Chương 1 ĐỘĐODƯƠNG HÀM SỐĐO ĐƯỢC€¦ · 1 Chương 1.ĐỘĐODƯƠNG-HÀM SỐĐO...
61
1 Chương 1. ĐỘ ĐODƯƠNG-HÀM SỐĐO ĐƯỢC 1. TẬP ĐO ĐƯỢC A. Ta nhắclạimộtsố phép toán về họ tậphợp. Cho X là tập khác trống và I là tập các chỉ số.Nếu ứng vớimột chỉ số i ∈ I, ta có duy nhấtmộttập con A i ⊂ X, ta nói rằng ta có một họ tậphợp ký hiệu là A i i∈I , hay A i i∈I , hay A i , i ∈ I, hay A i , i ∈ I. Ta định nghĩa phần giao củahọ tậphợp A i i∈I , là tập con của X được ký hiệu là i∈I ∩ A i và được xác định bởi i∈I ∩ A i x ∈ X : x ∈ A i vớimọi i ∈ I. # Nói khác đi, x ∈ i∈I ∩ A i x ∈ A i vớimọi i ∈ I. # Ta định nghĩa phầnhộicủahọ tậphợp A i i∈I , là tập con của X được ký hiệu là i∈I A i và được xác định bởi i∈I A i x ∈ X : x ∈ A i với ít nhấtmột i ∈ I. # Nói khác đi, x ∈ i∈I A i ∃i ∈ I : x ∈ A i . # Trường hợp riêng với i) I 1,2,..., n : ta viết i∈I ∩ A i i1 n ∩ A i A 1 ∩ A 2 ∩... ∩A n , i∈I A i i1 n A i A 1 A 2 ... A n . # ii) I ℕ : ta viết i∈I ∩ A i i1 ∩ A i A 1 ∩ A 2 ∩... , i∈I A i i1 A i A 1 A 2 ... . # Chú ý:
Transcript of Chương 1 ĐỘĐODƯƠNG HÀM SỐĐO ĐƯỢC€¦ · 1 Chương 1.ĐỘĐODƯƠNG-HÀM SỐĐO...
1
Chương 1. ĐỘ ĐO DƯƠNG-HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC
1. TẬP ĐO ĐƯỢCA. Ta nhắc lại một số phép toán về họ tập hợp. Cho X là tập khác trống và I là tập
các chỉ số. Nếu ứng với một chỉ số i ∈ I, ta có duy nhất một tập con Ai ⊂ X, ta nóirằng ta có một họ tập hợp ký hiệu là Ai i∈I, hay Aii∈I, hay Ai, i ∈ I, hay Ai, i ∈ I.
Ta định nghĩa phần giao của họ tập hợp Ai i∈I, là tập con của X được ký hiệu là
i∈I∩ Ai và được xác định bởi
i∈I∩ Ai x ∈ X : x ∈ Ai với mọi i ∈ I. #
Nói khác đi,
x ∈i∈I∩ Ai x ∈ Ai với mọi i ∈ I. #
Ta định nghĩa phần hội của họ tập hợp Ai i∈I, là tập con của X được ký hiệu là
i∈I Ai và được xác định bởi
i∈I Ai x ∈ X : x ∈ Ai với ít nhất một i ∈ I. #
Nói khác đi,
x ∈i∈I Ai ∃i ∈ I : x ∈ Ai. #
Trường hợp riêng vớii) I 1,2, . . . ,n : ta viết
i∈I∩ Ai
i1
n∩ Ai A1 ∩ A2 ∩. . .∩An,
i∈I Ai
i1
n Ai A1 A2 . . .An.
#
ii) I ℕ : ta viết
i∈I∩ Ai
i1
∩ Ai A1 ∩ A2 ∩. . . ,
i∈I Ai
i1
Ai A1 A2 . . . .
#
Chú ý:
2
X i∈I∩ Ai
i∈I X Ai, X
i∈I Ai
i∈I∩ X Ai. #
Nếu không sợ nhầm lẫn ta còn ký hiệu
Ac X A. #
Do đó:
i∈I∩ Ai
c
i∈I Aic,
i∈I Ai
c
i∈I∩ Aic. #
Ví dụ. (Xem như bài tập). Xác địnhi∈I∩ Ai và
i∈I Ai, với Ai −1i , 3
2i1 .
B. Ta qui ước một số ký hiệu và các phép tính
−, − ,−, ,−, −,
#
a a nếu 0 ≤ a ≤ , và a. .a , nếu 0 a ≤ ,0, nếu a 0.
#
Các qui tắc về dấu (âm, dương) tương tự như phép nhân thông thường), chẳnghạn
a. .a − nếu − ≤ a 0,0 nếu a 0.
#
C. Giới hạn trên limsup và giới hạn dưới liminf.C1. Giới hạn trên limsup. Ta cho dãy số an ⊂ , ta đặti Nếu an không bị chận trên, ta đặt
n→lim sup an .
ii Nếu an bị chận trên, ta đặt
bk supak,ak1,ak2, . . . n≥ksup an, k 1,2,3, . . . . #
Khi đó, b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥. . .ii1 Nếu bk không bị chận dưới, ta đặt
n→lim sup an −.
ii2 Nếu bk bị chận dưới, thì bk ↘k≥1inf bk. Ta đặt
3
n→lim sup an
k→lim bk
k→lim
n≥ksup an
k≥1inf
n≥ksup an . #
C2. Giới hạn dưới liminf. Xét dãy số an ⊂ , ta đặti Nếu an không bị chận dưới, ta đặt
n→lim inf an −.
ii Nếu an bị chận dưới, ta đặt
ck infak,ak1,ak2, . . . n≥kinf an, k 1,2,3, . . . . #
Khi đó, c1 ≤ c2 ≤ c3 ≤. . .ii1 Nếu ck không bị chận trên, ta đặt
n→lim inf an .
ii2 Nếu ck bị chận trên, thì ck ↗k≥1sup ck. Ta đặt
n→lim inf an
k→lim ck
k→lim
n≥kinf an
k≥1sup
n≥kinf an . #
Chú ý 1: Đôi khi người ta cũng dùng các ký hiệun→lim an và
n→lim an, lần lượt thay cho
n→lim sup an và
n→lim inf an.
Chú ý 2: Ta cũng định nghĩan→
lim sup an,n→
lim inf an cho dãy an ⊂ , như sau
n→lim sup an
k≥1inf
n≥ksup an ,
n→lim inf an
k≥1sup
n≥kinf an . #
Chú ý 3:
n→lim sup −an −
n→lim inf an. #
Chú ý 4:
n→lim inf an ≤
n→lim sup an. #
Chú ý 5: Nếu an hội tụ thì
n→lim sup an
n→lim inf an
n→lim an. #
Chú ý 6: Ta cho dãy số an ⊂ , ta đặt
A a ∈ : a k→lim ank , với ank là dãy con của an . #
4
Khi đó tồn tại amax, amin ∈ A sao cho amin ≤ a ≤ amax, ∀a ∈ A. Khi đó ta có
n→lim sup an amax và
n→lim inf an amin. #
Ví dụ. (Xem như bài tập). Cho dãy số thực an, sao chon→
lim sup an ≤ 0 ≤ an với
mọi n ∈ ℕ. Chứng minh rằng an → 0.C3. Cho dãy hàm fn, fn : X → . Khi đó
nsup fn,
ninf fn,
n→lim sup fn và
n→lim inf fn là
các hàm được xác định trên X bởi
nsup fn x
nsup fnx,
ninf fn x
ninf fnx,
n→lim sup fn x
n→lim sup fnx
k≥1inf
n≥ksup fnx ,
n→lim inf fn x
n→lim inf fnx
k≥1sup
n≥kinf fnx ,
n→lim fn x
n→lim fnx.
#
Nếu fx n→lim fnx, tồn tại ở mọi x ∈ X, khi đó ta gọi f là giới hạn từng điểm
của dãy fn.Định nghĩa 1.1.1. Cho X là tập khác trống. Một họM các tập con của X được gọi
là một − đại số trong X nếu các điều kiện sau đây thỏa:
i X ∈ M,ii Nếu A ∈ M thì X A ∈ M,iii Nếu Aj ∈ M, j 1,2, . . . thì j1
Aj ∈ M. #
Chú ý: Ta suy từ i − iii, rằng
4i ∈ M, vì X X ∈ M.5i Nếu lấy An1 An2 . . . trong (iii), ta thấy rằng
j1n Aj ∈ M, nếu Aj ∈ M với j 1,2, . . . ,n.
6i Nếu Aj ∈ M, j 1,2, . . . thì ∩j1 Aj ∈ M,
vì ∩j1 Aj j1
X Aj ∈ M.
7i Nếu A, B ∈ M, thì A ∩ B X A B ∈ Mvà A B A ∩ X B ∈ M.
#
Định nghĩa 1.1.2. Nếu X có một − đại sốM trong X thì ta gọi cặp X,M (hoặcvắn tắt X) là một không gian đo được (measurable space), và phần tử của M đượcgọi là tập đo được trong X.
5
Ví dụ 1.1.1. (Xem như bài tập). Cho X là tập khác trống và M , X. Nghiệm lạirằng M là một − đại số trong X. Câu hỏi tương tự với M PX là họ tất cả các tậpcon của X.Ví dụ 1.1.2. (Xem như bài tập). Cho X 0,1 và M PX. Tập 1
2 , 1 có đo đượckhông?Ví dụ 1.1.3. (Xem như bài tập). Cho X 0,1 và M , X, 0, 1
2 , 12 , 1. Tập
23 , 1 có đo được không?Chú thích 1.1.1. Cho ℱ ⊂ PX. Khi đó tồn tại một − đại số nhỏ nhất M∗ trong X
sao cho ℱ ⊂ M∗. Ta còn gọi M∗ là − đại số sinh bởi ℱ.Thật vậy, ta gọi là họ tất cả các − đại sốM trong X chứa ℱ. Vì PX cũng là
một − đại số (Ví dụ 1.1.1), nên ≠ . Gọi M∗ M∈∩ M. Dễ thấy rằng ℱ ⊂ M∗, bởi
vì ℱ ⊂ M với mọi M ∈ . Ta chỉ cần chứng minh rằng M∗ là một − đại số.Giả sử rằng Aj ∈ M∗, với j 1,2, . . . , và nếu M ∈ , thì Aj ∈ M, như vậy
j1 Aj ∈ M, bởi vì M là một − đại số. Vì j1
Aj ∈ M, với mọi M ∈ , ta kết luậnrằng j1
Aj ∈ M∗. Hai tính chất còn lại trong định nghĩa X ∈ M∗, và X A ∈ M∗ vớimọi A ∈ M∗ được chứng minh tương tự.
Định nghĩa 1.1.3. (Độ đo dương) Cho X là một không gian đo được với một −đại sốM và cho hàm : M → 0,. Ta nói là một độ đo dương trên M nếu thoảmãn các tính chất sau:
i Tính chất cộng đếm được (countably additive): j1 Aj ∑ j1
Aj,
nếu Aj ∈ M, j 1,2, . . . và Ai ∩ Aj , ∀i ≠ j.ii ∃A ∈ M : A .
#
Định nghĩa 1.1.4. (Độ đo phức) Cho X là một không gian đo được với một − đạisốM và cho hàm : M → ℂ. Ta nói là một độ đo phức trên M nếu thoả mãn tínhchất sau:
j1 Aj ∑ j1
Aj, nếu Aj ∈ M, j 1,2, . . . và Ai ∩ Aj , ∀i ≠ j. #
Định nghĩa 1.1.5. Cho X là một không gian đo được với một − đại sốM và chohàm là một độ đo (dương hoặc phức) trên M. Ta nói X,M, là một không gian đo(measure space).Chú thích 1.1.2.i Với độ đo phức, chuỗi∑ j1
Aj hội tụ với mọi dãy Aj rời nhau như trên, làhội tụ tuyệt đối.
ii Nếu là một độ đo dương và nếu A, B ∈ M, và A ⊂ B thì A ≤ B. (Xem Vídụ 1.1.6).
iii Cũng vậy, nếu Aj ∈ M, j 1,2, . . . và A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂. . . , thì j1 Aj
6
n→lim An. (Xem Ví dụ 1.1.7).
iv Tương tự, nếu Aj ∈ M, j 1,2, . . . và A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃. . . , và A1 , thì∩j1
Aj n→lim An. (Xem Ví dụ 1.1.8).
vi Nếu là một độ đo dương và nếu Aj ∈ M, j 1,2, . . . , thìj1
Aj ≤ ∑ j1 Aj. (Xem Ví dụ 1.1.9).
Ví dụ 1.1.4. (Xem như bài tập). Cho X,M, là một không gian đo với là một độđo dương trên M Chứng minh rằng μ 0.Hướng dẫn: Lấy A1 A, A2 , . . . , An1 , . . . ., ta có A j1
Aj và A .Từ tính chất cộng đếm được, A j1
Aj ∑ j1 Aj. Do chuỗi∑ j1
Ajhội tụ nên
j→lim Aj 0, mà Aj với mọi j ≥ 2, nên
j→lim Aj 0.
Ta cũng chú ý rằng, với độ đo dương , điều kiện ii ∃A ∈ M : A trongđịnh nghĩa 1.1.3 có nghĩa là ≠ mà có thể thay bằng điều kiện tương đương 0. Ví dụ 1.1.4. chỉ ra rằng ≠ 0. Đảo lại, thì hiển nhiên, vì ta lấyA .Ví dụ 1.1.5. (Xem như bài tập). Cho X,M, là một không gian đo với là một độ
đo dương trên M. Chứng minh rằng (tính chất cộng hữu hạn): j1n Aj ∑ j1
n Aj,nếu Aj ∈ M, j 1,2, . . . ,n, và Ai ∩ Aj , ∀i ≠ j.Hướng dẫn: Lấy An1 An2 . . . , ta có j1
n Aj j1 Aj. Vậy
j1n Aj j1
Aj ∑ j1 Aj ∑ j1
n Aj ∑ jn1 Aj ∑ j1
n Aj.Ví dụ 1.1.6. (Xem như bài tập). Cho X,M, là một không gian đo với là một độ
đo dương trên M Chứng minh rằng nếu A, B ∈ M, và A ⊂ B thì A ≤ B.Ta có B A B A và A ∩ B A . Ta suy từ Ví dụ 1.1.5 rằng
B A B A ≥ A.Ví dụ 1.1.7. (Xem như bài tập). Cho X,M, là một không gian đo với là một độ
đo dương trên M. Chứng minh rằng, nếu Aj ∈ M, j 1,2, . . . và A1 ⊂ A2 ⊂. . . , thìj1
Aj n→lim An.
Hướng dẫn: Đặt B1 A1, B2 A2 A1, . . . ,Bj Aj Aj−1 với j 2,3,4, . . . . Khi đóBj ∈ M, và Bi ∩ Bj , ∀i ≠ j, An j1
n Aj j1n Bj và j1
Aj j1 Bj. Do đó
An ∑ j1n Bj và
j1 Aj ∑ j1
Bj n→lim ∑ j1
n Bj n→lim An.
#
Ví dụ 1.1.8. (Xem như bài tập). Cho X,M, là một không gian đo với là một độđo dương trên M. Chứng minh rằng, nếu Aj ∈ M, j 1,2, . . . và A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃. . . ,và A1 , thì ∩j1
Aj n→lim An. Cho một phản thí dụ để thấy điều kiện
”A1 ” không thể bỏ qua được.Hướng dẫn: Đặt Cj A1 Aj. Khi đó Cj ∈ M, và C1 ⊂ C2 ⊂ C3 ⊂. . . ,
7
Cj A1 − Aj,
j1 Cj j1
A1 Aj A1 ∩j1 Aj. #
Ta suy từ Ví dụ 1.1.7 rằng
A1 − ∩j1 Aj A1 ∩j1
Aj j1 Cj
n→lim Cn A1 −
n→lim An.
#
Vậy ∩j1 Aj
n→lim An.
Phản thí dụ: Ta lấy X ℕ, và là độ đo đếm trên X, (Xem ví dụ 1.1.10). Giả sửAn n,n 1,n 2, . . .. Khi đó A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃. . . ,∩n1
An , nhưng An vớimọi n 1,2,3, . . . , tức là ∩n1
An ≠n→lim An.
