CHƢƠNG V ĐẠI SỐ BULƠ (Boole) - WordPress.com...2 ĐẠI SỐ BULƠ 1. Định nghĩa và...

GV: Nguyễn Tiến Thịnh

CHƢƠNG V

ĐẠI SỐ BULƠ (Boole)

§. 1 NỬA DÀN VÀ DÀN

1. Nửa dàn sup, nửa dàn Inf

Tập đƣợc sắp (E, ≤ ) gọi là dàn nửa sup (hay nửa dàn cận trên) nếu

mọi cặp (x,y) E E đều có cận trên đúng Sup (x,y) và gọi là nửa dàn Inf

(hay nửa dàn cận dƣới) nếu mọi cặp phần tử (x, y) E E đều có cận dƣới

đúng Inf(x,y)

Dàn là một tập đƣợc sắp, đồng thời vừa là nửa dàn Sup, vừa là nửa

dàn Inf.

Giả sử (E, ≤) là một nửa dàn Sup.Ta có thể định nghĩa một phép toán

hai ngôi trên E nhƣ sau:

x y = Sup x, y (1)

Phép toán hai ngôi (1) gọi là phép toán liên kết với các cấu trúc nửa

dàn Sup của E.

Tƣơng tự với nửa dàn Inf ta có phép toán hai ngôi liên kết cấu

trúc nửa dàn Inf xác định bởi:

x y = Inf x, y (2)

Theo định nghĩa với mỗi dàn (E, ≤) ta có thể xác định hai phép toán

hai ngôi và liên kết cấu trúc dàn của E.

Dễ thấy rằng nếu tập E với quan hệ thứ S là một nửa dàn Sup thì với quan hệ

thứ tự ngƣợc S-1

, E là một nửa dàn Inf và ngƣợc lại.

Mệnh đề 5.1:

Giả sử tập đƣợc sắp (E, ≤) là một nửa dàn Sup. Khi đó phép toán hai

ngôi liên kết với cấu trúc nửa dàn Sup của E là giao hoán, kết hợp và lũy

đẳng (tức là mọi x E, xx = x).

Ngƣợc lại mỗi phép toán hai ngôi kết hợp giao hoán và lũy đẳng

trên E là một phép toán liên két với cấu trúc nửa dàn Sup trên E xác định bởi

quan hệ thứ tự:

x ≤ y nếu x y =y (3)

Chứng minh:

Dễ thấy rằng phép toán hai ngôi xác định bởi (1) là giao hoán, lũy

đẳng. Đối với mọi x,y,z E theo định nghĩa cận trên đúng ta có:

u = (x y) z x y ≤ và z ≤ u và t E nếu x y ≤ t

và z ≤ t thì u ≤ t.

x ≤ u, y≤ u, z ≤ u và t E nếu x ≤ t, y ≤ t và z ≤ t thì u ≤ t.


x ≤ u, y z x (y z) u và t E nếu x ≤ t, y z ≤ t thì u ≤ t.

u = x (y z)

Vậy ( x y) z = x (y z)

Để chứng minh điều khẳng định ngƣợc lại ta cần chứng tỏ quan hệ

xác định bởi (3) là một quan hệ thứ tự.

Vì x = x x nên x ≤ x,do đó quan hệ thứ tự có tính phản xạ. Giả sử

x ≤ y và y ≤ z. Ta có y = x y, z = y z.Do đó z = (x y) z = x (y

z) = x z. Vậy có x ≤ z, quan hệ có tính bắc cầu.

Giả sử x ≤ y và y ≤ x.

Ta có x = y x = x y = y. Vậy quan hệ đang xét có tính phản đối xứng.

Ta cần chứng tỏ phép toán là phép toán liên kết với cấu trúc nửa

dàn Sup của (E, ≤ ). Ta có y ≤ x y vì (x y ) y = x (y y) = x y

Tƣơng tự x ≤ x y .Nếu z là một cận trên của x và y ta có z = x z,

z = y z.

Vậy z = x z = x ( y z) =( x y) z. Do đó x y ≤ z và x y = Sup

x, y .

Theo 3 x ≤ y y = Sup x, y .

