引言

酒里的水多还是水里的酒多　　有这样一道趣题：有两个杯子分别盛有等体积的酒和水．先从盛酒的杯子中取出一勺酒，倒入盛有水的杯子中搅匀，再从盛水的杯子中取出一勺混合的水和酒，倒入盛有酒的杯子里．现在两个杯子里都有酒和水．那么，究竟是盛酒杯子中的水多，还是盛水杯子中的酒多呢？

　　这道题目看起来似乎无从下手．其实，运用我们所学过的分式知识就可以解决．

　　因为混合前两个杯子中盛的酒和水的体积一样，不妨设为mL，勺的容积为nL．

　　一开始，盛酒杯子里面有酒mL，有水0L；盛水杯子里面有水mL，有酒0L．

　　第一次混合后，盛酒杯子里面有酒(m-n)L，有水0L；盛水杯子里面有水mL，有酒nL．

　　此时盛水杯子里面共有(m+n)L混合的水和酒，其中酒的浓度为　　　，水的浓度为　　．

　　第二次混合后，从盛水杯子里面取出的nL混合的水和酒中含酒n·　　=　　　(L)，含水n·　　=　　(L)．

主办单位：人民教育出版社·人教网　　本期责任编辑：马涛（网名：mat） 特约作者：赵国瑞（湖北省襄阳市黄集镇初中）　　投稿：send.pep.com.cn　　E-mail:mat@pep.com.cn

趣味数学八年级

■2012年04月01日 星期日 第61期　 ■总第715期　 ■互联网出版许可证：新出网证(京)字016

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　　问题一 一家咖啡店供应两种咖啡，甲种咖啡1元2杯，乙种咖啡1元3杯．上午店里卖了两种咖啡各300杯，共得250元．下午，老板为了让顾客能喝到两种咖啡，就把价格定为2元5

☆ 本期导读 ☆　　

　　速算的能力往往很令大家羡慕，你知道速算的奥秘是什么吗？同学们听说过“齐夫定律”吗？冬

本期主题

第十六章 分式

第十七章 反比例函数

天的时候，很多同学喜欢溜冰，你知道其中也有“反比例函数”的知识吗？网学精彩，不容错过！

杯，可以让顾客任意选用．　　他认为这样的价格与上午是完全一样的．结果下午又卖掉了两种咖啡各300杯，但在清点货款时，却发现只有240元．为什么会比上午少收入10元呢？是不是在哪里弄错了？老板一时也想不出道理来．　　问题二 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地．为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利地完成

了任务． 你能解释这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将也随之变化．为了保证人们能顺利通过湿地，要求木板的面积越大越安全． 对于上面两个问题，在学习了分式和反比例函数的知识后，你就能明白其中的道理了．小明给小华提出了如图所示的两个问题．你是否能帮助小华想出迅速解决问题的办法？其实通过本节知识的学习，我们将会知道这本是两道计算量不大的问题．

　　此时盛酒杯子里面有水　　L，盛水杯子里面有酒

　　所以盛酒杯子中的水与盛水杯子中的酒一样多．

　　为什么盛酒杯子中的水与盛水杯子中的酒一样多呢？你想过这个问题没有？我们可以从盛酒杯子中酒和水的体积变化来分析．盛酒杯子中的酒经过勺子这么舀来舀去，其中酒的体积减少了，水的体积增加了，而盛酒杯子中的液体总体积没有发生变化，因此减少的酒的体积必然等于增加的水的体积(也就是此时盛酒杯子中的水的体积)．减少的酒跑到哪儿了呢？当然是被勺子舀到盛水杯子里面去了．这减少的酒的体积当然也就是此时盛水杯子中的酒的体积．因此，盛酒杯子中的水与盛水杯子中的酒一样多．你明白了吗？ 当然，你也可以从盛水杯子中酒和水的体积变化来分析，不妨试试呦！

nm n+

mm n+

nm n+

2nm n+m

m n+mn

m n+

mnm n+

2nnm n

−+ =

2 2mn n nm n m n+

−+ +

(L) .

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速 算 ” 的 奥 秘　　在八年级六班举行的“国庆”文娱活动表演中，许多同学都使出了自己的看家本领：小明引吭高歌一曲《祖国颂》，小兰声情并茂地朗诵了诗歌《长江、黄河、母亲》，小东用口琴吹奏《啊，

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　　速算的能力往往很令大家羡慕，你知道速算的奥秘是什么吗？同学们听说过“齐夫定律”吗？冬

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第十六章 分式

第十七章 反比例函数

天的时候，很多同学喜欢溜冰，你知道其中也有“反比例函数”的知识吗？网学精彩，不容错过！

我可爱的故乡》……他们精彩的表演引来了同学们的阵阵喝彩，也把对祖国、家乡的热爱、赞誉之情一次又一次地推向了高潮……

齐 夫 定 律 和反 比 例 函 数

为了方便语言学家们的研究，美国布朗大学曾经从15个大类500篇文章中精选了一些规范的英语文本，组成了一个包含100多万词汇的语料库．下面这张表统计了布朗大学语料库中出现次数最多的20个单词，以及它们各自出现的次数．

　　或许你会注意到一个奇怪的巧合：一个单词的排名乘以它出现的次数，其结果几乎总在6万到10万之间．也就是说，这两者大致成反比例关系．在统计结果表1中，出现次数最多的词是the，它出现了近7万次，这个数目远远高于其他的单词；其次是介词of，出现次数差不多是the的一半；排名第三的词是and，出现次数则约是冠军the的三分之一．再往后的单词，出现次数的差距就慢慢开始缩小了．图1显示的就是英文单词排名统计折线

