌

恶比率分别调整为θ＝６０AB＝４1049008５０)较高参考点的情形(保持其他参数不变参

考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝２1049008２５)较高参考点较高损失厌恶

图１　 参考点θ和损失厌恶比率AB 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０８　　

程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝

４1049008５０图中蓝色点线表示)我们的结果充分说明了损失厌恶偏好显著地改变银行

的风险资产配置行为

如图１所示我们发现与S型效用表示的银行损失厌恶偏好一致随着参考点

θ的逐渐增大银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和存款最优投资λlowast

２ (t)增大当θ处于较

高水平时银行是风险偏好的愿意增加其风险资产的投资比例这是因为较高的

参考点水平是难以实现的尤其当θ高于某一阈值时银行将处于损失的区域此时

银行是损失厌恶的为了减小亏损银行愿意承担更大的风险它会随着参考点水

平进一步提高增大贷款的发放和存款的吸收以尽可能地使资产积累达到参考点

水平在保持参考点θ不变的条件下当损失厌恶比率AB 增大时表明银行更加

厌恶损失它会降低贷款和存款的投资比例以避免承担过大的风险随着投资时

刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和存款最优投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻由于银行是损失厌恶的参考点θ越高λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越大但是在参考点θ

一定的条件下银行越厌恶风险损失厌恶比率AB 越大λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)将有所

减小

银行在进行资产配置的过程中存在损失厌恶偏好一个可能的解释是资本约束

效应Calem 等(１９９９)证明了银行资本与风险承担之间呈 U 形关系对于资本水平

低的银行来说银行的风险偏好较低当资本达到某一特定的门槛值后经营杠杆压

力增大充裕的资本缓冲使银行开始倾向于追逐高风险高收益项目以获得更多利

润银行风险承担的激励更大Berger等(１９９４)Haq等(２０１２)的实证研究支持上

述资本约束效应的存在因此在资本较低的情形下银行的规模相对较小小银行

为了避免破产风险它对风险资产投资的投资比例较低此时银行是风险厌恶的在

资本达到一定水平后银行的规模相对较大大银行的资产组合满足甚至超过目标

参考点水平她会愿意接受更多的风险来追求更高的收益而不仅仅是把财富投资

到无风险资产去保证获取较低的收益水平此时银行是风险偏好的

２1049008 通胀风险的影响

在考察通胀风险的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情形(按

初始的参数设置其中价格波动率和通胀风险相关系数分别为σP＝０1049008１５ １－ρ２L ＝

０1049008８７图２中黑色实线表示)较高通胀风险的情形(保持其他参数不变价格波动率

和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008８７)较低通胀风险相关程

度的情形(保持其他参数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０９　　

０1049008１５ １－ρ２L ＝０1049008６０)较高通胀风险较低通胀风险相关程度的情形(保持其他参

数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008６０)

我们的结果充分说明通胀风险对银行的风险资产配置具有重要的作用

图２　价格波动率σP 和通胀风险相关系数ρL 的影响

如图２所示我们发现当价格波动率σP 增大时银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和

存款最优投资λlowast２ (t)随之减小这是因为随着通胀波动率增大贷款回报和存款价格

的不确定性增大从而银行的风险资产投资降低在保持σP 一定的条件下通胀风

险相关系数１－ρL 越大贷款最优投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)越高

说明在通胀不确定性越大的情形中损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款

和发放贷款的规模以实现参考点利润水平或最小化偏离θ的概率进一步比较不

同的通胀风险相关系数１－ρL我们还发现在１－ρL 处于较高水平时通胀风险σP 增

大相同比例贷款最优投资λlowast１ (t)和最优存款投资λlowast

２ (t)的下降幅度更大随着投

资时刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻通胀风险越高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越小在通胀风险一定的条件

下通胀风险与风险资产回报的相关性越高银行为了减小潜在损失也会提高风险

资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

这一研究发现与货币政策银行风险承担渠道的ldquo央行沟通效应rdquo相符ldquo央行沟

通效应rdquo认为中央银行的沟通策略对银行风险承担具有正向影响即央行沟通能够

提高货币政策透明度增强银行对货币政策走向的预测能力那么银行将会预测央

行在经济形势开始恶化时未来会主动大幅度地降低利率从而会显著增加其风险承

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１０　　

担(Borio和Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５)结合图２可

以发现当通胀风险相关系数 １－ρ２L 足够大时中央银行提高货币政策透明度可

以减少通胀波动的不确定性具有损失厌恶偏好的银行的贷款和存款的投资比例显

著增加风险承担能力更强

　　(三)S型效用和CRRA型效用的对比

由式(２０)至式(２１)可知具有CRRA型风险厌恶偏好的银行的最优风险资产投

资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小贷款和存款的最优投资比例越低具有

损失厌恶偏好的银行的最优风险资产投资比例是时变的与外部市场状况相关为

了进一步考察S型效用和CRRA型效用下银行贷款投资和存款投资的差异我们进

行了两种数值模拟①根据基准情形的参数设置关注在初始投资时刻t＝０时定价

核对贷款投资比例和存款投资比例的影响② 采用蒙特卡洛方法模拟得到不同效

用下整个投资期[０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径模拟次数为

１０００次

图３显示了在S型效用和CRRA型效用中定价核对银行的贷款最优投资比例

和存款最优投资比例的差异性影响从图３可以发现在 CRRA 型效用下银行的

贷款和存款投资比例是常数不随市场状况而发生变化在S型效用下损失厌恶

的银行会采取一个更加灵活的贷款和存款投资策略当定价核很低的时候市场状

况比较好风险资产收益较高银行愿意承担更大的风险来追求更高的收益当定

图３　定价核H(t)对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１１　　

价核变大的时候市场状况不断恶化此时银行面临损失的可能性增大银行逐渐减

小贷款和存款的投资比例因此在S型效用下具有损失厌恶偏好的银行能够更

好地进行风险管理

图４显示在S型效用和CRRA型效用下银行的贷款最优投资路径和存款最优

投资路径具有明显的差异性从图４可以发现在 CRRA 型效用下银行的贷款和

存款投资比例在整个投资期内是保持不变的不随时间而发生变化在 S型效用

下银行的贷款最优投资路径和存款最优投资路径具有时变特征随着投资时刻t的增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期T时刻

银行为了最大化利润(处于厌恶风险区域)或者尽可能减小潜在损失(处于偏好风

险区域)银行都会提高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

图４　不同效用函数下的最优贷款投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)

五结　　论

本文利用S型效用函数框架研究了一个包含通胀风险和损失厌恶偏好的银行

的资产组合管理问题首先我们将Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的S型效

用框架拓展到Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的银行资产负债管理分析范式在

PyleＧHartＧJaffee的分析范式中存款相当于负的资产其次我们通过引入通胀风险

刻画宏观风险对银行的风险偏好的重要影响

我们所得到的银行的最优投资策略解析解表明具有损失厌恶偏好的银行的最

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

参 考 文 献

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第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０７　　

损失厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008１５对风险厌恶的敏感程度为γ１＝０1049008２０③ 财富参考

