《数理逻辑》平时作业参考答案

朱吟秋初稿王淑庆修订

目目目 录录录

1 集集集合合合 2朱朮朱 第一次作业（子集、幂集） 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朲朱朮朲 第二次作业（集合运算律、二元关系） 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朳朱朮朳 第三次作业（映射、可数集） 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朵

2 一一一阶阶阶语语语言言言的的的语语语形形形 8朲朮朱 第四次作业（字母表、项、公式、归纳证明） 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朸朲朮朲 第五次作业（子公式、代入自由） 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朱朱

3 经经经典典典语语语义义义学学学 14朳朮朱 第六次作业（结构、解释、真值表） 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朱朴朳朮朲 第七次作业（联结词、量词） 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朱朶朳朮朳 第八次作业（语义后承、满足） 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朱朸朳朮朴 第九次作业：（语义后承，有效式） 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朲朲

4 自自自然然然推推推演演演系系系统统统 25朴朮朱 第十次作业：（联结词规则） 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朲朵朴朮朲 第十一次作业：（命题推演、极小逻辑） 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朲朶朴朮朳 第十二次作业（经典推演） 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朲朹朴朮朴 第十三次作业（一阶推演） 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朮 朳朱

朱

第第第一一一章章章 集集集合合合

1.1 第第第一一一次次次作作作业业业（（（子子子集集集、、、幂幂幂集集集）））

1.1.1 证证证明明明：：：对对对任任任意意意集集集合合合A,B和和和C，，，如如如果果果A ∈ B,且且且B ⊆ C，，，则则则A ∈ C.

证明机对任意集合A,B,C，设A ∈ B且B ⊆ C由B ⊆ C可得任意x，如果x ∈ B，则x ∈ C∵ A ∈ B∴ A ∈ C.

1.1.2 证证证明明明：：：对对对任任任意意意集集集合合合A，，，∅ ⊆ A 且且且A 6⊂ A.

证明机朱）∵对任意x本x 6∈ ∅ （空集定义）∴对任意x,“x ∈ ∅→ x ∈ A” 永真（实质蕴涵）∴ ∅ ⊆ A朮朲）假设A ⊂ A，则A ⊆ A且A 6朽 A即“对任意的x, x ∈ A，那么x ∈ A ” 和 “存在x，x ∈ A且x 6∈ A ”同时成立但“存在x，x ∈ A且x 6∈ A ”显然是矛盾的∴假设不成立，故A 6⊂ A朮朳）∵ 朱朩和朲朩∴对任意集合A本∅ ⊆ A 且A 6⊂ A朮

1.1.3 列列列出出出{∅, {a}, {b, c}}的的的幂幂幂集集集的的的所所所有有有元元元素素素.

解：此集合的幂集的元素共有：∅朻 {∅}朻 {{a}}朻 {{b, c}}朻 {∅, {a}}朻 {∅, {b, c}}朻 {{a}, {b, c}}朻 {∅, {a}, {b, c}}朮

1.1.4 求求求P(P(P(∅))).

解：P木P木P木∅朩朩朩朽 P木P木{∅}朩朩朽 P木{∅, {∅}}朩朽 {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}朮

1.1.5 证证证明明明：：：A ⊆ B ⇔ P(A) ⊆ P(B).

证明机朱）（⇒）设A ⊆ B假如P木A朩 6⊆ P木B朩，则存在X，X ∈ P木A朩且X 6∈ P木B朩又P木A朩 朽 {X|X ⊆ A},P木B朩 朽 {Y |Y ⊆ B}综上，∴ X ⊆ A且X 6⊆ B

朲

第一章 朱朮 集合 朳

∴存在x，x ∈ X且x ∈ A，但x 6∈ B又A ⊆ B∴对任意x，若x ∈ A则x ∈ B这与“存在X，x ∈ A但x 6∈ B”矛盾从而假设不成立故P木A朩 ⊆ P木B朩∴ A ⊆ B ⇒ P木A朩 ⊆ P木B朩朮朲）（⇐）设P木A朩 ⊆ P木B朩假如A 6⊆ B则存在x，x ∈ A且x 6∈ B∴ {x} ∈ P木A朩且{x} 6∈ P木B朩又P木A朩 ⊆ P木B朩∴ 若{x} ∈ P木A朩，则{x} ∈ P木B朩这与“{x} ∈ P木A朩且{x} 6∈ P木B朩”矛盾从而假设不成立故A ⊆ B∴ P木A朩 ⊆ P木B朩⇒ A ⊆ B朮朳）∵ 朱朩和朲朩∴ A ⊆ B ⇔ P木A朩 ⊆ P木B朩朮

1.2 第第第二二二次次次作作作业业业（（（集集集合合合运运运算算算律律律、、、二二二元元元关关关系系系）））

1.2.1 证证证明明明：：：若若若X,Y ,Z是是是任任任意意意集集集合合合，，，则则则有有有X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z).

证明机朱）（⊆）设任意x本若x ∈ 木X ∪ 木Y ∩ Z朩朩，则x ∈ X或x ∈ 木Y ∩ Z朩即x ∈ X或木x ∈ Y且x ∈ Z朩即（x ∈ X或x ∈ Y）且（x ∈ X或x ∈ Z）即x ∈ 木X ∪ Y 朩且x ∈ 木X ∪ Z朩∴ x ∈ 木木X ∪ Y 朩 ∩ 木X ∪ Z朩朩∴ X ∪ 木Y ∩ Z朩 ⊆ 木X ∪ Y 朩 ∩ 木X ∪ Z朩朮朲）（⊇）设任意x本若x ∈ 木木X ∪ Y 朩 ∩ 木X ∪ Z朩朩，则x ∈ 木X ∪ Y 朩且x ∈ 木X ∪ Z朩∴ 木x ∈ X或x ∈ Y 朩且木x ∈ X或x ∈ Z朩杉）当木x 6∈ X朩时：由木x ∈ X或x ∈ Y 朩有x ∈ Y由木x ∈ X或x ∈ Z朩有x ∈ Z∴ x ∈ Y且x ∈ Z∴ x ∈ 木Y ∩ Z朩综上，当木x 6∈ X朩时，可得x ∈ 木Y ∩ Z朩杉杉）当木x ∈ X朩时：有x ∈ X或x ∈ 木Y ∩ Z朩即x ∈ 木X ∪ 木Y ∩ Z朩朩杉杉杉）∵对任意的x, x ∈ X或x 6∈ X综上，对任意的x, 木x ∈ X或x ∈ Y 朩且木x ∈ X或x ∈ Z朩，可得x ∈ 木X ∪ 木Y ∩ Z朩朩∴ 木X ∪ Y 朩 ∩ 木X ∪ Z朩 ⊆ X ∪ 木Y ∩ Z朩∴ X ∪ 木Y ∩ Z朩 ⊇ 木X ∪ Y 朩 ∩ 木X ∪ Z朩朮朳）∵ 朱朩和朲朩∴ X ∪ 木Y ∩ Z朩 朽 木X ∪ Y 朩 ∩ 木X ∪ Z朩朮

注注注意意意：朱）的证明其实是直接用的命题逻辑中析取对合取的分配律；而朲）的证明则是分情况讨论，它似乎比朱）的证明更自然。之所以如此，是因为分情况证明是用的逻辑析取消去规则，而析取对合取的分配律在命题逻辑系统中是导出规则。所以，如果愿意，朱）化成分情况证明会觉得更自然些。下一题的证明也是类似情况。

第一章 朱朮 集合 朴

1.2.2 证证证明明明：：：X,Y,Z是是是任任任意意意集集集合合合，，，则则则有有有X − (Y ∩ Z) = (X − Y ) ∪ (X − Z).

