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Optimisation en nombre entiers Daniel Porumbel Contributions aux slides: Cédric Bentz Lê Nguyên Hoang 1/47
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Optimisation en nombre entiers
Daniel Porumbel
Contributions aux slides:Cédric Bentz
Lê Nguyên Hoang
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1 Difficulté des problèmes discrets et explosion combinatoire
2 La relaxation linéaire et les bornes associées
3 Exemples de Modélisations Avancées
4 Méthodes de Résolution en Nombre Entiers
Plan
1 Difficulté des problèmes discrets et explosion combinatoire
2 La relaxation linéaire et les bornes associéesUn aperçu des méthodes de résolutionRésolution à l’aide du solveur GLPK
3 Exemples de Modélisations AvancéesProblèmes d’affectation et de localisation en GLPKLinéarisations de problèmes non-linéaires
4 Méthodes de Résolution en Nombre EntiersSéparation et évaluation (branch-and-bound)Plans Coupants et Coupes Gomory
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Soit un sac-à-dos et uneliste d’articlesde poids et va-leurs variées
10€ 12 kg
2€ 2 kg
1€ 7 kg
2€ 1 kg
10€ 4 kg
15 kg
Problème du sac-à-dosQuels articles choisir pour maximiser le profit ?
Problème de la partition équitablePeut-on diviser les articles en deux sous-ensembles demême poids total ?
Soit un sac-à-dos et uneliste d’articlesde poids et va-leurs variées
10€ 12 kg
2€ 2 kg
1€ 7 kg
2€ 1 kg
10€ 4 kg
15 kg
Problème du sac-à-dosQuels articles choisir pour maximiser le profit ?
Problème de la partition équitablePeut-on diviser les articles en deux sous-ensembles demême poids total ?
Soit un sac-à-dos et uneliste d’articlesde poids et va-leurs variées
10€ 12 kg
2€ 2 kg
1€ 7 kg
2€ 1 kg
10€ 4 kg
15 kg
Problème du sac-à-dosQuels articles choisir pour maximiser le profit ?
Problème de la partition équitablePeut-on diviser les articles en deux sous-ensembles demême poids total ?
Un problème non-binaire : les huit dames
Comment placer n dames sur un échiquier de n × n cases sansque les dames ne puissent s’attaquer mutuellement ?
Une solution pour n = 8 −→Résolution naïve : vérifier nn
solutions candidates ! ! !Même n = 4 demande256 solutions
Explosion combinatoirenombre exponentiel de solutions(scénarios) envisageable.
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Un problème non-binaire : les huit dames
Comment placer n dames sur un échiquier de n × n cases sansque les dames ne puissent s’attaquer mutuellement ?
Une solution pour n = 8 −→Résolution naïve : vérifier nn
solutions candidates ! ! !Même n = 4 demande256 solutions
Explosion combinatoirenombre exponentiel de solutions(scénarios) envisageable.
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Un problème non-binaire : les huit dames
Comment placer n dames sur un échiquier de n × n cases sansque les dames ne puissent s’attaquer mutuellement ?
Une solution pour n = 8 −→Résolution naïve : vérifier nn
solutions candidates ! ! !Même n = 4 demande256 solutions
Explosion combinatoirenombre exponentiel de solutions(scénarios) envisageable.
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Décision Optimale de Sauts
On considère le début d’un jeu Monopoly :
On avance vers la gauche à l’aide des opérations suivantes :saut de 2 positionssaut de 3 positionssortir avec l’argent récupéré jusqu’au moment actuel
Comment calculer le profit maximal ?
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Comment dérober le maximum ?• Un malfaiteur arrive à s’introduire dans une banque
Il peut volerdes barres d’or etdes liasses de billets
Problème : 2 limitationsde son sac-à-dos• charge max : 20kg• volume max : 32 litres
une barre d’or : 300000$, 8kg, 6litresun paquet de billets : 100000$, 3kg, 6litres
Et si le prix de la barre d’or baissait à 200000$ ?
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Comment dérober le maximum ?• Un malfaiteur arrive à s’introduire dans une banque
Il peut volerdes barres d’or etdes liasses de billets
Problème : 2 limitationsde son sac-à-dos• charge max : 20kg• volume max : 32 litres
une barre d’or : 300000$, 8kg, 6litresun paquet de billets : 100000$, 3kg, 6litres
Et si le prix de la barre d’or baissait à 200000$ ?
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Comment dérober le maximum ?• Un malfaiteur arrive à s’introduire dans une banque
Il peut volerdes barres d’or etdes liasses de billets
Problème : 2 limitationsde son sac-à-dos• charge max : 20kg• volume max : 32 litres
une barre d’or : 300000$, 8kg, 6litresun paquet de billets : 100000$, 3kg, 6litres
Et si le prix de la barre d’or baissait à 200000$ ?
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Comment dérober le maximum ?• Un malfaiteur arrive à s’introduire dans une banque
Il peut volerdes barres d’or etdes liasses de billets
Problème : 2 limitationsde son sac-à-dos• charge max : 20kg• volume max : 32 litres
une barre d’or : 300000$, 8kg, 6litresun paquet de billets : 100000$, 3kg, 6litres
Et si le prix de la barre d’or baissait à 200000$ ?
