浙江大学控制科学与工程学系

信号与系统 Signals and Systems

第一章 信号与系统的基本概念

控制系网络课程平台：http://www.cse.zju.edu.cn/eclass/signal_system/

帐号：student; 密码：student

本章主要内容

（0）引言(Introduction)

（1）信号的基本概念

（2）连续时间与离散时间的基本信号

（3）复指数信号与正弦信号

（4）信号的运算与自变量变换

（5）系统的描述及系统的基本性质

2

3

复指数信号与正弦信号

连续时间复指数信号与正弦信号

(1)实指数信号

(2) 周期复指数信号和正弦信号

定义、性质、组合、重要性

(3)一般复指数信号

离散时间复指数信号与正弦信号

(1)实指数信号

(2) 周期复指数信号和正弦信号

定义、性质、组合、重要性

(3)一般复指数信号

4

复指数信号与正弦信号-数学基础回顾

直角坐标：

复数

极坐标：

欧拉公式：

Im

Re

z

x

y r

q

5

复指数信号与正弦信号

js

信号是变量的函数，可用数学公式或波形来描述，用基本信号

可构成许多其他的信号。复指数信号与正弦信号是常见基本信号。

上式中C和s为复数

由参数值不同，复指数信号又可分为

实指数信号

周期复指数信号和正弦信号

一般复指数信号

stCetx )(复指数信号的一般形式： ncanx ][

c,a为复数 a=eβ

ncenx ][

1.复数信号现实中不存在；

2.为什么关注这种信号？

6

连续时间信号—实指数信号（1）

stCetx )(

实指数信号定义（C、s都是实数）：

js

tCetx )(

分析：

*1 当t=0时， x(0)=C，所以C是t=0时指数信号的初始值

*2 若C为正实数(C>0)

σ>0 x(t)随t的增大而增大

σ<0 x(t)随t的增大而减小

σ=0 x(t)不随t变化 t

x(t)

C

σ>0 σ<0

σ=0

7

连续时间信号—实指数信号（2）

考虑σ>0:

σ2>σ1>0，x2(t)= Ceσ2t 变化快

考虑σ<0:

指数信号随时间单调变化的快慢程度与|σ|的程度有关

指数信号的重要性质：对其时间的微分和积分仍是指数形式

常用的是单边指数衰减信号（t<0, x(t)=0，且σ<0)

t

x(t)

C

σ1

σ2 σ1

σ2

σ2<σ1<0，|σ2|>|σ1|, x2(t)=Ceσ2t变化快

8

连续时间信号——周期复指数信号和正弦信号(1)

0,0 js

tjCetx 0)(

stCetx )(（1）定义：纯虚指数

)](cos[)cos()( poo ttCtCtx q

其中tp= –q/0––描述由相移q引起的时间延迟

正弦信号

tocos

tosin

tj oeRe

tj oeIm

Re–Real part

Im–Imaginary part

tocos

回顾: 欧拉公式

)sin(cos 000 tjte

tj

)(2

1sin 00

0

tjtjee

jt

)(2

1cos 00

0

tjtjeet

9

连续时间信号——周期复指数信号和正弦信号(2)

tjCetx 0)(

jtetx 2)(

兰色——x(t)的实部

绿色——x(t)的虚部

例如：

tjte jt sin2cos22

10

连续时间信号——周期复指数信号和正弦信号(3)

（2）性质：

1）周期性：

tjTjtjTtjeeee 0000 )(

10

Tje

,2,12

0

kk

T

基波周期： 0

0

2

T 基波频率： 00 2 f

0

0

1

Tf

2）正弦信号和余弦信号统称为正弦信号（两者仅在相位上相差π/2),

也是周期为2π/|ω0|的周期信号

)(

0000 Re

2cos

tjjtjjtjeAeeee

AtA

)(

0000 Im

2sin

tjjtjjtjeAeeee

AtA

tjCetx 0)(

11

连续时间信号——周期复指数信号和正弦信号(4)

4）周期信号，尤其是复指数信号和正弦信号——具有无限能量、

有限平均功率－－功率信号

000

2 000 1 TdtdteE

TTtj

period

12

1lim

20

T

T

tj

Tdte

TP

0lim NTEN

5）对周期复指数信号和正弦信号求微积分，仍然是同周期的复指

数信号和正弦信号。

3)ω0=0时 CCetxtj

0)(

对任意正值T都是周期的

常数信号的基波周期无定义

12

ttty 3sin4cos2)( )2(

)()()()( 321 txtxtxty xi(t)––正弦信号

周期 T1 T2 T3 T0

T0=? LCM––Lowest

Common Multiple

（3）正弦, 复指数信号的组合：

)5

1

3

1cos(4

2

1cos4

3

2sin2)( )1( tttty

例1-10 求组合信号y(t)的基波周期。

T1=3 T0 T2=4 T3=6

解：（1）T0=LCM(3, 4 ,6)=12

连续时间信号——周期复指数信号和正弦信号(5)