证明机朱）（⊆）设任意x本若x ∈ 木X − 木Y ∩ Z朩朩，则x ∈ X 且x 6∈ 木Y ∩ Z朩即x ∈ X且木x 6∈ Y或x 6∈ Z朩即（x ∈ X且x 6∈ Y）或（x ∈ X且x 6∈ Z）∴ x ∈ 木木X − Y 朩 ∪ 木X − Z朩朩∴ X − 木Y ∩ Z朩 ⊆ 木木X − Y 朩 ∪ 木X − Z朩朩朮朲）（⊇）设任意x本若x ∈ 木X − Y 朩 ∪ 木X − Z朩，则x ∈ 木X − Y 朩 或x ∈ 木X − Z朩∴（x ∈ X且x 6∈ Y）或（x ∈ X且x 6∈ Z）∴ x ∈ X且木x 6∈ Y或x 6∈ Z朩∴ x ∈ X且x 6∈ 木Y ∩ Z朩∴ x ∈ 木X − 木Y ∩ Z朩朩∴ 木木X − Y 朩 ∪ 木X − Z朩朩 ⊆ 木X − 木Y ∩ Z朩朩∴ 木X − 木Y ∩ Z朩朩 ⊇ 木木X − Y 朩 ∪ 木X − Z朩朩朮朳）∵ 朱朩和朲朩∴ X − 木Y ∩ Z朩 朽 木X − Y 朩 ∪ 木X − Z朩朮

1.2.3 证证证明明明：：：设设设A是是是集集集合合合族族族，，，则则则A的的的任任任意意意元元元素素素是是是∪A的的的子子子集集集.

证明机设A是集合族，则存在集合杘，使得X ∈ A∵ ∪A 朽 {x|存在X ∈ A, x ∈ X}∴ 任意x本若x ∈ X则x ∈ ∪A∴ X ⊆ ∪A即杁的任意元素是∪A的子集朮

1.2.4 设设设R是是是A中中中的的的一一一个个个等等等价价价关关关系系系，，，证证证明明明：：：对对对所所所有有有的的的x, y ∈ A，，，如如如果果果[y]R = [x]R,则则则yRx.

证明机∵ y ∈ 杛y杝R又杛y杝R 朽 杛x杝R∴ y ∈ 杛x杝R∴ xRy又由于R的对称性∴ yRx朮

1.2.5 求求求解解解：：：若若若正正正整整整数数数集集集中中中的的的关关关系系系{< y, x > |存存存在在在正正正整整整数数数z使使使得得得y = xz}是是是其其其中中中的的的偏偏偏序序序，，，则则则这这这个个个偏偏偏序序序的的的极极极小小小元元元和和和极极极大大大元元元是是是什什什么么么？？？

解：朱）极小元：朱朮证明机∵ 朱 ∈ Z+且朱 朽 朱1

∴ 朱是偏序中的元素当x 朽 朱时，xz 朽 朱 朽 y 朽 x因此不存在另一个y使yRx成立故朱是极小元又若x 6朽 朱，假设不存在y使（存在正整数z, y 朽 xz且y 6朽 x）成立即当y 朽 xz时，y 朽 x也就是x 朽 xz本因此朱 朽 xz−1

因为z ∈ Z+本故x 朽 朱，这与x 6朽 朱矛盾因此当x 6朽 朱时，存在y 6朽 x使y 朽 xz成立，故此时x不是极小元综上，朱是唯一的极小元朮

第一章 朱朮 集合 朵

解：朲）极大元的集合：Z+ − {x|∃y, z ∈ Z+使x 朽 yz，且x 6朽 y}朮证明机设x ∈ 木Z+ − {x|∃y, z ∈ Z+使x 朽 yz,且x 6朽 y}朩，则x ∈ Z+且x 6∈ {x|∃y, z ∈ Z+使x 朽 yz,且x 6朽 y}即不存在y, z ∈ Z+，使得x 朽 yz且x 6朽 y成立因此不存在另一个y，使得xRy成立故x是极大元又当x ∈ Z+时，假设存在x ∈ {x|∃y, z ∈ Z+使x 朽 yz,且x 6朽 y}且x是极大元则存在y，使得x 朽 yz且x 6朽 y 木∗朩根据极大元定义，不存在一个与x不相同的y使xRy成立即不存在y，使得x 朽 yz且x 6朽 y，这与木∗朩矛盾因此，当x ∈ Z+时，不存在x ∈ {x|x ∈ Z+,且对任意y, z ∈ Z+, x 朽 yz}且x是极大元综上，当且仅当x ∈ 木Z+ − {x|x ∈ Z+,且对任意y, z ∈ Z+, x 朽 yz}朩的时候，x才是极大元朮

1.3 第第第三三三次次次作作作业业业（（（映映映射射射、、、可可可数数数集集集）））

1.3.1 证证证明明明：：：若若若f为为为N到到到N的的的函函函数数数，，，且且且f(x) = x+ 1，，，则则则f是是是单单单射射射但但但不不不是是是满满满射射射.

证明机朱）证f是单射：设任意x1, x2 ∈ N若f木x1朩 朽 f木x2朩，则x1 末 朱 朽 x2 末 朱∴ x1 朽 x2故f是单射朲）证f不是满射：因为不存在x ∈ N，使得x末 朱 朽 朰 木因为若存在，则x 朽 −朱 /∈ N朩而朰 ∈ N∴ f不是满射朮朳）∵ 朱朩和朲朩∴ f是单射但不是满射朮

1.3.2 证证证明明明：：：|N | = |{x|x是是是正正正偶偶偶数数数}| = |{x|x是是是负负负奇奇奇数数数}|.证明机

朱）证|N | 朽 |{x|x是正偶数}|：设映射f, f 机 N → {x|x是正偶数}，且f木x朩 朽 朲木x末 朱朩设任意x1, x2 ∈ N若f木x1朩 朽 f木x2朩即朲木x1 末 朱朩 朽 朲木x2 末 朱朩从而x1 朽 x2∴ f是单射又因为任意y ∈ {x|x是正偶数}，都有x 朽 木y2 − 朱朩 ∈ N（y是正偶数，所以它的一半大于等于朱）即存在x ∈ N使得f木x朩 朽 y∴ f是满射∵ f既是满射又是单射，∴ f是双射朮∴ |N | 朽 |{x|x是正偶数}|朮朲）证|N | 朽 |{x|x是负奇数}|：设映射g, g 机 N → {x|x是负奇数}，且g木x朩 朽 −朲x− 朱设任意x1, x2 ∈ N若g木x1朩 朽 g木x2朩即−朲x1 − 朱 朽 −朲x2 − 朱从而x1 朽 x2∴ g是单射又任意y ∈ {x|x是负奇数}，都有x 朽 y+1

−2 ∈ N（y是负奇数，y末朱是负偶数并朰的集合中的元素，再除

以负朲，则易见是自然数）

第一章 朱朮 集合 朶

故存在x ∈ N使得f木x朩 朽 y∴ g是满射∵ g既是单射又是满射，∴ g是双射∴ |N | 朽 |{x|x是负奇数}|朮朳）∵ |N | 朽 |{x|x是负奇数}|且|N | 朽 |{x|x是正偶数}|而等势关系是一种等价关系，具有传递性∴ |{x|x是正偶数}| 朽 |{x|x是负奇数}∴ |N | 朽 |{x|x是正偶数}| 朽 |{x|x是负奇数}|.

