DistribucionesDiscretasProbabilidad
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Distribuciones de Probabilidad 1. ¿Qué es una variable aleatoria? Matemáticamente, una variable aleatoria es una función real X cuyo dominio es el espacio muestral Ω asociado a un experimento y cuyo conjunto de llegada es R, el conjunto de todos los números reales, es decir: X: Ω → R Dicho de otra manera, una variable aleatoria es el valor numérico resultante de un experimento con un determinado nivel de incertidumbre. 2. ¿Qué es una distribución de probabilidad? Se denomina distribución de probabilidad de una variable aleatoria al conjunto de todos aquellos posibles resultados de un experimento y la probabilidad de ocurrencia asociada para cada uno de ellos, además está completamente descrita por la función de distribución de probabilidad. 3. Función de distribución discreta de probabilidad. Sea X una variable aleatoria discreta y sea el conjunto de pares ordenador (x, f(x)) se define a este conjunto como una función de distribución discreta si para cada x posible se cumple que: 1. 0≤() ≤1, 2. ∑ () = 1, 3. ( = ) = ()
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Distribuciones de Probabilidad
1. Qu es una variable aleatoria? Matemticamente, una variable aleatoria es una funcin real X cuyo dominio es el espacio
muestral asociado a un experimento y cuyo conjunto de llegada es R, el conjunto de todos
los nmeros reales, es decir:
X: R
Dicho de otra manera, una variable aleatoria es el valor numrico resultante de un
experimento con un determinado nivel de incertidumbre.
2. Qu es una distribucin de probabilidad? Se denomina distribucin de probabilidad de una variable aleatoria al conjunto de todos
aquellos posibles resultados de un experimento y la probabilidad de ocurrencia asociada
para cada uno de ellos, adems est completamente descrita por la funcin de distribucin
de probabilidad.
3. Funcin de distribucin discreta de probabilidad. Sea X una variable aleatoria discreta y sea el conjunto de pares ordenador (x, f(x)) se define
a este conjunto como una funcin de distribucin discreta si para cada x posible se cumple
que:
1. 0() 1,
2. () = 1,
3. ( = ) = ()
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4. Funcin de distribucin acumulada. La funcin de distribucin acumulada de F(x) de una variable aleatoria discreta X con
distribucin de probabilidad f(x) est dada por:
() = P(X a) = f(x) < a < Xa
5. Media de una funcin de distribucin discreta de probabilidad. La media, promedio o valor esperado representa el valor que indica la posicin central de
una distribucin de probabilidad. Sea X una variable aleatoria con funcin de distribucin de probabilidad f(x), para el caso discreto, el valor esperado est dado por:
6. Varianza de una funcin de distribucin discreta de
probabilidad. La varianza determina mide el nivel de dispersin de una variable aleatoria X con respecto a
su media . Sea X una variable aleatoria con funcin de distribucin de probabilidad f(x) y
media , para el caso discreto, la varianza est dada por:
7. Distribucin de Probabilidad Binomial. Una distribucin de probabilidad binomial presenta las siguientes caractersticas:
1. Slo existen dos posibles resultados mutuamente excluyentes: xito o fracaso
2. La variable aleatoria resulta de realizar conteos, es decir, permite contar el nmero de xitos en una cantidad fija (n) de repeticiones.
3. La probabilidad de xito (p) se mantiene invariable en cada repeticin.
4. Las repeticiones son independientes para cada una de las repeticiones.
La frmula de la distribucin de probabilidad de una variable aleatoria binomial est dada
por:
Donde:
n: nmero fijo de repeticiones.
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x: valor que toma la variable aleatoria y que corresponde al nmero de xitos que
ocurren en dicho experimento.
p: probabilidad de ocurrencia del xito.
q: probabilidad de ocurrencia del fracaso (1-p)
La media o valor esperado de esta distribucin de probabilidad est dada por:
=
La varianza de esta distribucin de probabilidad est dada por:
2 =
8. Distribucin de Probabilidad Geomtrica. Una distribucin de probabilidad Geomtrica presenta las siguientes caractersticas:
1. Slo existen dos posibles resultados mutuamente excluyentes: xito o fracaso
2. La probabilidad de xito (p) se mantiene invariable en cada repeticin.
3. Las repeticiones son independientes para cada una de las repeticiones.
4. Los valores que toma la variable aleatoria son iguales al nmero de repeticiones que se
requieren en el experimento hasta lograr que el primer xito ocurra.
La frmula de la distribucin de probabilidad de una variable aleatoria Geomtrica est dada
por:
( = ) = (1 )1
Donde:
x: valor que toma la variable aleatoria hasta lograr que el primer xito ocurra.
p: probabilidad de ocurrencia del xito.
La media o valor esperado de esta distribucin de probabilidad est dada por:
La varianza de esta distribucin de probabilidad est dada por:
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9. Distribucin de Probabilidad Binomial Negativa. Una distribucin de probabilidad Binomial Negativa presenta las siguientes caractersticas:
1. Slo existen dos posibles resultados mutuamente excluyentes: xito o fracaso
2. La probabilidad de xito (p) se mantiene invariable en cada repeticin.
3. Las repeticiones son independientes para cada una de las repeticiones.
4. Los valores que toma la variable aleatoria representa el nmero de repeticiones que se
requieren en el experimento hasta lograr que el r-simo xito ocurra.
La frmula de la distribucin de probabilidad de una variable aleatoria Binomial Negativa
est dada por:
Donde:
x: representa el nmero de repeticiones que se requieren en el experimento hasta lograr
que el r-simo xito ocurra. p: probabilidad de ocurrencia del xito.
La media o valor esperado de esta distribucin de probabilidad est dada por:
La varianza de esta distribucin de probabilidad est dada por:
10. Distribucin de Probabilidad Hipergeomtrica. Una distribucin de probabilidad Hipergeomtrica presenta las siguientes caractersticas:
1. Slo existen dos posibles resultados mutuamente excluyentes: xito o fracaso
2. La variable aleatoria representa el nmero de xitos en una cantidad fija (n) de
repeticiones.
3. El muestreo se realiza de una poblacin finita sin reemplazo, adems n/N > 0.05
4. Las repeticiones no son independientes entre ellas.
La frmula de la distribucin de probabilidad de una variable aleatoria Hipergeomtrica est dada por:
Donde:
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N: tamao de la poblacin n: tamao de la muestra o
nmero fijo de repeticiones.
X: nmero de xitos en la poblacin.
x: valor que toma la variable aleatoria y que corresponde al nmero de xitos que
ocurren en la muestra.
11. Distribucin de Probabilidad Poisson. Una distribucin de probabilidad Poisson describe el nmero de veces que se presenta un
evento durante un intervalo especfico el mismo que puede ser de tiempo, distancia, rea o volumen, y que adems presenta las siguientes caractersticas:
1. La variable aleatoria representa el nmero de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido.
2. La probabilidad de ocurrencia del evento es proporcional al intervalo.
3. Los intervalos no se traslapan y adems son independientes.
La frmula de la distribucin de probabilidad de una variable aleatoria Poisson est dada
por:
Donde:
: es la media de la cantidad de veces que se presenta un evento en un intervalo
particular.
: constante 2.71828
x: nmero de veces que se presenta un evento.
La media o valor esperado al igual que la varianza de esta distribucin de probabilidad est
dada por:
= 2 =
