Diseño_por_flexión_de_zapata_aislada_y_de_hormigón_simple

7/28/2019 Diseño_por_flexión_de_zapata_aislada_y_de_hormigón_simple

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DISEÑO POR FLEXIÓN

Profesor: Ing. Daniel E. Weber

J.T.P.: Ing. Sebastián Romero

Cimentaciones U.T.N. – Facultad Regional Santa Fe – 2008

E-Mail: [email protected]



Diseño por Flexión

En el diseño de secciones rectangulares conrefuerzo de tracción, las dos condiciones deequilibrio son:

C = T (1) y Mn= (C ó T) (d – a/2) (2)

b

d

c

d – a/2T

Ca=β1c

0,85 f’cεc

εs

As

Sección Deformación Esfuerzo equivalente



Cuando el porcentaje de acero ρ = As / b.d se establece

a partir de la ecuación (1) :

c

y

yc

f f d a

f d bab f

'

'

85,0

85,0

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

ρ

ρ

A partir de la ecuación (2) :

( )ad T f

f d d f d b M

c

y

yn ⋅−⋅=

⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= 5,0

85,05,0

'

ρ ρ




Un coeficiente nominal de resistencia Rn se obtiene

dividiendo por b.d2 :

⋅

⋅⋅−⋅⋅=

⋅

=c

y

yn

n

f

f f

d b

M R

'2

85,0

5,01 ρ

ρ

Cuando b y d se establecen, ρ se obtieneresolviendo la ecuación cuadrática para Rn :

⋅

⋅−−⋅

⋅=

c

n

y

c

f

R

f

f '

'

85,0

211

85,0 ρ

(3)

(4)




Porcentaje de refuerzo balanceado ρb para secciones rectangularescon refuerzo a tracción solamente

0,02830,02520,02140,01600,75.ρb

0,03770,03350,02850,0214ρb4220

0,04910,04370,03710,02780,75.ρb

0,06550,05820,04950,0371ρb2810

β1=0,75β1=0,80β1=0,85β1=0,85

f’c

=422f’c

=352f’c

=281f’c

=211f y



El procedimiento de diseño para secciones rectangulares

sólo con refuerzo de tracción, mediante las ecuaciones (3)y (4), se realiza de la siguiente manera:

+⋅

⋅⋅=

y y

c

b f f

f

6115

611585,8'

1 β ρ

Paso 1: seleccionar un valor aproximado del porcentajede refuerzo de tracción ρ, igual o menor que 0,75 ρb, perono mayor que el mínimo, donde el porcentaje de refuerzobalanceado, ρb, este dado por:




y

2'

1

2'2'

1

2'

1

/ 56265,0

/ 562 / 281

70

28105,085,0

/ 28185,0

cmkg f

cmkg f cmkg f

cmkg f

c

cc

c

≥→=

<<→

−⋅−=

≤→=

β

β

β




Paso 2:

Con el porcentaje ρ establecido (14/fy ≤ ρ < 0,75 ρb),calcular el valor de b.d2 requerido.

( )

n

ureq

R

M d b

⋅=⋅ϕ

.2

Donde:

=

=

⋅

⋅⋅−⋅⋅=

u

c

y

yn

M

f

f f R

90,0

85,05,01

'

ϕ

ρ ρ

Momento factorizado aplicado

Para flexión




Paso 3:

Dimensionar el elemento de tal manera que el valor dadob.d2 sea aproximadamente igual al valor b.d2 requerido.

Paso 4:Calcular y revisar el valor de ρ mediante uno de losmétodos detallados a continuación:

a) Por medio de la fórmula (Método exacto):

⋅

⋅−−⋅

⋅=

c

n

y

c

f

R

f

f '

'

85,0

211

85,0 ρ

( )

2

d b

M R u

n

⋅⋅

=

ϕ

Donde:




c) Por medio de las tablas de resistencia a momento. Losvalores de ω = ρ.fy / f’c están dados en términos deresistencia a momento M

u

/ ϕ.f’c

.b.d2




d) Por medio de una relación aproximada:

( )( )( )original R

revisado R

n

noriginal ⋅≈ ρ ρ

Paso 5: Calcular el As requerida.

( )dadorevisadas d b A ⋅⋅= ρ

Cuando b y d están establecidas, el As requerida se calculadirectamente de:

( )dados d b A ⋅⋅= ρ

Donde ρ se calcula usando uno de los métodos del paso 4.




