Cuarta_Unidad_ElkaII

UNI-FEC Dpto. de Electrónica

Filtros Activos 1 2011

2011

Felipe Isaac Paz Campos

UNI

16/05/2011

CUARTA UNIDAD : FILTROS ACTIVOS



INTRODUCCION

El filtro en Electrónica es un importante bloque de

construcción en sistemas de comunicación y

Instrumentación. El diseño de filtros es una de las

muy pocas áreas de Ingeniería para la cual existe

una completa teoría de diseño, comenzando desde

sus especificaciones y terminando con el circuito

de realización. Un estudio detallado del diseño de

filtros requiere un libro entero, y verdaderamente

tales libros existen.

La tecnología más vieja para realizar filtros hace

uso de inductores y capacitores, y los circuitos

resultantes son llamados filtros pasivos LC. Tales

filtros trabajan bien a altas frecuencias; sin

embargo, en aplicaciones de baja frecuencia (dc a

100khz) los inductores requeridos son grandes y

físicamente voluminosos, y sus características son

bastante no ideales. Además, tales inductores son

imposible de fabricar en forma monolítica y son

incompatibles con cualquiera de las tecnologías

moderna para ensamblaje de sistemas

electrónicos. Por lo tanto ha sido considerado de

interés en encontrar realizaciones de filtros que no

requieran inductores. De la variedad de tipos

posibles de filtros sin inductores, estudiaremos los

filtros activos RC y los filtros con capacitor

conmutado.

Los filtros activos RC utilizan OP-AMPs junto

con resistores y capacitores y son fabricados

usando tecnología discreta, híbrida de gruesa y

delgada membrana. Sin embargo, para producción

de grandes volúmenes, tales tecnologías no

producen la economía realizada por la fabricación

monolítica. Al presente la aproximación más

viable para realizar filtros monolíticos

completamente integrados es la técnica de

capacitor conmutado.

La necesidad de filtros surgió tempranamente en

el campo de la electrónica. Los filtros se pueden

encontrar en telecomunicaciones radiotelegráficas

multicanal, en proyectos de ciencia, en telefonía y

radiotelefonía, etc. Algunos otros ejemplos

específicos de donde se utilizan los filtros es:

como ruta de paso (bypass) para señales de

radiofrecuencia en circuitos de audio, capacitores

de bloqueo para la eliminación de los niveles de

dc, y separación de la modulación de la portadora

en comunicaciones.

Nos concentraremos en esta sección con el estudio

de filtros activos y comenzaremos por definir que

es un filtro.

DEFINICIONES

¿Qué es un filtro?

Realmente, los ingenieros eléctricos y

electrónicos le llaman filtros a una variedad de

diferentes clases de circuitos., de modo que una

simple pero comprensiva definición de la palabra

no es fácil. Pero en la mayoría de los casos, el

término filtro se refiere a un circuito que deja

pasar un rango dado de frecuencias presentes a su

entrada hacia su salida. Frecuencias fuera del

rango dado son atenuadas a fin de despreciarlas a

su salida. Para esta definición de filtro, hay cuatro

clases principales de funciones: pasa bajo (low-

pass), pasa alto (high-pass), pasa banda (band-

pass) y rechaza banda (reject-band).

Un filtro pasa bajo permite que pasen frecuencias

de la entrada hacia la salida desde cero hasta

algún límite. Frecuencias más allá del límite no

son permitidas a pasar. Similarmente, un filtro

pasa alto deja pasar todas las frecuencias más

altas que el límite dado, pero no deja pasar esas

frecuencias menores que el límite. Un filtro pasa

banda deja pasar las frecuencias entre dos límites,

pero no deja pasar frecuencias fuera de esta

banda. Un filtro rechazo banda es el opuesto de un

pasa banda: este no deja pasar frecuencias entre

los dos límites, pero deja pasar todas las

frecuencias abajo y arriba de los límites. Un filtro

rechaza banda es algunas veces llamado filtro de

ranura (notch filter) debido a la forma de la

gráfica de su función de transferencia.. Existe

también un quinto tipo de filtro: el filtro pasa

todo. Como el nombre lo sugiere, los filtros pasa

todo no atenúan ninguna frecuencia . Sin

embargo, su fase y retardo no son constante. Los

filtros pasa todo son algunas veces anexados al

final de los cuatro tipos principales de filtros para



mejorar una característica indeseable de retardo,

sin impactar las propiedades de atenuación.

El rango de frecuencias que están pasando através

del filtro es llamado la banda de paso (pass-band).

El rango de frecuencias que son atenuadas es

llamado la banda de rechazo (stop-band). Con un

instante de reflexión, es claro que los filtros pasa

bajo y pasa alto cada uno tiene una banda de paso

y una banda de rechazo. Un filtro pasa banda tiene

una banda de paso y dos bandas de rechazo. Un

filtro rechaza banda tiene una banda de rechazo y

dos bandas de paso.

Un filtro ideal dejaría pasar las frecuencias dentro

de su banda de paso sin ninguna modificación, y

atenuaría infinitamente las frecuencias dentro de

la banda de rechazo.

0 dB

fp

frecuencia

amplitud

Figura(1)

Desafortunadamente, dichos filtros son imposibles

de realizar, aún teóricamente. En cambio debemos

permitirnos (1) alguna desviación de la perfecta

transmición en la banda de paso, (2) una banda de

transición entre la banda de paso y la banda de

rechazo, y (3) un limite superior de atenuación en

la banda de rechazo. Esto es descrito en la figura

(2).

Amplitud

Frecuencia

fs fp

0 dB

ap

as

Banda de paso

Banda de

Transicion

Banda de rechazo

Figura (2)

La desviación máxima de la transmición ideal en

la banda de paso es llamado el rizado de la banda

de paso (pass-band ripple). El término rizado

(ripple) es usado porque, en varias clases de

filtros, la función de transferencia actual es una

linea ondulante que se aproxima al ideal. En otros

casos, la función de transferencia actual es bien

plana, y meramente cae al margen de la banda de

paso. Pero en otros caso, el término rizado parece

ser una norma. El mínimo de atenuación de las

frecuencias en la banda de rechazo es llamado,

lógicamente suficiente, la atenuación de la banda

de rechazo (stop-band attenuation). Las

frecuencias a las cuales la función de transferencia

deja las bandas de paso y de rechazo dentro de la

banda de transición son llamadas la frecuencia de

corte de la banda de paso (pass-band cutoff

frequency) y la frecuencia de corte de la banda de

rechazo (stop-band cutoff frequency)

respectivamente. Obviamente, a medida se reduce

el rizado en la banda de paso, se estreche la

banda de transición y se engrandezca la

atenuación en la banda de rechazo, más

cercanamente el filtro se aproxima al concepto

ideal. Como es esperado, sin embargo, un cercano

ajuste lleva a un precio: en general, lo más

cercanamente un filtro deba aproximarse al ideal,

más circuitería será requerida.



APROXIMACION DEL FILTRO

El diseño de la mayoría de los filtros es bien

compleja en teoría, aún más compleja en la

práctica actual. Así normalmente, no tiene sentido

comenzar a diseñar pensando de circuitos

actuales. En lugar de eso, comencemos con pura

matemática: primero encontremos una función

matemática que disponiblemente se aproxime al

filtro ideal que deseamos. Solamente después que

hallamos encontrado esta función comenzamos

con la síntesis del circuito actual.

Muchas funciones matemáticas han sido

estudiadas con aplicaciones a filtros. En esta

discusión, consideraremos cinco aproximaciones

clásicas para filtros muy comunes.

La primera de estas es la función Butterworth. Un

ejemplo pasa bajo Buterrworth esta dibujado en la

figura (3). La curva pasa bajo de Butterworth es

bastante plana a la frecuencia cero. De hecho,

todas las derivadas de la función son cero a DC,

por lo que Butterworth es llamado algunas veces

una función máximamente plana. Esta cae al

límite de rizado especificado al margen de la

banda de paso, donde la rampa desciende hacia el

infinito.

Butterworth Orden : 4 No equalizado

Frecuencia ( log )KHz 10.000.10

-60.00

10.00

dB/div

Ganancia

5.00

Figura(3)

La segunda aproximación clásica es la función de

Bessel. Los filtros de Bessel son también referidos

como filtros Thomson, después que dicho

ingeniero fue quien los aplicó a los filtros

electrónicos. La función Bessel se parece mucho a

la función Butterworth, excepto que para un orden

dado, la rampa de Butterworth cae en la banda de

transcición mucho más rapidamente. La figura (4)

muestra un filtro pasa bajo de Bessel.

Bessel Orden : 4 No equalizado


-60.00

10.00

dB/div

Ganancia

5.00

Figura (4)

La tercera aproximación clásica es la función de

Chebyshev. Esta caracterizada por una banda de

paso con rizados, luego como la función

Butterworth, la rampa desciende indefinidamente.

