第五章线性系统的频域分析

自动控制理论自动控制理论第五章第五章

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第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析

第一节频率特性第一节频率特性第二节典型环节的频率特性第二节典型环节的频率特性

第三节系统开环频率特性的绘制第三节系统开环频率特性的绘制第四节乃奎斯特稳定性判据和系统的相对稳定性第四节乃奎斯特稳定性判据和系统的相对稳定性

第五节系统的频率特性及频域性能指标第五节系统的频率特性及频域性能指标

第六节频率特性的实验确定方法第六节频率特性的实验确定方法

第七节用第七节用 MATLABMATLAB 进行系统的频域分析进行系统的频域分析

小结小结



第一节频率特性第一节频率特性

一、频率特性的定义一、频率特性的定义

在在正弦信号正弦信号作用下，系统的输出作用下，系统的输出稳态分量稳态分量与输与输入量复数之比。入量复数之比。

稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。

)sin()( txtx rmr )](sin[)( txtx cmc



G(jG(j)=)= 稳态输出量与输入量的变化稳态输出量与输入量的变化

幅频特性相频特性实频特性虚频特性

)()()()( )( jVUeAjG j

)(V)(U|)(F|)(A 22

)(U

)(Vtg)(F)( 1

)(cos)(A)(U

)(sin)(A)(V



二、研究频率特性的意义二、研究频率特性的意义1 、频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自动控制系统的另一种工程方法。2 、根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指出系统改进的方向。3 、频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系统来说，很有用处。

三、频率特性的求取方法频率特性的求取方法

11 、已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态解，取输、已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比；出稳态分量和输入正弦的复数比；22 、根椐传递函数来求取；、根椐传递函数来求取；

33 、通过实验测得。、通过实验测得。



四、根据传递函数求频率特性频率特性tsinA)t(x r

)ss)...(ss)(ss(

)s(p

)s(q

)s(p)s(G

n21

n

n

2

2

1

1

2222c

ss

b...

ss

b

ss

b

js

a

js

a

s

A

)s(q

)s(p

s

A)s(G)s(X

ts1

ts2

ts1

tjtjc

n21 eb...ebebeaae)t(x )0t(

tjtjc eaae)t(x

j2

)j(AG|)js(

s

A)s(Ga js22

j2

)j(AG|)js(

s

A)s(Ga js22

设

对于稳定的系统 , -s1,s2,…,sn 其有负实部

部分分式展开为



)j(Gj)j(Gj e|)j(G|e|)j(G|)j(G )j(Gje|)j(G|)j(G

))j(Gtsin(|)j(G|A

j2

ee|)j(G|A

eaae)t(x))j(Gt(j))j(Gt(j

tjtjc

j2

)j(AGa

j2

)j(AGa



频率特性与传递函数的关系频率特性与传递函数的关系 : : GG （（ jω)=G(s)|jω)=G(s)|s=jωs=jω

tsinA)t(x r

))j(Gtsin(|)j(G|A)t(xc

n1n1n

1n

0

m1m1m

1m

0

a)j(a...)j(a)j(a

b)j(b...)j(b)j(b)j(G



幅频特性相频特性

实频特性虚频特性

)(jV)(Ue)(A)j(G )(j

)(V)(U|)j(G|)(A 22

)(U

)(Vtg)j(G)( 1

)(cos)(A)(U

)(sin)(A)(V

)j(X

)j(X)j(G

r

c

|)j(X

)j(X||)j(G|

r

c

)j(X

)j(X)j(G

r

c



五、频率特性的物理意义频率特性的物理意义频率特性与传递函数的关系 : G （ jω)=G(s)|s=jω

频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性。

(ω) 大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。



Ts1

1

)s(U

)s(U)s(G

1

2

RCT

)(j

1

2 e)(ATj1

1

)j(U

)j(U)j(G

2)T(1

1)(A

)T(tg)( 1

0)( 90)(

1)(A

0T

1)(A

)1T(

)1T(

幅值 A() 随着频率升高而衰减

对于低频信号

对于高频信号

频率特性反映了系统频率特性反映了系统 (( 电路电路 )) 的内在性质的内在性质 ,, 与外界因素无关与外界因素无关 !!!!



