파(波)와 해안수리

파(wave) 또는 파동

매질의 진동으로 인한 어느 특정한 형상이 매체 중을 전파하는 현상.

수파(water wave)는 물을 매질로 하여 수변 변동이 전파되는 현상.

파에 대한 이해가 중요한 이유

1. 해안에서의 수리현상을 지배하는 가장 큰 영향인자

2. 해안구조물의 계획•설계 및 시공을 위해 반드시 파악해야 할 필수자료

3. 연안방재 및 연안보전에 필요한 기초 자료

여기서는 파에 대한 일반적인 정의와 미소진폭파 이론을 통하여 파의 기본량을 살펴본다.

파의 정의

파장(wave length) : 파봉(wave crest)으로부터 인접하는 파봉까지의 수평거리(L)

파속(celerity) : 파의 전파속도 (C)

주기(wave period) : 어떤 한 점에서 한 파봉이 오고 다음 파봉이 올 때까지의

시간간격

파고(wave height) : 파봉과 파곡(wave trough)사이의 연직거리

CTL = (1)

임의의 위치에서의 수위변동 는 다음과 같이 쓸 수 있다. η

)sin(),( δση +−= tkxatx

여기서, a는 파의 진폭(wave amplitude), K는 파수(wave number), σ는 각주파수(wave angular frequency)로 다음과 같이 나타낸다.

Lk /2π=

(2)

T/2πσ =

파의 특성을 나타내는 양

1. 파형경사(wave steepness) : 파장에 대한 파고비, 즉 H/L

2. 상대수심(relative depth) : 파장에 대한 수심비, 즉 h/L

파형경사와 상대수심은 파를 분류하는데 큰 역할을 하는 매개변수 이다.

예제-파형의 산정

파고가 H=1.6m, 주기가 T=10sec인 정현파가 파속 C=4m로 진행하고 있다. 파형( η) 을 구하라. 위상각 δ=0으로 둔다.

mmCTL 40sec10sec/4 =×==

1

4022 −== m

Lk ππ

1sec1022 −==ππσ

T

mmHa 8.026.1

2===

)1040

(2sin8.0

)102

402sin(8.0

)sin(

tx

tx

tkxa

−=

−=

−=

π

ππση

파의 분류

주기에 따른 분류

중력파는 주기가 1초에서 30초 사이의 파로서 원인력(발생력)은 바람에 의한 에너지이며, 이 중에서도 해안공학상 주대상이 되는 파는 주기가 대략 5초에서 약 15초 사이의 파임.

파의 형상에 의한 분류

1. 규칙파(regular wave) : 주기와 파고가 일정한 파가 한 방향으로 무한히

계속 진행하는 파

2. 불규칙파(irregular wave) : 주기와 파고가 일정하지 않고 다양한 방향으로

진행되는 파

상대수심에 의한 분류

심해파(deep water wave) : 21

>Lh

중간수심파 또는 천해파 : 21

251~

201

<<Lh

극천해파 또는 장파 : 251~

201

<Lh

이론적 취급에 의한 분류

1. 선형파이론 : 수면변동량 및 수면의 경사가 매우 작아서 입자속도의 제곱항이나 속도와 수면경사의 곱을 나타내는 항을 무시할 수 있다고 가정하여 기초방정식을 선형화하여 유도한 파의 이론(미소진폭파)

2. 유한진폭파 : 파고가 크고 파장이 짧게될 때 미소진폭파에서 무시한 양들을 고려하여 유도한 파의 이론(트로코이드 파, 스톡스 파, 크노이드 파, 고립파)

현상(現象)상의 분류

1. 진행파 : 파동이 일정한 방향으로 진행하는 파

2. 반사파 : 진행파가 연직 장애물 등에 의해서 반사되어 진행방향의 반대방향으로 되어 진행하는 파

3. 중복파 : 반사파가 뒤이어 진행해 온 진행파와 중첩되어 생기는 파, 이때 파는 수면이 상하로 진동할 뿐 파형은 진행하지 않는다.

