第五章第五章第五章第五章 频域 析法频域 析法频域 析法频域 析法

� 频域分析法是研究控制系统的一种经典方法频域分析法是研究控制系统的一种经典方法频域分析法是研究控制系统的一种经典方法频域分析法是研究控制系统的一种经典方法，，，，

是在频域内应用图解分析法评价系统 能的是在频域内应用图解分析法评价系统 能的是在频域内应用图解分析法评价系统 能的是在频域内应用图解分析法评价系统 能的

一种工程方法一种工程方法一种工程方法一种工程方法。。。。

� 频率特 可以由微分方程或传递函数求得频率特 可以由微分方程或传递函数求得频率特 可以由微分方程或传递函数求得频率特 可以由微分方程或传递函数求得，，，，� 频率特 可以由微分方程或传递函数求得频率特 可以由微分方程或传递函数求得频率特 可以由微分方程或传递函数求得频率特 可以由微分方程或传递函数求得，，，，

还可以用实验方法测定还可以用实验方法测定还可以用实验方法测定还可以用实验方法测定。。。。

� 频域分析法不必直接求解系统的微分方程频域分析法不必直接求解系统的微分方程频域分析法不必直接求解系统的微分方程频域分析法不必直接求解系统的微分方程，，，，

而是间接地揭示系统的时域 能而是间接地揭示系统的时域 能而是间接地揭示系统的时域 能而是间接地揭示系统的时域 能，，，，它能方便它能方便它能方便它能方便

的显示出系统参数对系统 能的影响的显示出系统参数对系统 能的影响的显示出系统参数对系统 能的影响的显示出系统参数对系统 能的影响，，，，并可并可并可并可

以进一步指明如何设计校正以进一步指明如何设计校正以进一步指明如何设计校正以进一步指明如何设计校正。。。。

一一一一一一一一﹑﹑﹑﹑﹑﹑﹑﹑频率特性的定义频率特性的定义频率特性的定义频率特性的定义频率特性的定义频率特性的定义频率特性的定义频率特性的定义1111....频率响应频率响应频率响应频率响应 在正弦输入函数的作用下在正弦输入函数的作用下在正弦输入函数的作用下在正弦输入函数的作用下 系统输系统输系统输系统输

出的稳态值称为频率响应出的稳态值称为频率响应出的稳态值称为频率响应出的稳态值称为频率响应

线性定常系统在 输人信号的作用线性定常系统在 输人信号的作用线性定常系统在 输人信号的作用线性定常系统在 输人信号的作用 稳态稳态稳态稳态

第一节第一节第一节第一节 频率特性频率特性频率特性频率特性

输 信号输 信号输 信号输 信号c(∞)c(∞)c(∞)c(∞) 是 输入信号相同频率的 信是 输入信号相同频率的 信是 输入信号相同频率的 信是 输入信号相同频率的 信

号号号号 只是振幅 相 同只是振幅 相 同只是振幅 相 同只是振幅 相 同

( ) sinr t A tω=

( )( ) sin( )c t A G j tω ω ϕ= + ( )G jϕ ω= ∠

2.2.2.2.频率特性频率特性频率特性频率特性 频率响应频率响应频率响应频率响应c(t)c(t)c(t)c(t)与输入正弦函与输入正弦函与输入正弦函与输入正弦函数数数数r(t)r(t)r(t)r(t)的复数比称为频率特性的复数比称为频率特性的复数比称为频率特性的复数比称为频率特性

( )( ) ( )

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

C jG j A

R jC jG j

R j C jG j

R j

ωω ω

ωωω

ω ωω ϕ ω

ω

= =

=

∠ = ∠ =

( ) ( ) ( )G j G j G jω ω ω= ∠

( ) ( )( )

G jR j

ω ϕ ωω

∠ = ∠ =

若将传递函数中的若将传递函数中的若将传递函数中的若将传递函数中的ssss以以以以jωjωjωjω

代替代替代替代替，，，，就得到频率特就得到频率特就得到频率特就得到频率特

( ) ( ) s jG j G s ωω ==

电路的传递函数电路的传递函数电路的传递函数电路的传递函数

R

C( )i t( )r t ( )c t

例例例例 无源无源无源无源RCRCRCRC网络网络网络网络

设输入设输入设输入设输入

( ) 1( )

( ) 1

C sG s

R s RCs= =

+

( ) sinr t A tω=电路输出电压与输入电压的复数比电路输出电压与输入电压的复数比电路输出电压与输入电压的复数比电路输出电压与输入电压的复数比

设输入设输入设输入设输入

( )( ) 1 1( )

( ) 1 1

C jG j T RC

R j RCj Tj

ωω

ω ω ω= = = =

+ +

( ) sinr t A tω=

2 2

1( ) ( ) arctan

1G j T

Tω ϕ ω ω

ω= ∠ = ∠−

+

例例例例 某单位反馈控制系统开环传递函数为某单位反馈控制系统开环传递函数为某单位反馈控制系统开环传递函数为某单位反馈控制系统开环传递函数为

GGGG ssss HHHH ssss =1/=1/=1/=1/ s+1)s+1)s+1)s+1)

求输入函数求输入函数求输入函数求输入函数r(t)=3si“(2t+30r(t)=3si“(2t+30r(t)=3si“(2t+30r(t)=3si“(2t+30°°°°))))时系统的稳态输出时系统的稳态输出时系统的稳态输出时系统的稳态输出

解解解解 闭环系统传递函数闭环系统传递函数闭环系统传递函数闭环系统传递函数

闭环频率特闭环频率特闭环频率特闭环频率特 ω=2

( )( ) ( )

1( )

1 2

G ss

G s H s sΦ = =

+ +

2 2

1 1 2( ) arctan 0.35 45

2 2

ojj

ωω ωω

Φ = = ∠ − = ∠ −+ +

( ) 0 0( ) sin( ) 3 0.35 sin(2 30 45 )c t A G j t tω ω ϕ= + = + −� �

闭环频率特闭环频率特闭环频率特闭环频率特 ω=2

系统稳态输出系统稳态输出系统稳态输出系统稳态输出

01.05sin(2 15 )t= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )G j G j G j Aω ω ω ω ϕ ω= ∠ = ∠

频率特性的表示法频率特性的表示法频率特性的表示法频率特性的表示法频率特性的表示法频率特性的表示法频率特性的表示法频率特性的表示法

(一一一一)系统频率特性的解析式表示系统频率特性的解析式表示系统频率特性的解析式表示系统频率特性的解析式表示

1. 幅频幅频幅频幅频—相频形式相频形式相频形式相频形式:

2. 指数形式指数形式指数形式指数形式:

( ) ( )( ( )j G j jG j ) G(j ) e A eω ϕ ωω ω ω∠= =

(G j ) R( ) jI( )ω ω ω= +

2. 指数形式指数形式指数形式指数形式:

3. 实频实频实频实频—虚频形式虚频形式虚频形式虚频形式

((二二二二二二二二))系统频率特性常用的系统频率特性常用的系统频率特性常用的系统频率特性常用的系统频率特性常用的系统频率特性常用的系统频率特性常用的系统频率特性常用的图示方法图示方法图示方法图示方法图示方法图示方法图示方法图示方法

� 频率特性图示方法是描述频率频率特性图示方法是描述频率频率特性图示方法是描述频率频率特性图示方法是描述频率 变变变变

化时频率响应的幅值化时频率响应的幅值化时频率响应的幅值化时频率响应的幅值 相 频率之间关系的一相 频率之间关系的一相 频率之间关系的一相 频率之间关系的一

曲线曲线曲线曲线....

ω 0→∞

� 由于采用的坐标系 同可 为两类图示法或常由于采用的坐标系 同可 为两类图示法或常由于采用的坐标系 同可 为两类图示法或常由于采用的坐标系 同可 为两类图示法或常� 由于采用的坐标系 同可 为两类图示法或常由于采用的坐标系 同可 为两类图示法或常由于采用的坐标系 同可 为两类图示法或常由于采用的坐标系 同可 为两类图示法或常

用的 种曲线用的 种曲线用的 种曲线用的 种曲线 极坐标图示法极坐标图示法极坐标图示法极坐标图示法 乃氏图乃氏图乃氏图乃氏图 对数对数对数对数

坐标图示法坐标图示法坐标图示法坐标图示法 伯德图伯德图伯德图伯德图 或或或或幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线 对数对数对数对数

频率特性曲线频率特性曲线频率特性曲线频率特性曲线和和和和对数幅相频率特性曲线对数幅相频率特性曲线对数幅相频率特性曲线对数幅相频率特性曲线

1111 对数幅频特性对数幅频特性对数幅频特性对数幅频特性

纵轴按线性刻度纵轴按线性刻度纵轴按线性刻度纵轴按线性刻度 标 增益值标 增益值标 增益值标 增益值,,,,单单单单 即B即B即B即B

第二节第二节第二节第二节 频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图

将将将将 和和和和 表示在两个图表示在两个图表示在两个图表示在两个图 对数对数对数对数

度度度度 被 作对数幅频特性图和对数相频特性图被 作对数幅频特性图和对数相频特性图被 作对数幅频特性图和对数相频特性图被 作对数幅频特性图和对数相频特性图

( )Aω ( )ϕ ω

( ) 20 lg ( )L Aω ω=

横轴按对数刻度横轴按对数刻度横轴按对数刻度横轴按对数刻度 标 频率标 频率标 频率标 频率以以以以值值值值

( ) 20 lg ( )L Aω ω=

2222 对数相频特性对数相频特性对数相频特性对数相频特性

纵轴按均匀刻度纵轴按均匀刻度纵轴按均匀刻度纵轴按均匀刻度 标标标标 值值值值 单 为度单 为度单 为度单 为度

横轴刻度 对数幅频特性相同横轴刻度 对数幅频特性相同横轴刻度 对数幅频特性相同横轴刻度 对数幅频特性相同

( )ϕ ω

十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程 是指在是指在是指在是指在 轴轴轴轴上对应于频率每增大十倍的频上对应于频率每增大十倍的频上对应于频率每增大十倍的频上对应于频率每增大十倍的频带宽度带宽度带宽度带宽度. . . .

对数幅频特性的对数幅频特性的对数幅频特性的对数幅频特性的 斜率斜率斜率斜率 是指是指是指是指频率改变倍频或十倍频时频率改变倍频或十倍频时频率改变倍频或十倍频时频率改变倍频或十倍频时L( )L( )L( )L( )分贝数的改变量分贝数的改变量分贝数的改变量分贝数的改变量 单位是单位是单位是单位是dBdBdBdB

ω

ω分贝数的改变量分贝数的改变量分贝数的改变量分贝数的改变量 单位是单位是单位是单位是dBdBdBdB

dec dec dec dec

(1(1(1(1 频率频率频率频率ωωωω 横坐标横坐标横坐标横坐标 按对数分度按对数分度按对数分度按对数分度 低频部分排列稀低频部分排列稀低频部分排列稀低频部分排列稀疏疏疏疏 分辨精细分辨精细分辨精细分辨精细 而高频部分排列密集而高频部分排列密集而高频部分排列密集而高频部分排列密集 分辨粗略分辨粗略分辨粗略分辨粗略这正适合工程实际的需要这正适合工程实际的需要这正适合工程实际的需要这正适合工程实际的需要

BⅠdeBⅠdeBⅠdeBⅠde图的优点图的优点图的优点图的优点

2222 幅频特性取对数幅频特性取对数幅频特性取对数幅频特性取对数⑤20⑤20⑤20⑤20lg∣G(s)H(s)∣]lg∣G(s)H(s)∣]lg∣G(s)H(s)∣]lg∣G(s)H(s)∣]后后后后 使各因使各因使各因使各因子间的乘除运算转化成加减运算子间的乘除运算转化成加减运算子间的乘除运算转化成加减运算子间的乘除运算转化成加减运算 在在在在BⅠdeBⅠdeBⅠdeBⅠde图上则图上则图上则图上则变成各因子曲线的叠加变成各因子曲线的叠加变成各因子曲线的叠加变成各因子曲线的叠加 大大简化了作图过程大大简化了作图过程大大简化了作图过程大大简化了作图过程 使使使使设计和分析变得容易设计和分析变得容易设计和分析变得容易设计和分析变得容易

3)3)3)3)采用由直线构成的渐近特性采用由直线构成的渐近特性采用由直线构成的渐近特性采用由直线构成的渐近特性 或稍加修正或稍加修正或稍加修正或稍加修正 代代代代

替精确替精确替精确替精确BⅠdeBⅠdeBⅠdeBⅠde图图图图 使绘图十分简便使绘图十分简便使绘图十分简便使绘图十分简便 又能满足工又能满足工又能满足工又能满足工

程需要程需要程需要程需要 因而被广泛应用因而被广泛应用因而被广泛应用因而被广泛应用

4444 在控制系统的设计和调试中在控制系统的设计和调试中在控制系统的设计和调试中在控制系统的设计和调试中 开环放大系数开环放大系数开环放大系数开环放大系数KKKK

是最常变化的参数是最常变化的参数是最常变化的参数是最常变化的参数 而而而而KKKK的变化不影响对数幅频的变化不影响对数幅频的变化不影响对数幅频的变化不影响对数幅频

特性的形状特性的形状特性的形状特性的形状 只会使幅频特性曲线作上下平移只会使幅频特性曲线作上下平移只会使幅频特性曲线作上下平移只会使幅频特性曲线作上下平移

一一一一 典型环节的对数坐标图典型环节的对数坐标图典型环节的对数坐标图典型环节的对数坐标图

1.1.1.1. 比例环节比例环节比例环节比例环节((((K)K)K)K)

