DIAGRAMMI DI BODE - dii.unimore.itlbiagiotti/MaterialeFCA1415/FCA-A-10-Bode.pdf · Zero reale: fase...
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Ing. Luigi Biagiottie-mail: [email protected]
http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti
FONDAMENTI DI CONTROLLI AUTOMATICIIngegneria Meccanica
http://web.ing.unimo.it/~lbiagiotti/FondamentiControlli1415.html
DIAGRAMMI DI BODE
Diagrammi di Bode -- 2Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Diagrammi di Bode e polari• Problema della rappresentazione grafica di funzioni complesse di variabile
reale del tipo:
40
50
60
70
80
Mag
nitu
de (d
B)
10-2 10-1 100 101 102 103 104 105-90
-45
0
45
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
|F()|
arg{F()}
Re{F()}
-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000 Nyquist Diagram
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Im{F()}
|F()|
arg{F()}
-80 -60 -40 -20 0 20 4045
50
55
60
65
70
75
80 Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB
)
arg{F()}
|F()|
()
|F()|
Tre possibili rappresentazioni!
Diagrammi di Bode -- 3Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Diagrammi di Bode• La rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica viene
effettuata con speciali diagrammi, che costituiscono la base dei procedimenti grafici per la sintesi delle reti correttrici nel dominio delle frequenze. Fra questi sono di largo impiego i diagrammi di Bode.
• Poiché la funzione di risposta armonica ha valori complessi, si hanno due diversi diagrammi:
• diagramma delle ampiezze o dei moduli, che riporta il logaritmo del modulo della risposta armonica;
• diagramma delle fasi o degli argomenti, che riporta l'argomento della risposta armonica.
• Entrambi I diagrammi sono in funzione del logaritmo della pulsazione .
Diagrammi di Bode -- 4Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Diagrammi di Bode• Funzione di trasferimento in forma fattorizzata (costanti di tempo):
• Funzione di risposta armonica associata:
• 4 fattori elementari:
• Guadagno statico
• Poli/zeri origine
• Poli/zeri reali
• Poli/zeri complessi coniugati
Diagrammi di Bode -- 5Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
• Vedremo che il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezze e fasi) potrà essere eseguito sommando i diagrammi dei fattori elementari. Questo è possibile grazie alle proprietà dei numeri complessi e al fatto di graficare il valore dell’ampiezza in scala logaritmica.
• Dati quindi (a, b, c, … q) complessi e (k, …, q) interi si ha che
Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi
Diagrammi di Bode -- 6Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Diagrammi di BodeI vantaggi che si hanno impiegando la scala logaritmica sono:
• Possibilità di rappresentare col dovuto dettaglio grandezze che variano in campi notevolmente estesi;
• Possibilità di sommare i diagrammi relativi a sistemi in cascata, per ottenere il diagramma del sistema complessivo: infatti la risposta armonica complessiva si ottiene eseguendo il prodotto delle singole risposte armoniche, cioè eseguendo il prodotto delle ampiezze (che, impiegando una scala logaritmica, si riconduce ad una somma) e la somma delle fasi;
• Possibilità di costruire i diagrammi relativi ad una funzione di risposta armonica data in forma fattorizzata come somma di diagrammi elementari, di un numero limitato di tipi fondamentali, corrispondente ciascuno ad un singolo fattore.
Diagrammi di Bode -- 7Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
Frequenze (rad/sec)
Fase (gradi)Am
piezza (db)
Ampiezza espressa in decibel:
Diagramma logaritmico
Diagramma semi-logaritmico
Scala logaritmica(possibilità di rappresentare con il dovuto dettagliograndezze che variano in campi molto estesi)
Diagrammi di Bode -- 8Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
Termini elementari
Termini elementari
Diagrammi di Bode -- 9Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Termini elementari
• I contributi dei poli si ottengono da quelli degli zeri semplicemente cambiando segno (ribaltamento attorno all’asse delle ascisse)
• I contributi di poli/zeri multipli si ottengono semplicemente da quelli a molteplicità singola moltiplicando per la molteplicità
guadagno statico
zero origine
zero reale
zeri c.c.