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Un programme linéaire un nombre entiers
variable x1 nombre de barres d’or (300000$, 8kg, 6l)variable x2 nombre de paquets de billets (100000$, 3kg, 6litres)
max 3x1 + x2 ← maximiser le profit8x1 + 3x2 ≤ 206x1 + 6x2 ≤ 32
}← Contraintes de poids et volume
x1, x2 ∈ Z+ ← Contraintes d’intégrité
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Classes de Méthodes de Résolution
Héuristiques et Méta-heuristiquesHeuristique classique : remplir le sac avec le maximum d’or etcompléter avec des billets
Optimale si le prix de l’or est 300000$ mais pas toujours
Méta-heuristique : Une heuristique qui s’applique à une largefamilles de problèmes, ex, recherche locale
Méthodes exactes1 Énumération complète→ explosion combinatoire2 Relaxation linéaire
On imagine qu’on pouvait fondre l’or→ une borne supérieurede l’optimum entier (un profit exagéré)Bonne modélisation =⇒ optimum continu=optimum entier
3 Combiner 1 et 2 → branch and bound (séparation et évalua-tion) 9/47
Classes de Méthodes de Résolution
Héuristiques et Méta-heuristiquesHeuristique classique : remplir le sac avec le maximum d’or etcompléter avec des billets
Optimale si le prix de l’or est 300000$ mais pas toujours
Méta-heuristique : Une heuristique qui s’applique à une largefamilles de problèmes, ex, recherche locale
Méthodes exactes1 Énumération complète→ explosion combinatoire2 Relaxation linéaire
On imagine qu’on pouvait fondre l’or→ une borne supérieurede l’optimum entier (un profit exagéré)Bonne modélisation =⇒ optimum continu=optimum entier
3 Combiner 1 et 2 → branch and bound (séparation et évalua-tion) 9/47
Classes de Méthodes de Résolution
Héuristiques et Méta-heuristiquesHeuristique classique : remplir le sac avec le maximum d’or etcompléter avec des billets
Optimale si le prix de l’or est 300000$ mais pas toujours
Méta-heuristique : Une heuristique qui s’applique à une largefamilles de problèmes, ex, recherche locale
Méthodes exactes1 Énumération complète→ explosion combinatoire2 Relaxation linéaire
On imagine qu’on pouvait fondre l’or→ une borne supérieurede l’optimum entier (un profit exagéré)Bonne modélisation =⇒ optimum continu=optimum entier
3 Combiner 1 et 2 → branch and bound (séparation et évalua-tion) 9/47
Classes de Méthodes de Résolution
Héuristiques et Méta-heuristiquesHeuristique classique : remplir le sac avec le maximum d’or etcompléter avec des billets
Optimale si le prix de l’or est 300000$ mais pas toujours
Méta-heuristique : Une heuristique qui s’applique à une largefamilles de problèmes, ex, recherche locale
Méthodes exactes1 Énumération complète→ explosion combinatoire2 Relaxation linéaire
On imagine qu’on pouvait fondre l’or→ une borne supérieurede l’optimum entier (un profit exagéré)Bonne modélisation =⇒ optimum continu=optimum entier
3 Combiner 1 et 2 → branch and bound (séparation et évalua-tion) 9/47
Plan
1 Difficulté des problèmes discrets et explosion combinatoire
2 La relaxation linéaire et les bornes associéesUn aperçu des méthodes de résolutionRésolution à l’aide du solveur GLPK
3 Exemples de Modélisations AvancéesProblèmes d’affectation et de localisation en GLPKLinéarisations de problèmes non-linéaires
4 Méthodes de Résolution en Nombre EntiersSéparation et évaluation (branch-and-bound)Plans Coupants et Coupes Gomory
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Plan
1 Difficulté des problèmes discrets et explosion combinatoire
2 La relaxation linéaire et les bornes associéesUn aperçu des méthodes de résolutionRésolution à l’aide du solveur GLPK
3 Exemples de Modélisations AvancéesProblèmes d’affectation et de localisation en GLPKLinéarisations de problèmes non-linéaires
4 Méthodes de Résolution en Nombre EntiersSéparation et évaluation (branch-and-bound)Plans Coupants et Coupes Gomory
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Relaxation linéaire : Intuition
Rappels caractéristiquesor 300000$, 8kg, 6litresbillets 100000$, 3kg, 6litresmax poids 20, volume 32
Solution heuristique : l’or d’abord2 lingots + 1 liasseProfit= 2× 3 + 1× 1 = 7
Peut-il espérer un profit beaucoup plus important que 7 ?Si on pouvait fondre l’or, la solution optimale serait de prendrele maximum d’or : 2.5 lingots !
=⇒ Valeur optimale relaxée : 7.5=⇒ Le profit de 7 est optimal en nombre entiers !
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Relaxation linéaire : Intuition
Rappels caractéristiquesor 300000$, 8kg, 6litresbillets 100000$, 3kg, 6litresmax poids 20, volume 32
Solution heuristique : l’or d’abord2 lingots + 1 liasseProfit= 2× 3 + 1× 1 = 7
Peut-il espérer un profit beaucoup plus important que 7 ?Si on pouvait fondre l’or, la solution optimale serait de prendrele maximum d’or : 2.5 lingots !
=⇒ Valeur optimale relaxée : 7.5=⇒ Le profit de 7 est optimal en nombre entiers !
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Relaxation linéaire : Intuition
Rappels caractéristiquesor 300000$, 8kg, 6litresbillets 100000$, 3kg, 6litresmax poids 20, volume 32
Solution heuristique : l’or d’abord2 lingots + 1 liasseProfit= 2× 3 + 1× 1 = 7
Peut-il espérer un profit beaucoup plus important que 7 ?Si on pouvait fondre l’or, la solution optimale serait de prendrele maximum d’or : 2.5 lingots !
=⇒ Valeur optimale relaxée : 7.5=⇒ Le profit de 7 est optimal en nombre entiers !
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Relaxation linéaire : modèle mathématique
max 3x1 + x2 ← prix : or=300000$ billets :100000$8x1 + 3x2 ≤ 20 ← Limite de poids6x1 + 6x2 ≤ 32 ← Limite de volume
x1, x2 ∈ Z+ ← Contraintes d’intégrité
Ce type de programmes est difficile en nombre entiers àcause de l’explositon combinatoire !Mais il serait facile si les variables n’étaient pas entières.
max 3x1 + x2
8x1 + 3x2 ≤ 206x1 + 6x2 ≤ 32
x1, x2 ∈ R+ ← Pas d’intégrité =⇒ Facile !
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Relaxation linéaire : représentation 2D
max 3x1 + x2
8x1 + 3x2 ≤ 206x1 + 6x2 ≤ 32
x1, x2 ∈ Z+
Le point rouge est lasolution optimale duprogramme continu(x1, x2 ∈ R+).
Tracer le graphique 2D des solutions
1 Tracer des courbes de niveau de lafonction objectif
2 Si on changeait8x1 + 3x2 ≤ 20→ 8x2 + 3x2 ≤ 22?
De l’optimum fractionnaire vers une solution entièreTrouver l’optimum fractionnaire (continu) et prendre le point en-tier le plus proche =⇒ (x1, x2) = (2,0), pas optimal en nb ent.
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Relaxation linéaire : représentation 2D
max 3x1 + x2
8x1 + 3x2 ≤ 226x1 + 6x2 ≤ 32
x1, x2 ∈ Z+
Le point rouge est lasolution optimale duprogramme continu(x1, x2 ∈ R+).
De l’optimum fractionnaire vers une solution entièreTrouver l’optimum fractionnaire (continu) et prendre le point en-tier le plus proche =⇒ (x1, x2) = (2,0), pas optimal en nb ent.
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Relaxation linéaire : représentation 2D
max 3x1 + x2
8x1 + 3x2 ≤ 226x1 + 6x2 ≤ 32
x1, x2 ∈ Z+
Le point rouge est lasolution optimale duprogramme continu(x1, x2 ∈ R+).
De l’optimum fractionnaire vers une solution entièreTrouver l’optimum fractionnaire (continu) et prendre le point en-tier le plus proche =⇒ (x1, x2) = (2,0), pas optimal en nb ent.
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Meilleure modélisation à base de coupesQuel est l’avantage d’une zone réalisable comme ci-dessous ?
Peut-on ajouter une contrainte intelligente (coupe) pour séparer(x1, x2) = (2,3)? On veut obtenir l’
�� ��enveloppe convexe descroix.
Astuce : a · x1 + b · x2 = const en (2,1) et (1,4)Oui : 3x1 + x2 ≤ 7
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Meilleure modélisation à base de coupesQuel est l’avantage d’une zone réalisable comme ci-dessous ?
max . . .x1 ≤ 2
x1 + x2 ≤ 5
x1, x2 ∈ R+
Peut-on ajouter une contrainte intelligente (coupe) pour séparer(x1, x2) = (2,3)? On veut obtenir l’
�� ��enveloppe convexe descroix.