( ) 20lgL Kω = 0( ) 0ϕ ω

=

2.2.2.2. 积分环节积分环节积分环节积分环节 ( )1( ) 20lg 20lg

1( ) 90

L dBj

j

ω ωω

ϕ ωω

= = −

= ∠ = − o

1

s

3333.... 微分环节微分环节微分环节微分环节((((s)s)s)s) ( )( ) 20lg 20lg

( ) 90

L j dB

j

ω ω ω

ϕ ω ω

= =

= ∠ = o

4444.... 一阶滞后环节一阶滞后环节一阶滞后环节一阶滞后环节((((惯性环节惯性环节惯性环节惯性环节)()()()( ))))1

1Ts +

( )2 2 2 2

2 2

1( ) 20 lg 20lg 1 10lg 1

1

( ) arctan

L T TT

T

ω ω ωω

ϕ ω ω

= = − + = − ++

= −

对数幅频特性讨论对数幅频特性讨论对数幅频特性讨论对数幅频特性讨论:

1) 频段频段频段频段 ωT<<1 ( )2 2( ) 10 lg 1 0L Tω ω= − + ≈1) 频段频段频段频段 ωT<<1

2)高频段高频段高频段高频段 ωT>>1

3)交接频率处交接频率处交接频率处交接频率处

( )( ) 10 lg 1 0L Tω ω= − + ≈

1( ) 20 lg 20 lg 20 lg 20 lgL T

Tω ω ω ω≈ − = − + ≈ −

1Tω当 时

( ) 20 lg 1 1 3.01( ) 3( )L dB dBω = − + = − ≈ −

1( ) 20 lg 20 lg 0L

Tω ω≈ − +

实实实实

5.5.5.5. 一阶微分环节一阶微分环节一阶微分环节一阶微分环节((((Ts+1)Ts+1)Ts+1)Ts+1)

( )2 2 2 2( ) 20 lg 1 10lg 1

( ) arctan

L T T

T

ω ω ω

ϕ ω ω

= + = +

=

6666 .... 二阶振荡环节二阶振荡环节二阶振荡环节二阶振荡环节

2

1( )

2 1n n

G jj j

ωω ω

ξω ω

=

+ +

2 22ω ω

ω ξ = − − +

2

2 22 n ns s

ωξω ω

+ +

2

2

( ) 20lg 1 2

2

( ) arctan

1

n n

n

n

Lω ω

ω ξω ω

ωξω

ϕ ωωω

= − − + = − −

1)1)1)1)低频段低频段低频段低频段

2)2)2)2)高频段高频段高频段高频段

对数幅频特性讨论对数幅频特性讨论对数幅频特性讨论对数幅频特性讨论::::

nω ω<<

2 2 22

2( ) 20 lg 1 2 20 lg 40 lgL

ω ω ω ωω ξ

ω ω ω ω

= − − + ≈ − = −

nω ω�

2 22

2( ) 20 lg 1 2 20 lg1 0

n n

Lω ω

ω ξω ω

= − − + ≈ − =

3)3)3)3)交接频率处称为二阶振荡环节的转角频率交接频率处称为二阶振荡环节的转角频率交接频率处称为二阶振荡环节的转角频率交接频率处称为二阶振荡环节的转角频率

2( ) 20 lg 1 2 20 lg 40 lg

n n n n

L ω ξω ω ω ω

= − − + ≈ − = −

渐近线误差随渐近线误差随渐近线误差随渐近线误差随 不同而不同不同而不同不同而不同不同而不同 渐近线的误差在渐近线的误差在渐近线的误差在渐近线的误差在附近为最大附近为最大附近为最大附近为最大 并且并且并且并且 值越小值越小值越小值越小 误差越大误差越大误差越大误差越大 当当当当 →0→0→0→0时时时时误差将趋近于无穷大误差将趋近于无穷大误差将趋近于无穷大误差将趋近于无穷大

nω ω=

ξnω ω=ξ

ξ

7.7.7.7. 二阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节

2 22

2( ) 20lg 1 2

2

n n

Lω ω

ω ξω ω

ωξω

ϕ ω

= − + =

( )2 22 n ns sξω ω+ +

2( ) arctan

1

n

n

ωϕ ω

ωω

= −

8.8.8.8. 延迟环节延迟环节延迟环节延迟环节

0

( ) 20lg1 0

( ) ( )

57.3 ( )

L

rad

ωϕ ω τω

τω

= =

= −

= − ×

( )se τ−

二二二二 开环系统开环系统开环系统开环系统BⅠdeBⅠdeBⅠdeBⅠde图的绘制方法图的绘制方法图的绘制方法图的绘制方法1. 1. 1. 1. 环节曲线迭加法环节曲线迭加法环节曲线迭加法环节曲线迭加法

例例例例 系统开环传递函数如下系统开环传递函数如下系统开环传递函数如下系统开环传递函数如下 试绘制其开环对试绘制其开环对试绘制其开环对试绘制其开环对数频率特性图数频率特性图数频率特性图数频率特性图

1 1 1( ) ( ) 4 (0.5 1)G j H j jω ω ω= × ⋅ ⋅ + ⋅

2

4(0.5 1)( ) ( )

(2 1) (0.125 ) 0.05 1

sG s H s

s s s s

+=

+ + +

2

1 1 1( ) ( ) 4 (0.5 1)

2 10.05 1

8

G j H j jj j j

j

ω ω ωω ω ω

ω

= × ⋅ ⋅ + ⋅+ + +

(1) (1) (1) (1) 即开环频率特性可看作由比例环节即开环频率特性可看作由比例环节即开环频率特性可看作由比例环节即开环频率特性可看作由比例环节 ﹑﹑﹑﹑积分环节积分环节积分环节积分环节 ﹑﹑﹑﹑惯惯惯惯性环节性环节性环节性环节 ﹑﹑﹑﹑一节微分环节一节微分环节一节微分环节一节微分环节 及二阶振荡环节及二阶振荡环节及二阶振荡环节及二阶振荡环节 组成组成组成组成 其环其环其环其环节转角频率节转角频率节转角频率节转角频率 ω1=0.5 ω2=2 ω3=8

将开环传递函数分成将开环传递函数分成将开环传递函数分成将开环传递函数分成5555个典型环节相乘后个典型环节相乘后个典型环节相乘后个典型环节相乘后 可得开环对可得开环对可得开环对可得开环对数幅频特性和相频特性分别为数幅频特性和相频特性分别为数幅频特性和相频特性分别为数幅频特性和相频特性分别为

1 2 3 4 5

2 2

22

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

20 lg 4 20lg 20lg 1 (2 ) 20lg 1 (0.5 )

20 lg 1 (0.05 )

L L L L L L

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω

ωω

= + + + +

= − − + + +

− − +

220lg 1 (0.05 )64

ω

ω

− − +

1 2 3 4 5

0 0

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0.050 90 arctan 2 arctan0.5 arctan

18

ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω

ωω ω

ω

= + + + +

= − − + − −

2222 分别将各环节的对数幅频特性和相频特性曲线分别将各环节的对数幅频特性和相频特性曲线分别将各环节的对数幅频特性和相频特性曲线分别将各环节的对数幅频特性和相频特性曲线画于对数纸上画于对数纸上画于对数纸上画于对数纸上 可见可见可见可见

1111 LLLL1111(ω)=(ω)=(ω)=(ω)=20202020㏒㏒㏒㏒4444≈≈≈≈12121212(dB)(dB)(dB)(dB)是幅值为是幅值为是幅值为是幅值为12121212dBdBdBdB的水平的水平的水平的水平线线线线

2222 LLLL2222(ω)(ω)(ω)(ω)是过是过是过是过ω=ω=ω=ω=1111﹑﹑﹑﹑斜率为斜率为斜率为斜率为----20202020dB/decdB/decdB/decdB/dec的直线的直线的直线的直线3333 LLLL3333(ω)(ω)(ω)(ω)是转交频率为是转交频率为是转交频率为是转交频率为ω=ω=ω=ω=0000....5555的惯性环节对数幅频的惯性环节对数幅频的惯性环节对数幅频的惯性环节对数幅频

特性曲线特性曲线特性曲线特性曲线特性曲线特性曲线特性曲线特性曲线4444 LLLL4444(ω)(ω)(ω)(ω)是转角频率为是转角频率为是转角频率为是转角频率为ω=ω=ω=ω=2222的一阶微分环节对数幅的一阶微分环节对数幅的一阶微分环节对数幅的一阶微分环节对数幅

频特性曲线频特性曲线频特性曲线频特性曲线5555 LLLL5555 ωωωω 是转角频率为是转角频率为是转角频率为是转角频率为ω=ω=ω=ω=8888的二阶振荡环节对的二阶振荡环节对的二阶振荡环节对的二阶振荡环节对

数幅频特性曲线数幅频特性曲线数幅频特性曲线数幅频特性曲线6666 绘制各环节相频特性曲线绘制各环节相频特性曲线绘制各环节相频特性曲线绘制各环节相频特性曲线ϕϕϕϕ1111 ωωωω ～～～～ ϕϕϕϕ5555 ωωωω

3333 将将将将LLLL1111 ωωωω ～～～～LLLL5555 ωωωω 叠加叠加叠加叠加 在各转角频率处各在各转角频率处各在各转角频率处各在各转角频率处各

由上述例题可见由上述例题可见由上述例题可见由上述例题可见由上述例题可见由上述例题可见由上述例题可见由上述例题可见�在低频段在低频段在低频段在低频段 惯性惯性惯性惯性 振荡和比例微分等环节的低频渐振荡和比例微分等环节的低频渐振荡和比例微分等环节的低频渐振荡和比例微分等环节的低频渐近线近线近线近线 均为零分贝线均为零分贝线均为零分贝线均为零分贝线 因此因此因此因此 对数幅频特性的低频段对数幅频特性的低频段对数幅频特性的低频段对数幅频特性的低频段主要取决于比例环节和积分环节主要取决于比例环节和积分环节主要取决于比例环节和积分环节主要取决于比例环节和积分环节((((理想微分环节一般理想微分环节一般理想微分环节一般理想微分环节一般很少出现很少出现很少出现很少出现))))

�在在在在 处处处处 积分环节为过零点对数幅频特性的高度仅积分环节为过零点对数幅频特性的高度仅积分环节为过零点对数幅频特性的高度仅积分环节为过零点对数幅频特性的高度仅取决于比例环节取决于比例环节取决于比例环节取决于比例环节 即即即即�低频段的斜率低频段的斜率低频段的斜率低频段的斜率 则主要取决于积分环节的多少则主要取决于积分环节的多少则主要取决于积分环节的多少则主要取决于积分环节的多少 每多一每多一每多一每多一

1ω =

1( ) 20lgL Kωω = =�低频段的斜率低频段的斜率低频段的斜率低频段的斜率 则主要取决于积分环节的多少则主要取决于积分环节的多少则主要取决于积分环节的多少则主要取决于积分环节的多少 每多一每多一每多一每多一个积分环节个积分环节个积分环节个积分环节 则斜率便降低则斜率便降低则斜率便降低则斜率便降低 20202020dBdBdBdB decdecdecdec 若有若有若有若有VVVV个积分个积分个积分个积分环节环节环节环节 则在则在则在则在 处的斜率便为处的斜率便为处的斜率便为处的斜率便为 20202020VdBVdBVdBVdB dec dec dec dec

�若遇到一阶惯性环节若遇到一阶惯性环节若遇到一阶惯性环节若遇到一阶惯性环节 经交接频率经交接频率经交接频率经交接频率 的斜率便的斜率便的斜率便的斜率便降低降低降低降低 20202020dBdBdBdB decdecdecdec 遇到二阶振荡环节遇到二阶振荡环节遇到二阶振荡环节遇到二阶振荡环节 过交接频率过交接频率过交接频率过交接频率则斜率便降低则斜率便降低则斜率便降低则斜率便降低 40404040dBdBdBdB decdecdecdec 若遇到比例微分环节若遇到比例微分环节若遇到比例微分环节若遇到比例微分环节过交接频率过交接频率过交接频率过交接频率 则斜率增加则斜率增加则斜率增加则斜率增加+20+20+20+20dBdBdBdB dec dec dec dec

1ω =( )L ω

二二二二 顺序斜率迭加法顺序斜率迭加法顺序斜率迭加法顺序斜率迭加法

①①①① 分析系统是由哪些典型环节串联组成的分析系统是由哪些典型环节串联组成的分析系统是由哪些典型环节串联组成的分析系统是由哪些典型环节串联组成的，，，，

将这些典型环节的传递函数都化成标准形式将这些典型环节的传递函数都化成标准形式将这些典型环节的传递函数都化成标准形式将这些典型环节的传递函数都化成标准形式。。。。

即各典型环节传递函数的常数项为即各典型环节传递函数的常数项为即各典型环节传递函数的常数项为即各典型环节传递函数的常数项为1111。。。。

步骤步骤步骤步骤步骤步骤步骤步骤

②②②② 根据比例环节的值根据比例环节的值根据比例环节的值根据比例环节的值，，，，计算计算计算计算 。。。。

③③③③ 在半对数坐标纸上在半对数坐标纸上在半对数坐标纸上在半对数坐标纸上，，，，找到横坐标为找到横坐标为找到横坐标为找到横坐标为 、、、、

纵坐标为纵坐标为纵坐标为纵坐标为 的点的点的点的点，，，，过该点作斜率过该点作斜率过该点作斜率过该点作斜率

为为为为））））20202020vdBvdBvdBvdB／／／／decdecdecdec的斜线的斜线的斜线的斜线，，，，其中其中其中其中vvvv为积分环节的数为积分环节的数为积分环节的数为积分环节的数