Ví dụ 1.1.9. (Xem như bài tập). Cho X,M, là một không gian đo với là một độđo dương trên M. Chứng minh rằng, nếu Aj ∈ M, j 1,2, . . . , thì j1
Aj ≤∑ j1 Aj.Hướng dẫn: Đặt B1 A1, B2 A2 A1, B3 A3 A1 A2, . . . ,Bj Aj n1
j−1 Anvới j 2,3,4, . . . . Khi đó Bj ∈ M, và Bi ∩ Bj , ∀i ≠ j, j1
Aj j1 Bj và Bj ⊂ Aj với
j ∈ ℕ. Do đó
j1 Aj j1
Bj ∑ j1n Bj ≤ ∑ j1
n Aj. #
Ví dụ 1.1.10. (Xem như bài tập). Cho X là tập bất kỳ, với E ⊂ X, ta định nghĩaX nếu E là tập vô hạn và E là số phần tử trong E nếu E là tập hữu hạn. Khiđó X,PX, là một không gian đo với độ đo gọi là một độ đo đếm (countingmeasure) trên X.Ví dụ 1.1.11. (Xem như bài tập). Cho X là tập bất kỳ, và cho x0 ∈ X cố định. Ta
định nghĩa
E 1 x0 ∈ E,0 x0 ∉ E,
#
với E ⊂ X. Khi đó, là độ đo trên PX. Ta gọi là khối lượng đơn vị tập trung tại x0.Ví dụ 1.1.12. (Xem như bài tập). Cho X,M, là một không gian đo, và f : X → Y
là một song ánh. Ta đặt N fE : E ∈ M, và D f−1D, ∀D ∈ N. Chứngminh rằng, Cho Y,N, là một không gian đo.Hướng dẫn:(a) Y,N là một không gian đo được:
8
i Y ∈ N vì Y fX, X ∈ M,ii Y D ∈ N ∀D ∈ N vì, Y D fX fE fX E,
X E ∈ M,iii Nếu Dj ∈ N, j 1,2, . . . và j1
Dj j1 fEj fj1
Ej,
j1 Ej ∈ M.
(b) là một độ đo dương trên Y,N.i ∃D ∈ N : D .???. Theo giả thiết ta có ∃E ∈ M : E . Chọn
D fE, ta có D ∈ N và D f−1D E .ii Tính chất cộng đếm được: Nếu Dj fEj ∈ N, j 1,2, . . . và Di ∩ Dj ,
∀i ≠ j, ta có Ej ∈ N, j 1,2, . . . và Ei ∩ Ej f−1Di ∩ f−1Dj f−1Di ∩ Dj , ∀i ≠ j.Do tính chất cộng đếm được của , ta được
j1 Dj f−1j1
Dj j1 f−1Dj j1
Ej
∑ j1 Ej ∑ j1
f−1Dj ∑ j1 Dj.
#
Định nghĩa 1.1.6. (Đầy đủ hóa một không gian đo) Cho X,M, là một khônggian đo. Đặt
M∗ E ⊂ X : ∃A,B ∈ M sao cho A ⊂ E ⊂ B và B A 0. #
Ta đặt ∗E A.Định lý 1.1.6. X,M∗,∗ là một không gian đo.Định nghĩa 1.1.7. X,M∗,∗ được gọi là đầy đủ hóa của X,M,. Nếu M∗ M
thì ta gọi là một độ đo đầy đủ.Hướng dẫn chứng minh định lý 1.1.6: Trước hết ta kiểm tra lại rằng ∗ được
xác định tốt với mọi E ∈ M∗. Giả sử rằng A ⊂ E ⊂ B, A1 ⊂ E ⊂ B1 vàB A B1 A1 0, với A, B, A1, B1 ∈ M. Chú ý rằng
A A1 ⊂ E A1 ⊂ B1 A1, #
do đó ta có A A1 0, do đó A A ∩ A1 A A1 A ∩ A1. Lý luậntương tự, A1 A1 ∩ A. Vậy ta có A1 A. Tiếp theo, nghiệm lại rằng M∗
thoả 3 tính chất của một − đại số.(i) X ∈ M∗, bởi vì X ∈ M và M ⊂ M∗.(ii) Giả sử rằng A ⊂ E ⊂ B, khi đó X B ⊂ X E ⊂ X A. Vậy E ∈ M∗dẫn đến
X E ∈ M∗, bởi vì X A X B X A ∩ B B A,X A X B B A 0.
(iii) Giả sử rằng Ai ⊂ Ei ⊂ Bi, E i1 Ei, A i1
Ai, B i1 Bi, khi đó
A ⊂ E ⊂ B và
B A i1 Bi A ⊂ i1
Bi Ai. #
9
Vì hội đếm được các tập có độ đo zero cũng là tập có độ đo zero, do đó0 ≤ B A ≤ i1
Bi Ai 0. Ta suy ra rằng B A 0, như vậyE i1
Ei ∈ M∗, nếu Ei ∈ M∗ với i 1,2,3, . . .Cuối cùng, nếu các tập Ei ∈ M∗ là rời nhau từng đôi một như trong bước (iii), thì
các tập Ai cũng rời nhau từng đôi một giống như vậy, và ta kết luận rằng
∗E A ∑ i1 Ai ∑ i1
∗Ei. #
Điều nầy chứng tỏ rằng ∗ cộng đếm được trên M∗.
2. HÀM ĐO ĐƯỢCĐịnh nghĩa 1.2.1. Cho X,M là một không gian đo được, hàm s : X → ℂ có dạng
dưới đây được gọi là một hàm đơn giản (simple function), vắn tắt gọi là hàm đơn hayhàm bậc thang
sx ∑ j1m jAjx ∀x ∈ X, #
với 1, . . . ,m ∈ ℂ, A1, . . . ,Am ∈ M, trong đó
Ax 1 x ∈ A,0 x ∈ X A.
#
Định nghĩa 1.2.2. Cho X,M là một không gian đo được, và hàm f : X → −,.Ta gọi f là một hàm thực đo được trên X,M nếu f−1a, x ∈ X : fx a ∈ Mvới mọi a ∈ .
Định nghĩa 1.2.3. Cho X,M là một không gian đo được, và hai hàm u,v : X → .Ta gọi f u iv là một hàm phức đo được trên X,M nếu u và v là các hàm đo đượctrên X,M.Ví dụ 1.2.1. (Xem như bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và hàm
f : X → −, hàm thực đo được trên X,M. Chứng minh rằng các tậpf−1a,, f−1−,a, f−1−,a, f−1a,, f−1a,b, f−1a,b, f−1a,b vàf−1a là đo được.Hướng dẫn:(j) f−1a, ∈ M ∀a ∈ . (Do định nghĩa).(jj) f−1−,a ∈ M ∀a ∈ .? Chú ý rằng
−,a
n1 −,a − 1
n
n1 a − 1
n , ,
vì
x ∈
n1 −,a − 1
n ∃n ∈ ℕ : x ∈ −,a − 1n − ≤ x a.
Vậy
10
f−1−,a f−1
n1 a − 1
n ,
n1 f−1 a − 1
n ,
n1 f−1 f−1a − 1
n ,
n1 X f−1a − 1
n , ∈ M,
do định nghĩa 1.1.1.(i)-(iii), (6i).(jjj) f−1−,a ∈ M ∀a ∈ . ? Chú ý rằng
−,a
n1 −n,a − 1
n
n1 −,a − 1
n ∩ −n,
n1 a − 1
n , ∩ −n, ,
vì
x ∈
n1 −n,a − 1
n ∃n ∈ ℕ : x ∈ −n,a − 1n − x a.
Vậy
f−1−,a f−1
n1 a − 1
n , ∩ −n,
n1 f−1 a − 1
n , ∩ −n,
n1 f−1 a − 1
n , ∩ f−1−n,
n1 f−1 f−1a − 1
n , ∩ f−1−n,
n1 X f−1a − 1
n , ∩ f−1−n, ∈ M,
do định nghĩa 1.1.1.(i)–(iii), (7i).(4j) f−1a, ∈ M ∀a ∈ . ? Chú ý rằng
a,
n1 a 1
n ,n
n1 −,n ∩ a 1
n ,
n1 −,n ∩ −,a 1
n ,
vì
x ∈
n1 a 1
n ,n ∃n ∈ ℕ : x ∈ a 1n ,n a x .
Vậy
11
f−1a, f−1
n1 −,n ∩ −,a 1
n
n1 f−1 −,n ∩ −,a 1
n
n1 f−1−,n ∩ f−1 −,a 1
n
n1 f−1−,n ∩ X f−1−,a 1
n ∈ M,
do (jj) và định nghĩa 1.1.1.(i)–(iii), (7i).(5j) f−1a,b ∈ M ∀a,b ∈ . ? Chú ý rằng
a,b −,b ∩ a, −,b ∩ −,a .Vậy
f−1a,b f−1 −,b ∩ −,a
f−1 −,b ∩ f−1 −,a
f−1 −,b ∩ X f−1−,a ∈ M,
do (jj) và định nghĩa 1.1.1.(i)–(ii), (7i).(6j) f−1a,b ∈ M ∀a,b ∈ . ? Chú ý rằng a,b −,b ∩ a, b, ∩ a,.
Vậyf−1a,b f−1 b, ∩ a,
f−1 b, ∩ f−1a,
X f−1b, ∩ f−1a, ∈ M,do định nghĩa 1.1.1.(i)–(ii), (7i).
(7j) f−1a,b ∈ M ∀a,b ∈ . ? Chú ý rằng a,b −,b ∩ a,.Vậy
f−1a,b f−1−,b ∩ a, f−1−,b ∩ f−1a, ∈ M,
do (jj) và định nghĩa 1.1.1. (7i).(8j) f−1a ∈ M ∀a ∈ .? Chú ý rằng
a −,a ∩ a, a, ∩ −,a .
Vậy
12
f−1a f−1 a, ∩ −,a
f−1 a, ∩ f−1 −,a
f−1 f−1a, ∩ f−1 f−1−,a
X f−1a, ∩ X f−1−,a ∈ M,do định nghĩa 1.1.1.(i) – (iii), (7i).
Ví dụ 1.2.2. (Xem như bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và hàmf : X → hàm thực đo được trên X,M. Giả sử f−1X ⊂ là tập hữu hạn. Chứngminh rằng f là hàm đơn.Hướng dẫn: Giả sử fX 1,2, . . . ,m ⊂ , i ≠ j ∀i ≠ j. Khi đó
Ai f−1 i ∈ M, và f ∑ j1m jAj .
Ví dụ 1.2.3. (Xem như bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và hàmhằng f C là đo được trên X,M.Hướng dẫn: Thật vậy, nếu a ≥ C, thì f−1a, x ∈ X : fx a ∈ M, còn
nếu như nếu a C, thì f−1a, x ∈ X : fx a X ∈ M.Ví dụ 1.2.4. (Xem như bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và hàm
f : X → hàm thực đo được trên X,M, và k ∈ . Chứng minh rằng kf là hàm đođược trên X,M.Hướng dẫn: Thật vậy, nếu k 0, thì x ∈ X : kfx a x ∈ X : fx a
k ∈ M,còn nếu như nếu k ≤ 0, thì hiển nhiên.Ví dụ 1.2.5. (Xem như bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và và hàm
f, g : X → hai hàm thực đo được trên X,M. Chứng minh rằng f g, f − g là hàm đođược trên X,M.Hướng dẫn:a) f g là hàm đo được.
fx gx a fx a − gx ∃rn ∈ : fx rn a − gx.Vậy thì
x ∈ X : fx gx a
n1 x ∈ X : fx rn a − gx
n1 x ∈ X : fx rn ∩ x ∈ X : gx a − rn
n1 f−1rn, ∩ g−1a − rn, ∈ M.
b) f − g là hàm đo được??: Ta có g là hàm đo được, suy ra −g là hàm đo được.Vậy f − g f −g. cũng là hàm đo được.Ví dụ 1.2.6. (Xem như bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và hàm
f : X → hàm thực đo được trên X,M, và 0. Chứng minh rằng |fx| là hàm đođược trên X,M.Hướng dẫn: Ta có ∀a 0, rằng
13
x ∈ X : |fx| a x ∈ X : |fx| a1/
x ∈ X : fx a1/ x ∈ X : fx −a1/ ∈ M.Còn nếu như a ≤ 0, thì x ∈ X : |fx| a X ∈ M.Ví dụ 1.2.7. (Xem như bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và và hàm
f, g : X → hai hàm thực đo được trên X,M. Chứng minh rằng f g, fg, maxf,g,minf,g là hàm đo được trên X,M.Hướng dẫn: Dựa vào các đẳng thức
fg 14 f g
2 − f − g2 ,
maxf,g 12 f g |f − g|,
minf,g 12 f g − |f − g|.
Còn nếu như a ≤ 0, thì x ∈ X : |fx| a X ∈ M.Ví dụ 1.2.8. (Xem như bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và hàm f,
g : X → hai hàm thực đo được trên X,M. Chứng minh rằng, nếu g không triệt tiêuthì f
g là hàm đo được trên X,M.Hướng dẫn: (i) Chú ý rằng, 1
g2 là đo được vì, với mọi a ∈ ,
Nếu a ≤ 0 : 1g2
−1a, x ∈ X : 1
g2x a X ∈ M.
Nếu a 0 : 1g2
−1a, x ∈ X : 1
g2x a
x ∈ X : |gx| 1a
x ∈ X : gx − 1a ∩ x ∈ X : −gx − 1
a ∈ M.
(ii) Ta có fg 1
g2 fg là đo được.
Ví dụ 1.2.9. (Xem như bài tập). Cho X,M là một không gian đo được và cho dãyhàm số đo đượcfn, fn : X → . Chứng minh rằng,
nsup fn,
ninf fn,
n→lim sup fn và
n→lim inf fn là các hàm đo được. Nếu tồn tại
n→lim fn thì nó cũng là hàm đo được.
Hướng dẫn:(i) Với mọi a ∈ , ta có
x ∈ X :n
sup fnx a X x ∈ X :n
sup fnx ≤ a
X
n1∩ x ∈ X : fnx ≤ a
n1 X x ∈ X : fnx ≤ a
n1 x ∈ X : fnx a ∈ M.
14
(ii)n
inf fn là hàm đo được, vìn
inf fn −n
sup −fn.
(iii)n→
lim sup fn là hàm đo được, vìn→
lim sup fnx k≥1inf
n≥ksup fnx .
(iv)n→
lim inf fn là hàm đo được, vìn→
lim inf fnx k≥1sup
n≥kinf fnx .
(iv) Nếu tồn tạin→lim fn thì
n→lim fn
n→lim sup fn cũng là hàm đo được.
Ví dụ 1.2.10. (Xem như bài tập). Cho X,M là một không gian đo được. Chứngminh rằng
A là các hàm đo được A ∈ M.Hướng dẫn:(i) A là các hàm đo được A ∈ M.Thật vậy A x ∈ X : Ax 1 A−11 ∈ M.(ii) A ∈ M A là các hàm đo được.Thật vậy, với mọi a ∈ , ta có
(j) a ≥ 1 : x ∈ X : Ax a ∈ M,(jj) a 0 : x ∈ X : Ax a X ∈ M,(jjj) 0 ≤ a 1 : x ∈ X : Ax a A ∈ M.
Ví dụ 1.2.11. (Xem như bài tập). Cho X,M là một không gian đo được. Chứngminh rằng hàm đơn s ∑ j1
m jAj , với 1, . . . ,m ∈ , A1, . . . ,Am ∈ M, là hàm đođược.Hướng dẫn: (Xem như bài tập).Định lý 1.2.1. Cho X,M là một không gian đo được, và hàm f : X → −, là
một hàm đo được trên X,M. Khi đó tồn tại một dãy các hàm đơn sn sao chofx
n→lim snx, ∀x ∈ X.
Nếu fx ≥ 0, ∀x ∈ X, thì có thể chọn dãy sn sao cho0 ≤ snx ≤ sn1x ≤. . .≤ fx, ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ X,fx
n→lim snx, ∀x ∈ X.
Chứng minh.(i) Giả sử fx ≥ 0, ∀x ∈ X, thì xét một dãy các hàm đơn sn như sau
snx n, nếu fx ≥ n,i−12n , nếu i−1
2n ≤ fx i
2n , 1 ≤ i ≤ n2n.
Dễ thấy sn là hàm đơn, vì sn i1
n2n
∑ i−12n En,i nFn , với En,i f−1 i−12n , i
2n ,
15
Fn f−1n,.Hơn nữa sn1x ≥ snx ≥ 0, ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ X. Ta nghiệm lại rằng fx
n→lim snx,
∀x ∈ X.Cũng chú ý rằng
f−10,n n2n
i1 f−1 i−12n , i
2n n2n
i1 En,i,
X f−10, f−10,n f−1n, n2n
i1 f−1 i−12n , i
2n f−1n,.