点水平为θ＝６０

根据基准情形的参数设置我们分别对推论１和推论２进行了数值分析为了简

便和不失一般性我们主要关注初始投资时刻t＝０结果表明贷款的最优投资比

例λlowast１ (t)与贷款收益率的期望溢价μL －r之间是正相关的它与存款收益率的期望

溢价μD －r贷款回报波动率σL价格波动率σP 和通胀风险相关性ρL 之间是负相

关类似地关于存款的最优投资比例λlowast２ (t)具有一致的结论具体的数值分析结

果详见本文附录三

　　(二)最优贷款投资路径和最优存款投资路径

在最优投资路径的数值分析中我们采用蒙特卡洛模拟方法分别对贷款和存

款的最优投资比例模拟了１０００次最优路径并计算平均权重最终模拟得到整个投

资期 [０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径然后我们通过在基准情形

的基础上调整相应的参数设置分别考察损失厌恶偏好通胀风险对风险资产最优

投资路径的影响

１1049008 损失厌恶偏好的影响

在考察损失厌恶偏好的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情

形(按初始的参数设置其中参考点和损失厌恶比率分别为θ＝６０AB＝２1049008２５图

１中黑色实线表示)较高损失厌恶程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌

恶比率分别调整为θ＝６０AB＝４1049008５０)较高参考点的情形(保持其他参数不变参

考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝２1049008２５)较高参考点较高损失厌恶

图１　 参考点θ和损失厌恶比率AB 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０８　　

程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝

４1049008５０图中蓝色点线表示)我们的结果充分说明了损失厌恶偏好显著地改变银行

的风险资产配置行为

如图１所示我们发现与S型效用表示的银行损失厌恶偏好一致随着参考点

θ的逐渐增大银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和存款最优投资λlowast

２ (t)增大当θ处于较

高水平时银行是风险偏好的愿意增加其风险资产的投资比例这是因为较高的

参考点水平是难以实现的尤其当θ高于某一阈值时银行将处于损失的区域此时

银行是损失厌恶的为了减小亏损银行愿意承担更大的风险它会随着参考点水

平进一步提高增大贷款的发放和存款的吸收以尽可能地使资产积累达到参考点

水平在保持参考点θ不变的条件下当损失厌恶比率AB 增大时表明银行更加

厌恶损失它会降低贷款和存款的投资比例以避免承担过大的风险随着投资时

刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和存款最优投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻由于银行是损失厌恶的参考点θ越高λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越大但是在参考点θ

一定的条件下银行越厌恶风险损失厌恶比率AB 越大λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)将有所

减小

银行在进行资产配置的过程中存在损失厌恶偏好一个可能的解释是资本约束

效应Calem 等(１９９９)证明了银行资本与风险承担之间呈 U 形关系对于资本水平

低的银行来说银行的风险偏好较低当资本达到某一特定的门槛值后经营杠杆压

力增大充裕的资本缓冲使银行开始倾向于追逐高风险高收益项目以获得更多利

润银行风险承担的激励更大Berger等(１９９４)Haq等(２０１２)的实证研究支持上

述资本约束效应的存在因此在资本较低的情形下银行的规模相对较小小银行

为了避免破产风险它对风险资产投资的投资比例较低此时银行是风险厌恶的在

资本达到一定水平后银行的规模相对较大大银行的资产组合满足甚至超过目标

参考点水平她会愿意接受更多的风险来追求更高的收益而不仅仅是把财富投资

到无风险资产去保证获取较低的收益水平此时银行是风险偏好的

２1049008 通胀风险的影响

在考察通胀风险的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情形(按

初始的参数设置其中价格波动率和通胀风险相关系数分别为σP＝０1049008１５ １－ρ２L ＝

０1049008８７图２中黑色实线表示)较高通胀风险的情形(保持其他参数不变价格波动率

和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008８７)较低通胀风险相关程

度的情形(保持其他参数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０９　　

０1049008１５ １－ρ２L ＝０1049008６０)较高通胀风险较低通胀风险相关程度的情形(保持其他参

数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008６０)

我们的结果充分说明通胀风险对银行的风险资产配置具有重要的作用

图２　价格波动率σP 和通胀风险相关系数ρL 的影响

如图２所示我们发现当价格波动率σP 增大时银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和

存款最优投资λlowast２ (t)随之减小这是因为随着通胀波动率增大贷款回报和存款价格

的不确定性增大从而银行的风险资产投资降低在保持σP 一定的条件下通胀风

险相关系数１－ρL 越大贷款最优投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)越高

说明在通胀不确定性越大的情形中损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款

和发放贷款的规模以实现参考点利润水平或最小化偏离θ的概率进一步比较不

同的通胀风险相关系数１－ρL我们还发现在１－ρL 处于较高水平时通胀风险σP 增

大相同比例贷款最优投资λlowast１ (t)和最优存款投资λlowast

２ (t)的下降幅度更大随着投

资时刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻通胀风险越高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越小在通胀风险一定的条件

下通胀风险与风险资产回报的相关性越高银行为了减小潜在损失也会提高风险

资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

这一研究发现与货币政策银行风险承担渠道的ldquo央行沟通效应rdquo相符ldquo央行沟

通效应rdquo认为中央银行的沟通策略对银行风险承担具有正向影响即央行沟通能够

提高货币政策透明度增强银行对货币政策走向的预测能力那么银行将会预测央

行在经济形势开始恶化时未来会主动大幅度地降低利率从而会显著增加其风险承

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１０　　

担(Borio和Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５)结合图２可

以发现当通胀风险相关系数 １－ρ２L 足够大时中央银行提高货币政策透明度可

以减少通胀波动的不确定性具有损失厌恶偏好的银行的贷款和存款的投资比例显

著增加风险承担能力更强

　　(三)S型效用和CRRA型效用的对比

由式(２０)至式(２１)可知具有CRRA型风险厌恶偏好的银行的最优风险资产投

资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小贷款和存款的最优投资比例越低具有

损失厌恶偏好的银行的最优风险资产投资比例是时变的与外部市场状况相关为

了进一步考察S型效用和CRRA型效用下银行贷款投资和存款投资的差异我们进

行了两种数值模拟①根据基准情形的参数设置关注在初始投资时刻t＝０时定价

核对贷款投资比例和存款投资比例的影响② 采用蒙特卡洛方法模拟得到不同效

用下整个投资期[０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径模拟次数为

１０００次

图３显示了在S型效用和CRRA型效用中定价核对银行的贷款最优投资比例

和存款最优投资比例的差异性影响从图３可以发现在 CRRA 型效用下银行的

贷款和存款投资比例是常数不随市场状况而发生变化在S型效用下损失厌恶

的银行会采取一个更加灵活的贷款和存款投资策略当定价核很低的时候市场状

况比较好风险资产收益较高银行愿意承担更大的风险来追求更高的收益当定

图３　定价核H(t)对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１１　　

价核变大的时候市场状况不断恶化此时银行面临损失的可能性增大银行逐渐减

小贷款和存款的投资比例因此在S型效用下具有损失厌恶偏好的银行能够更

好地进行风险管理

图４显示在S型效用和CRRA型效用下银行的贷款最优投资路径和存款最优

投资路径具有明显的差异性从图４可以发现在 CRRA 型效用下银行的贷款和

存款投资比例在整个投资期内是保持不变的不随时间而发生变化在 S型效用

下银行的贷款最优投资路径和存款最优投资路径具有时变特征随着投资时刻t的增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期T时刻

银行为了最大化利润(处于厌恶风险区域)或者尽可能减小潜在损失(处于偏好风

险区域)银行都会提高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

图４　不同效用函数下的最优贷款投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)