4. 쇄파 : 심해에서 천해로 진행해 온 파가 수심이 감소함에 따라 파고는 증대하고 파장이 감소하여 파형경사가 증가하여 공기를 혼입하면서 파의 앞부분이 부서지는 파

미소진폭 표면파

Airy(1845)에 의해 발표되어 Airy 파 이론으로도 불림

기본식 및 경계조건을 선형화하여 다룬 파 이론-수학적으로 가장 간단

파에 관련된 제반문제에 적용할 수 있고, 완전한 해답을 얻지 못하더라도 문제해결의 단서를 얻을 수 있음

수학적으로는 1차 근사식 정도이지만, 공학적 실용도 면에서는 매우 유용함.

미소진폭파의 가정

- 수심이 h로 일정한 해역에 주기가 T이고 파고가 H인 파가 수면을 한 방향으로 가는 연직 2차원 파동의 해를 구하는 것을 목적으로 함.

1. 해수는 균질(homogeneous), 비압축성(incompressible), 표면장력은 무시함.

0=∂∂

+∂∂

zw

xu (3)

여기서, u, w는 각각 x, z 방향의 수립자 속도이며, 주기 1초 이상, 파장 3cm 이상인 파를 대상으로 함.

2. 흐름은 비회전류(irrotational flow)로 가정.-속도포텐셜 함수 Φ 가 존재

Euler 방정식 적용가능.

yw

xu

∂∂

−=∂∂

−=φφ , (4)

3. 해저바닥은 불투수층으로 구성되어 있어, 바닥을 통한 물의 유출입은 없음. 즉, 해저바닥에 수직한 방향으로의 속도성분이 존재하지 않는다.

4. 수표면에서 압력은 대기압으로서 일정하다. 따라서 바람에 의해서 유발되는 풍압이나 수면변동으로 인한 압력차는 무시함.

5. 파의 진폭은 파장과 수심에 비해서 작다.

haLa <<<< , (5)

수립자 속도가 파의 전파속도 C보다 아주 미소하다는 것을 의미함.

Cwu << , (6)

가정5는 수면변동량 η가 작아서 근사적으로 η≒0으로 놓을 수 있고 운동이 완만하하여 수립자 속도 u, w의 제곱항은 무시할 수 있으며, 수면경사 ∂η/∂x 또한 작아서 이것과 속도와의 곱도 무시할 수 있다는 것을 의미함.

기본식과 경계조건

기본식

ηφφ≤≤−=

∂∂

+∂∂ zh

yx ,02

2

2

2

경계조건

1)바닥경계조건

0=∂∂

−=−= hzz

w φ

2)자유표면경계조건

운동학적 자유표면경계조건

ηηη

ηφηηφ

=== ∂∂

∂∂

−∂∂

==∂∂

−=zzz xxtdt

dz

w

동역학적 자유표면경계조건

0)(21 22 =+++

∂∂

−==

ηφ

ηη

gwut zz

3)수평경계조건

),(),(),(),(

TtxtxtLxtx

+=+=

φφφφ

이 방정식은 미지수와 비선형항을 포함하고 있어 해를 구하는 것은 어렵다.

따라서 이러한 식들을 선형화하여 Φ의 해석해를 구할 수 있다.

(7)

(8)

(9)

(10)

기본식 및 경계조건의 선형화

1.기본식(연속방정식)

0 ,02

2

2

2

≤≤−=∂∂

+∂∂ zh

yxφφ

2. 바닥경계조건

0=∂∂

−−= hzz

φ

3. 자유표면경계조건

1) 운동학적 경계조건

tz z ∂∂

=∂∂

−=

ηφ

0

2) 동역학적 경계조건

0

1

=∂∂

=ztg

φη

4. 수평경계조건

),(),(),(),(

TtxtxtLxtx

+=+=

φφφφ

(11) (12)

(13)

(14)

(15)

미소진폭 표면파의 해

기본방정식을 풀면 다음과 같은 속도 포텐셜 함수 Φ를 구할 수 있다.

