第5 章...

第 5 章《無比例線新解》卷中與卷下之內容分析

83


《幾何原本》第十卷與《無比例線新解》卷上之末，都引出了「六和線」的

六種無理線段的概念，而卷中即從『合名線』的分類（定義）進而討論六『合名

線』的想法，並討論六『合名線』的分類與「六和線」可逆關係，進而在卷中的

後面引出「六較線」並討論「六較線」與「六和線」的共軛關係；而卷下一開始，

也同於卷中的『斷線』的分類（定義）進而討論六『斷線』的想法，並討論六『斷

線』的分類與「六較線」可逆關係，討論與「六較線」可公度的線段，最後討論

『斷線』與『合名線』的運算關係。

從前述所言，其實卷中與卷下，有相當強烈的對稱關係，故筆者在分析的時

候便將卷中與卷下合在一起於第五章討論。因其體例與卷上相同，於此便不再贅

言。

5.1 界說與定義

卷中與卷下各提出了六個定義來定義六個『合名線』與六個『斷線』，與卷

上不同的是，1Heath 版的做法也是如此：

「界說六則 Definitions II

定義十二（第一界）Definition 1.

《幾何原本》置有比例線及合名線，若合名線二分上正方之較積方邊，與

大分長短有等，又若大分所置比例線長短有等，則全線為第

一合名線。

定義十三（第二界）Definition 2.

《幾何原本》若小分與所置比例線長短有等，則全線為第二合名線。

定義十四（第三界）Definition 3.

《幾何原本》若大小二分與比例線長短俱無等，則全線為第三合名線。

定義十五（第四界）Definition 4.

《幾何原本》若合名線二分上正方之較積方邊，與大分長短無等，又若大

分與所置比例線長短有等，則為第四合名線。

1 Heath 版將卷上的定義，濃縮成四個定義。

從《幾何原本》第十卷到《無比例線新解》

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定義十六（第五界）Definition 5.

《幾何原本》若小分與比例線長短有等，則為第五合名線。

定義十七（第六界）Definition 6.

《幾何原本》若大小二分與比例線俱無等，則為第六合名線。」2

「定義十八（第一界）Definition 1.

《幾何原本》置有比例線及斷線，設大線與同宗線上正方之較積方邊，與

大線有等，而大線與所設之比例線有等，則為第一斷線。大線

即合名線之大分，同宗線即小分，斷線為二分之較

定義十九（第二界）Definition 2.

《幾何原本》若同宗線與所設之比例線有等，則為第二斷線。

定義二十（第三界）Definition 3.

《幾何原本》若大線同宗線，與所設之比例線皆無等，則為第三斷線。

定義二十一（第四界）Definition 4.

《幾何原本》設大線與同宗線上二正方之較積方邊，與大線無等，而大線

與所設比例線有等，則為第四斷線。

定義二十二（第五界）Definition 5.

《幾何原本》若同宗線與所設之比例線有等，則為第五斷線。

定義二十三（第六界）Definition 6.

《幾何原本》若大線同宗線，與所設之比例線皆無等，則為第六斷線。」3

由上可知，《幾何原本》將『合名線』與『斷線』分成六種狀況，各自滿足

符合的情況，而定成第 N 合名線與第 N 斷線，其實就量的觀點，確實需要『設計』特殊的情況來滿足其需要，而吳起潛利用數的觀點切入提出「無比例十三線，

一言以蔽之曰：『不盡根之平方根』而已，其中線為不盡根獨項之獨項方根，他

2 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 23a-23b。 3 引自上書，頁 36a-36b。