六、频率特性与传递函数的关系频率特性与传递函数的关系

频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。

设 f(x) 在 (-,+) 内绝对可积 , 则 f(x)

dxe)x(f xj

频率特性与传递函数的关系 : G （ jω)=G(s)|s=jω



七、频率特性图的定义频率特性图的定义

对数幅相频率特性 (Nichols)

对数频率特性 (Bode)

频率对数分度幅值 / 相角线性分度

幅相频率特性极坐标图 (Nyquist)

以频率为参变量表示对数幅值和相角关系： L(ω) —(ω)图

虚频图 / 实频图

频率线性分度幅值 / 相角线性分度



乃奎斯特图 Nyquist

[ 极坐标图 ] 在极坐标复平面上画出值由零变化到无穷大时的 G(j ) 矢量，把矢端边成曲线。

幅相频率特性图幅相频率特性图 --NyquistNyquist 图图



幅相频率特性画法举例幅相频率特性画法举例

画出二阶系统)02.01(

112)(

sssG

的幅相频率特性



对数频率特性图对数频率特性图 --BodeBode图图

频率比 dec oct

幅值相乘变为相加，简化作图。

拓宽图形所能表示的频率范围

)(je)(A)j(G

)(j)(Aln)j(Gln

|)j(G|lg20)(Alg20)(L

波德图 (Bode)

对数幅频 + 对数相频

(dB)



只标注 ω 的自然对数值。

用 L(ω) 简记对数幅频特性，也称 L(ω) 为增益。用 (ω) 简记对数相频特性。

关于关于 BodeBode 图的几点说图的几点说明明

ω =0 不可能在横坐标上表示出来；

横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；



第二节典型环节的频率特性第二节典型环节的频率特性

一、一、比例环节比例环节

K)j(G

K)(V)(U|)j(G| 22

0K

0tg

)(U

)(Vtg)j(G 11

11 、比例环节的幅相频率特性、比例环节的幅相频率特性



22 、放大环节对数频率特性、放大环节对数频率特性

K>1 时，分贝数为正；K<1 时，分贝数为负。

幅频曲线升高或降低相频曲线不变K)j(G

Klg20|)(L

0)(

改变 K



二、惯性环节二、惯性环节

1Ts

1)s(G

1jT

1)j(G

)T(tg)j(G 1

1T

1|)j(G|

22

1T

1)(U

22

1T

T)(V

22

222 )2

1(V)

2

1U(

11 、惯性环节的幅相频率特性、惯性环节的幅相频率特性



22 、惯性环节对数频率特性、惯性环节对数频率特性

转角频率

低频段近似为 0dB 的水平线，称为低频渐近线。

高频段近似为斜率为 -20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。

1jT

1)j(G

)T(tg)( 1

1Tlg20)(L 22

)T

10(

)T

1(

01Tlg20)(L 22

Tlg20)(L

)T

1(

)T

1(

)T

1(

3)(L



低通滤波特性 !!

