Chương 1 Hàm vector

chuong3a – nick yahoo, mail: chuong2a@gmail.com

1/ Vector trong ko gian:.................................................................................................................12/ Đường thẳng và mặt phẳng..................................................................................................2

3/ Mặt bậc 2...................................................................................................................................34/ Hàm vector:...............................................................................................................................3

1/ Vector trong ko gian:Các vector đơn vị chỉ hướng dương của các trục tương ứng là:

Tích vô hướng của 2 vector là đại lượng:

, H là hình chiếu vuông góc của B xuống OA

Vector được gọi là vector chiếu của vector xuống vector , và được kí hiệu:

Đại lượng được gọi là tọa độ của vector theo hướng vector Công sinh ra bởi 1 lực ko đổi trên đoạn thẳng từ A đến B là đại lượng

1

Cosin chỉ hướng: cho . Khi ấy vector đơn vị có hướng vector là:

Các đại lượng được gọi là các cosin chỉ hướng của vector Các bất đẳng thức:

Tích có hướng (còn gọi là tích vector):

Định nghĩa: tích có hướng của 2 vector và vector là 1 vector dc kí hiệu dc

xác định:

1/

2/ Có phương vuông góc với và

3/ Có hướng sao cho 3 vector tạo thành 1 tam diện thuận (1 hệ thuận)

Tích hỗn hợp của 3 vector

Đại lượng bằng thể tích hình hộp dựng trên 3 vector

Biểu thức tọa độ có dạng:2

2/ Đường thẳng và mặt phẳng

2.1 Đường thẳng: cho a là đường thẳng qua điểm .

Vậy đường thẳng a sẽ bao gồm tất cả những điểm

Xem vector đặt tại điểm . Khoảng cách từ 1 điểm P đến đường thẳng a là đoạn PH (H là hình chiếu của P xuống đường thẳng a) cũng bằng chiều cao hình bình hành dựng trên 2 vector

. Vậy chiều cao PH bằng diện tích hình bình hành chia cho độ dài đáy

2.2 Mặt phẳng: Cho P là mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với vector

(vector pháp tuyến). Khi ấy mặt phẳng P sẽ bao gồm các điểm M(x, y, z) có tính chất:

Pt tổng quát của mặt phẳng dc viết ở dạng: Ax + By + Cz + D 0 trong đó vector là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng P:

Lấy 1 điểm Q bất kì thuộc P, xem vector có gốc tại Q. Vậy khoảng cách từ điểm S đến mặt

phẳng P bằng độ dài vector chiếu của xuống

3

3/ Mặt bậc 2

3.3/ Hyperboloit 1 tầng:

Pt tham số:

4

3.4/ Hyperboloit 2 tầng: .

Mặt cong dc chia 2 phần z ≥ c và z ≤ –c

4/ Hàm vector:4.1 Định nghĩa: Khi 1 chất điểm chuyển động trong ko gian, tọa độ của nó là những hàm số với biến thời gian t

, điểm M(x(t), y(t), z(t)) sẽ vẽ 1 đường cong (a) trong ko gian

và pt (1) là pt tham số của đường (a). Khi ấy vector có

gốc tại O là vector chỉ vị trí của điểm M. Các hàm số x(t), y(t), z(t) được gọi là các hàm tọa độ

của hàm vector

(a) được gọi là tốc đồ của hàm vector .

VD1: Xét hàm vector:

Các hàm tọa độ theo trục Ox và Oy có tính chất:

VD2: Đường parabol có thể xem là hàm vector:

4.2 Giới hạn và liên tục:

5

4.3 Đạo hàm và tích phân của hàm vector:

Ý ngĩa của đạo hàm: Cho đường cong (a), khi điểm

tiến đến điểm tiến đến vị trí tiếp tuyến

với đường cong tại A

Vector có phương tiếp tuyến với đường cong tại A và cùng hướng chuyển động của chất

điểm

Ý ngĩa cơ học: là vector vận tốc. Đạo hàm của vector vận tốc là

vector gia tốc của chuyển động. Đường cong dc vẽ bởi hàm vector được gọi là đường

cong trơn nếu liên tục và khác

Đường cong được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia làm hữu hạn các cung trơnTa có các tính chất:

6

Consider 2 special cases:

a/ Độ dài ko đổi: Cho hàm vector có độ dài ko đổi , khi ấy ta có:

Lấy đạo hàm 2 vế ta dc:

Vậy khi hàm vector có độ dài ko đổi thì và vuông góc với nhau.