La amplitud de los rizados en la banda de paso

son todos iguales, por lo que la función

Chebyshev es llamada algunas veces una función

“equi-rriple” (función de igual rizado). Un

ejemplo de la igualdad del rizado en la banda de

paso es mostrado en la figura (5). Para un filtro de

orden dado, la rampa de los filtros Chebyshev

desciende mucho más pronunciado que lo hacen

los filtros Butterworth.

Chebyshev Orden : 4 No equalizado


-60.00

10.00

dB/div

Ganancia

10.00

Figura (5)

La cuarta aproximación clásica es la función

Inversa Chebyshev. Como la función Butterworth,

ésta es máximamente plana en la banda de paso.

Pero en la banda de rechazo ésta función ondea

entre el límite de atenuación de la banda de



rechazo y el infinito negativo. Para un orden dado,

la función Inversa Chebyshev tiene el mismo

ancho en la banda de transición como la función

Chebyshev. La figura (6) muestra un filtro pasa

bajo de Inversa Chebyshev.

Inv. Chebyshev Orden : 4 No equalizado


-60.00

10.00

dB/div

Ganancia

10.00

Figura (6)

La última de las cinco funciones clásicas

consideradas aquí es la función Elíptica. Esta es

también llamada la función Cauer, luego que el

ingeniero alemán fue quién la aplicó al diseño de

filtros. La función Elíptica exhibe rizado en

ambas bandas en la banda de paso y la banda de

rechazo, como es mostrado en la figura (7). Para

un orden dado los filtros Elípticos tienen la rampa

descendiente más pronunciada que cualquiera de

las aproximaciones clásicas.

Ganancia

Eliptica Orden : 4 No equalizado


-60.00

10.00

dB/div

10.00

Figura (7)

COMPARACION ENTRE LAS

APROXIMACIONES

¿Cuál aproximación debería usar?

Buena pregunta! La respuesta, por supuesto,

depende enteramente de los requerimientos del

sistema y del presupuesto para circuitería. La

función Elíptica puede siempre realizar un rizado

dado, atenuación en la banda de rechazo, y

especificación del ancho de la banda de transición

en al menos el mismo número, y generalmente en

alto grado menos etapas que las otras

aproximaciones. Si simplemente, su interés

primario es cortar una banda de frecuencia, la

función Elíptica es probablemente su escogencia.

Sin embargo, implementaciones Elípticas tienden

a tener valores más altos de Q que algunas de las

otras aproximaciones. Altos valores de Q son

generalmente asociados con alto ruido, y son más

sensibles a los parásitos y imperfecciones de los

componentes del circuito.

Otra consideración es el presupuesto para el

circuito. En las funciones Butterworth, Chebyshev

y Bessel, para filtros pasa bajo, pasa banda y pasa

alto, solamente un término en el numerador en

cada sección biquad no es cero. Para funciones

Inverso Chebyshev y Elíptica y en cualquier filtro

rechazo banda, el numerador tiene dos términos

que no son cero. En general, esta diferencia

significa que los filtros Elípticos, Inverso

Chebyshev, y rechaza banda requerirán circuitería

más compleja para realizar cada etapa que los

otros. De hecho, muchos de los más populares

circuitos filtros no pueden realizar funciones

Elípticas, Inverso Chebyshev, o rechaza banda.

Igualmente circuitos llamados LC en escalera no

pueden realizar funciones de orden par

Chebyshev, Inverso Chebyshev y Elípticas. Para

emplear esta realización de circuito, se deben usar

aproximaciones modificadas.

Existe un número de consideraciones adicionales

que podrian ser importante en la selección de la

aproximación. Si tu estas filtrando señales

digitales, es decir pulsos, entonces un retardo

uniforme en la banda de paso podría ser

importante. Si el retardo de propagación como

una función de la frecuencia en el filtro no es

constante, los armónicos impares deben ser



agregados a la frecuencia fundamental con

elevación al cuadrado, los pulsos estarán fuera de

fase, los pulsos pueden no ser reconocidos como

tales después del filtrado. Si bien la función

Bessel es en alto grado el más pobre, es decir, el

menos agudo en la región de transición, éste tiene

la característica de retardo más plana. De hecho,

el retardo de la función Bessel es máximamente

plana. Las funciones Butterworth, Inverso

Chebyshev, Chebyshev y Elíptica tienen

progresivamente la característica de retardo mas

pobre. Lo mismo es verdadero para el tiempo de

subida del pulso filtrado: Bessel tiene la máxima

subida, sin sobreimpulso. Los otros vienen a ser

más pobres, con más sobreimpulso. Como fue

mencionado anteriormente, una característica de

retardo no uniforme puede algunas veces ser

mejorado poniendo en cascada éste, con un

número de etapas pasa todo. Estos no tienen

efecto sobre las propiedades de atenuación del

filtro, pero pueden ser diseñado para agregar

estratégicamente un retardo para resultar en una

característica de retardo más plano en la banda de

paso. Si el retardo es importante, la decisión para

usar una función Bessel, o usar uno de los otros en

conjunto con un equalizador pasa todo no es una

escogencia fácil.

La respuesta Bessel, aún tiene propiedades

vastamente superiores en el dominio de tiempo

mientras es comparado con Butterworth y

Chebyshev. La respuesta Chebyshev con sus

características altamente deseables de amplitud

versus frecuencia, realmente tiene el más pobre

funcionamiento de los tres en el dominio de

tiempo. La respuesta de Butterworth esta entre

ambas propiedades la frecuencia y el dominio de

tiempo. La respuesta Bessel es muy deseable filtro

donde el funcionamiento en el dominio de tiempo

es importante.

REALIZACION DEL FILTRO

Una vez que la aproximación ha sido escogida y

la función de transferencia computada, al

diseñador le queda crear un circuito que

implementará la función deseada. Existen una

gran variedad de circuitos que pueden realizar las

funciones de filtros. Para requerimientos muy

exigentes, la propia selección puede aún ser

menos obvia que para escoger una aproximación.

En la mayoría de los casos, sin embargo,

cualquier número de circuitos trabajará

adecuadamente, y el diseñador escoge uno de otro

basado sobre algunos criterios dominantes de

costo o funcionamiento.

Una de las estrategias más ampliamente empleada

para realización de filtros es implementar el filtro

como una serie de filtros de primer y segundo

orden. Esta aproximación es llamada la

arquitectura cascada.

La manera más común para implementar

secciones biquad en cascada es con circuitos

activos RC. Estos emplean una red de resistores y

capacitores con amplificadores operacionales.

Dentro de esta amplia descripción, hay docenas de

posibles configuraciones. Algunas usan un simple

amplificador, algunas dos, algunas tres y algunas

aún cuatro amplificadores por etapa. La ingeniería

de intercambio aquí es usualmente costos de

circuito versus sensitividad de componente, rango

dinámico, ruido o distorsión.

Una segunda manera que secciones biquad

pueden ser implementadas es usar circuitos de

capacitor conmutado. Estos circuitos son similares

a los filtros activos RC excepto que los resistores

son reemplazados por interruptores manejados por

reloj y capacitores. Esta es probablemente la

forma más común para implementar un filtro

completo en un simple chip (integrado). Una

consideración clave del método de capacitor

conmutado, no obstante, es que este es un sistema

de datos muestreado. La señal no es continua en el

filtro, pero es muestreada una vez por período de

reloj. Una consecuencia de este muestreo es que

los filtros matemáticos no pueden ser más

exactamente descritos por la expresiones de

Laplace en el dominio s. Uno debe emplear la

transformada z para obtener las expresiones de

frecuencias correctas. Uno puede transformar las

expresiones biquad del dominio s a expresiones

del dominio z, entonces desde allí sintetizar el

circuito.



Otra estrategia de síntesis de filtro es emplear

circuitos integrados de filtros comercialmente

disponible. Estos pueden ser continuos o basados

con capacitor conmutado. Para algunos, tu puedes

ajustar la respuesta del filtro conectando resistores

de apropiados valores a las varias terminales del

circuito integrado. Para otros, tu programas el

dispositivo cargando datos digitales apropiados en

registros internos.

Otra arquitectura de filtros corrientemente

empleada es filtros pasivos basada en redes de

capacitores-inductores. Estos son comunmente

referidos como escaleras LC, el nombre hace

referencia a la apariencia del esquema. Filtros

basados en escalera son bastante distintos a sus

contrapartes basados en cascadas. No existe una

correspondencia uno a uno entre las ramas del

circuito y la función de transferencia factorada. El

alto grado de acoplamiento con realimentación

intrínseco en circuitos escalera involucra mucho

procedimiento de síntesis. Un efecto positivo de

este acoplamiento es óptimamente de sensitividad

baja a variaciones de los componentes.