Hệ quả: và

Giả sử (E, ≤ ) là một dàn. Khi đó các phép toán liên kết ( x y) = Sup x,

y , x y = Inf x, y là kết hợp, giao hoán , lũy đẳng và đối với mọi

cặp (x,y) E ta có

Y = x y x = x y (4)

ngƣợc lại nếu tập E đợc trang bị hai phép toán hai ngôi và kết hợp,

giao hoán luỹ đẳng thoả mãn điều kiện (4) . Khi đó và là các phép toán

liên kết với cấu trúc dàn duy nhất trên E xác định bởi quan hệ thứ tự:

x ≤ y nếu y = x y (hoặc x = x y) (5)

2. Đồng cấu dàn

Giả sử (E, ≤),(E’, ≤) là các dàn. Ánh xạ h: E →E’ đƣợc gọi là một

đồng cấu từ dàn E vào dàn E’ nếu thoả mãn các điều kiện sau đây:

h( x y) = h(x) h(y)

h( x y) = h(x) h(y) (6)

Theo (6) h là một đồng cấu nửa nhóm đối với các phép toán hai hai

ngôi liên kết với cấu trúc dàn .

Mệnh đề 5.2:

Mỗi đồng cấu dàn h: E → E’ là môt ánh xạ bảo toàn thứ tự (ánh xạ

tăng).

Chứng minh:


X ≤ y y = x y h(y) = h(x y) = h(x) h(y) h(x) ≤ h(y)

Chú ý: Nếu E, E’ là các dàn, một ánh xạ bảo toàn thứ tự từ E vào E’

có thể không phải là một đồng cấu dàn

Mỗi dàn (E, ≤ ) có thể xem nhƣ một tập đƣợc trang bị phép toán hai

ngôi và thoả mãn điều kiện (4). Do đó mỗi dàn con của dàn (E, ≤) có

thể xem là một tập con L E ổn định đối với các phép toán và . Giao

các dàn con chứa, một tập gọi là dàn con sinh bởi một tập đó . Mỗi tƣơng

đẳng trên dàn (E, ≤ ) là một quan hệ tƣơng đƣơng trên E tƣơng thích đối với

các phép toán , . Do đó ta có thể xây dựng dàn tƣơng thích, tích các

dàn,…

Khái niệm khoảng:

Giả sử a, b là các phần tử của tập đƣợc sắp xếp (E, ≤ ), a ≤ b. Khoảng

[a, b] là một tập con xác định bởi :

[a, b] = [x E:a ≤ x ≤ b] (7)

Dễ thấy rằng nếu (E; ≤ ) là một dàn thì mỗi khoảng [a, b] là một dàn

con của E.

3. Dàn phân phối và dàn môđula

Một dàn (E; ≤) gọi là dàn phân phối nếu các phép toán liên kết và

phân phối với nhau, tức là:

x (y z) = (x y) ( x z)

x (y z) = ( x y) ( x z) (8)

Có thể chỉ ra nhiều ví dụ về dàn phân phối. Chẳng hạn N, Z Q, R đối

với thứ tự thông thƣờng: P(X) đối với thự tự bao hàm là các dàn phân phối.

Nhƣng cũng có những dàn quan trọng không phải là dàn phân phối. Chẳng

hạn dàn các không gian con của một không gian vectơ có số chiều > 1. Do

đó ngƣời ta đã đi đến khái niệm dàn môđula đòi hỏi điều kiện yếu hơn điều

kiện phân phối.

Định nghiã:

Dàn (E, ) gọi là hàm môđula hay dàn Đêđêkind nếu thoả mãn điều

kiện:

x ≤ z x (y z) = (x y) z. (9)

4. Dàn nguyên tử

Giả sử dàn (E, ) có phần tử nhỏ nhất, kí hiệu là 0 và phần tử lớn nhất

kí hiệu là 1. Khi đó với mọi x E ta có:

Vì 0 x do đó 0 x = 0, 0 x = x.


Vì x 1 do đó x 1 = x, x 1 = 1.

Nguyên tử của dàn:

Giả sử (E, ) là một dàn có phần tử bé nhất 0. Khi đó mỗi phần tử tối

thiểu của tập đƣợc sắp (E – 0, ) gọi là một nguyên tử của dàn (E, ).

Tức là ≠ 0, sao cho nếu x thì x = 0 hoặc x = .

Mệnh đề 5.3:

Giả sử dàn (E, ) có phần tử nhỏ nhất 0. Khi đó hai nguyên tử phân

biệt 1,2 của dàn (E, ) là rời nhau, tức là 1 2 = 0.