目目目目。。。。

20 lg K

1( ) 20lgL Kωω = =1ω =

④④④④ 计算各典型环节的转角频率计算各典型环节的转角频率计算各典型环节的转角频率计算各典型环节的转角频率，，，，将各转角将各转角将各转角将各转角

频率按由低到高的顺序进行排列频率按由低到高的顺序进行排列频率按由低到高的顺序进行排列频率按由低到高的顺序进行排列，，，，并按下列并按下列并按下列并按下列

原则依次改变原则依次改变原则依次改变原则依次改变 的斜率的斜率的斜率的斜率

若过一阶惯 环节的转角频率若过一阶惯 环节的转角频率若过一阶惯 环节的转角频率若过一阶惯 环节的转角频率，，，，斜率减去斜率减去斜率减去斜率减去

20202020dBdBdBdB／／／／decdecdecdec

若过比例微分环节的转角频率若过比例微分环节的转角频率若过比例微分环节的转角频率若过比例微分环节的转角频率，，，，斜率增加斜率增加斜率增加斜率增加

( )L ω

若过比例微分环节的转角频率若过比例微分环节的转角频率若过比例微分环节的转角频率若过比例微分环节的转角频率，，，，斜率增加斜率增加斜率增加斜率增加

20202020dBdBdBdB／／／／decdecdecdec

若过二阶振荡环节的转角频率若过二阶振荡环节的转角频率若过二阶振荡环节的转角频率若过二阶振荡环节的转角频率，，，，斜率减去斜率减去斜率减去斜率减去

40404040dBdBdBdB／／／／decdecdecdec。。。。

⑤⑤⑤⑤ 如果需要如果需要如果需要如果需要，，，，可对渐近线进行修正可对渐近线进行修正可对渐近线进行修正可对渐近线进行修正，，，，以以以以

获得较精确的对数幅频特 曲线获得较精确的对数幅频特 曲线获得较精确的对数幅频特 曲线获得较精确的对数幅频特 曲线。。。。

2

10( 3)( )

( 2)( 2)

sG s

s s s s

+=

+ + +

2

17.5( 1)

3( )1 1 1

( 1)( 1)2 2 2

s

G s

s s s s

+=

+ + +

⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤例例例例例例例例] ] ] ] ] ] ] ] 绘出开环传递函数为绘出开环传递函数为绘出开环传递函数为绘出开环传递函数为绘出开环传递函数为绘出开环传递函数为绘出开环传递函数为绘出开环传递函数为

的系统开环对数频率特性的系统开环对数频率特性的系统开环对数频率特性的系统开环对数频率特性的系统开环对数频率特性的系统开环对数频率特性的系统开环对数频率特性的系统开环对数频率特性

解 写成典型环节的标准形式解 写成典型环节的标准形式可知系统由一个积分 一个惯可知系统由一个积分 一个惯性 一个二阶振荡环节组成性 一个二阶振荡环节组成

1 1 1(1) (1) 求转折频率求转折频率

1 2 3

1 2 3

1 1 12, 2, 3

T T Tω ω ω= = = = = =

1 2 3

1 1 1, ,

2 32T T T= = =

先找出基准点先找出基准点 ω=1ω=1处处 L(ω)=20lⅠgK=20lⅠg7.5L(ω)=20lⅠgK=20lⅠg7.5＝＝17.5(dB)17.5(dB)22 绘低频渐近线绘低频渐近线

有一个积分环节有一个积分环节 νν=1=1 过此点作过此点作--2020ννdB/decdB/dec直线直线

1) 1) 遇到遇到 即二阶振荡环节即二阶振荡环节

(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)由低频到高频顺序画出对数幅频特性渐近线由低频到高频顺序画出对数幅频特性渐近线由低频到高频顺序画出对数幅频特性渐近线由低频到高频顺序画出对数幅频特性渐近线由低频到高频顺序画出对数幅频特性渐近线由低频到高频顺序画出对数幅频特性渐近线由低频到高频顺序画出对数幅频特性渐近线由低频到高频顺序画出对数幅频特性渐近线在低频渐近线的基础上 每遇到一个转角频率 便将其渐近在低频渐近线的基础上 每遇到一个转角频率 便将其渐近线斜率与原渐近线进行叠加线斜率与原渐近线进行叠加

1

1

12

Tω = =

2

1

1 11

2 2s s+ +

幅频特性由幅频特性由--2020dB/decdB/dec的斜率变为的斜率变为--6060dB/decdB/dec的斜率的斜率

的转角频率 斜率增加的转角频率 斜率增加--4040dB/decdB/dec

幅频特性由幅频特性由--2020dB/decdB/dec的斜率变为的斜率变为--6060dB/decdB/dec的斜率的斜率

2) 2) 遇到遇到 即一阶惯性环节即一阶惯性环节 转角频率转角频率2

2

12

Tω = =

1

11

2s +

斜率增加斜率增加--2020dB/decdB/dec 幅频特性变为幅频特性变为--8080dB/decdB/dec的斜率的斜率

3) 3) 遇到遇到 即一阶微分环节即一阶微分环节 转角频率转角频率

斜率增加斜率增加 2020dB/decdB/dec 幅频特性变为幅频特性变为--6060dB/decdB/dec的斜率的斜率

3

3

13

Tω = =

11

3s +

Bode DiagramM

ag

nit

ud

e (

dB

)

-20

0

20

40

Frequency (rad/sec)

Mag

nit

ud

e (

-100

-80

-60

-40

10-1 100 101 1022 2 3

4 系统开环对数相频特性系统开环对数相频特性系统开环对数相频特性系统开环对数相频特性0

2

1

2( ) 90 arctan 0.3 arctan 0.2 arctan1

12

ωϕ ω ω ω

ω= − + − −

−0, ( ) 90ω ϕ ω→ →− o

, ( ) 270ω ϕ ω→∞ →− o

低频渐近线为低频渐近线为低频渐近线为低频渐近线为

高频渐近线为高频渐近线为高频渐近线为高频渐近线为90− o

270− o

系统有开环零点系统有开环零点系统有开环零点系统有开环零点 中频段有凹凸变化中频段有凹凸变化中频段有凹凸变化中频段有凹凸变化 求出系统在转角求出系统在转角求出系统在转角求出系统在转角频率频率频率频率ω处的相角值处的相角值处的相角值处的相角值 然后连点描线即得到系统的相频特性然后连点描线即得到系统的相频特性然后连点描线即得到系统的相频特性然后连点描线即得到系统的相频特性

Frequency (rad/sec)

Ph

ase (

deg

)

10-1

100

101

102-270

-225

-180

-135

-90

5( 2)( )

( 1)(0.05 1)

sG s

s s s

+=

+ +

⑤⑤⑤⑤例例例例] ] ] ] 绘出开环传递函数为绘出开环传递函数为绘出开环传递函数为绘出开环传递函数为

的系统开环对数频率特性的系统开环对数频率特性的系统开环对数频率特性的系统开环对数频率特性解 将式中的各因式换成典型环节的标准形式 即

10(0.5 1)( )

( 1)(0.05 1)

sG s

s s s

+=

+ +系统由一个积分 两个惯性环节组成

(1)转折频率 1 2 3

1 11, 2, 20

0.5 0.05ω ω ω= = = = =(1)转折频率 1 2 31, 2, 20

0.5 0.05

(2)在 处1( ) 20lg 20lg10 20L K dBωω = = = =1 1ω =

(3)因第一个转折频率 所以过( )点向左作一20dB dec斜率的直线 再向右作一40dBdec斜率的直线交至频率 时转为一20dB dec 当交至 时再转为一40dB dec斜率的直线 即得开环对数幅频特性渐近线

( ) 20L dBω =1 1ω = 1 1ω =

2 2ω =3 20ω =

Bode Diagram

Mag

nit

ud

e (

dB

)

-10

0

10

20

30

40

Frequency (rad/sec)

10

-1

10

0

10

1

10

2

Mag

nit

ud

e

-60

-50

-40

-30

-20

-10

系统开环对数相频特性系统开环对数相频特性系统开环对数相频特性系统开环对数相频特性0( ) 90 arctan arctan 0.5 arctan 0.05ϕ ω ω ω ω= − − + −

-90

0, ( ) 90ω ϕ ω→ →− o

, ( ) 180ω ϕ ω→∞ →− o

低频渐近线为低频渐近线为低频渐近线为低频渐近线为高频渐近线为高频渐近线为高频渐近线为高频渐近线为

90− o

180− o

系统有开环零点系统有开环零点系统有开环零点系统有开环零点 中频段有凹凸变化中频段有凹凸变化中频段有凹凸变化中频段有凹凸变化

Frequency (rad/sec)

Ph

ase (

deg

)

10 -1 10 0 10 1 10 2-180

-135

11

2 3

( 1)( )

( 1)( 1)

K T sG s

s T s T s

+=

+ +

最小相 系统和非最小相 系统最小相 系统和非最小相 系统最小相 系统和非最小相 系统最小相 系统和非最小相 系统

1. 系统的开 传递函数在右半系统的开 传递函数在右半系统的开 传递函数在右半系统的开 传递函数在右半s平面没有极点和零点平面没有极点和零点平面没有极点和零点平面没有极点和零点

该系统 最小相 系统该系统 最小相 系统该系统 最小相 系统该系统 最小相 系统 如如如如

2 系统的开 传递函数在右半系统的开 传递函数在右半系统的开 传递函数在右半系统的开 传递函数在右半s平面有零点或极点平面有零点或极点平面有零点或极点平面有零点或极点2 系统的开 传递函数在右半系统的开 传递函数在右半系统的开 传递函数在右半系统的开 传递函数在右半s平面有零点或极点平面有零点或极点平面有零点或极点平面有零点或极点

或系统或系统或系统或系统 e-Ts该系统 为非最小相 系统该系统 为非最小相 系统该系统 为非最小相 系统该系统 为非最小相 系统 如如如如

非最小相 一般由两种情况产生非最小相 一般由两种情况产生非最小相 一般由两种情况产生非最小相 一般由两种情况产生 一是系统内包 有非最小相一是系统内包 有非最小相一是系统内包 有非最小相一是系统内包 有非最小相

元件元件元件元件 如延 因子如延 因子如延 因子如延 因子 另外是 稳定的小回另外是 稳定的小回另外是 稳定的小回另外是 稳定的小回

12

2 3

( 1)( )

( 1)( 1)

K T sG s

s T s T s

−=

+ +

3 有相同幅值的两个系统有相同幅值的两个系统有相同幅值的两个系统有相同幅值的两个系统 最小相 系统的相角最小相 系统的相角最小相 系统的相角最小相 系统的相角

最小最小最小最小 如如如如

2 2

3

2 2 2 2

1 2

1( )

(1 )(1 )

K TA

T T

ωω

ω ω

+=

+ +

和和和和 都 有相同都 有相同都 有相同都 有相同

的幅频特性的幅频特性的幅频特性的幅频特性 幅频特性幅频特性幅频特性幅频特性

都是都是都是都是

2 ( )G s1( )G s

但它们的相频特性 大大 同但它们的相频特性 大大 同但它们的相频特性 大大 同但它们的相频特性 大大 同

( ) arctan arctan arctanT T Tϕ ω ω ω ω= − −1 3 1 2

32 1 2

( ) arctan arctan arctan

( ) arctan arctan arctan1

T T T

TT T

ϕ ω ω ω ω

ωϕ ω ω ω

= − −

= − −−

0 0 0

1 1( ) (0) 90 0 90ϕ ϕ∞ − = − − =0 0 0

2 2( ) (0) 90 180 270ϕ ϕ∞ − = − − =

当当当当ω 0→∞

时的相角变时的相角变时的相角变时的相角变

化为化为化为化为

显然显然显然显然 最小相 系统的相角变化为最小最小相 系统的相角变化为最小最小相 系统的相角变化为最小最小相 系统的相角变化为最小

四四四四 系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的关系关系关系关系1 0型系统型系统型系统型系统

设设设设0型系统的开 幅相型系统的开 幅相型系统的开 幅相型系统的开 幅相

频率特性为频率特性为频率特性为频率特性为

( ) ( )1

PKG j H j

Tjω ω

ω=

+

对数幅频特性为对数幅频特性为对数幅频特性为对数幅频特性为

高频段高频段高频段高频段( )是一条斜率为是一条斜率为是一条斜率为是一条斜率为 的直线的直线的直线的直线ω→∞ 20( )dB dec−

频段频段频段频段

2( ) 20lg ( ) ( ) 20lg 20lg 1 ( )PL G j H j K Tω ω ω ω= = − +

0ω→ 是一条高度为是一条高度为是一条高度为是一条高度为 平行于平行于平行于平行于 轴的直线轴的直线轴的直线轴的直线20lg PK ω

两条渐近线的转角频率为两条渐近线的转角频率为两条渐近线的转角频率为两条渐近线的转角频率为

1

Tω =

0型系统的对数幅频特性在 频段型系统的对数幅频特性在 频段型系统的对数幅频特性在 频段型系统的对数幅频特性在 频段

(1) 频段渐近线斜率为频段渐近线斜率为频段渐近线斜率为频段渐近线斜率为0(dB dec) 高度为高度为高度为高度为20lg PK

(2)如果已知幅频特性曲线 频段的高度如果已知幅频特性曲线 频段的高度如果已知幅频特性曲线 频段的高度如果已知幅频特性曲线 频段的高度 就可由公就可由公就可由公就可由公

式式式式 求 置误差系数求 置误差系数求 置误差系数求 置误差系数 而可而可而可而可

求 系统的稳态误差求 系统的稳态误差求 系统的稳态误差求 系统的稳态误差

PK

sse( ) 20lg PL Kω =

2 型系统型系统型系统型系统

设设设设 型系统型系统型系统型系统

的开 幅相的开 幅相的开 幅相的开 幅相

频率特性为频率特性为频率特性为频率特性为

( ) ( )(1 )

VKG j H j

j Tjω ω

ω ω=

+

对数幅频对数幅频对数幅频对数幅频

特性为特性为特性为特性为 2

( ) 20lg ( ) ( )