Cálculo de Zapatas:

Cargas y reacciones:

El primer paso para el diseño consiste en determinar el

área requerida para la base de la zapata. Teniendo encuenta las presiones admisibles del suelo o de las cargasde los pilotes de cimentación y las cargas reales de serviciono factorizadas en cualquier combinación.

Cuando ya se han establecido las dimensiones en plantade la zapata, se continua con la altura y armadura de lamisma.

Para ello, las presiones de contacto y todas las cargas seincrementan por los factores de carga apropiados.




Cargas y reacciones:

Las cargas factorizadas o los momentos internos, y los

esfuerzos de corte se utilizan para dimensionar la zapata,de modo que tenga la resistencia requerida al esfuerzo decorte y al momento flector.




Esfuerzo de Corte en Zapatas:

La resistencia al corte de una zapata en los puntos

cercanos al elemento soportado (columna o muro) debe serdeterminado por la más estricta de las dos condiciones,una, la acción de la viga y otra, la acción en dos direccionesde la zapata.

En la acción de la viga se considera que la zapata actúacomo una viga ancha con una sección crítica a través de suancho total.

En la acción en dos direcciones de la zapata, se verifica laresistencia al corte por penetración.





La sección crítica para el esfuerzo de corte por penetración,

es un perímetro b0 alrededor del elemento soportado.La resistencia al corte para la acción en dos direcciones esuna función del tamaño del apoyo βc, que es la relación del

lado corto al largo de la columna o del área de apoyo.





Si el esfuerzo de corte factorizado, Vu, en la sección crítica

excede de la resistencia al corte ϕ.Vc, debe colocarsearmadura por corte.

Si se coloca armadura de corte, la resistencia puede

incrementarse hasta un valor máximo de: d b f c ⋅⋅⋅ 0

'

6,1

Sin embargo, la armadura de corte debe diseñarse paraque soporte un esfuerzo de corte superior a: d b f c ⋅⋅⋅ 0

'53,0

Este límite es la mitad del permitido, con una relación de βcde 2 o menos.





Para el diseño de la zapata (sin armadura de corte), las

ecuaciones de resistencia al corte se pueden resumir:Acción de la viga: Acción de la viga:

( )d b f V

V V

wcu

nu

⋅⋅⋅⋅=

⋅≤

'

53,0ϕ

ϕ

Donde bw es el ancho de la zapata y Vu, el esfuerzo de

corte factorizado, calculados para la sección crítica.





Acción en dos direcciones: Acción en dos direcciones:

d b f V

V V

c

cu

nu

⋅⋅⋅

+⋅⋅=

⋅≤

0

'4227,0

β ϕ

ϕ

Donde el perímetro, b0, y el esfuerzo de corte factorizado,Vu, están calculados para la sección crítica.

Pero no mayor que: d b f c ⋅⋅⋅⋅ 0

'1,1 ϕ



Diseño de una zapata:

1 , 4

9 5

b0 para la acción en ambas direcciones

30 cm + d

d

d/2bw para la acción de la viga

1

, 0 1

1

, 4 9 5

4

, 0 0

1 ,

8 5

1

, 8 5

75 cm + d

1,625 1,6250,75

4,00

1,27 1,271,46




Transmisión de fuerza en la base de la columna o muroreforzado:

Todas las fuerzas aplicadas en la base de una columna omuro (elemento soportado) debe transmitirse a la base(elemento soportante), por medio del apoyo sobre el Hº omediante la armadura.

La armadura debe resistir completamente los esfuerzos detracción. La compresión del Hº, tanto para el elementosoportado, como para el soportante no debe exceder la

resistencia a compresión del Hº.




Transmisión de fuerza en la base de la columna o muroreforzado:

Para una columna soportada:

Donde f’c es la resistencia del Hº de la columna.

1

'85,0 A f P cnb ⋅⋅⋅=⋅ ϕ ϕ

Para el caso común de una zapata de apoyo con un áreatotal considerablemente mayor que la columna soportada.

:21

2 > A

A ( )1

'58,02 A f P cnb ⋅⋅⋅⋅=⋅ ϕ ϕ

Donde f’c

es la resistencia del Hº de la zapata.