0)(

时

T

1 451tg)( 1

90)(

时0)T(tg)( 1



33 、惯性环节的渐近线误差、惯性环节的渐近线误差

转角频率处：低于渐近线 3dB低于或高于转角频率一倍频程处：低于渐近线 1dB

22T1lg20)(L T

1

T

1 Tlg20T1lg20)(L 22



三、积分环节三、积分环节

1j

j

1)j(G

1|)j(G|

900

1

tg)j(G 1

11 、积分环节的幅相频率特性、积分环节的幅相频率特性



22 、积分环节对数频率特性、积分环节对数频率特性

2j

e1

j

1)j(G

lg20)(L

90)(

0|lg20|)(L 11



四、微分环节四、微分环节

j)j(G

|)j(G|

900

tg)j(G 1

11 、纯微分环节的幅相频率特性、纯微分环节的幅相频率特性



22 、纯微分环节对数频率特性、纯微分环节对数频率特性

lg20)(L

90)(

2j

ej)j(G

0|lg20|)(L 11



33 、一阶微分环节幅相频率特性、一阶微分环节幅相频率特性

1s)s(G

1j)j(G

)(tg)j(G 1

1|)j(G| 22

1)(U

)(V



44 、一阶微分环节对数频率特性、一阶微分环节对数频率特性

高频放大！抑制噪声能力的下降！

)(tg)( 1

1lg20)(L 22

1j)j(G



惯性环节

一阶微分 1j)j(G

1jT

1)j(G

频率特性互为倒数时：对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；相频特性曲线关于零度线对称。

)T(tg)( 1 1Tlg20)(L 22

)(tg)( 1 1lg20)(L 22

55 、一阶微分环节与惯性环节对数频率特性关系、一阶微分环节与惯性环节对数频率特性关系



五、振荡环节五、振荡环节

1)j(T2)j(T

1)j(G

22

)(

01)j(G )0(

)T

1( n

2

1j)j(G

1800)( jG

11 、振荡环节的幅相频率特性、振荡环节的幅相频率特性



当 ξ 较小时，在 ω = ωn 附近， A(ω) 出现峰值，即发生谐振。谐振峰值 Mr 对应的频率为谐振频率ωr 。

振荡环节出现谐振的条件为 0.707

221 nr

2rr12

1)(AM

rMnr 0



22 、振荡环节对数频率特性、振荡环节对数频率特性

不考虑

低频渐近线为 0dB 的水平线

高频渐近线斜率为 -40dB/dec

转折频率

1)j(T2)j(T

1)j(G

22

2222 )T2()T1(lg20)(L 221

T1

T2tg)(

)T

1(

0)(L

Tlg40)Tlg(20)(L 2

)T

1(

)T

1( n

)T

10(

)T

1(



0)(

时T

1

90)0

2(tg)( 1

180)(

时0

221

T1

T2tg)(



33 、渐近线误差、渐近线误差2

n

22

n

)2(])(1[lg20)(L

2

n

2

n

22

n

)lg(20)2(])(1[lg20)(L

n

n



六、二阶微分环节六、二阶微分环节

1)j(2)j()j(G 22 222222 4)1(|)(| jG

221

1

2tg)j(G

)(

01)j(G

)0(

)1

(

902)( jG

180)j(G

11 、二阶微分环节幅相频率特性、二阶微分环节幅相频率特性



22 、二阶微分环节对数频率特性、二阶微分环节对数频率特性

二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称相频特性曲线关于零度线对称

2222 )2()1(lg20)(L

221

1

2tg)(

1)j(2)j()j(G 22



七、滞后环节幅相频率特性七、滞后环节幅相频率特性

Tje)j(G

11 、滞后环节幅相频率特性、滞后环节幅相频率特性



22 、滞后环节对数频率特性、滞后环节对数频率特性

T3.57)rad(T)(

0|)j(G|lg20)(L

Tje)j(G



33 、滞后环节与惯性环节、滞后环节与惯性环节

T

1

T

1

Tj1e Tj

Tj1Tj1

1

Tje

Tj1

1

不同

近似



八、多个积分八、多个积分 // 微分环节串联微分环节串联

n)j(

n)j(

1

lg20|)(|lg20)( njL n

lg20|)(

1|lg20)( nj

Ln

90n)(

90n)(

11 、多个微分环节串联、多个微分环节串联

22 、多个积分环节串联、多个积分环节串联



第三节系统开环频率特性的绘制第三节系统开环频率特性的绘制

系统开环系统开环 NyquistNyquist 图图

系统开环系统开环 BodeBode 图图

系统开环系统开环 NyquistNyquist 图及绘制图及绘制例例 11 例例 22 例 3NyquistNyquist 图的一般形状图的一般形状

00 型系统型系统 II 型系统型系统 IIII 型系统型系统

系统开环系统开环 BodeBode 图图系统开环系统开环 BodeBode 图的绘制图的绘制

系统开环系统开环 NicholsNichols 图图

增加极点增加极点



系统开环系统开环 NyquistNyquist 图图

1i 1jjj

22ji

1n 1kkk

22kn

1mm

)1sT2sT()1sT(s

)1s2s()1s(K)s(G

1 1

22

1 1

22

1

]1)(2)[()1()(

]1)(2)[()1()(

i jjjji

n kkkkn

mm

jTTjTjj

jjjKjG



将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：

幅频特性 = 组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积。相频特性 = 组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。