20lg 20lg 20lg 1 ( )V

L G j H j

K T

ω ω ω

ω ω

=

= − − +频段频段频段频段

20lg 20lg 20lg 1 ( )VK Tω ω= − − +0ω→

( ) 20lg 20lgVL Kω ω= −是一条过或延长线过是一条过或延长线过是一条过或延长线过是一条过或延长线过 斜率为斜率为斜率为斜率为----20(20(20(20(即B即B即B即B

即却c) 即却c) 即却c) 即却c) 的直线的直线的直线的直线

高频段高频段高频段高频段( )是一条斜率为是一条斜率为是一条斜率为是一条斜率为 的直线的直线的直线的直线ω→∞ 40( )dB dec−

1ω = ( ) 20lg VL Kω =

1

1( ) 0,VK L

Tω ω ω= =时 转角频率

型系统的对数幅频特性曲线在 频段型系统的对数幅频特性曲线在 频段型系统的对数幅频特性曲线在 频段型系统的对数幅频特性曲线在 频段

1 渐近线斜率为渐近线斜率为渐近线斜率为渐近线斜率为 20(dB dec)

2 求求求求KV的方法的方法的方法的方法:

• 渐进线的低频段或其延长线与渐进线的低频段或其延长线与渐进线的低频段或其延长线与渐进线的低频段或其延长线与0000dbdbdbdb线交于线交于线交于线交于ω=Kω=Kω=Kω=KVVVV

点点点点

• ω=1ω=1ω=1ω=1时时时时（（（（L(ω)=20lgKL(ω)=20lgKL(ω)=20lgKL(ω)=20lgKvvvv

2 型系统型系统型系统型系统

设设设设 型系统型系统型系统型系统

的开 幅相的开 幅相的开 幅相的开 幅相

频率特性为频率特性为频率特性为频率特性为

2( ) ( )

( ) (1 )

aKG j H j

j Tjω ω

ω ω=

+

对数幅频对数幅频对数幅频对数幅频

特性为特性为特性为特性为 2

( ) 20lg ( ) ( )

20lg 40lg 20lg 1 ( )

L G j H j

K T

ω ω ω

ω ω

=

= − − +频段频段频段频段

特性为特性为特性为特性为 20lg 40lg 20lg 1 ( )aK Tω ω= − − +0ω→ ( ) 20lg 40lgaL Kω ω= −

是一条过或延长线过是一条过或延长线过是一条过或延长线过是一条过或延长线过 斜率为斜率为斜率为斜率为----40(40(40(40(即B即B即B即B

即却c) 即却c) 即却c) 即却c) 的直线的直线的直线的直线

高频段高频段高频段高频段( )是一条斜率为是一条斜率为是一条斜率为是一条斜率为 的直线的直线的直线的直线ω→∞ 60( )dB dec−

1ω = ( ) 20lg aL Kω =

1

1( ) 0,aK L

Tω ω ω= =时 转角频率

型系统的对数幅频特性曲线在 频段型系统的对数幅频特性曲线在 频段型系统的对数幅频特性曲线在 频段型系统的对数幅频特性曲线在 频段

1 渐近线斜率为渐近线斜率为渐近线斜率为渐近线斜率为 40(dB dec)

2 求求求求Ka的方法的方法的方法的方法:

• 渐进线的低频段或其延长线与渐进线的低频段或其延长线与渐进线的低频段或其延长线与渐进线的低频段或其延长线与0000dbdbdbdb线交于线交于线交于线交于

点点点点• ω=1ω=1ω=1ω=1时时时时（（（（L(ω)=20lgKL(ω)=20lgKL(ω)=20lgKL(ω)=20lgK

aaaa

aKω =

)(L ωωωω即B即B即B即B

ωωωωs/rad

202020204444

----40404040

2222

----20202020

100100100100

0000

已知 节的对数幅频特性渐近线如图所示已知 节的对数幅频特性渐近线如图所示已知 节的对数幅频特性渐近线如图所示已知 节的对数幅频特性渐近线如图所示

试写 它们的传递函数试写 它们的传递函数试写 它们的传递函数试写 它们的传递函数

2020202044442222 100100100100

2

2

16(0.5 1)( )

(0.05 1)k

sG s

s s

+=

+

第 节第 节第 节第 节 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图

一一一一 基本概念基本概念基本概念基本概念

由于频率特性由于频率特性由于频率特性由于频率特性G(j以)G(j以)G(j以)G(j以)是复数是复数是复数是复数 所 可 把它看所 可 把它看所 可 把它看所 可 把它看

成是复平面中的矢量成是复平面中的矢量成是复平面中的矢量成是复平面中的矢量 当频率当频率当频率当频率以以以以为某一定值为某一定值为某一定值为某一定值以以以以须须须须

时时时时

频率特性频率特性频率特性频率特性G(j以G(j以G(j以G(j以 ))))可 用极坐标的形式表示为相角可 用极坐标的形式表示为相角可 用极坐标的形式表示为相角可 用极坐标的形式表示为相角

( ) ( ) ( ) ( ) ( )G j G j G j Aω ω ω ω ϕ ω= ∠ = ∠

频率特性频率特性频率特性频率特性G(j以G(j以G(j以G(j以须须须须

))))可 用极坐标的形式表示为相角可 用极坐标的形式表示为相角可 用极坐标的形式表示为相角可 用极坐标的形式表示为相角

为为为为 ((((相角的符号定义为 实轴开始相角的符号定义为 实轴开始相角的符号定义为 实轴开始相角的符号定义为 实轴开始 逆时逆时逆时逆时

针旋转为针旋转为针旋转为针旋转为 时针旋转为负时针旋转为负时针旋转为负时针旋转为负))))

G(j )ω∠

(G j ) R( ) jI( )ω ω ω= +在直角坐标图 可 作在直角坐标图 可 作在直角坐标图 可 作在直角坐标图 可 作 以以以以 0000变化到变化到变化到变化到∞∞∞∞的的的的

G(j以)G(j以)G(j以)G(j以)轨迹曲线如果将两个坐标图重叠起来轨迹曲线如果将两个坐标图重叠起来轨迹曲线如果将两个坐标图重叠起来轨迹曲线如果将两个坐标图重叠起来 则在则在则在则在

两个坐标图 作 的同一两个坐标图 作 的同一两个坐标图 作 的同一两个坐标图 作 的同一G(j以)G(j以)G(j以)G(j以)曲线 将重合曲线 将重合曲线 将重合曲线 将重合

二二二二 型 节频率特性的极坐标图型 节频率特性的极坐标图型 节频率特性的极坐标图型 节频率特性的极坐标图

1111 比例 节比例 节比例 节比例 节

0( ) jG j Keω =

( )G s K=传递函数传递函数传递函数传递函数

频率特性频率特性频率特性频率特性

2222 节节节节

1( )G s

s=传递函数传递函数传递函数传递函数

频率特性频率特性频率特性频率特性

21 1 1

( ) 0j

G j j ej

π

ωω ω ω

−= = − =

二二二二 型 节频率特性的极坐标图型 节频率特性的极坐标图型 节频率特性的极坐标图型 节频率特性的极坐标图

3333 微 节微 节微 节微 节

2( ) 0j

G j j j eπ

ω ω ω ω= = + =

( )G s s=传递函数传递函数传递函数传递函数

频率特性频率特性频率特性频率特性

4444 一阶惯性 节一阶惯性 节一阶惯性 节一阶惯性 节

频率特性频率特性频率特性频率特性 2 2 2 2

2 2

1 1( )

1 1 1

1arctan

1

TG j j

jT T T

TT

ωω

ω ω ω

ωω

= = −+ + +

= ∠−+

1( )

1G s

Ts=

+

实频特性和虚频特性实频特性和虚频特性实频特性和虚频特性实频特性和虚频特性满足 面的圆的方程满足 面的圆的方程满足 面的圆的方程满足 面的圆的方程

2 2

21 1( ) ( )

2 2R Iω ω − + =

附附附附 二阶振荡 节二阶振荡 节二阶振荡 节二阶振荡 节

2 2

1( )

2 1G s

T s Tsξ=

+ +

频频频频

率率率率

特特特特

性性性性

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1( )

( ) 2 ( ) 1

1 2

(1 ) (2 ) (1 ) (2 )

1 2arctan

G jT j T j

T Tj

T T T T

T

ωω ξ ω

ω ξ ωω ξ ω ω ξ ω

ξ ω

=+ +

−= −

− + − +

= ∠−2 22 2 2

arctan1(1 ) (2 2 TT T ) ωω ξ ω

= ∠−−− +

• 当当当当以以以以 0000时时时时 M(以)M(以)M(以)M(以) 1111 φ(以)φ(以)φ(以)φ(以) 00000000

• 在在在在0000 进进进进 1111的情况的情况的情况的情况 当当当当

频率特性曲线 负虚轴相交频率特性曲线 负虚轴相交频率特性曲线 负虚轴相交频率特性曲线 负虚轴相交 相交处的频率为无阻尼自然振相交处的频率为无阻尼自然振相交处的频率为无阻尼自然振相交处的频率为无阻尼自然振

荡频率荡频率荡频率荡频率

• 当当当当以→∞以→∞以→∞以→∞时时时时 M(以)→0M(以)→0M(以)→0M(以)→0 φ(以) →180φ(以) →180φ(以) →180φ(以) →1800000

01 1( ) , ( ) 90

2A

Tω ω φ ω

ξ= = = −时

1n

Tω ω= =

二阶振荡 节的频率特性和阻尼比二阶振荡 节的频率特性和阻尼比二阶振荡 节的频率特性和阻尼比二阶振荡 节的频率特性和阻尼比进进进进有关有关有关有关 进进进进大时大时大时大时 幅幅幅幅

值值值值A(以)A(以)A(以)A(以)变化小变化小变化小变化小 进进进进小时小时小时小时 A(以)A(以)A(以)A(以)变化大变化大变化大变化大 外外外外 对于 同的对于 同的对于 同的对于 同的

进进进进值的特性曲线都有一个最大幅值存在值的特性曲线都有一个最大幅值存在值的特性曲线都有一个最大幅值存在值的特性曲线都有一个最大幅值存在 这个这个这个这个 被 为谐振被 为谐振被 为谐振被 为谐振

峰值峰值峰值峰值 对应的频率对应的频率对应的频率对应的频率以以以以rrrr

为谐振频率为谐振频率为谐振频率为谐振频率

rA

当当当当进进进进 1111时时时时 幅相频率特性将近似为一个半圆幅相频率特性将近似为一个半圆幅相频率特性将近似为一个半圆幅相频率特性将近似为一个半圆这时的二阶这时的二阶这时的二阶这时的二阶

振荡 节可 近似为一阶惯性 节振荡 节可 近似为一阶惯性 节振荡 节可 近似为一阶惯性 节振荡 节可 近似为一阶惯性 节

际际际际 延 节延 节延 节延 节

( ) sG s e τ−=

传递函数传递函数传递函数传递函数

频率特性频率特性频率特性频率特性

( ) 1jG j e τωω τω−= = ∠−

以以以以 0000→∞→∞→∞→∞变化时变化时变化时变化时 幅值幅值幅值幅值M(以)M(以)M(以)M(以)总是等于总是等于总是等于总是等于须须须须 相角相角相角相角

φ(以)φ(以)φ(以)φ(以) 以以以以成比例变化成比例变化成比例变化成比例变化 当当当当以→∞以→∞以→∞以→∞时时时时 φ(以)φ(以)φ(以)φ(以)

→→→→----∞∞∞∞

系统的开 频率特性极坐标图系统的开 频率特性极坐标图系统的开 频率特性极坐标图系统的开 频率特性极坐标图

在采用极坐标图 行图解 析时在采用极坐标图 行图解 析时在采用极坐标图 行图解 析时在采用极坐标图 行图解 析时 首先要求 制极坐标图形式首先要求 制极坐标图形式首先要求 制极坐标图形式首先要求 制极坐标图形式

的开 幅相频率特性曲线图的开 幅相频率特性曲线图的开 幅相频率特性曲线图的开 幅相频率特性曲线图

[[[[例例例例2] 2] 2] 2] 试 制 列开 传递函数的极坐标图示的奈氏曲线试 制 列开 传递函数的极坐标图示的奈氏曲线试 制 列开 传递函数的极坐标图示的奈氏曲线试 制 列开 传递函数的极坐标图示的奈氏曲线

10( ) ( )

(1 )(1 0.1 )G s H s

s s=

+ +

解解解解 系统的开 幅频特性系统的开 幅频特性系统的开 幅频特性系统的开 幅频特性和和和和相频特性相频特性相频特性相频特性解解解解 系统的开 幅频特性系统的开 幅频特性系统的开 幅频特性系统的开 幅频特性和和和和相频特性相频特性相频特性相频特性

2 2

10( )

1 1 (0.1 )

( ) arctan arctan 0.1

A ωω ω

φ ω ω ω

=+ × +

= − −

当当当当以以以以取 同数值时取 同数值时取 同数值时取 同数值时 就可由 两式就可由 两式就可由 两式就可由 两式

计算 和的值计算 和的值计算 和的值计算 和的值 图形为图形为图形为图形为

一般系统的 图方法一般系统的 图方法一般系统的 图方法一般系统的 图方法

开 系统开 系统开 系统开 系统

频率特性频率特性频率特性频率特性

的一般形的一般形的一般形的一般形

式为式为式为式为

1

1

( 1)

( ) ( )

( ) ( 1)

m

i

i

n vv

k

k

K j

G j H j

j j T

ωτω ω

ω ω

=−

=

+=

+

∏

∏

21 ( )m

K τ ω

+ ∏ 2

1

2

1

0

1 1

1 ( )

( )

1 ( )