7

b/ Tham số độ dài cung:

Vậy đạo hàm của hàm vector theo tham số độ dài cung là 1 vector tiếp tuyến đơn vị.Tích phân của hàm vector:

Định nghĩa: nguyên hàm của hàm vector trên khoảng (a, b) là 1 hàm vector

5/ Phương trình đường đạn

Bài toán: Lập pt đường đạn với giả thiết khối lượng của quả đạn là m, vận tốc ban đầu và góc bắn α.Ta giả thiết quả đạn dc bắn từ gốc tọa độ O về hướng dương của trục Ox (trong mặt phẳng xOy).

Vậy ta có:

Theo định luật 2 Newton . Giả sử chỉ có lực hút của trái đất tác động lên quả

đạn thì:

8

Độ cao max mà quả đạn đạt dc khi

Thời gian bay của quả đạn: khi ấy quả đạn tiếp đất nên

là thời gian bay của quả đạnGóc bắn để đạn đi xa nhất: khi tiếp đất

Đường đạn có dạng parabol:

Nếu quả đạn dc bắn tại điểm thì pt đường đạn có dạng:

6/ Quĩ đạo hành tinh. Định luật Kepler 1 ví dụ thú vị của ứng dụng giải tích vector để cm các định luật Kepler về chuyển động của các hành tinh quanh mặt trời. Trước tiên ta cm quĩ đạo của các hành tinh luôn nằm trong mặt phẳng cố định.

Theo định luật hấp dẫn của Newton: là vector từ mặt trời đến hành tinh,

M là khối lượng mặt trời, m là khối lượng hành tinh, G là hằng số hấp dẫn, dấu trừ vì lực ngược chiều với ( hướng về mặt trời)Theo định luật 2 Newton ta có:

9

– vector hằng

các vector luôn nằm trong 1 mặt phẳng vuông góc với vector . Điều đó có ngĩa

là hành tinh luôn chuyển động trong 1 mặt phẳng cố định.Các định luật Kepler:Định luật 1: Quỉ đạo của hành tinh là đường conic với mặt trời là 1 tiêu cựĐịnh luật 2: Bán kính vector từ mặt trời đến hành tinh quét 1 diện tích bằng nhau trong khoảng thời gian bằng nhau.

Định luật 3: trong đó: T là thời gian hành tinh quay 1 vòng quanh mặt trời

a – bán trục lớn củ quĩ đạo. G – hằng số hấp dẫn. M: khối lượng mặt trờiTa cm định luật 2. Xét trong tọa độ cực với cục 0 là mặt trời, hành tinh nằm ở vị trí

Xét các vector đơn vị trực giao:

10

Đó là định luật 2 của Kepler

7/ Độ cong, độ xoắn của đường cong trong ko gian

Đặt là vector tiếp tuyến đơn vị (có độ dài 1)

Định nghĩa: đại lượng được gọi là độ cong của đường cong (a) tại điểm

Với được gọi là vector pháp chính đơn vị

Kí hiệu là góc giữa 2 vector tiếp tuyến

11

Tại mỗi điểm của đường cong (a) ta có 2 vector đơn vị . Bây giờ lấy thêm 1 vector đơn vị

. Vì là các vector đơn vị trực giao nên cũng là vector đơn vị. Vậy 3 vector

tạo hệ trực chuẩn giông như hệ . Ta có các hệ thức:

Vector được gọi là vector pháp phó đơn vị. Bộ 3 được gọi là tam diện Frenet

Đại lượng được gọi là độ xoắn của đường cong (a) tại s. Ta có

Các công thức trên được gọi là công thức Frenet – serretĐịnh lí: Cho 2 đường cong có cùng độ cong khác 0 và cùng độ xoắn. Khi ấy chúng đồng dư (tức là có thể chuyển dịch đường này để chúng trùng khớp với nhau)Cm: Dịch chuyển để 2 đường có cùng điểm đầu (s = 0) và sao cho tam diện Frenet tại đó trùng nhau

12

Vậy f(s) = hằng số. Vì 2 tam diện trùng nhau khi s = 0, nên f(s) = 3 với mọi s

Công thức tính độ cong và độ xoắn:

13

VD: tìm các vector của tam diện Frenet, độ cong, độ xoắn:

Vậy ta có:

VD:

14