T1=2 T0 T2=2/3

解：（2） T0––不存在, 称为概周期或拟周期信号

13

连续时间信号——周期复指数信号和正弦信号(6)

（4）正弦,复指数信号的重要性：

— 周期信号Fourier级数(FS)

—非周期信号 Fourier变换(FT)

② 线性系统

谐波 谐波 （系统频域分析的基础）

谐波——概念来自音乐，由声压振动得到的各种音调其频率都是

某基波频率的整数倍。一组成为谐波关系的复指数信号的集合—

—即一组基波频率为某一正频率的整倍数的周期复指数信号。

① 任何信号都可由谐波的组合表示: ,2,1,0,)( 0 kettjk

k

k

T

k

0

0

2

基波周期： 基波频率： 0k

14

解：将和式的两个指数中的频率求得它们的平均值，然后作为公

共因子提出来

teeeetx tjtjtjtj 5.0cos2)( 5.25.05.05.2

ttx 5.0cos2)(

连续时间信号——周期复指数信号和正弦信号(7)

tjtj eetx 32)(

例1-11 (1)将两个复指数的和化成单一的复指数和单一的正弦函数

乘积的形式; 画出 的波形。 )(tx

t

)(tx

0

… …

4 2

2

15

连续时间信号——一般的复指数信号（1）

)sin()cos(

)(

00

)( 00

qq

qq

teCjteC

eeCeeCtx

tt

tjttjtj

分析：

1）σ=0， x(t)的实部和虚部都是正弦型的

2）σ>0， x(t)的实部和虚部的幅度呈指数增长的正弦信号，发散

3）σ<0， x(t)的实部和虚部的幅度呈指数衰减的正弦信号，衰减

qjeCC

0 js

一般的复指数信号： stCetx )(

将C用极坐标表示

s用直角坐标表示

16

连续时间信号——一般的复指数信号（2）

)sin()cos()( 00 qq teCjteCCetx ttst

实部——兰色 虚部——红色

例如：

0,2)( )41.0(1 tjetx 0,2)( )41.0(

2 tjetx

17

连续时间复指数信号与正弦信号:重点

特点:

② 0振荡

① 周期信号

,)()

2(

00

0

ktj

tjeetx

)( 0)(

q

tjetx定义：

基波周期： 0

0

2

T 基波频率： 00 2 f

)()()()( 321 txtxtxty xi(t)––正弦信号

周期 T1 T2 T3 T0

T0=? LCM––Lowest

Common Multiple

18

离散时间信号—实指数序列（1）

一般形式： ncanx ][ c,a为复数

a=e ncenx ][

stcetx )(连续:

实指数序列（c,a均为实数）

n

x[n]

0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3

a>1

c n

x[n]

0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3

a<-1

c

当|a|>1时，序列值随着n的增大而指数增长；

19

离散时间信号—实指数序列（2）

当1>|a|>0时，序列值随着n的增大而指数衰减；

n

x[n]

-2 -1 0 1 2 3 -3 -4 -5

1>a>0

c

n

x[n]

-2 -1 0 1 2 3 -3 -4 -5

0>a>-1

c

c … …

0 1 2 3 -1 -2 n

a=1 c … …

0 1 2 3 -1 -2 n

-c

a=-1

ncanx ][

a=1时，则can就是一个常数c； a= -1时，则can在+c和-c间交替变化

a>0时，则can所有值都有相同的符号；a<0时，则can的值符号交替变化

20

离散时间信号—周期复指数信号与正弦信号序列（1）

ncenx ][ 中β为纯虚数 β=jω0 纯虚指数序列 nj

cenx 0][

回顾重要的公式——欧拉公式

njnenxnj

00 sincos][ 0

考虑重要的序列——正弦序列

nAnx 0cos][

用复指数序列表示

nj

njnj

eA

eA

eA

nAnx

0

00

Re

22cos][ 0

njnjeen 00

2

1cos 0

njnjee

jn 00

2

1sin 0

n––无量纲

0––量纲为弧度(rad)

21

考虑时域周期性N

满足 )( Nnjnj oo

eenx

)2( mnjnj ooee

mN 20),

2(

0

mN m, NZ

0

2

必须是有理数(整数或有理分式)