85

之六和六較線，則不盡根二項之方根也。」4更提出「用代數論十三線，可得一

般之法，以甲|

|

乙甲

|

|

乙甲

|

|

乙三式為其綱，而從二分上

較積方邊與大分有等或無等為其目，開方所得為六和六較線收其成，復益一四次

不盡根為中線，十三線盡於斯矣。」5在無代數可代，無無理數可用的時代，6此

為必要之設計，唯有如此才可依靠作圖的方式，找到所需的「六和六較線」。

5.2 卷中與卷下的內容分析

既然有相當程度的對稱性，且吳起潛先生也提「不盡根之平方根」，以下內

容分析，筆者便採用分進合擊的方式，加以論述，其中相對應的概念，會放在一

起討論，而「…」的內容與圖形延續著卷上的分析方式，7【討論】為 Heath 的分析與筆者的心得與看法。

5.2.1 如何找到定義中的『合名線』與『斷線』

卷中與卷下，於定義（界說）的後面，馬上放了六個應用問題（命題），分

別求「第 N 合名線」與「第 N 斷線」，如：「問題十三（第四十九題）X.48

《幾何原本》求第一合名線。

辛

庚己

乙丙甲

丁

戊

法曰：置甲丙丙乙二數，令總數甲乙與乙丙比，若二平方數

比，與甲丙比，非若二平方數比，本卷三十題一例系又置有比例線

丁，令戊己與丁長短有等，則戊己有比例線，本卷上界說六又令

甲乙與甲丙比，若戊己與己庚之二正方比，本卷六系則戊己己

庚之兩正方有等。本卷六惟戊己有比例，所以己庚亦有比例，

甲乙與甲丙比，既非若二平方數比，則戊己與己庚之二正方

比，亦非若二平方數比，所以戊己與己庚長短無等，本卷九故

戊己己庚為僅正方有等之二比例線，而戊庚為合名線，本卷三

十七亦為第一合名線。

4 引自吳起潛，《無比例線新解》卷首揭論，頁 1a。 5 引自上書卷首揭論，頁 1b。 6 歐幾里得所處的時代。 7 標楷體為《幾何原本》的內容；新細明體為《無比例線新解》的內容。


86

論曰：甲乙與甲丙二數比，既若戊己與己庚之二正方比，而

甲乙大於甲丙，則戊己之正方大於己庚之正方，設己庚與辛

之兩正方和，與戊己之正方等，甲乙與甲丙比，既若戊己與

己庚之二正方比，則甲乙與乙丙比，若戊己與辛之二正方比。

本卷十九系惟甲乙與乙丙比，若二平方數比，故戊己與辛之兩正

方比，若二平方數比，而戊己與辛長短有等，本卷九所以戊己

之正方，大於己庚之正方，其較積方邊，與戊己有等。惟戊

己己庚為有比例線，而戊己與丁長短有等，是以戊庚為第一

合名線。8本卷中界說一

《無比例線新解》

法先設叮＝寅，次設呷＝甲，＝乙。俱與叮

有等，而於合名線令呷為大分，為二分上較積方

邊，則小分＝二二甲乙Τ ＝。此二分為僅正方有等有比

例線，合之得呷＝甲⊥ 二二甲乙Τ ，為第一合名線。

如以數明之，命叮＝二，而呷＝八，＝六，

則＝二八，而呷＝ ⊥八二八，為第一合名

線。9」

【討論】設 kρ 與已知有理線段 ρ ，是長度可公度的。取兩數 , m n。使 2 2m n− 不是完全平方數。

求一線段 x 使得滿足比例式 2 2 2 2 2 2: ( ) :m m n k xρ− = 。

於是2 2

21m nx k km

ρ ρ λ−= = − 。

命題證明了 21k kρ ρ λ+ − 是一個第一二項線。10

吳起潛的如以數明之，似乎更容易理解第一二項線（合名線）的意思。

接著看看斷線的例子：

8 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷中，頁 1a-2a。 9 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 23b。 10 參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII），pp.103-104。