Chứng minh:

Nếu 1, 2 ≠ 0, ta có 1 = 1 2 = 2 .

Giả sử (E, ) là một dàn có phần tử bé nhất 0 và là một tập các

nguyên tử của dàn (E, ). Dàn (E, ) đƣợc gọi là dàn nguyên tử nếu E trùng

với dàn con sinh bởi tập .

Ví dụ trong dàn (P(X), ) các nguyên tử là tập con của một phần tử

x, x X. Khi đó = x: x X. Dàn con sinh bởi tập là gồm tất cả

các tập con hữu hạn của tập X. Do đó nếu X là một tập hữu hạn thì (P(X),

) là một dàn nguyên tử.

5. Dàn có phần bù

Giả sử dàn (E, ) có phần tử bé nhất 0 và phần tử lớn nhất 1. Phần tử

x E gọi là có phần bù nếu tồn tại x’ E phần tử thoả mãn:

x x’ = 0, x x’ = 1.

Phần tử x’ gọi là phần bù của phần tử x.

Dàn (E, ) gọi là dàn có phần bù nếu mọi phần tử của E đều có phần

bù.

Trong trƣờng hợp tổng quát chúng ta không thể khẳng định gì về sự

tồn tại và tính duy nhất của phần bù của một phần tử. Đối với dàn phân phối

ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 5.4:

Giả sử (E, ) là một dàn phân phối có phần tử nhỏ nhất là 0 và phần

tử lớn nhất là 1. Khi đó nếu phần tử x E có phần bù x’ thì phần tử đó là

duy nhất.

Chứng minh:

Giả sử x’1 E là một phần bù khác của x. Ta có x x’1 = 0,

x x’1 = 1. Theo (8) ta có:

x’ x’1 = (x’ x’1 ) (x x’1 )= (x’x ) x’1 = 1 x’1 = x’1 .

Tƣơng tự ta có x’ x’1 = x’. Vậy x’1 = x’.


§2 ĐẠI SỐ BULƠ

1. Định nghĩa và tính chất

Đại số Bulơ là một hệ thống (E, +, ., ’, 0, 1) trong đó 0, 1 là các phần

tử của tập E, “+”, “.”. Là các phép toán hai ngôi trên E, “ ’ ” là phép toán

một ngôi trên E, tức là ánh xạ tƣơng ứng mỗi phần tử x E với mỗi phần tử

x’ E, phần tử x’ gọi là phần bù của phần tử x, sao cho các điều kiện sau

đƣợc thoả mãn:

1) 0 ≠ 1.

2) (x’)’ = x” = x.

3) 0’ = 1.

4) x + x’ = 1.

5) (x + y)’ = x’y’.

6) (E, +, 0) là một vị nhóm giao hoán luỹ đẳng.

7) x.(y + z) = x.y + x.z.

8) x = x + y y = x.y.

Các tính chất sau suy ra từ định nghĩa:

a) 3*: 1’ = 0.

Suy ra từ (2) và (3)

b) 4*: xx’ = 0.

Theo (5), (4) và (3*) ta có:

xx’ = (x’ + x)’ = 1’ = 0.

c) 5*: (x.y)’ = x’ + y’.

Theo (5) ta có: (x’ + y’)’ = x”y” = xy. Vậy (x.y)’ = (x’ + y’)” = x’ + y’.

d) 6*: (E, ., 1) là một vị nhóm giao hoán luỹ đẳng.

Theo (5) và (6) ta có:


- (x.y).z = (x’ + y’).z = ((x’ + y’) + z’ )’.

= (x’ + (y’ + z’))’ = (x’ + (y’ . z’))’ = x.(y.z ).

- x.y = x”y” = (x’ + y’)’ = (y’ + x’)’ = y.x .

- Vì (1.x)’ = 1’ + x’ = 0 + x’ = x’ do đó 1.x = x.

- Vì (x.x’)’ = x’ + x’ = x’ do đó x.x = x.

e) 0.x = 0.

Vì 0.x = 1’.x = (x + x’)’.x = (x’.x).x = x’.x = 0.

g) x + 1 = 1.

Vì 1 + x = (x’ + x) + x = x’ + x = 1.

h) 7*: x + y.z = (x + y).(x + z).