ORDEN DEL FILTRO Y ETAPAS

Las aproximaciones de la función de transferencia

clásica son todas cocientes de polinomios, es

decir,

T sa a s a s a sb b s b s s

n

n

m( )

0 1 2

2

0 1 2

2

(1)

donde s = j = 2jf y las a’s y b’s son

constantes. El orden m del denominador del

polinomio es siempre más grande o igual que el

orden n del numerador. El orden del denominador

es llamado orden del filtro. En general, a más alto

orden del filtro, más cercana la aproximación se

ajusta al ideal. Para todos los filtros de orden muy

bajo, la forma polinomial de la función de

transferencia es embarazoso para trabajarlo. En

lugar de ello, los polinomios son normalmente

factorizados a términos cuadráticos. Para

funciones de orden par, esto resulta en una

función de transferencia de la forma

T sk s k s k

sQ

sc

c

i

m

( )

2

2

1 0

2 21

(2)

Para funciones de orden impar, el término restante

es bilineal resultando en una función de

transferencia de la forma

T sk s ks

k s k s k

sQ

sc c

c

i

m

( )

1 0 2

2

1 0

2 22

(3)

Cada uno de los factores de los cocientes es

llamado una etapa. La etapa impar es bilineal, es

decir, este es un cociente de factores lineales

(primer orden). Todas las otras etapas son

bicuadrática. Circuitos filtros que realizan

funciones bilineales o bicuadráticas son

comunmente llamadas biquads, también

conocidas como secciones biquad o etapas biquad.

Etapas biquad pueden ser puestas en cascadas

para realizar filtros de orden más alto.

Las raíces de los factores del denominador son

llamados los polos del filtro. Las raíces del

numerador son ceros.

TRANSMISION DEL FILTRO, TIPOS

Y ESPECIFICACIONES

Los filtros que vamos a estudiar son circuitos

lineales que pueden ser representados de forma

general por una red de dos puertos como se

muestra en la figura (8). Cada filtro es definido

entonces por una función de transferencia T(s)

que es la razón del voltaje de salida Vo(s) al

voltaje de entrada Vi(s).

T ss

s

o

i

VV

( )( )

( ) (4)



Vo(s)

+

- T(s)

Circuito Filtro

Vi(s)

+

-

Figura (8)

La transmisión del filtro es encontrada evaluando

T(s) para frecuencias físicas, s=j, y puede ser

expresada en términos de su magnitud y su fase.

T j T j j( ) ( ) exp[ ( )] (5)

Frecuentemente la magnitud de transmisión es

expresada en decibelios (dB) en términos de la

función de ganancia.

G T j( ) log ( ) 20 , dB (6)

0, alternativamente, en términos de función de

atenuación

A T j( ) log ( ) 20 , dB (7)

El espectro de frecuencia de un filtro de la forma

de señal de entrada | Vi(j) |, conforme a la

magnitud de la función de transferencia, | T(j) |,

en este caso proporciona una salida Vo(j) con un

espectrum

o iV Vj T j j( ) ( ) ( ) (8)

También, las características de fase de la señal son

modificadas a medida esta pasa através del filtro

de acuerdo a la función de fase del filtro ().

Estamos interesados en filtros que realizan una

función de selección de frecuencia: señales que

pasan cuyo espectro de frecuencia se halla dentro

de un rango especificado, y señales que no pasan

cuyo espectro de frecuencia cae fuera de este

rango. Tal filtro tiene idealmente una banda de

frecuencia (o bandas) sobre la cual la magnitud

de transmisión es la unidad (banda de paso del

filtro) y una banda de frecuencia (o bandas) sobre

la cual la transmisión es cero (banda de rechazo

del filtro). La figura (9) describe las

características de transmisión ideal de cuatro

principales tipos de filtros.

|T| |T|

Passband

1

Stopband

1

Stopband Passband

p 0

(b) Pasa Alto (HP)

|T|

p 0

(a) Pasa Bajo (LP)

|T|

Lower

stopband

1

Passband

Upper

stopband

Lower

passband

1

Stopband

Upper

passband

s1 s2 0

(d) Rechazo Banda (BS)

p2 p1

(c) Pasa Banda (BP)

0

Figura (9)



Especificación del filtro

El proceso de diseño de filtros comienza con el

usuario del filtro especificando las características

de transmisión requeridas del filtro. Tal

especificación no puede ser de la forma mostrada

en la figura (9) porque los circuitos físicos no

pueden realizar estas características idealizadas.

La figura (10) muestra especificaciones realistas

para las características de transmisión de un filtro

pasa bajo. Observe que puesto que un circuito

físico no puede proporcionar transmisión

constante en toda la banda de paso de frecuencias,

las especificaciones permiten desviación de la

transmisión en la banda de paso del 0 dB ideal,

pero pone un límite superior, en esta desviación

Amax (dB). Dependiendo del tipo de aplicación

Amax típicamente fluctúa de 0.05 a 3 dB. También

puesto que un circuito físico no puede

proporcionar cero transmisión en toda la banda de

rechazo de frecuencias, las especificaciones en la

figura (10) permite alguna transmisión en la banda

de rechazo. Sin embargo, las especificaciones

requieren que las señales en la banda de rechazo

sean atenuadas a un mínimo relativo a las señales

en la banda de paso Amin(dB). Dependiendo en la

aplicación del filtro, Amin puede fluctuar de 20 a

100 dB. | T | , dB

Amin

0

l2

s

0

p

l1

banda de

paso

banda

de

transicion

banda de rechazo

Amax

Figura (10)

Puesto que la transmisión de un circuito físico no

puede cambiar abruptamente en el borde de la

banda de paso, las especificaciones de la figura

(10) proporcionan una banda de frecuencias sobre

la cual la atenuación se incrementa de 0 dB hasta

Amin. Esta banda de transición se extiende desde

el borde de la banda de paso p hasta el borde de

la banda de rechazo s. La razón s/p es

usualmente usada como una medida de la agudeza

de la respuesta del filtro pasa bajo y es llamada el

factor de selectividad. Finalmente, observe que

para conveniencia la transmisión en la banda de

paso es especificada para ser 0 dB. El filtro final,

sin embargo puede ser dado con una ganancia en

la banda de paso, si es deseada, sin cambiar sus

características de selectividad. Para resumir, la

transmisión de un filtro pasa bajo es especificado

por cuatro parámetros.

1. El borde de la banda de paso, p;

2. La máxima variación permitida de la

transmisión en la banda de paso, Amax;

3. El borde de la banda de rechazo, s; y

4. La mínima atenuación requerida en la banda de

rechazo, Amin.

Lo más compactamente uno especifica un filtro,

es decir, lo más bajo Amax, lo más alto Amin, y/o

una razón de selectividad s/p más cercano a la

unidad, lo más cerca la respuesta del filtro

resultante es al ideal.

Sin embargo el circuito filtro resultante debe ser

de un orden más alto y así más complejo y caro.

Además de especificar la magnitud de

transmisión, hay aplicaciones en las cuales la

respuesta de fase del filtro es también de interés.

El problema de diseño del filtro, sin embargo, es

considerablemente complicado cuando ambos

magnitud y fase son especificados.

Una vez que las especificaciones del filtro han

sido decididas, el próximo paso en diseñar es

encontrar una función de transferencia cuya

magnitud satisfaga las especificaciones. Para

satisfacer la curva de respuesta de magnitud debe

hallarse en el área no sombrada de en la figura

(10). La curva mostrada en la figura es para un



filtro que justamente satisface las

especificaciones. Observe que para este filtro

particular la respuesta de magnitud fluctúa en toda

la banda de paso con el pico del rizado siendo

todo igual. Puesto que el rizado pico es igual a

Amax éste es usualmente referido a Amax como

rizado de ancho de banda (bandwidth ripple). La

respuesta del filtro particular muestra rizado

también en la banda de rechazo, de nuevo con los

picos del rizado todos iguales y de un valor tal

que el mínimo de atenuación alcanzado en la

banda de rechazo es igual al valor especificado,

Amin. Así esta respuesta particular se dice que es

de igual rizado (equiripple) en ambos en la banda

de paso y de rechazo.

El proceso de obtener una función de

transferencia que satisfaga las especificaciones

dadas es conocido como aproximación del filtro.

La aproximación del filtro es usualmente llevada a

cabo usando programas de computadoras o tablas

de diseño de filtros. En casos más simples, la

aproximación del filtro puede ser llevada a cabo

usando expresiones de formas terminadas (formas

matemáticas, Butterworth, Chebyshev, etc.).

Finalmente la figura (11) muestra las

especificaciones de transmisión para un filtro pasa

banda y la respuesta de un filtro que satisface

estas especificaciones. Para este ejemplo hemos

escogido una función de aproximación que no

tiene rizado en la banda de paso; más bien, la

transmisión decrese monóticamente en ambos

lados de la frecuencia central, alcanzando la

máxima desviación permisible en los dos bordes

de la banda de paso.

Banda de

Paso

banda de rechazo banda de

rechazo inferior superio

r

Amax Amin

| T | , dB

0

l1

p1 s2

l2

p2 s1

Figura(11)

La función de Transferencia del Filtro

La función de transferencia del filtro T(s) puede

ser escrita como la razón de dos polinomios

T s M

M

M

M

N

N

N

a s a s a

s a s b( )

1

1

0

1

1

0

(9)

El grado del denominador N, es el orden del filtro.