)cos(cosh

)(cosh2

tkxkh

zhkHg σσ

φ −+

= (16)

)cos(sinh

)(cosh2

tkxkh

zhkk

H σσφ −+

= (17)

식(16)과 식(17)은 모두 미소진폭파 이론에 이한 속도 포텐셜 함수를 나타내며 이 두식은 다음과 같은 분산방정식에 의해서 변환할 수 있다.

khgk tanh2 =σ (18)

※ 분산방정식은 파수와 각주파수의 관계를 부여하는 식이다.

기본해의 적용

1. 파장과 파속 : 설계에 필요한 가장 기본적인 양으로 매우 중요함.

분산방정식에 파수 k와 각주파수 σ를 대입하면 다음과 같다.

khgk tanh2 =σL

hL

gT

πππ 2tanh22 2

=

TLk /2 , /2 πσπ ==

(19)

식(19)를 파장 L에 대해서 정리하면,

LhgTL π

π2tanh

2

2

= (20)

이 식은 양변에 미지수인 파장 L이 들어 있는 음함수이다. 이 식을 풀기 위해서는 수치적인 방법이 필요하지만, 수심이 아주 큰 경우와 아주 작은 경우에는 간단한 형태를 갖는다.

LhgTL π

π2tanh

2

2

=

먼저 쌍곡선 함수의 형태를 살펴보자.

2sinh

khkh eekh−−

=

2cosh

khkh eekh−+

=

khkh

khkh

eeee

khkhkh −

−

+−

==coshsinhtanh

심해파의 파장( h ≫ 1)

12tanh 2

2

22

22

==+

−=

−

−

Lh

Lh

Lh

Lh

Lh

Lh

e

e

ee

eeL

hπ

π

ππ

ππ

π

LhgTL π

π2tanh

2

2

= 22

0 56.12

TgTL ==π

(m-sec 단위) (21)

심해파의 파장

L0는 심해파의 파장을 의미하는데, 지형 등의 영향으로 파가 변형하는 경우에도 주기가 일정하므로, 기준길이로 사용하기에 적합하다.

심해파의 파속

TgTT

gT

TLC 56.1

22

2

0 ====π

π (m-sec 단위) (22)

극천해파의 파장 (h ≪ 1)

수심이 매우 적은 극천해파인 경우에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

)/2(sinhtanh Lhkhkhkh π=≅≅

LhgTL π

π2tanh

2

2

=L

hgTL ππ

22

2

= 22 ghTL =

TghL = (극천해파의 파장) (23)

극천해파의 파속

ghT

TghTLC ===

(24)

중간수심파의 파장 및 파속

21

251~

201

<<Lh

극천해파 심해파

중간수심파

LhgTL π

π2tanh

2

2

=

중간수심파의 파장

LhgT

TLC π

π2tanh

2==

중간수심파의 파속

※두 식 모두 음함수의 형태를 나타내고 있으므로 수치적인 방법 또는 반복계산에 의해서 파장 및 파속을 구할 수 있다.

2.수립자 운동

(1)속도장

)sin(sinh

)(cosh2

tkxkh

zhkHx

u σσφ−

+=

∂∂

−= (25)

)cos(sinh

)(sinh2

tkxkh

zhkHz

w σσφ−

+−=

∂∂

−= (26)

)sin(sinh

)(cosh2

tkxkh

zhkHx

u σσφ−

+=

∂∂

−=

)cos(sinh

)(sinh2

tkxkh

zhkHz

w σσφ−

+−=

∂∂

−=

(2)가속도장

)cos(sinh

)(cosh2

2

tkxkh

zhkHtuu σσ

−+

−=∂∂

≅ (27)

)sin(sinh

)(sinh2

2

tkxkh

zhkHtww σσ

−+

−=∂∂

≅ (28)

(3)수립자의 궤적

∫ −+

== )cos(sinh

)(cosh2

txkkh

zhkHudt σξ

∫ −+

== )sin(sinh

)(sinh2

txkkh

zhkHwdt σζ

(29)

(30)

수립자의 궤적을 구하기 위해서 위식을 고쳐쓰면

12

2

2

2

=+BAζξ

(31)

khzhkHB

khzhkHA

sinh)(sinh

2

sinh)(cosh

2+

=

+=

(32)

수립자가 타원형의 궤도를 따라서 운동하고 있다.