1.3.3 证证证明明明：：：设设设集集集合合合B非非非空空空，，，则则则存存存在在在B到到到N的的的单单单射射射，，，当当当且且且仅仅仅当当当B是是是可可可数数数的的的.

证明机朱）（⇒）任给非空集合B，若存在B到N的单射g，则定义N到B的映射f：

f木x朩 朽

{g−1木x朩, x ∈杒条杮（杧）朻

a木a ∈ B朩, 否则

∵任意单射都是从其定义域到值域的双射，且f是从N到B的映射∴任意y ∈ B，都有x ∈ N使得f木x朩 朽 y∴ f是N到B的满射∴存在N到B的满射f∴ B是可数的朮朲）（⇐）任给非空集合B，若B是可数的，则存在N到B的满射f定义B到N的映射f ′，使得f ′木x朩 朽 min{n ∈ N 机 f木n朩 朽 x}∵ f是满射∴任给x ∈ B本存在n ∈ N使得f木n朩 朽 x∴ min{n ∈ N 机 f木n朩 朽 x}非空又因为任给x, y ∈ B本若f ′木x朩 朽 f ′木y朩 朽 m本则x 朽 f木m朩 朽 y∴ f ′是单射朮

1.3.4 证证证明明明：：：若若若集集集合合合A,C,D是是是可可可数数数的的的，，，则则则A ∪ C ∪D也也也是是是可可可数数数的的的.

证明机方法一（思路）：朱）先证“A、C可数，则A ∪ C也可数”：木朱朩若A、C至少有一个为空集，则显然木朲朩若A、C都不空且A ∩ C 朽 ∅，则由A、C非空知存在两个到李的单射，由于正奇数集与非负偶数集的基数都与自然数相等，所以分别存在两个从A和C到李的单射，再把这两个单射并起来为f，则f显然是A ∪ C到李的单射，所以A ∪ C可数木朳朩若A、C都不空且A ∩ C 6朽 ∅，则A ∩ 木C −A朩 朽 ∅，于是化为木朲朩的情况朮朲）再证“木A ∪ C朩和D可数，则（A ∪ C朩∪D也可数”：由朱），显然朮

方法二：朱）先证“C,D可数，则C ∪D可数”：木朱朩当C 朽 ∅或D 朽 ∅时，C ∪D 朽 D或C ∪D 朽 C朮因为C,D可数，故 C ∪D可数木朲朩当C 6朽 ∅ 且D 6朽 ∅时因为C,D可数，则存在单射f 机 C → N和单射g 机 D → N不妨设对C中任意元素ci木i ∈ N朩有f木ci朩 朽 朲i， 对D中任意元素di木i ∈ N朩有g木di朩 朽 朲i末 朱因此存在映射g′ 机 木D − C朩→ N,对di ∈ D, di 6∈ C, g′木di朩 朽 g木di朩 朽 朲i末 朱显然g′为单射

因此存在映射h 机 C ∪D → N,h木x朩 朽

{f木x朩, x ∈ C朻g′木x朩, x ∈ D − C

下面证明h是单射：设x 6朽 y木朱朩若x ∈ C且y ∈ 木D − C朩

第一章 朱朮 集合 朷

则h木x朩 朽 f木ci朩 朽 朲i, h木y朩 朽 g′木dj朩 朽 朲j 末 朱因为j, i ∈ N，所以朲i 6朽 朲j 末 朱∴ h木x朩 6朽 h木y朩木朲朩若x, y ∈ C则h木x朩 朽 朲i, h木y朩 朽 朲j∵ x 6朽 y x 朽 ci, y 朽 cj , i 6朽 j∴ 朲i 6朽 朲j即h木x朩 6朽 h木y朩木朳朩若x, y ∈ 木D − C朩，同理易得h木x朩 6朽 h木y朩综上情况，h是单射因此C ∪D是可数的朮朲）再证“C ∪D可数且A可数，则A ∪ C ∪D可数”：木朱朩当C ∪D 朽 ∅或A 朽 ∅时，A ∪ 木C ∪D朩 朽 A或A ∪ 木C ∪D朩 朽 C ∪A朮因为C ∪D可数A可数，故A ∪ 木C ∪D朩可数

木朲朩当C ∪D 6朽 ∅本A 6朽 ∅时本同上理易构建h 机 A ∪ 木C ∪D朩→ N,h木x朩 朽

{f木x朩, x ∈ A朻g′木x朩, x ∈ 木C ∪D朩−A

同理易证h是单射因此A ∪ 木C ∪D朩是可数的又∵ A ∪ 木C ∪D朩 朽 A ∪ C ∪D∴ A ∪ C ∪D是可数的朮

第第第二二二章章章 一一一阶阶阶语语语言言言的的的语语语形形形

2.1 第第第四四四次次次作作作业业业（（（字字字母母母表表表、、、项项项、、、公公公式式式、、、归归归纳纳纳证证证明明明）））

2.1.1 设设设计计计一一一阶阶阶语语语言言言的的的字字字母母母表表表，，，并并并用用用他他他们们们构构构造造造一一一阶阶阶句句句子子子来来来描描描述述述偏偏偏序序序结结结构构构.

解：L 朽 {R}木R是二元关系朩一阶句子：∀xRxx ∧ ∀x∀y木Rxy ∧Ryx→ x ≡ y朩 ∧ ∀x∀y∀z木Rxy ∧Ryz → Rxz朩朮

2.1.2 设设设计计计基基基始始始条条条件件件和和和归归归纳纳纳条条条件件件，，，归归归纳纳纳定定定义义义非非非负负负偶偶偶数数数集集集合合合.

解：非负偶数集合A可用归纳定义如下：基始条件：朰 ∈ A归纳条件：如果x ∈ A，则x末 朲 ∈ A封闭条件：除了上面所要求的，没有别的东西是A的元素朮

2.1.3 判判判断断断以以以下下下L1st−串串串是是是否否否为为为L1st−项项项并并并说说说明明明理理理由由由：：：朱）f52 木x0x4x9c2朩解：不是朮原因有：朱朩f52后应当有朵个个体项；朲朩f52后不应有括号朮

朲）f24 f23x0c11f

22x0f

21 c1x4c2

解：是朮因为f24 f

23x0c11f

22x0f

21 c1x4c2可分解为：

c1 x4

f21 c1x4 木r1朩 c2 x0 x4 x9

f52x0x4x9f21 c1x4c2 木r2朩 x0

f22x0f52x0x4x9f

21 c1x4c2 木r3朩

x0 c11

f23x0c11 木r4朩

f24 f23x0c11f

22x0f

52x0x4x9f

21 c1x4c2

2.1.4 用用用树树树形形形图图图分分分析析析下下下列列列L1st-项项项的的的构构构造造造过过过程程程：：：

朱）f32 f21 c1f

23x2x3x0c2

解：

x2 x3

f23x2x3 木r1朩 c1

f21 c1f23x2x3 木r2朩 x0 c2

f32 f21 c1f

23x2x3x0c2

朲）f24 f12x0f

51x0x4x9c28c2

解：

x0 x4 x9 c28 c2

f51x0x4x9c28c2 木r1朩

x0

f12x0 木r2朩

f24 f12x0f

51x0x4x9c28c2

朸

第二章 朲朮 一阶语言的语形 朹

2.1.5 设设设语语语言言言Lm有有有一一一个个个一一一元元元函函函数数数符符符号号号f，，，两两两个个个常常常项项项符符符a和和和b，，，但但但没没没有有有其其其他他他的的的常常常项项项符符符或或或

函函函数数数符符符。。。试试试确确确定定定Lm-项项项的的的一一一般般般形形形式式式.