Para que el circuito filtro sea estable, el grado del

numerador debe ser menor o igual que el grado

del denominador; M N. Los coeficientes del

numerador y denominador, a0, a1,..., aM y b0,

b0,..., bN-1, son números reales. Los polinomios

en el numerador y denominador pueden ser

factorados, y T(s) puede ser expresado en la forma

T ss s s

s s s

M M

N

a Z Z Zp p p

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

1 2

1 2

(10)

Las raíces del numerador, z1, z2, ..., zM, son los

ceros de la función de transferencia, o ceros de

transmisión, y las raíces del denominador, p1, p2,

..., pN, son los polos de la función de

transferencia o los modos naturales. Cada cero o

polo de transmisión puede ser un número real o

complejo. Los ceros y polos complejos, sin

embargo, deben ocurrir en parejas conjugadas.

Así, si -1+j2 pasa a ser un cero entonces -1-j2

también debe ser un cero.

Para que un circuito filtro sea estable todos sus

polos deben hallarse en el semiplano izquierdo del

plano s, y por lo tanto p1, p2, ..., pN deben todos

tener partes real negativa.



FILTROS BUTTERWORTH,

CHEBYSHEV, Y BESSEL

Las dos funciones Butterworth y Chebyshev son

frecuentemente usadas en aproximar las

características de transmisión de filtros pasa bajos.

Estas funciones tienen la ventaja que expresiones

de forma terminadas son disponibles por sus

parámetros. Así uno puede usarlas en el diseño de

filtros sin la necesidad de computadoras o tablas

de diseño de filtros. Sus utilidades, sin embargo,

están limitadas a aplicaciones relativamente

simples. Aunque aquí solamente discutiremos el

diseño de filtros pasa bajo, estas funciones de

aproximación pueden ser aplicadas al diseño de

otros tipos de filtros através del uso de

transformaciones de frecuencia.

Filtro de Butterworth

El filtro de Butterworth produce la respuesta más

plana en la banda de paso, a expensas de la

pendiente en la región de transición de la banda de

paso a la banda de rechazo. Este tiene una

característica de fase pobre. La respuesta de

amplitud esta dada por

2

12

21

1|)(|

n

c

i

o

VV

jT

(11)

donde n es el orden del filtro (es decir el número

de polos). Incrementando el número de polos la

respuesta en la banda de paso es más plana y la

pendiente en la banda de rechazo más inclinada,

como es mostrado en la figura (12)

0.001

frecuencia normalizada

respuesta de amplitud

1.0

0.1

0.01

0.1 1.0 10

n = 2

n = 1

n = 4

n = 8

n = 16

n = 32

Vout / Vin

Figura (12)

c es usualmente el punto de -3 dB.

El filtro Butterworth intercambia cualquier otra

cosa por una respuesta máximamente plana. Este

principia extremadamente plana a frecuencia cero

y se dobla muy cerca de la frecuencia de corte c

( el punto de - 3 dB).

Existen tablas que representan el denominador de

la ecuación pasa bajo de Butterworth con respecto

a su orden, la cual esta mostrada a continuación.

Tabla (1)

n Factores del Polinomio Bn(s)

1 (Sn + 1)

2 (Sn2 + 1.414Sn + 1)

3 (Sn + 1)(Sn2 + Sn + 1)

4 (Sn2 + 0.765Sn + 1)(Sn

2 + 1.848Sn + 1)

5 (Sn + 1)(Sn2 + 0.618Sn + 1)(Sn

2 + 1.618Sn + 1)

6 (Sn2 + 0.518Sn + 1)(Sn

2 + 1.414Sn + 1)(Sn

2 + 1.932Sn + 1)

7 (Sn + 1)(Sn2 + 0.445Sn + 1)(Sn

2 + 1.247Sn + 1)(Sn

2 + 1.802Sn + 1)

8 (Sn2 + 0.390Sn + 1)(Sn

2 + 1.111Sn + 1)(Sn

2 + 1.663Sn + 1)(Sn

2 + 1.962Sn + 1)



Filtro Chebyshev

En la mayoría de las aplicaciones, todo lo que

realmente interesa es que el meneo (bamboleo) de

la respuesta en la banda de paso se mantenga

menor que alguna cantidad, por decir 1 dB.

El filtro Chebyshev responde a esta realidad

permitiendo rizado por toda la banda de paso, con

una agudeza de la curva enormemente mejorada.

Un filtro Chebyshev esta especificado es términos

de su número de polos y su rizado en la banda de

paso. Permitiendo un rizado más grande en la

banda de paso, tu obtienes una curva más aguda.

La respuesta de amplitud esta dada por

2

1

221

1|)(|

c

n

i

o

C

VV

jT (12)

donde Cn( / c) es el polinomio de Chebyshev

de la primera clase de grado n

n

c c

C n

cos cos 1 0 ( / c ) 1

cosh coshnc

1

( / c ) 1

y es una constante que setea el rizado en la

banda de paso

2 1010 1

[ ]/

donde es su equivalente en dB.

Si se admite 0.5 dB de rizado

= 0.5 = 0.3493

Si se admite 1 dB de rizado

= 1 = 0.5089

c

cf

2

H cf f

n

cosh cosh1 11

donde n es el orden del filtro

cosh ( ) ln 1 2 1x x x (x 1)

También existen tablas para los filtros Chebyshev,

la cual es mostrada a continuación



Tabla (2)

n Factores del Polinomiales del filtro Chebyshev

0.5 dB de rizado ( = 0.3493 )

1 (Sn + 2.863)

2 (Sn2 + 1.425Sn + 1.516)

3 (Sn + 0.626)(Sn2 + 0.626Sn + 1.142)

4 (Sn2 + 0.351Sn + 1.064)(Sn

2 + 0.845Sn + 0.356)

5 (Sn + 0.362)(Sn2 + 0.224Sn + 1.036)(Sn

2 + 0.586Sn + 0.477)

6 (Sn2 + 0.1554Sn + 1.024)(Sn

2 + 0.4142Sn + 0.5475)(Sn2 + 0.5796Sn + 0.157)

7 (Sn + 0.2562)(Sn2 + 0.1014Sn + 1.015)(Sn

2 + 0.3194Sn + 0.6657)(Sn2 + 0.4616Sn + 0.2539)

8 (Sn2 + 0.0872Sn + 1.012)(Sn

2 + 0.2484Sn + 0.7413)(Sn2 + 0.3718Sn + 0.3872)(Sn

2 + 0.4386Sn + 0.08805)

n Factores del Polinomiales del filtro Chebyshev

1 dB de rizado ( = 0.5089 )

1 (Sn + 1.965)

2 (Sn2 + 1.098Sn + 1.103)

3 (Sn + 0.494)(Sn2 + 0.494Sn + 0.994)

4 (Sn2 + 0.279Sn + 0.987)(Sn

2 + 0.674Sn + 0.279)

5 (Sn + 0.289)(Sn2 + 0.179Sn + 0.988)(Sn

2 + 0.468Sn + 0.429)

6 (Sn2 + 0.1244Sn + 0.9907)(Sn

2 + 0.3398Sn + 0.5577)(Sn2 + 0.4642Sn + 0.1247)

7 (Sn + 0.2054)(Sn2 + 0.0914Sn + 0.9927)(Sn

2 + 0.2562Sn + 0.6535)(Sn2 + 0.3702Sn + 0.2304)

8 (Sn2 + 0.07Sn + 0.9942)(Sn

2 + 0.1994Sn + 0.7236)(Sn2 + 0.2994Sn + 0.3408)(Sn

2 + 0.3518Sn + 0.0702)

UNI-FEC Dpto. Electrónica Analógica


El filtro Chebyshev proporciona una

aproximación más eficiente que el filtro

Butterworth. Por lo tanto, para el mismo orden y

la misma Amax, el filtro Chebyshev tiene una

atenuación en la banda de rechazo más grande que

el filtro Butterworth. Alternativamente, para

satisfacer las especificaciones idénticas, se

requiere un filtro Chebyshev de orden más bajo

que para el filtro Butterworth.