叮


87

「問題十九（第八十六題）X.85

《幾何原本》求第一斷線。

丙庚

丁己戊

乙

辛

甲

法曰：置有比例線甲，令乙庚與甲長短有等，則乙庚亦為有

比例線，又置戊丁、戊己二平方數，令其較丁己非平方數，

本卷三十題一例系則戊丁與丁己比，非若二平方數比，又令戊丁與

丁己比，若乙庚與庚丙之二正方比，故乙庚與庚丙之二正方

有等。本卷六惟乙庚之正方有比例，所以庚丙之正方亦有比例，

而庚丙為有比例線。又戊丁與丁己比，非若二平方數比，則

乙庚與庚丙之二正方比，亦非若二平方數比，本卷九故乙庚與

庚丙長短無等，而皆有比例，故乙庚庚丙為僅正方有等二比

例線，所以乙丙為斷線。本卷七十四為第一斷線者，試置辛之正

方為乙庚庚丙之二正方較，戊丁與丁己比，既若乙庚與庚丙

之二正方比，則轉理，戊丁與戊己比，若乙庚與辛之二正方

比。五卷十九系惟戊丁與戊己比，若二平方數比，則乙庚與辛之

二正方比，亦若二平方數比，故乙庚與辛長短有等，本卷九而

乙庚庚丙之二正方較，即辛之正方，故乙庚庚丙上二正方之

較積方邊，與乙庚有等。又大線乙庚，與所設之有比例線甲

有等，故乙丙為第一斷線。11本卷下界說一


法先設有比例線叮，其數為寅，次設呷等於甲，

等於乙。俱與叮＝寅有等，而於斷線令呷＝大分，

＝二分上較積方邊，則同宗分＝二二甲乙Τ ＝。

此二分為僅正方有等有比例線，其較呷＝甲

⊤ 二二甲乙Τ ，為第一斷線。

11 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 1a-2a。

叮


88

如以數明之，命叮＝二，而呷＝八，＝六，則

＝二八，而呷＝八⊤ 二八，為第一斷線。12」

【討論】設 kρ 與已知有理線段 ρ ，是長度可公度的。取兩數 , m n。使 2 2m n− 不是完全平方數。

求一線段 x 使得滿足比例式 2 2 2 2 2 2: ( ) :m m n k xρ− = ， (1)

於是 2 2

21m nx k km

ρ ρ λ−= = − 。

那麼 21k x k kρ ρ ρ λ− = − − 是一個第一餘線。

因為：1. 由(1)知 x 是有理的，但與 kρ 不可公度，因此 kρ 、 x 都是有理的且∼，於是 k xρ − 是一個餘線。 2. 如果 2 2 2 2y k xρ= − ，那麼由(1)得 2 2 2 2 2: :m n k yρ= ，從而

2 2 2y k xρ= − 與 kρ 是長度可公度的。

又 kρ ⌢ ρ 。

所以 21k x k kρ ρ ρ λ− = − − 是一個第一餘線。

顯然它和第一二項線 21k kρ ρ λ+ − （X.48）是方程式

2 2 2 22 0x k x kρ λ ρ− + = 的根。13 吳起潛的如以數明之，似乎更容易理解第一餘線的意思。

在這兩個問題之後，類似的觀念也應用到「第 N 合名線」與「第 N 斷線」的各五個命題之中，從 Heath 的分析看出「第 N 合名線」與「第 N 斷線」是滿足某個二元二次方程式的共軛的無理根，不管是「第 N 合名線」與「第 N 斷線」吳起潛的「如以數明之」，確實對學習者提供了很好切入的點。

5.2.2 有比例線與「第 N 合名線」與「第 N 斷線」成矩形等面正方之邊無比例，為「六和線」與「六較線」

由 5.2.1 知可求出「第 N 合名線」與「第 N 斷線」，接著看看這些設計好的無理線段，乘上 k（有理）倍後，開方可得「六和線」與「六較線」，歐幾里得利用這些設計好的無理線段，利用作圖的模式，將「六和線」與「六較線」，不

論是李善蘭與 Heath 在做翻譯或分析的時候都還是忠於原味，沒有做太大的變

12 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 36b。 13 參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII），p.179。