0

2

无理数则为非周期

* 连续时间信号 是周期的，基波周期N0=2π/ω0对任何ω0都是周期的；

离散信号 不一定是周期信号

tje 0

nje 0

离散时间信号—周期复指数信号与正弦信号序列（2）

22

例1-12 确定下列信号是否周期的，若是，确定其基波周期。

);12/2cos(][ )1( nnx

12

2 )1( 0

mmN 12

12

2

2

若m取1,则 N=12

);31/8cos(][ )2( nnx )6/cos(][ )3( nnx

解：

31

8)2( 0

4

31

31

8

2

mmN

m取4, N=31

6

1)3( 0

mmN 12

6

1

2找不到mZ使NZ

故该信号是非周期的

离散时间信号—周期复指数信号与正弦信号序列（3）

23

例1-13 判断下列序列是否周期信号，若是，求出其基波周期N。

1)

6sin][1

kkf

60

12

1

2

0

是，N1=12

2)

6sin][2

kkf

6

10

12

1

2

0 f2[k]是非周期的

3) 以fs=8Hz进行抽样 ttf 6sin)(3 8

11

s

sf

T

ktfkf

kt 8

6sin)(][

8

133

8

3

2

86

2

0

是，N3＝8

离散时间信号—周期复指数信号与正弦信号序列（7）

24

例1-14 确定 的基波周期 njnj

eenx 43

32

][

解： nj

enx 3

2

1 ][

3

201

3

1

2

01

31 N

nj

enx 4

3

2 ][

4

302

8

3

2

02

82 N

][][][ 21 nxnxnx 的基波周期为（N1，N2）的最小公倍数24

正弦,复指数信号的组合：

LCM––Lowest

Common Multiple N0=LCM(N1, N2)=LCM(3, 8)=24

参见习题1.15

离散时间信号—周期复指数信号与正弦信号序列（9）

25

1）振荡频率不随ω0的增大而增大；2）频率相差2π整数倍的信号相同

njnkjnjnkjeeee 000 2)2(

2,8.1,5.1,2.1,8.0,5.0,2.0,0)sin()( 00 nnx

低频段

(π的偶数倍)

高频段

(π的奇数倍)

离散信号 nj

e 0

离散时间信号—周期复指数信号与正弦信号序列（5）

26

比较：连续信号 tje 0

1）不同的ω0表示不同的连续信号；2）ω0 越大，信号的振荡频率越高

8.1,5.1,2.1,8.0,5.0,2.0),sin()( 00 ttx

离散时间信号—周期复指数信号与正弦信号序列（6）

27

讨论: 0振荡

njnjnjnjeeee 000 2)2(

推广 ,2,1 ;)2( 00

kee

nkjnj

离散信号频域具有周期性

周期=2

nnjnj ee )1(,10 002或 -0<, :0nj

e

要点: 低频 0=0, 2, 4, …(的偶数倍附近) 高频 0= , 3, … (的奇数倍附近)

-

)(X

2 0 -2

低通滤波器

-

)(X

2 0 -2

高通滤波器

0= 0 0=达到峰值, 之后0 振荡速率直至0=2(与0=0相同)

离散时间信号—周期复指数信号与正弦信号序列（4）

是ω0的周期函数，周期为2π nje 0

在分析时，只需要分析ω0在2π间隔内即可：0≤ω0<2π，或 -π≤ ω0<π

注意

上述性质对正弦序列也同样成立

28

ω0 不同，信号不同 频率相差2π的整数倍，信号相同

对任何ω0 值都是周期的 仅当ω0=2πm/N时才是周期的。

N>0和m为整数

基波频率为ω0 基波频率为ω0/m

基波周期ω0=0时无定义， ω0 ≠0时

为2π/ω0

基波周期ω0=0时无定义， ω0 ≠0时

为m(2π/ω0)

tje 0 nj

e 0

连续信号 和离散信号 的比较 tje 0 nj

e 0

离散时间信号—周期复指数信号与正弦信号序列（8）

29

离散复指数信号与正弦信号——复指数序列集

tT

jk

e

0

2

连续时间复指数信号集中信号 对应不同的 k 是不同的信号

具有谐波关系的信号集 ,2,1,0][

2

kenn

Njk

k

离散时间复指数信号集中信号 仅有N个互不相同的复指数序

列（即N个谐波信号不相关）

nN

jk

e

2

][][ 2

22)(

neeen k

njn

Njkn

NNkj

Nk

1][0 n nN

j

en

2

1 ][ n

Nj

en

4

2 ][ n

N

Nj

N en1

2

1 ][

30

离散时间复指数信号与正弦信号:小结

][][][][ 321 nxnxnxnyxi[n]––正弦信号序列

周期 N1 N2 N3 N0 N0=?