El filtro Bessel

Como fue sugerido anteriormente, la respuesta de

amplitud de un filtro no dice la historia total. Un

filtro caracterizado por una respuesta de amplitud

plana puede tener grandes cambios de fase. El

resultado es que una señal en la banda de paso

sufrirá distorsión de su forma de onda. En

situaciones donde la forma de la forma de onda es

principalísimo, un filtro de fase lineal (o filtro con

tiempo de retardo constante) es deseado. Un filtro

cuya fase varía linealmente con la frecuencia es

equivalente a un tiempo de retardo constante para

señales dentro de la banda de paso, es decir, la

forma de la onda no es distorsionada. El filtro

Bessel (también llamado el filtro Thomson) tiene

un tiempo de retardo máximamente plano dentro

de su banda de paso, en analogía con Butterworth,

el cual tiene una respuesta de amplitud

máximamente plana. Para ver la clase de

mejoramiento en funcionamiento en el dominio

del tiempo que tu obtienes con el filtro Bessel,

mira la figura (13) para una comparación del

tiempo de retardo versus esos de Bessel, con una

respuesta de paso mejorada. En otras clases hay

filtros interesantes que permiten rizados

uniformes en el tiempo de retardo en la banda de

paso ( en analogía con los rizados de Chebyshev

en su respuesta de amplitud) y produce

aproximadamente tiempos de retardo constante

aún también para señales dentro de la banda de

rechazo. Otra aproximación al problema de

obtener filtros con uniforme tiempos de retardo es

usar filtros pasa todo, también conocidos como

compensadores de retardo. Estos tienen respuesta

de amplitud constante con la frecuencia, con un

cambio de fase que puede ser ajustados a

requerimientos individuales. Así ellos pueden ser

usados para mejorar la constancia tiempo de

retardo de cualquier filtro, incluyendo los tipos

Butterworth y Chebyshev.

0.80.6 1.0 1.2 1.4 1.60 0.40.2 2.01.8

8

7

6

5

4

3

1

frecuencia ( radianes/s o )

retardo ( s )

Butterworth de 6 polos

Bessel de 6 polos2

Figura (13)

TRANSFORMACION DE

FRECUENCIA

Como fue mencionado anteriormente las

ecuaciones matemáticas del filtro pasa bajo

pueden ser aplicadas al diseño de otros tipos de

filtros através del uso de transformaciones de

frecuencia. Es decir, si se necesita hacer otro tipo

de filtro vamos a utilizar la ecuación del filtro

pasa bajo, pero con una transformación.

Para la función pasa alto

La transformación a utilizar es:

n

n

cS

S s

1

Ejemplo: Pasa alto de Butterworth de primer

orden

T s

s

sc c

c

cs

s

s( )

1

1 1



Para la función pasa banda


nc

H

Ss

s

2 2

con fH la frecuencia a -3dB y fc la frecuencia

central

Ejemplo: Para el pasa banda de Butterworth de

primer orden

T s

s

ss sc

H

H

c

H

c c

( )

1

1 12 2

2

2

2

2

Para la función rechaza banda


nH

c

Ss

s

2 2

Ejemplo: Para un rechaza banda de Butterworth

de primer orden

T ss

sH

c

c

c

H

c cs

s

s( )

1

1 12 2

2 2

2

2

2

2

IMPLEMENTACION DEL FILTRO

Existen una serie de implementaciones de

circuitos OP-AMP-RC que realizan las funciones

de filtros. Una de las implementaciones más

comunes son las RC biquad. Estas biquad caen en

dos categorías generales. Primero están los

circuitos con realimentación multilazo (Multiloop

Feedback MLF). Estos son una familia popular de

circuitos con un simple amplificador. Ellos tienen

dos puntos fuertes: ellos pueden ser puestos a

cualquier combinación de ganancia, Q y 0, y

ellos exhiben baja sensitividad a las variaciones

de los componentes. La principal desventaja de

los tres circuitos básicos MLF es que la extensión

de los valores de los elementos, se incrementa con

incrementar Q o la ganancia.

El biquad MLF requiere significantemente más

elementos pasivos, pero puede implementar la

ecuación bicuadrática completa.

Sallen-Key (KRC) es otra familia de biquads con

un simple OP-AMP, y una alternativa de la

familia MLF. Los circuitos Sallen-Key tienden a

tener más baja extensión de los elementos que sus

contrapartes MLF. La ventaja viene al costo de las

propiedades de sensibilidad más pobre y más

limitada disponibilidad para realizar

simultáneamente ganancia específica, y

especificaciones de frecuencia.

Existe un trío de biquads de tres OP-AMP: los

circuitos Tow-Thomas (TT), Akerberg-Mossberg

(AM), y Kervin-Huelsman-Newcomb (KHN).

Todos ofrecen bajas sensibilidad y permiten

relativamente altos valores de Q. El circuito KHN

está limitado a numeradores de simple término,

pero tiene la ventaja de ofrecer simultáneamente

un pasa bajo de simple término, un pasa alto de

simple término y un pasa banda de simple término

a cada una de las tres salidas de los

amplificadores. Las configuraciones Tow-Thomas

y Akerberg-Mossberg ofrecen más flexibilidad,

ellos pueden realizar la ecuación bicuadrática

completa. El circuito AM algunas veces requiere

un elemento más que el TT, pero tiende a tener

más baja sensibilidad para diseños de alta Q.

En el caso de filtros de orden impar, la etapa extra

es realizada usando una etapa bilineal de simple

amplificador a pesar del biquad el cual es

seleccionado.

Cada uno de los circuitos activos RC tiene sus

propias limitaciones originales sobre las clases de

funciones de transferencia que este puede realizar.

Los biquad activos RC tienen varios grados de

libertad para la medida de sus componentes.

Existen otras variedades de circuitos de

implementación que se pueden encontrar en la

amplia literatura sobre filtros activos.



Sallen-Key filter

input

R

C C

R

+1 output

Figura (14)

La figura (14) muestra un ejemplo de un simple y

aún particularmente filtro intuitivo. Este es

conocido como un filtro Sallen-Key, después de

sus inventores. El amplificador de ganancia

unitaria puede ser un OP-AMP conectado como

un seguidor, o justamente un seguidor de emisor.

Este filtro particular es un filtro pasa alto de dos

polos. Note que esto sería simplemente la puesta

en cascada de dos filtros pasa alto RC excepto por

el hecho de que la parte de abajo del primer

resistor es unido provechosamente por la salida.

Es fácil ver que a muy bajas frecuencias este cae

justamente como un RC en cascada, puesto que la

salida es esencialmente cero. Como la salida se

eleva a un incremento de la frecuencia, sin

embargo, la acción de unión provechosa tiende a

reducir la atenuación, dando una curva más aguda.

Para implementar un circuito se toma la ecuación

encontrada para el filtro específico y se escoge el

esquema que corresponde a dicho filtro. Es decir

se escoge el esquema que el diseñador considere

adecuado a sus requerimientos como fue

mencionado en secciones previas.

Ilustraremos con ejemplos algunas circuitos de

realización

Un ejemplo con un filtro pasa bajo de Butterworth

de segundo orden.

La función de transferencia para un filtro

Butterworth de segundo orden está dada por

T ss

c

cs( )

.

2

2 21414

Utilizaremos el esquema de Sallen-Key para un

filtro pasa bajo

C1

R1 R2 VE

C2

+1 VS

V

Figura (15)

Se puede determinar que la función de

transferencia del filtro es

T ss

S

E

V

V s R R C C C R R( )

( )

1

12

1 2 1 2 2 1 2

Ahora lo que resta es identificar esta ecuación

obtenida con la de Butterworth de segundo orden,

de ello se obtiene

c

R R C C

2

1 2 1 2

1

14142 1 2

.( )

c

C R R

Se debe de tener cuidado al darle valores a los

componentes, los componentes se deben escoger

de forma tal que cuando se asuman unos, los otros

a obtenerse tengan valores aceptables en la

práctica.

Un ejemplo de circuito pasa banda de primer

orden es el siguiente



VE

R1

R2

C1

C2

R3

VS

i1

i2 i3

i4

Figura (16)

Puede ser demostrado que su función de transferencia es

RR

RRRCCsRR

CCRR

RR

RRsC

VV

ssT

E

S

21

32121

21

2121

21

32

2)(1

2

)(

Para obtener un buen coeficiente de sobretensión

debe tenerse R3 > R2 > R1 con identificación:

c

R R

R R R C C

2 1 2

1 2 3 1 2

2 3 2

1 2

1 2 1 2

1 2

2

R R C

R R

R R C C

R R

H

c

( )

H

C C

C C R

1 2

1 2 3

Un ejemplo de circuito pasa alto Chebyshev de

segundo orden Sallen-Key

R1

C1 C2

VE

R2

K K' VS

Figura (17)

Puede ser demostrado que la función de transferencia es

sCCRRCRCCR

sCCRRVV

Kss

KKsT

E

S

2

212121211

'2

2121

1 )1()(1)(

para K = 1

T sK

s

S

E

V

V

R R C C s

R C C R R C C s( )

( )

'

1

1 2 1 2

2

1 1 2 1 2 1 2

21



Si identificamos a

T s

s

s sc

c c

( )

. .

2

2

2

21 1098 1103

K’ = 1.103

c

R R C C

2

1 2 1 2

1

10981 1 2

.( )

c

R C C

Para realizar un filtro de orden alto de cualquier

tipo, una vez determinado el orden del filtro se

busca su ecuación en las tablas correspondiente y

después se descompone en circuitos de primer y

segundo orden.

Por ejemplo si queremos hacer un filtro pasa alto

Chebyshev de quinto orden, su ecuación es

T ss s s s s

c c c c c

( )

. . . . .