Nếu fx , thì tồn tại n fx. Do đó, có i : i−12n ≤ fx
i2n , do vậy snx i−1
2n .Suy ra |snx − fx| ≤ 1
2n → 0, khi n → . Nếu fx , thì fx ≥ n với mọi n. Do đó, snx n → .Vậy fx
n→lim snx, ∀x ∈ X.
(ii) Xét f tùy ý. Ta viết fx fx − f−x, với fx 12 |fx| fx,
f−x 12 |fx| − fx là các hàm đo được, không âm. Theo như trên thì có hai dãy
hàm đơn sn, sn− lần lượt hội tụ từng điểm đến các hàm f, f−. Do đó sn sn − sn− làhàm đơn và sn sn − sn− → f − f− f.
Chương 2. TÍCH PHÂN VỚI ĐỘ ĐO DƯƠNG TỔNG QUÁT
1. TÍCH PHÂN HÀM DƯƠNG ĐO ĐƯỢC
Định nghĩa 2.1.1. Cho X,M là một không gian đo được và cho hàm là một độđo trên M. Cho E ∈ M và một hàm đơn không âm s ∑ j1
m jAj . Ta đặt
Esd ∑ j1
m jE ∩ Aj,
và ta gọi Esd là tích phân của s trên E.
Chú thích 2.1.1. Qui ước 0. 0 được dùng ở đây; có thể xảy ra rằng j 0 vàE ∩ Aj với một j nào đó.
Định nghĩa 2.1.2. Cho X,M, là một không gian đo, cho E ∈ M và một hàmf : X → 0, đo được trên X,M. Ta đặt
16
Efd sup
Esd : s là hàm đơn trên X sao cho 0 ≤ s ≤ f ,
và ta gọi Efd là tích phân Lebesgue của f trên E đối với độ đo . Chú ý là có thề
Efd .Chú thích 2.1.2. Một hàm số có thể có nhiều tích phân tùy vào cách chọn độ
đo.
Định lý 2.1.1. Cho X,M, là một không gian đo, cho A, B, E ∈ M, 0 ≤ c vàhai hàm f, g : X → 0, đo được trên X,M. Khi đó ta có
(i) Efd
XE fd,
(ii) Efd ≤
Egd nếu f ≤ g,
(iii) Afd ≤
Bfd nếu A ⊂ B,
(iv) Ecfd c
Efd.
(v) Efd 0, nếu fx 0 ∀x ∈ E, cho dù E ,
(vi) Efd 0, nếu E 0, cho dù fx ∀x ∈ E.
Hướng dẫn chứng minh Định lý 2.1.1:
(i) Efd
XE fd.
Để cho gọn, ta ký hiệu ℱf tập các hàm đơn s trên X sao cho 0 ≤ s ≤ f.Ta viết Định nghĩa 2.1.2. về tích phân Lebesgue của f trên E đối với độ đo như
sau.
Efd sup
Esd : s ∈ ℱf ,
Trước hết ta nghiệm lại rằng (i) đúng với f A, A ∈ M, và với f là hàm đơn.* (i) đúng với f A, A ∈ M: Bởi vì
Efd
EAd E ∩ A
XE∩Ad
XEAfd
XEfd.
** (i) đúng với f ∑ j1m jAj , Aj ∈ M. Bởi vì
XE fd
XE ∑ j1
m jAj d X∑ j1
m jE∩Aj d ∑ j1m jE ∩ Aj E fd
***∀s ∈ ℱf sE ∈ ℱfE :
17
Esd
XsEd ≤ sup
XsEd
Esd : s ∈ ℱfE
XE fd.
VậyEfd ≤
XE fd1∗
***∀s ∈ ℱfE s ∈ ℱf :
Esd ≤ sup
Esd : s ∈ ℱf
Efd.
VậyXEfd ≤ E fd
2∗
Từ 1∗ và 2∗, ta suy ra (i) đúng.
(ii) Efd ≤
Egd nếu f ≤ g. Điều nầy dễ thấy vì ℱf ⊂ ℱg.
(iii) Afd ≤
Bfd nếu A ⊂ B,
Chú ý rằng nếu A ⊂ B, thì Af ≤ Bf, do đóAfd
XA fd ≤ X Bfd
Bfd.
(iv) Ecfd c
Efd. Nếu c 0 thì hiển nhiên. Giả sử c 0.
Ecfd sup
Esd : s ∈ ℱcf sup
Esd : s
c ∈ ℱf
sup c Erd : r s
c ∈ ℱf c sup Erd : r ∈ ℱf c
Efd.
(v) Efd 0, nếu fx 0 ∀x ∈ E, cho dù E . Dùng (iv).
(vi) Efd 0, nếu E 0, cho dù fx ∀x ∈ E. Từ định nghĩa.
Định lý 2.1.2 (Định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue). Cho X,M, là một khônggian đo, và fm là dãy hàm đo được từ X và 0,, và giả sử rằng
(i) 0 ≤ f1x ≤ f2x ≤. . .≤ fmx ≤. . .≤ ∀x ∈ X,
(ii)m→lim fmx fx ∀x ∈ X.
Khi đó ta có f đo được và
m→lim
Xfmd
Xfd.
Hướng dẫn chứng minh Định lý 2.1.2:
Vì Xfmd ≤ X fm1d, tồn tại ∈ 0,, sao cho
(1)m→lim
Xfmd .
18
Theo ví dụ 1.2.9, thì f n→lim fn là hàm đo được. Vì fmx ≤ fx, nên ta có
Xfmd ≤ X fd với mọi m, do đó theo (1), ta có
(2) ≤ Xfd.
Để chứng minh ≥ Efd, ta chỉ cần chứng minh rằng
(3) c Xsd ≤ , ∀s ∈ ℱf, ∀c ∈ 0,1.
Cho s ∑ j1m jAj ∈ ℱf, c ∈ 0,1.
Ta đặt(4) En x ∈ X : fnx ≥ csx, n ∈ ℕ.
Chú ý rằng mỗi En đo được, E1 ⊂ E2 ⊂ E3. . . , và X n1
En.
Để thấy đẳng thức nầy, ta xét x ∈ X.Nếu fx 0, thì x ∈ E1.Nếu fx 0, thì csx fx, vì 0 c 1. Do đó x ∈ En với một n nào đó. Vậy
(5) Xfnd ≥ En fnd ≥ c En sd c∑ j1
m jEn ∩ Aj
Sử dụng ví dụ 1.17, áp dụng cho dãy En ∩ Aj :
E1 ∩ Aj ⊂ E2 ∩ Aj ⊂ E3 ∩ Aj. . . , và X ∩ Aj n1
En ∩ Aj Aj,
ta có
(6) Aj X ∩ Aj n1 En ∩ Aj
n→lim En ∩ Aj.
Vậy
(7) ∑ j1m jEn ∩ Aj → ∑ j1
m jAj X sd.
Vậy, cho n → , ta suy từ (1), (5), (7) rằng
(8) ≥ c Xsd. Cho c → 1−, ta có ≥
Xsd.
Sau đó lấy Sup trên s ∈ ℱf, ta có
(9) Efd sup
Esd : s ∈ ℱf ≤ .
(2) – (9) Xfd.
Định lý 2.1.3 (Bổ đề Fatou). Cho X,M, là một không gian đo, E ∈ M và fmlà dãy hàm đo được từ X và 0,. Khi đó ta có
E m→
lim inf fmd ≤m→
lim inf Efmd.
19
Hướng dẫn chứng minh Định lý 2.1.3 (Bổ đề Fatou).
Đặt
(1) gkx m≥kinf fmx, k 1,2,3, . . . ,x ∈ X
Khi đó, gkx ≤ fkx, do đó
(2) Egkd ≤ E fkd, k 1,2,3, . . .
Mặt khác, 0 ≤ g1x ≤ g2x ≤. . . , mỗi gk là đo được, và gkx →m→
lim inf fmx, khi
k → . Dùng định lý hội tụ đơn điệu 2.12, ta có
(3)k→lim
Egkd
E m→lim inf fmxd.
Từ (2), ta có
(4)k→lim
Egkd
k→lim inf
Egkd
msup
k≥minf
Egkd ≤
msup
k≥minf
Efkd
k→lim inf
Efkd.
Từ (3), (4) dẫn đến E m→lim inf fmd ≤ lim inf
Efmd.
2. HÀM KHẢ TÍCH LEBESGUE
Định nghĩa 2.2.1. Cho X,M, là một không gian đo, ở đây là một độ đo dươngtrên X. Ta ký hiệu ℒX, là tập tất cả các hàm đo được f : X → ℂ sao cho
X
|f|d .
Một hàm f ∈ ℒX, gọi là hàm khả tích Lebesgue trên X theo độ đo . Chú ý rằngtính đo được của f dẫn đến tính đo được của |f| (môđun của f), do đó
X|f|d được
xác định.Nếu chỉ xét một độ đo , không sợ nhầm lẫn, ta có thể ký hiệu cho gọn lại
ℒX, ℒX. Nếu f u iv, trong đó u, v là các hàm thực đo được trên X, và nếuf ∈ ℒX, ta định nghĩa
Efd
Eud −
Eu−d i
Evd − i
Ev−d, ∗
với mỗi tập E ∈ M.Ở đây u và u− lần lượt là các phần dương và phần âm của u u − u−. Công thức
tường minh có thể viết u max0,u 12 |u| u, và u− min0,u 1
2 |u| − u. Mộtcách tương tự v và v− cũng thu được từ v. Cũng chú ý rằng 4 tích phân trong (*) tồntại như trong định nghĩa 2.1.2. Hơn nữa, ta có u ≤ |u| ≤ |f|,... Như vậy cả 4 tích phân
20
trong (*) là hữu hạn. Vậy (*) xác định và tích phân Efd ∈ ℂ.
Trong trường hợp hàm f : X → −, đo được trên X, cho E ∈ M. Ta định nghĩaEfd
Efd −
Ef−d nếu ít nhất một trong 2 tích phân
Efd,
Ef−d là hữu hạn.
Như vậy tích phân Efd ∈ −,.
Định lý 2.2.1. Cho X,M, là một không gian đo, cho f và g ∈ ℒX, và ∈ ℂ.Khi đó f g, f ∈ ℒX, và ta có
Xf gd
Xfd
Xgd,
Xfd
Xfd.
Hướng dẫn chứng minh Định lý 2.2.1.
a/ Xét f và g đo được không âm.Chọn hai dãy tăng các hàm đơn sm1, sm2, sao cho sm1 ↑ f và sm2 ↑ g. Khi đó
sm1 sm2 ↑ f g.Từ đẳng thức
(1) Xsm1 sm2 d
Xsm1d
Xsm2d,
ta sử dụng định lý hội tụ đơn điệu 2.12, ta có
(2)
k→lim
Xsm1d
Xfd.
k→lim
Xsm2d
Xgd.
Xf gd
k→lim
Xsm1 sm2 d
k→lim
Xsm1d
k→lim
Xsm2d
Xfd
Xgd.
b/ Xét f và g là các hàm thực đo được. Đặt h f g, ta có
(3) h − h− f − f− g − g−.Do đó
(4) h f− g− h− f g
Áp dụng tích phân cho tổng các hàm không âm
(5) Xhd
Xf−d
Xg−d
Xh−d
Xfd
Xgd
hay
(6)Xhd
Xhd −
Xh−d
Xfd
Xfd −
Xf−d
Xgd
Xgd −
Xg−d
21
c/ Xét f và g là các hàm phức đo được. f u iv, g w iz. Đặt h f g, ta có(7) h Reh i Imh u w iv z
(8)
Xhd
XRehd i
XImhd
Xu wd i
Xv zd
Xud
Xwd i
Xvd
Xzd
Xfd
Xud i
Xvd
Xgd
Xwd i
Xzd
Định lý 2.2.2. Cho X,M, là một không gian đo, cho f ∈ ℒX,. Khi đó
Xfd ≤
X|f| d.
Hướng dẫn chứng minh Định lý 2.2.2
Đặt Z Xfd Do Z ∈ ℂ, nên tồn tại ∈ ℂ, || 1 sao cho Z |Z|. Đặt
u Ref. Khi đó u ≤ |f| |f|. Do đó
Xfd |Z| Z
Xf d
Xf d
Xu d ≤
X|f| d.
Chú ý rằng Xf d là số thực.
Định lý 2.2.3 (Định lý hội tụ bị chận Lebesgue). Cho X,M, là một khônggian đo, và fm là dãy hàm phức đo được từ X sao cho
(i) fx m→lim fmx tồn tại ∀x ∈ X.
Nếu tồn tại g ∈ ℒX, sao cho(ii) |fmx| ≤ gx ∀m 1,2, . . . ; ∀x ∈ X.
Khi đóf ∈ ℒX,,
m→lim
X|fm − f|d 0 và
m→lim
Xfmd
Xfd.
Hướng dẫn chứng minh Định lý 2.2.3Do |fx| ≤ gx và f đo được, f ∈ ℒX,. Vì |fmx − fx| ≤ 2gx, ta áp dụng Bổ đề
Fatou (Định lý 2.1.3) cho hàm 2gx − |fmx − fx| và dẫn đến
(1)
X
2gd ≤ lim inf X2g − |fm − f|d
X
2gdm→
lim inf −X|fm − f|d
X
2gdm→
− lim sup X|fm − f|d.
22
Vì X
2gd hữu hạn nên,m→
lim sup X|fm − f|d ≤ 0. Điều nầy dẫn đến tồn tại
m→lim
X|fm − f|d và 0.Mà điều nầy dẫn đến
m→lim
Xfmd
Xfd, bởi vì
Xfmd − X fd
Xfm − fd ≤
X|fm − f|d → 0.
Định nghĩa 2.2.2. Cho X,M, là một không gian đo, với là một độ đo dươngtrên X và E ∈ M. Ta xét một họ tính chất P Px : x ∈ E. Ta nói P đúng hầu hếttrên E (theo độ đo ) nếu tồn tại một tập N ∈ M sao cho N ⊂ E, N 0, và Pxđúng ∀x ∈ E N. Ta còn viết " P đúng h.h. trên E ", hay " P đúng a.e. trên E " (almosteverywhere). Khái niệm hầu hết phụ thuộc vào độ đo cho trước và để cho rõ ta sẽ viết" P đúng h.h. trên E ", hay " P đúng a.e. trên E ".
Ví dụ như, nếu hai hàm f và g đo được trên X và nếu x ∈ X : fx ≠ gx 0,thì ta nói rằng f g h.h. trên X.
Cho X,M, là một không gian đo, với là một độ đo dương trên X. Khi đóℒX, là một không gian vectơ trên đối với phép cộng và nhân thông thường. Cho fvà g ∈ ℒX,, ta ký hiệu f g nếu f g h.h. trên X. Có thể kiểm tra được rằng là một quan hệ tương đương trên ℒX,.
Ta cũng chú ý rằng nếu f g, khi đó với mọi E ∈ M, ta có Efd
Egd.
Để thấy điều nầy, ta phân tích E E N E ∩ N thành hội của hai tập rời nhauE N và E ∩ N, với N x ∈ E : fx ≠ gx; f g, trên E N và E ∩ N 0.
Định nghĩa 2.2.3. Ta ký hiệu L1X, ℒX,╱ là tập thương (tức tập các lớptương đương trên ℒX, đối với quan hệ tương đương ). Khi đó L1X, cũng làmột không gian vectơ trên đối với phép cộng và nhân như sau:
f g f g và
f f, ∀f, g ∈ ℒX,, ∀ ∈ .
Nếu không sợ nhầm lẫn, ta có thể ký hiệu cho gọn lại L1X, L1X. Trên L1Xta xác định một chuẩn
‖f‖ X
|f| d ∀f ∈ L1X.
Định lý 2.2.4. L1X,,‖‖ là một không gian Banach.Chứng minh Định lý 2.2.4 như bài tập
Ví dụ 2.2.1. (Xem như bài tập). Cho f : X → 0, và f ∈ ℒX,. Chứng minh rằng
x ∈ X : fx 0.Hướng dẫn: (Xem như bài tập).Đặt An x ∈ X : fx n.Khi đó An ∈ M, A1 ⊃ A2 ⊃. . .⊃ An ⊃. . . và x ∈ X : fx ∩n1
An.
23
Mặt khácAn 1
n X nAnd ≤1n X An fd ≤
1n X f d → 0.
Khi đó, áp dụng ví dụ 1.1.8, ta có x ∈ X : fx ∩n1 An
n→lim An 0.