五结　　论

本文利用S型效用函数框架研究了一个包含通胀风险和损失厌恶偏好的银行

的资产组合管理问题首先我们将Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的S型效

用框架拓展到Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的银行资产负债管理分析范式在

PyleＧHartＧJaffee的分析范式中存款相当于负的资产其次我们通过引入通胀风险

刻画宏观风险对银行的风险偏好的重要影响

我们所得到的银行的最优投资策略解析解表明具有损失厌恶偏好的银行的最

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

参 考 文 献

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第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０８　　

程度的情形(保持其他参数不变参考点和损失厌恶比率分别调整为θ＝１００AB＝

４1049008５０图中蓝色点线表示)我们的结果充分说明了损失厌恶偏好显著地改变银行

的风险资产配置行为

如图１所示我们发现与S型效用表示的银行损失厌恶偏好一致随着参考点

θ的逐渐增大银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和存款最优投资λlowast

２ (t)增大当θ处于较

高水平时银行是风险偏好的愿意增加其风险资产的投资比例这是因为较高的

参考点水平是难以实现的尤其当θ高于某一阈值时银行将处于损失的区域此时

银行是损失厌恶的为了减小亏损银行愿意承担更大的风险它会随着参考点水

平进一步提高增大贷款的发放和存款的吸收以尽可能地使资产积累达到参考点

水平在保持参考点θ不变的条件下当损失厌恶比率AB 增大时表明银行更加

厌恶损失它会降低贷款和存款的投资比例以避免承担过大的风险随着投资时

刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和存款最优投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻由于银行是损失厌恶的参考点θ越高λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越大但是在参考点θ

一定的条件下银行越厌恶风险损失厌恶比率AB 越大λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)将有所

减小

银行在进行资产配置的过程中存在损失厌恶偏好一个可能的解释是资本约束

效应Calem 等(１９９９)证明了银行资本与风险承担之间呈 U 形关系对于资本水平

低的银行来说银行的风险偏好较低当资本达到某一特定的门槛值后经营杠杆压

力增大充裕的资本缓冲使银行开始倾向于追逐高风险高收益项目以获得更多利

润银行风险承担的激励更大Berger等(１９９４)Haq等(２０１２)的实证研究支持上

述资本约束效应的存在因此在资本较低的情形下银行的规模相对较小小银行

为了避免破产风险它对风险资产投资的投资比例较低此时银行是风险厌恶的在

资本达到一定水平后银行的规模相对较大大银行的资产组合满足甚至超过目标

参考点水平她会愿意接受更多的风险来追求更高的收益而不仅仅是把财富投资

到无风险资产去保证获取较低的收益水平此时银行是风险偏好的

２1049008 通胀风险的影响

在考察通胀风险的影响时我们研究四种情形下的最优投资路径基准情形(按

初始的参数设置其中价格波动率和通胀风险相关系数分别为σP＝０1049008１５ １－ρ２L ＝

０1049008８７图２中黑色实线表示)较高通胀风险的情形(保持其他参数不变价格波动率

和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008８７)较低通胀风险相关程

度的情形(保持其他参数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝

金 融 学 季 刊 第１４卷

１０９　　

０1049008１５ １－ρ２L ＝０1049008６０)较高通胀风险较低通胀风险相关程度的情形(保持其他参

数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008６０)

我们的结果充分说明通胀风险对银行的风险资产配置具有重要的作用

图２　价格波动率σP 和通胀风险相关系数ρL 的影响

如图２所示我们发现当价格波动率σP 增大时银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和

存款最优投资λlowast２ (t)随之减小这是因为随着通胀波动率增大贷款回报和存款价格

的不确定性增大从而银行的风险资产投资降低在保持σP 一定的条件下通胀风

险相关系数１－ρL 越大贷款最优投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)越高

说明在通胀不确定性越大的情形中损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款

和发放贷款的规模以实现参考点利润水平或最小化偏离θ的概率进一步比较不

同的通胀风险相关系数１－ρL我们还发现在１－ρL 处于较高水平时通胀风险σP 增

大相同比例贷款最优投资λlowast１ (t)和最优存款投资λlowast

２ (t)的下降幅度更大随着投

资时刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻通胀风险越高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越小在通胀风险一定的条件

下通胀风险与风险资产回报的相关性越高银行为了减小潜在损失也会提高风险

资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

这一研究发现与货币政策银行风险承担渠道的ldquo央行沟通效应rdquo相符ldquo央行沟

通效应rdquo认为中央银行的沟通策略对银行风险承担具有正向影响即央行沟通能够

提高货币政策透明度增强银行对货币政策走向的预测能力那么银行将会预测央

行在经济形势开始恶化时未来会主动大幅度地降低利率从而会显著增加其风险承

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１０　　

担(Borio和Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５)结合图２可

以发现当通胀风险相关系数 １－ρ２L 足够大时中央银行提高货币政策透明度可

以减少通胀波动的不确定性具有损失厌恶偏好的银行的贷款和存款的投资比例显

著增加风险承担能力更强

　　(三)S型效用和CRRA型效用的对比

由式(２０)至式(２１)可知具有CRRA型风险厌恶偏好的银行的最优风险资产投

资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小贷款和存款的最优投资比例越低具有

损失厌恶偏好的银行的最优风险资产投资比例是时变的与外部市场状况相关为

了进一步考察S型效用和CRRA型效用下银行贷款投资和存款投资的差异我们进

行了两种数值模拟①根据基准情形的参数设置关注在初始投资时刻t＝０时定价

核对贷款投资比例和存款投资比例的影响② 采用蒙特卡洛方法模拟得到不同效

用下整个投资期[０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径模拟次数为

１０００次

图３显示了在S型效用和CRRA型效用中定价核对银行的贷款最优投资比例

和存款最优投资比例的差异性影响从图３可以发现在 CRRA 型效用下银行的

贷款和存款投资比例是常数不随市场状况而发生变化在S型效用下损失厌恶

的银行会采取一个更加灵活的贷款和存款投资策略当定价核很低的时候市场状

况比较好风险资产收益较高银行愿意承担更大的风险来追求更高的收益当定

图３　定价核H(t)对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１１　　

价核变大的时候市场状况不断恶化此时银行面临损失的可能性增大银行逐渐减

小贷款和存款的投资比例因此在S型效用下具有损失厌恶偏好的银行能够更

好地进行风险管理

图４显示在S型效用和CRRA型效用下银行的贷款最优投资路径和存款最优

投资路径具有明显的差异性从图４可以发现在 CRRA 型效用下银行的贷款和

存款投资比例在整个投资期内是保持不变的不随时间而发生变化在 S型效用

下银行的贷款最优投资路径和存款最优投资路径具有时变特征随着投资时刻t的增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期T时刻

银行为了最大化利润(处于厌恶风险区域)或者尽可能减小潜在损失(处于偏好风

险区域)银行都会提高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

图４　不同效用函数下的最优贷款投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)

五结　　论

本文利用S型效用函数框架研究了一个包含通胀风险和损失厌恶偏好的银行

的资产组合管理问题首先我们将Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的S型效

用框架拓展到Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的银行资产负债管理分析范式在

PyleＧHartＧJaffee的分析范式中存款相当于负的资产其次我们通过引入通胀风险

刻画宏观风险对银行的风险偏好的重要影响

我们所得到的银行的最优投资策略解析解表明具有损失厌恶偏好的银行的最

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

参 考 文 献

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第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１０９　　