求 A(0) 、 (0) ； A(∞) 、 (∞) ；补充必要的特征点 (如与坐标轴的交点 ) ，根据

A(ω) 、 (ω) 的变化趋势，画出 Nyquist 图的大致形状。

绘制：绘制：

)s(G)...s(G)s(G)s(G n21)(j

n)(j

2)(j

1n21 e)(A..e)(Ae)(A)j(G

)(A)...(A)(A)(A n21

)(...)()()( n21



已知系统的开环传递函数，试绘制系统的开环已知系统的开环传递函数，试绘制系统的开环 NyquistNyquist 图图。



已知系统的开环传递函数，求已知系统的开环传递函数，求 NyquistNyquist 图与实轴的交点。图与实轴的交点。

NyquistNyquist 图与实轴相交时图与实轴相交时



已知系统的开环传递函数，绘制系统的开环已知系统的开环传递函数，绘制系统的开环 NyquistNyquist 图。图。



0 型系统（ v = 0 ）

只包含惯性环节的 0 型系统 Nyquist 图)Tj1)...(Tj1)(Tj1()j(

)j1)...(j1)(j1(K)j(G

n21

m21

mn

0

K)0(A 0)0(

0)(A 90)mn()(



I 型系统（ v = 1 ）

只包含惯性环节的 I型系统 Nyquist 图)Tj1)...(Tj1)(Tj1()j(

)j1)...(j1)(j1(K)j(G

n21

m21

mn

0

)0(A90)0(

0)(A 90)mn()(



II 型系统（ v = 2 ）

只包含惯性环节的 II 型系统 Nyquist 图

)Tj1)...(Tj1)(Tj1()j(

)j1)...(j1)(j1(K)j(G

n21

m21

mn

0

)0(A 180)0( 0)(A 90)mn()(



开环含有 v 个积分环节系统， Nyquist 曲线起自幅角为－ v90° 的无穷远处。

K)0(A 90)0(

)0(A )90(2180)0(

)0(A

0)0(

)0(A )90(r)0(

0

1

2

r



增加零极点



增加非零极点



n > m 时， Nyquist 曲线终点幅值为 0 ，而相角为－ (n － m)×90° 。



将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式；

幅频特性 = 组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。相频特性 = 组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。

系统开环 Bode 图

)s(G)...s(G)s(G)s(G n21)(j

n)(j

2)(j

1n21 e)(A..e)(Ae)(A)j(G

)(A)...(A)(A)(A n21

)(...)()()( n21

)(Alg20...)(Alg20)(Alg20)(Alg20)(L n21



已知系统的开环传递函数，试绘制系统的开环 Bode 图。

系统开环包括了五个典型环节

ω2=2 rad/s

ω4=0.5 rad/s

ω5=10 rad/s



Bode 图特点最低频段的斜率取决于积分环节的数目 v 斜率为－ 20v dB/dec ；注意到最低频段的对数幅频特性可近似为L()=20lgK-20vlg 当 ω ＝ 1 rad/s

时， L(ω)=20lgK ；如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率；对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。对惯性环节， - 20dB/dec ；振荡环节， - 40dB/dec ；一阶微分环节， +20dB/dec ；二阶微分环节， +40dB/dec 。



开环系统 Bode 图的绘制将开环传递函数表示为典型环节的串联；

确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上；计算 20lgK ，在 ω ＝ 1 rad/s 处找到纵坐标等于 20lgK 的点，过该点作斜率等于 -20v dB/dec 的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率；对惯性环节， - 20dB/dec

振荡环节， - 40dB/dec一阶微分环节， +20dB/dec二阶微分环节， +40dB/dec

对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性；相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。



渐近线

转角频率

对数幅相频率特性（对数幅相频率特性（ Nichols)Nichols)

1jT

1)j(G

)T(tg)( 1

1Tlg20)(L 22



对数幅相频率特性（对数幅相频率特性（ Nichols)Nichols)