Ví dụ 2.2.2. (Xem như bài tập). Cho f : X → −, và f ∈ ℒX,. Chứng minhrằng x ∈ X : |fx| 0.Hướng dẫn: Dùng bài tập trên với f thay bởi |f|.Ví dụ 2.2.3. (Xem như bài tập). Cho X,M, là một không gian đo với độ đo
dương .(a) Giả sử f : X → 0, đo được, E ∈ M và
Efd 0. Chứng minh rằng f 0 a.e.
trên E.(b) Giả sử f ∈ ℒX, và
Efd 0 ∀E ∈ M. Chứng minh rằng f 0 a.e. trên X.
(c) Giả sử f ∈ ℒX, và Xfd
X|f|d. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số
sao cho f |f| a.e. trên X.Hướng dẫn chứng minh Ví dụ 2.2.3.
(a) Đặt An x ∈ E : fx 1n . Khi đó x ∈ E : fx 0 n1
An.1n An 1
n X And ≤ An An fd ≤ An fd ≤ E fd 0.
Vậy, ta có An 0. Vì x ∈ E : fx 0 n1 An, ta có
x ∈ E : fx 0 n1 An ≤ ∑ n1
An 0. Vậy f 0 a.e. trên E.(b) Đặt f u iv, và E x ∈ X : ux ≥ 0. Khi đó
Efd 0 Re
Efd
Eud 0 và Im
Efd
Evd 0.
Đặc biệt, Re Efd
Eud
Eud 0. Do đó từ (a), ta có u 0 a.e. trên E.
Do đó u 0 a.e. trên X. (Vì X E x ∈ X : ux 0 x ∈ X : ux 0). Tươngtự ta cũng có
u− v v− 0 a.e. trên X.(c) (i) Nếu f |f| a.e. trên X, ∈ ℂ, thì || 1 và
X
|f|d Xfd Re
Xfd
Xfd ||
Xfd
Xfd .
(ii) Đặt Z Xfd. Chú ý là Z ∈ ℂ, nên tồn tại ∈ ℂ, || 1 sao cho Z |Z|.
Đặt U Ref. Khi đó U ≤ |f| |f|. Do đó
Xfd |Z| Z
Xf d
Xf d
Re Xf d
XRef d
XU d ≤
X|f| d.
(Chú ý rằng Xf d là số thực). Vậy
24
Xfd
X|f|d
XU d
X|f|d
X |f| − Ud 0.
Vì |f| − U ≥ 0, nên (a) chứng tỏ rằng |f| − U 0 a.e. trên X. Điều nầy nói rằngRef U |f| |f| a.e. trên X. Do đó Imf 0 a.e. trên X. Vậy f |f| |f| a.e.trên X.
Định lý 2.2.5. Cho X,M, là một không gian đo, và fm là dãy hàm phức đođược xác định a.e. trên X sao cho
(i) ∑m1
X|fm |d .
Khi đó chuỗi hàm
(ii) fx ∑m1 fmx hội tụ a.e. trên X, f ∈ ℒX,, và
(iii) Xfd ∑m1
Xfmd.
Hướng dẫn chứng minh Định lý 2.2.5. Đặt Sm x ∈ X : fmx xác định. Ta
có X Sm 0. Đặt x ∑m1 |fmx|, với x ∈ S ∩m1
Sm. Khi đóX S X ∩m1
Sm m1 X Sm 0. Do (i), và sử dụng định lý hội tụ đơn
điệu với
Nx ∑m1N |fmx| ↗ x ∑m1
|fmx| với x ∈ S ∩m1 Sm.
ta có
(1)Sd
N→lim
SNd
N→lim
S∑m1
N |fmx|d
N→lim ∑m1
N S
|fmx|d ∑m1
S|fm |d ∑m1
X
|fm |d .
Nếu E x ∈ S : X : x , ta suy ra rằng (Xem Ví dụ 2.2.2), X E 0.Chuỗi hàm (ii) hội tụ tuyệt đối tại mỗi x ∈ E, và nếu fx được xác định bởi (ii) vớix ∈ E, thì |fx| ≤ x trên E, do (1), ta có f ∈ ℒE,. Nếu GNx ∑m1
N fmx, khi đó|GN | ≤ , GNx → fx với mọi x ∈ E, và do Định lý 2.2.3 (Định lý hội tụ bị chậnLebesgue), ta có
(2) Efd
N→lim
EGNd
N→lim
E∑m1
N fmxd ∑m1
Efmd.
(2) suy ra (iii), bởi vì X E 0.Bài tập (Định lý 2.2.6). Cho X,M, là một không gian đo. Cho f ∈ ℒX, và
fm ⊂ ℒX, sao cho
m→lim
X|fm − f|d 0.
Chứng minh rằng tồn tại một dãy con fmk của fm và tồn tại g ∈ ℒX, sao cholà dãy hàm phức đo được xác định a.e. trên X sao cho(i) |fmkx| ≤ gx ∀x ∈ X, ∀k ∈ ℕ,
25
(ii) fx k→lim fmkx a.e. trên X.
Hướng dẫn chứng minh Định lý 2.2.6.
Dom→lim
X|fm − f|d 0, ta có một dãy con fmk của fm sao cho
X
|fmk1 − fmk |d ≤ 12k
, ∀k ∈ ℕ.
Đặt F1 fm1 , Fk fmk − fmk−1 , k ≥ 2 và g ∑k1 |Fk |.
Ta có
(i)
∑k1
X|Fk |d
X|F1 |d ∑k2
X
|Fk |d
X
|fm1 |d ∑k2
X|fmk − fmk−1 |d
≤ X
|fm1 |d ∑k2 1
2k−1
X|fm1 |d 1 .
Áp dụng định lý 2.25, ta có chuỗi hàm
(ii)f x ∑k1
Fkx k→lim fmkx hội tụ a.e. trên X,
f ∈ ℒX,.
Mặt khác, và
|fmkx| ∑ j1k Fjx ≤ ∑ j1
k |Fjx|
≤ ∑ j1 |Fjx| gx ∀x ∈ X, ∀k ∈ ℕ.
Áp dụng định lý hội tụ bị chận Lebesgue, ta cóf ∈ ℒX,,
k→lim
Xfmk −
f d 0.
Cũng dom→lim
X|fm − f|d 0, ta suy ra
f f a.e. trên X.
Bài tập (Định lý Egoroff). Cho X,M, là một không gian đo với một độ dodương sao cho X . Cho fm dãy các hàm đo được trên X và hội tụ hầu hếtvề f trên X. Cho 0, tồn tại A ∈M, với X A sao cho fm hội tụ đều trên A.
Ý tưởng Định lý Egoroff là sự hội tụ hầu hết trên tập có độ đo hữu hạn sẽ điềuchỉnh thành hội tụ đều sau khi bo qua một tập có độ đo nhỏ tùy ý.
Hướng dẫn chứng minh Định lý Egoroff. Ta giả sử rằng dãy hàm fm hội
tụ từng điểm về f trên X.Đặt
Sn,k ∩in x ∈ X : |fix − fx| 1k .
Cho x ∈ X, và k ∈ ℕ, do fm hội tụ từng điểm về f trên X, ta có n ∈ ℕ, sao chox ∈ Sn,k. Do đó với mọi k ∈ ℕ, ta có
X n1 Sn,k.
Chú ý rằng S1,k ⊂ S2,k ⊂ S3,k ⊂ Áp dụng Ví dụ 1.1.7, ta có
26
X n→lim Sn,k. Vậy với mọi 0 và k ∈ ℕ, ta có nk ∈ ℕ sao cho
X Sn,k X − Sn,k 2k
.
Ta đặt A ∩k1 Snk,k.
Ta có X A k1 X Snk,k, do đó
X A ≤ ∑k1 X Snk,k ∑k1
2k
.
Dễ thấy rằng fm hội tụ đều về f trên A. Thật vậy, với mọi k ∈ ℕ :Với mọi x ∈ A x ∈ Snk,k |fix − fx| 1
k , ∀i ≥ nk.
27
Chương 3. ĐỘ ĐO DƯƠNG THÔNG DỤNG
1. ĐỘ ĐO LEBESGUE TRÊN
Định nghĩa 3.1.1. Gọi ℱ là họ tất cả các phần hội của một số hữu hạn của các tậpcó dạng: a,b, −,c, d,, −,, với a, b, c, d ∈ . Khi đó ta có
Định lý 3.1.1. ℱ có các tính chất saui , ∈ ℱ,
ii Nếu E ∈ ℱ, thì E ∈ ℱ,
iii Nếu Ej ∈ ℱ, j 1,2, . . . ,m thì j1m Ej ∈ ℱ.
Chú ý: ℱ chưa phải là một −đại số.Định nghĩa 3.1.2. Cho E ∈ ℱ. Khi đó E là hội hữu hạn các tập rời nhau có dạng:
a,b, −,c, d,, −,, với a, b, c, d ∈ . Ta định nghĩa độ dài của E là tổng cácđộ dài các tập tương ứng trong phần hội đó và ký hiệu là lE. Hiển nhiên lE ∈ 0,.
Định lý 3.1.2. l có các tính chất saui l 0,
ii lE ≥ 0, ∀E ∈ ℱ,
iii nếu Ej ∈ ℱ, j ∈ ℕ, Ei ∩ Ej , ∀i ≠ j, và nếu j1 Ej ∈ ℱ, thì lj1
Ej
∑ j1 lEj.
Hướng dẫn chứng minh Định lý 3.1.2. Khẳng định (i), (ii) là hiển nhiên đúng.
Ta chỉ cần kiểm tra khẳng định (iii): Nếu Ei có dạng −,c hoặc d, hoặc −, thì(iii) là hiển nhiên đúng. Ta chỉ cần xét E j1
m aj,bj, đưa bài toán về dạng E ,và Ej j,j, tức là nếu , j1
j,j và j,j rời nhau, ta cần chứng minhrằng − ∑ j1
j − j.* Ta chú ý rằng j1
m j,j ⊂ ,, do đó − ≥ ∑ j1m j − j.
* Cho 0, 0 − . Khi đó , ⊂ j1 j −
2j,j
2j.
[Mọi bao phủ mở của một tập con đóng và bị chận của đều có bao phủ con hữuhạn∗ (Xem chú thích dưới đây: CHÚ THÍCH: Giả sử A ⊂ là tập con đóng và bịchận và Ojj∈J là một họ các tập mở trong sao cho A ⊂ j∈J Oj. (Ta gọi Ojj∈J làmột phủ mở của A). Khi đó tồn tại một tập con hữu hạn K ⊂ J sao cho A ⊂ j∈K Oj]
Khi đó, tồn tại một số hữu hạn các khoảng mở jk − 2jk
,jk 2jk, k 1,2, ,N,
sao cho
28
, ⊂ k1N jk −
2jk,jk
2jk.
Từ ta có
− − l , ⊂ l k1N jk −
2jk,jk
2jk
≤ ∑k1N l jk −
2jk,jk
2jk ∑k1
N jk − jk 22jk
∑k1N jk − jk 2∑k1
N 12jk≤ ∑ j1
j − j 2∑ j1 1
2j
∑ j1 j − j 2.
Do đó − ≤ ∑ j1 j − j 3, ∀ ∈ 0, − . Vậy − ≤ ∑ j1
j − j.
Ví dụ 3.1.1. (Xem như bài tập). Cho Aj ∈ ℱ, j ∈ ℕ, sao cho j1 Aj ∈ ℱ. Chứng
minh rằng lj1 Aj ≤ ∑ j1
lAj.Hướng dẫn: (Xem như bài tập).Đặt E1 A1, E2 A2 A1, E3 A3 A1 A2, , Ek1 Ak1 j1
k Aj. Do đó tacó
Ej ∈ ℱ, j ∈ ℕ, Ei ∩ Ej , ∀i ≠ j, j1 Ej j1
Aj ∈ ℱ.
Dùng định lý 3.1.2, ta cólj1
Aj lj1 Ej ∑ j1
lEj ≤ ∑ j1 lAj.
Định nghĩa 3.1.3. Cho E ⊂ , và đặt AE là họ các dãy Ej ⊂ ℱ sao choE ⊂ j1
Ej. Đặt
l∗E inf ∑ j1 lEj : Ej ∈ AE .
Định lý 3.1.3. Cho A,B ⊂ , ta cói l∗ 0,
ii l∗E ≥ 0, ∀E ⊂ ,
iii l∗A ≤ l∗B, nếu A ⊂ B,
iv l∗E lE, ∀E ∈ ℱ,
v Nếu Ej ⊂ , j 1,2, . . . thì l∗j1 Ej ≤ ∑ j1
l∗Ej.
Hướng dẫn chứng minh Định lý 3.1.3. Khẳng định (i), (ii), (iii) là hiển nhiên
đúng. Ta chỉ cần kiểm tra khẳng định (iv), (v):Kiểm tra khẳng định (iv): Cho E ∈ ℱ. Ta đặt E1 E, Ej , ∀j ≥ 2. Ta có
Ej ∈ AE, do đó từ định nghĩa ta có l∗E ≤ lE. Ta chỉ cần kiểm tra bất đẳng thứcngược lại. Cho Fj ∈ AE, ta đặt Aj E ∩ Fj, ta có E ⊂ j1
Fj j1 Aj ∈ ℱ. Áp
dụng 3.1.1, ta có
29
lE ≤ lj1 Aj ≤ ∑ j1
lAj ≤ ∑ j1 lFj.
Từ định nghĩa ta có lE ≤ l∗E.Kiểm tra khẳng định (v): Cho 0. Do
l∗Ej inf ∑k1 lFk : Fkk∈ℕ ∈ AEj .
Nên với mỗi j ∈ ℕ, ta có Fj,kk∈ℕ ∈ AEj, sao cho∑k1 lFj,k l∗Ej
2j.
Ta chú ý rằng Ej ⊂ k1 Fj,k, do đó j1
Ej ⊂ j1 k1
Fj,k. Điều nầy dẫn đếnFj,kj,k∈ℕ ∈ Aj1
Ej, do đó ta có
l∗j1 Ej ≤ ∑ j1
∑k1 lFj,k ≤ ∑ j1
l∗Ej 2j
∑ j1 l∗Ej .
Mà điều nầy đúng với mọi 0, nên ta có l∗j1 Ej ≤ ∑ j1
l∗Ej.Định nghĩa 3.1.4. Đặt M là họ các tập E ⊂ có các tính chất sau∗ l∗A l∗A ∩ E l∗A E, ∀A ⊂ .Chú ý 3.1.1. Do định lý 3.1.3, ta có∗ l∗A ≥ l∗A ∩ E l∗A E, ∀A ⊂ .Định lý 3.1.4.i M là một −đại số.
ii Nếu Ej ∈ M, j 1,2, . . . , Ei ∩ Ej , ∀i ≠ j, thì l∗j1 Ej ∑ j1
l∗Ej.
Hướng dẫn chứng minh Định lý 3.1.4.
Kiểm tra khẳng định (i): M là một −đại số.???(j) ∈ M. ??. Vì l∗A ∩ l∗A l∗A l∗ l∗A, ∀A ⊂ .(jj) E ∈ M, ∀E ∈ M. ???. Vì
l∗A ∩ E l∗A E l∗A ∩ Ec l∗A Ec l∗A E l∗A ∩ E l∗A, ∀A ⊂ .
(jjj) Trước hết ta kiểm tra ∀E1,E2 ∈ M E1 E2 ∈ M.??? Vì ∀A ⊂ , ta cól∗A ∩ E1 E2 l∗A ∩ E1 E2C
l∗A ∩ E1 E2 ∩ E1 l∗A ∩ E1 E2 ∩ E1C l∗A ∩ E1 E2C
l∗A ∩ E1 l∗A ∩ E2 ∩ E1C l∗A ∩ E1
C ∩ E2C
l∗A ∩ E1 l∗A ∩ E1C l∗A, ∀A ⊂ .
(4j) Trước hết ta kiểm tra ∀E1,E2 ∈ M, E1 ∩ E2 , thìl∗E1 E2 l∗E1 l∗E2.
30
Chú ý rằng E1 ∩ E2 E2 ⊂ E1C,
∀A ⊂ , ta cól∗A ∩ E1 E2 l∗A ∩ E1 E2 ∩ E1 l∗A ∩ E1 E2 ∩ E1
C
l∗A ∩ E1 l∗A ∩ E2 ∩ E1C l∗A ∩ E1 l∗A ∩ E2.
Lấy A , ta có l∗E1 E2 l∗E1 l∗E2.Bằng qui nạp, ta có: Nếu Ej ∈ M, j 1,2, . . . N, thì j1
N Ej ∈ M.Hơn nữa nếu các Ej rời nhau thì l∗j1
N Ej ∑ j1N l∗Ej.