Thật vậy, theo (6*) và (7) thì phép toán “.” Phân phối hai phía đối với

phép toán cộng “+”. Theo (4) và (g) ta có:

(x + y).(x + z) = x.x + y.x + x.z + y.z.

= x + x.y + x.z + y.z.

= x(1 + y + z) + y.z = x + y.z.

i) Phần bù x’ của phần tử x đƣợc xác định duy nhất bởi hệ phƣơng

trình:

x + x’ = 1 và x.x’ = 0.

Thật vậy, giả sử có a E thoả mãn x + a = 1 và x.a = 0. Ta có:

x’.a = x’.a + x’.x = x’(a + x) = x’.1 = x’.

Tƣơng tự ta có x’.a = a. Vậy a = x’.

2. Đồng cấu đại số Bulơ.

Một đồng cấu đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1) vào đại số Bulơ (F, +, ., ’, 0,

1) là một ánh xạ ƒ: E → F thoả mãn các điều kiện:


.1)1(,0)0(

).().().(

).()()(

hh

yhxhyxh

yhxhyxh

(1)

Mệnh đề 5.5:

Nếu h là một đồng cấu đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1) vào đại số

(F, +, ., ’, 0, 1) thì ta có:

h(x’) = h(x)’ (2)

Chứng minh:

Vì x + x’ = 1, x.x’ = 0.

Theo (1) ta có h(x) + h(x’) = 1, h(x).h(x) = 0. Theo tính chất (i) ta có

h(x’) = h(x)’ .

Mệnh đề 5.6:

Ánh xạ h: E → F là một đồng cấu đại số Bulơ nếu và chỉ nếu các điều

kiện sau đƣợc thoả mãn:

)'.()'(

).()()(

xhxh

yhxhyxh (3)

Chứng minh:

Điều kiện cần suy từ định nghĩa và mệnh đề 5.5.

Điều kiện đủ: Ta cần phải chứng tỏ h(x.y) = h(x).h(y), h(1) = 1 và

h(0) = 0.

Ta có h(x.y)’ = h((x.y)’) = h(x’ + y’) = h(x’) + h(y’).

= h(x)’ + h(y)’ = (h(x) . h(y))’.

Do đó ta có h(x.y) = h(x).h(y).

h(0) = h(x.x’) = h(x) . h(x’) = 0.

h(1) = h(x + x’) = h(x) + h(x’) = h(x) + h(x’) = 1.

3. Đại số con của một đại số Bulơ


Định nghĩa:

Tập con M E gọi là đại số của đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1) nếu thoả

mãn các điều kiện sau:

a) 0 M, 1 M.

b) Với mọi x, y M x + y M, x.y M, x’ M.

Dễ thấy rằng mỗi đại số con của đại số Bulơ là một đại số Bulơ.

Mệnh đề 5.7:

Tập con M E là một đại số con của đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1) khi

và chỉ khi thoả mãn một trong hai điều kiện sau đây:

) 0 M: x, y M x + y M, x + y M, x’ M.

) 1 M: x, y M x + y M, x.y M, x’ M.

Chứng minh:

Điều kiện cần là hiển nhiên:

Điều kiện đủ:

a) 1 = 0’ M.

Với x, y M ta có (x.y)’ = x’ + y’ M.

Do đó x.y = ((x.y)’)’ M.

b) 0 = 1’ M.

x + y = (x’)’ + (y’)’ = (x’.y’) M.

4. Tính chất đối ngẫu

Từ định nghĩa và các tính chất đã đƣợc chứng minh trên đây của đại

số Bulơ, ta nhận thấy rằng: Nếu hệ thống (E, +, ., ’, 0, 1) là một đại số Bulơ

thì hệ thống (E, ., +, ’, 0, 1) cũng là một đại số Bulơ. Ánh xạ h(x) = x’ là một

đẳng cấu của đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1) lên đại số (E, ., +, ’, 0, 1). Do đó

mỗi tính chất của đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1) liên kết với một tính chất “đối


ngẫu” bằng cách thay đổi dấu “+” thành dấu “.” và dấu “.” bởi “+”, mỗi

phần tử bởi phần bù của nó.

5. Các ví dụ

a) Đại số Bulơ hai phần tử:

Tập Z2 = 0, 1 là một đại số Bulơ đối với các phép toán xác định nhƣ

sau:

0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 + 0 = 0.