( ) ( 90 ) arctan arctan

i

i

n vv

k

k

m n v

i k

i k

K

A

T

v T

τ ωω

ω ω

φ ω τ ω ω

=−

=

−

= =

+

= +

= − + −

∏

∏

∑ ∑

1

0 0

1

( 1)

lim ( ) ( ) lim

( ) ( 1)

m

i

i

n vv

k

k

K j

G j H j

j j Tω ω

ωτω ω

ω ω+ +

=−→ →

=

+=

+

∏

∏

1. 频段频段频段频段 ω→0+

1

0

0

lim( ) 0

2

k

K vK

j v vνω

πω+

=

→

=

= = ∞∠− >

∏

�

0000型系统型系统型系统型系统 特性达到一点特性达到一点特性达到一点特性达到一点((((KKKK j0)j0)j0)j0)

型系统型系统型系统型系统 特性 于一条 负虚轴平行的渐近线特性 于一条 负虚轴平行的渐近线特性 于一条 负虚轴平行的渐近线特性 于一条 负虚轴平行的渐近线

型系统型系统型系统型系统 特性 于一条 负实轴平行的渐近线特性 于一条 负实轴平行的渐近线特性 于一条 负实轴平行的渐近线特性 于一条 负实轴平行的渐近线

当当当当当当当当以以以以以以以以 00000000时时时时时时时时

1

0 1

1

1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

m m

m

n n

n

b j b j bG j H j

j a j a

ω ωω ω

ω ω

−

−

+ + +=

+ + +L

L

0 ( )mb jωω ω =

2. 高频段高频段高频段高频段(ω→∞)

0

0

( )lim ( ) ( )

( )

0 ( )2

n

b jG j H j

j

bn m

n mn m

ω

ωω ω

ω

π

→∞=

==

>∠− −

对于对于对于对于nnnn----m=m=m=m=1111系统系统系统系统 特性 负虚轴角度终 于原点特性 负虚轴角度终 于原点特性 负虚轴角度终 于原点特性 负虚轴角度终 于原点

对于对于对于对于nnnn----m=m=m=m=2222系统系统系统系统 特性 负实轴角度终 于原点特性 负实轴角度终 于原点特性 负实轴角度终 于原点特性 负实轴角度终 于原点

对于对于对于对于nnnn----m=m=m=m=3333系统系统系统系统 特性 虚轴角度终 于原点特性 虚轴角度终 于原点特性 虚轴角度终 于原点特性 虚轴角度终 于原点

当当当当以→∞以→∞以→∞以→∞时时时时

3. 奈氏曲线 实轴和虚轴的交点奈氏曲线 实轴和虚轴的交点奈氏曲线 实轴和虚轴的交点奈氏曲线 实轴和虚轴的交点

(1) 实轴交点实轴交点实轴交点实轴交点

Im[G(jω)H(jω)]=0

或或或或 ∠∠∠∠ G(jω)H(jω)=(2k+1)π, k=0,±±±±1,±±±±2,…

求得求得求得求得ω 入入入入Re[G(jω)H(jω)]中 可中 可中 可中 可求得求得求得求得ω 入入入入Re[G(jω)H(jω)]中 可中 可中 可中 可

(2) 虚轴交点虚轴交点虚轴交点虚轴交点

Re[G(jω)H(jω)]=0

或或或或 ∠∠∠∠ G(jω)H(jω)= , k=0,±±±±1,±±±±2,… 2k 1

2π

+

如果在传递函数的 子中没有时间常数如果在传递函数的 子中没有时间常数如果在传递函数的 子中没有时间常数如果在传递函数的 子中没有时间常数 则当则当则当则当以以以以由由由由

0000增大到增大到增大到增大到∞∞∞∞过程中过程中过程中过程中 特性的相 角 续减小特性的相 角 续减小特性的相 角 续减小特性的相 角 续减小 特性平特性平特性平特性平

滑地变化滑地变化滑地变化滑地变化

如果在 子中有时间常数如果在 子中有时间常数如果在 子中有时间常数如果在 子中有时间常数 则视这些时间常数的数则视这些时间常数的数则视这些时间常数的数则视这些时间常数的数

值大小 同值大小 同值大小 同值大小 同 特性的相 角可能 是 同一方向 续特性的相 角可能 是 同一方向 续特性的相 角可能 是 同一方向 续特性的相 角可能 是 同一方向 续

地变化地变化地变化地变化 这时这时这时这时 特性可能 部特性可能 部特性可能 部特性可能 部 如图所示如图所示如图所示如图所示

4. 4. 4. 4. 奈氏曲线的中频段奈氏曲线的中频段奈氏曲线的中频段奈氏曲线的中频段

地变化地变化地变化地变化 这时这时这时这时 特性可能 部特性可能 部特性可能 部特性可能 部 如图所示如图所示如图所示如图所示

例例例例3 制系统极坐标图制系统极坐标图制系统极坐标图制系统极坐标图 奈氏图奈氏图奈氏图奈氏图

解解解解 系统系统系统系统m=0, n-m=3,ν=1

频段频段频段频段ω→0+时时时时 G(jω)H(jω)=∞∠∠∠∠-90°°°°

频渐近线为 负虚轴平行频渐近线为 负虚轴平行频渐近线为 负虚轴平行频渐近线为 负虚轴平行

10( ) ( )

(1 0.2 )(1 0.05 )G j H j

j j jω ω

ω ω ω=

+ +

高频段高频段高频段高频段ω→∞时时时时 G(jω)H(jω)=0∠∠∠∠-90°×°×°×°×3

高频段曲线高频段曲线高频段曲线高频段曲线 90°°°°角度 于原点角度 于原点角度 于原点角度 于原点

中频段中频段中频段中频段 求奈氏曲线 实轴的交点求奈氏曲线 实轴的交点求奈氏曲线 实轴的交点求奈氏曲线 实轴的交点

Im[G(jω)H(jω)]=0 求得求得求得求得ω=±±±±10

取取取取ω=10并 入并 入并 入并 入Re[G(jω)H(jω)]= -0.4, 曲线 实曲线 实曲线 实曲线 实

轴交于轴交于轴交于轴交于 -0.4,j0 点点点点

例例例例 3 系统极坐标图系统极坐标图系统极坐标图系统极坐标图 奈氏图奈氏图奈氏图奈氏图

第五节第五节第五节第五节 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特稳定 判据是利用系统的开环奈氏奈奎斯特稳定 判据是利用系统的开环奈氏奈奎斯特稳定 判据是利用系统的开环奈氏奈奎斯特稳定 判据是利用系统的开环奈氏

曲线曲线曲线曲线，，，，判断闭环系统稳定 的一个判别准则判断闭环系统稳定 的一个判别准则判断闭环系统稳定 的一个判别准则判断闭环系统稳定 的一个判别准则，，，，简简简简

称奈氏判据称奈氏判据称奈氏判据称奈氏判据。。。。

奈氏判据不仅能判断闭环系统的绝对稳定奈氏判据不仅能判断闭环系统的绝对稳定奈氏判据不仅能判断闭环系统的绝对稳定奈氏判据不仅能判断闭环系统的绝对稳定 ，，，，奈氏判据不仅能判断闭环系统的绝对稳定奈氏判据不仅能判断闭环系统的绝对稳定奈氏判据不仅能判断闭环系统的绝对稳定奈氏判据不仅能判断闭环系统的绝对稳定 ，，，，

而且还能够指出闭环系统的相对稳定而且还能够指出闭环系统的相对稳定而且还能够指出闭环系统的相对稳定而且还能够指出闭环系统的相对稳定 ，，，，并可进并可进并可进并可进

一步提出改善闭环系统动态响应的方法一步提出改善闭环系统动态响应的方法一步提出改善闭环系统动态响应的方法一步提出改善闭环系统动态响应的方法，，，，对于不对于不对于不对于不

稳定的系统稳定的系统稳定的系统稳定的系统，，，，奈氏判据还能像劳斯判据一样奈氏判据还能像劳斯判据一样奈氏判据还能像劳斯判据一样奈氏判据还能像劳斯判据一样，，，，确确确确

切的回答出系统有多少个不稳定的根切的回答出系统有多少个不稳定的根切的回答出系统有多少个不稳定的根切的回答出系统有多少个不稳定的根(闭环极点闭环极点闭环极点闭环极点)。。。。

一一一一一一一一 NyquistNyquist稳定判据的基本原理稳定判据的基本原理稳定判据的基本原理稳定判据的基本原理稳定判据的基本原理稳定判据的基本原理稳定判据的基本原理稳定判据的基本原理

设闭 系统的特征方程设闭 系统的特征方程设闭 系统的特征方程设闭 系统的特征方程 ( ) 1 ( ) ( ) 0F s G s H s= + =

1

( )( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) 1( ) ( )

( )

n

i

i

n

K s zB s A s B s

F s G s H sA s A s

s p

=

++

∴ = + = + = =+

C

C

( )( ) ( )

( )

B sG s H s

A s=设系统的开 传递函数设系统的开 传递函数设系统的开 传递函数设系统的开 传递函数

1

( )j

j

s p=

+C

• 特征函数特征函数特征函数特征函数F(s)F(s)F(s)F(s)的极点就是系统开 传递函数的极的极点就是系统开 传递函数的极的极点就是系统开 传递函数的极的极点就是系统开 传递函数的极

点点点点 特征函数特征函数特征函数特征函数F(s)F(s)F(s)F(s)的零点则是系统闭 传递函数的的零点则是系统闭 传递函数的的零点则是系统闭 传递函数的的零点则是系统闭 传递函数的

极点极点极点极点

• 闭 系统稳定的条件闭 系统稳定的条件闭 系统稳定的条件闭 系统稳定的条件 特征函数特征函数特征函数特征函数F(s)F(s)F(s)F(s)的全部零点的全部零点的全部零点的全部零点

都必 于都必 于都必 于都必 于ssss平面的左半部平面的左半部平面的左半部平面的左半部

1 s平面 的点平面 的点平面 的点平面 的点 F(s)平面 的点有对应关系平面 的点有对应关系平面 的点有对应关系平面 的点有对应关系

s平面平面平面平面 F(s)平面平面平面平面

11111111 幅角原理幅角原理幅角原理幅角原理幅角原理幅角原理幅角原理幅角原理

1

1

( )

( )

( )

n

i

i

n

j

j

K s z

F s

s p

=

=

+=

+

C

C用来表示特征函数用来表示特征函数用来表示特征函数用来表示特征函数F(s)F(s)F(s)F(s)的复的复的复的复

平面 为平面 为平面 为平面 为FFFF平面平面平面平面

F(s)的零点的零点的零点的零点 原点原点原点原点

F(s)的极点的极点的极点的极点 无限 点无限 点无限 点无限 点

s平面 的 他点平面 的 他点平面 的 他点平面 的 他点 原点外的有限点原点外的有限点原点外的有限点原点外的有限点

当动点当动点当动点当动点s1在在在在s平面的封闭曲线平面的封闭曲线平面的封闭曲线平面的封闭曲线C 沿 时针方向绕沿 时针方向绕沿 时针方向绕沿 时针方向绕

行取值时行取值时行取值时行取值时,在在在在F(s)平面 将映射 一条闭合轨迹平面 将映射 一条闭合轨迹平面 将映射 一条闭合轨迹平面 将映射 一条闭合轨迹 Г

当变点当变点当变点当变点ssss在在在在ssss平面 沿封闭曲线平面 沿封闭曲线平面 沿封闭曲线平面 沿封闭曲线CCCC 时针方向移动一时针方向移动一时针方向移动一时针方向移动一

圈时圈时圈时圈时,,,, 被曲线被曲线被曲线被曲线CCCC包围的零点和极点的矢量和的幅角包围的零点和极点的矢量和的幅角包围的零点和极点的矢量和的幅角包围的零点和极点的矢量和的幅角

改变量均为改变量均为改变量均为改变量均为00000000

当变点当变点当变点当变点ssss在在在在ssss平面 沿封闭曲线平面 沿封闭曲线平面 沿封闭曲线平面 沿封闭曲线CCCC 时针方向移时针方向移时针方向移时针方向移

动一圈时动一圈时动一圈时动一圈时,,,,被曲线被曲线被曲线被曲线CCCC包围的每个零点和每个极点到包围的每个零点和每个极点到包围的每个零点和每个极点到包围的每个零点和每个极点到

变点变点变点变点ssss的矢量和的幅角改变量均为的矢量和的幅角改变量均为的矢量和的幅角改变量均为的矢量和的幅角改变量均为3际03际03际03际00000

(((( 时针改时针改时针改时针改

变的角度为变的角度为变的角度为变的角度为 ))))

22222222 幅角原理幅角原理幅角原理幅角原理幅角原理幅角原理幅角原理幅角原理

当当当当ssss平面 的变点平面 的变点平面 的变点平面 的变点ssss沿封闭曲线沿封闭曲线沿封闭曲线沿封闭曲线CCCC按 时针方向绕行按 时针方向绕行按 时针方向绕行按 时针方向绕行

一圈时一圈时一圈时一圈时 FFFF平面 对应的封闭曲线将按 时针方向包平面 对应的封闭曲线将按 时针方向包平面 对应的封闭曲线将按 时针方向包平面 对应的封闭曲线将按 时针方向包

围原点围原点围原点围原点((((ZZZZ----也)也)也)也)次次次次

1 1

( ) ( ) ( )Z P

i j

i j

F s s z s p= =

∆∠ = ∠ + − ∠ +∑ ∑

N Z P= −NNNN FFFF平面 封闭曲线包围原点的次数平面 封闭曲线包围原点的次数平面 封闭曲线包围原点的次数平面 封闭曲线包围原点的次数

也也也也 ssss平面 被封闭曲线平面 被封闭曲线平面 被封闭曲线平面 被封闭曲线CCCC包围的包围的包围的包围的F(s)F(s)F(s)F(s)的极点数的极点数的极点数的极点数

