Teoria e applicazioni

I diagrammi di Bode sono due: Diagrammi delle ampiezze Diagrammi delle fasi

I diagrammi di Bode sono detti asintotici poiché rappresentano le caratteristiche della f.d.t per

Ciascuno di essi è riportato su scala semilogaritmica nel seguente modo: Le pulsazioni vengono riportate sull’asse delle ascisse in

scala logaritmica base 10 La fase e le ampiezze sono riportate sull’asse delle

ordinate di ciascun grafico e in scala lineare

0ωω

→→ ∞

Si vuole tracciare il diagramma di Bode della seguente f.d.t.

1. Bisogna prima fattorizzare la funzione di trasferimento, trasformarla cioè nella seguente forma:

' '2 2' ' 1 11 2 ' '2 ' '2

' 1 1 2 22 2

1 11 2 2 2

1 1 2 2

2 2(1 )(1 )...(1 )(1 )...( )

2 2(1 )(1 )...(1 )(1 )...

n n n n

h

n n n n

s ss ss sG j K

s ss ss s s

δ δτ τω ω ω ω

ωδ δτ τω ω ω ω

+ + + + + +=

+ + + + + +

' ' 2 ' ' '2 2 ' '21 2 1 1 1 1 2 2

2 2 2 21 2 1 1 1 1 2 2

( 1/ )( 1/ )...( 2 )( 2 )...( )( 1/ )( 1/ )...( 2 )( 2 )...

n n n nh

n n n n

s s s sG j Ks s s s s

τ τ δ ω ω δ ω ωω

τ τ δ ω ω δ ω ω+ + + + + +

=+ + + + + +

dove

K è detta costante di guadagnoPer h=0 s=0, K’è detta guadagno staticoPer h=1 s=0, K’è detta costante di velocitàPer h=2 s=0, K’è detta costante di accelerazione

' '' 1 2 1 2

' ' ' '1 2 1 2

... ...

... ...n n

n n

K K τ τ ω ωτ τ ω ω

=

2. Si esprime la funzione di trasferimento fattorizzata, in decibel

10

' '2 2' ' 1 11 2 ' '2 ' '2

' 1 1 2 210 2 2

1 11 2 2 2

1 1 2 2

( ) 20log ( )

2 2(1 )(1 )...(1 )(1 )...20 log

2 2(1 )(1 )...(1 )(1 )...

dB

n n n n

h

n n n n

G j G j

s ss ss sK

s ss ss s s

ω ω

δ δτ τω ω ω ω

δ δτ τω ω ω ω

= =

+ + + + + +=

+ + + + + +

3. Ricordando le proprietà dei logaritmi:

log ( )

log( ) log( ) log( )

log( ) log( ) log( )

log( ) *log( )log ( )log ( )log ( )

b

b

cb

ca

ab a ba a bba b a

aab

a b

= +

= −

=

=

=

' ' '10 10 1 10 2

' '2 21 2

10 10' '2 ' '21 1 2 2

10 1 10 2 10

2 21 2

10 10' '2 ' '21 1 2 2

( ) 20(log log 1 log 1

2 2log 1 log 1

log 1 log 1 log

2 2log 1 log 1 )

dB

n n n n

n n n n

G j K s s

s ss s

s s h s

s ss s

ω τ τ

δ δω ω ω ω

τ τ

δ δω ω ω ω

= + + + + +

+ + + + + + +

− + − + − • +

− + + − + +

4. Ricordando la definizione di modulo di una quantità complessa

Il modulo in decibel diventa:2 2x jy x y+ = +

' ' 2 ' 210 10 1 10 2

' '2 21 2

10 10' '2 ' '21 1 2 2

2 210 1 10 2 10

2 21 2

10 102 21 1 2 2

( ) 20(log log 1 ( ) log 1 ( )

2 2log 1 log 1

log 1 ( ) log 1 ( ) log

2 2log 1 log 1 )

dB

n n n n

n n n n

G j K

s ss s

h

s ss s

ω τ ω τ ω

δ δω ω ω ω

τ ω τ ω ω

δ δω ω ω ω

= + + + + +

+ + + + + + +

− + + + − • +

− + + − + +

Per il diagramma delle fasi, lo sfasamento sarà dato dalla somma di tutti gli sfasamenti

' '1 2

'

'

1 2

( )

0( ) ( ) ( )1 1

( ) ( )0 1 1

immarctgre

arct arctg arctgk

arctg n arctg arctg

ϕ

ωτ ωτϕ

ωτ ωτω

= →

= + + +

+ − + − + −

5. Si noti che possiamo scomporre la f.d.tespressa in dB, nelle seguenti parti:

Ciò ci permette di scomporre il suo grafico in altri grafici più semplici

'10

' 210 1

' 210 2

' 21

10 ' '21 1

' 22

10 ' '22 2

20 log

20 log 1 ( )