Astuce : a · x1 + b · x2 = const en (2,1) et (1,4)Oui : 3x1 + x2 ≤ 7
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Meilleure modélisation à base de coupesQuel est l’avantage d’une zone réalisable comme ci-dessous ?
max . . .x1 ≤ 2
x1 + x2 ≤ 53x1 + x2 ≤ 7x1, x2 ∈ R+
Peut-on ajouter une contrainte intelligente (coupe) pour séparer(x1, x2) = (2,3)? On veut obtenir l’
�� ��enveloppe convexe descroix.
Astuce : a · x1 + b · x2 = const en (2,1) et (1,4)Oui : 3x1 + x2 ≤ 7
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Après avoir ajouté une première coupe, l’optimum fractionnairen’est pas forcement entier. =⇒ On peut itérer le processus :
Exemple d’exécution de la méthode des Plans Coupants :�
�
�
�1. L’optimum dela relaxation li-néaire est non-entier.
→�
�
�
�2. Après unecoupe, l’op-timum restenon-entier.
→��
��
3. Après la 2èmecoupe, l’optimumest bien entier ! !
max 2x1 + x2
8x1 + 3x2 ≤ 226x1 + 6x2 ≤ 32
x1, x2 ∈ Z+
ExempleBranch & Bound
(séparation&évaluation)
Autre exemple Branch and Bound
max 3x1 + x2
8x1 + 4x2 ≤ 226x1 + 6x2 ≤ 32
x1, x2 ∈ Z+
À partir de la solution optimale fractionnaire (x1, x2) =(228 ,0) de
profit 3228 = 8.25 , on considère deux cas :
x1 = 2 optimum fractionnaire : (x1, x2) = (2, 64) de valeur 6+
1.5 = 7.5x2 = 1 Valeur : 7x1 = 0 Valeur : 6
x1 ≤ 1 optimum factionnaire : (x1, x2) = (1, 144 ) de valeur
3 + 3.5 = 6.5 =⇒ on coupe toute la branche !
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Autre exemple Branch and Bound
max 3x1 + x2
8x1 + 4x2 ≤ 226x1 + 6x2 ≤ 32
x1, x2 ∈ Z+
À partir de la solution optimale fractionnaire (x1, x2) =(228 ,0) de
profit 3228 = 8.25 , on considère deux cas :
x1 = 2 optimum fractionnaire : (x1, x2) = (2, 64) de valeur 6+
1.5 = 7.5x2 = 1 Valeur : 7x1 = 0 Valeur : 6
x1 ≤ 1 optimum factionnaire : (x1, x2) = (1, 144 ) de valeur
3 + 3.5 = 6.5 =⇒ on coupe toute la branche !
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Autre exemple Branch and Bound
max 3x1 + x2
8x1 + 4x2 ≤ 226x1 + 6x2 ≤ 32
x1, x2 ∈ Z+
À partir de la solution optimale fractionnaire (x1, x2) =(228 ,0) de
profit 3228 = 8.25 , on considère deux cas :
x1 = 2 optimum fractionnaire : (x1, x2) = (2, 64) de valeur 6+
1.5 = 7.5x2 = 1 Valeur : 7x1 = 0 Valeur : 6
x1 ≤ 1 optimum factionnaire : (x1, x2) = (1, 144 ) de valeur
3 + 3.5 = 6.5 =⇒ on coupe toute la branche !
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Autre exemple Branch and Bound
max 3x1 + x2
8x1 + 4x2 ≤ 226x1 + 6x2 ≤ 32
x1, x2 ∈ Z+
À partir de la solution optimale fractionnaire (x1, x2) =(228 ,0) de
profit 3228 = 8.25 , on considère deux cas :
x1 = 2 optimum fractionnaire : (x1, x2) = (2, 64) de valeur 6+
1.5 = 7.5x2 = 1 Valeur : 7x1 = 0 Valeur : 6
x1 ≤ 1 optimum factionnaire : (x1, x2) = (1, 144 ) de valeur
3 + 3.5 = 6.5 =⇒ on coupe toute la branche !
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Plan
1 Difficulté des problèmes discrets et explosion combinatoire
2 La relaxation linéaire et les bornes associéesUn aperçu des méthodes de résolutionRésolution à l’aide du solveur GLPK
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Un simple exemple de fichier mod
fichier test.mod :� �var x1>=0 ;var x2>=0 ;maximize ob j :3∗ x1+x2 ;sub jec t to c1 : 8∗x1+4∗x2<=22 ;sub jec t to c2 : 6∗x1+4∗x2<=32 ;solve ;d i sp lay x1 , x2 ;end ;� �La commande glpsol -m test.mod optimise le modèle.Pour passer en nombre entières, on déclare :var x1>=0,integer;
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Un simple exemple de fichier mod
fichier test.mod :� �var x1>=0 ;var x2>=0 ;maximize ob j :3∗ x1+x2 ;sub jec t to c1 : 8∗x1+4∗x2<=22 ;sub jec t to c2 : 6∗x1+4∗x2<=32 ;solve ;d i sp lay x1 , x2 ;end ;� �La commande glpsol -m test.mod optimise le modèle.Pour passer en nombre entières, on déclare :var x1>=0,integer;
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2 La relaxation linéaire et les bornes associéesUn aperçu des méthodes de résolutionRésolution à l’aide du solveur GLPK
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Vers l’optimisation à grande échelle
Le problème du cambrioleur : 2 variablesMais : souvent besoin d’un tableau de n ou n2 variablesEx : Soit n articles et un tableau de prix, ex a = [1,10,11,3]
pas le droit de prendre deux articles consecutifs ;quels articles choisir pour maximiser le prix ?� �
1 param n , >0 , i n t e g e r ;2 param a { 1 . . n } , i n t e g e r ;3 var x { 1 . . n } , >=0 , b inary ;4 s . t . c_consec { i i n 1 . . n−1} : x [ i ]+ x [ i +1]<=1 ;5 maximize ob j : sum{ i i n 1 . . n } a [ i ]∗ x [ i ] ;6 solve ;7 f o r { i i n 1 . . n } { p r i n t f "%d " , x [ i ] ; }8 data ;9 param n :=4 ;
10 param a := 1 2011 2 312 3 513 4 4 ;14 end ;� �
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Vers l’optimisation à grande échelle
Le problème du cambrioleur : 2 variablesMais : souvent besoin d’un tableau de n ou n2 variablesEx : Soit n articles et un tableau de prix, ex a = [1,10,11,3]
pas le droit de prendre deux articles consecutifs ;quels articles choisir pour maximiser le prix ?� �
1 param n , >0 , i n t e g e r ;2 param a { 1 . . n } , i n t e g e r ;3 var x { 1 . . n } , >=0 , b inary ;4 s . t . c_consec { i i n 1 . . n−1} : x [ i ]+ x [ i +1]<=1 ;5 maximize ob j : sum{ i i n 1 . . n } a [ i ]∗ x [ i ] ;6 solve ;7 f o r { i i n 1 . . n } { p r i n t f "%d " , x [ i ] ; }8 data ;9 param n :=4 ;
10 param a := 1 2011 2 312 3 513 4 4 ;14 end ;� �
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Vers l’optimisation à grande échelle
D’autres problèmes de localisation ou de tournées de véhiculessont modélisés sur des graphes, cartes routières, etc.
d(Paris,Lille) = 4, d(Paris,Toulouse) = 7, . . .