第四节乃奎斯特稳定性判据和系统的相对稳定性

一、映射定理

二、乃奎斯特稳定判据

三、虚轴上有开环极点时的乃奎斯特判据

四、采用逆极坐标的乃奎斯特判据

五、根据伯德图判定系统的稳定性

六、系统的相对稳定和稳定裕度

七、乃奎斯特稳定判据的应用

八、稳定裕度的求取



设复变函数为

)())((

)())(()(

21

211

n

m

pspsps

zszszsKsF

一、映射定理

则对应与 S 平面下除了有限的奇点之外的任意一点， F （ S ）为解析函数，即为单值、连续的函数。

j

1s

2s3s

)( 2sF

)( 3sF

)( 1sF

U

jVS 平面 F （ S

）平面o o



曲线的形状：由 F （ S ）的特性决定，无需关心

曲线的运动方向：可能是顺时钟，也可能是逆时钟

曲线包围原点的情况：包围的次数，关心！！！

n

ii

m

jj pszssF

11

)()()(j

1p

2p

3p

)(sF

U

jVS 平面

F （ S）平面

o o

1z

2z



映射定理映射定理

设设 SS 平面上的封闭曲线包围了复变函数平面上的封闭曲线包围了复变函数FF （（ SS ））的的 PP 个极点和个极点和 ZZ 个零点，并且此曲线不个零点，并且此曲线不经过经过 FF （（ SS ））的任一零点和极点，当复变量的任一零点和极点，当复变量 SS沿沿封闭曲线顺时钟方向移动一周时，在封闭曲线顺时钟方向移动一周时，在 FF （（ SS ））平平面上的影射曲线包围坐标原点面上的影射曲线包围坐标原点 P-ZP-Z周。周。



二、乃奎斯特稳定判据

设系统的特征方程 0)()(1)( sHsGsF

)())((

)())(()()(

21

211

n

m

pspsps

zszszsKsHsG

)())((

)())((

)())((

)())(()())((

)())((

)())((1)(

21

21

21

21121

21

211

n

n

n

mn

n

m

pspsps

ssssss

pspsps

zszszsKpspsps

pspsps

zszszsKsF



F （ S ）的零点是闭环系统的极点，极点则是开环极点系统稳定的充要条件：

特征方程的根都在 S 平面的左半平面，右面无极点

F （ S ）的零点都在 S 平面的左半平面，右面无零点

j

oR

jRe



根据映射定理， S沿乃氏回线顺时钟移动一周时，在

F （ S ）平面上的映射曲线将按逆时钟围绕坐标原点 N=P-Z周。系统是稳定

的， Z=0 ， N=P稳定性判据：稳定性判据：

如果在如果在 SS 平面上，平面上， SS沿乃奎斯特回线顺时钟移动一周沿乃奎斯特回线顺时钟移动一周时，在时，在 FF （（ SS ））平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转旋转 N=PN=P周，则系统是稳定的。周，则系统是稳定的。

1)()()( sFsHsG

映射曲线围绕原点的情况相当于G （ S ） H （ S ）的封闭曲线围绕（ -1 ， 0 ）的运动情况。



绘制映射曲线的方法

（ 1 ）令 S=jω带入 G （ S ） H （ S ），得到开环频率特性。

（ 2 ）画出对应于大半圆对应的部分

实际物理系统 n>=m

n>m 时 G （ S ） H （ S ）趋于零

n=m 时 G （ S ） H （ S ）为常数乃奎斯特稳定性判据：乃奎斯特稳定性判据：

控制系统稳定的充要条件是，当控制系统稳定的充要条件是，当 ωω从负无穷变化到正无从负无穷变化到正无穷大时，系统的开环频率特性穷大时，系统的开环频率特性 G(jG(jω)H(jω)ω)H(jω) 按逆时钟方向包围按逆时钟方向包围

(-1(-1 ，， j0)j0) 点点 PP周，周， PP 为位于为位于 SS 平面右半部的开环极点数。平面右半部的开环极点数。



例：绘制开环传递函数

)1)(1()()(

21

ss

KsHsG

的乃奎斯特图并判定系统的稳定性。



三、虚轴上有开环极点时的乃奎斯特判据虚轴上含有开环极点的情况

不可直接应用映射定理！！！不可直接应用映射定理！！！映射定理要求乃奎斯特回线不能经过映射定理要求乃奎斯特回线不能经过 FF （（ SS ））的奇点。的奇点。用半径用半径 ε→ 0ε→ 0 的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半些极点，即将这些极点划到左半 ss 平面。平面。