1

0 289 0179 0 988 0 468 0 4292

2

2

2

Eso corresponde a tres filtros, uno de primer

orden y dos de segundo orden con el mismo c2.

Entonces hay que determinar independientemente

el esquema para cada paréntesis y luego

ensamblar el filtro como un todo. Un ejemplo de

esta ecuación es

Vi Vo

Figura (18)

Circuitos de filtros activos

Una gran cantidad de ingeniosidad ha sido usada

en inventar circuitos de filtros activos inteligentes,

cada uno del cual puede ser usado para generar

funciones de respuestas tales como Butterworth,

Chebyshev, etc.. Tu podrías preguntarte porque el

mundo necesita más que un circuito de filtro

activo. La razón es que varias realizaciones de

circuitos son superiores en una u otra propiedad

deseable, por lo tanto no existe en todo respecto

el mejor circuito.

Algunos de los rasgos distintivos a mirar en un

filtro activo son (a)números pequeños de partes,

ambos activos y pasivos (b) fácil de ajustar (c)

extensión pequeña de los valores de partes,

especialmente valores de capacitores (d) uso

inexigente del OP-AMP, especialmente

requerimientos en el “slew rate”, el ancho de

banda, y impedancia de salida (e) la



disponibilidad para hacer filtros de alta Q, y (f)

sensibilidad de las características del filtro a los

valores de componentes y a la ganancia del OP-

AMP ( en particular, el producto ganancia ancho

de banda). En muchos medios el último rasgo

distintivo es uno de los más importantes. Un filtro

que requiere partes de alta precisión es difícil de

ajustar, y este derivará con el tiempo de vida de

los componentes; por añadidura, existe la molestia

que éste requiere componentes de buena exactitud

inicial.

Circuitos VCVS

Los circuitos VCVS (Voltage-Controlled Voltage-

Source, Fuente de Voltaje Controlado por Voltaje)

probablemente deben más de su popularidad a su

simplicidad y su bajo número de partes, pero estos

sufren de alta sensibilidad a las variaciones de los

componentes.

El filtro VCVS, también conocido como filtro de

fuente controlada, es una variación del circuito

Sallen-Key mostrado anteriormente. Este

reemplaza el seguidor de ganancia unitaria con un

amplificador no inversor de ganancia más grande

que 1. En la figura (19) se muestran estos

circuitos. Los resistores a las salidas de los OP-

AMPs crean un amplificador de voltaje no

inversor de ganancia de voltaje K, con el resto de

Resistores (Rs) y Capacitancias (Cs)

contribuyendo con las propiedades de la respuesta

de frecuencia del filtro. Estos son filtros de dos

polos, y pueden ser Butterworth, Chebyshev,

Bessel, etc., por la escogencia adecuada de los

valores de los componentes. Cualquier número de

secciones VCVS de dos polos pueden ser puestos

en cascada para generar filtros de orden más alto.

Cuando esto es hecho, las secciones del filtro

individual son, en general, no idénticas. De hecho,

cada sección representa un factor polinomial

cuadrático de n-ésimo orden polinomial

describiendo el filtro total.

R1 C1

R1 Vi

filtro pasa bajo

R2

C2 (K-1)R

R

Vo Vi

C1

filtro pasa alto

C2

R2 (K-1)R

R

Vo

R2

R1 C1 Vi

R3 (K-1)R

R

C2 Vo

filtro pasa banda

Figura (19)

Existen ecuaciones de diseño y tablas en la

mayoría de los manuales sobre filtros estándares

para todas las respuestas de filtros estándares,

usualmente incluyendo tablas para cada uno de un

número de amplitudes de rizado para filtros

Chebyshev.



DISEÑO DE FILTROS VCVS

USANDO UNA TABLA

SIMPLIFICADA

La tabla (3) es una tabla de fácil uso para diseñar

filtros VCVS de respuestas Butterworth,

Chebyshev, y Bessel ( con rizados en la banda de

paso de 0.5 y 2 dB para filtros Chebyshev) para

usarlas como filtros pasa bajo o pasa alto. Filtros

pasa banda y rechaza banda pueden ser fácilmente

hecho de combinaciones de estos.

Tabla (3)

Par usar la tabla (3) se comienza por decidir cual

respuesta de filtro tu necesitas. Como fue

mencionado anteriormente, la Butterworth puede

ser atractiva si máxima planitud de la banda de

paso es deseada, La Chebyshev da la más rápida

caída de la banda de paso a la banda de rechazo (a

expensas de algún rizado en la banda de paso), y

la Bessel provee la mejor característica de fase, es

decir, retardo constante de la señal en la banda de

paso, con correspondientemente buen paso de

respuesta. Las respuestas de frecuencias de los

tipos de filtros mencionados son mostradas en la

figura (20)

Filtros pasa bajo VCVS

Chebyshev Chebyshev

Butter Bessel (0.5 dB) (2.0 dB)

worth ______________ ________________ ______________

K fn K fn K fn K

2 1.586 1.274 1.268 1.231 1.842 0.907 2.114

4 1.152 1.432 1.084 0.597 1.582 0.471 1.924

2.235 1.606 1.759 1.031 2.660 0.964 2.782

6 1.068 1.607 1.040 0.396 1.537 0.316 1.891

1.586 1.692 1.364 0.768 2.448 0.730 2.648

2.483 1.908 2.023 1.011 2.846 0.983 2.904

8 1.038 1.781 1.024 0.297 1.522 0.238 1.879

1.337 1.835 1.213 0.599 2.379 0.572 2.605

1.889 1.956 1.593 0.861 2.711 0.842 2.821

2.610 2.192 2.184 1.006 2.913 0.990 2.946



Figura (20).

0.1

0.001

0.1

1.0

0.01

101.0

Bessel


n = 2

n = 4

n = 6n = 8

respuesta de

amplitud

Vout / Vin

0.1

0.001

0.1

1.0

0.01

101.0

Butterworth


respuesta de

n = 2

n = 4

n = 6n = 8

amplitud

Vout / Vin

0.1

0.001

0.1

1.0

0.01

101.0

chebyshev (0.5 dB rizado)


n = 6

n = 4

n = 2

n = 8

respuesta de

amplitud

Vout / Vin

0.1

0.001

0.1

1.0

0.01

101.0

Chebyshev (2.0 dB rizado)


n = 4

n = 2

n = 6n = 8

respuesta de

amplitud

Vout / Vin



Para construir un filtro de n-polos (n es un número

par), tu necesitarás poner en cascada n/2 secciones

VCVS. Solamente filtros de orden par son

mostrados, puesto que un filtro de orden impar

requiere tantos OP-AMPs como el siguiente filtro

de orden más alto. Dentro de cada sección, R1 =

R2 = R, y C1 = C2 = C. Como es usual en circuitos

con OP-AMP, R típicamente será escogido en el

rango de 10K a 100K.( Esto es mejor para evitar

pequeños valores de resistencias, porque el

incremento de impedancia de salida del OP-AMP

en lazo abierto a altas frecuencias se agrega a los

valores del resistor y desbarata los cálculos).

Entonces todo lo que tu necesitas hacer es poner

la ganancia, K, de cada etapa de acuerdo a las

entradas de la tabla. Para un filtro n-polo, hay n/2

entradas, una para cada sección.

Filtros pasa bajo de Butterworth

Si el filtro es Butterworth, todas las secciones

tienen los mismos valores de R y C, dando

simplemente por RC = 1/2fc, donde fc es la

frecuencia deseada de - 3 dB de la entrada del

filtro. Para hacer un filtro pasa bajo de

Butterworth de 6 polos, por ejemplo tu pones en

cascada tres secciones del pasa bajo mostrado

previamente, con ganancias de 1.07, 1.59, y 2.48

preferiblemente en ese orden, para evitar

problemas de rango dinámico), y con idénticas Rs

y Cs puestas al punto de 3 dB.

Filtros pasa bajo de Bessel y Chebyshev

Para hacer un filtro Bessel o Chebyshev con los

VCVS, la situación es solo ligeramente más

complicada. De nuevo ponemos en cascada filtros

VCVS de 2 polos, con ganancias preescritas para

cada sección. Dentro de cada sección de nuevo

usamos R1 = R2 = R, y C1 = C2 = C. Sin

embargo, a diferencia de la situación con la

respuesta Butterworth, los productos RC para las

diferentes secciones son diferentes y deben ser

balanceados por el factor de normalización fn

(dado para cada sección en la tabla (3) de acuerdo

a RC = 1/2fnfc. Aquí fc es de nuevo el

punto -3 dB para el filtro Bessel, mientras que

para el filtro Chebyshev este define el término de

la banda de paso, es decir, esta es la frecuencia a

la cual la respuesta de amplitud cae de la banda de

rizado a su manera dentro de la banda de rechazo.

Por ejemplo, la respuesta de un filtro pasa bajo

Chebyshev con 0.5 dB de rizado y fc = 100Hz

será plano dentro +0 dB a -0.5 dB desde dc hasta

100Hz, con 0.5 dB de atenuación a 100Hz y un

rápido declive para frecuencias más grandes que

100Hz. Valores de rizado en la banda de paso con

0.5 dB y 2 dB son dados para filtros Chebyshev,

el último tiene una transición algo más empinado

en la banda de rechazo.