ZZZZ ssss平面 被封闭曲线平面 被封闭曲线平面 被封闭曲线平面 被封闭曲线CCCC包围的包围的包围的包围的F(s)F(s)F(s)F(s)的零点数的零点数的零点数的零点数

0 0 0(360 ) (360 ) ( ) 360Z P Z P= − = − ×

Z N P= +

矢量矢量矢量矢量F(s)F(s)F(s)F(s)在在在在FFFF平面 包围坐标原点的次数平面 包围坐标原点的次数平面 包围坐标原点的次数平面 包围坐标原点的次数

特征函数特征函数特征函数特征函数F(s)F(s)F(s)F(s)的极点的极点的极点的极点

[[[[ 已知开 传递函已知开 传递函已知开 传递函已知开 传递函

数数数数G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)的极点的极点的极点的极点]]]]在在在在s s s s

平面 被封闭曲线平面 被封闭曲线平面 被封闭曲线平面 被封闭曲线CCCC包包包包

围的个数围的个数围的个数围的个数

特征函数特征函数特征函数特征函数F(s)F(s)F(s)F(s)的零的零的零的零

点点点点(((( 闭 传递函闭 传递函闭 传递函闭 传递函

数的极点数的极点数的极点数的极点))))在在在在ssss平面平面平面平面

被封闭曲线被封闭曲线被封闭曲线被封闭曲线CCCC包围的包围的包围的包围的

个数个数个数个数

22222222 奈氏轨迹及 映射奈氏轨迹及 映射奈氏轨迹及 映射奈氏轨迹及 映射奈氏轨迹及 映射奈氏轨迹及 映射奈氏轨迹及 映射奈氏轨迹及 映射

选择封闭曲线选择封闭曲线选择封闭曲线选择封闭曲线CCCC包围整个右包围整个右包围整个右包围整个右

半半半半ssss平面平面平面平面

也也也也值就是 于右半值就是 于右半值就是 于右半值就是 于右半ssss平面 的平面 的平面 的平面 的

开 传递函数的极点个数开 传递函数的极点个数开 传递函数的极点个数开 传递函数的极点个数

ZZZZ值就是 于右半值就是 于右半值就是 于右半值就是 于右半ssss平面 的平面 的平面 的平面 的

闭 传递函数的极点个数闭 传递函数的极点个数闭 传递函数的极点个数闭 传递函数的极点个数

由整个虚轴和半径为由整个虚轴和半径为由整个虚轴和半径为由整个虚轴和半径为∞∞∞∞的右的右的右的右

半圆组成半圆组成半圆组成半圆组成，，，，按顺时针方向移动按顺时针方向移动按顺时针方向移动按顺时针方向移动

一圈一圈一圈一圈，，，，这样的封闭曲线称为奈这样的封闭曲线称为奈这样的封闭曲线称为奈这样的封闭曲线称为奈

奎斯特轨迹奎斯特轨迹奎斯特轨迹奎斯特轨迹

闭 传递函数的极点个数闭 传递函数的极点个数闭 传递函数的极点个数闭 传递函数的极点个数

奈奎斯特轨迹在奈奎斯特轨迹在奈奎斯特轨迹在奈奎斯特轨迹在FFFF平面 的映射 是一条封闭曲线平面 的映射 是一条封闭曲线平面 的映射 是一条封闭曲线平面 的映射 是一条封闭曲线

变点在整个虚轴 的移动变点在整个虚轴 的移动变点在整个虚轴 的移动变点在整个虚轴 的移动

相当于频率相当于频率相当于频率相当于频率以以以以 ----∞∞∞∞变化变化变化变化

到到到到+∞+∞+∞+∞ 它在它在它在它在FFFF平面 的映平面 的映平面 的映平面 的映

射就是曲线射就是曲线射就是曲线射就是曲线F(j以)( 以F(j以)( 以F(j以)( 以F(j以)( 以

----∞→+∞)∞→+∞)∞→+∞)∞→+∞)----∞→+∞)∞→+∞)∞→+∞)∞→+∞)

ssss平面 半径为平面 半径为平面 半径为平面 半径为∞∞∞∞的右半的右半的右半的右半

圆圆圆圆 包括虚轴 坐标为包括虚轴 坐标为包括虚轴 坐标为包括虚轴 坐标为

j∞j∞j∞j∞和和和和----j∞j∞j∞j∞的点的点的点的点 它们在它们在它们在它们在FFFF

平面 的映射都是同一个平面 的映射都是同一个平面 的映射都是同一个平面 的映射都是同一个

点点点点(1,(1,(1,(1,j0)j0)j0)j0)

判 闭 系统是否稳定的方法判 闭 系统是否稳定的方法判 闭 系统是否稳定的方法判 闭 系统是否稳定的方法判 闭 系统是否稳定的方法判 闭 系统是否稳定的方法判 闭 系统是否稳定的方法判 闭 系统是否稳定的方法

ZZZZZZZZ＝＝＝＝＝＝＝＝00000000意味着闭环系统的极点没有被封闭曲线意味着闭环系统的极点没有被封闭曲线意味着闭环系统的极点没有被封闭曲线意味着闭环系统的极点没有被封闭曲线意味着闭环系统的极点没有被封闭曲线意味着闭环系统的极点没有被封闭曲线意味着闭环系统的极点没有被封闭曲线意味着闭环系统的极点没有被封闭曲线

((((((((奈氏轨迹奈氏轨迹奈氏轨迹奈氏轨迹奈氏轨迹奈氏轨迹奈氏轨迹奈氏轨迹))))))))包围包围包围包围，，，，也即在右半也即在右半也即在右半也即在右半包围包围包围包围，，，，也即在右半也即在右半也即在右半也即在右半ssssssss平面没有闭环极平面没有闭环极平面没有闭环极平面没有闭环极平面没有闭环极平面没有闭环极平面没有闭环极平面没有闭环极

点点点点，，，，所以闭环系统是稳定的所以闭环系统是稳定的所以闭环系统是稳定的所以闭环系统是稳定的。。。。点点点点，，，，所以闭环系统是稳定的所以闭环系统是稳定的所以闭环系统是稳定的所以闭环系统是稳定的。。。。

ssss平面 的奈氏轨迹在平面 的奈氏轨迹在平面 的奈氏轨迹在平面 的奈氏轨迹在FFFF平面 的映射平面 的映射平面 的映射平面 的映射F(j以)F(j以)F(j以)F(j以) 当当当当

以以以以 ----∞∞∞∞变到变到变到变到+∞+∞+∞+∞时时时时 若逆时针包围坐标原点的次若逆时针包围坐标原点的次若逆时针包围坐标原点的次若逆时针包围坐标原点的次

数数数数NNNN等于 于右半等于 于右半等于 于右半等于 于右半ssss平面 的开 极点个数平面 的开 极点个数平面 的开 极点个数平面 的开 极点个数也也也也 ZZZZ

也+N也+N也+N也+N 0000 则闭 系统是稳定的则闭 系统是稳定的则闭 系统是稳定的则闭 系统是稳定的

由于由于由于由于 F(s)F(s)F(s)F(s) 须须须须十十十十G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s) 所所所所 G(s)H(s)=F(s)-1

将将将将ssss j以j以j以j以 入 式得入 式得入 式得入 式得 G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以) F(j以)F(j以)F(j以)F(j以)----须须须须

FFFF平面上的曲线平面上的曲线平面上的曲线平面上的曲线F(jω)F(jω)F(jω)F(jω)如果整个地向左平移如果整个地向左平移如果整个地向左平移如果整个地向左平移1111个单个单个单个单

位位位位，，，，便可得到便可得到便可得到便可得到GHGHGHGH平面上的平面上的平面上的平面上的G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)曲线曲线曲线曲线，，，，即系即系即系即系

统的奈氏曲线图统的奈氏曲线图统的奈氏曲线图统的奈氏曲线图

33 特征函数特征函数特征函数特征函数特征函数特征函数特征函数特征函数F(s)F(s) G(s)H(s)G(s)H(s)的关系的关系的关系的关系的关系的关系的关系的关系

((((1111)))) 制开 频率特性制开 频率特性制开 频率特性制开 频率特性G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)的奈氏图的奈氏图的奈氏图的奈氏图 作作作作

图时可先 对应于图时可先 对应于图时可先 对应于图时可先 对应于以以以以 0000→+∞→+∞→+∞→+∞的的的的—段曲线段曲线段曲线段曲线 然后然后然后然后

实轴为对 轴实轴为对 轴实轴为对 轴实轴为对 轴 画 对应于画 对应于画 对应于画 对应于—∞→∞→∞→∞→0000的另外一半的另外一半的另外一半的另外一半

((((2222))))计算奈氏曲线计算奈氏曲线计算奈氏曲线计算奈氏曲线G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)对点对点对点对点((((----1111 jjjj0000))))的包的包的包的包

应用奈氏曲线判别闭环系统稳定性的一般应用奈氏曲线判别闭环系统稳定性的一般应用奈氏曲线判别闭环系统稳定性的一般应用奈氏曲线判别闭环系统稳定性的一般应用奈氏曲线判别闭环系统稳定性的一般应用奈氏曲线判别闭环系统稳定性的一般应用奈氏曲线判别闭环系统稳定性的一般应用奈氏曲线判别闭环系统稳定性的一般步骤步骤步骤步骤步骤步骤步骤步骤

((((2222))))计算奈氏曲线计算奈氏曲线计算奈氏曲线计算奈氏曲线G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)对点对点对点对点((((----1111 jjjj0000))))的包的包的包的包

围次数围次数围次数围次数NNNN

((((3333))))由 定的开 传递函数由 定的开 传递函数由 定的开 传递函数由 定的开 传递函数G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)确定 于确定 于确定 于确定 于ssss平平平平

面右半部 的开 极点数面右半部 的开 极点数面右半部 的开 极点数面右半部 的开 极点数也也也也

((((4444))))应用奈奎斯特稳定判据判 闭 系统的稳定性应用奈奎斯特稳定判据判 闭 系统的稳定性应用奈奎斯特稳定判据判 闭 系统的稳定性应用奈奎斯特稳定判据判 闭 系统的稳定性

(1)P=0时时时时,若若若若ω -∞→∞的的的的Nyquist曲线 包围曲线 包围曲线 包围曲线 包围(-1,j0)

点点点点, N=0,则则则则Z=0,闭 系统稳定闭 系统稳定闭 系统稳定闭 系统稳定, 否则 稳定否则 稳定否则 稳定否则 稳定

二二二二二二二二 NyquistNyquist稳定判据稳定判据稳定判据稳定判据稳定判据稳定判据稳定判据稳定判据

一一一一)第一种情况第一种情况第一种情况第一种情况: G(s)H(s)在在在在s平面的原点及虚轴平面的原点及虚轴平面的原点及虚轴平面的原点及虚轴

没有极点没有极点没有极点没有极点时时时时((((例如例如例如例如0000型系统型系统型系统型系统))))

(3)Nyquist曲线通过曲线通过曲线通过曲线通过(-1,j0)点时点时点时点时,临界稳定临界稳定临界稳定临界稳定

(2)P≠0时时时时,若若若若ω -∞→∞的的的的Nyquist曲线逆时针包围曲线逆时针包围曲线逆时针包围曲线逆时针包围(-

1,j0)点点点点N次次次次,则则则则Z=N+P=0系统稳定系统稳定系统稳定系统稳定, 否则 稳定否则 稳定否则 稳定否则 稳定

2222 终点终点终点终点 ω→∞时时时时 G(jω)H(jω)=0∠∠∠∠-270°°°°

5( ) ( )

( 0.5)( 1)( 2)G s H s

s s s=

+ + +

[[[[例例例例4] 4] 4] 4] 设控制系统的开 传递函数为设控制系统的开 传递函数为设控制系统的开 传递函数为设控制系统的开 传递函数为

试用奈氏判据判 闭 系统的稳定性试用奈氏判据判 闭 系统的稳定性试用奈氏判据判 闭 系统的稳定性试用奈氏判据判 闭 系统的稳定性

解解解解 奈氏曲线图奈氏曲线图奈氏曲线图奈氏曲线图

1111 起点起点起点起点 ω→0+时时时时 G(jω)H(jω)=5∠∠∠∠0°°°°

2222 终点终点终点终点 ω→∞时时时时 G(jω)H(jω)=0∠∠∠∠-270°°°°

3333 实轴交点实轴交点实轴交点实轴交点

3 2 2 3

5 5( )

3.5 3.5 1 (1 3.5 ) (3.5 )K

s j

G js s s jω

ωω ω ω=

= =+ + + − + −

3( ) 0, 3.5 0 3.5 1.87mI ω ω ω ω= − = =± ≈

2

5Re( ) 0.44

1 3.5ω = ≈ −

−实轴交点为实轴交点为实轴交点为实轴交点为 ----0.440.440.440.44 j0)j0)j0)j0)

G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)曲线曲线曲线曲线

包围包围包围包围((((----1111 j0)j0)j0)j0)点点点点

NNNN 0000

制开 频率特性制开 频率特性制开 频率特性制开 频率特性G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)的奈氏图的奈氏图的奈氏图的奈氏图

先 对应于先 对应于先 对应于先 对应于以以以以 0→+∞0→+∞0→+∞0→+∞的的的的—段曲线段曲线段曲线段曲线 然后 实轴为对 轴然后 实轴为对 轴然后 实轴为对 轴然后 实轴为对 轴