０1049008１５ １－ρ２L ＝０1049008６０)较高通胀风险较低通胀风险相关程度的情形(保持其他参

数不变价格波动率和通胀风险相关系数分别调整为σP ＝０1049008３０ １－ρ２L ＝０1049008６０)

我们的结果充分说明通胀风险对银行的风险资产配置具有重要的作用

图２　价格波动率σP 和通胀风险相关系数ρL 的影响

如图２所示我们发现当价格波动率σP 增大时银行的贷款最优投资λlowast１ (t)和

存款最优投资λlowast２ (t)随之减小这是因为随着通胀波动率增大贷款回报和存款价格

的不确定性增大从而银行的风险资产投资降低在保持σP 一定的条件下通胀风

险相关系数１－ρL 越大贷款最优投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)越高

说明在通胀不确定性越大的情形中损失厌恶的银行具有更强的激励增加吸收存款

和发放贷款的规模以实现参考点利润水平或最小化偏离θ的概率进一步比较不

同的通胀风险相关系数１－ρL我们还发现在１－ρL 处于较高水平时通胀风险σP 增

大相同比例贷款最优投资λlowast１ (t)和最优存款投资λlowast

２ (t)的下降幅度更大随着投

资时刻t增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期的T 时

刻通胀风险越高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)越小在通胀风险一定的条件

下通胀风险与风险资产回报的相关性越高银行为了减小潜在损失也会提高风险

资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

这一研究发现与货币政策银行风险承担渠道的ldquo央行沟通效应rdquo相符ldquo央行沟

通效应rdquo认为中央银行的沟通策略对银行风险承担具有正向影响即央行沟通能够

提高货币政策透明度增强银行对货币政策走向的预测能力那么银行将会预测央

行在经济形势开始恶化时未来会主动大幅度地降低利率从而会显著增加其风险承

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１０　　

担(Borio和Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５)结合图２可

以发现当通胀风险相关系数 １－ρ２L 足够大时中央银行提高货币政策透明度可

以减少通胀波动的不确定性具有损失厌恶偏好的银行的贷款和存款的投资比例显

著增加风险承担能力更强

　　(三)S型效用和CRRA型效用的对比

由式(２０)至式(２１)可知具有CRRA型风险厌恶偏好的银行的最优风险资产投

资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小贷款和存款的最优投资比例越低具有

损失厌恶偏好的银行的最优风险资产投资比例是时变的与外部市场状况相关为

了进一步考察S型效用和CRRA型效用下银行贷款投资和存款投资的差异我们进

行了两种数值模拟①根据基准情形的参数设置关注在初始投资时刻t＝０时定价

核对贷款投资比例和存款投资比例的影响② 采用蒙特卡洛方法模拟得到不同效

用下整个投资期[０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径模拟次数为

１０００次

图３显示了在S型效用和CRRA型效用中定价核对银行的贷款最优投资比例

和存款最优投资比例的差异性影响从图３可以发现在 CRRA 型效用下银行的

贷款和存款投资比例是常数不随市场状况而发生变化在S型效用下损失厌恶

的银行会采取一个更加灵活的贷款和存款投资策略当定价核很低的时候市场状

况比较好风险资产收益较高银行愿意承担更大的风险来追求更高的收益当定

图３　定价核H(t)对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１１　　

价核变大的时候市场状况不断恶化此时银行面临损失的可能性增大银行逐渐减

小贷款和存款的投资比例因此在S型效用下具有损失厌恶偏好的银行能够更

好地进行风险管理

图４显示在S型效用和CRRA型效用下银行的贷款最优投资路径和存款最优

投资路径具有明显的差异性从图４可以发现在 CRRA 型效用下银行的贷款和

存款投资比例在整个投资期内是保持不变的不随时间而发生变化在 S型效用

下银行的贷款最优投资路径和存款最优投资路径具有时变特征随着投资时刻t的增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期T时刻

银行为了最大化利润(处于厌恶风险区域)或者尽可能减小潜在损失(处于偏好风

险区域)银行都会提高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

图４　不同效用函数下的最优贷款投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)

五结　　论

本文利用S型效用函数框架研究了一个包含通胀风险和损失厌恶偏好的银行

的资产组合管理问题首先我们将Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的S型效

用框架拓展到Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的银行资产负债管理分析范式在

PyleＧHartＧJaffee的分析范式中存款相当于负的资产其次我们通过引入通胀风险

刻画宏观风险对银行的风险偏好的重要影响

我们所得到的银行的最优投资策略解析解表明具有损失厌恶偏好的银行的最

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

参 考 文 献

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１１３　　

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１３７１５０

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１５０１６５

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４４９４６５

WILLMANPFENTONＧO1049011CREEVY MNICHOLSON NSOANEE２００２Tradersmanagersandloss

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第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１０　　

担(Borio和Zhu２０１２Blinder等２００８Montes和Scarpari２０１５)结合图２可

以发现当通胀风险相关系数 １－ρ２L 足够大时中央银行提高货币政策透明度可

以减少通胀波动的不确定性具有损失厌恶偏好的银行的贷款和存款的投资比例显

著增加风险承担能力更强

　　(三)S型效用和CRRA型效用的对比

由式(２０)至式(２１)可知具有CRRA型风险厌恶偏好的银行的最优风险资产投

资比例为常比例银行的风险厌恶程度越小贷款和存款的最优投资比例越低具有

损失厌恶偏好的银行的最优风险资产投资比例是时变的与外部市场状况相关为

了进一步考察S型效用和CRRA型效用下银行贷款投资和存款投资的差异我们进

行了两种数值模拟①根据基准情形的参数设置关注在初始投资时刻t＝０时定价

核对贷款投资比例和存款投资比例的影响② 采用蒙特卡洛方法模拟得到不同效

用下整个投资期[０T]中银行的最优贷款路径和最优存款路径模拟次数为

１０００次

图３显示了在S型效用和CRRA型效用中定价核对银行的贷款最优投资比例

和存款最优投资比例的差异性影响从图３可以发现在 CRRA 型效用下银行的

贷款和存款投资比例是常数不随市场状况而发生变化在S型效用下损失厌恶

的银行会采取一个更加灵活的贷款和存款投资策略当定价核很低的时候市场状

况比较好风险资产收益较高银行愿意承担更大的风险来追求更高的收益当定

图３　定价核H(t)对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１１　　

价核变大的时候市场状况不断恶化此时银行面临损失的可能性增大银行逐渐减

小贷款和存款的投资比例因此在S型效用下具有损失厌恶偏好的银行能够更

好地进行风险管理

图４显示在S型效用和CRRA型效用下银行的贷款最优投资路径和存款最优

投资路径具有明显的差异性从图４可以发现在 CRRA 型效用下银行的贷款和

存款投资比例在整个投资期内是保持不变的不随时间而发生变化在 S型效用

下银行的贷款最优投资路径和存款最优投资路径具有时变特征随着投资时刻t的增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期T时刻

银行为了最大化利润(处于厌恶风险区域)或者尽可能减小潜在损失(处于偏好风

险区域)银行都会提高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

图４　不同效用函数下的最优贷款投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)

