電位

項少龍老師

項少龍老師精編 1

一、電位

1. 電位：電位：電位：電位： 單位正電荷 在空間中某點所具有之電位能，稱為該點的電位

eU kQV

q r≡ = ( /J C V≡ )

2. 思考：思考：思考：思考：

• 已知電位，欲求電位能： eU qV=

• 電場為 0時，其電位不一定為 0，電位為 0之處，電場強度亦不一定為 0

• 若電場方向由 A 指向 B，則 A 點電位 高 B 點電位

• 愈接近正電荷，電位愈 高 ；愈接近負電荷，電位愈 低

• 對正(負)電荷而言，高電位代表 高 ( 低 )電位能

• 多電荷在空間某一點所建立的電位應為各電荷對該點建立電位之 能量和

3. 等位線與等位面：等位線與等位面：等位線與等位面：等位線與等位面：

(1) 一線(面)上各點電位均相等，稱為等位線(面)

(2) 等位線(面)恆與電力線互相垂直

(3) 兩帶等量異性電，且距離d 之平行金屬板，板間等位面為平面

(4) 點電荷於其周圍所建立之等位面形狀為球面

電位能與電位 主題四主題四主題四主題四 : : : : 電位電位電位電位

點電荷

項少龍老師精編 2

二、電位差(電壓)

1. 電位差：電位差：電位差：電位差：兩點間，電位的差值，稱為電位差或電壓( ( )AB A B AB A BV V V U q V V= − ⇒ ∆ = − )

2. 思考：思考：思考：思考：

• 一般乾電池電壓為 1.5伏特，表電池正極電位較負極電位高 1.5伏特，亦可說 1庫侖

正電荷在正極擁有電位能較在負極時多 1.5焦耳

• 電壓是驅使電荷流動之原動力(自然界傾向：高能→低能)

• 兩帶等量異性電，且距離d 之平行金屬板，板間電場強度為 E (均勻電場)，則兩板間

之電位差 V Ed∆ =

• 電位對位置(V x− )圖中，曲線上任意點之切線斜率的 量值 表該點的 電敞量值

• 電場對位置( E x− )圖中，曲線下所包圍的面積表電位差 量值

• 一個電子經過 1伏特電位差加速所獲得能量稱為 1電子伏特(1 .eV )

19 191 . 1.6 10 ( ) 1( ) 1.6 10 ( )eV C V J− −= × × = × (電子伏特為 能量 的單位)

三、均勻帶電絕緣體

1. 均勻帶電絕緣球殼之電場：均勻帶電絕緣球殼之電場：均勻帶電絕緣球殼之電場：均勻帶電絕緣球殼之電場：

殼之內： 0E =

殼之外： 2

kQE

r=

1r

2r

1E

2E

1A

2A

P

1Q+

2Q+

E

2

kQ

R

R

2( )

kQE r

r=

r

切取另塊對稱〝極小〞球殼討

論， Q A∴ ∝ (面積)2r∝

故由 2P

kQE

r= 知，分子分母皆

正比與 2r ，故與 r無關，即

1 2E E= (對稱抵消) →結論殼

之內，任一點電場必為零(球

殼定同)。

項少龍老師精編 3

2. 均勻帶電絕緣球體之電場：均勻帶電絕緣球體之電場：均勻帶電絕緣球體之電場：均勻帶電絕緣球體之電場：

球之內： 3

kQE r

R=

球之外： 2

kQE

r=

討論 P 點之電場可將帶電

球體分為二區塊(�：帶電

球殼＆�：小帶電球)

則 PE E=�

E+�

3

3

2

( )r

QRkr

=3

Qk r

R= ⋅

四、帶電導體之討論

1. 帶電導體特性之討論帶電導體特性之討論帶電導體特性之討論帶電導體特性之討論(靜電平衡時靜電平衡時靜電平衡時靜電平衡時)：：：：

(1) 導體內部 無電場

(2) 電荷分佈在 外表面

(3) 導體必為 等位體

(4) 電力線 垂直 導體表面

0Rr

P� �

R

Rr

E

2

kQ

R2

( )kQ

E rr

=

3( )

