Bab 5

DERET FOURIER

Pada Bab sebelumnya kita telah membahas deret Taylor. Syarat fungsi agar

dapat diekspansi ke dalam deret Taylor adalah fungsi tersebut harus terdiferensial

pada setiap tingkat. Untuk fungsi yang tidak terdiferensial masih ada alternatif

lain untuk mengekspansikannya ke dalam deret yang disebut deret Fourier. Agar

suatu fungsi dapat diekspansi ke dalam deret Fourier maka fungsi tersebut harus

periodik.

5.1 Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil

Definisi 5.1.1. Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi periodik dengan periode T

jika untuk setiap x berlaku

f(x+ T ) = f(x).

Contoh 5.1.1. Fungsi f(x) = sin(x) mempunyai periode T = 2π, 4π, 6π, · · ·

sebab

sin(x) = sin(x+ 2π) = sin(x+ 4π) = sin(x+ 6π) = · · ·

Bilangan T paling kecil yang dianggap sebagai periode suatu fungsi. Dalam

contoh ini, fungsi f(x) = sin(x) mempunyai periode 2π.

Contoh 5.1.2. Fungsi f(x) = sinnx, dengan n suatu bilangan bulat positip

merupakan fungsi periodik dengan periode 2πn, sebab

f

(x+

2π

n

)= sin

(n(x+

2π

n)

)= sin(nx+ 2π) = sinnx = f(x).

65

66

Ilustrasi untuk n = 2 dapat dilihat pada gambar.

Gambar 5.1: Grafik fungsi f(x) = sin 2x dan periodanya

Kita dapat membuat fungsi yang didefinisikan pada suatu interval menjadi

fungsi periodik dengan cara copy-paste. Artinya, fungsi y = f(x) dengan x ∈ [a, b]

diperluas menjadi y = f̂(x) dengan x ∈ R yaitu

f̂(x) =

{f(x) bila x ∈ [a, b]

f(x− T ) bila x /∈ [a, b].

Kita sebut teknik ini dengan periodisasi fungsi.

Definisi 5.1.2. Fungsi f(x), x ∈ R dikatakan

i. Fungsi ganjil jika f(−x) = −f(x) untuk setiap x ∈ R,

ii. Fungsi genap jika f(−x) = f(x) untuk setiap x ∈ R.

Contoh 5.1.3. Berikut ini beberapa contoh fungsi genap dan fungsi ganjil.

a. Fungsi f(x) = cos x merupakan fungsi genap, sebab cos(−x) = cos x.

b. Fungsi f(x) = sin x merupakan fungsi ganjil, sebab sin(−x) = −sinx.

c. Fungsi f(x) = x3 merupakan fungsi ganjil, sebab (−x)3 = −x3.

kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 67

Gambar 5.2: Periodisasi fungsi f(x) = x2, x ∈ [0, 1].

d. Fungsi f(x) = x2 merupakan fungsi genap, sebab (−x)2 = −x2.

e. Fungsi f(x) = ex bukan merupakan fungsi genap maupun fungsi ganjil,

sebab e−x 6= ex dan e−x 6= −ex.

Berikut ilustrasi grafis fungsi genap dan fungsi ganjil.

5.2 Deret Fourier fungsi periodik

Definisi 5.2.1 (Deret Fourier). Misalkan fungsi f(x) periodik dengan periode

2L. Jika fungsi ini terdefinisi pada interval (c, c+ 2L) dengan c suatu konstanta

maka fungsi ini dapat disajikan dalam bentuk deret

a02

+∞∑n=1

(an cos

nπx

L+ bn sin

nπx

L

)(5.2.1)

dengan

an =1

L

∫ c+2L

c

f(x) cosnπx

Ldx dan bn =

1

L

∫ c+2L

c

f(x) sinnπx

Ldx. (5.2.2)

Secara khusus, jika fungsi f didefinisikan pada interval (−L,L) yaitu bersesuaian

dengan c = −L maka koefisien deret Fourier di atas menjadi

an =1

L

∫ L

−L

f(x) cosnπx

Ldx dan bn =

1

L

∫ L

−L

f(x) sinnπx

Ldx. (5.2.3)

68

−1 0 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1y = x 2

−1 0 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1y = x 3

Gambar 5.3: Grafik fungsi f(x) = x2 (genap) dan f(x) = x3 (ganjil).

Teorema 5.2.2. Misalkan f : [−L,L] → R. Jika f genap maka

an =2

L

∫ L

0

f(x) cosnπx

Ldx dan bn = 0.

Jika f ganjil maka

an = 0 dan bn =2

L

∫ L

0

f(x) sinnπx

Ldx.