五结　　论

本文利用S型效用函数框架研究了一个包含通胀风险和损失厌恶偏好的银行

的资产组合管理问题首先我们将Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的S型效

用框架拓展到Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的银行资产负债管理分析范式在

PyleＧHartＧJaffee的分析范式中存款相当于负的资产其次我们通过引入通胀风险

刻画宏观风险对银行的风险偏好的重要影响

我们所得到的银行的最优投资策略解析解表明具有损失厌恶偏好的银行的最

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

参 考 文 献

汪莉王先爽1049008２０１５央行预期管理通胀波动与银行风险承担[J]经济研究(１０)３４４８

ALAM NBOONTANGK２０１２RiskＧtakingbehaviourofIslamicbanksapplicationofprospecttheory[J]

QualitativeResearchinFinancialMarkets４(２３)１５６１６４

BAKERSRBLOOM NDAVISSJ２０１６Measuringeconomicpolicyuncertainty[J]QuarterlyJournalof

Economics１３１(４)１５９３１６３６

BAUMCCAGLAYAN MOZKANN２０１３Theroleofuncertaintyinthetransmissionofmonetarypolicy

effectsonbanklending[J]ManchesterSchool８１(２)２０２２２５

BEKAERT GHOEROVA MDUCA M L２０１３Riskuncertaintyand monetarypolicy[J]Journalof

MonetaryEconomics６０(７)７７１７８８

BERGERANUDELLGF１９９４DoriskＧbasedcapitalallocatebankcreditandcausealdquocreditcrunchrdquointhe

UnitedStates [J]JournalofMoneyCreditandBanking２６(３)５８５６２８

BERKELAARABKOUWENBERG RPOST T２００４Optimalportfoliochoiceunderlossaversion[J]

ReviewofEconomicsandStatistics８６(４)９７３９８７

BLINDERA SEHRMANN MFRATZSCHER MDE HAAN JJANSEN D J２００８Centralbank

communicationandmonetarypolicyasurveyoftheoryandevidence[J]JournalofEconomicLiterature

４６(４)９１０９４５

BlOOM N２００９Theimpactofuncertaintyshocks[J]Econometrica７７(３)６２３６８５

BlOOM N２０１４Fluctuationsinuncertainty[J]JournalofEconomicPerspectives２８１５３１７６

BORIO CE VZHU H２０１２CapitalregulationriskＧtakingand monetarypolicyamissinglinkinthe

transmissionmechanism [J]JournalofFinancialStability８(４)２３６２５１

CALEMPSROBR１９９９TheimpactofcapitalＧbasedregulationonbankriskＧtaking[J]JournalofFinancial

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１３　　

Intermediation８(４)３１７３５２

CHENZLIZFZENG YSUNJ２０１７Assetallocationunderlossaversionandminimumperformance

constraintinaDCpensionplan withinflationrisk[J]InsuranceMathematicsandEconomics７５

１３７１５０

GNABOJYMOCCERODN２０１５Riskmanagementnonlinearityandaggressivenessinmonetarypolicy

thecaseoftheUSFed[J]JournalofBankingampFinance５５２８１２９４

HARTODJAFFEED M１９７４Ontheapplicationofportfoliotheorytodepositoryfinancialintermediaries

[J]ReviewofEconomicStudies４１(１)１２９１４７

HAQ MHEANEYR２０１２FactorsdeterminingEuropeanbankrisk[J]JournalofInternationalFinancial

MarketsInstitutionsamp Money２２(４)６９６７１８

JURADOKSYDNEYLSERENA N２０１５Measuringuncertainty[J]AmericanEconomicReview１０５

１１７７１２１６

KAHNEMANDTVERSKYA１９７９Prospecttheoryananalysisofdecisionunderrisk[J]Econometrica

４７(２)２６３２９２

KAHNEMANDTVERSKYA１９９２Advancesinprospecttheorycumulativerepresentationofuncertainty

[J]JournalofRiskUncertain５(４)２９７３２３

KAPLANSKIGLEVYH２０１５ValueＧatＧriskcapitalrequirementregulationrisktakingandassetallocation

ameanＧvarianceanalysis[J]EuropeanJournalofFinance２１(３)２１５２４１

KASHYAPASTEINJ２０００Whatdoamillionobservationsonbankssayaboutthetransmissionofmonetary

policy [J]AmericanEconomicReview９０(３)４０７４２８

KOŠAK MLISLONCARSKIIMARINCM２０１５Qualityofbankcapitalandbanklendingbehaviorduring

theglobalfinancialcrisis[J]InternationalReviewofFinancialAnalysis３７１６８１８３

MONTESGCSCARPARIA２０１５DoescentralbankcommunicationaffectbankriskＧtaking [J]Applied

EconomicsLetters２２(９)７５１７５８

NARAIDOORRAPUTSOANEL２０１５Financialmarketsandtheresponseofmonetarypolicytouncertainty

inSouthAfrica[J]EmpiricalEconomics４９(１)２５５２７８

PYLEDH１９７１Onthetheoryoffinancialintermediation[J]JournalofFinance２６(３)７３７７４７

ROSSIBSEKHPOSYAN T２０１５Macroeconomicuncertaintyindicesbasedonnowcastandforecasterror

distributions[J]AmericanEconomicReview１０５(５)６５０５５

TALAVERAOTSAPIN AZHOLUD O２０１２MacroeconomicuncertaintyandbanklendingThecaseof

Ukraine[J]EconomicSystems３６(２)２７９２９３

VALENCIAF２０１７Aggregateuncertaintyandthesupplyofcredit[J]JournalofBanking amp Finance８１

１５０１６５

WILLIAMSN２０１２Monetarypolicyunderfinancialuncertainty[J]JournalofMonetaryEconomics５９(５)

４４９４６５

WILLMANPFENTONＧO1049011CREEVY MNICHOLSON NSOANEE２００２Tradersmanagersandloss

aversionininvestmentbankingafieldstudy[J]AccountingOrganizationsandSociety２７(１２)８５９８

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１１　　

价核变大的时候市场状况不断恶化此时银行面临损失的可能性增大银行逐渐减

小贷款和存款的投资比例因此在S型效用下具有损失厌恶偏好的银行能够更

好地进行风险管理

图４显示在S型效用和CRRA型效用下银行的贷款最优投资路径和存款最优

投资路径具有明显的差异性从图４可以发现在 CRRA 型效用下银行的贷款和

存款投资比例在整个投资期内是保持不变的不随时间而发生变化在 S型效用

下银行的贷款最优投资路径和存款最优投资路径具有时变特征随着投资时刻t的增加最优风险资产(贷款和存款)投资比例随之增加即贷款最优投资路径

λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)是投资时刻t的一个增函数在投资到期T时刻

银行为了最大化利润(处于厌恶风险区域)或者尽可能减小潜在损失(处于偏好风

险区域)银行都会提高风险资产投资λlowast１ (T)和λlowast

２ (T)

图４　不同效用函数下的最优贷款投资路径λlowast１ (t)和最优存款投资路径λlowast

２ (t)

五结　　论

本文利用S型效用函数框架研究了一个包含通胀风险和损失厌恶偏好的银行

的资产组合管理问题首先我们将Berkelaar等(２００４)Chen等(２０１７)的S型效

用框架拓展到Pyle(１９７１)Hart和Jaffee(１９７４)的银行资产负债管理分析范式在

PyleＧHartＧJaffee的分析范式中存款相当于负的资产其次我们通过引入通胀风险

刻画宏观风险对银行的风险偏好的重要影响

我们所得到的银行的最优投资策略解析解表明具有损失厌恶偏好的银行的最

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

参 考 文 献

汪莉王先爽1049008２０１５央行预期管理通胀波动与银行风险承担[J]经济研究(１０)３４４８

ALAM NBOONTANGK２０１２RiskＧtakingbehaviourofIslamicbanksapplicationofprospecttheory[J]