(5j) Bây giờ xét Ej ∈ M, j 1,2, . . . , Ei ∩ Ej , ∀i ≠ j, ta sẽ chứng minh rằngj1 Ej ∈ M, và l∗j1
Ej ∑ j1 l∗Ej.
Ta đặt E j1 Ej và FN j1
N Ej FN−1 EN.
Chú ý rằng FN ⊂ E EC ⊂ FNC, l∗A ∩ FNC ≥ l∗A ∩ EC∀A ⊂ , ta cól∗A l∗A ∩ FN l∗A ∩ FNC ∑ j1
N l∗A ∩ Ej l∗A ∩ FNC
≥ ∑ j1N l∗A ∩ Ej l∗A ∩ EC.
Do định lý 3.1.3, (v), ta có∀A ⊂ , ta có l∗A ≥ ∑ j1
l∗A ∩ Ej l∗A ∩ EC ≥ l∗A ∩ E l∗A ∩ EC.
Từ chú ý 3.1.1, ta suy ra E j1 Ej ∈ M. Ta chọn A E, khi đó
l∗E ≥ ∑ j1 l∗Ej và cũng từ định lý 3.1.3, (v), ta có l∗E ∑ j1
l∗Ej.
Định lý 3.1.5. ℱ ⊂ M.
Hướng dẫn chứng minh Định lý 3.1.5.
Cho E ∈ ℱ và A ⊂ . Cho 0. Do l∗A inf ∑k1 lFk : Fkk∈ℕ ∈ AA , ta
có Fkk∈ℕ ∈ AA, sao cho∑k1 lFk l∗A .
Do định lý 3.1.3, (v), ta cóTa chú ý rằng A ⊂ k1
Fk, do đóChú ý rằng A ∩ E ⊂ k1
Fk ∩ E, A ∩ Ec ⊂ k1 Fk ∩ Ec,
∀A ⊂ , ta cól∗A ∩ E l∗A ∩ EC ≤ ∑k1
l∗Fk ∩ E ∑k1 l∗Fk ∩ EC
∑k1 lFk ∩ E lFk ∩ EC ∑k1
lFk l∗A .
Từ chú ý 3.1.1, ta suy ra rằng E ∈ M.Định nghĩa 3.1.5. Đặt A l∗A, A ∈M. Khi đó ,M, là một không gian đo
và độ đo dương gọi là độ đo Lebesgue trên .
31
Định lý 3.1.6.(i) Cho E ∈M và B ⊂ sao cho B ⊂ E và E 0. Khi đó B ∈M.(ii) M chứa tất cả các tập mở và đóng của .(iii) Với mọi E ∈M ta có
E inf G : E ⊂ G, G mở trong .
(iv) Với mọi E ∈M ta cóE sup K : K ⊂ E, K compact trong .
(v) Với mọi E ∈M, và a ∈ a ≠ 0, ta cóa E E, aE |a|E,
trong đó a E a x : x ∈ E và aE ax : x ∈ E.Hướng dẫn chứng minh Định lý 3.1.6.
(i) Cho E ∈M và B ⊂ sao cho B ⊂ E và E 0. Khi đó B ∈M.??Cho A ⊂ tùy ý. Dùng Định lý 3.1.3.(iii):
A ∩ B ⊂ B ⊂ E l∗E ≥ l∗A ∩ B,A B ⊂ A l∗A ≥ l∗A B.
Vậyl∗A l∗E l∗A ≥ l∗A ∩ B l∗A B, ∀A ⊂ .Do đó B ∈ M.
(ii) M chứa tất cả các tập mở và đóng của . Ta chỉ cần kiểm tra a,b ∈M.Chú ý rằng a,b
k1
a,b − b−a
2k.
Do a,b − b−a2k ∈ ℱ ⊂ M. Mà M là − đại số nên a,b
k1
a,b − b−a
2k ∈ M.
(iii) Với mọi E ∈M ta có l∗E inf l∗G : E ⊂ G, G mở trong .??(iii1): ∀G mở trong , E ⊂ G, ta có l∗E ≤ l∗G
l∗E ≤ inf l∗G : E ⊂ G, G mở trong .
(iii2): ∀ 0, ∃aj,bj : E ⊂k1
aj,bj và∑ j1
bj − aj l∗E .
Xét G k1
aj,bj
2j ⊂
k1
aj,bj
2j, ta có
l∗G ≤ ∑ j1 l∗ aj,bj
2j ∑ j1
l∗ aj,bj 2j
∑ j1 l aj,bj
2j ∑ j1
bj − aj 2j
∑ j1 bj − aj l∗E 2.
Vậy inf l∗G : E ⊂ G, G mở trong ≤ l∗G l∗E 2.
Do 0 tuỳ ý nên
32
inf l∗G : E ⊂ G, G mở trong ≤ l∗E.
Vậyinf l∗G : E ⊂ G, G mở trong l∗E.
2. ĐỘ ĐO LEBESGUE TRÊN n
Ta sẽ thiết lập độ đo Lebesgue trên n nhờ vào không gian đo ,M, với độđo Lebesgue trên .
Định nghĩa 3.2.1. Gọi ℱn là họ tất cả các phần hội của một số hữu hạn của các ôcó dạng:
E E1 En, với E1, , En ∈ ℱ.Định lý 3.2.1. ℱn có các tính chất saui , n ∈ ℱn,
ii Nếu E ∈ ℱn, thì n E ∈ ℱn,
iii Nếu Ej ∈ ℱn, j 1,2, . . . ,m thì j1m Ej ∈ ℱn.
Chú ý: ℱn chưa phải là một −đại số.Định nghĩa 3.2.2. Cho E j1
m Ej, với Ej ∈ ℱn, là những ô rời nhau:
Ej Ej,1 Ej,n, với Ej,1, , Ej,n ∈ ℱ.Ta định nghĩa thể tích của E là
E ∑ j1m Ej,1 Ej,n.
Hiển nhiên E ∈ 0,.Định lý 3.2.2. có các tính chất saui 0,
ii E ≥ 0, ∀E ∈ ℱn,
iii nếu Ej ∈ ℱn, j ∈ ℕ, Ei ∩ Ej , ∀i ≠ j, và nếu j1 Ej ∈ ℱn, thì
j1 Ej ∑ j1
Ej.Lý luận tương tự như trên ta cũng có:Định nghĩa 3.2.3. Cho E ⊂ n, và đặt AnE là họ các dãy Ej ⊂ ℱn sao cho
E ⊂ j1 Ej. Đặt
∗E inf ∑ j1 Ej : Ej ∈ AnE .
Định lý 3.2.3. Cho A, B ⊂ n, ta cói ∗ 0,
33
ii ∗E ≥ 0, ∀E ⊂ n,
iii ∗A ≤ ∗B, nếu A ⊂ B,
iv ∗E E, ∀E ∈ ℱn,
v Nếu Ej ⊂ n, j 1,2, . . . thì ∗j1 Ej ≤ ∑ j1
∗Ej.
Định nghĩa 3.2.4. Đặt Mn là họ các tập E ⊂ n có các tính chất sau∗ ∗ ∗A ∗A ∩ E ∗A E, ∀A ⊂ n.Chú ý 3.2.1.Do định lý 3.2.3, ta có∗ ∗ ∗A ≥ ∗A ∩ E ∗A E, ∀A ⊂ n.Định lý 3.2.4.i Mn là một − đại số.
ii Nếu Ej ∈ Mn, j ∈ ℕ, Ei ∩ Ej , ∀i ≠ j, thì ∗j1 Ej ∑ j1
∗Ej.
Định lý 3.2.5. ℱn ⊂ Mn.Định nghĩa 3.2.5. Đặt nA ∗A, A ∈Mn. Khi đó n,Mn,n là một không
gian đo và độ đo dương n gọi là độ đo Lebesgue trên n. Nếu E ∈Mn thì ta nói E làtập Lebesgue đo được.
Định lý 3.2.6.(i) Cho E ∈Mn và B ⊂ n sao cho B ⊂ E và nE 0. Khi đó B ∈Mn.(ii) Mn chứa tất cả các tập mở và đóng của n.(iii) Với mọi E ∈Mn ta có
nE inf nG : E ⊂ G, G mở trong n .
(iv) Với mọi E ∈Mn ta cónE sup nK : K ⊂ E, K compact trong n .
(v) Với mọi E ∈Mn, và a ∈ n, c ∈ , c ≠ 0, ta cóna E nE, ncE |c|nnE,
trong đó a E a x : x ∈ E và cE cx : x ∈ E.Định lý 3.2.7.(i) Cho E là một tập mở của n. Khi đó có một dãy các ô rời nhau Pj, Pj j,1,
j,1 j,n, j,n sao choj1 Pj ⊂ E ⊂ j1
j,1,j,1 j,n,j,n và
∑ j1 Pj nE ∑ j1
j,1,j,1 j,n,j,n.
(ii) Cho E ∈Mn. Khi đónE 0 ∀ 0, tồn tại một dãy các ô j,1,j,1 j,n,j,n, sao cho
34
E ⊂ j1 j,1,j,1 j,n,j,n,
∑ j1 j,1,j,1 j,n,j,n .
(iii) Với mọi E ⊂ n. Khi đóE ∈Mn tồn tại một dãy các tập mở Gj và một dãy các tập đóng Fj trong n
sao cho Fj ⊂ E ⊂ Gj ∀j ∈ ℕ và nj1
∩ Gj
j1
Fj 0.
(iv) Gọi Nn là một − đại số nhỏ nhất chứa ℱn. Khi đó Nn ⊂ Mn và∀E ∈ Mn, ∃A,B ∈ Nn: A ⊂ E ⊂ B và nA nB nE, nB A 0.
3. ĐỘ ĐO TRÊN ĐƯỜNG
Định nghĩa 3.3.1. Cho f f1, , fn ∈ C1c,d;n và a,b ⊂ c,d. Ta nóiC fa,b là một đường cong thuộc lớp C1.
Cho 2m 1 số thực a0,a1, ,am, c0, ,cm−1 là một phân hoạch của đoạn a,b,tức là
a a0 a1 am−1 am b,ci ∈ ai,ai1 ∀i 0,1, ,n − 1.
Ta ký hiệu P a0,a1, ,am,c0,c1, ,cm−1 là phân hoạch của đoạn a,b.Độ mịn của phân hoạch P là |P|
1≤i≤mmax ai − ai−1.
Đặt Ai fai,∀i 0,1, ,m. Ta tính độ dài của đoạn thẳng AiAi1.Với mỗi i, tồn tại ci,1, ,ci,n ∈ ai,ai1
AiAi1 AiAi1 Ai1 − Ai fai1 − fai f1ai1 − f1ai, , fnai1 − fnai f1′ ci,1ai1 − ai, , fn′ ci,nai1 − ai.
Vậy
|AiAi1 | ‖Ai1 − Ai‖ |f1′ ci,1|2 |fn′ ci,n|2 ai1 − ai.
Do các hàm f1′ , , fn′ liên tục trên a,b nên các hàm nầy cũng liên tục đều trêna,b. Do đó, khi |P| đủ nhỏ
|AiAi1 | ≅ f1′ci
2 fn′ci
2ai1 − ai f ′ci ai1 − ai.
Do đó, độ dài của đường gấp khúc A0A1 An được xấp xỉ bởi
∑ i0m−1|AiAi1 | ≅ ∑ i0
m−1 f ′ci ai1 − ai.
Do đó,∑ i0m−1 f ′ci ai1 − ai a
b f ′t dt khi |P| 0.Định nghĩa 3.3.2. Cho c,d,M, là một không gian đo và độ đo Lebesgue thu
35
hẹp trên c,d. Cho h ∈ C1c,d;. Ta đặtfs s,hs, ∀s ∈ c,d,X fc,d,N fE : E ∈ M,
A f−1A
1 h′2 d, ∀A ∈ N.
Khi đó X,N, là một không gian đo. Ta gọi là độ đo trên đồ thị X.
Định nghĩa 3.3.3. Cho c,d,M, là một không gian đo và độ đo Lebesgue thuhẹp trên c,d. Cho f f1, , fn ∈ C1c,d;n. Ta đặt
X fc,d,N fE : E ∈ M,
A f−1A
f1′2 fn′2 d, ∀A ∈ N.
Khi đó X,N, là một không gian đo. Ta gọi là độ đo trên đường cong X.
Định lý 3.3.1. Cho c,d,M, và X,N, là các không gian đo như trong định
nghĩa 3.3.3. Cho h ∈ ℒX,. Khi đó ánh xạ t hft f ′t là − khả tích trên c,dvà
Xhd
c,dhft f ′t d.
Định nghĩa 3.3.4. (Tích phân đường loại 2). Cho f f1, , fn ∈ C1c,d;n vàa,b ⊂ c,d. Ta xét C fa,b là một đường cong thuộc lớp C1. Gọi Q ⊂ n là mộtô chứa C, F F1, ,Fn : Q → n. Tích phân đường loại 2 của F trên C được kýhiệu là
CFxdx định nghĩa như sau
CFxdx
a,bFft, f ′t
f ′tf ′t dt
a
b Fft, f ′t dt ∑ i1n
a
b Fiftfi′tdt.
Định nghĩa 3.3.5. (Tích phân đường loại 2 trong 2): ft x1t,x2t,Fx F1x,F2x.
Ta viết và ký hiệu lại
CF1dx1 F2dx2 C F1xdx1 F2xdx2 a
b Fft, f ′t dt
a
b F1x1t,x2tx1′t F2x1t,x2tx2
′t dt.
Hoặc viết theo ký hiệu thông dụng: ft xt,yt, Fx,y Px,y,Qx,y.Ta viết và ký hiệu lại
36
CPdx Qdy
CPx,ydx Qx,ydy
a
b Fft, f ′t dt
a
bPxt,ytx ′t Qxt,yty ′tdt.
Định nghĩa 3.3.6. (Tích phân đường loại 2 trong 3): ft xt x1t, x2t,x3t, Fx F1x, F2x, F3x.
Ta viết và ký hiệu lạiCF1dx1 F2dx2 F3dx3 C F1xdx1 F2xdx2 F3xdx3
a
b⟨Fft, f ′tdt
a
bF1xtx1
′ t F2xtx2′ t F2xtx2
′ tdt.
Hoặc viết theo ký hiệu thông dụng:ft xt,yt, zt, Fx,y, z Px,y, z,Qx,y, z,Rx,y, z.
Ta viết và ký hiệu lạiCPdx Qdy Rdz
CPx,y, zdx Qx,y, zdy Rx,y, zdz
a
b Fft, f ′t dt
a
bPxt,yt, ztx ′t Qxt,yt, zty ′t Rxt,yt, ztz′tdt.
4. ĐỘ ĐO TRÊN MẶT
Định nghĩa 3.4.1. Cho a a1,a2,a3, b b1,b2,b3 là hai vectơ độc lập tuyếntính trong 3. Diện tích hình bình hành S sinh ra bởi 2 vectơ nầy là độ dài của tích haivectơ (tích có hướng) được cho bởi
dtS ‖a b‖,a b là tích hai vectơ a, b được xác định bởi
a b a2b3 − a3b2,a3b1 − a1b3,a1b2 − a2b1
i j ka1 a2 a3
b1 b2 b3
a2b3 − a3b2 i a3b1 − a1b3 j a1b2 − a2b1k ,
ở đây ma trận trên đây viết một cách hình thức để dễ nhớ. Vậy diện tích hình bìnhhành S là
dtS ‖a b‖ a2b3 − a3b22 a3b1 − a1b32 a1b2 − a2b12 .
Ta xét mặt cong trong 3 như sau. Cho U là tập mở trong 2 và h ∈ C1U;. ĐặtS x,y,hx,y : x,y ∈ U.
Ta nói S là đồ thị trên U. Có thể nói một đồ thị là một biến dạng của miền phẳng Uthành một mặt theo phương thẳng đứng.
37
Cho U là tập mở trong 2 và một đơn ánh f ∈ C1U;3. Ta gọi S fU là một mặtđược tham số hóa trên U. Cho a x,y ∈ U và b fa. Cho 1,2 ∈ C1−1,1;U sao cho 0 a. Đặt gt ft ∀t ∈ −1,1. Khi đóC g−1,1 là một đường cong nằm trong mặt cong S và đi qua điểm b. Tiếp tuyếncủa C tại b có phương là vectơ g′0 và g′0 cũng được tính theo công thức đạo hàmhàm số hợp
g′0 Df0. ′0 ∂f∂x 01
′ 0 ∂f∂y 02
′ 0
1′ 0 ∂f∂x a 2
′ 0 ∂f∂y a.
