CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

§2 : Tích phân

I - KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình thang cong :

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1 , trục hoành và 2 đường thẳng x = 1 , x = t ( 1 t 5) . Hình vẽ

O x

y

1

1

3

t 5

y =

2 x

+ 1

S(t)

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5

O x

y

1

1

3

t 5

y =

2 x

+ 1

S

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi t [1 ; 5]

3. Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1 với t [1 ; 5] và diện tích S = S(5) - S(1)

11

Giải : 1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5

Diện tích S là :

3 11. 5 1 28

2S dvdt

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi t [1 ; 5]

O x

y

1

1

3

t 5

y =

2 x

+ 1

S(t)

2t + 1Diện tích S(t) là :

3 2 1. 1 2 . 1

2

tS t t t t dvdt

3. Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1 với t [1 ; 5] và diện tích S = S(5) - S(1)

Chứng minh : Xét S’(t) = (t2 + t - 2 ) ’ = 2 t + 1 = f(t)

Vậy có : f t dt S t C Xét diện tích : S(5) = 7.4 và S(1) = 3.0 = 0 Vậy S = S(5) - S(1) = 28

Cho hàm số y = f(x) liên tục , không đổi dấu trên đoạn [a ; b] . Hình phẳng giới hạn bởi :

Đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành , và hai đường thẳng x = a ; x = b được gọi là hình thang cong

O

y

a

f(a)

b

y = f(x)f(b)

x

Bây giờ xét một đường cong kín bất kỳ Hình D thì ta chia hình đó (hình vẽ)

Bằng cách kẻ các đường thẳng song song với các trục tọa độ , chia D thành những hình thang cong .Dẫn đến tính diện tích các hình thang cong .

Ví dụ 1 : Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = x2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 ; x = 1

Giải : Với mỗi x [0 ; 1]

O

y

x1

1

y = x2

x

S(x)

Gọi S(x) là diện tích của phần hình thang cong đã cho nằm giữa 2 đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có

hoành độ 0 và x . Ta chứng minh : S’(x) = x 2 x[0;1]

O

y

x

1

1 y = x2

x

Thật vậy với h > 0 , x + h < 1 và kí hiệu : SMNPQ và SMNEF là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF . Ta có SMNPQ S(x+h) - S(x) SMNEF

hay hx2 S(x+h) - S(x) h(x+h)2

x+h

M N

Q P

EF

Vậy có : 2 20 2S x h S x

x xh hh

Và với h < 0 ; x +h > 0 . Tính toán tương tự cũng có 2 22 0S x h S x

xh h xh

Tóm lại với mọi h ≠ 0 thì : 2 22S x h S x

x x h hh

Suy ra : 2

0' lim 0;1

h

S x h S xS x x x

h

Cũng có S’(0) = 0 ; S’(1) = 1

Do đó S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 trên đoạn [0 ; 1] .

Mặt khác trên đọan đó F(x) = 3

3

x Cũng là một nguyên hàm của f(x) = x2 nên

3

3

xS x C C R Với giả thiết S(0) = 0 nên suy ra C = 0 . Vậy :

3

3

xS x

Thay x = 1 vào ta có : diện tích cần tìm là : S(1) = 1

3

Bây giờ xét một đường cong bất kỳ , biễu diễn bằng (hình vẽ)

O

y

a

f(a)

b

y = f(x)f(b)

xx

S(x)

Kí hiệu : S(x) là diện tích hình thang cong . Ta chứng minh được : S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a ; b]

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì có hằng số C Sao cho : S(x) = F(x) + C

Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = - F(a)

Vậy S(x) = F(x) – F(a)

Thay x = b vào có : S(b) = F(b) – F(a)

2. Định nghĩa tích phân :

Giả sử f(x) là hàm liên tục trên đoạn [a ; b] . F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x) . Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a) tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm )

Định nghĩa : Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đọan [a ; b] .Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b ( hay gọi là tích phân xác định trên đoạn [a ; b] của hàm số f(x)) . Kí hiệu là :

b

a

f x dx

( )b

b

aa

f x dx F x F b F a

Ta gọi

là dấu tích phân , a là cận dưới , b là cận trên

f(x) dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân .

Chú ý : Trong trường hợp a = b hay a > b , ta quy ước :

0 ;a b a

a a b

f x dx f x dx f x dx

Ví dụ 2 : Tính :

2

1

) 2a xdx22

1x 2 22 1 3

1

1)

e

b dtt 1

lne

t ln ln1 1 0 1e

Nhận xét : a) Tích phân chỉ phụ thuộc vào f và các cận a , b ; không phụ thuộc vào biến số x . :

....b b b

a a a

f x dx f t dt f u du

b) Ý nghĩa hình học của tích phân :

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b] , thì tích phân b

a

f x dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị f(x) , trục Ox và hai đường x = a ; x = b . Vậy

b

a

S f x dx

II - TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

Tính chất 1 :. .k k

b b

a a

f(x)dx = f(x)dx ( k là hằng số )

Tính chất 2 :

b b b

a a a

f(x) ± g x dx = f(x)dx g(x)dx

Tự chứng minh các tính chất này :

Ví dụ 3 : Tính : 4

2

1

3x x dxGiải : Ta có :

4 4 4 1

2 2 2

1 1 1

3 3x x dx x dx x dx 44 33

2

1 1

23.