QualitativeResearchinFinancialMarkets４(２３)１５６１６４

BAKERSRBLOOM NDAVISSJ２０１６Measuringeconomicpolicyuncertainty[J]QuarterlyJournalof

Economics１３１(４)１５９３１６３６

BAUMCCAGLAYAN MOZKANN２０１３Theroleofuncertaintyinthetransmissionofmonetarypolicy

effectsonbanklending[J]ManchesterSchool８１(２)２０２２２５

BEKAERT GHOEROVA MDUCA M L２０１３Riskuncertaintyand monetarypolicy[J]Journalof

MonetaryEconomics６０(７)７７１７８８

BERGERANUDELLGF１９９４DoriskＧbasedcapitalallocatebankcreditandcausealdquocreditcrunchrdquointhe

UnitedStates [J]JournalofMoneyCreditandBanking２６(３)５８５６２８

BERKELAARABKOUWENBERG RPOST T２００４Optimalportfoliochoiceunderlossaversion[J]

ReviewofEconomicsandStatistics８６(４)９７３９８７

BLINDERA SEHRMANN MFRATZSCHER MDE HAAN JJANSEN D J２００８Centralbank

communicationandmonetarypolicyasurveyoftheoryandevidence[J]JournalofEconomicLiterature

４６(４)９１０９４５

BlOOM N２００９Theimpactofuncertaintyshocks[J]Econometrica７７(３)６２３６８５

BlOOM N２０１４Fluctuationsinuncertainty[J]JournalofEconomicPerspectives２８１５３１７６

BORIO CE VZHU H２０１２CapitalregulationriskＧtakingand monetarypolicyamissinglinkinthe

transmissionmechanism [J]JournalofFinancialStability８(４)２３６２５１

CALEMPSROBR１９９９TheimpactofcapitalＧbasedregulationonbankriskＧtaking[J]JournalofFinancial

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１３　　

Intermediation８(４)３１７３５２

CHENZLIZFZENG YSUNJ２０１７Assetallocationunderlossaversionandminimumperformance

constraintinaDCpensionplan withinflationrisk[J]InsuranceMathematicsandEconomics７５

１３７１５０

GNABOJYMOCCERODN２０１５Riskmanagementnonlinearityandaggressivenessinmonetarypolicy

thecaseoftheUSFed[J]JournalofBankingampFinance５５２８１２９４

HARTODJAFFEED M１９７４Ontheapplicationofportfoliotheorytodepositoryfinancialintermediaries

[J]ReviewofEconomicStudies４１(１)１２９１４７

HAQ MHEANEYR２０１２FactorsdeterminingEuropeanbankrisk[J]JournalofInternationalFinancial

MarketsInstitutionsamp Money２２(４)６９６７１８

JURADOKSYDNEYLSERENA N２０１５Measuringuncertainty[J]AmericanEconomicReview１０５

１１７７１２１６

KAHNEMANDTVERSKYA１９７９Prospecttheoryananalysisofdecisionunderrisk[J]Econometrica

４７(２)２６３２９２

KAHNEMANDTVERSKYA１９９２Advancesinprospecttheorycumulativerepresentationofuncertainty

[J]JournalofRiskUncertain５(４)２９７３２３

KAPLANSKIGLEVYH２０１５ValueＧatＧriskcapitalrequirementregulationrisktakingandassetallocation

ameanＧvarianceanalysis[J]EuropeanJournalofFinance２１(３)２１５２４１

KASHYAPASTEINJ２０００Whatdoamillionobservationsonbankssayaboutthetransmissionofmonetary

policy [J]AmericanEconomicReview９０(３)４０７４２８

KOŠAK MLISLONCARSKIIMARINCM２０１５Qualityofbankcapitalandbanklendingbehaviorduring

theglobalfinancialcrisis[J]InternationalReviewofFinancialAnalysis３７１６８１８３

MONTESGCSCARPARIA２０１５DoescentralbankcommunicationaffectbankriskＧtaking [J]Applied

EconomicsLetters２２(９)７５１７５８

NARAIDOORRAPUTSOANEL２０１５Financialmarketsandtheresponseofmonetarypolicytouncertainty

inSouthAfrica[J]EmpiricalEconomics４９(１)２５５２７８

PYLEDH１９７１Onthetheoryoffinancialintermediation[J]JournalofFinance２６(３)７３７７４７

ROSSIBSEKHPOSYAN T２０１５Macroeconomicuncertaintyindicesbasedonnowcastandforecasterror

distributions[J]AmericanEconomicReview１０５(５)６５０５５

TALAVERAOTSAPIN AZHOLUD O２０１２MacroeconomicuncertaintyandbanklendingThecaseof

Ukraine[J]EconomicSystems３６(２)２７９２９３

VALENCIAF２０１７Aggregateuncertaintyandthesupplyofcredit[J]JournalofBanking amp Finance８１

１５０１６５

WILLIAMSN２０１２Monetarypolicyunderfinancialuncertainty[J]JournalofMonetaryEconomics５９(５)

４４９４６５

WILLMANPFENTONＧO1049011CREEVY MNICHOLSON NSOANEE２００２Tradersmanagersandloss

aversionininvestmentbankingafieldstudy[J]AccountingOrganizationsandSociety２７(１２)８５９８

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１２　　

优终端资产取决于外部市场环境在损失厌恶偏好下作为资产组合管理者的银行

将在贷款业务中进行正向投资在存款业务中进行负向投资损失厌恶的银行根据

风险资产的预期溢价的变化相应调整贷款和存款的最优投资比例通胀风险越大

银行发放贷款和吸收存款的激励越大我们的数值模拟分析结果进一步表明在S型效用下损失厌恶偏好通胀风险对银行最优风险资产投资策略具有重要影响与

CRRA型效用下的投资比例不同在S型效用下损失厌恶的银行会采取一个更加

灵活的风险资产投资策略贷款和存款最优投资比例是时变的且与外部市场状况

相关

在S型效用函数应用于银行资产负债管理的研究方面我们尝试迈出了第一

步证明了存在通胀风险情形下损失厌恶的银行能够更好地进行风险管理我们认

为在银行的资产负债管理方面有待进一步拓展之处可能包括在损失厌恶的框架

下考虑进一步刻画经济不确定性或者关注最低资本充足率等监管要求的影响

参 考 文 献

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BAKERSRBLOOM NDAVISSJ２０１６Measuringeconomicpolicyuncertainty[J]QuarterlyJournalof

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BAUMCCAGLAYAN MOZKANN２０１３Theroleofuncertaintyinthetransmissionofmonetarypolicy

effectsonbanklending[J]ManchesterSchool８１(２)２０２２２５

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MonetaryEconomics６０(７)７７１７８８

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１１３　　

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PYLEDH１９７１Onthetheoryoffinancialintermediation[J]JournalofFinance２６(３)７３７７４７