89

動，而吳起潛於卷首揭論「以甲|

|

乙甲

|

|

乙甲

|

|

乙三式為

其綱，而從二分上較積方邊與大分有等或無等為其目，開方所得為六合六較線收

其成。」14看得出吳氏的代數功力與幾何的連結能力：「定理三十七（第五十五題）X.54

《幾何原本》有比例線與第一合名線成矩形，等面正方之邊無比例，為合

名線。

巳

卯寅

未

丑

午

辰子辛

庚己

丙壬

戊丁

乙

甲

申

解曰：甲乙丙丁矩形，甲乙為有比例線，甲丁為第一合名線，

題言等甲丙面正方之邊無比例，亦為合名線。

論曰：甲丁既為第一合名線，於戊點分為二分，甲戊為大分，

則甲戊戊丁為僅正方有等之二比例線，而甲戊戊丁上之較積

方邊，與甲戊長短有等，又甲戊與有比例線甲乙長短亦有等，

本卷中界說一平分戊丁於己，甲戊與戊丁上二正方之較積方邊，

既與甲戊長短有等，則大分甲戊上少一正方之矩形，與小分

正方四分之一即戊己之正方等，則甲戊必分於庚，為二有等

線，本卷十八故甲戊線上甲庚庚戊之矩形，與戊己之正方等，六

卷二十八而甲庚與庚戊長短有等，次於庚戊己三點，與甲乙丁

丙平行，作庚辛戊壬己子三線。又另作申寅正方，與甲辛矩

形等，二卷十四寅己正方與庚壬矩形等，令丑寅寅卯為一直線，

則未寅寅辰亦為一直線，一卷十四補成申巳形，必為正方，本題

例甲庚庚戊之矩形，既與戊己之正方等，則甲庚與戊己比，

若戊己與戊庚比，六卷十七故甲辛與戊子比，若戊子與壬庚比，

六卷一而戊子為甲辛庚壬二矩形連比例中率。惟申寅正方，與

甲辛矩形等，寅巳正方，與庚壬矩形等，故戊子為申寅寅巳

二正方連比例中率。惟丑未為申寅寅巳連比例中率，本題例所

以丑未與戊子等。惟丑未與辰卯等，一卷四十三而戊子與己丙

等，一卷三十六故戊丙與丑未辰卯和等。惟甲辛庚壬二矩形和，

14 引自吳起潛，《無比例線新解》卷首揭論，頁 1b。


90

與甲寅寅巳二正方和等，故甲丙與申巳等，即與丑卯之正方

等，丑卯為合名線者。蓋甲庚與庚戊既有等，則既有等，則

甲庚庚戊各與甲戊有等。本卷十六惟所設甲戊與甲乙長短有

等，故甲庚庚戊各與甲乙有等。本卷十二惟甲乙有比例，故甲

庚庚戊俱有比例，所以甲辛庚壬亦有比例，本卷二十而甲辛與

庚壬有等。本卷十惟甲辛與申寅等，而庚壬與寅巳等，故申寅

寅巳二正方，即丑寅寅卯之二正方，皆有比例，且亦有等，

甲戊與戊丁既長短無等，而甲戊與甲庚有等，丁戊與戊己有

等，本卷三十七則甲庚與戊己長短無等，故甲辛與戊子無等。惟

甲辛與申寅等，而戊子與丑未等，故申寅與丑未無等。惟申

寅與丑未比，若辰寅與寅未比，故辰寅與寅未無等。本卷十惟

辰寅與丑寅等，而寅未與寅卯等，故丑寅與寅卯無等，而丑

寅與寅卯之二正方皆有比例，且有等，本論故丑寅與寅卯為僅

正方有等之二比例線，而丑卯為合名線，其正方與甲丙矩形

等。15本卷三十七


解有比例線為寅，而 □呷＝ ( )⊥ 二二寅甲甲乙Τ (呷)，

此求其方邊，準代數無理數理，命 ( ⊥ 二二寅甲甲乙Τ ＝

⊥天地，則天⊥地＝寅甲＝□呷 ⊥□ ，

四天地＝ ( )二二二寅天地Τ ，從此天⊤地＝寅乙，故天＝

( )⊥寅甲乙二

＝□呷，地＝ ( )寅甲乙二

Τ＝□ ，則

呷＝( )⊥寅甲乙

二⊥ ( )寅甲乙

二

Τ 無比例，從（呷），其

正方亦無比例，為合名線。

15 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷中，頁 9a-11a。

叮


91

如以數明之，命 □呷＝ ( )⊥二八二八，則呷＝

⊥一四二，為合名線。16」

【討論】設 ρ 為有理線段，而第一二項線為 21k kρ ρ λ+ − 。

求證 ( )21k kρ ρ ρ λ+ − 為一個二項線。我們用代數加以證明：

( ) ( )221 1 12kk kρ ρ ρ λ ρ λ λ+ − = + + −

( ) ( )1 12 2k kρ λ ρ λ= + + − 。

顯然 ( ) ( )1 12 2k kρ λ ρ λ+ −∼ 。

故 ( )21k kρ ρ ρ λ+ − 為一個二項線。17

同理，『斷線』的情形也是如此：「定理六十八（第九十二題）X.91

《幾何原本》有比例線與第一斷線成矩形，則等面正方之邊，為斷線。

地

人

天

酉

申巳

午

卯辰丑

寅

子壬辛乙丙

己丁戊庚甲

未

16 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 25a-25b。 17 參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII），pp.122-123。


