Chương 6: Đại số Boole

07-09-2007 Bài giảng Môn học 1

Chương 6:

Đại số Boole


Mở đầu

• Đại số Boole đưa ra các phép toán làm việc với tập {0, 1}

• Các phép toán thường dùng trong đại số Boole:– Phép lấy phần bù được định nghĩa bởi : 0 = 1 và

1 = 0– Phép lấy tổng Boole, ký hiệu ‘+’:

1 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0– Phép lấy tích Boole, ký hiệu ‘.’:

1.1 = 1, 1.0 = 0, 0.1 = 0, 0.0 = 0


Mở đầu (tt)

• Phép lấy phần bù, tổng và tích Boole tương ứng với các toán tử logic , , , trong đó 0 tương ứng với F (false, sai) và 1 tương ứng với T (true, đúng). Các kết quả của đại số Boole có thể được dịch trực tiếp thành mệnh đề và ngược lại.


Hàm Boole

• Định nghĩa: Cho B = {0,1}. – Biến x được gọi là biến Boole nếu nó chỉ nhận giá

trị từ B– Một hàm đi từ Bn B được gọi là hàm Boole bậc n

• Hàm Boole thường được biểu diễn bằng cách dùng các biểu thức được tạo bởi các biến và phép toán Boole

Ví dụ: F(x, y, z) = xy + z• Có hàm Boole bậc n khác nhau ?

n22


Các hằng đẳng thức của đại số Boole

Hằng đẳng thức Tên gọi

x = x Luật phủ định kép

x + x = x

x.x = x

Luật lũy đẳng

x + 0 = x

x.1 =x

Luật đồng nhất

x + 1 = 1

x.0 = 0

Luật nuốt

x + y = y + x

x.y = y.x

Luật giao hoán


Các hằng đẳng thức của đại số Boole (tt)

Hằng đẳng thức Tên gọi

(x + y) + z = x + (y + z)

(x.y).z = x.(y.z)

Luật kết hợp

x + yz = (x + y)(x + z)

x(y +z) = xy +xz

Luật phân phối

(xy) = x + y

x + y = x . y

Luật De Morgan


Chứng minh các hằng đẳng thức

• Ví dụ 1: Chứng minh sự đúng đắn của luật phân phối x(y +z) = xy +xz

x y z y + z x(y + z) xy xz xy + xz

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0


Chứng minh các hằng đẳng thức(tt)

• Dùng các hằng đẳng thức đã có để chứng minh các hằng đẳng thức khác

• Ví dụ: Chứng minh luật hấp thu x(x + y) = x bằng cách dùng các hằng đẳng thức của đại số Boole.

Giải:

x(x +y) = (x+0)(x +y) – luật ?

= x + 0.y – luật ?

= x + 0 – luật ?

= x – luật?


Tính đối ngẫu

• Đối ngẫu của biểu thức Boole nhận được bằng cách các tổng và tích Boole đổi chỗ cho nhau, các số 0 và 1 đổi chỗ cho nhau

Ví dụ: Đối ngẫu của biểu thức x. 1 + (y +z) là ?• Một hằng đẳng thức giữa các hàm biểu diễn bởi bởi các

biểu thức Boole vẫn còn đúng nếu ta lấy đối ngẫu hai vế của nó.


Định nghĩa trừu tượng của đại số Boole

• Định nghĩa: Đại số Boole là một tập B có hai phần tử 0 và 1 với hai phép toán hai ngôi và , và một phép toán một ngôi sao cho các tính chất sau đây đúng với mọi x, y, z thuộc B.

Luật đồng nhất

Luật nuốt

Luật kết hợp

)()(

)()(

0

1

1

0

zyxzyx

zyxzyx

xx

xx

xx

xx


Định nghĩa trừu tượng của đại số Boole (tt)

Luật giao hoán

Luật phân phối

)()()(

)()()(

zxyxzyx

zxyxzyx

xyyx

xyyx


Biểu diễn các hàm Boole

• Khai triển tổng các tích (dạng tuyển chuẩn tắc)

Ví dụ: Tìm các biểu thức Boole biểu diễn các hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) có các giá trị được cho trong bảng sau:

x y z G F

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0


Biểu diễn các hàm Boole

• Khai triển tổng các tích (dạng tuyển chuẩn tắc)

Ví dụ 1: Tìm các biểu thức Boole biểu diễn các hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) có các giá trị được cho trong bảng sau:

F(x, y, z) = xyz

G(x, y, z) = xyz + xyzx y z F G

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0


Biểu diễn các hàm Boole(tt)

• Ví du 2: Tìm khai triển tổng các tích của hàm F(x, y, z) = (x + y) z

Giải:

Bảng giá trị của hàm F:

F(x, y, z) = ?

x y z x + y z (x + y) z

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0


Biểu diễn các hàm Boole(tt)

• Khai triển tích các tổng (dạng hội chuẩn tắc): Lấy đối ngẫu từ khai triển tổng các tích.

Ví dụ: Tìm dạng khai triển tích các tổng của hàm F(x, y, z) và G(x, y, z) ở ví dụ 1.


Tính đầy đủ

• Tất cả các hàm Boole đều có thể bằng cách dùng các phép toán Boole . , + , . – Khi đó ta nói tập hợp {. , + , } là đầy đủ

Ta có:– Tập {., } là đầy đủ ?– Tập {+, } là đầy đủ ?– Tập {., +} không phải là đầy đủ ?– Tập {|} là đầy đủ, tập {} là đầy đủ ? (phép | hay NAND và hay NOR được định nghĩa:1|1 = ? , 1|0 = ? ,0|1 = ? ,0|0 = ? .11 = ? , 10 = ? , 01 =? ,0 0 = ? .)