ROSSIBSEKHPOSYAN T２０１５Macroeconomicuncertaintyindicesbasedonnowcastandforecasterror

distributions[J]AmericanEconomicReview１０５(５)６５０５５

TALAVERAOTSAPIN AZHOLUD O２０１２MacroeconomicuncertaintyandbanklendingThecaseof

Ukraine[J]EconomicSystems３６(２)２７９２９３

VALENCIAF２０１７Aggregateuncertaintyandthesupplyofcredit[J]JournalofBanking amp Finance８１

１５０１６５

WILLIAMSN２０１２Monetarypolicyunderfinancialuncertainty[J]JournalofMonetaryEconomics５９(５)

４４９４６５

WILLMANPFENTONＧO1049011CREEVY MNICHOLSON NSOANEE２００２Tradersmanagersandloss

aversionininvestmentbankingafieldstudy[J]AccountingOrganizationsandSociety２７(１２)８５９８

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

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１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

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γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

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＝Bγ２

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γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

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γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

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oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

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１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

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(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

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１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

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uacuteuacuteI H(T)leH

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(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１３　　

Intermediation８(４)３１７３５２

CHENZLIZFZENG YSUNJ２０１７Assetallocationunderlossaversionandminimumperformance

constraintinaDCpensionplan withinflationrisk[J]InsuranceMathematicsandEconomics７５

１３７１５０

GNABOJYMOCCERODN２０１５Riskmanagementnonlinearityandaggressivenessinmonetarypolicy

thecaseoftheUSFed[J]JournalofBankingampFinance５５２８１２９４

HARTODJAFFEED M１９７４Ontheapplicationofportfoliotheorytodepositoryfinancialintermediaries

[J]ReviewofEconomicStudies４１(１)１２９１４７

HAQ MHEANEYR２０１２FactorsdeterminingEuropeanbankrisk[J]JournalofInternationalFinancial

MarketsInstitutionsamp Money２２(４)６９６７１８

JURADOKSYDNEYLSERENA N２０１５Measuringuncertainty[J]AmericanEconomicReview１０５

１１７７１２１６

KAHNEMANDTVERSKYA１９７９Prospecttheoryananalysisofdecisionunderrisk[J]Econometrica

４７(２)２６３２９２

KAHNEMANDTVERSKYA１９９２Advancesinprospecttheorycumulativerepresentationofuncertainty

[J]JournalofRiskUncertain５(４)２９７３２３

KAPLANSKIGLEVYH２０１５ValueＧatＧriskcapitalrequirementregulationrisktakingandassetallocation

ameanＧvarianceanalysis[J]EuropeanJournalofFinance２１(３)２１５２４１

KASHYAPASTEINJ２０００Whatdoamillionobservationsonbankssayaboutthetransmissionofmonetary

policy [J]AmericanEconomicReview９０(３)４０７４２８

KOŠAK MLISLONCARSKIIMARINCM２０１５Qualityofbankcapitalandbanklendingbehaviorduring

theglobalfinancialcrisis[J]InternationalReviewofFinancialAnalysis３７１６８１８３

MONTESGCSCARPARIA２０１５DoescentralbankcommunicationaffectbankriskＧtaking [J]Applied

EconomicsLetters２２(９)７５１７５８

NARAIDOORRAPUTSOANEL２０１５Financialmarketsandtheresponseofmonetarypolicytouncertainty

inSouthAfrica[J]EmpiricalEconomics４９(１)２５５２７８

PYLEDH１９７１Onthetheoryoffinancialintermediation[J]JournalofFinance２６(３)７３７７４７

ROSSIBSEKHPOSYAN T２０１５Macroeconomicuncertaintyindicesbasedonnowcastandforecasterror

distributions[J]AmericanEconomicReview１０５(５)６５０５５

TALAVERAOTSAPIN AZHOLUD O２０１２MacroeconomicuncertaintyandbanklendingThecaseof

Ukraine[J]EconomicSystems３６(２)２７９２９３

VALENCIAF２０１７Aggregateuncertaintyandthesupplyofcredit[J]JournalofBanking amp Finance８１

１５０１６５

WILLIAMSN２０１２Monetarypolicyunderfinancialuncertainty[J]JournalofMonetaryEconomics５９(５)

４４９４６５

WILLMANPFENTONＧO1049011CREEVY MNICHOLSON NSOANEE２００２Tradersmanagersandloss

aversionininvestmentbankingafieldstudy[J]AccountingOrganizationsandSociety２７(１２)８５９８

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

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ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

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ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

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ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

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ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

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ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

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ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１４　　

InflationRiskLossAversionandBankRiskAssetAllocation

LuJun　HuangJia　ChenZheng

Abstract　Thispaperfocusesontheassetallocationproblem ofcommercialbanks with

inflationrisksandlossaversionpreferenceSupposeabanktreatsitsassetsandliabilitiesasa

specifictypeofportfolioofsecuritiesin whichliabilitiesequaltoshortpositionsinassets

Economicuncertaintycharacterizedbyinflationriskexertsanimpactontheinvestmentreturnof

thebanksportfolioAtdifferenttimesthebanksriskappetiteisdescribedbyanSＧshapeutility

functionwhichisconstitutedbyariskaversionareaandariskpreferenceareaAssumingthatthe

financialmarketiscompletethisessayderivedtheanalyticalexpressionoftheoptimalinvestment

strategyofloananddepositusingthemartingaleapproachInadditiontothisitfurtherconducted

numericalsimulationanalysisontheeffectsoflossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyon

banksriskassetinvestmentstrategyas wellasofthefeaturesofbankriskassetallocation

behaviourunderSＧshapeutilityandCRRAutilityThetheoreticalandnumericalresultsmanifest

thatundersＧshapedutilitylossaversionpreferenceandeconomicuncertaintyhaveasignificant

influenceonthebanksoptimalriskassetinvestmentstrategythebankwithlossaversionwill

adoptamoreflexibleriskassetinvestmentstrategytheoptimalinvestmentratiosofloanand

depositaretimeＧvaryingandcorrelatedwithspecificmarketconditions

Keywords　bankassetallocation　lossaversion　inflationrisk　martingaleapproach

附录１　命题１的证明

首先注意到区别于传统的凹效用函数理论S 型效用函数是一个拟凹的

(pseudoconcave)但凸对偶理论可以应用于此类目标函数的优化问题详细讨论可

见Berkelaar等(２００４)我们利用凸对偶理论中的 LegendreＧFenchel变换只需求

解下面的等价问题

Ulowast(H(T))＝maxXλge０

U(Xλ)－yH(T)Xλ (A １)

其中y 表示相应的Lagrange乘子

记U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 和U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２分别代表S型效用的损失

和收益部分当Xλ leθ时U１(Xλ)＝ －A(θ－Xλ)γ１ 是一个凸函数因此 Weirestrass

定理保证了它的最大值点一定落在它的边界上即Xλlowast１ ＝０或者Xλlowast

１ ＝θ

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

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＝Bγ２

yH(T)aelig

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γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

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oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacuteI H(T)leH

－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１５　　

当Xλ ＞θ时U２(Xλ)＝B(Xλ－θ)γ２ 是一个凹函数因此它的最大值点Xλlowast２ 满

足下面的 KKT条件

Uprime(Xλ)－yH(T)＋λ＝０ Xλlowast２ ge０

λXλlowast２ ＝０ λge０ (A ２)

其中Lagrange函数为L＝U(Xλ)－yH(T)Xλ＋λXλλ为与财富的非负约束相对

应的另一个Lagrange乘子我们通过求解上述的 KKT条件可以得到

Xλlowast２ ＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

(A ３)