92

解曰：有比例線甲丙，與第一斷線甲丁，成甲乙矩形。題言

等甲乙面正方之邊為斷線。

論曰：甲丁既為第一斷線，設庚丁為其同宗線，則甲庚庚丁

為僅正方有等之二比例線，甲庚與所設之有比例線甲丙長短

有等，而甲庚庚丁上二正方之較積方邊與甲庚長短有等，本卷

下界說一故甲庚上作少一正方之矩形，等於丁庚正方四分之

一，則必分甲庚為長短有等之二分，本卷十八平分丁庚於戊，

甲庚上少一正方之矩形，即甲己己庚之矩形，與戊庚之正方

等，則甲己與己庚長短有等。次從戊己庚三點，作戊辛己壬

庚子三線，與甲丙平行，甲己與己庚，既長短有等，則甲庚

與甲己己庚，皆長短有等。本卷十六惟甲庚與甲丙有等，故甲

己己庚，皆與甲丙有等。本卷十二惟甲丙有比例，故甲己己庚，

皆有比例，而甲壬己子皆為有比例面，本卷二十又丁戊與戊庚，

既長短有等，則丁庚與丁戊戊庚皆有等，而丁庚為有比例線，

與甲丙長短無等，則丁戊戊庚皆有比例，而與甲丙長短無等，

所以丁辛戊子皆為中面。本卷二十二作丑寅正方，令與甲壬矩形

等，二卷十四截丑辰寅公角上卯午正方，令與己子矩形等，則

丑寅午卯為同對角線之二正方，以辰未為對角線，而作圖，

甲己己庚之矩形，既與戊庚之正方等，則甲己與戊庚比，若

戊庚與己庚比。六卷十七惟甲己與戊庚比，若甲壬與戊子二面

比，而戊庚與己庚比，若戊子與己子二面比，六卷一故戊子為

甲壬己子連比例中率，又寅卯為丑寅卯午連比例中率，本卷五

十五題例而甲壬矩形，與丑寅正方等；己子矩形，與卯午正方

等，所以寅卯與戊子等。惟戊子與丁辛等，一卷三十七而寅卯與

丑午等，一卷三十四所以丁子面，與天地人磬折形加卯午正方

等，18而甲子面，與丑寅卯午二正方之和等，故餘面甲乙，

與申酉正方等，即與丑卯之正方等，所以丑卯為等甲乙面正

方之邊。其為斷線者，蓋甲壬己子既皆為有比例面，而與丑

寅卯午二正方等，則丑寅卯午必為有比例面，即丑辰辰卯之

二正方為有比例面，又丁辛矩形，既為中面，而與丑午等，

則丑午亦為中面，丑午既為中面，而卯午為有比例面，則丑

午與卯午無等，而丑午與卯午比，若丑辰與辰卯比，六卷一故

丑辰與辰卯長短無等，本卷十而皆有比例，故丑辰辰卯為僅正

方有等之二比例線，而丑卯為斷線，其正方與甲乙面等，本卷

七十四故等甲乙面正方之邊，為斷線。19

18 「天地人磬折形」為折尺形。 19 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 8b-10b。


93


解有比例線為寅，而 □呷＝寅(甲⊤ 二二甲乙Τ )(呷)，

此求其方邊命 ( )=二二寅甲甲乙天地Τ Τ Τ ，則得

天⊥地＝寅甲＝□呷 ⊥□ ，四天地＝ ( )二二寅甲乙Τ ＝

(□叮 ⊥□ ) 二，從此天＝ ( )⊥寅甲乙二

＝□呷，

地＝( )寅甲乙

二

Τ＝□ ，故呷＝ ( )⊥寅甲乙

二⊤

( )寅甲乙二

Τ 無比例，從(呷)，其正方亦無比例，為斷線。

如以數明之，命 □呷＝ ( )二八二八Τ ，則呷＝

一四⊤ 二，為斷線。20」

【討論】設 ρ 是有理線段，第一餘線為 21k kρ ρ λ− − （X.85），求證

( )21k kρ ρ ρ λ− − 是一個餘線。因為 ( )21 (1 ) (1 )2 2

k kk kρ ρ ρ λ ρ λ ρ λ− − = + − − 。

我們可以證明 (1 ) (1 )2 2k kρ λ ρ λ+ − − 是一個餘線。

它和二項線 (1 ) (1 )2 2k kρ λ ρ λ+ + − （X.54）是方程式

4 2 2 2 2 42 0x k x kρ λ ρ− + = 的根。21

20 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 37b-38a。 21 參閱 Heath, Euclid: The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII），pp.193-194。