在复平面的虚轴上，当在复平面的虚轴上，当 ωω 很小时，半圆弧的数很小时，半圆弧的数学方程式学方程式 rerejj,r,r00 时，时，从从 00 变到变到 /2/2 。

jj

r

n

ii

m

jj

eer

K

ss

sT

KjHjGjre

rsjre

rs

0

1

1

lim

)1(

)1(

)()(0

lim0

lim

2

当 S沿着小半圆运动时，映射曲线为无穷大的圆按顺时钟方向从

经过 0 变化到2



例：绘制开环传递函数

)12)(1(

)14()()(

2

sss

ssHsG

的乃奎斯特图并判定系统的稳定性。



四、采用逆极坐标的乃奎斯特判据

nmpspsps

zszszsKsHsG

n

m

)())((

)())(()()(

21

211

)())((

)())(()()(1)(

21

21

n

n

pspsps

sssssssHsGsF

)())((

)())((

)()(

11)(

21

21

m

n

zszszs

ssssss

sHsGsQ

)()(

1

jHjG与与 ωω 之间的函数关系图之间的函数关系图



采用逆极坐标图时，乃奎斯特稳定性判据：采用逆极坐标图时，乃奎斯特稳定性判据：闭环系统稳定的充要条件是，当 ω从 -∞ 变化到 +∞ ，逆极坐标图的乃氏曲线按逆时钟方向包围（ -1 ， j0 ）点N次， N 为 G （ S ） H （ S ） S 平面右半平面的零点。

例：设反馈控制系统的开环传递函数为

)1()()(

ss

KsHsG

试判定系统的稳定性

解：K

jj

jHjG

)1(

)()(

1



G(S)H(S)右半平面无零点，乃氏曲线不包围（ -1 ， j0 ）点

闭环系统稳定！！



五、根据伯德图判定系统的稳定性

原点为圆心的单位圆 0 分贝线。单位圆以外 L(ω)>0 的部分；单位圆内部 L(ω)<0 的部分。

负实轴－ 180° 线。

相连

((v v 为开环积分环节的数目为开环积分环节的数目 ))起始点 (0+)

Nyquist 曲线的辅助线(0+) +v 90° 线



正穿越对应于对数相频特曲线当 ω增大时从下向上穿越－ 180° 线 (相角滞后减小 ) ；

(-1, j0)点以左实轴的穿越点L(ω)>0 范围内的与－ 180° 线的穿越点。

负穿越对应于对数相频特性曲线当 ω增大时，从上向下穿越－ 180° 线 ( 相角滞后增大 ) 。



对数频率特性稳定判据对数频率特性稳定判据

若系统开环传递函数 m 个位于右半 s 平面的特征根，则当在 L(ω)>0 的所有频率范围内，对数相频特性曲线 (ω)( 含辅助线 )与 -180° 线的正负穿越次数之差等于 m/2 时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。