QE r k r

R= ⋅

項少龍老師精編 4

五、均勻帶電導體

1. 均勻帶電導體球均勻帶電導體球均勻帶電導體球均勻帶電導體球(實心與球殼效果相同實心與球殼效果相同實心與球殼效果相同實心與球殼效果相同)之電場與電位：之電場與電位：之電場與電位：之電場與電位：

電場： 2

( ) : 0

( ) :

E

kQE

r

=

=

球 殼 之內

球 殼 之外 電位：

( ) :

( ) :

kQV

RkQ

Vr

=

=

球 殼 之內

球 殼 之外

2. 兩獨立導體球導通後兩獨立導體球導通後兩獨立導體球導通後兩獨立導體球導通後(平衡平衡平衡平衡)之電荷分配：之電荷分配：之電荷分配：之電荷分配：

(1) 兩球所帶的電量與其曲率半徑成正比

平衡時，二球電壓相同平衡時，二球電壓相同平衡時，二球電壓相同平衡時，二球電壓相同

11 1 2

1 2

22 1 2

1 2

' ( )

' ( )

RQ Q Q

R Rk QV Q R

RRQ Q Q

R R

= + += ⇒ ∝ ⇒ = + +

(2) 兩球表面電荷面密度(σ )與其曲率半徑成反比

2

1

4

Q Q

A R R≡ = ⇒ ∝σ σ

π

3. 思考：思考：思考：思考：

• 一般計算皆假設接地後電位為零，乃是因為地球半徑甚大，故接地後電荷幾乎都

流向地球，故物體不帶電，其電位為零

• 避雷針與尖端放電是利用尖銳物體表面曲率半徑極小，故可達極大之電荷面密度

VkQ

R

R

( )kQ

V rr

=

r

Q R∝∵

項少龍老師精編 5

~/~獵殺新物理>

1. 如右圖表一正三角形之三個角上，各有一點電荷存在，試求

(1) 要拆散此一系統所需的能量

(2) 系統正三角形中心的電位

(3) 承(2)，如將 −Q 換成＋Q，則該點的電位若干？

2. 在 x 軸上有一點電荷 Q 置於 x＝a 處（Q 及 a 均為正值），另一點電荷 Q5− 置於 x＝−3a

處。設在無限遠處之電位為零，則下列敘述何者為正確？ (A)在 y 軸上，y＝a 處電位為零

(B)在 y 軸上，y＝2a 處電位為正 (C)在 y 軸上，y＝a 處電場的 y 方向分量為零 (D)在 x

軸上，x＝( 52− ) a 處電位為零 (E)在 x 軸上，a＞x＞−3a 間電場均朝正 x 方向

〈84日大〉

3. 正三角形 ABC 之各邊長為 a，重心為 P。若在頂點 A、B、C各固定一電荷，其電量均為 q，

則下列敘述正確的是 (A) P 點之電場為 0 (B) P 點之電位為a

kq33 (C)在頂點 A之電荷

所受靜電力之量值為 2

2

a

kq3 (D)若 P點有一靜止電荷 Q (電量等於 2q )，則 Q脫離 P點

而遠走時，其動能不會超過akq36 2

(E)在(D)中之電荷 Q是以等加速度遠走 〈日大〉

4. 如圖所示，甲電荷＋q 與乙電荷−q，兩者相距 4a，若取兩電荷

連線上之 s 點處的電位為零，則圖中距 O 點 2a 之 P 點處的電

位為何？（已知庫侖定律為 F＝ 1 22

q qk

r） 〈92指考〉

(A) 0 (B)a2

kq (C)

a22

kq (D)

a2

kq-

(E)3a2kq

項少龍老師精編 6

5. 將氫核與氘核放在相同兩平行金屬板的正電板上由靜止釋放，則到達負電板時 (A)動能之

比為 1：1 (B)動量之比為 1： 2 (C)受力之比為 1：1 (D)所需時間之比為 1：2 (E)