叮


94

吳起潛的如以數明之，似乎更容易理解此定理(命題)的意思。

由這兩個定理及 Heath 的分析不難看出，其實「六和線」與「六較線」為對某一元四次方程式的共軛無理根，如果說「第 N 合名線」與「第 N 斷線」為某一元二次方程式的共軛無理根的話，那那再將此共軛無理根開根號即得「六和線」

與「六較線」，指示吳起潛利用了之前求「第 N 合名線」與「第 N 斷線」的數據，利用數字，做個運算，等於做個驗算(證)，看起來似乎會使得讀者更清楚掌握，這兩組共軛無理數之間的關連。

5.2.3 凡有比例線上矩形，與「六和線」與「六較線」之正方等，則矩之餘邊為「第 N 合名線」與「第 N 斷線」。

接著的各六個定理（命題），可說是前定理之逆定理（命題），其內容便是將

「六和線」與「六較線」平方後，等於一有理邊之矩形，則其餘邊為「第 N 合名線」與「第 N 斷線」，歐幾里得利用作圖的想法，但吳起潛的代數思維在此得到的學習回饋應遠大於歐幾里得才對；「定理四十三（第六十一題）X.60 定理三十七之逆

《幾何原本》凡有比例線上矩形，與合名線之正方等，則矩之餘邊，為第

一合名線。

乙丙

卯辛

壬寅

己子戊

丑庚丁

甲

解曰：甲乙為合名線，於丙點分為二分，甲丙為大分，置丁

戊有比例線，其上作丁戊己庚矩形，與甲乙之正方等，其餘

邊為丁庚，題言丁庚為第一合名線。

論曰：丁戊有比例線上作丁辛矩形，與甲丙之正方等，又作

壬子矩形，與乙丙之正方等，一卷四十五則甲乙正方中餘面倍甲

丙丙乙之矩形，與丑己矩形等，二卷四平分丑庚於寅，作寅卯

線，與丑子庚己平行，則丑卯寅己二矩形，各與甲丙丙乙之

矩形等，甲乙既為丙點所分之合名線，則甲丙丙乙為僅正方

有等之二比例線，本卷三十七故甲丙丙乙之二正方有比例，而相

與有等，又甲丙丙乙之二正方和，與甲丙丙乙之二正方各有

等，本卷十六故甲丙丙乙之二正方和有比例，與丁子矩形等，


95

則丁子為有比例線丁戊上之有比例面，故丁丑有比例，而與

丁戊長短有等，本卷二十三又甲丙丙乙既為僅正方有等之二比例

線，則倍甲丙丙乙之矩形，即丑己矩形為中面，因在丑子即

戊丁有比例線上，故丑庚有比例，而與丑子長短無等。本卷二

十三惟丁丑有比例，而與丁戊長短有等，故丁丑與丑庚長短無

等。本卷十三惟俱有比例，故丁丑丑庚為僅正方有等之二比例

線，而丁庚為合名線，本卷三十七為第一合名線者，蓋甲丙丙乙

之矩形，既為甲丙丙乙之二正方連比例中率，本卷五十五例則丑

卯為丁辛壬子二矩形連比例中率，故丁辛與丑卯比，若丑卯

與壬子比，即丁壬與丑卯比，若丑寅與丑壬比，六卷一故丁壬

丑壬之矩形，與丑寅之正方等，六卷十七又甲丙丙乙二正方既

有等，則丁辛壬子二矩形亦有等，本卷十四故丁壬與壬丑長短

有等，夫甲丙丙乙之二正方和，既大於倍甲丙丙乙之矩形，

本題例則丁子矩形，大於丑己矩形，所以丁丑大於丑庚，而丁

壬壬丑之矩形，與丑寅之正方等，即與丑庚上正方四分之ㄧ

等，而丁壬壬丑長短有等，本論凡二不等線，其大線上作少一

正方之矩形，與小線上正方四分之ㄧ等，而大線所分之二分

長短有等，則二線上正方之較積方邊，必與大線有等，本卷十

八又丁丑丑庚為有比例線，丁丑為大線，與所設之有比例線

丁戊有等，本論故丁庚為第一合名線。22本卷中界說一


解有比例線＝寅，而令□呷＝寅天＝

( ) ( )⎛ ⎞⊥⊥⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

二

寅甲乙寅甲乙

二二

Τ＝ ×呷，然則

呷＝天＝甲⊥ 二二甲乙Τ ，其大分甲較積方邊乙皆有比

例，故此為第一合名線。

如以數明之，命＝二，□呷＝ ( )⊥ 二一四二＝

( )⊥二八二八，則呷＝ ⊥八二八，為第一合名線。23」

22 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷中，頁 18a-19b。 23 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 27a-27b。