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Vers l’optimisation à grande échelle
D’autres problèmes de localisation ou de tournées de véhiculessont modélisés sur des graphes, cartes routières, etc.
d(Paris,Lille) = 4, d(Paris,Toulouse) = 7, . . .
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Vers l’optimisation à grande échelle
D’autres problèmes de localisation ou de tournées de véhiculessont modélisés sur des graphes, cartes routières, etc.
Rappels graphe pondéré G(V ,E ,d)V ensemble de sommetsE un ensemble d’arêtes {u, v}
d(u, v) fonction de distance de u à v
V = {Paris, Lille, Cannes, . . .}E =
{{Paris,Lille}, {Paris,Toulouse}{Paris,Cannes}, . . . . . .
}d(Paris,Lille) = 4, d(Paris,Toulouse) = 7, . . .
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Vers l’optimisation à grande échelle
D’autres problèmes de localisation ou de tournées de véhiculessont modélisés sur des graphes, cartes routières, etc.
1 2 3 4 5 61 0 7 6 5 2 42 73 64 55 26 4Paris (1), Cannes (2),
Toulouse (3), Nantes (4),
Bethune (5), Lille (6)d(Paris,Lille) = 4, d(Paris,Toulouse) = 7, . . .
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Plan
1 Difficulté des problèmes discrets et explosion combinatoire
2 La relaxation linéaire et les bornes associéesUn aperçu des méthodes de résolutionRésolution à l’aide du solveur GLPK
3 Exemples de Modélisations AvancéesProblèmes d’affectation et de localisation en GLPKLinéarisations de problèmes non-linéaires
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Le problème du stable maximalSoit un graphe G(V ,E) :
S =stable de G : ∀u, v ∈ S =⇒ u et v pas reliées ({u, v} /∈ E)Objectif : trouver le stable de taille maximale
max∑
v∈V xv
xu + xv ≤ 1 ∀{u, v} ∈ Exv ∈ {0,1} ∀v ∈ V
Pour quoi étudier un tel problème ?
Il généralise de nombreux problèmes, ex : les huit damesApplications
ouvrir le maximum de magasins en France sous la contrainte :ne pas ouvrir 2 magasins à une distance <100 km
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Le problème du stable maximalSoit un graphe G(V ,E) :
S =stable de G : ∀u, v ∈ S =⇒ u et v pas reliées ({u, v} /∈ E)Objectif : trouver le stable de taille maximale
max∑
v∈V xv
xu + xv ≤ 1 ∀{u, v} ∈ Exv ∈ {0,1} ∀v ∈ V
Pour quoi étudier un tel problème ?
Il généralise de nombreux problèmes, ex : les huit damesApplications
ouvrir le maximum de magasins en France sous la contrainte :ne pas ouvrir 2 magasins à une distance <100 km
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Le problème du stable maximalSoit un graphe G(V ,E) :
S =stable de G : ∀u, v ∈ S =⇒ u et v pas reliées ({u, v} /∈ E)Objectif : trouver le stable de taille maximale
max∑
v∈V xv
xu + xv ≤ 1 ∀{u, v} ∈ Exv ∈ {0,1} ∀v ∈ V
Pour quoi étudier un tel problème ?
Il généralise de nombreux problèmes, ex : les huit damesApplications
ouvrir le maximum de magasins en France sous la contrainte :ne pas ouvrir 2 magasins à une distance <100 km
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Le problème du stable maximalSoit un graphe G(V ,E) :
S =stable de G : ∀u, v ∈ S =⇒ u et v pas reliées ({u, v} /∈ E)Objectif : trouver le stable de taille maximale
max∑
v∈V xv
xu + xv ≤ 1 ∀{u, v} ∈ Exv ∈ {0,1} ∀v ∈ V
Pour quoi étudier un tel problème ?
Il généralise de nombreux problèmes, ex : les huit damesApplications
ouvrir le maximum de magasins en France sous la contrainte :ne pas ouvrir 2 magasins à une distance <100 km
26/47
Le problème du stable maximalSoit un graphe G(V ,E) :
S =stable de G : ∀u, v ∈ S =⇒ u et v pas reliées ({u, v} /∈ E)Objectif : trouver le stable de taille maximale
max∑
v∈V xv
xu + xv ≤ 1 ∀{u, v} ∈ Exv ∈ {0,1} ∀v ∈ V
Pour quoi étudier un tel problème ?
Il généralise de nombreux problèmes, ex : les huit damesApplications
ouvrir le maximum de magasins en France sous la contrainte :ne pas ouvrir 2 magasins à une distance <100 km
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Problème du stable en GLPKIl faut préciser plusieurs blocs :� �param n ;param mat { 1 . . n , 1 . . n } , i n t e g e r ;
var x { 1 . . n } , >=0 , i n t e g e r ;
sub jec t to nomConstr { i i n 1 . . n ,j i n 1 . . n : mat [ i , j ]==1 } : x [ i ] + x [ j ] <=1 ;
maximize ob j : sum{ i i n 1 . . n } x [ i ] ;
solve ;
p r i n t f "sum=%d " , (sum{ i i n 1 . . n } x [ i ] ) ;data ; −>ces 3 l i g n e s. . . . . −>dans un aut reend −> f i c h i e r� �27/47
Le bloc à la fin
param n:=4;param a:1 2 3 4:=
1 0 1 1 12 1 0 0 13 1 0 0 14 1 1 1 1;
end;
Ce bloc est optionnel et il peut apparaître dans un fichier séparé(voir l’option −d de glpsol)Comparons le temps de calcul en nombre réels est entiers
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Le bloc à la fin
param n:=4;param a:1 2 3 4:=
1 0 1 1 12 1 0 0 13 1 0 0 14 1 1 1 1;
end;
Ce bloc est optionnel et il peut apparaître dans un fichier séparé(voir l’option −d de glpsol)Comparons le temps de calcul en nombre réels est entiers
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Le code final� �param n , >0 , i n t e g e r ;param a { 1 . . n , 1 . . n } , i n t e g e r ;var x { 1 . . n } , >=0 , b inary ;s . t . c { i i n 1 . . n , j i n i + 1 . . n : a [ i , j ]==1 } :
x [ i ] + x [ j ] <=1 ;maximize ob j : sum{ i i n 1 . . n } x [ i ] ;solve ;p r i n t f "sum=%d " , (sum{ i i n 1 . . n } x [ i ] ) ;data ;param n :=4 ;param a :1 2 3 4:=
1 0 1 1 12 1 0 0 13 1 0 0 14 1 1 1 0 ;
end ;� �29/47
Problème d'affectation linéaire
Contexte : dans une entreprise, n tâches doivent être affectées à n agents de façon à minimiser le temps total (= somme des temps) mis pour effectuer toutes les tâches, sachant que le temps mis par un agent pour effectuer une tâche dépend de la tâche ET de l'agent
Formalisation : chaque paire (tâche, agent) est munie d'une valeur (temps en minutes), et 1 tâche = 1 agent
Modèle PLNE ?