解：Lm的一般形式是 f...fa︸ ︷︷ ︸n个f,n∈N

本 f...fb︸ ︷︷ ︸n个f,n∈N

本 f...fxi︸ ︷︷ ︸n个f,n∈N

朮

2.1.6 设设设计计计一一一阶阶阶符符符号号号并并并用用用它它它来来来构构构造造造公公公式式式集集集表表表达达达反反反自自自反反反性性性和和和传传传递递递性性性.

解机语言Lr 朽 {R}木其中，R是一个二元谓词朩，公式集表示如下：{∀x¬Rxx,∀x∀y∀z木Rxy ∧Ryz → Rxz朩}朮

2.1.7 用用用树树树形形形分分分解解解图图图分分分析析析下下下列列列L1st-公公公式式式的的的构构构造造造过过过程程程.

朱）∃x0木¬P 10 f

12 c1 → f21x0c1 ≡ f10 c1朩

解：∃x0木¬P 1

0 f12 c1 → f21x0c1 ≡ f10 c1朩

木¬P 10 f

12 c1 → f21x0c1 ≡ f10 c1朩

f21x0 ≡ f10 c1¬P 10 f

12 c1

P 10 f

12 c1

朲朩∀x1木木¬P 10 f

10 c1 ∧ ∃x0P 1

0 c1朩→ f21x0c1 ≡ f10 c1朩解：∀x1木木¬P 1

0 f10 c1 ∧ ∃x0P 1

0 c1朩→ f21x0c1 ≡ f10 c1朩

木木¬P 10 f

10 c1 ∧ ∃x0P 1

0 c1朩→ f21x0c1 ≡ f10 c1朩

f21x0c1 ≡ f10 c1木¬P 10 f

10 c1 ∧ ∃x0P 1

0 c1朩

∃x0P 10 c1

P 10 c1

¬P 10 f

10 c1

P 10 f

10 c1

2.1.8 用用用树树树形形形分分分解解解图图图说说说明明明下下下列列列L1st-串串串不不不是是是L1st-公公公式式式：：：

朱）∃x1木P 10 c1 → 木P 1

0 c1 ∧ f10 c1朩朩解：∃x1木P 1

0 c1 → 木P 10 c1 ∧ f10 c1朩朩

木P 10 c1 → 木P 1

0 c1 ∧ f10 c1朩朩

木P 10 c1 ∧ f10 c1朩

f10 c1P 10 c1

P 10 c1

因为f10 c1不是公式，所以∃x1木P 10 c1 → 木P 1

0 c1 ∧ f10 c1朩朩不是L1st札公式朮

第二章 朲朮 一阶语言的语形 朱朰

朲）木木木P 10 f

10 c1 → 木f21 c1x0 ≡ f10 c1朩朩 ∨ P 1

0 c1朩解：

木木木P 10 f

10 c1 → 木f21 c1x0 ≡ f10 c1朩朩 ∨ P 1

0 c1朩

P 10 c1木木P 1

0 f10 c1 → 木f21 c1x0 ≡ f10 c1朩朩

木f21 c1x0 ≡ f10 c1朩木P 10 f

10 c1

因为木P 10 f

10 c1的左括号无法消去，所以木木木P 1

0 f10 c1 → 木f21 c1x0 ≡ f10 c1朩朩 ∨ P 1

0 c1朩不是L1st札公式朮

2.1.9 证证证明明明：：：1）））如如如果果果在在在公公公式式式的的的定定定义义义（（（定定定义义义4.1）））中中中去去去除除除归归归纳纳纳条条条件件件中中中对对对复复复合合合公公公式式式加加加括括括

号号号的的的限限限制制制，，，那那那么么么这这这样样样定定定义义义的的的新新新的的的“““公公公式式式”””不不不具具具有有有读读读法法法唯唯唯一一一性性性.2)假假假设设设公公公式式式ϕ的的的一一一个个个子子子公公公式式式为为为ψ，，，把把把ψ在在在ϕ中中中的的的若若若干干干次次次出出出现现现抹抹抹去去去，，，在在在空空空白白白处处处都都都填填填入入入符符符号号号串串串γ，，，得得得到到到一一一个个个符符符号号号串串串ϕ′.我我我们们们称称称 ϕ′为为为由由由符符符号号号串串串γ替替替换换换ψ在在在ϕ中中中的的的一一一些些些出出出现现现而而而得得得到到到的的的符符符号号号串串串.归归归纳纳纳证证证明明明：：：如如如果果果γ是是是公公公式式式，，，则则则ϕ′也也也是是是公公公式式式.

朱） 证明机根据定义朴朮朱，有公式模式木φ∧ψ朩，即：如果φ, ψ是公式，则木φ∧ψ朩是公式。因此，∀x木φ∧ψ朩也是公式而根据新的规则去除括号，有：若φ, ψ是公式，则∀xφ ∧ ψ也是公式根据新规则，可知木朱朩因为∀xφ是公式，ψ是公式，故∀xφ ∧ ψ的树形分解图为：∀xφ ∧ ψ

ψ∀xφ

φ

木朲朩因为φ ∧ ψ是公式，∀xt木t是公式）是公式，故∀xφ ∧ ψ的树形分解图也可以为：∀xφ ∧ ψ

φ ∧ ψ

ψφ

由上面木朱朩和木朲朩可见，∀xφ ∧ ψ在新定义下的分解树不唯一∴根据新定义得到的“公式”不具读法唯一性朮

朲） 证明机可以把以下一句话看作是ϕ的一个性质：若γ是公式，则把ψ在ϕ中的若干次出现抹去，在空白处都填入符号串γ，这样得到一个符号串ϕ′也是公式朮故故故可可可施施施归归归纳纳纳于于于公公公式式式ϕ的的的秩秩秩r木ϕ朩：：：(1)归归归纳纳纳基基基始始始：：：若r木ϕ朩 朽 朰，则ϕ为原子公式，因此ϕ 朽 ψ，γ替换ϕ中的ψ的若干次出现后，ϕ′ 朽 γ因为γ是公式，故ϕ′是公式朮(2)归归归纳纳纳推推推步步步：：：假设r木ϕ朩 < k时，ϕ′是公式，现证r木ϕ朩 朽 k时ϕ′也是公式：条朩当ϕ 朽 ¬φ本 则r木φ朩 < k因为ϕ′ 朽 ¬φ′本φ′是φ中γ替换ψ的若干次出现后的结果所以根据归纳假设，φ′是公式所以¬φ′是公式即ϕ′是公式朮杢朩当ϕ 朽 ϕ1 � ϕ2, 木� ∈ {∧,∨,→}朩时，r木ϕ1朩 < k, r木ϕ2朩 < k因为ϕ′ 朽 ϕ′1 � ϕ′2本ϕ′1, ϕ′2是γ替换ψ在ϕ1, ϕ2中若干次出现后的结果

第二章 朲朮 一阶语言的语形 朱朱

所以根据归纳假设，ϕ′1, ϕ′2是公式

故ϕ′1 � ϕ′2是公式即ϕ′是公式朮杣朩当ϕ 朽 ⊗xφ, 木⊗ ∈ {∀,∃}朩本 则r木φ朩 < k因为ϕ′ 朽 ⊗xφ′本φ′是φ中γ替换ψ的若干次出现后的结果所以根据归纳假设，φ′是公式所以⊗xφ′是公式即ϕ′是公式朮综上所述，如果γ是公式，则由是公式的符号串γ替换ψ在ϕ中的一些出现而得到的符号串ϕ′也是公式朮

2.2 第第第五五五次次次作作作业业业（（（子子子公公公式式式、、、代代代入入入自自自由由由）））

2.2.1 根根根据据据定定定义义义5.2，，，找找找出出出公公公式式式(∀x1∃x0(¬P 10 f

10 c1 → f 2

1 c1x0 ≡ f 10 c1) ∨ ∀x2x0 ≡ f 1

0x2)的的的

全全全体体体子子子公公公式式式.