Bukti. Akan dibuktikan saja kasus f ganjil. Untuk fungsi genap mahasiswa

dapat mencoba sendiri. Karena f ganjil maka f(−x) = −f(x).

an =1

L

∫ L

−L

f(x) cosnπx

Ldx

=1

L

[∫ 0

−L

f(x) cosnπx

Ldx+

∫ L

0

f(x) cosnπx

Ldx

]=

1

L

[∫ 0

L

f(−x) cosnπ(−x)

Ld(−x) +

∫ L

0

f(x) cosnπx

Ldx

]=

1

L

[−∫ L

0

f(x) cosnπx

Ldx+

∫ L

0

f(x) cosnπx

Ldx

]= 0

kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 69

Selanjutnya,

bn =1

L

∫ L

−L

f(x) sinnπx

Ldx

=1

L

[∫ 0

−L

f(x) sinnπx

Ldx+

∫ L

0

f(x) sinnπx

Ldx

]=

1

L

[∫ 0

L

f(−x) sinnπ(−x)

Ld(−x) +

∫ L

0

f(x) sinnπx

Ldx

]=

1

L

[∫ L

0

f(x) sinnπx

Ldx+

∫ L

0

f(x) sinnπx

Ldx

]=

2

L

∫ L

0

f(x) sinnπx

Ldx

Berikut ini nilai integral yang memuat fungsi sinus dan cosinus yang sering

digunakan dalam menentukan koefisien deret Fourier.

∫ L

−L

sinkπx

Ldx = 0,

∫ L

−L

coskπx

Ldx = 0∫ L

−L

cosnπx

Lsin

mπx

Ldx = 0,∫ L

−L

cosnπx

Lcos

mπx

Ldx =

∫ L

−L

sinnπx

Lsin

mπx

Ldx =

{0 bila m 6= n

L bila m = n.

Contoh 5.2.1. Temukan deret Fourier untuk fungsi

f(x) =

{−1 bila − 5 < x < 0

1 bila 0 < x < 5.

dan diluar interval ini [−5, 5] dilakukan periodisasi dengan periode = 10.

Penyelesaian. Diperhatikan bahwa fungsi ini adalah ganjil dengan 2L = 10,

lihat gambar berikut Karena itu, berdasarkan Teorema sebelumnya diperoleh

an = 0 dan

70

−5 0 5

−1

0

1

Gambar 5.4: Grafik fungsi f.

bn =2

5

∫ 5

0

f(x) sinnπx

Ldx

=2

5

∫ 5

0

sinnπx

Ldx

=2

5

[− 5

nπcos

nπx

5

]50

dx

= − 2

nπ[cosnπ − cos 0] = − 2

nπ[cosnπ − 1]

Jadi deret Fourier untuk fungsi ini adalah

∞∑n=1

− 2

nπ[cosnπ − 1] sin

nπx

5.

Untuk melihat bagaimana deret Fourier ini mengaproksimasi fungsi f(x),

kita ambil jumlah parsial N sukunya seperti terlihat pada Gambar berikut.

Diperhatikan bahwa semakin dekat dengan titik diskontinu x = 0 maka

aproksimasinya semakin jelek. Fakta ini sesuai dengan sifat kekonvergenan deret

Fourier, yaitu

a02

+∞∑n=1

(an cos

nπx

L+ bn sin

nπx

L

)=

{f(x) jika x titik kontinuf(x+)−f(x−)

2jika x titik diskontinu.

kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 71

−5 0 5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

N = 3

N = 8 N = 30

Gambar 5.5: Aproksimasi fungsi dengan deret Fourier

dimana f(x+) dan f(x−) menyatakan limit kanan dan limit kiri. Kode MAT-

LAB yang dapat digunakan untuk mendefinisikan N suku pertama deret Fourier

diberikan sebagai berikut

function y = fourier1(x,N)

%N suku pertama deret Fourier contoh 5.1.4

a0=0; y=a0/2;

for n=1:N

an=0; bn=-2/(n*pi)*(cos(n*pi)-1);

y1= an*cos(n*pi*x/L)+bn*sin(n*pi*x/L);

y=y+y1;

end

%untuk kasus lainnya, perlu dimodifikasi

%pada a0, an dan bn.

Contoh 5.2.2. Ekspansikanlah fungsi f(x) = x2 pada interval (0, 2π) dalam

deret Fourier jika fungsi tersebut diperiodisasi dengan periode 2π.