定义： ,nj o

enx

)cos( q nAnx o

特点:

② 0振荡

① 不一定是周期信号

基波频率： m/0

当 0

2

是有理数时，信号是周期的， )

2(

0

0

mN N0>0和m为整数

N0=LCM(N1, N2 , N3)

注意与连续时间复

指数信号的区别！

31

ncanx ][ c,a均为复数 qjecc 0j

eaa

)sin()cos(

][

00

)( 00

qq

qq

nacjnac

eaceaecnx

nn

njnnjnj

1a 1a

离散复指数信号与正弦信号——复指数序列集

本章主要内容

（0）引言(Introduction)

（1）信号的基本概念

（2）连续时间与离散时间的基本信号

（3）复指数信号与正弦信号

（4）信号的运算与自变量变换

（5）系统的描述及系统的基本性质

32

33

信号的运算——主要内容

信号的基本运算

(1)信号相加

(2)信号相乘—乘法运算

(3)信号的微分与积分运算

34

信号的运算——信号的基本运算（1）

借助方框图是常用的方法

1）信号相加 x1(t)

x1[n]

x2(t) x2[n]

x(t)=x1(t)+x2(t)

x[n]=x1[n]+x2[n]

Σ

2）信号相乘

x1(t)

x1[n]

x2(t) x2[n]

y(t)=x1(t)×x2(t)

y[n]=x1[n]×x2[n]

35

3）信号的微分与积分（连续信号）

x(t) d/dt )(

)()( tx

dt

tdxty

)()(

tdt

td

)(

)(t

dt

tdu

x(t) ∫ )()()( 1 txdxty

t

)()( tudt

)()( td

t

信号的运算——信号的基本运算（2）

例1-15

36

例1-16 x1(t)与x2(t)如图所示，试求x1(t)x2(t)， x1(t)＋x2(t) 。

解： 如图所示

信号的运算——信号的基本运算（4）

37

t 1 2

1

x-1(t)

t 1 2

1

x'(t)

例1-17 求下列已知信号的微分和积分信号。

t

x(t)

1 2

1 (1)

(1)

强度为信号改变的增量 )2()2()1()1()(1 tuttuttx

)2()1()( tututx

)2()1()( ttdttdx

t

dx

)( 1t

21 t

2t

,0

,1t

,1

解: 求微分

求积分

信号的运算——信号的基本运算（5）

38

t 1

1

x'(t)

-1

例1-18 求所示信号的微分。

t

x(t)

1

1

t=0处有间断点，所以有个冲激；

冲激的幅度为1 解： 如图所示

( ) (1 )[ ( ) ( 1)]x t t u t u t

( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1)

( ) ( ) ( ) ( 1)

x t u t tu t t u t

dx t dt t u t u t

信号的运算——信号的基本运算（6）

39

基本概念—信号的自变量变换(P21)

（平移、反褶、展缩）

)()( tkxtx ncxnx ① 幅度缩放:

②幅度移位: )()( txktx nxcnx

③时间移位：

（平移） )()( 0ttxtx 0nnxnx

)()( 0ttxtx 0nnxnx

④时间反转：

（反褶） )()( txtx nxnx

⑤时间缩放（展缩） (尺度变换)

时间轴上压缩或拉伸

)()( txtx

1

1

拉伸倍 (例如磁带慢放)

压缩倍(例如磁带快放)

（沿 t 轴右移）

（沿 t 轴左移）

信号的整体运算

40

t

x(t+2)

-1 0 t

x(t-2)

1 2 4 3

例1-20 已知x(t)如图所示，画出 x(t+2)和x(t-2)。

t

x(t)

1 2

2 2 2

例1-21 已知x[n]如图所示，画出 x[n+2]。

n 0 1 2 3

1

3 2

-1 -2

x[n]

n -2 -1 0 1

1

3 2

-3 -4

x[n+2]

2 3

基本概念—信号的自变量变换(平移)

1) 信号的平移: 将信号x(t)/x[n]变化为x(t±t0)(t0>0) / x[n±n0](n0>0)

的运算。即将信号沿横轴（时间轴）平移。

解:

解:

41

t

x(-t)

-2 -1 1 0 2

2）信号的反褶: 将信号x(t)/x[n]变化为x(-t)/x[-n]的运算。即将x(t)

/x[n]以纵轴（t=0 / n=0）为中心作180°的翻转。

例1-22 已知x(t)和x[n]如图所示，画出 x(-t)和x[-n]的波形。

t

x(t)

1 2

2 2

n 0 1 2 3

1

3 2

-1 -2

x[n]

n -2 -1 0 1 -3

1

3 2

x[-n]

2

基本概念—信号的自变量变换(反褶)

解:

解:

42

基本概念—信号的自变量变换(平移+反褶)

t

x(t-1)

3 1 0

2

t

x(t+1)

1 0

2

-1

t

x(-t-1)

-3 0

2

-1

x(-t)

t

x(-t+1)