接下来为了确定整个函数的全局最优解我们需要对比局部最优解 Xλlowast１ 和

Xλlowast２ 的大小具体分为两种情况

(１)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝θ我们得到

f(H(T))＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

B－yH(T)Bγ２

yH(T)eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

Bγ２

１－γ２

γ２ (A ４)

所以f(H(T))＞０对所有的 H(T)都成立因此Xλlowast１ ＝θ不会是最优解

(２)对比Xλlowast２ 和Xλlowast

１ ＝０我们得到

f(H(T))＝１－γ２

γ２

１yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

γ２１－γ２

(Bγ２)１

１－γ２ －θyH(T)＋Aθγ１ (A ５)

注意到当H(T)leAyθγ１－１ 时－yH(T)θ＋Aθγ１ ge０因此f(H(T))＞０更进一

步我们发现 limH(T)rarrinfin

f(H(T))＝－infin且fprime(H(T))＜０因此函数f 是严格递减

的所以f(H(T))在区间Ayθγ１－１＋infin

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide 上有且仅有一个零点我们把它记为H

－

且它满足f(H－)＝０

故我们得到当 H(T)＜H－

时f(H(T))＞０当H(T)geH－

时f(H(T))le

０综上所述我们说明了当H(T)＜H－

时Xλlowast２ 是最优解当H(T)geH

－时Xλlowast

１ ＝

０是最优解下面我们给出唯一性的证明

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

iumliuml

(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

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１１－γ２eacute

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－

eacute

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(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

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１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

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＝Bγ２

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１１－γ２

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γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

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ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

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１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

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ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

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ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

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ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１６　　

令Xλ(T)表示另一个满足静态预算约束方程的另一个可行解我们推导得到

如下结果

E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ]

　＝E U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yH(０)Xλ(０)＋yH(０)Xλ(０)

　 geE U(Xλlowast (T))[ ] －E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλlowast (T)[ ] ＋yE H(T)Xλ(T)[ ]

　＝E Ulowast(H(T))[ ] － E U(Xλ(T))[ ] －yE H(T)Xλ(T)[ ] ge０ (A ６)

其中第一个不等式成立是由于静态预算约束对 Xλ(T)存在不等式关系而对

Xλlowast (T)存在等式关系第二个不等式成立是由于Xλlowast (T)是该问题的最优解综

上所述我们得到最优解如下

Xλlowast (T)＝θ＋

Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

ifH(T)＜ H－

０ ifH(T)ge H－

igrave

icirc

iacute

iumliuml

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(A ７)

附录２　命题２的证明

首先我们证明 H(t)Xλlowast (t)是一个鞅即

d(H(t)Xλlowast (t))＝H(t)dXλlowast (t)＋Xλlowast (t)dH(t)＋dH(t)dXλlowast (t)

＝H(t)Xλlowast (t)rdt＋Xλlowast (t)λprime(t)σ(ξdt＋dW(t))

　－H(t)Xλlowast (t)(rdt＋ξprimedW(t))－H(t)Xλlowast (t)λprime(t)σξdt

＝H(t)(Xλlowast (t)λprime(t)σ－Xλlowast (t)ξprime)dW(t)

(A ８)

因此利用鞅的性质和伊藤公式我们可以得到

Xλlowast (t)＝１

H(t)Et H(T)Xλlowast (T)[ ] 　　　　　　　　　　　

＝１

H(t)Et H(T)θ＋Bγ２

yH(T)aelig

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－

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(A ９)

这里由于r 和ξ 是常数以及我们模型中资产价格服从几何布朗运动所以

lnH(T)服从均值为lnH(t)－ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)方差为 ξ２(T－t)的正

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

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ouml

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１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

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＝Bγ２

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１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

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ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

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ouml

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２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

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ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

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ouml

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１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

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ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１７　　

态分布利用定价核的分布性质易知

lnH(T)

H(t)＋ r＋１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)

ξ T－t~ ℕ(０１) (A １０)

为了方便我们记

d１(x)＝ln

xH(t)

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide＋(r－

１２

ξ２)(T－t)

ξ T－t(A １１)

于是我们得到

d１(H(T))＋ξ T－t ~ ℕ(０１) (A １２)

我们首先计算Xλlowast (t)的第一部分记d１(H(T))＋ξ T－tequivx~ ℕ(０１)

故我们有下面两个式子成立

H(T)

H(t)＝e(x－ξ T－t)ξ T－t－(r－１２ξ２)(T－t) (A １３)

和

I d１(H(T))＜d１(H－) ＝I x－ξ T－tled１(H

－) 　　 (A １４)

因此

　　　　 　１

H(t)Et H(T)θI H(T)leH－

[ ]

＝θe－ r＋１２ξ２( ) (T－t)e

１２ξ２(T－t)int

d１(H－)

－infin

１

２πe－

u２２du

＝θe－r(T－t)Φ(d１(H－)) (A １５)

类似地我们可继续计算Xλlowast (t)的第二部分

　　 　EtH(T)

H(t)Bγ２

yH(T)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

I H(T)leH－

eacute

euml

ecircecirc

ugrave

ucirc

uacuteuacute

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

er＋１２ξ２( ) (T－t)Et e－

γ２１－γ２

xξ T－tI x＋ξ T－t

１－γ２－ξ T－tled２(H

－) [ ]

＝Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t)Φ(d２(H－)) (A １６)

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

金 融 学 季 刊 第１４卷

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１８　　

其中Γ(t)＝γ２

１－γ２r＋

１２

ξ２aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide (T－t)＋

１２

γ２

１－γ２

aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

２

ξ２(T－t)

令Xλlowast (t)equivF(tH(t))根据伊藤公式我们可以得到

dXλlowast (t)＝I(tH(t))dt＋ƏFƏH

(－H(t)ξprimedW(t)) (A １７)

其中I(tH(t))为某个具体的函数我们只关注它的扩散项 另一方面由于

Xλlowast (t)满足(７)式因此根据伊藤过程的唯一性dW(t)前的系数应该相等于是

我们得到

－ƏFƏH

H(t)ξprime＝Xλlowast (t)λprime(t)σ (A １８)

所以我们得到

λ(t)＝－σ－１

Xλlowast (t)ƏFƏH

H(t)ξ (A １９)

其中计算ƏFƏH

H(t)部分为

　　　ƏFƏH

H(t)＝ƏXλlowast

ƏHH(t)

＝－θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

　－Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２０)

因此通过整理我们得到

　　λlowast(t)＝σ－１

ξXλlowast (t) θe－r(T－t)

ξ T－tϕ(d１(H

－))

＋Bγ２

yH(t)aelig

egraveccedil

ouml

oslashdivide

１１－γ２

eΓ(t) ϕ(d２(H－))

ξ T－t＋

Φ(d２(H－))

１－γ２

aelig

egraveccedilccedil

ouml

oslashdividedivide (A ２１)

其中Φ(1048944)表示标准正态分布的累积分布函数ϕ(1048944)表示标准正态分布的概率密度

函数

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１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１１９　　

附录３

图３１　μL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３２　μD 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２０　　

图３３　σL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

图３４　σP 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

金 融 学 季 刊 第１４卷

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

第１期 陆　军　黄　嘉　陈　峥通胀风险损失厌恶偏好与银行风险资产配置

１２１　　

图３５　ρL 对贷款投资比例λlowast１ 和存款投资比例λlowast

２ 的影响

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