Cuando se supera la resistencia a compresión, se debeproporcionar un refuerzo para transferir el exceso. Sedebe suministrar un área mínima de refuerzo a lo largo de

la entrecara de la columna o muro y la zapata, auncuando no se supere la resistencia a compresión del Hº.

Los requerimientos mínimos de refuerzo se basan en el tipo

de elemento soportado:

gs A A ⋅= 005,0Columnas coladas en obra:

Muros colados en obra: =s A Refuerzo mínimo verticaldel muro.

Columnas prefabricadas de Hº: y

g

s

f

A A ⋅=14

Ag: área del elemento soportado




Muros prefabricados de Hº:

Para la construcción a base de Hº colado en obra, elrefuerzo puede consistir en varillas de hierro prolongadas oanclajes de hierro entre la columna y la zapata.

Para la construcción a base de prefabricados, el refuerzopuede consistir en pernos de anclaje o conectoresmecánicos.

y

g

s f

A A ⋅= 5,3




Cálculo del área de una zapata:

Determinar el área, Af , de la base de una zapata cuadradaaislada.

Datos:

Carga muerta de servicio = 160 Tn.Carga viva de servicio = 125 Tn.

Sobrecarga de servicio = 488 kg/m2

Peso promedio considerado para el suelo y Hº encima de labase de la zapata = 2.080 Kg/m3

Capacidad de carga del terreno = 22 Tn/m2 = 2,2 kg/cm2




Cálculo del área de una zapata:

Datos:Columna = 75 cm x 30 cm




Cálculo y análisis:

1) Peso total de la sobrecarga:

2.080 kg/m3 x 1,50 m + 488 kg/m2 = 3.610 kg/m2 = 3,61 Tn/m2

2) Capacidad de carga neta del terreno:

22 Tn/m2 – 3,61 Tn/m2 = 18,39 Tn/m2

3) Área de la base de la zapata:

2

250,15

/ 39,18125160 m

mTnTnTn A f =+=

Adoptamos una zapata cuadrada de 4 m x 4 m (Af = 16 m2)




Cálculo y análisis:

El área de la base de la zapata se determina aplicando lascargas de servicio (no factorizadas) con la capacidad decarga del terreno.4) Cargas factorizadas y reacción del terreno:

U=1,4 x 160 Tn + 1,7 x 125 Tn = 436,50 Tn

2

2/ 28,27

16

50,436mTn

m

Tn

A

U q

f

s ===

Para dimensionar la zapata por resistencia (altura yarmaduras necesarias) deben utilizarse cargas factorizadas




Diseño de la altura de la zapata:

2

2

2'

/ 28,27

50,436 / 28,2700,400,4

/ 211

mTnq

TnmTnmmP

cmkg f

s

u

c

=

=⋅⋅==




1 ,

4 9 5

b0 para la acción en ambas direcciones

30 cm + d

d

d/2bw para la acción de la viga

1 ,

0 1

1

, 4 9 5

4 ,

0 0

1 , 8

5

1

, 8 5

75 cm + d

1,625 1,6250,75

4,00

1,27 1,271,46




Determinar la altura con base en la resistencia al corte, sinarmadura de corte.

Considerar un espesor total de 84 cm; d promedio ≈ 71 cm

( )( ) ( )

( )

correctoTnTn

TncmcmcmkgV

cmb

TnmmmTnV

d b f V

V V

u

w

u

wcu

nu

→<

=⋅⋅⋅⋅≤

=

=⋅−⋅=

⋅⋅⋅⋅<

⋅≤

80,18540,124

80,1851000 / 71400 / 21153,085,0

400

40,124471,085,1 / 28,27

53,0

2

2

'ϕ

ϕ

1) Acción de la viga de la zapata:




( ) d b f V

V V

c

c

u

nu

⋅⋅⋅

+⋅⋅<

⋅≤

0

'4227,0 β

ϕ

ϕ

1) Acción en dos direcciones de la zapata:

Pero no mayor que:Tn36 ,476 d b f 1 ,1 0c

' =⋅⋅⋅ϕ⋅

( )( ) ( )

( )

correctoTnTn

cmcmcmkgV

cmcmcmcmcmb

TnmmmcmTnV

u

c

u

→<

⋅⋅⋅

+⋅⋅≤

==

=+⋅++⋅=

=⋅−=

90,42020,396

1000 / 71494 / 2115,2

4227,085,0

5,2

30

75

4947130271752

20,39601,146,116 / 28,27

2

0

22

β




Por lo tanto la altura efectivo de 71 cm es suficiente pararesistir el esfuerzo de corte.