20 log 1 ( )

220 log 1

220 log 1

n n

n n

K

s s

s s

τ ω

τ ω

δω ω

δω ω

+ •

+ • +

+ • +

+ • + +

+ • + +

210 1

210 2

10

21

10 21 1

22

10 22 2

20 log 1 ( )

20 log 1 ( )

20 log

220 log 1

220 log 1

n n

n n

h

s s

s s

τ ω

τ ω

ω

δω ω

δω ω

− • +

− • +

− • •

− • + +

− • + +

Ricordiamo la definizione di decade

Siamo in scala logaritmica e, gli unico intervalli uguali sono quelli che vanno da una decade all’altra, cioè di 10 in 10 . Esempio, l’intervallo 0.5-5 , 50-500.In figura è riportato un esempio

6. Si eseguono delle approssimazioni visto che stiamo parlando di diagrammi asintotici.

Analizziamo il grafico di ogni singolo termine per poi procedere alla sovrapposizione di tutti

0ωω

→→ ∞

Retta parallela all’asse x con sfasamento

Modulo

Es: G(s)= 1|G(s)|=20

( )G s K=

'

0 0arctgK

ϕ = =

10( ) 20 logG s K=

G(s)=10|G(s)|=20φ=0°

G(s)=-10|G(s)|=20φ=180°

n è la molteplicità del polo o dello zero Siccome stiamo tracciando un diagramma asintotico, si

osserva una decade prima del polo (zero) e una decade dopo. Il grafico sarà quello di una semiretta con pendenza –(+) n*20dB/decade con origine sull’asse delle ascisse, una decade prima.

In corrispondenza dello zero o del polo si commette un errore di 3 dB nel tracciare il grafico asintotico.

Si definisce frequenza di taglio, quella frequenza in cui il grafico taglia l’asse delle ascisse

210

210

20 log 1 ( )

20 log 1 ( )

1

n

n

n arctg

τω

τωτωϕ

+ • +

− • +

= ± •

G(s)=1+0.1s Es

ω <= 1, (una decade prima dello zero)|G(s)|=0 φ=0

ω =10, |G(s)|=20*log1021/2 φ=45°

ω >= 100, (una decade dopo lo zero)|G(s)|=20 dB φ=90°

210( ) 20 log 1 (0.1 )

0.11

G s

arctg

ω

ωϕ

= +

=

Es G(s)=1/(1+10s)

ω <= 0.01, (una decade prima del polo)|G(s)|=0 φ=0 ω =0.1, |G(s)|=-20*log1021/2 φ=−45°

ω >= 1, (una decade dopo il polo )|G(s)|=-20 dB φ=−90°

210( ) 20 log 1 (10 )

101

G s

arctg

ω

ωϕ

= − +

= −

Sia data una f.d.t data dal prodotto delle precedenti

I diagrammi di Bode sono dati dalla sovrapposizione degli altri tre

10(1 0.1 )( )(1 10 )

sG ss

+=

+

Frequenza di taglio

Es G(s)=(1+0.1s)2

210( ) 2 20 log 1 (0.1 )

0.121

G s

arctg

ω

ωϕ

= +

=

ω <= 1, (una decade prima dello zero)|G(s)|=0 φ=0ω =10|G(s)|=40*log1021/2 φ=90°

ω >= 100, (una decade dopo lo zero)|G(s)|=40 dB φ=180°

Es G(s)=1/(1+10s)2

ω <=0.0 1, (una decade prima del polo)|G(s)|=0 φ=0

ω =0.0 1, |G(s)|=-40*log1021/2 φ=90°

ω >= 1, (una decade dopo il polo)|G(s)|=-2*20 dB φ=−180°

210( ) 2 20 log 1 (10 )

1021

G s

arctg

ω

ωϕ

= − +

= −

G(s)=sn

|G(s)|=n*log10 s φ=n*arctg(jω/0)=n 90°

Es: G(s)=s |G(s)|=log10 s φ=arctg(jω/0)=90°

G(s)=s-n

|G(s)|=-n*log10 s φ=-n*arctg(jω/0)=−n 90°

Es: G(s)=1/s |G(s)|=-log10 s φ=-arctg(jω/0)=−90°

2

2

1( )1 2

n n

G sssξ

ω ω

=+ +

( )

2

2

1,2

2

21,2

4

1

4

n n n

n

n

ξ ξω ω ω

ω

ω

ω ω ξ ξ

− ± −

=

= − ± −

I vantaggi di una rappresentazione in scala logaritmica sono i seguenti: Alcune funzioni semplici come monomi, binomi,

…polinomi assumono una forma particolarmente semplice

Possibilità di rappresentare ampie scale di variazione Una funzione più complessa può essere espressa

come somma di più funzioni semplici e quindi, ogni grafico di funzioni più complesse, può essere dato dalla sovrapposizione di grafici di semplici funzioni