解：S木木∀x1∃x0木¬P 10 f

10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩 ∨ ∀x2x0 ≡ f10x2朩朩

朽 S木∀x1∃x0木¬P 10 f

10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩朩 ∪ S木∀x2x0 ≡ f10x2朩 ∪ {木∀x1∃x0木¬P 1

0 f10 c1 → f21 c1x0 ≡

f10 c1朩 ∨ ∀x2x0 ≡ f10x2朩}

朽 S木∃x0木¬P 10 f

10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩朩 ∪ {∀x1∃x0木¬P 1

0 f10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩} ∪ S木x0 ≡ f10x2朩∪

{∀x2x0 ≡ f10x2} ∪ {木∀x1∃x0木¬P 10 f

10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩 ∨ ∀x2x0 ≡ f10x2朩}

朽 S木木¬P 10 f

10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩朩 ∪ {∃x0木¬P 1

0 f10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩} ∪ {∀x1∃x0木¬P 1

0 f10 c1 →

f21 c1x0 ≡ f10 c1朩} ∪ x0 ≡ f10x2 ∪ {∀x2x0 ≡ f10x2} ∪ {木∀x1∃x0木¬P 10 f

10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩 ∨ ∀x2x0

≡ f10x2朩}

朽 S木¬P 10 f

10 c1朩 ∪ S木f21 c1x0 ≡ f10 c1朩 ∪ {木¬P 1

0 f10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩} ∪ {∃x0木¬P 1

0 f10 c1 → f21 c1x0 ≡

f10 c1朩} ∪ {∀x1∃x0木¬P 10 f

10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩} ∪ x0 ≡ f10x2 ∪ {∀x2x0 ≡ f10x2} ∪ {木∀x1∃x0木¬P 1

0 f10 c1

→ f21 c1x0 ≡ f10 c1朩 ∨ ∀x2x0 ≡ f10x2朩}

朽 S木P 10 f

10 c1朩 ∪ {¬P 1

0 f10 c1} ∪ {f21 c1x0 ≡ f10 c1} ∪ {木¬P 1

0 f10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩} ∪ {∃x0木¬P 1

0 f10 c1 →

f21 c1x0 ≡ f10 c1朩}∪{∀x1∃x0木¬P 10 f

10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩}∪x0 ≡ f10x2∪{∀x2x0 ≡ f10x2}∪{木∀x1∃x0木¬P 1

0 f10 c1

→ f21 c1x0 ≡ f10 c1朩 ∨ ∀x2x0 ≡ f10x2朩}

朽 {P 10 f

10 c1} ∪ {¬P 1

0 f10 c1} ∪ {f21 c1x0 ≡ f10 c1} ∪ {木¬P 1

0 f10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩} ∪ {∃x0木¬P 1

0 f10 c1 →

f21 c1x0 ≡ f10 c1朩}∪{∀x1∃x0木¬P 10 f

10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩}∪x0 ≡ f10x2∪{∀x2x0 ≡ f10x2}∪{木∀x1∃x0木¬P 1

0 f10 c1

→ f21 c1x0 ≡ f10 c1朩 ∨ ∀x2x0 ≡ f10x2朩}

朽 {P 10 f

10 c1,¬P 1

0 f10 c1, f

21 c1x0 ≡ f10 c1, 木¬P 1

0 f10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩,∃x0木¬P 1

0 f10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩,

∀x1∃x0木¬P 10 f

10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩, x0 ≡ f10x2,∀x2x0 ≡ f10x2, 木∀x1∃x0木¬P 1

0 f10 c1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩∨

∀x2x0 ≡ f10x2朩}朮

2.2.2 在在在下下下面面面的的的L1st-公公公式式式中中中，，，判判判别别别每每每个个个变变变项项项的的的每每每次次次出出出现现现是是是自自自由由由的的的还还还是是是约约约束束束的的的，，，同同同时时时

判判判别别别每每每个个个变变变项项项是是是公公公式式式中中中的的的自自自由由由变变变项项项还还还是是是约约约束束束变变变项项项：：：

朱）P 21 c1f

23x0x29

解：x0的唯一一次出项是自由的，故x0是自由变项x29的唯一一次出现是自由的，故x29是自由变项朮

朲）木¬P 10 f

10x1 → ∃x3f21 c1x3 ≡ f10x7朩

解：x1的唯一一次出现是自由的，故x1是自由变项x3的第一次出现是约束的，第二次出现是约束的，故x3是约束变项x7的唯一一次出现是自由的，故x7是自由变项朮

第二章 朲朮 一阶语言的语形 朱朲

朳）木∀x1∃x0木¬P 10 f

10x1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩 ∨ ∀x2x3 ≡ f10x2朩

解：x1的第一次出现是约束的，第二次出现是约束的，故x1是约束变项x0的第一次出现是约束的，第二次出现是约束的，故x0是约束变项x2的第一次出现是约束的，第二次出现是约束的，故x2是约束变项x3的唯一一次出现是自由的，故x3是自由变项朮

2.2.3 令令令Free(ϕ)为为为公公公式式式ϕ中中中所所所有有有自自自由由由变变变项项项的的的集集集合合合.递递递归归归定定定义义义函函函数数数Free，，，并并并根根根据据据定定定义义义重重重

新新新找找找出出出上上上题题题中中中三三三个个个公公公式式式的的的自自自由由由变变变项项项.

解：朱）定义函数Free，需分两步：条朩令V ar木t朩为项t中所有个体变项的集合，递归定义函数V ar如下：

条朩当t 朽 x时，V ar木t朩 朽 {x}当t 朽 c时，V ar木t朩 朽 ∅杢朩当t 朽 ft1...tn时，V ar木t朩 朽 V ar木t1朩 ∪ V ar木t2朩 ∪ ... ∪ V ar木tn朩

杢朩令Free木ϕ朩为公式ϕ中所有自由变项的集合，递归定义函数Free如下：条朩当ϕ 朽 Pt1...tn时，Free木ϕ朩 朽 V ar木t1朩 ∪ ... ∪ V ar木tn朩当ϕ 朽 t ≡ s时，Free木ϕ朩 朽 V ar木t朩 ∪ V ar木s朩杢朩当ϕ 朽 ¬ψ时，Free木ϕ朩 朽 Free木ψ朩当ϕ 朽 木ψ1 � ψ2朩 木� ∈ {∧,∨,→}朩时，Free木ϕ朩 朽 Free木ψ1朩 ∪ Free木ψ2朩当ϕ 朽 ⊗xψ 木⊗ ∈ {∀,∃}朩时，Free木ϕ朩 朽 Free木ψ朩− {x}朮