Diseño de la armadura de la zapata:

2

2

2

2'

/ 28,27

50,436 / 28,2700,400,4

/ 4220

/ 211

mTnq

TnmTnmmP

cmkg f

cmkg f

s

u

y

c

=

=⋅⋅=

=

=

Sección críticapara momento





( ) mTnmmTn M u ⋅=⋅⋅= 73,1862 / 85,14 / 28,27 22

1) La sección crítica se localiza en el plano de la columna

2) Calcular el As requerida:

0025,0

/ 21185,0

/ 29,10211

/ 4220

/ 21185,0

85,0

211

85,0

/ 29,10714009,01073,186.

2

2

2

2

'

'

2

5

2

=

⋅

⋅−−⋅

⋅=

⋅

⋅−−⋅

⋅=

=⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

=

cmkg

cmkg

cmkg

cmkg

f

R

f

f

cmkgcmcm

mTnd b

M req R

c

u

y

c

uu

ρ

ρ

ϕ





Hay que verificar el espesor mínimo requerido para losas

estructurales:correcto→<= 0025,00018,0.min ρ

271714000025,0

.

cmcmcm A

d breq A

s

s

=⋅⋅=⋅⋅= ρ

Utilizamos 14 Ø 25 mm = 68,72 cm2 en cada sentido.





0 ,155cm5 ,68l

8 ,0cm / kg211

cm / kg422091 ,406 ,0l

8 ,0 f

f A06 ,0l

d

2

2

d

c'

yb

d

<=

⋅

⋅⋅=

⋅

⋅⋅=

3) Revisar el desarrollo de la armadura

La sección crítica para el desarrollo es la misma que seconsidera para el momento (plano de la columna)

Para Ø 25 mm:

En la proyección corta




Diseño para la transmisión de la fuerza en la base de lacolumna:

( )( )

TnmTnmmP

cmkg f

cmkg zapata f

cmkgcolumna f

u

y

c

c

50,436 / 28,2700,400,4

/ 4220

/ 211

/ 352

2

2

2'

2'

=⋅⋅=

=

==




( ) ( )correctoTnTn

cmcmcmkg A f P

cmkg f

cnb

c

→>

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅

=

50,43600,471

7530 / 35285,070,085,0

/ 352

2

1

'

2'

ϕ ϕ

1) Resistencia al aplastamiento del Hº de la columna:


2) Resistencia al aplastamiento del Hº de la zapata:

Para el apoyo en la zapata de Hº, la resistencia alaplastamiento se incrementa debido al gran tamaño delárea de la zapata, lo que permite mayor distribución de lacarga de la columna.




El incremento permitido varia entre 1 y 2, de acuerdo conla expresión:


2

1

2 ≤

A

A

Donde A1 es el área de la columna (área cargada) y A2 esel área máxima de la porción del área de la zapata que es

geométricamente similar y concéntrica al área de lacolumna.




289,7

3075

400350

1

2 >=

⋅

⋅=

cmcm

cmcm

A

A


Para la columna de 75 x 30 cm soportada por una zapatade 4 x 4 m:




( )( )[ ]

correctoTnTn

cmcmcmkg

A f P cnb

→>=

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅=⋅

50,436565

7530 / 21185,070,02

85,02

2

1

'ϕ ϕ


Cuando el área cargada A1 es la mitad o menos que elárea apoyada A2, como en el caso de las zapatas, laresistencia al aplastamiento se incrementará con un factorde 2.




3) Anclajes requeridos entre la columna y la zapata:


Aun cuando la resistencia al aplastamiento en el Hº de lacolumna y de la zapata sea adecuada para transmitircarga factorizada, se requiere un área mínima de refuerzoa través de la superficie de contacto.

( ) ( ) 225,113075005,0 cmcmcmmín As =⋅⋅=

Colocar 4 Ø 20 mm = 12,56 cm2 como anclajes.