1 . 0 = 0 . 1 = 0 . 0 = 0, 1 . 1 = 1.

0’ = 1, 1’ = 0.

Đó là cấu trúc đại số Bulơ duy nhất trên Z2 .

b) Đại số Bulơ P (X)

Giả sử X là một tập khác rỗng. Dễ dàng thấy rằng P (X) là một đại

số Bulơ đối với các phép toán sau đây:

XAXA

BABABABA

1,0,'

.,

Nếu X là tập có một phần tử, khi đó P (X) là một đại số Bulơ có hai

phần tử ở ví dụ (a). Giả sử X1 , X2 là các tập khác rỗng và ƒ: X1 → X2 , khi

đó ánh xạ h: P (X1) → P (X2) xác định bởi: h(D) = ƒ-1

(D), D P (X2) là

một đồng cấu của đại số Bulơ P (X2) vào đại số Bulơ P (X1).

6. Thứ tự trong đại số Bulơ

Giả sử (E, +, ., ’, 0, 1) là một đại số Bulơ. Theo hệ quả của mệnh đề

5.1 tập E với quan hệ thứ tự

X y nếu y = x + y (hoặc x = x.y).

là một dàn, các phép toán “+”, “.” là các phép toán liên kết với cấu trúc dàn.

Phần tử 0 là phần tử nhỏ nhất, phần tử 1 là phần tử lớn nhất và (E, ) là dàn

có phần bù.


Theo thuật ngữ của lý thuyết tập, nếu x y ta nói phần tử x bị chứa

trong phần tử y hoặc phần tử y chứa phần tử x và nếu x.y = 0 ta nói các phần

tử x và y rời nhau. Nếu x = x1 + ... + xn ta nói rằng họ x1 + ... + xn là một

cái phủ của x và nếu thoả mãn điều kiện x1xj = 0, i ≠ j ta viết

x = x1 ... xn .

Mệnh đề 5.8:

Trong đại số Bulơ E ta có:

x y y’ x’ .

Chứng minh:

x y x = x.y x’ = x’ + y’ y’ x’ .

Mệnh đề 5.9:

Trong đại số Bulơ E ta có:

a x và b y a.b x.y và a + b x + y.

Chứng minh:

a x và b y ta có a.x = a, b.y = b.

Do đó (a.b)(x.y) = a.b, vậy a.b x.y.

(a + b)(x + y) = ax + bx + ay + by.

= a + ay + b + by.

= a(1 + y) + b(1 + x) = a + b.

Vậy a + b x + y.

Các nguyên tử trong đại số Bulơ:

Mệnh đề 5.3 vẫn đúng trong đại số Bulơ. Mệnh đề sau vẫn đúng đối

với dàn phân phối có phần tử bé nhất.

Mệnh đề 5.10:

Giả sử w là một nguyên tử của đại số Bulơ E, nếu w x + y thì w x

hoặc w y.


Ta có wy = wy + wx = w(x + y) = w. Vậy w y.

Hệ quả:

Giả sử E là một đại số Bulơ và w là một nguyên tử của E. Khi đó đối

với mọi x E ta có w x hoặc w x’.

7. Cấu trúc vành của đại số Bulơ

a) Vành Bulơ: Vành A gọi là vành Bulơ nếu mọi phần tử là luỹ đẳng,

tức là a2 = a, a A.

Trong vành Bulơ A, mọi phần tử a A thoả mãn 2a = 0 (tức là

a = -a). Thật vậy ta có:

2a = (2a)2 = 4a

2 = 4a.

Vậy 2a = 0.

Vành Bulơ là một vành giao hoán. Thật vậy, ta có:

x + y = (x + y)2 = x + x.y + y.x + y.

Do đó xy + yx = 0 hay xy = - yx= yx.

b) Vành Bulơ liên kết với đại số Bulơ:

Giả sử (E, +, ., ’, 0, 1) là một đại số Bulơ. Hiệu đối xứng của các phần

tử x, y E, kí hiệu x y, đƣợc xác định bởi:

x y = x.y’ + x’.y.

Dễ dàng chứng minh rằng (E, , ., 0, 1) là một vành Bulơ và gọi là

vành Bulơ liên kết với đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1).

