cours 1 - Mécanique de l’ADN les protéines qui se lient à l’ADN exercent des forces et déforment l’hélice

TATA binding protein

ADN

comment l’ADN répond-il à une traction/torsion ? 1

Manipuler une molécule d’ADN

2

manipuler une molécule d’ADN

plusieurs techniques :

microfibre optique pinces optiques pinces magnétiques

(1)

3

pinces magnétiques

objectif

1 à 3 µm

aimants torsion

4

pinces magnétiques

images de calibration bille à force nulle

image à l’instant t

comparaison

mesure de la position de la bille : figures de diffraction

position xy position z

précision ≈ 1 nm 5

pinces magnétiques mesure de la force : par les fluctuations transverses

le système bille-ADN fluctue par rapport à la verticale

géométriquement :

d’où la force le long de x, :

ADN = ressort de raideur K = F /<z>

-F

<z>

δx

force aimants

tension ADN

6

€

δFF

=δx

< z >

€

δF =F

< z >δx

δF

pinces magnétiques mesure de la force : par les fluctuations transverses

7

Les fluctuations sont dues au mouvement thermique :

Théorème d’équipartition de l’énergie :

en remplaçant K = F /<z>, on obtient la force €

E =12K δx 2 =

12kBT

€

F =kBT z

δx 2

exemple : ADN 6 µm bille 1 µm

Résultat : réponse force-extension

comment modéliser la réponse élastique de l’ADN ?

« ressort » : F=kx

données exp.

ordre de grandeur de force : pN

Bustamante et al. Science 1994

8

L’ADN comme polymère

molécules d’ADN observées en microscopie"à force atomique (AFM) 1µm*1µm

9

modèle 1 : La chaîne librement jointe (FJC) -  suite de segments de longueur b - orientation aléatoire - tous même énergie

⇒ equivalent à une

marche aléatoire :

si on définit la distance bout-à-bout

10

€

R = r N −

r 0 = b ˆ n ii=1

N

∑

€

R2 = b2N Rtyp = b N

on obtient en parfaite analogie avec la marche aléatoire (<r2>=6Dt )

, valeur typique :

pour un polymère libre de longueur totale L = Nb

chaîne librement jointe (FJC) + force ext.

Rem : dans le modèle précédent, E = 0 ⇒ e-ßE = 1 " ⇒ distribution statistique uniforme

en présence d’une force ƒ, les configurations « allongées » "sont favorisées : ⇒ E → - ƒ z ⇒ distribution de Boltzmann : e+߃z

où z = ∑ b cos θi est l’allongement en direction de ƒ

réponse élastique à une force :

f z

θi

b

b cos(θ)

11

•  z = b ∑i (±1) : (analogie : paramagnétisme de spin, spins ±1)

•  p+ = e+߃b / Z, p- = e-߃b / Z, Z = e+߃b + e-߃b

•  < z > = N [ b p+ + (-b) p- ] = N b [ p+ - p- ] = N b tanh(ßfb)"

chaîne librement jointe (FJC) + force ext.

f z

b

12

calcul simple pour le cas 1D = notre TD

chaîne librement jointe (FJC) + force ext.

fonction de Langevin

•  à haute force (ƒ > 1/ßb) :

force divergente

€

zL

≈ 1− 1βbf

1/ßb = kBT/b = unité de force

constante el. K 13

cas 3D :

€

z =d ˆ n 1∫ d ˆ n 2… d ˆ n N z exp βfz( )∫∫

d ˆ n 1∫ d ˆ n 2… d ˆ n N exp βfz( )∫∫=… = Nb coth(βfb) − 1

βfb⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

zL

≈13βbf

€

f =3kBTNb2

z

•  à faible force (ƒ < 1/ßb) : linéaire :"

comportement élastique,

chaîne librement jointe (FJC) + force ext.

Comportement élastique : , constante el.

Travail à effectuer pour allonger de 0 à Z (basse force) :"

Interprétation : élasticité entropique

W = ∆F = ∆U-T∆S = -T∆S

L’énergie fournie sert à réduire l’entropie di système : "on passe du « macro-état » le plus probable (Rtyp) à un « macro-état » correspondant à un nombre de configurations moindre (R plus grand).

€

f ≈ k z

€

k =3kBTNb2

€

W = f (z)dz ≈ 12kZ 2

0

Z

∫

14

Choix des paramètres Prendre en compte la rigidité de la chaîne :

les monomères ne s’orientent pas librement :

corrélation entre les" orientations "

en particulier pour l’ADN, l’appariement entre bases et la charge "donnent une rigidité à une échelle >> de la paire de bases !

φij

i j

→  comment modéliser la rigidité de l’ADN ?