所受衝量之比為 1： 2

6. 如右圖所示，一相距 d 的平行金屬板的兩個板面上分別均勻分布有正、

負電荷，電位差為 V，圖中黑點分別表示甲處與乙處。現將一個電子

置於兩個板之間，電子會受電力作用而運動，

已知電子的電量為−e，質量為 m，則：

(1) 電子於甲、乙兩處，以在何處受力較大？

(2) 電子於甲、乙兩處，以在何處電位較高？

(3) 電子在板間的加速度大小為若干？

(4) 電子自下板面到達上板面時，電位能會增加或減少若干？

(5) 電子自下板面到達上板面時，動能會增加或減少若干？

7. 一點電荷（α粒子）自電場中 B 點運動至 A 點動能減少 3.2×10−19焦耳，假使其飛行途中

僅受電力作用，則：

(1) A 點之電位較 B 點之電位高或低若干伏特？

(2) 若此電場為均勻電場，且 A、B 相距 1m，則此點電荷飛行途中所受的電力為若干？

8. 一半徑為 0.5 公尺的球形金屬體，置於乾燥空氣中，並充靜電於其上，使電壓（即球與地

之電位差）達 60 萬伏特而無放電現象產生，則此時此球所帶的淨電荷約為若干庫侖？

〈日大〉

項少龍老師精編 7

9. 一不帶電之中空金屬球殼外徑為 R，中心位於 O 點。今在球殼外

距球心距離為 d 處放置一點電荷−Q（Q＞0），則金屬球上會產生

感應電荷（如右圖所示）。所有感應電荷在

球心 O 點處產生之電場其量值及方向為何？ 〈82日大〉

10. 已知 A、B 兩金屬球半徑各為 rA＝30 厘米，rB＝40 厘米，兩球相距甚遠，且各帶電量為

QA＝5×10−9庫侖，QB＝2×10−9庫侖

(1) A 球表面之電位為若干伏特？

(2) A、B 兩球表面的電位差為若干伏特？

(3) 將兩球互相接觸後，A 球上所帶電量變為若干庫侖？

(4) 此時，兩球表面上的電位差為若干伏特？

11. 有彼此相距甚遠的甲、乙兩帶電金屬球，甲、乙兩球的半徑各為 a 及 b。假設在無窮遠處

電位為零，甲、乙兩球的電位分別為 Va及 Vb。今以一細長導線接觸兩球，使兩球成為等

電位後，再將此導線移開，則此兩球之電位各為若干？ 〈89日大〉

12. 相同大小的兩水銀球帶同種電荷，且電位分別為 V1及 V2，現若將二球合併為一球，則其

電位為若干？

項少龍老師精編 8

<~*~試題簡答>

1. (1) 2kQ+ℓ

(2)3kQ

ℓ (3)

3 3kQ

ℓ 2. (A)(D) 3. (A)(B)(C)(D)

4. 2

3

kq

a 5. (A)(B)(C)(E) 6. (1)相同 (2)甲處 (3)

( )V

ed

m(4)減少(5)增加

7. (1)1( )V (2) 163.2 10 ( )N−× 8. 53.3 10 ( )C−× 9. 2

( )kQ

d→

10. (1)150( )V (2)45( )V (3) 93 10 ( )C−× (4)0 11. a baV bV

a b

++

12. 1 23 2

V V+

項少龍老師精編 9

只只一一電位

另另一正負抵銷

<~,~試題解析>

1. (1) 2 2 2

2( )total

kQ kQ kQU

−= + = − ⇒ℓ ℓ ℓ

拆散系統亦即將系統總能量補至零至少需能2kQ+ℓ

(2) 由等效原同：3

( )3

kQ kQV = =

ℓ ℓ

(3) 3 3

3( )

3

kQ kQV = × =

ℓ ℓ。

2. (A) k q

Vr

=

(B) k q

Vr

=

(C) 5 2

5( ) sin

( 10 )yQ

QE k

a−= × × θ

5 1

10 10

Qk

a2= × ×

2

1( )