96

【討論】從此命題開始的以下六個命題，分別是 X.54~X.59 的逆命題。我們求證 X.36~X.41 的無理線段上正方形分別等於一個有理線段和第一、第二、第三、第四、第五以及第六二項線構成的矩形。

X.60 為若σ 為有理線段， kρ ρ+ 為二項線（X.36），求證( )2kρ ρ

σ

+為

第一二項線。取三個線段 , , x y z 使得滿足：

2xσ ρ= ； 2y kσ ρ= ； 22 2z kσ ρ⋅ = ⋅ 。

2ρ ， 2kρ 顯然為原二項線兩段的平方，而 22 k ρ⋅ 是兩段構成的矩形的

二倍。

於是 ( )( )2

2k

x y zρ ρ

σ

++ + = 。

歐幾里得分兩步證明，首先證 ( ) 2x y z+ + 是一個二項線，再證它是一個

第一二項線。

1. 因為 kρ ρ∼ ，於是 2 2, kρ ρ 是有理的且可公度，所以 2 2kρ ρ+ 或者

( )x yσ + 是一個有理面。

因此 ( )x y+ 是有理的且⌢σ 。 (1)

其次 2 kρ ρ⋅ 是一個中項面，於是 2zσ ⋅ 是中項面。

因此 2z 是有理的，但∼σ 。 (2)

由(1)(2) ( )x y+ ， 2z 是僅正方可公度的兩有理線段。 (3)

所以 ( ) 2x y z+ + 是一個二項線。（X.36）

2. 因為 2 2 2 2: :k k kρ ρ ρ ρ= ，於是 : :x z z yσ σ σ σ= ，

: :x z z y= ，或者 ( )22 1 24

xy z z= = 。 (4)

而 2 2 , kρ ρ 是可公度的，於是 , x yσ σ 是可公度的，所以 x⌢y。 (5)


97

由引理 2 2 22k kρ ρ ρ+ > ，即 2x y z+ > (6)

但是 2 2kx y ρ ρσ+

+ = (7)

所以由(4)(5)(7)和 X.17

( ) ( )2 22x y z+ − ⌢ ( )x y+ (8)