→  quelle longueur caractéristique pour chaque segment ? 15

Longueur de persistance

z

L

16

€

LP =BkBT

longueur "de persistance

Elasticité d’une tige élastique

€

B =π4Yr4 =

Y =

module de courbure

module de Young (élasticité)

•  :

l’orientation décorrèle sur des longueurs ~ LP "

•  et à cette échelle :/

€

R2 ≈ 2LPL

€

t (s) ⋅

t (s' ) ≈ exp − (s'−s) LP[ ]

3. Chaîne librement jointe corrigée

le modèle chaine librement jointe fonctionne bien (pour L grand),

si on prend des segments appropriés, de taille

b = 2LP = longueur de Khun

avec N = L/b = L/2LP

b

€

R2 ≈ 2LPL

€

R2 ≈ Nb2 = Lbcorde élastique L >> LP chaine librement jointe"

(marche aléatoire)

17

Comparaison avec les données

« ressort » : F=kx

données exp.

peut-on "faire mieux ?

Bustamante et al. Science 1994

LP ≈ 50 nm "(~150 bp) ajusté à faible force,"

moins bien plus loin d’où la valeur de

B~2 10-28 J m

fit - ADN :

18

le modèle du ver ou Worm Like Chain (WLC)

modèle continu (corde élastique) :

énergie de "courbure

énergie "d’étirement

z

L

€

€

EWLC =kBT A2

∂ t (s)∂s

2

ds −0

L

∫ f cosθ (s)0

L

∫ ds

formule d’interpolation de la solution exacte :

€

f =kBTA

14 1− z /L( )2

+zL−14

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

19

le modèle du ver ou Worm Like Chain (WLC)

modèle du �ver (WLC) et �interpolation

Bustamante et al. Science 1994

20

Simuler l’élasticité entropique

distribution des rayons typiques calculée pour une chaine"librement jointe avec 100 sphères. 21

Rappelons-nous le principe

ƒ=0 ƒ>0

E=0 E=-ƒz

E d

écro

issa

nt

S d

écro

issa

nt

S d

écro

issa

nt

22

Rappelons-nous le principe

plus de configurations (S>), "énergie (E=-ƒz) plus élevée

moins de configurations (S<), "énergie (E=-ƒz) plus basse

ƒ ƒ z z

A ƒ donnée un équilibre entre ces deux tendances s’établit

« poids » d’une configuration " d’énergie –ƒz = facteur de Boltzmann : e+߃z

23

Simulations Monte Carlo

€

< z > = Pii∑ zi

Pi =exp(−βUi)

Z=exp(βfzi)

Z

On cherche à calculer

où i = configurations et

Idée : générer des configurations zj avec les fréquences Pi :

la moyenne devient alors arithmétique,

€

< z > =1N

j

N

∑ z j

voir cours Pascal Viot !

Problème : retrouver le comportement moyen de la chaine "à l’équilibre : <z> à ƒ donnée.

24

Simulations Monte Carlo

Image :

calcul direct Monte Carlo

× exp(-ßU)

U U

comment générer ces configurations ? 25

Simulations Monte Carlo Algorithme de Metropolis :

i j1

j2

1.  A partir d’une configuration i on génère une nouvelle configuration j (en « déplaçant » le point : marche aléatoire)

On montre alors que la distribution obtenue est f exp(-ßU)

exp[-ß( Uj – Ui )] .1 exp[-ß( Uj – Ui )] >1

26

2.  la nouvelle configuration est acceptée avec une probabilité ∏i→j = min { exp[-ß( Uj – Ui )], 1}

Application aux polymères Difficulté en 3D : générer une nouvelle configuration sans"

« casser » la chaîne

2 méthodes :" rotation d’un segment rotation autour de deux nœuds

En 3D, il faut définir et utiliser des matrices de rotation

Notre exercice sera 1D : des +b et des –b …. 27

Le TD numérique

+b +b +b –b +b –b +b +b –b +b –b configuration initiale, z0 = ∑(±b)" énergie = -ƒz0

+b +b +b +b –b –b +b +b +b +b –b nouvelle configuration, zN = ∑(±b)" énergie = -ƒzN"

la nouvelle configuration est acceptée avec ∏i→j = min { exp[-ß( Uj – Ui )], 1} :

Rem : 0 < ∏i→j < 1 ;" - on tire un nombre aléatoire test (un nouveau test à chaque fois !)" - on compare test à ∏i→j : si test ≤ ∏i→j on accepte," si test > ∏i→j on recommence avec une " nouvelle config, " jusqu’à accepter (boucle while)

0 ∏ 1

∏ 1-∏

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

28

Le TD numérique Pour chaque valeur de la force :

transitoire pour équilibrer puis calcul de <z>

f1

f1,z1

f2,z2

f2

f3

f3,z3

z3

z2

z1

29

…

30

x = sign(2*rand(1,N)-1);

…

selec = ceil(rand(10,1)*(N-2))+1; (ou round, floor, int)

X(selec) = -X(selec);

ici selec est une série de 10 entiers entre 1 et N

X(selec) prend les valeurs de X aux positions correspondantes,

= -X(selec) les remplace avec leurs valeur changée de signe

…