画 对应于画 对应于画 对应于画 对应于----∞→0∞→0∞→0∞→0的另外一半的另外一半的另外一半的另外一半

用奈氏判据判 闭 系统的稳定性用奈氏判据判 闭 系统的稳定性用奈氏判据判 闭 系统的稳定性用奈氏判据判 闭 系统的稳定性

NNNN 0000

开 传递函数开 传递函数开 传递函数开 传递函数

G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)的极点都的极点都的极点都的极点都

于于于于ssss平面的左半平面的左半平面的左半平面的左半

部部部部 所所所所 也也也也 0000

Z=N+P=0

闭 系统稳定闭 系统稳定闭 系统稳定闭 系统稳定

1000( ) ( )

( 1)( 2)( 3)G s H s

s s s=

+ + +

[[[[例例例例附] 附] 附] 附] 设控制系统的开 传递函数为设控制系统的开 传递函数为设控制系统的开 传递函数为设控制系统的开 传递函数为

试用奈氏判据判 闭 系统的稳定性试用奈氏判据判 闭 系统的稳定性试用奈氏判据判 闭 系统的稳定性试用奈氏判据判 闭 系统的稳定性

由图可 看由图可 看由图可 看由图可 看 当当当当以以以以 —

∞→0→+∞∞→0→+∞∞→0→+∞∞→0→+∞变化时变化时变化时变化时

G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)曲线曲线曲线曲线(((( 奈氏奈氏奈氏奈氏

曲线曲线曲线曲线)))) 时针方向包围时针方向包围时针方向包围时针方向包围((((----须须须须

j0)j0)j0)j0)点两次点两次点两次点两次 NNNN 2222

开 传递函数开 传递函数开 传递函数开 传递函数G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)的的的的

极点都 于极点都 于极点都 于极点都 于ssss平面的左半平面的左半平面的左半平面的左半

部部部部 所所所所 也也也也 0000

Z=N+P=2

闭 系统 稳定闭 系统 稳定闭 系统 稳定闭 系统 稳定

二二二二二二二二))第二种情况第二种情况第二种情况第二种情况第二种情况第二种情况第二种情况第二种情况

当当当当G(s)H(s)在在在在s平面的虚轴或原点处有极点时平面的虚轴或原点处有极点时平面的虚轴或原点处有极点时平面的虚轴或原点处有极点时((((例如例如例如例如 型系统型系统型系统型系统

型系统型系统型系统型系统 …)))) 需修需修需修需修 Nyquist轨线轨线轨线轨线

方法方法方法方法

以原点为圆心以原点为圆心以原点为圆心以原点为圆心，，，，做一半做一半做一半做一半

径为无限小径为无限小径为无限小径为无限小εεεε的右半圆的右半圆的右半圆的右半圆，，，，

使奈氏轨迹沿着这个无限使奈氏轨迹沿着这个无限使奈氏轨迹沿着这个无限使奈氏轨迹沿着这个无限使奈氏轨迹沿着这个无限使奈氏轨迹沿着这个无限使奈氏轨迹沿着这个无限使奈氏轨迹沿着这个无限

小的半圆绕过原点小的半圆绕过原点小的半圆绕过原点小的半圆绕过原点。。。。

修改后的奈氏轨迹修改后的奈氏轨迹修改后的奈氏轨迹修改后的奈氏轨迹，，，，将将将将

由负虚轴由负虚轴由负虚轴由负虚轴，，，，原点附近的无原点附近的无原点附近的无原点附近的无

限小半径的右半圆限小半径的右半圆限小半径的右半圆限小半径的右半圆，，，，正虚正虚正虚正虚

轴和无限大半圆所组成轴和无限大半圆所组成轴和无限大半圆所组成轴和无限大半圆所组成

于无限小半圆 的变点于无限小半圆 的变点于无限小半圆 的变点于无限小半圆 的变点ssss可表示为可表示为可表示为可表示为

js e ϕε= ----909090900000

→0→0→0→0°°°°→90→90→90→900000ϕ

1

1

( 1)

( ) ( )

( 1)j

m

i

i

n vv

j

j s e

K T s

G s H s

s T sϕε

=−

= =

+=

+

C

C

无限小半圆的放大图无限小半圆的放大图无限小半圆的放大图无限小半圆的放大图

( )

s e

j v

v jv

Ke

e

ε

ϕϕε

=

−= = ∞

ssssssss平面上原点附近的无限小右半圆在平面上原点附近的无限小右半圆在平面上原点附近的无限小右半圆在平面上原点附近的无限小右半圆在平面上原点附近的无限小右半圆在平面上原点附近的无限小右半圆在平面上原点附近的无限小右半圆在平面上原点附近的无限小右半圆在G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)平面上平面上平面上平面上平面上平面上平面上平面上

的映射的映射的映射的映射的映射的映射的映射的映射，，，，，，，，为无限大半径的圆弧为无限大半径的圆弧为无限大半径的圆弧为无限大半径的圆弧为无限大半径的圆弧为无限大半径的圆弧为无限大半径的圆弧为无限大半径的圆弧，，，，，，，，该圆弧从角度为该圆弧从角度为该圆弧从角度为该圆弧从角度为该圆弧从角度为该圆弧从角度为该圆弧从角度为该圆弧从角度为

vvvvvvvv××××××××9090909090909090°°°°°°°°的点的点的点的点的点的点的点的点((((((((即即即即即即即即jjjjjjjj00000000——的映射点的映射点的映射点的映射点的映射点的映射点的映射点的映射点))))))))开始开始开始开始开始开始开始开始，，，，，，，，按顺时针方向按顺时针方向按顺时针方向按顺时针方向按顺时针方向按顺时针方向按顺时针方向按顺时针方向，，，，，，，，

经经经经经经经经00000000°°°°°°°°到到到到到到到到））））））））vvvvvvvv××××××××9090909090909090°°°°°°°°的点的点的点的点的点的点的点的点((((((((即即即即即即即即jjjjjjjj00000000十十十十十十十十

的映射点的映射点的映射点的映射点的映射点的映射点的映射点的映射点))))))))终止终止终止终止终止终止终止终止。。。。。。。。

ssss平面 原点 近的无限小右半圆在平面 原点 近的无限小右半圆在平面 原点 近的无限小右半圆在平面 原点 近的无限小右半圆在G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)平面 的映平面 的映平面 的映平面 的映

射得到的无限大半径的圆射得到的无限大半径的圆射得到的无限大半径的圆射得到的无限大半径的圆 为为为为奈氏曲线的奈氏曲线的奈氏曲线的奈氏曲线的 增补段增补段增补段增补段

加增补段后的整个曲线 为加增补段后的整个曲线 为加增补段后的整个曲线 为加增补段后的整个曲线 为增补开 奈氏曲线增补开 奈氏曲线增补开 奈氏曲线增补开 奈氏曲线

对不同类型的系统对不同类型的系统对不同类型的系统对不同类型的系统(((( 型系统型系统型系统型系统 型系统型系统型系统型系统…) …) …) …) 讨论讨论讨论讨论(1) (1) (1) (1) 型系统型系统型系统型系统 奈氏曲线的增补段奈氏曲线的增补段奈氏曲线的增补段奈氏曲线的增补段 是是是是 90909090°°°°按 时针方向按 时针方向按 时针方向按 时针方向

到到到到----90909090°°°°的无限大半径的圆的无限大半径的圆的无限大半径的圆的无限大半径的圆

(2) (2) (2) (2) 型系统型系统型系统型系统 奈氏曲线的增补段奈氏曲线的增补段奈氏曲线的增补段奈氏曲线的增补段 是是是是 180180180180°°°°按 时针方向按 时针方向按 时针方向按 时针方向

到到到到----180180180180°°°°的无限大半径的圆的无限大半径的圆的无限大半径的圆的无限大半径的圆到到到到----180180180180°°°°的无限大半径的圆的无限大半径的圆的无限大半径的圆的无限大半径的圆

奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据

如果增补开环奈氏曲线如果增补开环奈氏曲线如果增补开环奈氏曲线如果增补开环奈氏曲线如果增补开环奈氏曲线如果增补开环奈氏曲线如果增补开环奈氏曲线如果增补开环奈氏曲线G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)，，，，，，，，ωωωωωωωω从从从从从从从从））））））））

∞→+∞∞→+∞∞→+∞∞→+∞∞→+∞∞→+∞∞→+∞∞→+∞变化时变化时变化时变化时，，，，逆时针包围逆时针包围逆时针包围逆时针包围变化时变化时变化时变化时，，，，逆时针包围逆时针包围逆时针包围逆时针包围((((((((））））））））11111111，，，，，，，，j0)j0)j0)j0)j0)j0)j0)j0)点的次数点的次数点的次数点的次数点的次数点的次数点的次数点的次数NNNNNNNN等于等于等于等于等于等于等于等于

位于右半位于右半位于右半位于右半位于右半位于右半位于右半位于右半ssssssss平面的开环极点数平面的开环极点数平面的开环极点数平面的开环极点数平面的开环极点数平面的开环极点数平面的开环极点数平面的开环极点数PPPPPPPP，，，，，，，，则闭环系统是稳定的则闭环系统是稳定的则闭环系统是稳定的则闭环系统是稳定的，，，，则闭环系统是稳定的则闭环系统是稳定的则闭环系统是稳定的则闭环系统是稳定的，，，，

否则是不稳定的否则是不稳定的否则是不稳定的否则是不稳定的。。。。否则是不稳定的否则是不稳定的否则是不稳定的否则是不稳定的。。。。

型系统的奈氏曲线型系统的奈氏曲线型系统的奈氏曲线

型系统的奈氏曲线型系统的奈氏曲线型系统的奈氏曲线型系统的奈氏曲线

型系统的奈氏曲线型系统的奈氏曲线型系统的奈氏曲线

型系统的奈氏曲线型系统的奈氏曲线型系统的奈氏曲线型系统的奈氏曲线

试用奈氏判据二判 闭 系统的稳定性试用奈氏判据二判 闭 系统的稳定性试用奈氏判据二判 闭 系统的稳定性试用奈氏判据二判 闭 系统的稳定性

10( ) ( )

( 1)( 2)G s H s

s s s=

+ +

[[[[例例例例际] 际] 际] 际] 设控制系统的开 传递函数为设控制系统的开 传递函数为设控制系统的开 传递函数为设控制系统的开 传递函数为

解解解解 奈氏曲线图奈氏曲线图奈氏曲线图奈氏曲线图

1111 起点起点起点起点 ω→0+时时时时 G(jω)H(jω)= ∞ ∠∠∠∠ -90 °°°°

2222 终点终点终点终点 ω→+∞时时时时 G(jω)H(jω)= 0∠∠∠∠ -270 °°°°2222 终点终点终点终点 ω→+∞时时时时 G(jω)H(jω)= 0∠∠∠∠ -270 °°°°

3333 实轴交点实轴交点实轴交点实轴交点

3 2 2 3

10 10( )

3 2 3 (2 )K

s j

G js s s ω

ωω ω ω=

= =+ + − + −

3( ) 0, 2 0 2mI ω ω ω ω= − = =±5

Re( ) 1.673

ω = − ≈ − 实轴交点为实轴交点为实轴交点为实轴交点为 ----1.际71.际71.际71.际7 j0)j0)j0)j0)

附. 附. 附. 附. 增补开 奈氏曲线为增补开 奈氏曲线为增补开 奈氏曲线为增补开 奈氏曲线为 90909090°°°°按 时针方向到按 时针方向到按 时针方向到按 时针方向到----90909090°°°°的无的无的无的无

限大半径的圆限大半径的圆限大半径的圆限大半径的圆

4. 4. 4. 4. ----∞→0∞→0∞→0∞→0段奈氏曲线和段奈氏曲线和段奈氏曲线和段奈氏曲线和0→+∞段奈氏曲线关于实轴对段奈氏曲线关于实轴对段奈氏曲线关于实轴对段奈氏曲线关于实轴对

当当当当以以以以 ----∞→+∞∞→+∞∞→+∞∞→+∞变变变变

化时化时化时化时 G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)

增补奈氏曲线 时针增补奈氏曲线 时针增补奈氏曲线 时针增补奈氏曲线 时针

包围包围包围包围((((----1111 j0)j0)j0)j0)点两次点两次点两次点两次包围包围包围包围((((----1111 j0)j0)j0)j0)点两次点两次点两次点两次

NNNN 2222 而开 传递而开 传递而开 传递而开 传递

函数没有 于右半函数没有 于右半函数没有 于右半函数没有 于右半ssss平平平平

面 的极点面 的极点面 的极点面 的极点 也也也也 0000

所所所所 N ≠ N ≠ N ≠ N ≠ ----也也也也或或或或

Z=N+也≠0Z=N+也≠0Z=N+也≠0Z=N+也≠0

结论结论结论结论 闭 系统 稳定闭 系统 稳定闭 系统 稳定闭 系统 稳定

试用奈氏判据二判 闭 系统的稳定性试用奈氏判据二判 闭 系统的稳定性试用奈氏判据二判 闭 系统的稳定性试用奈氏判据二判 闭 系统的稳定性

2

( 0.2)( 0.3)( ) ( )

( 0.1)( 1)( 2)

s sG s H s

s s s s

+ +=

+ + +

[[[[例例例例7] 7] 7] 7] 设控制系统的开 传递函数为设控制系统的开 传递函数为设控制系统的开 传递函数为设控制系统的开 传递函数为

当当当当以以以以 ----∞→+∞∞→+∞∞→+∞∞→+∞变化时变化时变化时变化时

G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)曲线 包围曲线 包围曲线 包围曲线 包围

解解解解 该系统为该系统为该系统为该系统为 型系统型系统型系统型系统 增补奈氏曲线如图所示增补奈氏曲线如图所示增补奈氏曲线如图所示增补奈氏曲线如图所示

G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)G(j以)H(j以)曲线 包围曲线 包围曲线 包围曲线 包围