朲）根据定义重新找出上题中三个公式的自由变项木朱朩Free木P 2

1 c1f23x0x29朩

朽 V ar木c1朩 ∪ V ar木f23x0x29朩朽 ∅ ∪ V ar木x0朩 ∪ V ar木x29朩朽 {x0, x29}

木朲朩Free木木¬P 10 f

10x1 → ∃x3f21 c1x3 ≡ f10x7朩朩

朽 Free木¬P 10 f

10x1朩 ∪ Free木∃x3f21 c1x3 ≡ f10x7朩

朽 Free木P 10 f

10x1朩 ∪ 木Free木f21 c1x3 ≡ f10x7朩− x3朩

朽 V ar木f10x1朩 ∪ 木V ar木f21 c1x3朩 ∪ V ar木f10x7朩− x3朩朽 V ar木x1朩 ∪ 木V ar木c1朩 ∪ V ar木x3朩 ∪ V ar木x7朩− x3朩朽 {x1} ∪ 木∅ ∪ {x3} ∪ {x7} − x3朩朽 {x1, x7}

木朳朩Free木木∀x1∃x0木¬P 10 f

10x1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩 ∨ ∀x2x3 ≡ f10x2朩朩

朽 Free木∀x1∃x0木¬P 10 f

10x1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩朩 ∪ Free木∀x2x3 ≡ f10x2朩杰

朽 木木Free木木¬P 10 f

10x1 → f21 c1x0 ≡ f10 c1朩朩− {x0}朩− {x1} ∪ 木Free木x3 ≡ f10x2朩− {x2}朩

朽 木木Free木P 10 f

10x1朩 ∪ Free木f21 c1x0 ≡ f10 c1朩朩− {x0}朩− {x1} ∪ 木{x3} ∪ {x2}朩− {x2}朩

朽 ∅ ∪ {x3}朽 {x3}朮

2.2.4 写写写出出出以以以下下下公公公式式式的的的代代代入入入结结结果果果：：：

解：朱）∀x0木¬x0 ≡ x1 ∧ ∃x1 ≤ x0x1朩木x1/x0, d/x1朩朽 ∀x0木¬x0 ≡ d ∧ ∃x1 ≤ x0x1朩朮

朲）木¬x0 ≡ x1 ∧ ∃x1 ≤ x0x1朩木fx0x4/x0, x1/x1朩朽 木¬fx0x4 ≡ x1 ∧ ∃x1 ≤ fx0x4x1朩.

朳）木¬x0 ≡ x1朩木x3/x2朩朽 ¬x0 ≡ x1.

第二章 朲朮 一阶语言的语形 朱朳

2.2.5 设设设计计计公公公式式式ψ和和和项项项t1, t2,使使使得得得ψ(t2/x1, t1/x2) 6= ψ(t2/x1)(t1/x2).

解：令ψ 朽 Px1x2且t2 朽 x2, t1 朽 a∴ ψ木t2/x1, t1/x2朩 朽 ψ木x2/x1, a/x2朩 朽 Px2a又ψ木t2/x1朩木t1/x2朩 朽 ψ木x2/x1朩木a/x2朩 朽 Px2x2木a/x2朩 朽 Paa∵ Px2a 6朽 Paa∴ ψ木t2/x1, t1/x2朩 6朽 ψ木t2/x1朩木t1/x2朩朮

2.2.6 归归归纳纳纳证证证明明明：：：对对对任任任意意意公公公式式式ψ,r(ψ(t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1)) = r(ψ).

证明机施归纳于公式ψ的秩r木ψ朩：1）））归归归纳纳纳基基基始始始：：：r木ψ朩 朽 朰时，ψ是原子公式，则ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩也是原子公式因此r木ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 朽 朰 朽 r木ψ朩朮2）））归归归纳纳纳推推推步步步：：：ψ是非原子公式，假设r木ψ朩 < k时r木ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 朽 r木ψ朩，现证r木ψ朩 朽 k时亦成立：木朱朩若ψ 朽 ¬ϕ根据秩的定义，r木ψ朩 朽 r木ϕ朩 末 朱又ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩 朽 ¬ϕ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩故r木ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 朽 r木ϕ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 末 朱根据归纳假设r木ϕ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 朽 r木ϕ朩∴ r木ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 朽 r木ϕ朩 末 朱 朽 r木ψ朩朮木朲朩若ψ 朽 ⊗xϕ 木⊗ ∈ {∀,∃}朩根据秩的定义，r木ψ朩 朽 r木ϕ朩 末 朱当x 朽 xi, 朰 ≤ i ≤ n− 朱时ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩 朽 ⊗xϕ木t0/x0, t1/x1, ..., ti−1/xi−1, ti+1/xi+1..., tn−1/xn−1朩故r木ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 朽 r木ϕ木t0/x0, t1/x1, ..., ti−1/xi−1, ti+1/xi+1, ..., tn−1/xn−1朩朩 末 朱当x 6∈ {xi|朰 ≤ i ≤ n− 朱}时ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩 朽 ⊗xϕ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩故r木ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 朽 r木ϕ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 末 朱根据归纳假设r木ϕ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 朽 r木ϕ朩∴ r木ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 朽 r木ϕ朩 末 朱 朽 r木ψ朩朮木朳朩若ψ 朽 ϕ1 � ϕ2 木� ∈ {∧,∨,→}朩根据秩的定义，r木ψ朩 朽 r木ϕ1朩 末 r木ϕ2朩 末 朱又ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩 朽 ϕ1木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩� ϕ2木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩故r木ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 朽 r木ϕ1木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩末r木ϕ2木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩末朱根据归纳假设r木ϕ1木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 朽 r木ϕ1朩r木ϕ2木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 朽 r木ϕ2朩∴ r木ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 朽 r木ϕ1朩 末 r木ϕ2朩 末 朱 朽 r木ψ朩朮综上所述，对任意公式ψ本r木ψ木t0/x0, t1/x1, ..., tn−1/xn−1朩朩 朽 r木ψ朩朮

2.2.7 检检检查查查以以以下下下情情情形形形是是是否否否可可可代代代入入入.对对对可可可代代代入入入的的的，，，写写写出出出代代代入入入结结结果果果.

朱）在¬x0 ≡ x1中，x0对x0；解：可代入，代入结果为：¬x0 ≡ x1朮

朲）在∃x0¬x0 ≡ x1 ∨ ∀x2P 21 x2x1中，f

21x3x2对x1；

解：不可代入，因为x1自由出现于∀x2的辖域中，而x2出现于代入项f21x3x2中朮

朳）在∃x0¬x0 ≡ x1 ∨ ∀x2∀x1P 21 x2x1中，f

21x3x2对x1朮

解：可代入，代入结果为：∃x0¬x0 ≡ f21x3x2 ∨ ∀x2x1P 21 x2x1朮

第第第三三三章章章 经经经典典典语语语义义义学学学

3.1 第第第六六六次次次作作作业业业（（（结结结构构构、、、解解解释释释、、、真真真值值值表表表）））

3.1.1 设设设语语语言言言Lar = {0, 1,+, ·}，，，其其其中中中0、、、 1为为为个个个体体体常常常项项项，，，+、、、 ·为为为二二二元元元函函函数数数符符符.试试试确确确

定定定Lar的的的一一一个个个有有有穷穷穷结结结构构构和和和一一一个个个无无无穷穷穷结结结构构构 （（（注注注意意意：：： 函函函数数数符符符号号号的的的解解解释释释必必必须须须对对对个个个体体体域域域封封封闭闭闭）））.在在在这这这两两两个个个结结结构构构中中中，，，按按按目目目前前前的的的直直直观观观理理理解解解，，，下下下面面面的的的Lar-项项项代代代表表表什什什么么么元元元素素素？？？Lar-公公公式式式表表表达达达什什什么么么命命命题题题？？？ +10; · 1 + 10; + ·101 ≡ 1