( 2 ) 2Q y

QE k

a+ = × ×

(D) k q

Vr

=

Q+Q−

ℓ 3

ℓ

Q+

a

2a

3a−

y

x

a 5a

2aQ+

10a

13a

5Q−2a− a− ( 5 1)a−

(5 5)a−

(2 5)x a= −

5 1：

5 1 10 2→ ⇒： ： 符合

( )希望抵消 等量

5 1：

13 5：

0

5 13V∴ <

−負電位較正多

：

5 1：

5 1 5 5 5 1→ − − ⇒： ： 符合

( )希望抵消 等量

不相等

45°θ

5QE−

QE+

項少龍老師精編 10

3. (A) 由等效原同知 P點電場對稱抵消⇒ 0PE =

(B) 3( )

3

= ×P

kqV

a3 3kq

a=

(C) eF ( )for A點2

2

32 ( ) 3

2 e

kqF

a= × = ×

(D) 22

| | 3

3

∆ → ∆ = ×e

kqEk U

a來

自

26 3kq

a=

(E) eFa

m

∑=定律

。

4. 先令∞為零位，求出 pV ， sV ，再將 sV 平移至 0

若 ( ) 0V ∞ =0

( ) 2( )

3 3

P

S

VKq k a kq

Va a a

= −= + = −

0 2 20

3 3sV

P

kq kqV

a a≡→ = + = 。

5. (A) 由力力能守守

| | | |Ue Ek⇒ ∆ = ∆轉

換

(B) 3 P m Ek=

(C) Fe q E=

(D) 由 F t m v∆ = ∆

pt

tE

∆⇒ ∆ =

(E) ( )J F t qE t= ×∆ = ∆ 。

變力

變加

C B

A q

qq a

a a

P

3

a

eFeF

3

2 eF3

2 eF

1 1：

1 2：

1 2：

1 1：

1 1：

2

3

kq

a+各點電位平移

1 2：

1 2：

1 2：1 2：

項少龍老師精編 11

6. (1) 由 eF q E=同 同

， eF∴ 同

(2) 甲處(∵近正電)

(3) ( )V

eF qE dam m m

= = =定

律

(4) eU q V eV∆ = ∆ = (減少)

(5) 由 | | | |eEk U eV∆ = ∆ =來

自(增加)。

7. (1) 由19

19

3.2 101( )

2 (1.6 10 )

UeUe q v v V

q

−

−

∆ ×∆ = ∆ ⇒ ∆ = = =× ×

α∵ 為正電荷，且 Ek ↓表示 eU V↑⇒ ↑

故 A比 B高 1伏特

(2) V

Fe qE qd

∆= = × 19 161(2 1.6 10 ) 3.2 10 ( )

1N− −= × × × = × 。

8. 由kQ

VR

= ⇒5

59

(6 10 )(0.5)3.3 10 ( )

9 10

VRQ C

k−×= = ≡ ×

×。

9. ∵導體內部無電場 for O： 20 ( )Q Q

kQE E E E

d− −+ = ⇒ = = →感 感 。

10. (1) 9 9(9 10 )(5 10 )

150( )0.3

AA

A

kQV V

R

−× ×= = =

(2) 9 9(9 10 )(2 10 )

45( )0.4

BB

B

kQV V

R

−× ×= = =

150 45 105( )AB A BV V V V= − = − =

(3) k Q

VR

=平衡時必相同

' ( )AA A B

A B

RQ Q Q

R R⇒ = +

+93

(7 10 )7

−= × × 93 10 ( )C−= ×

(4) 接觸後等電位，電位差 0= 。

Fe

Ue Ek

∴

∴ ∆ = ∆

∵

來

自

只只 力力能守守

項少龍老師精編 12

11. ' 'V V=甲 乙

'KQV

R= 甲

甲

甲

( )=

a bV a V bak

a b k ka

× ++ a baV bV

a b

+=+

。

12.

''

'

kQV

R=

1 2

1 23 3

( )

2 2

V R V Rk V Vk k

R

+ += =

' ( )

( )

a ba

a b

aQ Q Q

a bkQ a V bV

V Q Qa k k

V a V ba

a b k k

= ++

⋅= ⇒ = =

= ++

甲 甲 乙

甲甲 乙，同同

2

1

32 倍

13 3( )V R R V∝ ⇒ ∝

1 2

1 2

'

'

Q Q Q

kQ VRV Q

R kV R V R

ak k

= +

= ⇒ =

= +

又