− Une variable 0-1 par paire (tâche, agent)
Tâche 1 Tâche 2 Tâche 3
10 min 15 min 40 min1
2
3
5 min 20 min 1 heure
10 min 3 heures 3 heures
Agents10
Problème d’affectation linéaire
Données et paramètres• Taches T = {1,2, . . .n}• Machines A = {1,2, . . .n}• cta = cout d’affectation de la tache t à la machine a
Variables de décisionxta = 1 si la tache t affectée à la machine a, 0 sinon
=⇒min
∑ta ctaxta∑n
t=1 xta = 1 ∀a ∈ {1,2, . . .n}∑na=1 xta = 1 ∀t ∈ {1,2, . . .n}
xat ∈ {0,1}
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Problème d’affectation linéaire : GLPKOn modifie le .mod précédent. La contrainte devient :
s.t. contr_pour_chaque_ligne{ligne in 1..n}:sum{col in 1..n} x[ligne,col]=1;
s.t. contr_pour_chaque_col{col in 1..n}:sum{ligne in 1..n} x[ligne,col]=1;
Pour afficher une matrice, on utilise :
for {i in 1..n}{
for {j in 1..n}{
printf "%d ", (x[i,j]);}printf "\n";
}
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Problème du ... ?...
max c>x =∑n
i=1 cixi∑nt=1 aixi ≤ bxi ∈ {0,1}
Données et paramètres• n articles {1,2, . . .n}, n poids a1,a2, . . .an, n valeurs (prix)c1, c2, . . . cn, ainsi qu’un une capacité b• on veux maximiser le cout des articles choisis
Variables de décisionxi = 1 si l’article i est sélectionnée, 0 sinon
Exemple : a = [4,3,2,1], c = [44,30,20,15] et b = 6Comment comparer ce modèle avec sa relaxation linéaire ?
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Problème du sac à dos
max c>x =∑n
i=1 cixi∑nt=1 aixi ≤ bxi ∈ {0,1}
Données et paramètres• n articles {1,2, . . .n}, n poids a1,a2, . . .an, n valeurs (prix)c1, c2, . . . cn, ainsi qu’un une capacité b• on veux maximiser le cout des articles choisis
Variables de décisionxi = 1 si l’article i est sélectionnée, 0 sinon
Exemple : a = [4,3,2,1], c = [44,30,20,15] et b = 6Comment comparer ce modèle avec sa relaxation linéaire ?
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Problème du sac à dos
max c>x =∑n
i=1 cixi∑nt=1 aixi ≤ bxi ∈ {0,1}
Données et paramètres• n articles {1,2, . . .n}, n poids a1,a2, . . .an, n valeurs (prix)c1, c2, . . . cn, ainsi qu’un une capacité b• on veux maximiser le cout des articles choisis
Variables de décisionxi = 1 si l’article i est sélectionnée, 0 sinon
Exemple : a = [4,3,2,1], c = [44,30,20,15] et b = 6Comment comparer ce modèle avec sa relaxation linéaire ?
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Problème de la couverture minimum par les sommets
Contexte : on veut placer le moins possible de caméras de surveillance à des carrefours de façon à surveiller toutes les rues d'un quartier
Formalisation : on représente le quartier par un graphe, dont les sommets sont les carrefours et les arêtes les rues entre ces carrefours (on cherche alors un ensemble de sommets de taille minimum qui « couvre » toutes les arêtes du graphe)
Modèle PLNE ?
− Une variable 0-1 par sommet du graphe
11
Modélisation problème de couverture
Données et paramètresGraphe G(V ,E) : sommets V = {1,2, . . .}, arrêtes E à surveiller
Variables de décisionxi = 1 si on place une caméra au sommet i , 0 sinon
=⇒min
∑i xi
xi + xj ≥ 1 ∀i , j ∈ Exi ∈ {0,1}
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Problème de localisation (de caméras)Si on voulait placer k caméras pour maximiser le nombre desommets “surveillés” ?On ajoute une variable yi qui indique si le sommet i est surveillépar une caméra ou pas.
max∑
i yi
on ajoute les contraintes sur vecteurs x et y∑ni=1 xi =k
yi ≤ xi +∑{i,j}∈E xj ∀i ∈ {1,2, . . .n}
yi ≤ 1 ∀i ∈ {1,2, . . .n}yi , xi ∈ {0,1}
code GLPK pour la contrainte en x et y :
s.t. c{i in 1..n}:sum {j in 1..n: a[i,j]==1}x[j] >=y[i];
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Problème de localisation (de caméras)Si on voulait placer k caméras pour maximiser le nombre desommets “surveillés” ?On ajoute une variable yi qui indique si le sommet i est surveillépar une caméra ou pas.
max∑
i yi
on ajoute les contraintes sur vecteurs x et y∑ni=1 xi =k
yi ≤ xi +∑{i,j}∈E xj ∀i ∈ {1,2, . . .n}
yi ≤ 1 ∀i ∈ {1,2, . . .n}yi , xi ∈ {0,1}
code GLPK pour la contrainte en x et y :
s.t. c{i in 1..n}:sum {j in 1..n: a[i,j]==1}x[j] >=y[i];
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Problème de localisation (de caméras)Si on voulait placer k caméras pour maximiser le nombre desommets “surveillés” ?On ajoute une variable yi qui indique si le sommet i est surveillépar une caméra ou pas.
max∑
i yi
on ajoute les contraintes sur vecteurs x et y∑ni=1 xi =k
yi ≤ xi +∑{i,j}∈E xj ∀i ∈ {1,2, . . .n}
yi ≤ 1 ∀i ∈ {1,2, . . .n}yi , xi ∈ {0,1}
code GLPK pour la contrainte en x et y :
s.t. c{i in 1..n}:sum {j in 1..n: a[i,j]==1}x[j] >=y[i];
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Problème de localisation (de caméras)Si on voulait placer k caméras pour maximiser le nombre desommets “surveillés” ?On ajoute une variable yi qui indique si le sommet i est surveillépar une caméra ou pas.
max∑
i yi
on ajoute les contraintes sur vecteurs x et y∑ni=1 xi =k
yi ≤ xi +∑{i,j}∈E xj ∀i ∈ {1,2, . . .n}
yi ≤ 1 ∀i ∈ {1,2, . . .n}yi , xi ∈ {0,1}
code GLPK pour la contrainte en x et y :
s.t. c{i in 1..n}:sum {j in 1..n: a[i,j]==1}x[j] >=y[i];
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Plan
1 Difficulté des problèmes discrets et explosion combinatoire
2 La relaxation linéaire et les bornes associéesUn aperçu des méthodes de résolutionRésolution à l’aide du solveur GLPK
3 Exemples de Modélisations AvancéesProblèmes d’affectation et de localisation en GLPKLinéarisations de problèmes non-linéaires
4 Méthodes de Résolution en Nombre EntiersSéparation et évaluation (branch-and-bound)Plans Coupants et Coupes Gomory
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Le problème de la bi-partition équitable
On doit trouver deux sous-ensembles d’articles de même tailletotale =⇒ minimiser la valeur absolue d’une différence :
min∣∣∑n
t=1 aixi∣∣
xi ∈ {−1,1}
Linéarisation=⇒
min y∑nt=1 aixi ≤ y
−∑n
t=1 aixi ≤ yxi ∈ {−1,1}
y ∈ [0,∞]
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Le problème de la bi-partition équitable
On doit trouver deux sous-ensembles d’articles de même tailletotale =⇒ minimiser la valeur absolue d’une différence :
min∣∣∑n
t=1 aixi∣∣
xi ∈ {−1,1}
Linéarisation=⇒
min y∑nt=1 aixi ≤ y
−∑n
t=1 aixi ≤ yxi ∈ {−1,1}
y ∈ [0,∞]
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Le sous-graphe induit de densité maximale
ObjectifEntrée : un graphe (V ,E)
Objectif : Sélectionner k sommets S = {v1, v2, . . . vk} ⊂ Vqui comportent le maximum d’arêtes {vi , vj} ∈ E .
max∑{i,j}∈E xi · xj∑n
i=1 xi ≤ kxi ∈ {0,1}n ∀i ∈ {1,2 . . . n}
Défi : le programme n’est pas linéaire et les solveurs (commeglpk) ne peuvent pas tous gérer les produits xi · xj
=⇒ On doit replacer xi · xj par des combinaisons linéaires =⇒linéarisation.