Ví dụ: Vành Bulơ liên kết với đại số Bulơ hai phần tử là trƣờng Z2 .

Mệnh đề 5.11:

a) Giả sử h: E → F là một đồng cấu của đại số Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1)

vào đại số Bulơ (F, +, ., ’, 0, 1). Khi đó h là một đồng cấu vành (E, , ., 0, 1)

vào vành (E, , ., 0, 1).


b) Ngƣợc lại nếu h: E → F là một đồng cấu của vành (E, , ., 0, 1)

vào vành (F, , ., 0, 1) thoả mãn h(1) = 1 thì h là một đồng cấu của đại số

Bulơ (E, +, ., ’, 0, 1) vào đại sô Bulơ (F, , ., 0, 1).

Chứng minh:

a) Giả sử h: E → F là một đồng cấu đại số Bulơ. Theo mệnh đề 5.5 ta

có:

h(x’) = h(x)’.

Với mọi x, y ta có:

h(x y) = h(x’y + xy’) = h(x’y) +h(xy’).

= h(x’)h(y) + h(x)h(y’) = h(x)’h(y) + h(x)h(y)’.

= h(x) h(y).

Vậy h là một đồng cấu vành.

b) Giả sử h: E → F là một đồng cấu của vành (E, , ., 0, 1) vào vành

(F, , ., 0, 1) thoả mãn h(1) = 1. Ta có:

h(x y) = h(x) h(y), h(x.y) = h(x).h(y).

Do đó h(x’y + xy’) = = h(x’)h(y) + h(x)h(y’).

Với y = 1, ta có h(x’) = h(x)’, x E.

h(x + y) = h((x’y’)’) = h(x’y’)’ = (h(x’)h(y’))’.

= (h(x’)h(y’))’ = h(x) + h(y).

Theo mệnh đề 5.6 h là một đồng cấu đại số Bulơ.

Nhờ mối liên hệ giữa đại số Bulơ và vành Bulơ liên kết, ta có thể áp

dụng vào đại số Bulơ nhiều khái niệm tính chất về vành.

Tập con J E đƣợc gọi là một Iđêan của đại số Bulơ E nếu J là một

Iđêan của vành Bulơ liên kết, ta cũng kí hiệu là J E.

Có thể chứng minh đƣợc rằng:


Điều kiện cần và đủ để tập con J E là một Iđêan của đại số Bulơ

(E, +, ., ’, 0, 1) là:

0 J, x, y J x + y J, x.E J.

Mỗi quan hệ S trên E tƣơng đẳng đối với cấu trúc đại số Bulơ của E

đƣợc xác định một cách duy nhất bởi một Iđêan thực sự J E.

Y S(x) nếu y x J (hoặc y x J).

Nếu J là một Iđêan thực sự của đại số Bulơ E thì tập thƣơng

J

E = x = x J : e E.

là một đại số Bulơ đối với các phép toán thƣơng:

.11,00

.')'(

J..)J).((

.)()J()(

JJ

JxJx

yxyJx

JyxyJx


BÀI TẬP CHƢƠNG V

Bài 1) Xét tập E = 1, 2, 3, 6 các cấu trúc dàn trên E tƣơng ứng với

các quan hệ: S là quan hệ chia hết, R là quan hệ thứ tự thông thƣờng. Chứng

tỏ rằng ánh xạ đồng nhất idE: (E, S) → (E, R) là một ánh xạ bảo toàn thứ tự

nhƣng không phải là một đồng cấu dàn.

Bài 2) Chứng minh rằng một tập với hai phép toán hai ngôi và

giao hoán, kết hợp và thoả mãn x (x y) = x và x (x y) = x là một

dàn.

Bài 3) Nếu quan hệ R là một tƣơng đẳng trên một dàn thì ta có:

(x, y) R (x y, x y) R.

Bài 4) Trong một dàn, nếu y z thì ta có:

x y x z; x y x z, y (x z) z (x y).

Bài 5) Chứng minh rằng trong một dàn ta có:

x (y z) (x y) (x z), x (y z) (x y) (x z).

Bài 6) Giả sử (E, ), (E’, ) là các dàn. Chứng minh rằng tập EE

với quan hệ sau đây là một dàn:

(x, x’) (y, y’) nếu x y và x’ y’.