1 0

2

-1

t, t0

n, n0

同号左移,异号右移 t

x(t)

2 0

2

例1-23 已知 ，画出x(t+1),x(-t-1),x(-t+1),x(t-1)。

解:

43

t

x(2t)

2

0.5 0

压缩

t

x(t/2)

2

1 0 2

扩展

3-1）连续信号的尺度变换: 将x(t)变化到x(at)（a>0）的运算

0<a<1——则x(at)是将x(t)在时间轴上线性展宽1/a倍（扩展）

a>1 ——则x(at)是将x(t)在时间轴上线性压缩a倍（压缩）

例如：

基本概念—信号的自变量变换(尺度变换1)

t

x(t)

2

0 1

幅度不变!

44

t

f(t/2)

1

2 0 4 8

t

f(2t)

1

2 0 4 1

例1-24 已知 分别画出f(2t)和f(t/2)的波形。

else

tt

tf0

422

)2()(

解2：运用函数的基本定义

else

tt

else

tt

tf0

211

0

4222

)22()2(

else

tt

else

tttf

0

844

)4(

0

42

22

)22/()2/(

t

f(t)

1

2 0 4

基本概念—信号的自变量变换(尺度变换2)

解1：运用图解法

45

3-2）离散时间序列的尺度变换:是将原离散序列样本个数减少或增加（因为自变量只能是整数）。

基本概念—信号的自变量变换(尺度变换3)

信号的抽取(decimation): f[k] → f[Mk] (M为正整数)——在原

序列中每隔M-1个点抽取一点重新依次排序所构成的信号。

例如：

抽取

n 0 1 2

1

3 2

-1

x[n]

0.5

n 0 1 2

1 0.5

-1

x[2n]

序列长度缩短

46

基本概念—信号的自变量变换(尺度变换4)

else

mMkMkf

Mkf

0

][

信号的内插(interpolation): 在f[k]序列中相邻两序号间插入M-1

个零点值构成新序列。

例如：

n 0 1 2

1

3 2

-1

x[n]

0.5 内插

n 0 1 2

1

3 2

-1

x[n/2]

0.5

3 4 5 -2 -3

序列长度加长

47

基本概念—信号的自变量变换(尺度变换5)

例1-25 已知x[n]如图，求x[2n], x[n/2]。

n

x[n]

2 0

2

1

1 3

4

4

3

1

n

x[2n]

2 0

3

1

1

1 抽取

内插

解:

n

x[n/2]

2 0

2

1

4

4

3

1

6 8

零内插

1 3 5 7 9

x(t) x(at+b)

若a>0，则需要展缩、平移；

若a<0，则需要翻转、展缩、平移。

关键：变换前后端点函数值不变

)(1

)( ta

at 例外：

基本概念—信号的自变量变换

49

基本概念—信号的自变量变换(例题3-1)

例1-28 已知信号x(t)，求 )12

3( tx )1

2

3( tx,

t

x(t)

2 0

2

1 t

x(t+1)

1 0

2

-1 t

x(3t/2+1)

2/3 0

2

-2/3

t

x(-3t/2+1)

2/3 0

2

-2/3

左移1 压缩

反褶

t

x(3t/2)

4/3 0

2

2/3 t

x(3t/2+1)

2/3 0

2

-2/3

压缩

反褶 左移 2/3

解一：图解法

50

基本概念—信号的自变量变换(例题3-2)

例1-28 已知信号x(t)，求 )12

3( tx )1

2

3( tx,

t=0

t=1

t=2

tn=2/3

tn=0

tn=-2/3 t

x(t)

2 0

2

1 t

x(-3t/2+1)

2/3 0

2

-2/3

数学方法 3

12

nt t 解二:

本章主要内容

（0）引言(Introduction)

（1）信号的基本概念

（2）连续时间与离散时间的基本信号

（3）复指数信号与正弦信号

（4）信号的运算与自变量变换

（5）系统的描述及系统的基本性质

51

52

系统的描述与系统的基本性质——主要内容

系统的描述

线性时不变连续系统模型

线性时不变离散系统模型

系统的互连

系统的分类及其基本性质

53

基本概念——系统的表示

系统定义：广义上说，系统是由一组相互有联系的事物组成。

一个系统也可看作是一个过程，在其中输入信号被系统所变

换，或者说系统以某种方式对信号作出响应。

系统还是一个能实现某种功能的整体。对一组输入信号或数

据进行变换或处理的过程，并产生另一组信号或数据作为输

出。

例：RC电路，卫星通信系统……，可以是软件，也可以是硬件。

可以将系统看成是对信号进行某种变换或运算的电路或网络。

常见的方法是用方块图表示。

54

系统的描述—系统的模型

系统可以看做是一个过程，信号被该系统变换，或者说系统对

信号作出响应。

连续系统 连续时间系统 x(t) y(t)

离散时间系统 x[n] y[n] 离散系统

不同应用场合的系统往往都可用一个非常类似的数学模型来描述，

由此就可得到一种分析与设计系统的一般方法。任何模型均是代表了

一种理想化了的情况（在实际应用中应注意假设的适用范围) 。

常系数线性微分方程描述线性时不变连续系统

常系数线性差分方程描述线性时不变离散系统

55

C

R

+

–

y(t) x(t)

x(t)

t 0

y(t)

t 0

系统的描述—连续系统的模型

连续系统举例

1

一阶RC低通网络, 数学模型?