　　就在活动气氛十分热烈的时候，平时不善言辞的小刚，涨红着脸站起来说：“我也想为大家表演一个节目，可是我的节目是和数学计算有关的……”不等他的话说完，就有急性子的同学说道：“欢迎你快点表演吧！”有了同学们真诚的鼓励，小刚平稳了一下情绪，大声地说：“下面我就为大家露一手速算的绝活吧！”

　　“同学们可以随意报一个不等于0的数，然后，我按照下列运算顺序进行速算，我可以在最短的时间内把结果报给大家：①把这个数立方；②加上这个数的平方；③除以这个数的平方；④减去这个数本身．请大家不要客气，尽管说吧！”

　　有几个自认为速算水平比较高的同学按捺不住了，他们争先恐后地报了一些比较大的数．令大家吃惊的是，小刚胸有成竹地一一报出了正确结果．同学们在感到惊奇的同时，看到班主任也是数学老师的吴老师正面带微笑，还和小刚会意地交换了一下眼神！

　　这时，一向善于动脑思考问题，人称“数学王子”的李淼站起来说：“设x表示大家报的数，

请看： = =(x+1)-x=1！这是我按照小刚所说的运算顺序写出来的过程，可以看

到，不论x取什么不等于0的数或式子，其结果总是1．”

　　听了“数学王子”的解释，大家都恍然大悟了．不知道哪位同学带的头，教室里再次响起了热烈的掌声……

3 2

2

x x xx+

−2

2

( 1)x x xx+

−

1　　the 69 970 11 for 9 489 2　　of 36 410 12 it 8 760 3　　and 28 854 13 with 7 290 4　　to 26 154 14 as 7 251 5　　a 23 363 15 his 6 996 6　　in 21 345 16 on 6 742 7　　that 10 594 17 be 6 376 8　　is 10 102 18 at 5 377 9　　was 9 815 19 by 5 307 10　　he 9 542 20 I 5 180

表1

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　　速算的能力往往很令大家羡慕，你知道速算的奥秘是什么吗？同学们听说过“齐夫定律”吗？冬

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第十六章 分式

第十七章 反比例函数

天的时候，很多同学喜欢溜冰，你知道其中也有“反比例函数”的知识吗？网学精彩，不容错过！

溜 冰 中 的 反 比 例 函 数　　冬天的小河里结了冰，喜欢溜冰的同学相约到河里去溜冰．到了河边，有位同学说：“我们上去后，河里的冰会不会破裂？”听了这话，其他的同学也担心起来，有的同学说：“我可不敢玩了，我们回家吧．”另一名同学说：“人既然来了，就这样回去太不甘心了，能不能想一个办法解决这个问题呢？”于是，大家都开始想起办法来．

　　忽然，有位同学说：“我们可以在每只脚上绑块宽一点的木板，到河边去试一试不就行了吗？”一些同学也附和起来：“对，对，就这样试一试吧．”

　　你同意他们的做法吗？这个问题需要考虑压强与受力面积之间的关系，压强的计算公式为F=PS，当压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，脚上绑上宽一点的木板后，冰的受力面积S增大，压强P变小，冰层就不易破裂．

　　牛刀小试：寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区．你能解释一下小明这样做的道理吗？

　　图(x表示名次，y表示出现的次数)与反比例函数的图

象，可以看出两者惊人地吻合在一起．1935年，美国哈佛大

学语言学家齐夫首次发现了这个现象，他把这种现象命名为

“齐夫定律”．

　　有趣的是，齐夫定律不仅适用

于单词使用次数的排名，生活中的

各种排名也都有着类似的现象．人

口最多的城市、访问量最多的网

站、收入最多的公司——它们的排

名与具体数值几乎都存在着反比例

的关系．

1 纽约 　　　21 199 865 11 亚特兰大 　4 112 198 2 洛杉矶 16 373 645 12 迈阿密 　3 876 380 3 芝加哥 9 157 540 13 西雅图 　3 554 760 4 华盛顿 7 608 070 14 菲尼克斯 　3 251 876 5 旧金山 7 039 362 15 明尼阿波利斯　2 968 806 6 费城 　　　6 188 463 16 克利夫兰 　2 945 831 7 波士顿 5 819 100 17 圣地亚哥 　2 813 833 8 底特律 5 456 428 18 圣路易斯 　2 603 607 9 达拉斯 5 221 801 19 丹佛 　　　　2 581 506 10 休斯顿 4 669 571 20 圣胡安 　2 450 292

　　表2和图2显示的就是美国人口最多的20个城市(x表示名

次，y表示人口)．这些城市的人口和排名也大致呈反比例关

系．这反映了人口分布的极度不平衡性——大多数人都集中住

在少数几个城市．而人口不足100万人的城市竟然超过了美国

城市总数的一半．早在1906年，意大利经济学家帕雷托就已经

发现了类似的反比例现象．他发现，意大利80%的土地被20%的

人占有．随后，他又发现自家花园里80%的豌豆都收获自20%的

豆荚．他据此提出了著名的“80/20法则”．人们发现这个法

表2

图2

则普遍适用于社会生活中的各个方面：全球80%的犯罪案件都是由20%的罪犯犯下的，企业80%的利润

来自20%的项目或重要客户．在学习和工作中，80%的成效是在20%的时间内获得的．这启发我们，做

事时要善于抓住核心问题，学会把精力投入到这关键的20%中．所以，我们可以说，反比例函数几乎

是随处可见，无时不在影响着我们的生活．

上接第二版 图1