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Le sous-graphe induit de densité maximale
ObjectifEntrée : un graphe (V ,E)
Objectif : Sélectionner k sommets S = {v1, v2, . . . vk} ⊂ Vqui comportent le maximum d’arêtes {vi , vj} ∈ E .
max∑{i,j}∈E xi · xj∑n
i=1 xi ≤ kxi ∈ {0,1}n ∀i ∈ {1,2 . . . n}
Défi : le programme n’est pas linéaire et les solveurs (commeglpk) ne peuvent pas tous gérer les produits xi · xj
=⇒ On doit replacer xi · xj par des combinaisons linéaires =⇒linéarisation.
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Linéarisation de xi · xj vers yij
On ajoute des variables additionnelles yij ∈ {0,1} et on impose :
yij ≤ xi
yij ≤ xj
et .......yij ≥ xj + xi − 1
=⇒ yij = xi · xj parce que toutes les variables sont binaires !
=⇒
On résout un PLNE (programme linéaire en nombre entiers)avec objectif
∑yij et on obtient la solution entière du
programme initial (quadratique en nombre entiers)
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Linéarisation de xi · xj vers yij
On ajoute des variables additionnelles yij ∈ {0,1} et on impose :
yij ≤ xi
yij ≤ xj
etyij ≥ xj + xi − 1
=⇒ yij = xi · xj parce que toutes les variables sont binaires !
=⇒
On résout un PLNE (programme linéaire en nombre entiers)avec objectif
∑yij et on obtient la solution entière du
programme initial (quadratique en nombre entiers)
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La contrainte x 6= 7 via un PLx ≥ 8− y · Cx ≤ 6 + (1− y) · Cy ∈ {0,1}
Si y = 1, alors x ≤ 6 (donc x = 7 est impossible)Si y = 0, alors x ≥ 8 (donc x = 7 est impossible)
Comment linéariser x1 6= x2 ?
Plan
1 Difficulté des problèmes discrets et explosion combinatoire
2 La relaxation linéaire et les bornes associéesUn aperçu des méthodes de résolutionRésolution à l’aide du solveur GLPK
3 Exemples de Modélisations AvancéesProblèmes d’affectation et de localisation en GLPKLinéarisations de problèmes non-linéaires
4 Méthodes de Résolution en Nombre EntiersSéparation et évaluation (branch-and-bound)Plans Coupants et Coupes Gomory
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Plan
1 Difficulté des problèmes discrets et explosion combinatoire
2 La relaxation linéaire et les bornes associéesUn aperçu des méthodes de résolutionRésolution à l’aide du solveur GLPK
3 Exemples de Modélisations AvancéesProblèmes d’affectation et de localisation en GLPKLinéarisations de problèmes non-linéaires
4 Méthodes de Résolution en Nombre EntiersSéparation et évaluation (branch-and-bound)Plans Coupants et Coupes Gomory
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Décision Optimale de Sauts
On considère le début d’un jeu Monopoly :
On avance vers la gauche à l’aide des opérations suivantes :saut de 2 positionssaut de 3 positionssortir avec l’argent récupéré jusqu’au moment actuel
Comment calculer le profit maximal ?
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PLNE (Prog. Lin. En Nombre Entiers) pour le sac-à-dos
max 15x1 + 18x
2 + 4x
3 + 2x
4 + 5x
5 + x
6
3x1 + 4x
2 + x
3 + x
4 + 3x
5 + x
6 ≤ 5
xi∈{0,1} pour tout i entre 1 et 6
On peut générer un arbre de recherche (AR):
x=[? ? ? ? ? ?]
x=[0 ? ? ? ? ?] x = [1 ? ? ? ? ?]
x=[0 0 ? ? ? ?] x=[0 1 ? ? ? ?] x=[1 0 ? ? ? ?] x=[1 1 ? ? ? ?]
Séparation et évaluation (2/5)
Etape de séparation = diviser le pb en plusieurs sous-pb, de façon à ce que la résolution de tous ces sous-pb garantisse la résolution du pb initial
− Par exemple, un PLNE ayant une variable x1∈{0,9}
peut être résolu en posant d'abord x1≤4, puis x
1≥5
Sous-problème 1 Sous-problème 2
04 5 9
x1
Branche « gauche »avec x
1 ≤ 4 Branche « droite » avec x
1 ≥ 5
Noeud = problème (PLNE) initial
Séparation et évaluation (3/5)
Evaluer un noeud = calculer une « estimation » (borne duale) de la valeur optimale de ce PLNE
− On résout la Relaxation Continue (RC) du PLNE − Racine = PLNE initial (pas de contraintes en plus)
Intérêt de l'évaluation :
− La borne duale calculée avec l'hypothèse x1 ≤ 4 est
différente de celle calculée avec l'hypothèse x1 ≥ 5
− Ces bornes peuvent permettre d'élaguer l'AR− Pour cela, une borne primale peut être nécessaire...
Séparation et évaluation (4/5)
Couper suppose l'existence d'une borne primale !− Meilleure est cette borne, plus on risque de couper− Une solution admisible peut être construite avec une
héuristique − Parfois, lors de la construction de l'AR, l'évaluation du
noeud fournit une solution entière → solution admisible− On peut aussi générer une solution adminisible à partir
de la solution continue (arrondir les valeurs continues).
Séparation et évaluation (5/5)
Réglages/choix du concepteur :− Déjà évoqués
Choix d'une borne primale, d'une borne duale
− Sur quelle variable effectuer la séparation ? Variable fractionnaire
− Plus grande partie fractionnaire ?− Autre stratégie ?