)()()(

txtydt

tdyRC )(

1)(

1)(tx

RCty

RCdt

tdy 一阶微分方程

1

( ) ( )( ) c

c

du t dy ti t C C

dt dt

56

系统的描述—离散系统的模型

例1-31 一个银行账户按月结余的金额y[n]与上月存款y[n-1]、

当月存款数x[n]有关，设月息1%。试给出x[n]与y[n] 的关系。

][]1[01.1][ nxnyny

离散系统举例

][]1[01.1][ nxnyny

解：列出常系数差分方程

写成一般形式：

][][][ nynyny zizs 系统响应的分解：

，由输入引起的响应态为：零状态响应，初始状 0][nyzs

应，由初始状态引起的响：零输入响应，输入为0][nyzi

。的输出为零输入响应

，则相应，开户后未存过款，即若开户时

][

0][0]0[

ny

nxy

zi

。零状态响应，由此产生的输出即为

个月存入，开户后第始状态为若开户时未存款，即初

][][

0

nynx

n

zs

57

系统的描述—模型通式

连续

n阶微分方程

)()()()(

)()()()(

)()(

)()(

txbtxbtxbtxb

tyatyatyaty

m

m

m

m

n

n

n

01

1

1

01

1

1

线性时不变 (LTI––Linear Time-Invariant)系统: ak, bk为常数

离散

][]1[][][]1[][ 101 mnxbnxbnxbNnyanyany mN

N阶后向差分方程 LTI系统: ak, bk为常数

58

系统的描述—系统的互联

1) 串联或级联系统

几个子系统首尾依次相接，前一个系统的输出是后一个系统的输入;

输入

x(t) 系统1 系统2 系统N

输出

y(t)

2) 并联系统：

子系统具有相同的输入，并

联后的输出是子系统的输出之和

3) 反馈系统：

系统1的输出是系统2的输

入，而系统2的输出又回到输入

端与外加的输入信号一起组成

系统1的真正输入

… …

系统1

系统2

系统N

Σ 输入

x(t)

输出

y(t) + 系统1

系统2

输出

y(t)

输入

x(t)

59

系统的分类及其基本性质——主要内容

线性系统和非线性系统

时变系统和时不变系统

增量线性系统

记忆系统与无记忆系统

因果性系统与因果系统

可逆性与可逆系统

系统的稳定性

60

系统的基本性质—线性/非线性（1）

线性系统与非线性系统

线性系统（连续/离散）的两个重要的性质：叠加性和齐次性

)()( 11 tytx sys

)()( 22 tytx sys

叠加性 )()()()( 2121 tytytxtx sys

齐次性(均匀性) )()( 11 tkytkx sys

*1 线性系统应该满足叠加原理

)()()()( 2121 tbytaytbxtax sys 连续系统

离散系统 ][][][][ 2121 nbynaynbxnax sys

*2 线性系统满足零输入零输出特性

;0)(0)(00 tytx sys 0][0][00 nynx sys

61

系统的基本性质—线性/非线性（2）

例1-32 判断下列系统是否为线性系统。

∫ 1）x(t) ( ) ( )t

y t x d

解：假设 1 1( ) ( );x t y t 2 2( ) ( )x t y t

1 2

1 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

t

t t

y t ax bx d

a x d b x d

ay t by t

1 2( ) ( ) ( )x t ax t bx t

线性系统

D 2）x[k] y[k]=x[k-1]

解：假设 1 1 1[ ] [ ] [ 1];x k y k x k 2 2 2[ ] [ ] [ 1]x k y k x k

1 2[ ] [ ] [ ] sysx k ax k bx k 1 2 1 2[ ] [ 1] [ 1] [ ] [ ]y k ax k bx k ay k by k