Filtros pasa alto

Para hacer un filtro pasa alto, use la configuración

pasa alto mostrada previamente, es decir, con la

Rs y Cs intercambiadas. Para filtros Butterworth,

todo permanece incambiable (use los mismos

valores de R, C, y K). Para los filtros Bessel y

Chebyshev, los valores de K permanecen iguales,

pero los factores de normalización fn deben ser

invertidos, es decir, para cada sección el nuevo fn

es igual a 1/ ( fn listado en la tabla (3)).

Un filtro pasa banda puede ser hecho poniendo en

cascada filtros superpuestos pasa bajo y pasa alto.

Un filtro rechazo banda puede ser hecho sumando

las salidas de filtros no superpuestos pasa bajo y

pasa alto. Sin embargo, tales filtros puestos en

cascada no trabajan bien para filtros de alta Q

(filtros pasa banda extremadamente agudos)

porque hay gran sensitividad a los valores de los

componentes en las secciones de filtro individual

(desacoplado). En tales casos una alta Q en un

circuito pasa banda de simple etapa ( por ejemplo,

el circuito pasa banda VCVS ilustrado

previamente) debería ser usado en lugar de ello.

Aún un filtro de 2 polos de simple etapa puede

producir una respuesta con un pico

extremadamente agudo. Información sobre el

diseño de tales filtros es disponible en las

referencias estándares.



Filtros VCVS minimizan el número de

componentes necesarios (2 polos/OP-AMP) y

ofrecen la ventajas adicionales de ganancia no

invertida, impedancia baja de salida, pequeña

extensión de los valores de componentes, fácil

ajustabilidad de la ganancia, y la habilidad para

operar a alta ganancia o alta Q. Ellos sufren de

alta sensibilidad a los valores de los componentes

y ganancia del amplificador, y ellos no se prestan

ellos mismos convenientemente a aplicaciones

donde un filtro sintonizable de características

estables es nec

EL INVERSOR DE IMPEDANCIA O

GIRADOR

El girador fue introducido por Tellegen en 1948 y

todavía tiene bastante aplicaciones.

El girador ideal puede representarse por el

cuadripolo activo mostrado a continuación

i2

Rg

i1

eg

Ze1

e1 Rgy

Ze2

e2 ZL

Figura (21)

La flecha asociada a Rgy indica el sentido en que

actúa el girador. El cuadripolo desfasa

precisamente en sentido opuesto a la flecha.

Las ecuaciones que queremos son

21

ie

Rgy

(13) 12

ie

Rgy

(14)

1 1 2 2 0e i e i (sistema sin pérdida)

Cálculo de Ze1

eZe

i1

1

1

, 12 2 1

2ie

R

Z i

R

e Z

Rgy

L

gy

L

gy

entonces ZR

ZL

gy

e

2

1 (15)

Entonces la impedancia de entrada es

proporcional al inverso de la impedancia de carga.

Cálculo de Ze2

En este caso debemos suponer que e2 es

suministrada por una fuente de tensión y que Vg

es cero.

i2

e2 Rgy

Rg

e1

i1

Ze1 Ze2

Figura (22)

11

ie

Rg

, e

gy

Ze

i

R e

i2

2

2

2

1

1

entonces e

gy

g

ZR

R2

2

La conclusión es que el girador se comporta como

un inversor de impedancia en ambos sentidos. Se

puede definir el girador como un cuadripolo

convertidor de impedancia con coeficiente K2 =

Rgy2

Su representación es

(2)

Rgy

(1)

Figura (23)

Ejemplo del girador



R

Rgy2

Rg

eg

e1

R

R Ve2

Rgy1

Vey

Figura (24)

Cálculo de Ze1

e gyV R i e1 1 2 1

e gy gyV R i R iR

R2 2 1 2 1 ( )

Si Rgy1 = Rgy2 tenemos la misma ecuación del

girador ideal

ee

ZV

i1

1

1

12 2 1

2iV

R

Z i

R

Z V

R

e

gy

L

gy

L e

gy

e

gy

L

ZR

Z1

2

Cálculo de Ze2

Ve1

RRgy

Rg

R

Vo2

Rgy

Figura (25)

e gV R i1 1 ee

ZV

i2

2

2

e gy gV R i R i1 2 1

e gyV R iR

R2 2 1 ( )

RR

Zg

gy

e

2

2

FILTRO ACTIVO DE SEGUNDO

ORDEN BASADO EN

REEMPLAZAMIENTO DEL

INDUCTOR

La mayoría de los circuitos OP-AMP-RC sobre

los años han sido propuestos para simular la

operación de un inductor. De estos, un circuito

inventado por A. Antoniou ha probado ser el

“mejor”. Por “mejor” queremos decir que la

operación del circuito es bastante tolerante a las

propiedades no ideales de los OP-AMPs, en

particular su ganancia y ancho de banda finito. La

figura (26 a) muestra el circuito simulador de

inductancia Antoniou. Si el circuito es alimentado

a su entrada (nodo 1) con una fuente de voltaje V1

y la corriente de entrada es denotada I1, entonces

la impedancia de entrada para OP-AMPs ideales

puede ser mostrado que es

inZV

I

C R R R

R

s 1

1

4 1 3 5

2

(17)

lo cual es decir una inductancia L dada por

LC R R R

R 4 1 3 5

2

(18)



(b)

1

R2 R1

R3 C4

R5 -

0

0

+

+

-

+

4

V1

A1

V1

1

R1 R2

A2

R3 C4 R5

2

A1

1

R2

A2

R1

R3 C4

Zin sC4R1R3R5/R2

I1

-

0 0

0 0

0

0

+

+

-

I1

V1 = sC4R1R3R5/R2

V1

V1R2 - V1

1

15

17

16

2

13

11

10

3

12 7

5 4

8

6

9

18

(a)

I1 =

sC4R1R3R5

V1R2

sC4R1R3R5

V1

sC4R5R3

Zin

V1R2

sC4R5R3

V1 sC4R5

V1 V1

R5 sC4R5R3

V1

V1 V1

14

R5

Figura (26)

La figura (26 b) muestra el análisis del circuito

asumiendo que los OP-AMPs son ideales y por lo

tanto que un corto circuito virtual aparece entre

las dos terminales de entrada de cada OP-AMP, y

asumiendo también que las corrientes de entrada

del OP-AMP son cero. El análisis comienza en el

nodo 1, el cual es asumido que esta alimentado

por una fuente de voltaje V1, y prosigue en una

manera paso a paso, con el orden de los pasos

inducidos por los números entre círculos. El

resultado del análisis es la expresión mostrada por

la corriente de entrada I1 del cual Zin es

encontrado.

El diseño de este circuito es usualmente basado en

seleccionar R1 = R2 = R3 = R5 = R y C4 = C, lo

cual conduce a L = CR2. Valores convenientes

son entonces seleccionados de C y R para

producir el valor de inductancia deseado.



EL RESONADOR OP-AMP-RC

A1 Vo +K C6 L

Vr

R6

x y z

(a)

Vr

R1 R2

A2

R3 C4 R5

(b)

K = 1 + R2/R1

R1

R2

+K

(c)

R6 C6

Figura (27)

La figura (27 a) muestra el resonador LCR

(detalles pueden ser vistos en el apéndice).

Reemplazando el inductor L con una inductancia

simulada por el circuito de Antoniou de la figura

(27 a) resulta en el resonador OP-AMP-RC de la

figura (27 b) (ignore por ahora al amplificador

adicional mostrado con líneas punteadas). El

circuito de la figura (27 (b))es un resonador de

segundo orden teniendo un polo con frecuencia

c

L C C C R R R

R

1 1

6 4 6 1 3 5

2

(19)

donde hemos usado la expresión de L dada en la

ecuación (18) y un polo con factor Q,

Q C R RC R

C R R Rc 6 6 6

6 2

4 1 3 5

(20)

Usualmente uno selecciona C4 = C6 = C y R1 = R2

= R3 = R5 = R lo cual resulta en

cCR

1

(21) y Q R

R 6 (22)

Seleccione un valor prácticamente conveniente

para C; use la ecuación (21) para determinar el

valor de R, para realizar una 0 dada, y entonces

use la ecuación (22) para determinar el valor de

R6 para realizar una Q dada.

FILTROS CON CAPACITOR

CONMUTADO (SWITCHED

CAPACITOR FILTER)

Este tipo de filtros utiliza únicamente

capacitancias, OP-AMPs, e interruptor analógico

que se comporta como un circuito activo RC bajo

algunas condiciones.

Además de esta ventaja, el filtro se puede fabricar

en una forma monolítica; componentes MOS de

alta densidad se utilizan como interruptores. La

precisión es mayor porque en este caso 0

depende de una razón de capacitancias que tiene

más precisión que un solo componente. El hecho

de que no hay resistencias disminuye también la

potencia consumida.