상대수심에 따라 수립자의 궤적을 살펴보자.

khzhkHB

khzhkHA

sinh)(sinh

2

sinh)(cosh

2+

=

+=

심해

)(

21

)(sinh)(cosh

zhke

zhkzhk

+=

+≅+

khekh21sinh ≅

zk

zk

eHB

eHA

2

2

=

=BA =

심해에서는 원의 궤적을 그린다.

극천해

,1)(cosh ≅+ zhk )()(sinh zhkzhk +≅+khkh ≅sinh

)1(2

41

2

hzHB

hHL

khHA

+=

==π

타원형 궤적을 나타내며 장축은 z에 관계없이 일정하고 파장에 비례

3. 파동장의 압력분포

[ ] )(21 22 tFgzpwu

t=++++

∂∂

−ρ

φ

다음과 같은 베르누이 방정식의 일반형으로부터 파동장에서 임의의 깊이에서의 p를 구할 수 있다.

(33)

0 으로 둔다.

gzt

p ρφρ −∂∂

= (34) )cos(cosh

)(cosh2

tkxkh

zhkHg σσ

φ −+

=

동압력

정수압

gztkxkh

zhkHgp ρσρ −−+

= )sin(cosh

)(cosh2

(35)

gzKgp p ρηρ −= (36)

khzhkK p cosh)(cosh +

= (37) 압력응답계수

(pressure response factor)

상대수심(h/L)을 매개변수로 하여 수심비 –z/h에 따른 Kp의 값을 계산하여 도시한 것임.

정수면(z=0)에서 Kp값은 1이고 수심이 클수록 또 상대수심(h/L)이증가할 수록 Kp의 값은 감소한다.

동압력(pd)만을 분리해서 쓰면,

p

d

gKp

ρη = (38)

동압력이 주어지면 파형η를 구할 수 있고, 이것으로부터 파고의 산정도 가능함.

수압식 파고계를 해저 (z = -h)에 설치한 경우

)( hgKp

p

d

−=ρ

η (39) khhK p cosh

1)( =− 수심이 너무 깊으면

압력전달이 떨어져 파고를 정확히 측정할 수 없음.

중복파와 반사

완전중복파

1. 파형과 속도장

진행파와 진행파가 연직벽에 부딪쳐 반사하는 경우를 생각해 보자.

)sin(2

tkxH II ση −= (40)

)sin(2

tkxH RR ση +−=

입사파

반사파 (41)

완전반사인 경우에 입사파고 HI와 반사파고 HR이 같다.

입사파와 반사파를 중첩시키면 다음과 같이 된다.

tkxHHtkxHH RIRIRI σσηηη sincos

22cossin

22

+−

−=+= (42)

HHH RI == 완전중복파인 경우 :

tkxH ση sincos−= (43)

이 되는 지점 즉 x=L/4, 3L/4,5L/4,…(2n+1)L/4에서는 시간 t에 관계없이 진폭이 0이 됨.

0cos =kx

인곳, 즉 x=0, L/2, L, 3L/2, nL/2에서는 진폭이 H로서 최대이며 진행파의 2배가 된다.

1cos ±=kx

진폭이 0인 곳을 진동의 절(node)이라 하고, 진폭이 최대인 곳을 진동의 배(antinode)라 부르며, 배와 절은 L/4마다 교대로 출현한다.

이와 같이 전진하지도 후진하지도 않으며 제자리에서 연직방향으로 상하운동을 하는 파를 중복파(clapotis) 또는 정상파(standing wave)라 한다.