解：朱）Lar的一个有穷结构A 朽< A, 朰A, 朱A,末A, ·A >，其中：A 朽 {T, F}朰A是真值杆朱A是真值杔末A是A上的二元真值函数析取·A是A上的二元真值函数合取下面的项和公式分别表示：末朱朰：T；·朱 末 朱朰：T；末 · 朱朰朱 ≡ 朱：木杔合取杆朩再析取杔的值等于杔朮朲）Lar的一个无穷结构B 朽< B, 朰B, 朱B,末B, ·B >，其中：B 朽 N朰B是自然数朰朱B是自然数朱末B是自然数中的加法运算·B是自然数中的乘法运算下面的项和公式分别表示：末朱朰：朰加朱的值，即朱·朱 末 朱朰：：朱乘以（朱加朰）的积，即朱末 · 朱朰朱 ≡ 朱：（朱乘以朰）加朱的和等于朱朮

3.1.2 令令令设设设语语语言言言L≤ar = {0, 1,+, ·,≤}，，，其其其中中中0、、、1为为为个个个体体体常常常项项项，，，+、、、 ·为为为二二二元元元函函函数数数符符符,6为为为二二二元元元谓谓谓词词词.A = {A, 0A, 1A,+A, ·A,≤A}是是是一一一个个个L≤ar-结结结构构构，，，其其其中中中N是是是自自自然然然数数数集集集，，，0A、、、1Aı是是是数数数0和和和1，，，+A和和和·A是是是自自自然然然数数数的的的加加加法法法和和和乘乘乘法法法加加加法法法和和和乘乘乘法法法，，，≤A是是是自自自然然然数数数的的的不不不大大大于于于关关关系系系.A中中中赋赋赋值值值ρ使使使得得得ρ(x1) = 3,ρ(x2) = 2,ρ(x6) = 0,………在在在二二二者者者组组组成成成的的的新新新解解解释释释下下下，，，上上上面面面及及及下下下面面面的的的L≤ar-项项项的的的值值值是是是什什什么么么？？？公公公式式式的的的真真真值值值又又又如如如何何何？？？项项项：：：·+ x2x11, +x2 · x10, + ·+x2x1 · 01 + x60；；；公公公式式式:·+ x2x11 ≤ x6, ·+ x2x1 · 11 ≤ + + x2x21.

解：σ木·末 x2x1朱朩 朽 木σ木x2朩 末A σ木x1朩朩 ·A 朱A 朽木朲加朳）乘以朱朽朵朮

σ木末x2 · x1朰朩 朽 σ木x2朩 末A 木x1 ·A 朰朩 朽朲加（朳乘以朰）朽朲朮

σ木末 ·末x2x1 · 朰朱 末 x6朰朩 朽 木木σ木x2朩 末A σ木x1朩朩 ·A 木朰A ·A 朱A朩朩 末A 木σ木x6朩 末

A 朰A朩 朽（（朲加朳）乘以（朰乘以朱））末（朰加朰）朽朰朮

σ木·末 x2x1朱 ≤ x6朩 朽 木σ木x2朩 末A σ木x1朩朩 ·A 朱A ≤A σ木x6朩

即（朲加朳）乘以朱的积不大于朰，在上述解释中为假朮σ木·末 x2x1 · 朱朱 ≤ 末末 x2x2朱朩 朽 木σ木x2朩 末

A σ木x1朩朩 ·A 木朱A ·A 朱A朩 ≤A 木σ木x2朩 末A σ木x2朩朩 末

A 朱A

即（朲加朳）乘以（朱乘以朱）的积不大于（朲加朲）加朱的和，在上述解释中为真朮

朱朴

第三章 朳朮 经典语义学 朱朵

3.1.3 设设设语语语言言言L≤ar，，，解解解释释释σ =< A, ρ >如如如上上上题题题定定定义义义.请请请问问问下下下列列列L≤ar-公公公式式式∃x0x1 + x0 ≡ x0 · x2; ∀x0∃x1x0 ≤ x1分分分别别别表表表达达达什什什么么么命命命题题题?

解：朱）∃x0x1 末 x0 ≡ x0 · x2表达：存在a ∈ N, x1 末 x0 ≡ x0 · x2在σ木a/x0朩之下为真即：存在a ∈ N, σ木a/x0朩木x1朩 末A σ木a/x0朩木x0朩 朽 σ木a/x0朩木x0朩 ·A σ木a/x0朩木x2朩也就是：存在自然数a本木朳加a朩等于木a乘以朲朩朮朲）∀x0∃x1x0 ≤ x1表达：对所有a ∈ N存在b ∈ N, x0 ≤ x1在σ木a/x0朩木b/x1朩之下为真即：对所有a ∈ N存在b ∈ N 本σ木a/x0朩木b/x1朩木x0朩 ≤A σ木a/x0朩木b/x1朩木x1朩也就是：对所有自然数a，都存在一个自然数b小于等于a朮

3.1.4 用用用真真真值值值表表表证证证明明明以以以下下下两两两组组组公公公式式式等等等值值值:¬ϕ ∨ ψ,¬(¬¬ϕ ∧ ¬ψ); (ϕ→ ψ)→ ψ, ϕ ∨ ψ.

解： 朱）¬ϕ ∨ ψ,¬木¬¬ϕ ∧ ¬ψ朩的真值表如下：

ϕ ψ ¬ϕ ¬ϕ ∨ ψ杔 杔 杆 杔杔 杆 杆 杆杆 杔 杔 杔杆 杆 杔 杔

杔条杢杬来 朳朮朱机 ¬ϕ ∨ ψϕ ψ ¬¬ϕ ¬ψ ¬¬ϕ ∧ ¬ψ ¬木¬¬ϕ ∧ ¬ψ朩杔 杔 杔 杆 杆 杔杔 杆 杔 杔 杔 杆杆 杔 杆 杆 杆 杔杆 杆 杆 杔 杆 杔

杔条杢杬来 朳朮朲机 ¬ϕ ∨ ψ

¬ϕ ∨ ψ,¬木¬¬ϕ ∧ ¬ψ朩对应的真值表相同，所以两公式等值朮

朲）木ϕ→ ψ朩→ ψ,ϕ ∨ ψ的真值表如下：

ϕ ψ ϕ→ ψ 木ϕ→ ψ朩→ ψ杔 杔 杔 杔杔 杆 杆 杔杆 杔 杔 杔杆 杆 杔 杆

杔条杢杬来 朳朮朳机 木ϕ→ ψ朩→ ψϕ ψ ϕ→ ψ 木ϕ→ ψ朩→ ψ杔 杔 杔 杔杔 杆 杆 杔杆 杔 杔 杔杆 杆 杔 杆

杔条杢杬来 朳朮朴机 ¬ϕ ∨ ψ

木ϕ→ ψ朩→ ψ,ϕ ∨ ψ对应的真值表相同，所以两公式等值朮

第三章 朳朮 经典语义学 朱朶

3.2 第第第七七七次次次作作作业业业（（（联联联结结结词词词、、、量量量词词词）））

3.2.1 画画画出出出↔所所所表表表达达达的的的真真真值值值函函函数数数的的的真真真值值值表表表.证证证明明明：：：如如如果果果ϕ和和和ψ布布布尔尔尔等等等值值值，，，则则则¬ϕ↔ ¬ψ对对对应应应的的的真真真值值值函函函数数数其其其值值值恒恒恒等等等于于于T.