Vậy tiếp tuyến với C tại b là đường thẳng
D b t 1′ 0 ∂f∂x a 2
′ 0 ∂f∂y a : t ∈
nằm trong tập hợp
P b s ∂f∂x a t∂f∂y a : s, t ∈ .
P chính là mặt phẳng đi qua điểm b và song song với hai vectơ ∂f∂x a và ∂f
∂y a.Mặt phẳng nầy chứa tất cả các tiếp tuyến tại b của mọi đường cong trong S đi qua b.Ta gọi P là mặt phẳng tiếp xúc của S tại b. Về mặt hình học, thì các điểm trên mặtcong S (gần điểm b) khá gần các điểm trên mặt phẳng tiếp xúc P. Điều nầy có thể nhìnlại theo lý luận Toán học bằng cách đặt a x0,y0 ∈ U, b fa. Cho r 0, và xét
gx,y fa x − x0∂f∂x a y − y0
∂f∂y a : x,y ∈ Ba, r.
Ta có gBa, r ⊂ P và do f khả vi nên |gx,y − fx,y| khá bé khi r bé.Cho 1 0, 2 0 (khá bé), ta xét U1 x0,x0 1 y0,y0 2 hình chữ nhật
trong U. Khi đó gU1 là hình bình hành nằm trên mặt phẳng P có hình chiếu lên mặtphẳng Oxy là U1. Trong khi đó fU1 cũng là một mảnh có dạng tứ giác cong nằm trênmặt cong S có hình chiếu lên mặt phẳng Oxy cũng là U1. Hai hình fU1 và gU1 cũngkhá gần nhau (gần như trùng nhau nếu 1, 2 khá bé). Như vậy ta có thể xấp xỉ diệntích của mảnh fU1 bởi diện tích của hình bình hành gU1. Chú ý là hình bình hànhgU1 nằm trên mặt phẳng tiếp xúc của S tại b fa, có một đỉnh là fa và có 2 cạnhliên tiếp xác định bởi 2 vectơ v1 1
∂f∂x a và v2 2
∂f∂y a. Diện tích của hình bình
hành gU1 là độ dài của tích vectơ
v1 v1 12∂f∂x a
∂f∂y a.
Lý luận tương tự như trong định nghĩa độ dài đường cong, ta có thể định nghĩadiện tích của mặt cong S là tích phân dưới đây
dtS U
∂f∂x x,y
∂f∂y x,y dxdy.
Cho S fU, với f f1, f2, f3 ∈ C1U;3, ta viết
38
∂f∂x x,y
∂f1∂x x,y,
∂f2∂x x,y,
∂f3∂x x,y ,
∂f∂y x,y
∂f1∂y x,y,
∂f2∂y x,y,
∂f3∂y x,y ,
∂f∂x x,y
∂f∂y x,y w1,w2,w3,
với
w1 ∂f2∂x x,y
∂f3∂y x,y −
∂f3∂x x,y
∂f2∂y x,y,
w2 ∂f3∂x x,y
∂f1∂y x,y −
∂f1∂x x,y
∂f3∂y x,y,
w3 ∂f1∂x x,y
∂f2∂y x,y −
∂f2∂x x,y
∂f1∂y x,y.
Vậy diện tích của mặt cong S là
dtS Uw1
2 w22 w3
2 dxdy.
Ta có định lý sau đây
Định lý 3.4.1. Cho là một tập mở của 2 và ,M,2 là một không gian đo, với2 là độ đo Lebesgue thu hẹp trên . Cho một đơn ánh f f1, f2, f3 ∈ C1;3. Tađặt
X f,N fE : E ∈ M,w1
∂f2∂x
∂f3∂y −
∂f3∂x
∂f2∂y ,
w2 ∂f3∂x
∂f1∂y −
∂f1∂x
∂f3∂y ,
w3 ∂f1∂x
∂f2∂y −
∂f2∂x
∂f1∂y ,
A f−1A
w12 w2
2 w32 d2, ∀A ∈ N.
Khi đó X,N, là một không gian đo.Trường hợp đơn giản hơn, đó là S là một đồ thị:
S f x,y,hx,y : x,y ∈ ,tức là f1x,y x, f2x,y y, f3x,y hx,y. Do đó, w1 − ∂h∂x x,y, w2 − ∂h∂y x,y,w3 1. Vậy ta có kết quả sau
Định lý 3.4.2. Cho là một tập mở của 2 và ,M,2 là một không gian đo, với
2 là độ đo Lebesgue thu hẹp trên . Cho một đơn ánh h ∈ C1;. Ta đặtfx,y x,y,hx,y ∀x,y ∈ .
Xét một không gian đo X,N, như định lý 3.4.1. Khi đó
A f−1A
1 ∂h∂x
2 ∂h
∂y
2d2, ∀A ∈ N.
39
Khi đó X,N, là một không gian đo.Bây giờ, ta cho F : S → là hàm −đo được. Tương tự như trong tích phân
đường, ta cũng định nghĩa tích phân của hàm F trên mặt cong S như sau
SFdS
Ffx,y w1
2x,y w22x,y w3
2x,y dxdy.
Trường hợp S là một đồ thị thì
SFdS
Fx,y,hx,y 1 ∂h
∂x2 ∂h
∂y
2dxdy.
Cho D là một tập mở của 3 sao cho mặt cong S f ⊂ D. ChoF F1,F2,F3 : D → 3. Tại mỗi điểm b fx,y ∈ S, ta có mặt phẳng P tiếp xúc với Stại b và vectơ w w1,w2,w3 vuông góc với P (còn gọi là pháp tuyến của S tại b).
Giả sử P b s ∂f∂x a t∂f∂y a : s, t ∈ là mặt phẳng tiếp xúc với S tại b, có
nghĩa là hai vectơ ∂f∂x a và ∂f
∂y a là độc lập tuyến tính, tức là w ≠ 0.
Giả sử rằng mặt cong S là mặt không kỳ dị, tức là ∂f∂x x,y và ∂f
∂y x,y là độc lậptuyến tính với mọi x,y ∈ .
Vectơ nb w‖w‖ w1,w2,w3
w12w2
2w32
gọi là vectơ pháp tuyến đơn vị của S tại b. Hình
chiếu của Fb F1b,F2b,F3b trên nb là vectơ có số đo đại số là
gb ⟨Fb,nb F1bw1F2bw2F3bw3
w12w2
2w32
.
Do đó, ta định nghĩa tích phân của hàm F trên mặt cong S như sau
SFdS
gb w1
2 w22 w3
2 dxdy
F1bw1F2bw2F3bw3
w12w2
2w32
w12 w2
2 w32 dxdy
F1fx,yw1 F2fx,yw2 F3fx,yw3 dxdy.
Trường hợp S là một đồ thị ta có fx,y x,y,hx,y ∀x,y ∈ . Khi đó, tích phâncủa hàm F trên mặt cong S được tính như sau
SFdS
−F1x,y,hx,y ∂h∂x x,y − F2x,y,hx,y ∂h∂y x,y F3x,y,hx,y dxdy.
40
Chương 4. CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN
4.1. ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN MỘT CHIỀU
Định lý 4.1.1. Cho g : c,d → a,b là một song ánh thuộc lớp C1 vàf ∈ ℒa,b,. Khi đó hàm t fgt|g′t| cũng thuộc ℒc,d, và có
a,bfd
c,dfgt|g′t|d.
4.2. ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN NHIỀU CHIỀU BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH
Ký hiệu ij để chỉ số Kronecker, tức là
ij 1, i j,0, i ≠ j.
Xét vectơ ej 1j,2j, ,mj, j 1, ,m. Khi đó e1,e2, ,em là một hệ mvectơ nằm trên m đường thẳng vuông góc tùng đôi một với nhau của hệ trục tọa độDescartes, chằng hạn như:i/ e1 1,0,e2 0,1 trong 2,ii/ e1 1,0,0,e2 0,1,0,e3 0,0,1 trong 3.Xét m số thực 1, 2, , m, ta đặt aj jej, với j 1, ,m. Khi đó khối hình hộp
PA tạo bởi các điểm a1, a2, , am có thể tích làVolPA |1 | |m |.
Chú ý rằng ma trận A a1, ,am là ma trận chéo và các phần tử trên đườngchéo đó chính là 1, , m. Do đó định thức của A chính là 1 m. Vậy, ta có
(1) |detA| VolPA.Vậy công thức (1) đúng cho một hệ trực giao {a1, ,am} trong m . Xét một hệ m
vectơ độc lập tuyến tính {a1, ,am} trong m . Bằng quá trình trực giao hoáGram-Schmitt, ta chuyển hệ {a1, ,am} thành một hệ m vectơ trực giao {b1, ,bm}trong m như sau.
b1 a1,
bk ak −k−1
i1
∑ ⟨ak,bi⟨bi,bi
bi, k 2, ,m.
Như vậy, ta thấy rằng ma trận A a1, ,am biến thành ma trận B b1, ,bmnhờ phép tính sơ cấp trên cột: Thêm vào một cột bằng tổ hợp tuyến tính của các cộtkhác, do đó theo tính chất của định thức thì detA detB. Từ công thức tính thể tích,
41
ta có VolPA VolPB.Do đó, ta có công thức (1) đúng cho mọi hệ m vectơ độc lập tuyến tính {a1, ,am}
trong m.Chú ý rằng nếu có một vectơ ai 0, thì VolPA 0 và detA 0.Bây giờ cho m vectơ a1, ,am trong m, và T là ánh xạ tuyến tính liên kết với ma
trận A a1, ,am. Cho vectơ ej 1j,2j, ,mj, j 1, ,m. Khi đóe1,e2, ,em là một hệ trực chuẩn (cơ sở trực chuẩn) trong m và Tej aj ∀j 1, ,m. Gọi P và Q lần lượt là các hình hộp tạo bởi e1,e2, ,em và a1, a2, ,am, ta có TP Q và thể tích của P 1. Do đó ta có
Thể tích TP |detA| thể tích P.
Ta xét một song ánh tuyến tính T : m → m có ma trận tương ứng là A. ChoE ⊂ m là E hội hữu hạn hoặc đếm được các khối vuông Pk rời nhau. Khi đó,TE
k TPk và thể tích của TPk |detA| (thể tích Pk). Suy ra
(2) Thể tích TE |detA| thể tích E.
Khi đó, ta cóĐịnh lý 4.2.1. Cho một song ánh tuyến tính T : m → m có ma trận tương ứng là
A. Cho U ⊂ m là một tập mở và f ∈ ℒV,, với V TU. Khi đó hàmx fTx|detA| cũng thuộc ℒU, và có
Vfd
Uf ∘ T|detA|d.
4.3. ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN NHIỀU CHIỀU BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI THUỘC LỚP
C1
Cho U,V ⊂ m là hai tập mở và một vi phôi từ g : U → V tức là một song ánhg : U → V sao cho g ∈ C1U,V, và g−1 ∈ C1V,U.
Vài ký hiệu: Cho a a1, , am ∈ m và r 0. Ta ký hiệuPa, r a1 − r, a1 r am − r, am r.
Ta ký hiệu detDgx Jgx là Jacobian của g tại x, ∀x ∈ U.Khi đó, ta cóĐịnh lý 4.3.1. Cho U,V ⊂ m là hai tập mở và một vi phôi từ g : U → V. Cho
b ∈ U và r0 sao cho Jgx ≠ 0, ∀x ∈ Pa, 2r0. Khi đó, ∀ 0, ∃r 0 sao choTPka, 1 − r ⊂ gPa, r ⊂ TPka, 1 r,
∀x ∈ Pb, r0 và ∀r ∈ 0, r, trong đó T Dga và k T−1 ∘ g. Hơn nữa, r chỉ phụthuộc vào và Dg và Dg−1.
Định lý 4.3.2. Cho U,V ⊂ m là hai tập mở và một vi phôi từ g : U → V. Cho
42
f ∈ ℒV,. Khi đó hàm x fgx|Jgx| cũng thuộc ℒU, và có
Vfd
Ufgy|Jgy|d.
Định lý 4.3.3. Cho A,B ⊂ m là hai tập đóng, U,V ⊂ m là hai tập mở sao choA U B V 0. Cho g : A → B liên tục sao cho gA U ⊂ B V vàg|U : U → V là một vi phôi. Cho f ∈ ℒB,. Khi đó hàm x fgx| J gx| cũng thuộcℒA, và có
Bfd
Vfd
Ufgy|Jgy|d
Afgy| J gy|d,
trong đó,
J gy Jgy, y ∈ U,0, y ∈ A U.
4.4. CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN THÔNG DỤNG
4.4.1. PHÉP ĐỔI BIẾN QUA TỌA ĐỘ CỰC TRONG 2
Xétg : 0, 0,2 → 2
r, rcos, r sin ≡ g1r,,g2r,.
Dgr, ∂g1∂r
∂g1∂
∂g2∂r
∂g2∂
cos −r sinsin rcos
.
Jgr, detDgr, r.Chú ý rằng độ đo Lebesgue của các tập sau đây có độ đo bằng không:
0, 0,2 0, 0,2,x,y : x ∈ 0,, với mỗi y ∈ .
Dùng định lý 4.3.3 với phép biến đổi qua tọa độ cực trong 2 cho f ∈ ℒ2,. Tađặt
f ∘ gr, frcos, r sin, r, ∈ 0, 0,2.Khi đó hàm f ∘ g ∈ ℒ0, 0,2, và ta có
2 fxdx 0,0,2
f ∘ grdr, 0
0
2 frcos, r sinrdrd.
Ví dụ 4.1.1. B Rfxdx, B R x,y ∈ 2 : x2 y2 ≤ R2: Hình tròn tâm O bán kính
R.
43
g : 0,R 0,2 → B R x,y ∈ 2 : x2 y2 ≤ R2
r, rcos, r sin.Cho f ∈ ℒ B R,, khi đó hàm f ∘ g ∈ ℒ0,R 0,2, và ta có tích phân
B Rfxdx đổi thành
B Rfxdx
0,R0,2f ∘ grdr,
0
R 0
2 frcos, r sinrdrd.
Ví dụ 4.1.2. B R fxdx, B R
x,y ∈ 2 : x2 y2 ≤ R2, y ≥ 0: Nửa hình phía trên
tâm O bán kính R.g : 0,R 0, → B R
x,y ∈ 2 : x2 y2 ≤ R2, y ≥ 0r, rcos, r sin.
Cho f ∈ ℒ B R ,, khi đó hàm f ∘ g ∈ ℒ0,R 0,, và ta có tích phân
B R fxdx
đổi thành
B R fxdx 0,R0,
f ∘ grdr, 0
R 0
frcos, r sinrdrd.
4.4.2. PHÉP ĐỔI BIẾN QUA TỌA ĐỘ CẦU TRONG 3
Xétg : 0, 0,2 0, → 3
r,, r sincos, r sin sin, rcos ≡ g1r,,,g2r,,,g3r,,.
Dgr,,
∂g1∂r
∂g1∂
∂g1∂
∂g2∂r
∂g2∂
∂g2∂
∂g3∂r
∂g3∂
∂g3∂
sincos −r sin sin rcoscossin sin r sincos rcos sincos 0 −r sin
.
Jgr,, detDgr,, −r2 sin,|Jgr,,| r2 sin.
Dùng định lý 4.3.3 với phép biến đổi qua tọa độ cầu trong 3 cho f ∈ ℒ3,. Tađặt
f ∘ gr,, fr sincos, r sin sin, rcos, r,, ∈ 0, 0,2 0,.Khi đó hàm f ∘ g ∈ ℒ0, 0,2 0,, và ta có
3 fxdx 0,0,20,
f ∘ gr2 sindr,,
0
0
2 0
fr sincos, r sin sin, rcosr2 sindrdd.
Ví dụ 4.2.1. B Rfxdx, B R x,y, z ∈ 3 : x2 y2 z2 ≤ R2: Hình cầu tâm O bán
44
kính R.g : 0,R 0,2 0, → B R x,y, z ∈ 3 : x2 y2 z2 ≤ R2
r,, r sincos, r sin sin, rcos.Cho f ∈ ℒ B R,, khi đó hàm f ∘ g ∈ ℒ0,R 0,2 0,, và ta có tích phân
B Rfxdx đổi thành
B Rfxdx
0,R0,20,f ∘ gr2 sindr,,
0
R 0
2 0
fr sincos, r sin sin, rcosr2 sindrdd.