线性系统

积分器

延时器

62

系统的基本性质—线性/非线性（3）

解：3）

3） )()( 2 txty )(ln)( txty 4）

假设 );()( 11 tytx )()( 22 tytx

)()()( 21 tbxtaxtx

非线性系统

)()()()(

))(()()(2))((

)]()([)(

2

2

2

121

2

221

2

1

2

21

tbxtaxtbytay

tbxtbxtaxtax

tbxtaxty

解：4）、5）试试？

含常数项, x(t)或y(t), x[n]或y[n]的非线性函数非线性系统

( ) ( ) 2y t x t 5）

63

系统的基本性质—时变/时不变（1）

时不变系统的定义：*1 系统的行为特性不随时间而变化；

*2 输入输出特性不随输入的时间而变化；

*3 输入信号时移，输出信号产生同样的时移

)()( tytx sys 时不变系统 )()( 00 ttyttx sys

时不变系统 ][][ nynx sys ][][ 00 nnynnx sys

例1-33 判断下列系统是否为时不变系统

∫ 1）x(t) ( ) ( )t

y t x d

时不变系统 0( ) sysx t t

00

0 0( ) ( ) ( )t vt t t

x t d x v dv y t t

解:

64

系统的基本性质—时变/时不变（2）

∴原系统为时变系统

4

x1(t)

t 16

y1(t)=x1(t/4)

t

1

x2(t)=x1(t-1)

t 5 20

y2(t)=x2(t/4)

t 4

问这个系统是否是时不变系统？ )4

()()(t

xtytx Sys 例1-34

1 1 1( ) ( ) ( )4

Sys tx t y t x 2 1 0 2 2 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4

Sys t tx t x t t y t x x t 解:

原系统是一个扩展器

17

y1(t-1)=x1[(t-1)/4]

t 1

01 0 1 1 0 2( ) ( ) ( ) ( )

4 4

t t ty t t x x t y t

如果是时不变系统

例

65

系统的基本性质—时变/时不变（3）

D 2）x[k] y[k]=x[k-1]

3） ( ) sin( ( ))y t x t

4） ( ) sin ( )y t t x t

1 0 0[ ] [( ) 1] [ ]y k x k k y k k 0[ ] sysx k k 解: 时不变

系统

时不变系统 1 0 0( ) sin( ( )) ( )y t x t t y t t

0( ) sysx t t 解:

0 0 0( ) sin( ) ( )y t t t t x t t

1 0( ) sin( ) ( )y t t x t t 0( ) sysx t t 解: 时变

系统

5） [ ] [ ]y k k x k

0[ ] sysx k k 1 0[ ] [ ]y k kx k k

0 0 0[ ] ( ) [ ]y k k k k x k k

解: 时变系统

66

系统的基本性质—时变/时不变（4）

例1-35 设y[n]=2x[n]+3,判定系统的线性和时不变性。

3][2][][ 111 nxnynx

3][2][][ 222 nxnynx

解：

32232 2121 ][][])[][( nbxnaxnbxnax

bnbxanaxnbynay 3][23][2][][ 2121

][][ 21 nbxnax 非线性系统

线性方程不一定是线性系统

][ 01 nnx ][3][2 0101 nnynnx 时不变系统

67

例

)()(2)( txtytty

)()(2)(2)( 2 txtxtyty

][]2[][4][ nxnynyny

][2]1[2][ ][ nxnyny nx

线性,时变

非线性,时不变

非线性,时变

非线性,时不变

系统的基本性质—时变/时不变（5）: 复习

含缩放运算, x(t)或y(t)的系数含t, x[n]或y[n] 的系数含n 时变系统

含常数项, x(t)或y(t), x[n]或y[n]的非线性函数非线性系统

68

系统的基本性质—增量线性系统（1）

增量线性系统表示：

y0(t)

x(t) 线性系统

z(t) y(t)

对任何两个输入信号的响应之差和这两个信号之差成线性关系，

即满足差的线性：

)()( 11 tytx 增量线性系统

)()( 22 tytx 增量线性系统

)()()()()( 01011 tytkxtytzty

)()()()()( 02022 tytkxtytzty )()()()( 2121 txtxktyty

)()()()( 2121 txtxktyty

物理意义: 含独立源

初始条件不为零(非零状态系统, 非松弛系统)

( ) ( )y t k x t C

y[n]=kx[n]+C

例：

69

系统的基本性质—增量线性系统（2）

增量线性系统：

y0(t)

x(t) 线性系统

z(t) y(t)

分解原理 零状态线性(由输入决定)

零输入线性(由初始条件决定)

（广义线性系统）

70

系统的基本性质—记忆与无记忆系统

无记忆系统

一个系统的输出仅仅决定于该时刻的输入，如：

记忆系统

一个系统的输出与以前时刻的输入有关（输出与将来值有关也称记忆系统）。如：

][2][3][ 2 nxnxny

n

k

kxny ][][ ——累加器

]1[][ nxny ——延迟单元

][]1[][][][

1

nxnynxkxny

n

k

)()( tkxty

][][ nkxny 1k ，为恒等系统

)2()( tkxty

dx

Cty

t

)(1

)( ——积分器

71

系统的基本性质—因果与非因果系统(1)