4) Longitud de los anclajes:


Para varillas Ø 20 mm:

⋅⋅=

c

yb

d

f

f d l

'

08,0

Pero no menor que:yb f d ⋅⋅00427,0

Longitud de desarrollo dentro de la columna:

cm74 ,33cm / kg352

cm / kg422000 ,2075 ,0l

2

2

d =⋅⋅

=




4) Longitud de los anclajes de hierro:


( ) ( )

correctocm58 ,43cm5 ,69

)bastones(00 ,2hierros50 ,22ntorecubrimiecm5 ,7 cm84

→>=

−⋅−−=

Longitud disponible para desarrollo por encima de laarmadura de la zapata:



Diseño de una zapata de Hº simple:

Dimensionar una zapata cuadrada de Hº simple

Datos:

Carga muerta de servicio = 18,10 Tn.

Carga viva de servicio = 27,20 Tn.

Sobrecarga de servicio = 0 kg/cm2

Elemento soportado (pedestal) = 30,5 cm x 30,5 cm

Capacidad de carga del terreno = 19,53 Tn/m2

f’ c = 211 kg/cm 2 zapata y pedestal)



1) Área de la base de la zapata:

Cálculo y Análisis:


2

232,2

/ 53,19

20,2710,18m

mTn

TnTn A f =

+=

Adoptamos una zapata cuadrada de 1,50 m x 1,50 m

(Af = 2,25 m2)

El área de la base de la zapata se determina aplicando lascargas de servicio (no factorizadas) con la capacidad decarga del terreno. Para diseñar la zapata por resistencia deben emplearse cargas factorizadas .





Cargas factorizadas y reacción del terreno:

U=1,4 x 18,10 Tn + 1,7 x 27,20 Tn = 71,60 Tn

2

2 / 82,3125,2

60,71mTnm

Tn

A

U q

f

s ===





2) Determinar la altura de la zapata. Para Hº simple, la

resistencia a flexión regirá el espesor. La sección crítica demomento está en el plano de la columna que interseca labase.

( ) mTnmmmTncbb

q M su ⋅=⋅⋅=

−⋅⋅= 00,961,076,0 / 82,3122

22

2

2

6

hb

M

W

M f uu

t

⋅

⋅=≥

Esfuerzo de flexión permisible

22

'

/ 56,12 / 21165,033,1

33,1

cmkgcmkg f

f f

t

ct

=⋅⋅=

⋅⋅= ϕ

D ñ





Despejando h = 53,2 cm

( )2

52

152

1000,96 / 56,12

hcm

mtncmkg

⋅

⋅⋅⋅≥

Se considera que los 5 cmde espesor de Hº encontacto con el suelo no sepueden tomar en cuanta para

los cálculos de resistencia.

Utilizar un espesor total de lazapata de 60 cm.

h

qs

c=30,5cm

b=152cm

Sección críticapara momento55 cm

Di ñ d d Hº i l





3) Revisar la resistencia al corte para la altura de la zapata

de 60 cm. Utilizar la altura efectiva por corte hef.=60-5=55cm

Acción en dos direcciones de la zapata:

( ) 23

0

/ 98,3553422

1098,493

2

3cmkg

cmcm

Tn

hb

V V u

u =⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅=

La sección crítica para la acción de la viga (distancia igual ala altura efectiva, tomado a partir del plano que interseca al

pedestal) está localizada a 0,60-0,55=0,05 m del borde dela zapata, por lo tanto no es crítica.

Di ñ d t d Hº i l





Donde:

Por lo tanto la altura efectiva de 55 cm es adecuada para

el esfuerzo de corte.

( )

( )

correctocmkgcmkg

v

cmkgcmkg

f f

cmcmcmb

TnmTnV

cv

u

cc

c

cv

u

→<

≤

=⋅⋅=

⋅⋅<⋅

+⋅⋅=

=+⋅=

=−⋅=

22

22

''

0

222

/ 39,10 / 98,3

/ 39,10 / 2111,165,0

1,14

227,0

342555,304

98,4986,052,1 / 82,31

ϕ

ϕ β

ϕ ϕ

Di ñ d t d Hº i l





4) Esfuerzo de penetración en el pedestal:

correctocmkgcmkgcmcm

kg

cmkgcmkg f f cb

→<=⋅

=⋅⋅=⋅⋅=

22

22'

/ 6,116 / 55,793030

71600

/ 6,116 / 21165,085,085,0 ϕ

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