Principio básico

La técnica del filtro con capacitor conmutado esta

basada en la realización que un capacitor

conmutado entre dos nodos de un circuito a una

suficientemente alta velocidad, es equivalente a

un resistor conectando estos dos nodos. Para ser

específico, considere el integrador activo RC de la

figura (28 a). En la figura (28 b) hemos



reemplazado el resistor de entrada R1 por un

capacitor C1 aterrizado junto con dos transistores

MOS actuando como conmutadores.

2

C2C2

INR1

OUT

(a)

VG

C2

C1

(b)

VG OUT

C2

VGC1C1

VGIN

(c)Durante

(d)Durante

Tc

1

Vi

Vi

1 2

1 2

Figura (28)

Los dos conmutadores MOS en la figura (28 b)

son conducidos por un reloj de dos fases no

superpuestos. La figura (28 c) muestra las formas

de onda del reloj. Asumiremos en esta exposición

introductoria que la frecuencia del reloj fc (fc = 1 /

Tc ) es mucho más alta que la frecuencia de la

señal siendo filtrada. Así durante la fase del reloj

1 , cuando C1 es conectado a la fuente de señal

de entrada Vi, las variaciones en la señal de

entrada son despreciablemente pequeña. De esto

resulta que durante 1 el capacitor C1 se carga al

voltaje Vi,

c iq C V1 1 (23)

Entonces durante la fase de reloj 2, el capacitor

C1 es conectado a la entrada de tierra virtual del

OP-AMP, como es mostrado en la figura (28 d).

El capacitor C1 es así forzado a descargarse, y su

carga previa qc1 es transferida a C2 , en la

dirección indicada en la figura (28 d).

De la descripción anterior vemos que durante cada

período de reloj Tc una cantidad de carga qc1 = C1

Vi es extraída de la fuente de entrada y

suministrada al capacitor integrador C2. Por lo

tanto la corriente promedio fluyendo entre el nodo

de entrada IN y el nodo de tierra virtual VG es

avi

c

iC V

T 1 (24)

Si Tc es suficientemente corto, uno puede pensar

de este proceso como casi continuo y definir una

resistencia equivalente Req que está presente en el

efecto entre los nodos IN y VG

eqi

av

RV

i

Así eqc

RT

C

1

(25)

Usando Req obtenemos una constante de tiempo

equivalente para el integrador

constante de tiempo 22

1

C RT C

Ceq

c (26)

Por lo tanto la constante de tiempo que determina

la respuesta de frecuencia del filtro es

determinada por el período del reloj Tc y la razón



de capacitancias C2 / C1. Ambos de estos

parámetros pueden ser bien controlados en un

proceso IC. Especialmente, note la dependencia

en la razón de capacitores más bien que en

valores absolutos de capacitores. La exactitud de

razón de capacitores en tecnología MOS puede

ser controlada dentro de 0.1%.

Otro punto importante de observar es que con una

razonable frecuencia de reloj (tal como 100khz) y

no muy grandes razones de capacitores (decir, 10)

uno puede obtener constantes de tiempo grandes

(tales como 10-4

s) disponibles para aplicaciones

de audio. Puesto que los capacitores típicamente

ocupan relativamente grandes áreas en un chip IC,

es importante notar que las exactitudes de las

razones arriba mencionadas son obtenible con

valores de capacitores más pequeños tan bajos

como 0.2 pF.

Para realizar los filtros con capacitor conmutado

se utilizan los transistores MOSFET del tipo de

enriquecimiento. El MOSFET del tipo de

enriquecimiento ha tenido su mayor impacto en

los circuitos digitales; una de las razones es su

bajo consumo de potencia, otra es el pequeño

espacio que ocupa en el microcircuito. Este tipo

de MOSFET se usa ampliamente en

microprocesadores y memoria de computadoras.

Para realizar un filtro con capacitor conmutado

solo se substituye el resistor por la resistencia

equivalente Req vista anteriormente.

Para realizar un filtro biquad con capacitor

conmutado necesitamos por lo tanto un par

complementario de integradores con capacitor

conmutado. La figura (29 a) muestra un circuito

integrador no inversor o positivo. El circuito de la

figura (29 b) realiza la función del integrador

inversor. La pareja complementaria de

integradores de la figura (29) ha venido a ser el

bloque de construcción estándar en el diseño de

filtros con capacitor conmutado.

C2

C1

Vi

(a)

Vo

Vo

C2

C1

Vi

(b)

1

2 2

1

1 2

1 2

Figura (29)

Los filtros con capacitor conmutado son, de hecho

redes de datos muestreados, cuyo análisis y diseño

puede ser llevado a cabo exactamente usando las

técnicas de la transformación.

Resumen

Filtro pasa Bajos: Tipo Sallen Key

2121

1

CCRRwo

21

21

2

1

RR

RR

C

CQ



Filtro Pasa altos: Tipo sallen Key

2121

1

CCRRwo

21

21

1

2

CC

CC

R

RQ

Filtro Pasa Banda: Tipo sallen Key

2121

1

CCRRwo

21

21

1

2

CC

CC

R

RQ

UNI-FEC Dpto. Electrónica

Analógica


TABLAS DE FILTROS CONECTADOS EN CASCADA

FILTROS SALLEN-KEY

BUTTERWORTH

Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa Cuarta etapa

Orden α Factor fc α Factor fc α Factor fc α Factor fc

2 1.414 1

3 1.00 1 1.00 1

4 1.848 1 0.765 1

5 1.00 1 1.618 1 0.618 1

6 1.932 1 1.414 1 0.518 1

7 1.00 1 1.802 1 1.247 1 0.445 1

8 1.962 1 1.663 1 1.111 1 0.390 1

CHEBYSHEV CON ONDULACION DE -0.5DB.



3 1 0.626 0.586 1.069

4 1.418 0.597 0.340 0.031

5 1 0.362 0.849 0.690 0.220 1.018

6 1.463 0.396 0.552 0.768 0.154 1.011

7 1 0.256 0.916 0.504 0.388 0.823 0.113 1.008

8 1.478 0.296 0.621 0.599 0.288 0.816 0.087 1.006

CHEBYSHEV CON ONDULACION DE -1DB.



3 1 0.494 0.496 0.997

4 1.275 0.529 0.281 0.993

5 1 0.289 0.715 0.655 0.180 0.994

6 1.314 0.353 0.455 0.747 0.125 0.995

7 1 0.205 0.771 0.480 0.317 0.803 0.092 0.996

8 1.328 0.265 0.511 0.584 0.234 0.851 0.702 0.997




3 1 0.369 0.392 0.941

4 1.076 0.471 0.218 0.964

5 1 0.218 0.563 0.627 0.138 0.976

6 1.109 0.316 0.352 0.730 0.096 0.983

7 1 0.155 0.607 0.461 0.243 0.797 0.070 0.987

8 1.206 0.238 0.395 0.572 0.179 0.842 0.054 0.990




3 1 0.299 0.326 0.916

4 0.926 0.443 0.179 0.950

5 1 0.178 0.468 0.614 0.113 0.967

6 0.958 0.298 0.289 0.722 0.078 0.977

7 1 0.126 0.504 0.452 0.199 0.792 0.057 0.983

8 0.967 0.224 0.325 0.566 0.147 0.839 0.044 0.987

UNI-FEC Dpto. Electrónica

Analógica


BESSEL.



3 1 2.322 1.447 2.483

4 1.916 2.067 1.241 2.654

5 1 3.647 1.775 2.874 1.091 2.711

6 1.959 2.872 1.636 2.867 0.977 3.722

7 1 4.972 1.878 3.562 1.513 5.004 0.888 4.709

8 1.976 3.701 1.787 4.389 1.407 0.637 0.816 5.680

FILTROS VCVS

Orden BUTTERWORTH BESSEL

CHEBYSHEV

(-0.5DB)

CHEBYSHEV

(-2DB)

K fin K fin K fin K

2 1.586 1.274 1.286 1.231 1.842 0.907 2.114

4 1.152 1.432 1.084 0.597 1.582 0.471 1.924

2.235 1.606 1.759 1.031 2.660 0.964 2.782

6 1.068 1.607 1.040 0.396 1.537 0.316 1.891

1.586 1.692 1.364 0.768 2.448 0.730 2.648

2.483 1.908 2.023 1.011 2.846 0.983 2.904

8 1.038 1.981 1.024 0.297 1.522 0.238 1.879

1.337 1.835 1.213 0.599 2.379 0.572 2.605

1.889 1.956 1.593 0.861 2.711 0.842 2.821

2.610 2.192 2.184 1.006 2.913 0.990 2.946

Nota: En todos los filtros de orden impar, la primera etapa es un filtro de primer orden,

todos los demás son filtros de segundo orden.

Para filtros pasa bajos: fc =f(-3db)xfc; Para filtros pasa altos: : fc =f(-3db)/fc

Cuarta_Unidad_ElkaII

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