Bài 7) Giả sử n = p11

, ... , p ss

, pi, i = 1, ... là các số nguyên tố

khác nhau. Ta kí hiệu L() là dàn các số nguyên 0, 1, ... , với thứ tự

thông thƣờng. Chứng minh rằng dàn các nhóm con (với thứ tự bao hàm) của

nhóm Zn đẳng cấu với dàn tích L(1) ... L(s).

Bài 8) Những nhóm xyclic hữu hạn nào có dàn các nhóm con đẳng

cấu với dàn các nhóm con của nhóm Zn .

Bài 9) Giả sử A, B là các nhóm con Aben hữu hạn có cấp nguyên tố

cùng nhau. Chứng minh rằng L(A B) L(A) L(B), (L kí hiệu dàn các

nhóm con).

Bài 10) Giả sử E là một tập cho trƣớc và A P (E).


Chứng minh rằng tập L = B P (E): A B là một dàn con của

P (E). Xác định tập Ω0 các nguyên tử của L. Chứng minh L P (Ω0).

Bài 11) Chứng minh rằng dàn (E, ) phân phối nếu (x z) y = (x

y) z và chỉ nếu x, y, z E.

Bài 12) Một dàn (E, ) là phân phối nếu và chỉ nếu thoả mãn điều

kiện:

x y z và x y x z.

Bài 13) Chứng minh rằng:

a) Một dàn phân phối là môđula.

b) Mỗi dàn là một môđula nếu và chỉ nếu thoả mãn diều kiện:

x y z x (z y) x = z.

Bài 14) Tập các nhóm con chuẩn tắc của một nhóm với thứ tự bao

hàm là một dàn môđula.

Bài 15) Giả sử (E, ) là một dàn môđula: a, b E, A = [a b, a],

B = [b, a b]. Hãy chứng tỏ các ánh xạ ƒ: A → B và g: B → A xác định bởi

ƒ(x) = x b, g(y) = y a là các đẳng cấu ngƣợc nhau.

Bài 16) Giả sử n > 1. Chứng minh rằng dàn các nhóm con của nhóm

Zn là một đại số Bulơ nếu và chỉ nếu n không chia hết cho bất kì bình

phƣơng của số nguyên tố nào.

Bài 17) Chứng minh rằng tập các tập vừa đóng vừa mở của một không

gian tôpô là một đại số Bulơ.

Bài 18) Tập con A Z gọi là n – tuần hoàn nếu A = A + n. Chứng

minh rằng các tập con n – tuần hoàn, n Z là một đại số Bulơ.

Bài 19) Chứng minh rằng trong một đại số Bulơ ta có:

x y xy’ = 0 x’ + y = 1.

Bài 20) Trong một đại số Bulơ ta có:

xz = yz x’y’ + xy z.


Bài 21) Chứng minh rằng các Iđêan của một đại số Bulơ hữu hạn E là

Iđêan chính, nghĩa là có dạng J(a) = x E: x a, trong đó a E.

Bài 22) Chứng minh rằng Iđêan J của đại số Bulơ E là maximan nếu

và chỉ nếu E / J là đại số Bulơ hai phần tử.

Bài 23) Giả sử a, b, c là các phần tử cho trƣớc của đại số Bulơ E. Hãy

giải trong E các phƣơng trình sau:

(i) ax + bx’ = 0.

(ii) ax + b = 0.

(iii) ax = b.

(iv) ax + bx’ + c = 0.

Bài 24) Giải trong đại số Bulơ hệ phƣơng trình:

x + yz = y + xz = 1.

Bài 25) Giả sử E, E’ là các đại số Bulơ. Chứng minh rằng:

a) Ánh xạ tăng h: E → E’ thoả mãn h(0) = 0, h(1) = 1 là một đồng

cấu.

b) Mỗi ánh xạ h: E → E’ là một đẳng cấu khi và chỉ khi h là toàn ánh

và ánh xạ tăng.

Bài 26) Chứng minh rằng trong đại số Bulơ ta có:

x y (x z) + (z y).

CHƢƠNG V ĐẠI SỐ BULƠ (Boole) - WordPress.com...2 ĐẠI SỐ BULƠ 1. Định nghĩa và...

Documents

Transcript of CHƢƠNG V ĐẠI SỐ BULƠ (Boole) - WordPress.com...2 ĐẠI SỐ BULƠ 1. Định nghĩa và...