Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 김 태 철 2004. 10. 4 ( 월 )

Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

김 태 철 2004. 10. 4 (월 )

An Introduction to Wavelets(Amara Graps)

2Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

Overview

1. Wavelets Overview

2. Historical Perspective

3. Fourier Analysis

4. Wavelet Transforms versus Fourier Transforms

5. What do some wavelets look like?

6. Wavelet Analysis

7. Wavelet Applications


1. Wavelets Overview

1980 년대 초 이론으로 정립되기 시작 순수수학 , 양자물리학 , 전자공학 등 여러 분야에서

독립적으로 형성 지난 10 년 동안 과학자 , 공학자들간의 상호교류를

통해 ‘ Wavelet’ 이라는 이름으로 통일 여러 분야에서의 응용성이 확대

√ 수학 – 조화 함수론√ 양자 물리학 - coherent state, renormalization group 이론√ 신호 영상처리 - subband coding 알고리즘√ 컴퓨터 비젼 - stationary subdivision 알고리즘

각 분야에서 새로운 첨단 기술 창조


2. Historical Perspective

Pre-1930√ 1807: J.Fourier, Fourier Series

주파수 분석 (Fourier Transform)

√ 1909: Haar, Orthonormal Function System

다중 해상도 방법과 웨이블릿의 긴밀한 변환 관계를 쉽게 설명 척도 (scale) 분석 (Harr System)

The 1930S scale-varying basis Function : Haar basis function

√ Brownian motion - Paul Levy

wavelet 을 이해하기 위한 key

√ Another researcher: energy function

David Marr : Effective Algorithm for numerical image processing


What are Basis functions?

f(x) 가 음악적 톤 . 즉 , 규칙적인 옥타브 A 라고 상상해보자 .

그러면 , A 는 주파수와 진폭의 결합을 이용하여 sin

과 cos 의 합으로 나타낼 수 있다 .

여기서 sin 과 cos 을 Basis Function 이라고 한다 .

What are Scale-varying Basis Functions?

0 과 1 사이의 신호가 있다면 그걸 0 에서 1/2 과 1/2

에서 1 로 나눌수 있다 .

이렇게 계속해서 정규화된 사이즈로 나뉘어 질수 있는 함수


2. Historical Perspective (Continue)

1960-1980

1980: A.Grossman & J.Morlet

√ 시간 - 주파수 분석 (Continuous Wavelet Transform)

POST-1980

1985(9): S.Mallat, Multiresolution Analysis

√ QMF(Quandrature Mirror Filter), 피라미드 알고리즘 , 직교 웨이브렛의 공통적인 특징 발견

√ 다중해상도분석 개념 소개 , 고속 웨이브렛 변환 알고리즘 개발 √ 디지털 신호처리 분야 연구를 통한 Wavelet 연구가 활발 1987: I.Daubechies, Daubechies’ Orthonormal Wavelets

√ Mallat 의 다중해상도분석을 이용하여 직교 웨이브렛의 존재성과 구축법 확립

√ 이산형 정규 직교 웨이브렛을 무한 구간으로 확장 √ 오늘날 웨이브렛 응용의 기초가 됨


3. Fourier Analysis

시간 영역 주파수 영역 신호처리 분야의 비약적인 발전의 모태 기본함수 (Basis function) 로 sine, cosine 함수만 사용

[ 전역적인 신호 분석 ]

단점

√ 신호 데이터에 불연속성 , 날카롭게 도출된 부분 ( 고주파수 성분 ) 이 포함될 경우 , 신호의 특징 분석이 난이

√ 신호의 시간 정보와 주파수 정보를 동시에 파악할 수 없다 .


3. Fourier Analysis (Windowed Fourier Transforms)

WFT (Windowed Fourier Transform)

일정한 크기를 가진 창함수와 Fourier 변환의 결합

시간 변화에 따른 주파수 특성을 분석

단점

√ 분석 영역이 시간 - 주파수에 대해 항상 일정

√ 비정상적인 신호 (non-stationary signals) 를 효율적으로 분석할 수 없다 .


3. Fourier Analysis (Fast Fourier Transforms)

Turkey and Cooley 에 의해 향상된 DFT 알고리즘 (DFT 의 고속화 )

FFT 의 분리성 [ 2 차원 연산식 2 개의 1 차원 연산식 ] : divide & conquer 기법

N x N 의 크기 영상의 복잡도

영상의 크기는 2 의 지수승 ( 반복적인 데이터 분할 )

√ 2 의 지수승이 아닌경우 : 영 삽입 (zero padding)

NNN log2


4.Wavelet Transforms Versus Fourier Transforms

Wavelet Transform

√ 기본 함수로 sine, cosine 함수 이외에 웨이브렛 모함수 사용

√ 각 주파수 영역에 따라 변화하는 다양한 기저함수 사용

( 시간 - 주파수에 국부적인 성질 )

√ 가장 적절한 다중해상도 표현 방법

√ 사용분야

음성인식 , 정지영상 / 동영상 압축 , 오디오 압축 , 음악 해석 등

√ 대표적인 wavelet 변환 기법

Orthonormal Wavelet, Biorthonormal Wavelet, Packet Wavelet, Chirpl

et Wavelet 등의 변환



Similarities between fourier and wavelet tr

ansforms

√ Both Linear Operation

√ FFT 와 DWT 의 inverse transform matrix 는 original 의transpose

√ fft 는 sines 과 cosines 를 포함하는 basis function

√ wavelet transform 은 wavelets 혹은 mother wavelets or

analyzing wavelets 이라고 불리우는 더 복잡한 basis fu

ntion



Dissimilarities between fourier and wa

velet transforms

√ wavelet funtions are localized in space but fourier

sin and cosine functions are not.


Continue…

FT WT


5. What do some wavelets look like?

Wavelets family 는 상관계수의 수와 반복횟수의 의해서 구별되는 웨이블릿의 부분집합

wavelets family 는 vanishing moments 의 수에 의해 구별


5. What do some wavelets look like?(continue)


6. Wavelet Analysis (DWT)

DWT 는 다른 해상도를 가진 다른 주파수 대역에서 신호를 대가의 근사치와 상세한 정보로 분석함으로써 신호를 해석

Orthonarmal Wavelet( 정규직교 웨이브렛 )

Wavelet 의 가장 큰 특징은 안정



Computer and Human Vision

√ 1980’s 초 David Marr - 로봇에 대한 인공 시각 (artifical vision) 연구 시작

√ Human Visual System 에서의 영상 처리 – visio

n filter ( Marr’s operator ‘Marr wavelet’ )



FBI fingerprint Compression

원본 이미지 26:1 압축



Denoising Noisy Data



Musical Tones

(Ex. 음성 , 음악의 합성 )

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