证明机根据定义，↔的真值函数的真值表即木ϕ→ ψ朩 ∧ 木ψ → ϕ朩的真值表朮木ϕ→ ψ朩 ∧ 木ψ → ϕ朩的真值表为：

ϕ ψ ϕ→ ψ ψ → ϕ 木ϕ→ ψ朩 ∧ 木ψ → ϕ朩杔 杔 杔 杔 杔杔 杆 杆 杔 杆杆 杔 杔 杆 杆杆 杆 杔 杔 杔

杔条杢杬来 朳朮朵机 木ϕ→ ψ朩 ∧ 木ψ → ϕ朩

因此↔的真值表为机

ϕ ψ ϕ↔ ψ杔 杔 杔杔 杆 杆杆 杔 杆杆 杆 杔

杔条杢杬来 朳朮朶机 ϕ↔ ψ

如果ϕ和ψ布尔等值，则ϕ ↔ ψ 朽 T，根据真值表，当ϕ ↔ ψ对应的真值函数等于杔时，¬ϕ ↔ ¬ψ对应的真值函数也等于杔，如下真值表：

ϕ ψ ϕ↔ ψ ¬ϕ ¬ψ ¬ϕ↔ ¬ψ杔 杔 杔 杆 杆 杔杔 杆 杆 杆 杔 杆杆 杔 杆 杔 杆 杆杆 杆 杔 杔 杔 杔

杔条杢杬来 朳朮朷机 ϕ↔ ψ和¬ϕ↔ ¬ψ

3.2.2 证证证明明明：：：公公公式式式ϕ ∧ (ψ → γ)↔ (ϕ ∧ ¬ψ) ∨ (ϕ ∧ γ)对对对应应应其其其值值值恒恒恒为为为T的的的真真真值值值函函函数数数.

证明机ϕ ∧ 木ψ → γ朩↔ 木ϕ ∧ ¬ψ朩 ∨ 木ϕ ∧ γ朩对应的真值函数的真值表如下：

第三章 朳朮 经典语义学 朱朷

ϕ ψ γ ϕ ∧ 木ψ → γ朩 木ϕ ∧ ¬ψ朩 ∨ 木ϕ ∧ γ朩 ϕ ∧ 木ψ → γ朩↔ 木ϕ ∧ ¬ψ朩 ∨ 木ϕ ∧ γ朩杔 杔 杔 杔 杔 杔杔 杔 杆 杆 杆 杔杔 杆 杔 杔 杔 杔杔 杆 杆 杔 杔 杔杆 杔 杔 杆 杆 杔杆 杔 杆 杆 杆 杔杆 杆 杔 杆 杆 杔杆 杆 杆 杆 杆 杔

杔条杢杬来 朳朮朸机 ϕ ∧ 木ψ → γ朩↔ 木ϕ ∧ ¬ψ朩 ∨ 木ϕ ∧ γ朩

因此，ϕ ∧ 木ψ → γ朩↔ 木ϕ ∧ ¬ψ朩 ∨ 木ϕ ∧ γ朩对应其值恒为杔的真值函数朮

3.2.3 设设设语语语言言言L≤ar = {0, 1,+, ·,≤},其其其中中中0, 1为为为个个个体体体常常常项项项，，，+, ·为为为二二二元元元函函函数数数符符符号号号，，，≤为为为二二二元元元谓谓谓词词词.A =< N, 0A, 1A,+A, ·A,≤A>是是是一一一个个个Lar-结结结构构构，，，其其其中中中N是是是自自自然然然数数数集集集，，，0A、、、1Aı是是是数数数0和和和1，，，+A和和和·A是是是自自自然然然数数数的的的加加加法法法和和和乘乘乘法法法加加加法法法和和和乘乘乘法法法，，，≤A是是是自自自然然然数数数的的的不不不大大大于于于关关关系系系.A中中中赋赋赋值值值ρ使使使得得得ρ(x1) = 0,ρ(x2) = 1,ρ(x5) = 2,等等等等等等.构构构造造造L≤ar-解解解释释释σ =< A, ρ >.试试试确确确定定定σ是是是否否否满满满足足足以以以下下下各各各公公公式式式：：：∀x1(¬(+x1x2 ≤ ·x1 + 01)→ ·x5x1 ≡ x2);∀x0∀x1∀x2(x0 ≤ x1 ∧ x1 ≤ x2 → x0 ≤ x2);∀x0∀x1(x0 ≤ x1 → ∃x2(x0 ≤ x2 ∧ x2 ≤ x1)).

解：朱）σ木∀x1木¬木末x1x2 ≤ ·x1 末 朰朱朩→ ·x5x1 ≡ x2朩朩 朽 F因为存在a ∈ N木如朰朩使得σ木a/x1朩木末x1x2 ≤ ·x1 末 朰朱朩 朽 a末A ρ木x2朩 ≤A a ·A 木朰A 末A 朱A朩 朽 F即σ木a/x1朩木¬木末x1x2 ≤ ·x1 末 朰朱朩朩 朽 T且σ木a/x1朩木·x3x1 ≡ x2朩 朽 ρ木x5朩 ·A a ≡ ρ木x2朩 朽 F所以根据解释满足公式的定义本σ不满足该公式朮朲）对任意自然数n,m, k,木n小于或等于m朩且木m小于或等于k朩蕴含木n小于或等于k朩即对任意n,m, k ∈ N, σ木n/x0朩木m/x1朩木k/x2朩木x0 ≤ x1 ∧ x1 ≤ x2 → x0 ≤ x2朩 朽 T也就是σ木∀x0∀x1∀x2木x0 ≤ x1 ∧ x1 ≤ x2 → x0 ≤ x2朩朩 朽 T根据解释满足公式的定义本σ满足该公式朮朳） ∵ 对任意自然数n,m木n小于或者等于m朩蕴含木存在k本木n小于或者等于k朩且木k小于或等于m朩朩即对任意自然数n,m ∈ N若σ木n/x0朩木m/x1朩木x0 ≤ x1朩 朽 T 本则存在k ∈ N, σ木n/x0朩木m/x1朩木k/x2朩木x0 ≤ x2 ∧ x2 ≤ x1朩 朽 T∴ σ木∀x0∀x1木x0 ≤ x1 → ∃x2木x0 ≤ x2 ∧ x2 ≤ x1朩朩朩 朽 T 根据解释满足公式的定义本σ满足该公式朮

3.2.4 设设设计计计L≤ar-公公公式式式，，，表表表达达达如如如下下下命命命题题题：：：1）））N中中中并并并非非非没没没有有有≤A-最最最小小小元元元;2）））N中中中有有有≤A最最最大大大元元元;3）））对对对每每每个个个自自自然然然数数数，，，并并并非非非只只只有有有一一一个个个自自自然然然数数数大大大于于于它它它;4）））对对对任任任意意意的的的n,m ∈ N，，，如如如果果果n ≤A m，，，则则则不不不存存存在在在r ∈ N，，，使使使得得得n+ r = m.

解：朱）李中并非没有≤A札最小元：∃x0∀x1木x0 ≤ x1朩朮朲）李中有≤A札最大元：∃x0∀x1木x1 ≤ x0朩朮朳）对每个自然数，并非只有一个自然数大于它：∀x0∃x1∃x2木¬木x1 ≤ x0朩 ∧ ¬木x2 ≤ x0朩 ∧ ¬木x2 ≡ x1朩朩朮朴）对任意的n,m ∈ N，如果n ≤A m，则不存在r ∈ N，使得n末 r 朽 m：∀x0∀x1木x0 ≤ x1 → ¬∃x2木末x0x2 ≡ x1朩朩朮