Ví dụ 4.2.2. B R fxdx, B R
x,y, z ∈ 3 : x2 y2 z2 ≤ R2, z ≥ 0: Nửa hình cầu
trên tâm O bán kính R.g : 0,R 0,2 0,
2 → B R x,y, z ∈ 3 : x2 y2 z2 ≤ R2, z ≥ 0
r,, r sincos, r sin sin, rcos.Cho f ∈ ℒ B R
,, khi đó hàm f ∘ g ∈ ℒ0,R 0,2 0, 2 , và ta có tích phân
B R fxdx đổi thành
B R fxdx 0,R0,20, 2
f ∘ gr2 sindr,,
0
R 0
2 0
2 fr sincos, r sin sin, rcosr2 sindrdd.
Ví dụ 4.2.3. fxdx, x,y, z ∈ 3 : x2 y2 z2 ≤ R2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0: Một
phần tám hình cầu góc thứ nhất tâm O bán kính R.g : 0,R 0,
2 0, 2 → x,y, z ∈ 3 : x2 y2 z2 ≤ R2,x ≥ 0,y ≥ 0, z ≥ 0
r,, r sincos, r sin sin, rcos.Cho f ∈ ℒ,, khi đó hàm f ∘ g ∈ ℒ0,R 0,
2 0, 2 , và ta có tích phân
fxdx đổi thành
fxdx
0,R0, 2 0, 2 f ∘ gr2 sindr,,
0
R 0
2
0
2 fr sincos, r sin sin, rcosr2 sindrdd.
4.4.3. PHÉP ĐỔI BIẾN QUA TỌA ĐỘ TRỤ TRONG 3
Xétg : 0, 0,2 → 3
r,, z rcos, r sin, z ≡ g1r,, z,g2r,, z,g3r,, z.
45
Dgr,, z
∂g1∂r
∂g1∂
∂g1∂z
∂g2∂r
∂g2∂
∂g2∂z
∂g3∂r
∂g3∂
∂g3∂z
cos −r sin 0sin rcos 00 0 1
.
Jgr,, z detDgr,, z r.Dùng định lý 4.3.3 với phép biến đổi qua tọa độ trụ trong 3 cho f ∈ ℒ3,. Ta
đặtf ∘ gr,, z frcos, r sin, z, r,, z ∈ 0, 0,2 .
Khi đó hàm f ∘ g ∈ ℒ0, 0,2 , và ta có
3 fxdx 0,0,2
f ∘ grdr,, z 0
0
2 −
frcos, r sin, zrdrddz.
Ví dụ 4.3.1. Cho h : a,b → 0, liên tục. Ta xét tậpB x,y, z ∈ 3 : x2 y2 ≤ h2z, a z b. Khi đó B là khối tròn xoay trong 3 tạora khi cho hình phẳng D x, z ∈ 2 : 0 ≤ x ≤ hz, a z b (nằm trong mặt phẳngOxz) quay tròn xoay quanh trục Oz. Ta muốn tính thể tích của B. Muốn vậy, ta cần tínhBfxdx, với f B hàm đặc trưng của B.Với phép biến đổi qua tọa độ trụ trong 3, biến A r,, z ∈ 3 : 0 ≤ r ≤ hz,
0 ≤ ≤ 2, a z b thành B như saug : A → B
r,, z rcos, r sin, z.Với phép biến đổi nầy, hàm f B ∈ ℒB, sẽ biến đổi thành
f ∘ gr,, z frcos, r sin, z Ar,, z, r,, z ∈ A. (Hàm đặc trưng
của A).Khi đó hàm f ∘ g A ∈ ℒA, và ta có
VolB 3 Bxdx Af ∘ grdr,, z
AArdr,, z
a
b 0
2 0
hz rdrddz a
b 0
2 12 h
2zddz a
b h2zdz.
4.5. SỰ ĐỘC LẬP VÀO CÁCH THAM SỐ HÓA TRONG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀMẶT.4.5.1. VỚI TÍCH PHÂN ĐƯỜNG. Trong chương 3, ta đã đề cập đến độ đo và tíchphân trên các đường X trong n được thiết lập bởi một đơn ánhf f1, , fn ∈ C1c,d;n. Nếu ta đặt
X fc,d,Nf fE : E ∈ M,
fA f−1A f1′2 fn′2 d, ∀A ∈ N.
46
Khi đó X,Nf,f là một không gian đo. Ta đã gọi f là độ đo trên đường congX.
Nếu h ∈ ℒX,f. Khi đó ánh xạ t hft f ′t là − khả tích trên c,d và
Xhdf
c,dhft f ′t d.
Bây giờ ta cho hai đơn ánh f ∈ C1c,d;n, f∗ ∈ C1c∗,d∗;n sao chofc,d f∗c∗,d∗ X. Ta cũng dùng các ký hiệu f và f∗ là các độ đo tương ứngvới f và f∗ trên X.
Đặt g f∗−1 ∘ f, khi đó g ∈ C1c,d; c∗,d∗ là một song ánh thuộc lớp C1 từc,d vào c∗,d∗. Hơn nữa ta còn có f∗ ∘ gs fs và Dgs Df∗−1fsDfs Df∗fs−1Dfs, ∀s ∈ c,d. Áp dụng công thức đổi biến (một chiều, Định lý 4.1.1),ta có
Xhdf∗
c∗,d∗hf∗t Df ∗t d
c,dhf∗gs Df ∗gs |Dgs|d
c,dhf∗ ∘ gs Df ∗gsDgs d
c,dhfs‖Dfs‖d
Xhdf.
Điều nầy chứng tỏ tích phân đường trên đường cong X không phụ thuộc vào cáchtham số hoá của X.4.5.2. VỚI TÍCH PHÂN MẶT. Trong chương 3, ta đã đề cập đến độ đo và tích phântrên các mặt S trong 3 được thiết lập bởi một đơn ánh f f1, f2, f3 ∈ C1;3, với là một tập mở của 2. (Định lý 3.4.1)
Nếu ,M,2 là một không gian đo, với 2 là độ đo Lebesgue thu hẹp trên , vànếu ta đặt
S f,Nf fE : E ∈ M,
w1 ∂f2∂x
∂f3∂y −
∂f3∂x
∂f2∂y Jf2,f3,
w2 ∂f3∂x
∂f1∂y −
∂f1∂x
∂f3∂y Jf3,f1,
w3 ∂f1∂x
∂f2∂y −
∂f2∂x
∂f1∂y Jf1,f2,
fA f−1A w12 w2
2 w32 d2, ∀A ∈ Nf.
Khi đó S,Nf,f là một không gian đo. Bây giờ, ta cho F : S → là hàm f − đođược. Tích phân của hàm F trên mặt cong S được cho bởi công thức như sau
SFsdf
F ∘ fs w1
2 w22 w3
2 d2.
Bây giờ ta xét một đơn ánh f∗ f1∗, f2∗, f3∗ ∈ C1∗;3, với ∗ là một tập mở của2, sao cho S f f∗∗. Ta cũng đặt
47
Nf∗ fE : E ∈ M,
w1∗ ∂f2∗
∂x∂f3∗
∂y −∂f3∗
∂x∂f2∗
∂y Jf2∗,f3∗,
w2∗ ∂f3∗
∂x∂f1∗
∂y −∂f1∗
∂x∂f3∗
∂y Jf3∗,f1∗,
w3∗ ∂f1∗
∂x∂f2∗
∂y −∂f2∗
∂x∂f1∗
∂y Jf1∗,f2∗,
f∗A f∗ −1A
|w1∗ |2 |w2
∗ |2 |w3∗ |2 d2, ∀A ∈ Nf∗ .
Khi đó S,Nf∗ ,f∗ là một không gian đo. Bây giờ, ta cho F : S → là hàm f − đođược. Tích phân của hàm F trên mặt cong S được cho bởi công thức như sau
SFsdf∗
∗F ∘ f∗s |w1
∗ |2 |w2∗ |2 |w3
∗ |2 d2.
Giả sử g ∈ C1 ;∗ là một vi phôi từ vào ∗ sao cho f∗ ∘ gs fs. Áp dụngcông thức đổi biến (hai chiều)
∗kd2
k ∘ g|Jg |d2, ∀k ∈ ℒ∗,2.
Áp dụng với hàm k F ∘ f∗s |w1∗ |2 |w2
∗ |2 |w3∗ |2 , ta có
(*) F ∘ fs w1
2 w22 w3
2 d2 ∗F ∘ f∗s |w1
∗ |2 |w2∗ |2 |w3
∗ |2 d2.
Do đóSFsdf∗ S Fsdf.
Điều nầy chứng tỏ tích phân mặt trên S không phụ thuộc vào cách tham số hoácủa mặt S.Chú thích. Đẳng thức (*) được kiểm nghiệm nếu ta có các đẳng thức sau:
(**) wi wi∗Jg, i 1,2,3.Thật vậy, nếu (**) đúng thì
∗F ∘ f∗s |w1
∗ |2 |w2∗ |2 |w3
∗ |2 d2 F ∘ f∗gs w1
2 ∘ g w22 ∘ g w3
2 ∘ g |Jg |d2
F ∘ f∗ ∘ gs |w1
∗Jg |2 |w2∗Jg |2 |w3
∗Jg |2 d2
F ∘ fs w1
2 w22 w3
2 d2.
Ta kiểm tra lại (**) với i 1.f f1, f2, f3 ∈ C1;3, với là một tập mở của 2.g f∗−1 ∘ f : → ∗
x,y g g1,g2
f f∗ ∘ g f1∗ ∘ g, f2∗ ∘ g, f3∗ ∘ g
48
∂f1∂x D1f1∗
∂g1∂x D2f1∗
∂g2∂x , ∂f1
∂y D1f1∗∂g1∂y D2f1∗
∂g2∂y ,
∂f2∂x D1f2∗
∂g1∂x D2f2∗
∂g2∂x , ∂f2
∂y D1f2∗∂g1∂y D2f2∗
∂g2∂y ,
∂f3∂x D1f3∗
∂g1∂x D2f3∗
∂g2∂x , ∂f3
∂y D1f3∗∂g1∂y D2f3∗
∂g2∂y .
w1 ∂f2∂x
∂f3∂y −
∂f3∂x
∂f2∂y D1f2∗
∂g1∂x D2f2∗
∂g2∂x D1f3∗
∂g1∂y D2f3∗
∂g2∂y
− D1f3∗∂g1∂x D2f3∗
∂g2∂x D1f2∗
∂g1∂y D2f2∗
∂g2∂y
D1f2∗D2f3∗ − D1f3∗D2f2∗∂g1∂x
∂g2∂y −
∂g2∂x
∂g1∂y
w1∗Jg.
Tương tự ta cũng có w2 w2∗Jg, w3 w3
∗Jg.
49
Chương 5. TÍCH PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN TÍCH
5.1. TÍCH PHÂN LẶP
Ta xét n,Mn,n là một không gian đo, với n là độ đo Lebesgue trên n. Cho m,n ∈ ℕ, và x ∈ m, y ∈ n. Cho E ⊂ mn m n, ta đặt
Ex y : x,y ∈ E, Ey x : x,y ∈ E.Định lý 5.1.1. Cho m, n ∈ ℕ, và x ∈ m, y ∈ n. Cho E ∈ Mmn. Khi đó tồn tại
A ∈ Mm và B ∈ Mn sao cho mA 0, nB 0, Ex ∈ Mn ∀x ∈ m A và Ey ∈ Mm
∀y ∈ n B.Tức là Ex y : x,y ∈ E là tập Lebesgue đo được trong n, a.e. x ∈ m và
Ey x : x,y ∈ E là tập Lebesgue đo được trong m, a.e. y ∈ n.Cho f : mn → . Ta đặt
fxy fyx fx,y, x,y ∈ m n.Định lý 5.1.2. Cho f : mn → là hàm Lebesgue đo được trên mn. Khi đó tồn
tại A ∈ Mm và B ∈ Mn sao cho mA 0, nB 0, fx là hàm Lebesgue đo đượctrên n, ∀x ∈ m A và fy là hàm Lebesgue đo được trên m, ∀y ∈ n B.
Tức là fx là hàm Lebesgue đo được trên n, a.e. x ∈ m và fy là hàm Lebesgue đođược trên m, a.e. y ∈ n.
Định lý 5.1.3. Cho Q là tập Lebesgue đo được trong mn. Ta đặtfx,y Qx,y, ∀x,y ∈ m n,x
nfxdn, ∀x ∈ m,
y mfydm, ∀y ∈ n.
Khi đó tồn tại A ∈ Mm và B ∈ Mn sao cho mA 0, nB 0 và(i) mA là một hàm Lebesgue đo được trên m và nB là một hàm
Lebesgue đo được trên n.
(ii) mnQ m dm ndn.
Chú ý (ii) nghĩa là
mnQ m n Qx,ydn dm nmQx,ydm dn.
Định lý 5.1.4 (Định lý Fubini). Cho f : mn → 0, là hàm Lebesgue đo được trênmn. Khi đó
mn
fdmn m n fxdn dm nmfydm dn.
Định lý 5.1.5. Cho f : mn → là hàm Lebesgue đo được trên mn sao cho
50
mn
|f|xdn dm .
Khi đó f ∈ ℒmn,mn.Định lý 5.1.6. (Định lý Fubini). Cho f ∈ ℒmn,mn. Khi đó(i) fx ∈ ℒn,n a.e. x ∈ m,
(ii) fy ∈ ℒm,m a.e. y ∈ n,
(iii) mn
fdmn m n fxdn dm nmfydm dn.
5.2. TÍCH CHẬP
Định lý 5.2.1. Cho f,g ∈ ℒn,n. Ta đặtxy x,y fx − ygy, x,y ∈ n.
Khi đó(i) x ∈ ℒn,n, a.e. x ∈ n.
(ii)
Đặt hx n
xy
fx − ygy dn ∈ ℒn,n, a.e.x ∈ n
và n
|h|dn ≤ n |f|dn n |g|dn.
Định nghĩa 5.2.1. Hàm h trên đây gọi là tích chập của f và g và ký hiệu là h f ∗ g.
Định lý 5.2.2. Cho f,g ∈ ℒn,n. Giả sử f ∈ C1n và ‖Dfx‖ bị chận trên n.Khi đó
(i) f ∗ g khả vi trên n.
(ii) f ∗ g ∈ C1n nếu Df liên tục đều trên n.
Định lý 5.2.3. Cho f ∈ ℒn,n và g ∈ Ccn, g ≥ 0 sao cho ngdn 1. Đặt
gx −ng x , x ∈ n, 0.Khi đó
(i) ngdn 1.
(ii)→0lim
n|f − f ∗ g |dn 0.
51
BÀI TẬPBÀI TẬP.1. Nhắc lại Bổ đề Fatou (Định lý 2.1.3 )Bổ đề Fatou. Cho X,M, là một không gian đo và fmlà dãy hàm đo được từ X và 0,. Khi đó ta có
X m→
lim inf fmd ≤ lim inf Xfmd. ∗
Cho E ∈ M, với E 0 và Ec 0. Xét dãy hàm fm như sau
fm E, nếu m lẻ,1 − E, nếu m chẳn.
Nghiệm lại rằng bất đẳng thức (*) là ngặt.
BÀI TẬP.2. Cho fm : X → 0,, là dãy hàm đo được trên X và giả sử rằng(i) f1x ≥ f2x ≥. . .≥ 0 ∀x ∈ X,
(ii)m→lim fmx fx ∀x ∈ X.
Giả sử f1 ∈ ℒX, Chứng minh rằngm→lim
Xfmd
Xfd. Cho phản ví dụ để cho
thấy giả thiết "f1 ∈ ℒX," không thể bỏ qua.
BÀI TẬP.3. Cho fm : X → 0,, là dãy hàm đo được trên X. Chứng minh rằng tậpA x ∈ X : fmx hội tụ là đo được.
BÀI TẬP.4*. Cho X là tập không đếm được. Ta đặt
M A ⊂ X : A hoặc Ac là quá lắm đếm được}.
Ta định nghĩa A 0 nếu A là quá lắm đếm được,1 nếu Ac là quá lắm đếm được.
Chứng minh rằng M là một -đại số và là một độ đo trên M.
BÀI TẬP.5. Cho X , fm : X → ℂ là dãy hàm đo được và bị chận trên X và giả
52
sử rằngx∈Xsup |fmx − fx| → 0 khi m → .
Chứng minh rằngm→lim
Xfmd
Xfd. Cho phản ví dụ để cho thấy giả thiết
"X " không thể bỏ qua.
BÀI TẬP.6. Cho Ek, k 1,2. . . , là tập đo được trên X. Ta đặt
E x ∈ X : x thuộc vô số các tập Ek,
A m1
∩km
Ek.
Chứng minh rằng E A.
BÀI TẬP.7. Giả sử f ∈ ℒX, Chứng minh rằng
∀ 0,∃ 0 : E E|f|d .