Tính đầy đủ (tt)

• Tập {., } là đầy đủ vì: x + y = x y• Tập {+, } là đầy đủ vì: x.y = ?• Tập {|} là đầy đủ vì: x = x|y

xy = (x|y)|(y|x)• Tập {} là đầy đủ vì: ?


Các cổng logic

• Các loại cổng cơ bản:– Cổng NOT hay bộ đảo: x x

– Cổng AND:

– Cổng OR

yx xy

xy x + y


Các cổng logic (tt)

• Các cổng có n đầu vào:

x1 x2… xn

x1x2

xn

x1 + x2 +…+ xn

x1x2

xn


Mạch tổ hợp

• Ví dụ 1: Dựng các mạch tạo các đầu ra sau:

a) (x + y)x ;

b) (x + y +z)( x y z )

Giải:

a)

b) ?

xy

z

x + y

x

(x + y)x


Mạch tổ hợp (tt)

• Ví dụ 2: Một ủy ban gồm ba thành viên phải quyết định các vấn đề của một tổ chức. Mỗi thành viên bỏ phiếu tán thành hoặc không cho mỗi một đề nghị được đưa ra. Một đề nghị được thông qua nếu nó nhận được ít nhất hai phiếu tán thành. Hãy thiết kế một mạch cho phép xác định được một đề nghị có được thông qua hay không.

(Lưu ý: Các mạch mà đầu ra chỉ phụ thuộc vào đầu vào chứ không phụ thuộc vào trạng thái hiện thời của mạch, được gọi là các mạch tổ hợp)


Mạch tổ hợp (tt)

Giải:

Biểu diễn của hàm Boole có giá trị đầu ra là:

xy + xz + yz

Mạch bỏ phiếu theo đa số:

yx

zy

zx xy + xz + yz

xy

xz

yz


Bộ cộng

• Bộ nửa cộng: Cộng hai bit, không xét đến số nhớ từ phép cộng trước.

• Bảng giá trị của bộ nữa cộng:

Bộ nửa cộng

x

ys

c

x y s c

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0


Bộ cộng (tt)

• Bộ công đầy đủ: Dùng để tính bit tổng và bit nhớ khi hai bit được cộng cùng với số nhớ từ trước.

• Bảng giá trị cho bộ cộng đầy đủ

x y cin s cout

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0


Bộ cộng (tt)

• Bộ cộng đầy đủ:

Bộ cộng đầy đủ

x

y s

coutcin


Bộ cộng (tt)

• Ví dụ: Mạch cộng hai số nguyên dương ba bit (x0 x1 x2) và (y0 y1 y2)

Bộ nữa cộng

xo

yo

soco Bộ cộng đầy đủ

x1

y1

s1`

c1 Bộ cộng đầy đủ

x2

y2

s2

c2 = s3


Cực tiểu hóa các mạch

• Ví dụ: Dựng mạch có đầu ra ra bằng 1 nếu và chỉ nếu x = y = z = 1 hoặc x = z = 1 và y = 0.

Giải

Cách 1: Cách 2:

Khai triển tổng các tích của Khai triển tổng các tích của

mạch là: xyz + xyz mạch là: xyz + xyz .

. Ta có: xyz +xyz = (y + y)xz

= 1.xz

= xz


Cực tiểu hóa các mạch

• Ví dụ: Dựng mạch có đầu ra ra bằng 1 nếu và chỉ nếu x = y = z = 1 hoặc x = z = 1 và y = 0.

Giải

Cách 1: Cách 2:

Khai triển tổng các tích của Khai triển tổng các tích của

mạch là: xyz + xyz mạch là: xyz + xyz .

. Ta có: xyz +xyz = (y + y)xz

= 1.xz

= xz

zx xz

xyz

x

y

z

y

xyz

xyz

xyz + xyz


Cực tiểu hóa các mạch (tt)

• Bản đồ Karnaugh: Cho chúng ta một phương pháp trực quan để rút gọn khai triển tổng các tích.



• Bản đồ Karnaugh hai biến:

• Ví dụ: Tìm bảng đồ Karnaugh cho

a) xy + xy b) xy + xy c) xy + xy + xy

? ?

xy xy

xy xy

x

x

y y

1 1

0 0

x

x

y y

x

x

y y

x

x

y y



• Bản đồ Karnaugh hai biến:

• Ví dụ: Tìm bảng đồ Karnaugh cho

a) xy + xy b) xy + xy c) xy + xy + xy

? ?

xy + xy = x , xy + xy = ? , xy + xy + xy =?

xy xy

xy xy

x

x

y y

1 1

0 0

x

x

y y

x

x

y y

x

x

y y



• Bảng đồ Karnaugh ba biến:

x

x

yz yz yz yz



• Ví dụ: Dùng bảng đồ Karnaugh rút gọn khai triển tổng các tích sau:

zyxzyxyzxzyxzyxzxyxyzc

zyxzyxyzxzyxzyxb

zyxyzxzyxzxya

)

)

)



Giải:

a)

1 1

1 1

x

x

yz yz yz yz

yzxzyzxzyxyzxzyxzxy



Giải:

b)

1 1

1 1 1

x

x

yz yz yz yz

? zyxzyxyzxzyxzyx



• Bảng đồ Karnaugh bốn biến:

• Ví dụ: Dùng bảng đồ Karnaught rút gọn khai triển tổng các tích:

?

?

?

?

? ? ? ?

zyxwyzxwzyxwzyxwzyxwyzxwzywxzwxywxyz

Chương 6: Đại số Boole

Documents

Transcript of Chương 6: Đại số Boole