开环特征方程有两个右根， m=2正负穿越数之和 -1 闭环不稳定。



开环特征方程有两个右根， m=2正负穿越数之和 +1

闭环稳定。



六、系统的相对稳定和稳定裕度

特征方程最近虚轴的根和虚轴的距离

稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。

相对稳定性和稳定裕量



注意：虚轴是系统的临界稳定边界

G(j)H(j)轨迹靠近 (-1,j0)点的程度

GH 平面



增益交界频率 c

G(j)H (j)轨迹与单位圆交点

相位交界频率 g

G(j)H(j)轨迹与负实轴交点

GH 平面

gg

c

c

1- 稳定系统 2- 不稳定系统

增益交界频率和相位交界频率



单位园外

单位园内

增益交界频率 c

G(j)H(j)轨迹与单位圆交点 L(j) 与 0 分贝线的交点。

c

g

稳定系统



相位交界频率 g

G(j)H (j)轨迹与负实轴交点 (j) 与 - 线的交点。

单位圆外

单位圆内c

g

不稳定系统



: 在增益交界频率 c 上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量 --- 相位裕量。

1|)j(H)j(G| cc )(180)180()( cc

6030 开环

系统的稳定性裕量



系统响应速度

增益裕量相位裕量

闭环系统稳定性

增益裕量相位裕量伺服机构： 10-20 分贝 40 度以上过程控制： 3-10 分贝 20 度以上



稳定系统

正相位裕量

正增益裕量

正增益裕量

正相位裕量



G(j)H (j)轨迹 :(1) 不包围 (-1,j0)点；(2)先穿过单位圆，后穿

过负实轴。

gc

)j(H)j(G cc )j( c

1|)j(H)j(G| gg 0)(L g

正增益裕量

正相位裕量



不稳定系统

负增益裕量

负相位裕量负增益裕量

负相位裕量



G(j)H (j)轨迹 :(1)包围 (-1,j0)点；(2)先穿过负实轴，后穿过单位圆

gc

)j(H)j(G cc )j( c

1|)j(H)j(G| gg 0)(L g 负相位裕量

负增益裕量



单位反馈控制系统开环传递函数 )5s)(1s(

K)s(G



七、乃奎斯特稳定判据的应用

例 1 一个系统的开环传递函数为

系统稳定

11

)()(

KTs

KsHsG

右半平面极点数： P=1

乃奎斯特曲线逆时钟包围（ -1 ， j0) 点的次数为

N=1=P穿越的概念：

正穿越次数 N+=0.5

负穿越次数 N-=0

N+- N-=0.5-0=1/2



例 2 系统开环传递函数为

22

21

422

21

221

)(1

)()(

TTTT

TTKP

])(1[

)1()(

22

21

422

21

221

2

TTTT

TTKQ

1 2

1 2

1 21 2

0 (0) ( ) (0)

1( ) ( ) 0

P K T T Q

KTTP Q

T TTT

在＝时，，

在时，，

1)1)(1(

)()(21

21

21

TT

TKT

sTsTs

KsHsG

右半平面极点数： P=0, 乃奎斯特曲线逆时钟包围（ -1 ， j0) 点的次数为

N=-2≠P

穿越的概念：

正穿越次数 N+=1

负穿越次数 N-=0

N+- N-=1 ≠ 0



八、稳定裕度求取



第五节系统的频率特性及频域性能指标

三、二阶系统的频域性能指标三、二阶系统的频域性能指标

二、一阶系统的频域性能指标二、一阶系统的频域性能指标

一、系统的频域性能指标一、系统的频域性能指标

四、高阶系统的频域性能指标四、高阶系统的频域性能指标



一、系统的频域性能指标一、系统的频域性能指标

谐振频率 :r 相对谐振峰值：

截止频率 b ：

带宽： 0≤ω≤ω b 对应的频率范围

rM

2

)0(M)(M b



零频幅值 M0 M0 =M(ω)|

ω=0=M(0)

与稳态误差相关！

1i 1jjj

2j

2i

1n 1kkk

2k

2n

)1)j(T2T)j(()1Tj()j(

)1)j(2)j(()1j(K)j(G

)(je)(M)j(G1

)j(G)j(

1K1

K|)0j(|)0(M0

1|)0j(|)0(M1



频域性能指标与时域性能指标的关系

rM %pM

r pt

b st



二、一阶系统的频域性能指标二、一阶系统的频域性能指标

具有单位反馈的一阶系统开环和闭环传递函数

1

1

)(

)()(

1)(

ssR

sCs

ssG

闭环幅频特性221

1)(

M

零频幅值 M0 M0 =M(ω)| ω=0=1

2

1

2

)0(

1

1)(

22

MM

b

b

带宽频率

1b



三、二阶系统的频域性能指标三、二阶系统的频域性能指标

具有单位反馈的二阶系统开环和闭环传递函数

22

22

2)(

)()(

)2()(

nn

n

n

n

sssR

sCs

sssG

闭环幅频特性22

2

2

21

1)(

nn

M

0)(

d

Md

谐振峰值：

谐振频率：

221 nr

212

1

rM



零频幅值 M0 M0 =M(ω)| ω=0=1

2

1

2

)0()( M

M b

2

1

21

1)(

22

2

2

n

b

n

b

M

带宽频率

422 44221 nb



四、高阶系统的频域性能指标四、高阶系统的频域性能指标

求法： 1 、用尼柯尔斯图线闭环频率特性

2 、计算机辅助设计软件 MATLAB

单位反馈系统等M-N圆法

)(jV)(U)j(G )(je)(M)j(G1

)j(G)j(

22

22

V)1U(

VU|

1jVU

jVU|M

22

222

2

)1M

M(V)

1M

MU(



等M 园对称于实轴对称于直线 U=-0.5

M<1 时，圆心位于直线 U=-0.5右侧M 减小 ,半径变小 ,圆心靠近 (0,0j) 。

M=1 时，平行虚轴通过 (-0.5,0j) 。

M>1 时，圆心位于直线 U=-0.5左侧；M 增大 ,半径变小 ,圆心靠近 (-1,0j) 。

22

222

2

)1M

M(V)