BÀI TẬP.8. Cho là độ đo dương trên X, f : X → 0, đo được và0 c
Xfd . Cho 0. Chứng minh rằng
m→lim
Xm ln 1 f
md
, 0 1,c, 1,0, 1 .
BÀI TẬP.9. Giả sử fm ⊂ ℒX, sao chom→lim
X|fm − f|d 0 và fmx → gx a,e.
x ∈ X, khi m → . Chứng minh rằng f g a,e. x ∈ X.
BÀI TẬP.10. Cho X,M, là một không gian đo với X . Giả sử
f ∈ LX, f : X → ℂ đo được sao cho có M ∈ sao cho |fx| ≤ M a,e. x ∈ X,
ta đặt‖f‖ infM 0 : |fx| ≤ M a,e.x ∈ X
Giả sử ‖f‖ 0, và ta đặt m X|f|md, m 1,2,3,...Chứng minh rằng
m→lim m1
m ‖f‖.
BÀI TẬP.11. Tínhm→lim
0
m1 − x
m mex/2dx.
53
BÀI TẬP.12. Tínhm→lim
0
m1 x
m me−2xdx.
BÀI TẬP.13. Cho : → sao cho 0
1 fxdx ≤ 0
1ftdt, với mọi hàm thực
f đo được bị chận. Chứng minh rằng là hàm lồi, tức làx 1 − y ≤ x 1 − y, ∀x,y ∈ , ∀ ∈ 0,1.BÀI TẬP.14. Cho f ∈ ℒX,. Chứng minh rằng A x ∈ X : fx ≠ 0 là tập có độ
đo – hữu hạn, tức là x ∈ X : fx ≠ 0 n1
An, An ∀n ∈ ℕ.
BÀI TẬP.15. Một độ đo dương trên X được gọi là – hữu hạn nếu X n1
Xn,
Xn ∀n ∈ ℕ. Chứng minh rằng là – hữu hạn ∃ f ∈ ℒX, : fx 0∀x ∈ X.Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.1.∗ Tính
m→lim inf
Xfmd
m lẻ: Xfmd
XEd E,
m chẳn: Xfmd
X1 − Ed
XEcd Ec
Do đóm→
lim inf Xfmd
ksup
m≥kinf
Xfmd minE,Ec 0.
∗ Tínhm→
lim inf fm
∗m→
lim inf fm k
supm≥kinf fm minE,Ec 0.
Do đó X m→
lim inf fmd 0.
Vậy X m→
lim inf fmd m→
lim inf Xfmd.
Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.2.Giả sử f1 ∈ ℒX,. Ta có
Xfmd →
Xfd do định lý hội tụ bị chận, bởi vì
|fmx| ≤ f1x.Cách khác: 0 ≤ f1x − f2x ≤ f1x − f3x ≤. . .≤ f1x − fmx ↑ f1x − fx. Dùng
định lý hội tụ đơn điệu ta cóXf1 − fmd →
Xf1 − fd
hayXf1d − X fmd →
Xf1d − X fd
Do Xf1d , nên
Xfmd →
Xfd.
Trường hợp bỏ qua giả thiết f1 ∈ ℒX,. Xét X , fm 1m 0,. Ta có
f1x ≥ f2x ≥. . .≥ 0 ∀x ∈ ,
fm → f 0 (Thậm chí hội tụ đều trên về 0)
54
fmd
0
1m dx → ≠
fd 0.
Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.3.Chú ý rằng F
m→lim sup fm, G
m→lim inf fm là các hàm đo được, do đó
A x ∈ X : fmx hội tụ x ∈ X :m→
lim sup fmx m→
lim inf fmx
x ∈ X : Fx Gx F − G−10 là đo được.Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.4*.A. M là một -đại số.Ta đặt
ℱ1 A ⊂ X : A là quá lắm đếm được},ℱ2 A ⊂ X : Ac là quá lắm đếm được}.
Ta có M ℱ1 ℱ2. Do X là tập không đếm được, nên ℱ1 ∩ℱ2 .Trước hết ta cói X ∈ M, vì Xc ∈ ℱ1, do đó X ∈ ℱ2 ⊂ M.ii A ∈ M Ac ∈ M, ???Nếu A ∈ ℱ1 thì Acc A ∈ ℱ1, do đó Ac ∈ ℱ2 ⊂ M.Nếu A ∈ ℱ2 thì Ac ∈ ℱ1 ⊂ M.iii Bây giờ ta xét Aj ∈ M, j ∈ ℕ, ta nghiệm lại rằng A
j1 Aj ∈ M.
j Nếu Aj ∈ ℱ1 ∀j ∈ ℕ, thì A
j1 Aj ∈ ℱ1 ⊂ M.
jj Nếu ∃j0 ∈ ℕ : Aj0 ∈ ℱ2, thì Ac
j1∩ Ajc ⊂ Aj0
c ∈ ℱ1. Do đó A ∈ ℱ2 ⊂ M.
B. là một độ đo trên M.
Ta viết A 0, A ∈ ℱ1,1, A ∈ ℱ2.
Đặc biệt 0, X 1.Vậy tính chất đầu tiên là: ∃A ∈ M : X đượcthỏa.
Bây giờ ta xét họ đếm được rời nhau Aj ∈ M, j ∈ ℕ. Ta đặt A
j1 Aj.
Ta nghiệm lại rằng A
j1∑ Aj. ∗
i Nếu A
j1 Aj ∈ ℱ1, thì Aj ∈ ℱ1 ∀j ∈ ℕ, do đó A Aj 0, ∀j ∈ ℕ. Vậy (*)
đúng.
55
ii Nếu A
j1 Aj ∈ ℱ2, thì ∃j0 ∈ ℕ : Aj0 ∈ ℱ2, (vì nếu ngược lại thì Aj ∈ ℱ1
∀j ∈ ℕ, do đó A
j1 Aj ∈ ℱ1. mà điều nầy dẫn đến A ∉ ℱ2. Mâu thuẫn).
Mặt khác, Aj0 ∩ Aj ∀j ≠ j0, nên Aj ⊂ Aj0c . Mà Aj0c là quá lắm đếm được, nên Ajlà quá lắm đếm được ∀j ≠ j0. Vậy Aj 0, ∀j ≠ j0. Và như thế ta có
j1∑ Aj Aj0
j≠j0
∑ Aj Aj0 1 A. Vậy (*) đúng.
Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.5.Giả sử X .Do
x∈Xsup |fmx − fx| → 0 khi m → , nên tồn tại m0 sao cho
|fmx − fm0x| 1 ∀x ∈ X, ∀m ≥ m0 .
Do đó|fmx| 1 |fm0x| ≡ gx ∀x ∈ X, ∀m ≥ m0 .
Do fm0 bị chận và X , nên g ∈ ℒX,. Do định lý hội tụ bị chận, ta cóXfmd →
Xfd.
Phản ví dụ cho trường hợp giả thiết "X " bị bỏ qua.Xét X 0,, fm 1
m 0,m. Ta có fm → f 0 đều trên X, nhưng
Xfmd
0
1m 0,md 1, ∀m ∈ ℕ.
Xfmd 1 → 1 ≠
Xfd 0.
#
Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.6.
x ∈ A m1
∩km
Ek ∀m ∈ ℕ, x ∈
km
Ek
∀m ∈ ℕ, ∃km ≥ m : x ∈ Ekm x ∈ Ek với vô số các tập Ek.
#
Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.7.Chọn dãy các hàm đơn sm sao cho
0 ≤ smx ↑ |f|x khi m → , ∀x ∈ X.Dùng định lý hội tụ đơn điệu ta có
Xsmd ↑
X|f|d
Do đó, ∀ 0, ∃m0 :
0 ≤ E|f| − sm0d ≤ X|f| − sm0d
2 ∀E ∈ M.
Do sm0 là hàm đơn và khả tích, do đó
56
∃M 0 : sm0x ≤ M a.e. x ∈ X.Chọn
2M , khi đó, nếu E ∈ M, E , ta có
E|f|d ≤
E|f| − sm0d E sm0d
≤ E|f| − sm0d ME
2 M 2M .
#
Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.8.Chú ý đến công thức
m→lim m ln1 u
m u ∀u ≥ 0
Vậy
m→lim m ln1 tm
t ∀t ≥ 0
hay
m→lim m−1
Gmt
m ln1 tm t ∀t ≥ 0
hay
m→lim Gmt
m1− t ∀t 0.
Suy ra
m→lim Gmt
m1−
0, 1,, 0 1, t 0,t, 1.
∗ #
Ta xét fmx Gmfx m ln 1 fxm
i Xét 1 ≤ . x ∈ X : fx 0. Từ ∗1,3 ta suy ra
m→lim fmx
0, 1 , a.e.x ∈ X,fx, 1, a.e.x ∈ X.
#
Chú ý rằng,
1 t ≤ 1 t ∀ ≥ 1, ∀t ≥ 0.
ln1 t ≤ ln1 t ≤ t, ∀ ≥ 1, ∀t ≥ 0. #
Vậy
0 ≤ fmx m ln 1 fxm
≤ m fx
m fx
57
Do định lý hội tụ bị chận, ta có Xfmd →
Xfd.
m→lim
Xm ln 1 f
md
m→lim
Xfmd
0, 1 ,Xfd, 1.
#
ii Xét 0 1. E x ∈ X : fx 0. Suy ra E 0, vì Xfd 0 (vì nếu
ngược lại thì E 0, sẽ dẫn đến Efd 0,
XEfd 0 (do f 0 trên X E. Điều
nầy sẽ mâu thuẫn với Xfd 0, bởi vì
Xfd
Efd
XEfd 0)
Ta có
m→lim fmx , x ∈ E, 0 1,
fmx m ln 1 fxm
0, x ∉ E.
#
Do bổ đề Fatou,
m→lim inf
Xfmd ≥ X m→
lim inf fmd
X m→
lim fmd ≥ E m→lim fmd
Ed
(do E 0).
#
Do đóm→
lim inf Xfmd , vậy
m→lim sup
Xfmd
m→lim
Xfmd
Vậym→lim
Xm ln 1 f
md .
Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.9.
Dom→lim
X|fm − f|d 0, dẫn đến tồn tại một dãy con fmk ⊂ fm, sao cho
fmkx → fx a,e. x ∈ X.Mà fmx → gx a,e. x ∈ X, khi m → , cũng dẫn đến
fmkx → gx a,e. x ∈ X.Do đó f g a,e. x ∈ X.Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.10.
Nếu có một m sao cho m X|f|md 0 thì |f|md 0 a,e. x ∈ X, do đó ‖f‖ 0.
Vậy m 0 ∀m ∈ ℕ.Ta có
|f|m1 |f||f|m ≤ ‖f‖|f|m a,e. x ∈ X.
Do đó
58
m1 ≤ ‖f‖m.
Điều nầy dẫn đến
m→lim sup m1
m ≤ ‖f‖. ∗
Cho c 0, 0 c ‖f‖.Đặt E x ∈ X : c ≤ |fx| ≤ ‖f‖. Suy ra E 0,Trên Ec, ta có:
| 1c f| 1, và | 1
c f|m ↓ 0.
Vì Ec E , Do định lý hội tụ bị chận, ta cóEc
| 1c f|
md → 0
Mặt khác ta cóE| 1c f|
md ≥ E
1d E 0
Ta suy ra
m→lim inf
X
1c f
m1d
X
1c f
md
m→lim inf
E
1c f
m1dEc
1c f
m1d
E
1c f
mdEc
1c f
md
m→
lim infE
1c f
m1d
E
1c f
md.
#
Nhưng trên E, ta có:
| 1c f|
m1 | 1c f|| 1
c f|m ≥ | 1
c f|m.
Ta suy raE| 1c f|
m1d ≥ E| 1c f|
md.
Do đó
m→lim inf
X
1c f
m1d
X
1c f
md≥ 1.
Điều nầy dẫn đến
m→lim inf m1c−m−1
mc−m ≥ 1.
hay
m→lim inf m1
m ≥ c.
59
Điều nầy đúng với mọi c ‖f‖, do đóm→
lim inf m1m ≥ ‖f‖.
m→lim inf m1
m ≥ ‖f‖. ∗ ∗
Cuối cùng (*) và (**) dẫn đến tồn tạim→lim m1
m ‖f‖.
Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.11.
m→lim
0
m1 − x
m mex/2dx m→lim
0
1 − x
m mex/20,mdx m→lim
0
fmxdx.
fmx 1 − xm mex/20,m
1 − xm mex/2, 0 ≤ x ≤ m,
0, x ≥ m.
Chú ý rằngm→lim 1 − x
m m e−x ∀x ∈ .
Cho x ∈ 0, : ∀m ≥ x, ta cófmx 1 − x
m mex/20,m 1 − xm mex/2 → e−xex/2 e−x/2.
Vậym→lim fmx fx e−x/2 ∀x ≥ 0.
Chú ý đến bất đẳng thứcex ≥ 1 x ∀x ∈ .
Thay x bởi − xm , ta cóe− xm ≥ 1 − x
m , ∀m ∈ ℕ, ∀x ∈ .Suy ra
e−x ≥ 1 − xm
m, ∀m ∈ ℕ, ∀x ∈ 0,m.
1 − xm mex/2 ≤ e−x/2, ∀m ∈ ℕ, ∀x ∈ 0,m.
0 ≤ fmx 1 − xm mex/20,m ≤ e−x/2 ≡ gx, ∀m ∈ ℕ, ∀x ≥ 0.
g khả tích và do định lý hội tụ bị chận, ta có
m→lim
0
m1 − x
m mex/2dx m→lim
0
fmxdx 0 e−x/2dx
m→lim
0
e−x/20,mdx
m→lim
0
m e−x/2dx m→lim 2 − 2e−m/2 2
Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.12.
m→lim
0
m1 x
m me−2xdx m→lim
0
1 x
m me−2x0,mdx m→lim
0
fmxdx.
60
fmx 1 xm me−2x0,m
1 xm me−2x, 0 ≤ x ≤ m,
0, x ≥ m.
Vậym→lim fmx fx e−x ∀x ≥ 0.
Chú ý đến bất đẳng thứcex ≥ 1 x ∀x ∈ .
Thay x bởi xm , ta có
e xm ≥ 1 x
m , ∀m ∈ ℕ, ∀x ∈ .Suy ra
ex ≥ 1 xm
m, ∀m ∈ ℕ, ∀x ≥ 0.
1 xm me−2x ≤ e−x, ∀m ∈ ℕ, ∀x ≥ 0.
0 ≤ fmx 1 xm me−2x0,m ≤ e−x ≡ gx, ∀m ∈ ℕ, ∀x ≥ 0.
#
g khả tích và do định lý hội tụ bị chận, ta có
m→lim
0
m1 x
m me−2xdx m→lim
0
1 x
m me−2x0,mdx
m→lim
0
fmxdx 0 e−xdx
m→lim
0
e−x0,mdx
m→lim
0
m e−xdx m→lim 1 − e−m 1.
#
Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.13.Cho x,y ∈ , và ∈ 0,1. Chọn f x0, y,1. Ta có
0
1 ftdt 0
ftdt
1 ftdt 0
x0,dt 1 y,1dt
x 1 − y.Vậy
0
1 fxdx x 1 − y
Mặt khác
0
1ftdt
0
ftdt
1ftdt
0
xdt
1ydt
x 1 − y.Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.14.
61
x ∈ X : fx ≠ 0 x ∈ X : |fx| 0
n1
An
x ∈ X : |fx| 1n
n1
An,
Do |fx| 1n ∀x ∈ An, ta có
An An d ≤ An n|f|d ≤ n X |f|d .
Hướng dẫn sơ lược BÀI TẬP.15.Giả sử là – hữu hạn. Do đó X
n1
Xn, Xn ∀n ∈ ℕ.
Đặt En Xn X1 X2 . . .Xn−1. Khi đó các tập En rời nhau và En ∀n ∈ ℕ.Xét hàm f : X → như sau
fx 1
n2En, nếu x ∈ En và En 0,
1, nếu x ∈ En và En 0,
Ta có fx 0 ∀x ∈ X và f n∑ En
n2En, với
n∑ được lấy trên tất cả các n sao cho
En 0. Do định lý hội tụ đơn điệu, ta cóXfd ≤
n∑ 1
n2 .
Vậy nếu là – hữu hạn, ta có f ∈ ℒX, : fx 0 ∀x ∈ X.Đảo lại, nếu f ∈ ℒX, : fx 0 ∀x ∈ X, thì
X x ∈ X : fx 0 n1
Xn
x ∈ X : fx 1n
n1
Xn
Xn Xn d ≤ Xn n|f|d ≤ n X |f|d .