3 3

xx

3

34 12. 2 1 35

3

Tính chất 3 : c

c

b b

a a

f(x)dx = f(x)dx f(x)dx ( a < c < b )

Chứng minh : Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b] . Khi đó , F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên mỗi đoạn [a ; c} và [c ; b]

Do đó ta có : c b

a c

f x dx f x dx F c F a F b F c

b

a

F b F a f x dx Ví dụ 4 : Tính :

2

0

1 cos 2 .x dx

Giải : Ta có : 2 2

2

0 0

1 cos 2 . 2sinx dx x dx

2

0

2 sin x dx

Vì : sin 0

sinsin 2

x xx

x x

nên :

2 2

0 0

1 cos 2 . 2 sin sinx dx x dx x dx

2

0

2 sin sinx dx x dx

2

02 cos cosx x

4 2

II I- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Phương pháp đổi biến số :

Cho tích phân :

1

2

0

2 1I x dx

a) Tìm I bằng cách khai triển (2x + 1) 2

b) Đặt u = 2x + 1 . Biến đổi biểu thức (2x + 1) 2 dx thành g(u).du

c) Tính

1

0

u

u

g u du và so sánh kết quả của I trong câu 1.

Giải : a) Tìm I bằng cách khai triển (2x + 1) 2

1 1

2 2

0 0

2 1 4 4 1I x dx x x dx 1 13 2

1

00 0

4. 4.3 2

x xx

4 132 1

3 3

b) Đặt u = 2x + 1 . Biến đổi biểu thức (2x + 1) 2 dx thành g(u).du

Ta có :

1 1

2 2

0 0

2 1 4 4 1I x dx x x dx

2du dx Vậy : 2 2 12 1 .2

x dx u du

c) Tính

1

0

u

u

g u du Ta có : u(0) = 1 ; u(1) = 3 nên

1 32

0 1

1

2

u

u

g u du u du 33

3 1

1

1 1 13. 3 12 3 6 3

u

Định lý :

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] . Giả sử x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoan [ ; ] sao cho () = a ; () = b và a (t) b với mọi t [ ; ] Khi đó :

βb

a α

f x dx = f t . ' t .dt

Ví dụ 5 : Tính : 1

20

1.

1dx

x

Giải : Đặt : x = tan t 2 2

t

Ta có 2

1'

cosx t

t

Khi x = 0 thì t = 0 ; khi x = 1 thì t = 4

Do đó 1 4

2 2 20 0

1 1.

1 1 tan cos

dtdx

x t t

4

0

dt

40 4t

Chú ý : Trong nhiều trường hợp còn dùng phép đổi biến số dạng sau :

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Để tính b

a

f x dx đôi khi chọn hàm số

U = u(x) làm biến số mới , trong đó trên đoạn [a ; b] , u(x) có đạo hàm liên tục trên u(x) [ ; ] . Giả sử có thể viết : f(x) = g(u(x)).u’(x) với x [a ; b]n , g(u) liên tục

trên đoan [ ; ] . Khi đó có :

u bb

a u a

f x dx g u du

Ví dụ 6 : Tính : 2

2

0

sin .cos .x x dx

Giải : Đặt : u = sin x u’ = cos x

Khi x= 0 thì u(0) = 0 ; khi x = 2

thì 1

2u

Vậy 12

2 2

0 0

sin .cos .x x dx u du

13

0

1

3 3

u

Ví dụ 7 : Tính : 1

320

.1

xdx

x

Giải : Đặt : u = 1 + x2 u’ = 2x ; u(0) = 1 ; u(1) = 2 nên có :

1 2

3 320 1

1 1 1

21dx du

ux

223 2

1 1

1 1 1.

2 2 2u du u

2 2

1 1 1 3

4 2 1 16

2. Phương pháp tính tích phân từng phần :

a) Hãy tính 1 . xx e dx bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

b) Từ đó tính 1

0

1 xx e dx

Giải : a) Hãy tính 1 . xx e dx

Đặt : u = x + 1 du = dx

dv = ex dx v = ex

nên 1 . 1 .x x xx e dx x e e dx

. . .u dv u v v du

1 x x xx e e C xe C

b) Từ đó tính 1

0

1 xx e dx

Từ a) có : 1 1

1

00 0

1 1x x xx e dx x e e dx 1 1 1

0 0 01 x x xx e e x e e

Định lý :

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] . Thì :

. . . . . b b

b

aa a

u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) u'(x) v(x) dx

hay . . .u v u b b

b

aa a

d = u v v d

Ví dụ 8 : Tính : 2

0

.sin .x x dx

Giải : Đặt : u = x và dv = sin x.dx du = d x và v = - cos x

Vậy có : 2 2

20

0 0

.sin . .cos ( cos ).x x dx x x x dx

2 20 0

.sin sinx x x

0 1 1

Ví dụ 9 : Tính : 21

ln.

e xdx

x

Giải : Đặt : u = lnx và2

dxdv

x Có

1&

dxdu v

x x

nên 2 21 11

ln 1 1. .ln .

ee exdx x dx

x x x . . .u v u

b bb

aa a

d = u v v d

1

1 1.ln

e

xx x

1 10 1

e e

21e

NEWTON-LEIBNITZNEWTON-LEIBNITZ