((((----1111 j0)j0)j0)j0)点点点点 NNNN 0000 开开开开

传递函数 没有 于右传递函数 没有 于右传递函数 没有 于右传递函数 没有 于右

半半半半ssss平面 的极点平面 的极点平面 的极点平面 的极点 也也也也

0000 所所所所 NNNN 也也也也

因因因因 闭 系统稳定闭 系统稳定闭 系统稳定闭 系统稳定

33333333 系统开环传递函数的极点都在系统开环传递函数的极点都在系统开环传递函数的极点都在系统开环传递函数的极点都在系统开环传递函数的极点都在系统开环传递函数的极点都在系统开环传递函数的极点都在系统开环传递函数的极点都在ssssssss平面左半部分的平面左半部分的平面左半部分的平面左半部分的平面左半部分的平面左半部分的平面左半部分的平面左半部分的稳定性判别稳定性判别稳定性判别稳定性判别稳定性判别稳定性判别稳定性判别稳定性判别系统 为开 稳定的系统 为开 稳定的系统 为开 稳定的系统 为开 稳定的 又 为最小相 系统又 为最小相 系统又 为最小相 系统又 为最小相 系统 也也也也 0000

奈氏判据可简要表述为奈氏判据可简要表述为奈氏判据可简要表述为奈氏判据可简要表述为 奈氏曲线奈氏曲线奈氏曲线奈氏曲线奈氏判据可简要表述为奈氏判据可简要表述为奈氏判据可简要表述为奈氏判据可简要表述为 奈氏曲线奈氏曲线奈氏曲线奈氏曲线((((((((或增补奈氏或增补奈氏或增补奈氏或增补奈氏或增补奈氏或增补奈氏或增补奈氏或增补奈氏

曲线曲线曲线曲线曲线曲线曲线曲线))))))))不包围不包围不包围不包围不包围不包围不包围不包围((((((((））））））））llllllll，，，，，，，，j0)j0)j0)j0)j0)j0)j0)j0)点点点点，，，，闭环系统就是稳定的闭环系统就是稳定的闭环系统就是稳定的闭环系统就是稳定的。。。。否否否否点点点点，，，，闭环系统就是稳定的闭环系统就是稳定的闭环系统就是稳定的闭环系统就是稳定的。。。。否否否否

则就是不稳定的则就是不稳定的则就是不稳定的则就是不稳定的。。。。则就是不稳定的则就是不稳定的则就是不稳定的则就是不稳定的。。。。

4 .4 .4 .4 .4 .4 .4 .4 .相对稳定性分析相对稳定性分析相对稳定性分析相对稳定性分析相对稳定性分析相对稳定性分析相对稳定性分析相对稳定性分析

假定开 系统是稳定的假定开 系统是稳定的假定开 系统是稳定的假定开 系统是稳定的 或者说系统是最小相 系统或者说系统是最小相 系统或者说系统是最小相 系统或者说系统是最小相 系统

一一一一 相对稳定性的表述相对稳定性的表述相对稳定性的表述相对稳定性的表述

Nyquist曲线接近曲线接近曲线接近曲线接近

-1 j0 点的程点的程点的程点的程

度可反映系统相对度可反映系统相对度可反映系统相对度可反映系统相对度可反映系统相对度可反映系统相对度可反映系统相对度可反映系统相对

稳定的裕度稳定的裕度稳定的裕度稳定的裕度

稳定裕量通常用相稳定裕量通常用相稳定裕量通常用相稳定裕量通常用相

裕量和增益裕量裕量和增益裕量裕量和增益裕量裕量和增益裕量

来度量来度量来度量来度量

二二二二 相角裕量相角裕量相角裕量相角裕量二二二二 相角裕量相角裕量相角裕量相角裕量γγ和幅值裕量和幅值裕量和幅值裕量和幅值裕量和幅值裕量和幅值裕量和幅值裕量和幅值裕量KKgg的定义的定义的定义的定义的定义的定义的定义的定义

11111111 相 裕量相 裕量相 裕量相 裕量相 裕量相 裕量相 裕量相 裕量((((((((也具as却Ma其典n也具as却Ma其典n也具as却Ma其典n也具as却Ma其典n也具as却Ma其典n也具as却Ma其典n也具as却Ma其典n也具as却Ma其典n——常简写为常简写为常简写为常简写为常简写为常简写为常简写为常简写为也M)也M)也M)也M)也M)也M)也M)也M)

稳定系统的奈氏曲线 单稳定系统的奈氏曲线 单稳定系统的奈氏曲线 单稳定系统的奈氏曲线 单

圆的交点处的频率 为增益圆的交点处的频率 为增益圆的交点处的频率 为增益圆的交点处的频率 为增益

交界频率交界频率交界频率交界频率 又 为剪 频率又 为剪 频率又 为剪 频率又 为剪 频率

ωc

( ) ( ) 1c cG j H jω ω =

处的相角处的相角处的相角处的相角 ----

1801801801800000

((((负实轴负实轴负实轴负实轴))))的相角差的相角差的相角差的相角差

为相 裕量为相 裕量为相 裕量为相 裕量也M也M也M也M

( )cϕ ωcω

γ

0 0( ) ( 180 ) 180 ( )c cPM γ ϕ ω ϕ ω= = − − = +

γ>0 系统稳定系统稳定系统稳定系统稳定 γ<0 系统 稳定系统 稳定系统 稳定系统 稳定

22222222 增益裕量增益裕量增益裕量增益裕量增益裕量增益裕量增益裕量增益裕量((((((((Ga典nMar其典nGa典nMar其典nGa典nMar其典nGa典nMar其典nGa典nMar其典nGa典nMar其典nGa典nMar其典nGa典nMar其典n——常简写为常简写为常简写为常简写为常简写为常简写为常简写为常简写为GM)GM)GM)GM)GM)GM)GM)GM)

当奈氏曲线 负实轴当奈氏曲线 负实轴当奈氏曲线 负实轴当奈氏曲线 负实轴的的的的

交点交点交点交点处处处处频率 为相 交界频频率 为相 交界频频率 为相 交界频频率 为相 交界频

率率率率

相相相相 交界交界交界交界频率频率频率频率处的幅值处的幅值处的幅值处的幅值

0( ) 180gϕ ω = −

相相相相 交界交界交界交界频率频率频率频率处的幅值处的幅值处的幅值处的幅值

的倒数为增益裕量的倒数为增益裕量的倒数为增益裕量的倒数为增益裕量GMGMGMGM 并用并用并用并用

表示表示表示表示

系统稳定系统稳定系统稳定系统稳定 系统 稳定系统 稳定系统 稳定系统 稳定

1

( ) ( )g

g g

KG j H jω ω

=

gK

1gK > 1gK <

(3)(3)(3)(3) 用伯德图确定稳定裕量用伯德图确定稳定裕量用伯德图确定稳定裕量用伯德图确定稳定裕量

0( ) 180gϕ ω = −

剪 频率在伯德图中是对应零 贝的点剪 频率在伯德图中是对应零 贝的点剪 频率在伯德图中是对应零 贝的点剪 频率在伯德图中是对应零 贝的点 开开开开

对数幅频特性曲线 轴的交点对数幅频特性曲线 轴的交点对数幅频特性曲线 轴的交点对数幅频特性曲线 轴的交点

( ) 20lg ( ) ( ) 20lg1 0c c cL G j H jω ω ω= = =

相 穿 频率的点在伯德图中是对应相角为相 穿 频率的点在伯德图中是对应相角为相 穿 频率的点在伯德图中是对应相角为相 穿 频率的点在伯德图中是对应相角为----1800

的点的点的点的点 相频特性曲线相频特性曲线相频特性曲线相频特性曲线 ----1800水平线的交点水平线的交点水平线的交点水平线的交点

0180 ( )cγ ϕ ω= +1

( ) 20lg 20lg 20lg ( ) ( ) ( )( ) ( )

g g g g

g g

K dB K G j H j dBG j H j

ω ωω ω

= = =−

稳定裕量稳定裕量稳定裕量稳定裕量

0γ > 系统稳定系统稳定系统稳定系统稳定0gK > 0γ < 系统 稳定系统 稳定系统 稳定系统 稳定0gK <

当当当当GM和和和和PM在 列范围内取值时在 列范围内取值时在 列范围内取值时在 列范围内取值时 控制系统一般可 得到较控制系统一般可 得到较控制系统一般可 得到较控制系统一般可 得到较

为满意的动态性能为满意的动态性能为满意的动态性能为满意的动态性能

0 030 ~ 60 ( ) 6 ( )gPM GM K dB dBγ= = = >

中频段的参数主要有中频段的参数主要有中频段的参数主要有中频段的参数主要有

剪切频率剪切频率剪切频率剪切频率 、、、、相位裕量相位裕量相位裕量相位裕量 、、、、中频段宽度中频段宽度中频段宽度中频段宽度hhhh

1 伯德图的对数幅频特性曲线中频段伯德图的对数幅频特性曲线中频段伯德图的对数幅频特性曲线中频段伯德图的对数幅频特性曲线中频段(剪 频率剪 频率剪 频率剪 频率

近的频段近的频段近的频段近的频段) 系统动态性能的关系系统动态性能的关系系统动态性能的关系系统动态性能的关系

ω

三三三三 相对稳定性与开环对数频率特性中频段斜率之间相对稳定性与开环对数频率特性中频段斜率之间相对稳定性与开环对数频率特性中频段斜率之间相对稳定性与开环对数频率特性中频段斜率之间的关系的关系的关系的关系

γ

cω

3( )hω

=剪切频率剪切频率剪切频率剪切频率 、、、、相位裕量相位裕量相位裕量相位裕量 、、、、中频段宽度中频段宽度中频段宽度中频段宽度hhhh

cω γ 3

2

( )hωω

=

为了使系统 有相当的相 裕量为了使系统 有相当的相 裕量为了使系统 有相当的相 裕量为了使系统 有相当的相 裕量 幅频渐近线应 一幅频渐近线应 一幅频渐近线应 一幅频渐近线应 一

20dB dec的斜率通过剪 点的斜率通过剪 点的斜率通过剪 点的斜率通过剪 点 并且至少在剪 频率的左并且至少在剪 频率的左并且至少在剪 频率的左并且至少在剪 频率的左

右右右右 的这一段频率范围内保持 述渐近线的的这一段频率范围内保持 述渐近线的的这一段频率范围内保持 述渐近线的的这一段频率范围内保持 述渐近线的

斜率 变斜率 变斜率 变斜率 变

1~ 2

4c cω ω

• K变化时变化时变化时变化时 系统的相频特性曲线 变系统的相频特性曲线 变系统的相频特性曲线 变系统的相频特性曲线 变

• K值减小值减小值减小值减小 则对数幅频特性曲线向 垂直移动则对数幅频特性曲线向 垂直移动则对数幅频特性曲线向 垂直移动则对数幅频特性曲线向 垂直移动 这时剪 频这时剪 频这时剪 频这时剪 频

率向左移动率向左移动率向左移动率向左移动,,,,相 裕量将增大相 裕量将增大相 裕量将增大相 裕量将增大 ,,,,稳定性增强稳定性增强稳定性增强稳定性增强

• 增大开 放大系数增大开 放大系数增大开 放大系数增大开 放大系数K 剪 频率将向右移动剪 频率将向右移动剪 频率将向右移动剪 频率将向右移动 相 裕量将减相 裕量将减相 裕量将减相 裕量将减

小小小小 稳定性减弱稳定性减弱稳定性减弱稳定性减弱

1 2

( ) ( )(1 )(1 )

KG j H j

j jT jTω ω

ω ω ω=

+ +

第七节第七节第七节第七节 频域性能指标与时域性能指标间的关系频域性能指标与时域性能指标间的关系频域性能指标与时域性能指标间的关系频域性能指标与时域性能指标间的关系

一一一一 闭 频率特性闭 频率特性闭 频率特性闭 频率特性

( )( )

1 ( )

G jG j

G j

ωω

ω=

+开

闭

开

(1)零频幅值零频幅值零频幅值零频幅值

时的闭 幅频特性值时的闭 幅频特性值时的闭 幅频特性值时的闭 幅频特性值

0M0ω

(3)谐振频率谐振频率谐振频率谐振频率 谐振峰值谐振峰值谐振峰值谐振峰值 时的频率时的频率时的频率时的频率

型闭 幅频特性型闭 幅频特性型闭 幅频特性型闭 幅频特性

(2)谐振峰值谐振峰值谐振峰值谐振峰值 幅频特性极幅频特性极幅频特性极幅频特性极

大值 零频幅值之比大值 零频幅值之比大值 零频幅值之比大值 零频幅值之比

0

mr

MM

M=

rMrω

(4)系统频带宽系统频带宽系统频带宽系统频带宽 闭 频率特性的幅值减小到闭 频率特性的幅值减小到闭 频率特性的幅值减小到闭 频率特性的幅值减小到 时时时时

的频率的频率的频率的频率

bω 00.707M

用闭 频率特性 析系统的动态性能用闭 频率特性 析系统的动态性能用闭 频率特性 析系统的动态性能用闭 频率特性 析系统的动态性能 一般用谐振峰一般用谐振峰一般用谐振峰一般用谐振峰

值值值值 和频带宽和频带宽和频带宽和频带宽 (或谐振频率或谐振频率或谐振频率或谐振频率 )作为闭 频域指标作为闭 频域指标作为闭 频域指标作为闭 频域指标

二二二二 二阶系统时域响应 频域响应的关系二阶系统时域响应 频域响应的关系二阶系统时域响应 频域响应的关系二阶系统时域响应 频域响应的关系

rM bω rω

二阶系统二阶系统二阶系统二阶系统 的关系的关系的关系的关系P rM Mγ ξ

t Mω 的关系 t Mω 的关系b s rt Mω 的关系 r s rt Mω 的关系

的关系的关系的关系的关系

b cω ω

2 2 4

2 4

1 2 2 4 4

2 4 1

b

c

ξ ξ ξωω ξ ξ

− + − +=

− + +