因果系统——系统在任何时刻的输出只决定于现在以及过去的

输 入 ， 而 与 系 统 以 后 时 刻 的 输 入 无 关 ， 即 ：

y(t)=f(x(t),x(t-1),…)。输入激励是系统产生输出响应的

原因，而响应则是输入激励的结果。

非因果系统——不满足因果系统条件的系统。非因果性就意味

着系统的不可实现性，但存在非因果算法。

*1 无记忆系统 因果系统

*2 通常把从零时刻开始的信号称为因果信号，即

0)(,0 txt 时当

72

因果系统

非因果系统

0)(3)( ttfty f

0)1(2)( ttfty f

0)2(4)( ttfty f

例1-36 判定下列系统的因果性。

]1[][][ nxnxny

]1[][]1[3

1][ nxnxnxny

)()( txty

)1cos()1()( ttxty

解：

系统的基本性质—因果与非因果系统(2)

73

系统的基本性质—可逆性和可逆系统(1)

可逆系统必存在逆系统

当它与原系统串联时，将产生一个等于第一个系统输入的总的响应

系统 x(t) z(t)=x(t) y(t)

x[n] 逆系统

y[n] z[n]=x[n]

)(2)( txty 逆系统 )(2

1)( tytz

n

k

kxny ][][ 逆系统 ]1[][][ nynynz

可逆系统——对应不同的输入有不同的输出（一一对应关系）

)()()()( 2121 tytytxtx ，则必有即：若

恒等系统

74

不可逆系统——不同的输入有相同的输出

系统的基本性质—可逆性和可逆系统(2)

例如： );()( 2 txty ][][2

nxny

一些常用系统的逆系统

)()( 0ttxty )()( 0ttxty 逆系统：

t

dxty

)()(dt

tdxty

)()( 逆系统：

n

k

kxny ][][ ]1[][][ nxnxny逆系统：

]2[][ nxny 输出{1,4} 输入{1,2,4,5}

输入{1,3,4,8}

75

系统的基本性质—可逆性和可逆系统(3)

)()(

)()(2)()(

12

1212

tyty

txtxtxtx

但

，＝取

为不可逆系统故： )(sin)( txty

)(sin)( txty 例1-37 判定系统 的可逆性。

解：

可逆系统的典型应用: 编码, 解码

76

系统的基本性质—系统的稳定性(1)

稳定的系统

系统对有界输入的响应（输出）也是有界的(BIBO: Bounded

Input Bounded Output )。即：

][)1(][][ nunkunyn

k

)1()( txty例如：

不稳定的系统

系统对有界输入的响应（输出）是无界的。如：

outin )()( MtyMtx 时，当

77

系统的基本性质—系统的稳定性(2)

)()(;)();()()1( )(2 ttxtyetytxty tx (3) (2)

，系统稳定时，，当 22 )()()()( )1( MtyMtxtxty

，系统稳定时，，当 Mtx etyMtxety )()()( )2( )(

无界，系统不稳定，，取 )()(1)( )()( )3( ttutytxtutx

例1-38 判定下列系统的稳定性。

解：

78

线性系统: 满足叠加原理 齐次性

可加性

时不变系统: ][][ nynx

)()( tytx 则

)()( 00 ttyttx

][][ 00 nnynnx 若输入

(1)含常数项, x(t)或y(t), x[n]或y[n]的非线性函数非线性系统

(2)含缩放运算, x(t)或y(t)的系数含t, x[n]或y[n] 的系数含n 时变系统

若一个系统既是线性的，又是时不变的，称之为线性时不变

系统（LTI系统）。注意:

系统的分类及其基本性质：重点

79

系统的分类及其基本性质：重点

增量线性系统：＝带有初始状态的线性系统

无记忆系统: 当前的输出仅取决于当前的输入，一定是因果系统

因果系统: 当前输出仅取决于当前输入和/或过去的输入(与未来无关)

可逆系统: )()()()( 2121 tytytxtx ，则必有若

可逆系统, 必然有一个逆系统存在

系统的稳定性: outin )()( MtyMtx 时，当

80

本章小结

信号与系统的一些基本概念和性质

复指数信号与正弦信号的表示和特性;

单位冲激信号、单位阶跃信号及其他基本信号

的表示和特性；

信号的运算、分解，自变量变换；

系统的描述与重要性质如因果性、线性时不变、

稳定性等

第一章 结束

本章介绍了信号和系统的基本概念和基本性质，貌似

比较简单，实际上掌握这些内容对以后的学习非常重要。