72

Penyelesaian. Dalam soal ini kita mempunyai L = π. Dengan mengambil

c = 0 maka dengan menggunakan teknik integral parsial diperoleh

an =1

π

∫ 2π

0

x2 cosnx dx

=1

π

[x2

(sinnx

n

)− 2x

(− cosnx

n2

)+ 2

(− sinnx

n2

)]2π0

=4

n2, n 6= 0.

Untuk n = 0, a0 =1π

∫ 2π

0x2 dx = 8π

3.

bn =1

π

∫ 2π

0

x2 sinnx dx

=1

π

[x2

(− cosnx

n

)− 2x

(− sinnx

n2

)+ 2

(cosnxn2

)]2π0

= −4π

n.

Karena f(x) = x2 kontinu didalam interval (0, 2π) maka untuk setiap x ∈ (0, 2π)

berlaku

f(x) = x2 =4π2

3+

∞∑n=1

(4

n2cosnπx− 4π

nsinnπx

).

Anda dapat melihat pola aproksimasi deret Fourier terhadap fungsi f den-

gan menggambarkan grafiknya seperti di atas.

5.3 Deret Fourier jangkauan setengah

Misalkan suatu fungsi f(x) didefinisikan pada interval (0, L). Fungsi ini dapat

diekspansikan kedalam deret Fourier dengan cara mengembangkan fungsi f pada

interval (−L,L). Jadi diperlukan pendefinisian fungsi pada interval (−L, 0). Ada

dua cara yang dapat dilakukan, yaitu fungsi f dikembangkan menjadi fungsi ganjil

atau menjadi fungsi genap. Kedua cara ini dapat dilihat pada gambar berikut.

Untuk pengembangan menjadi fungsi ganjil maka akan didapat deret

∞∑n=1

bn sinnπx

L(5.3.1)

kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 73

0 L −L

y = f(x)

Gambar 5.6: Pengembangan menjadi fungsi genap

dengan

bn =2

L

∫ L

0

f(x) sinnπx

Ldx.

Sedangkan untuk pengembangan menjadi fungsi genap maka akan didapat deret

a02

+∞∑n=1

an cosnπx

L(5.3.2)

dengan

an =2

L

∫ L

0

f(x) cosnπx

Ldx.

Deret yang terdapat pada (5.3.1) dan (5.3.2) disebut deret Fourier jangkauan

setengah.

Contoh 5.3.1. Ekspansikanlah fungsi f(x) = cosx, x ∈ [0, π] dalam bentuk deret

sinus.

Penyelesaian. Pertama-tama kita perluas fungsi f(x) = cosx yang semula

didefinisikan pada [0, π] menjadi fungsi genap yang didefinisikan pada [−π, π].

74

0 L −L

y = f(x)

Gambar 5.7: Pengembangan menjadi fungsi ganjil

Karena L = π maka berdasarkan (5.3.1) diperoleh

bn =2

π

∫ π

0

cosx sinnx dx

=2

π

∫ π

0

1

2[sin(n− 1)x+ sin(n+ 1)x] dx

= − 1

π

[1

n− 1cos(n− 1)x+

1

n+ 1cos(n+ 1)x

]π0

= − 1

π

[2n

n2 − 1

](cos(n+ 1)π − 1) , untuk n ≥ 2.

Sedangkan untuk n = 1, dengan melihat langkah kedua penjabaran diatas, diper-

oleh b1 = 0. Jadi deret sinus untuk fungsi cosinus adalah

cos x = (1− π)∞∑n=2

1

π

[2n cos(n+ 1)

n2 − 1

]sinnx

Dengan cara yang sama, kita dapat manyajikan fungsi f(x) = cos x dalam deret

sinus.

Contoh 5.3.2. Ekspansikanlah fungsi berikut

f(x) =

{x jika 0 < x < 4,

8− x jika 4 < x < 8

kedalam (a) deret sinus dan (b)deret cosinus.

kalkulus lanjut 2 by J.Hernadi 75

Penyelesaian. (a) Untuk ekspansi kedalam deret sinus, fungsi f perlu diperluas

menjadi fungsi ganjil seperti terlihat pada gambar berikut. Karena L = 8 maka

−8 −4 0 4 8−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Gambar 5.8: Aproksimasi fungsi dengan deret Fourier

diperoleh

bn =2

8

∫ 8

0

f(x) sinnπ

8x dx

=1

4

[∫ 4

0

x sinnπ

8x dx+

∫ 8

4

(8− x) sinnπ

8x dx

]

Dengan menerapkan integral parsial, kemudian memasukkan batas-batasnya maka

akhirnya diperoleh

bn =32

π2n2sin

nπ

2.

Selanjutnya, pertanyaan (b) dapat diselesaikan dengan prinsip yang sama.