1M

MU(



22 VVU

V

))j(Re(

))j(Im(tgN

等 N 园

给定的值，等N轨迹是

一段圆弧。

N 圆的周期性

2

222

N4

1N)

N2

1V()

2

1U(

n1801

1

),2,1n(



Nichols 图坐标系：直角坐标系—开环 L() 和 () ；

等M 曲线令M为常数 , 为变量 ,依次计算值对应的 L() 。等 N 曲线

令 a为常数 , 为变量 ,依次计算值对应的 L() 。



闭环频率特性与增益的关系



Nichols 图求取闭环特性



1)|j(G|

1)j(G1

)j(G)j(

1)|j(G|

)j(G)j(G1

)j(G)j(

)dB(0M )dB(|)j(G|M 0

低频段高频段



非单位反馈系统的转换

1. 画出开环传递函数 G （ j)H （ j）的 Nichols 图；

2. 由开环 Nichols 图得到对应的单位反馈的闭环系统的 Bode 图；3. 在 Bode 图上画出 H(j) 的曲线；

4. 在 Bode 图上，由 2 。求出的幅值和相角分别减支H(j) 的幅值和相角。

)j(H)j(G1

)j(H)j(G



第六节频率特性的实验确定方法

一、用正弦信号相关分析法测试频率特性的原理一、用正弦信号相关分析法测试频率特性的原理（略）（略）

二、超低频频率特性测试仪（略）二、超低频频率特性测试仪（略）

三、由频率特性确定传递函数三、由频率特性确定传递函数



三、由频率特性确定传递函数三、由频率特性确定传递函数

根据系统开环对数幅频和相频特性确定传递函数的步骤：

１、将对数幅频特性表示为渐近线的形式。

２、由低频段确定串联积分个数。

３、根据 0dB 以上部分确定开环增益。

４、根据渐近线在交接频率处斜率变化，确定系统的串联环节和时间常数。

５、计算其它参量，并根据相频特性检验是否具有滞后环节。



a 、 b 、 c LK lg20

d cc KK 0lg20lg20

e2lg40lg20 cc KK

f 12

11 /)lg(lg40lg20lg20 cc KK

g21

3

cK h

1

2

cK



设通过实验测定的系统开环伯德图如下图所示，试确定该系统的开环传递函数。



第一段：斜率 -20dB/dec 转折频率 ω1=1S-1

第二段：斜率 -40dB/dec 转折频率 ω2=2S-1

第三段：斜率 -80dB/dec 转折频率 ω3=8S-1

s

1

1

1

1

1

sTs15.01 ss

188

1

12

15.0

8

1

2

222

ssss

)188

)(1(

)15.0(10)(

2

2

ssss

ssG10

1

52

1

2

cK

sess

ss

ssG 2.0

2

2

)188

)(1(

)15.0(10)(



第七节用 MATLAB 进行系统的频域分析

一、绘制 BODE 图

已知二阶系统的传递函数12.0

1)(

2

sssG

绘制系统的 Bode 图。

num=1

den=[1,0.2,1]

bode(num,den)

grid



二、绘制 Nyquist 图

绘制系统32

152)(

2

2

ss

sssG

乃奎斯特图（ Nyquist 图）。

num= [2,5,1]

den=[1,2,3]

nyquist(num,den)



三、求系统的相角裕度和增益裕度

已知系统的开环传递函数

14.0

1)(

2

sssG

求系统的相角裕度和增益裕度。

num= 1

den=[1,0.4,1]

[mag,phase,w]=bode(num,den)

[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)



gm = 600.2792 pm = 50.2569

wcg = 24.1368 wcp = 1.9090



四、分析系统的闭环频率特性

已知系统的开环传递函数

ssssG

45

5)(

23

求单位反馈系统的闭环频率特性。

num= 5

den=[1,5,4,0]

[numc,denc]=cloop(num,den)

bode(numc,denc)



小结

（ 1 ）系统的开环频率特性的绘制

（ 2 ）最小系统的幅频和相频特性

（ 3 ）映射定理

（ 4 ）乃奎斯特稳定性判据

（ 5 ）系统的相对稳定性幅值裕度和相角裕度

（ 6 ）频域性能指标

（ 7 ）闭环频率特性的求取方法

（ 8 ）用 MATLAB 分析系统的频率特性

（ 9 ）频率特性的实验求取方法

第五章线性系统的频域分析

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