− Quelle stratégie adopter pour explorer l'AR ? Profondeur d'abord (DFS) Noeuds de coupe d'abord, puis noeud ayant la meilleure
évaluation parmi les noeuds encore non explorés
Exemple : le sac-à-dos (1/2)
Pourquoi ce choix ?− Variables 0-1
Hypothèses de branchement simples à faire/à intégrer
− Calcul de la borne duale simple Solution optimale de la RC très rapide à calculer
Soit un SAD : max{cTx : aTx≤b, x∈{0,1}n}
− On suppose spdg que c1/a
1 ≥ c
2/a
2 ≥ ... ≥ c
n/a
n
− Sol. opt. de la RC : on met à 1 toutes les variables x
1, x
2, ..., x
i-1 tant que possible, puis on prend la plus
grande valeur < 1 possible pour xi (Exercice)
Exemple : le sac-à-dos (2/2)
PLNE (Prog. Lin. En Nombre Entiers) :
max 15x1 + 18x
2 + 4x
3 + 2x
4 + 5x
5 + x
6
3x1 + 4x
2 + x
3 + x
4 + 3x
5 + x
6 ≤ 5
xi∈{0,1} pour tout i entre 1 et 6
On a bien : 15/3>18/4>4/1>2/1>5/3>1/1
− Borne primale (solution) initiale : xi=0 pour tout i
− Borne duale initiale : 15+9=24
Le meilleur cas : le problème d’affectation
La solution optimale continue du PL est toujours entière
=⇒opt(PL)=opt(PLNE)
Rappel du problème d’affectation linéaireTaches T = {1,2, . . .n}, Machines A = {1,2, . . .n} ;cta = cout d’affectation de la tache t à la machine aVariables de décision : xta = 1 si la tache t affectée à lamachine a, 0 sinon
min∑
ta ctaxta∑nt=1 xta = 1 ∀a ∈ {1,2, . . .n}∑na=1 xta = 1 ∀t ∈ {1,2, . . .n}
xat ∈ {0,1}43/47
Plan
1 Difficulté des problèmes discrets et explosion combinatoire
2 La relaxation linéaire et les bornes associéesUn aperçu des méthodes de résolutionRésolution à l’aide du solveur GLPK
3 Exemples de Modélisations AvancéesProblèmes d’affectation et de localisation en GLPKLinéarisations de problèmes non-linéaires
4 Méthodes de Résolution en Nombre EntiersSéparation et évaluation (branch-and-bound)Plans Coupants et Coupes Gomory
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Méthodes à base de coupes
Idée : étant donnée une solution optimale fractionnaire, ajouter des inégalités valides (coupes) pour rendre cette solution non admissible
Exemple sac-à-dos: soit 3 articles de poids [5,4,3,2] et capacité 7. Comment “couper” la solution fractionnaire x=[1, 0.5, 0, 0] ?
– On ajoute x1+x2 <=1 qui est une inégalité valide !
– On peut aussi ajouter x1+x3<=1
– On ne peux pas ajouter x2+x3<=1!
Coupes de (Chvatal-)Gomory Rappels Simplex:
xj=0 pour toute variable j HB (hors base)
une variable basique (B) a un seul 1 dans sa colonne.
⇒La ligne i du tableau Simplex optimal est :
xB(i)
+∑j∈HB
tij x
j=b
i
⇒ xB(i)
+∑j∈HB
tij xj
≤bi (où 1.7=1)
xi entière ∀ i et b
i non entier ⇒ x
B(i)+∑
j∈HB t
ij xj
≤ bi est une
coupe valide, équivalente à ∑j∈HB
(tij-t
ij)x
j ≥ b
i-b
i !
La solution continue courante ne la vérifie pas : xj=0 pour
tout j dans HB, mais bi-b
i > 0, car b
i non entier
Méthode alternative de résolution (exacte) d'un PLNE
Possibilité d'utiliser ces coupes dans l'algorithme de résolution de PLNE suivant (alternative à S&E)
− Résoudre la RC du PLNE− Tant que solution optimale non entière faire
Calculer une coupe à partir du tableau optimal Résoudre la RC du PLNE
− Fin tant que Convergence garantie si coupes bien choisie
Exemple d'algorithme utilisant les coupes Gomory
On veut résoudre le PLNE suivant :
max{21x1+11x
2 s.c. 7x
1+4x
2+x
3=13, x
i∈IN pour tout i}
− Sol. opt. de la RC : x1=13/7 et x
2=x
3=0, de valeur 39
Au bout de 2 itérations (ajout d'une contrainte, puis résolution de la RC), on obtient :
− Solution optimale de la 3e RC : x1=0, x
2=3 et x
3=1
− Solution entière de valeur 33, et donc optimale pour le PLNE initial
Exemple de coupes Gomory 1/3
0 7 4 1 13 7x1 + 4x2 + 1x3 = 131 -21 -11 0 0 +z − 21x1 − 11x2 − 0x3 = 0
HB HB B
Rappels :HB=hors base variable nulleB=en base variable non-nulle
Pas 1 Simplexe : On introduit dans la base la colonne 1, car -21est le plus petit coef. de la dernière ligne =⇒0
�� ��1 47
17
137 x1 +
47x2 + 1
7x3 = 137
1 0 1 3 39 +z + 0x1 + 1x2 + 3x3 = 39B HB HB
Coupe Gomory :x1 +
47x2 + 1
7x3 = 137 =⇒ (*)
x1 + b47cx2 + b1
7cx3 ≤ b137 c =⇒ x1 ≤ 1
45/47
Exemple de coupes Gomory 1/3
0�� ��7 4 1 13 7x1 + 4x2 + 1x3 = 13
1 -21 -11 0 0 +z − 21x1 − 11x2 − 0x3 = 0HB HB B
Rappels :HB=hors base variable nulleB=en base variable non-nulle
Pas 1 Simplexe : On introduit dans la base la colonne 1, car -21est le plus petit coef. de la dernière ligne =⇒0
�� ��1 47
17
137 x1 +
47x2 + 1
7x3 = 137
1 0 1 3 39 +z + 0x1 + 1x2 + 3x3 = 39B HB HB
Coupe Gomory :x1 +
47x2 + 1
7x3 = 137 =⇒ (*)
x1 + b47cx2 + b1
7cx3 ≤ b137 c =⇒ x1 ≤ 1
45/47
Exemple de coupes Gomory 1/3
0�� ��7 4 1 13 7x1 + 4x2 + 1x3 = 13
1 -21 -11 0 0 +z − 21x1 − 11x2 − 0x3 = 0HB HB B
Rappels :HB=hors base variable nulleB=en base variable non-nulle
Pas 1 Simplexe : On introduit dans la base la colonne 1, car -21est le plus petit coef. de la dernière ligne =⇒0
�� ��1 47
17
137 x1 +
47x2 + 1
7x3 = 137
1 0 1 3 39 +z + 0x1 + 1x2 + 3x3 = 39B HB HB
Coupe Gomory :x1 +
47x2 + 1
7x3 = 137 =⇒ (*)
x1 + b47cx2 + b1
7cx3 ≤ b137 c =⇒ x1 ≤ 1
45/47
Exemple de coupes Gomory 1/30
�� ��7 4 1 13 7x1 + 4x2 + 1x3 = 131 -21 -11 0 0 +z − 21x1 − 11x2 − 0x3 = 0
HB HB B
Rappels :HB=hors base variable nulleB=en base variable non-nulle
Pas 1 Simplexe : On introduit dans la base la colonne 1, car -21est le plus petit coef. de la dernière ligne =⇒0
�� ��1 47
17
137 x1 +
47x2 + 1
7x3 = 137
1 0 1 3 39 +z + 0x1 + 1x2 + 3x3 = 39B HB HB
Coupe Gomory :x1 +
47x2 + 1
7x3 = 137 =⇒ (*)
x1 + b47cx2 + b1
7cx3 ≤ b137 c =⇒ x1 ≤ 1 1
1. Grâce à (*), cette contrainte est équivalente à 47 x2 +
17 x3 ≥ 6
7 , qui est lacoupe Gomory standard. Pour simplifier l’exposé, on continue avec x1 ≤ 1.