Ampiezza Fase
Diagrammi di Bode -- 10Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Guadagno statico
sese
se
se
se
Ampiezza Fase
Diagrammi di Bode -- 11Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Zero nell’origine
Ampiezza Fase
Pendenza 20 db/decade
Diagrammi di Bode -- 12Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Polo nell’origine
• Polo nell’origine : Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse
Pendenza -20 db/decade
Ampiezza Fase
Diagrammi di Bode -- 13Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Zero reale
Controlli AutomaticiLuigi Biagiotti
Ampiezza Fase
Pendenza 20 db/decade
se
se
(valore assoluto dello zero)
Diagrammi di Bode -- 14Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Zero reale: fase
Caso se
se
Punto di flesso
Pendenza al punto di flesso
Diagrammi di Bode -- 15Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Zero reale: fase
Caso NB: il diagramma delle fasi è speculare rispetto all’asse
se
se
Diagrammi di Bode -- 16Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Polo reale
• Polo reale: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisseAmpiezza Fase
Diagrammi di Bode -- 17Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Il comportamentoper frequenzeprossime apuò discostarsimolto daldiagrammaasintoticodipendentementedal valore di
Zeri complessi coniugati: ampiezza
Ampiezza
Pendenza 40 db/decade
(pulsazione naturale della coppia di zeri cc)
se
se
Diagrammi di Bode -- 18Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
• Calcoliamo la frequenza del minimo della funzione
• Il valore minimo è alla frequenza e vale
Zeri complessi coniugati: ampiezza
Al calare di la frequenza dipicco tende versoe il valore del picco tende a
Il diagramma non dipendedal segno di
Diagrammi di Bode -- 19Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici10
010
110
2-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Zeri complessi coniugati: ampiezza
Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà:• Per la curva presenta un minimo;
• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto ed è pertanto tutta al di sotto della sua
approssimazione asintotica;
• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto ;
• Per la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sopra della sua approssimazione asintotica.
Diagrammi di Bode -- 20Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Zeri complessi coniugati: fase
Tangente al punto di flesso
Caso se
se
Diagrammi di Bode -- 21Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Zeri complessi coniugati: fase
Caso se
se
Diagrammi di Bode -- 22Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Poli complessi coniugati
• Polo complessi coniugati: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisseAmpiezza Fase
Il valore massimo è alla
frequenza
e vale
Tracciamento dei diagrammiasintotici analogo al casoprecedente
Diagrammi di Bode -- 23Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
• Poli cc instabili: stesso andamento per il diagramma delle ampiezze e ribaltamento rispetto l’asse delle frequenze per il diagramma delle fasi
Poli complessi coniugati
Diagrammi di Bode -- 24Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
100
101
102
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Poli complessi coniugati: ampiezza
Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà:• Per la curva presenta un massimo;
• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto ed è pertanto tutta al di sopra della sua
approssimazione asintotica;
• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto ;
• Per la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica.
Diagrammi di Bode -- 25Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Poli complessi coniugati: risonanza
Il valore di picco
alla frequenza viene detto picco di risonanza
Fisicamente rappresenta il fattore di amplificazione massima della coppia di poli a fronte di sollecitazioni alla frequenza di risonanza
Diagrammi di Bode -- 26Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Zeri complessi coniugati: risonanza
Il valore di minimoalla frequenza viene detto picco di attenuazione
Fisicamente rappresenta il fattore di attenuazione massima della coppia di zeri a fronte di sollecitazioni alla frequenza di risonanza
Diagrammi di Bode -- 27Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
10-1 100 101 102-60
-40
-20
0
20
40
60
Am
piez
za
10-1 100 101 102-200
-100
0
100
200
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102-60
-40
-20
0
20
40
60
Am
piez
za
10-1 100 101 102-200
-100
0
100
200
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102-60
-40
-20
0
20
40
60
Am
piez
za
10-1 100 101 102-200
-100
0
100
200
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1
100
101
102
-60
-40
-20
0
20
40
60
Am
piez
za
10-1 100 101 102-200
-100
0
100
200
Frequenza (rad/sec)
Fase
Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
Diagrammi di Bode -- 28Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
10-1 100 101 102-40
-20
0
20
40
Am
piez
za
10-1 100 101 102-100
-50
0
50
100
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102-40
-20
0
20
40
Am
piez
za
10-1 100 101 102-100
-50
0
50
100
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102-40
-20
0
20
40
Am
piez
za
10-1 100 101 102-100
-50
0
50
100
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102-40
-20
0
20
40
Am
piez
za
10-1 100 101 102-100
-50
0
50
100
Frequenza (rad/sec)
Fase
Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
Diagrammi di Bode -- 29Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
10-1 100 101 102
-50
0
50
Am
piez
za
10-1 100 101 102-200
-100
0
100
200
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102
-50
0
50
Am
piez
za
10-1 100 101 102-200
-100
0
100
200
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102
-50
0
50
Am
piez
za
10-1 100 101 102-200
-100
0
100
200
Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1 100 101 102
-50
0
50
Am
piez
za
10-1 100 101 102-200
-100
0
100
200
Frequenza (rad/sec)
Fase
Diagrammi di Bode -- 30Luigi Biagiotti Fondamenti di Controlli Automatici
Ritardo temporale
Modulo
Argomento
Ing. Luigi Biagiottie-mail: [email protected]
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FONDAMENTI DI CONTROLLI AUTOMATICIIngegneria Meccanica
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Diagrammi di BodeFINE