45/47
Exemple de coupes Gomory 2/30 7 4 1 0 13 7x1 + 4x2 + 1x3 = 130
�� ��1 0 0 1 1 1x1 + +s1 = 11 -21 -11 0 0 0 +z − 21x1 − 11x2 − 0x3 − 0s1 = 0
HB HB B BPas 1 Simplexe :0 0
�� ��4 1 -7 6 + 4x2 + 1x3 − 7s1 = 60 1 0 0 1 1 1x1 + +s1 = 11 0 -11 0 21 21 +z − 11x2 − 0x3 + 21s1 = 21
B HB B HBPas 2 Simplexe :0 0 1 1
4 -74
64 +x2 +
14x3 − 7
4s1 = 64
0 1 0 0 1 1 1x1 + +s1 = 11 0 0 11
474
1504 +z + +11
4 x3 +74s1 = 150
4B B HB HB
1x2 +⌊1
4⌋x3 +
⌊− 7
4⌋s1 ≤
⌊64⌋
46/47
Exemple de coupes Gomory 2/30 7 4 1 0 13 7x1 + 4x2 + 1x3 = 130
�� ��1 0 0 1 1 1x1 + +s1 = 11 -21 -11 0 0 0 +z − 21x1 − 11x2 − 0x3 − 0s1 = 0
HB HB B BPas 1 Simplexe :0 0
�� ��4 1 -7 6 + 4x2 + 1x3 − 7s1 = 60 1 0 0 1 1 1x1 + +s1 = 11 0 -11 0 21 21 +z − 11x2 − 0x3 + 21s1 = 21
B HB B HBPas 2 Simplexe :0 0 1 1
4 -74
64 +x2 +
14x3 − 7
4s1 = 64
0 1 0 0 1 1 1x1 + +s1 = 11 0 0 11
474
1504 +z + +11
4 x3 +74s1 = 150
4B B HB HB
1x2 +⌊1
4⌋x3 +
⌊− 7
4⌋s1 ≤
⌊64⌋
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Exemple de coupes Gomory 2/30 7 4 1 0 13 7x1 + 4x2 + 1x3 = 130
�� ��1 0 0 1 1 1x1 + +s1 = 11 -21 -11 0 0 0 +z − 21x1 − 11x2 − 0x3 − 0s1 = 0
HB HB B BPas 1 Simplexe :0 0
�� ��4 1 -7 6 + 4x2 + 1x3 − 7s1 = 60 1 0 0 1 1 1x1 + +s1 = 11 0 -11 0 21 21 +z − 11x2 − 0x3 + 21s1 = 21
B HB B HBPas 2 Simplexe :0 0 1 1
4 -74
64 +x2 +
14x3 − 7
4s1 = 64
0 1 0 0 1 1 1x1 + +s1 = 11 0 0 11
474
1504 +z + +11
4 x3 +74s1 = 150
4B B HB HB
1x2 +⌊1
4⌋x3 +
⌊− 7
4⌋s1 ≤
⌊64⌋
46/47
Exemple de coupes Gomory 2/30 7 4 1 0 13 7x1 + 4x2 + 1x3 = 130
�� ��1 0 0 1 1 1x1 + +s1 = 11 -21 -11 0 0 0 +z − 21x1 − 11x2 − 0x3 − 0s1 = 0
HB HB B BPas 1 Simplexe :0 0
�� ��4 1 -7 6 + 4x2 + 1x3 − 7s1 = 60 1 0 0 1 1 1x1 + +s1 = 11 0 -11 0 21 21 +z − 11x2 − 0x3 + 21s1 = 21
B HB B HBPas 2 Simplexe :0 0 1 1
4 -74
64 +x2 +
14x3 − 7
4s1 = 64
0 1 0 0 1 1 1x1 + +s1 = 11 0 0 11
474
1504 +z + +11
4 x3 +74s1 = 150
4B B HB HB
1x2 +⌊1
4⌋x3 +
⌊− 7
4⌋s1 ≤
⌊64⌋
46/47
Exemple de coupes Gomory 3/3
x2 +⌊1
4⌋x3 +
⌊− 7
4⌋s1 ≤
⌊64⌋
=⇒x2 − 2s1 ≤ 1
s1=1−x1=⇒ la contrainte ci-dessus est équivalente à :
2x1 + x2 ≤ 3
Le programme résultant est équivalent à :
max 21x1 + 11x2
7x1 + 4x2 + 1x3 = 13x1 ≤ 1
2x1 + x2 ≤ 3
=⇒ Simplexe trouve la solution optimale x1 = 0 et x2 = 3 decoût 33 !
47/47
Exemple de coupes Gomory 3/3
x2 +⌊1
4⌋x3 +
⌊− 7
4⌋s1 ≤
⌊64⌋
=⇒x2 − 2s1 ≤ 1
s1=1−x1=⇒ la contrainte ci-dessus est équivalente à :
2x1 + x2 ≤ 3
Le programme résultant est équivalent à :
max 21x1 + 11x2
7x1 + 4x2 + 1x3 = 13x1 ≤ 1
2x1 + x2 ≤ 3
=⇒ Simplexe trouve la solution optimale x1 = 0 et x2 = 3 decoût 33 !
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Exemple de coupes Gomory 3/3
x2 +⌊1
4⌋x3 +
⌊− 7
4⌋s1 ≤
⌊64⌋
=⇒x2 − 2s1 ≤ 1
s1=1−x1=⇒ la contrainte ci-dessus est équivalente à :
2x1 + x2 ≤ 3
Le programme résultant est équivalent à :
max 21x1 + 11x2
7x1 + 4x2 + 1x3 = 13x1 ≤ 1
2x1 + x2 ≤ 3
=⇒ Simplexe trouve la solution optimale x1 = 0 et x2 = 3 decoût 33 !
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Exemple de coupes Gomory 3/3
x2 +⌊1
4⌋x3 +
⌊− 7
4⌋s1 ≤
⌊64⌋
=⇒x2 − 2s1 ≤ 1
s1=1−x1=⇒ la contrainte ci-dessus est équivalente à :
2x1 + x2 ≤ 3
Le programme résultant est équivalent à :
max 21x1 + 11x2
7x1 + 4x2 + 1x3 = 13x1 ≤ 1
2x1 + x2 ≤ 3
=⇒ Simplexe trouve la solution optimale x1 = 0 et x2 = 3 decoût 33 !
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![Programmation Java - cedric.cnam.frcedric.cnam.fr/~porumbed/20172018/vari1/c12.pdf · 2017-12-09 · Solution Java classPremierProg{publicstaticvoidmain(String[ ]args){System.out.println("Salut](https://static.fdocument.pub/doc/165x107/5f3fd0c118951e4e8b0a4870/programmation-java-porumbed20172018vari1c12pdf-2017-12-09-solution-java.jpg)