由(3)，(6)，(8)，(1)知 ( ) 2x y z+ + 是一個第一二項線。

( ) 2x y z+ + 的實際形式為 ( )2

1 2k kρσ

+ + 。24

其它的「第 N 合名線」的狀況亦同，而「第 N 斷線」：「定理七十四（第九十八題）X.97 定理六十八之逆

《幾何原本》有比例線上作矩形，與斷線之正方等，其餘邊為第一斷線。

解曰：甲乙為斷線，丙丁為有比例線，丙丁上作丙戊矩形，

與甲乙之正方等，餘邊為丙己，題言丙己為第一斷線。

子辛卯戊丁

壬己寅丑

乙庚甲

丙

論曰：設甲乙與乙庚同宗，則甲庚庚乙為僅正方有等二有比

例線，本卷七十四丙丁上作丙辛矩形與甲庚之正方等。又作壬子

矩形與乙庚之正方等，一卷四十五則丙子與甲庚庚乙之二正方和

等，其丙戊面與甲乙之正方等，故於己子面，與倍甲庚庚乙

之二矩形等，二卷七平分己丑於寅，作寅卯線，與丙丁平行，

則已卯子寅，俱與甲庚庚乙之矩形等。又甲庚庚乙之二正方，

既為有比例面，而丙子矩形，與甲庚庚乙之二正方等，則丙

子為有比例線丙丁上之有比例面，其餘邊為丙丑，故丙丑有

比例，與丙丁長短有等。本卷二十一又倍甲庚庚乙之矩形，既為

中面，而子己矩形，與倍甲庚庚乙之矩形等，則子己亦為中

面，而子己為有比例線丙丁上之面，餘邊為己丑，故己丑有

比例，與丙丁長短無等。本卷二十三又甲庚庚乙之二正方皆為有

24 參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII），pp.134-135。


98

比例面，而倍甲庚庚乙之矩形為中面，則甲庚庚乙之二正方

和，與倍甲庚庚乙之矩形無等。惟丙子矩形，與甲庚庚乙之

二正方和等，而己子矩形，與倍甲庚庚乙之矩形等，故丙子

己子無等。惟丙子與己子比，若丙丑與己丑比，六卷一故丙丑

與己丑長短無等，而皆有比例，故丙丑丑己為僅正方有等之

二有比例線，而丙己為斷線。本卷七十四為第一斷線者，蓋甲庚

庚乙之矩形，為甲庚庚乙上二正方之連比例中率，本卷五十五題

例而丙辛矩形，與甲庚之正方等，寅子矩形，與甲庚庚乙之

矩形等，壬子矩形，與乙庚之正方等，則寅子為丙辛壬子連

比例中率，故丙辛與寅子比，若寅子與壬子比。惟丙辛與寅

子比，若丙壬與寅丑比，而寅子與壬子比，若寅丑與壬丑比，

所以丙壬壬丑之矩形，與寅丑之正方等，六卷十七即與己丑上

正方四分之一等。又甲庚與庚乙之二正方既有等，則丙辛與

壬子二矩形有等。惟丙辛與壬子比，若丙壬與壬丑比，故丙

壬與壬丑有等，本卷十所以丙丑丑己為二不等分線，而丙丑上

作少一正方之矩形，即丙壬壬丑之矩形，與己丑上正方四分

之一等，而丙壬與壬丑有等，則丙丑丑己上二正方之較積方

邊，與丙丑長短有等。本卷十八又丙丑與所設之有比例線丙丁

長短有等，故丙己為第一斷線，本卷下界說一是以有比例線上矩

形與斷線之正方等，則餘邊為第一斷線。25


解有比例線＝寅，而令 □呷＝寅天＝

( ) ( )⎛ ⎞⊥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

二

寅甲乙寅甲乙

二二

ΤΤ ＝寅(甲⊤ 二二甲乙Τ )＝ ×

呷，然則呷＝天＝甲⊤ 二二甲乙Τ ，其大分甲

較積方邊乙，皆有比例，故此為第一斷線。

如以數明之，命＝二，□呷＝ ( )二一四二Τ ＝二

25 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 20a-22a。


99

( )八二八Τ ，則呷＝八二八Τ ，為第一斷線。26」

【討論】X.97~X.102 這六的命題分別是上述六個命題 X.91~X96 的逆命題。

X.97：設σ 是有理線段，餘線為 kρ ρ− （X.73），求證( )2kρ ρ

σ

−是

一個第一餘線。

因為( )

( )2

2

1 2k

k kρ ρ ρ

σ σ

−⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ (1)

歐幾里得證明了(1)的兩個部分 ( )2

1 kρσ

+ ，2

2 kρσ

是僅正方可公度的兩

有理線段，因而他們的差是一個餘線，又證明了這兩個部分及σ 滿足X. Definitions III.1 的條件，因而它還是一個第一餘線。27

從這各六個逆定理來說，能說明一件事情，歐幾里得在處裡命題的手法上，

非常在意其『充要條件』完備性，Heath 與吳起潛利用代數是說明，但筆者認為吳起潛的「如以數明之」，更具 Powerful！

5.2.4 凡線與「六和線」、「六較線」有等，為同類「六和線」、「六較線」

探討完「第 N 合名線」、「第 N 斷線」與「六和線」、「六較線」互為因果的充要條件之後，歐幾里得馬上拉回來看看與「六和線」、「六較線」可公度的無理

線段，是否為同類「六和線」、「六較線」，28利用現今的無理數的想法似乎非常

容易，但在當時，所呈現的方法，變有點複雜了：「定理四十九（第六十七題）X.66

《幾何原本》凡線與合名線有等，為同類合名線。

戊乙

丁己丙

甲

解曰：甲乙為合名線，與丙丁長短有等，題言丙丁為甲乙之

同類合名線。

26 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 39b-40a。 27 參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII），pp.214-215。 28 「同類」為同級的意思。如 2 3+ 與 ( )2 2 3+ 的關係。


100

論曰：甲乙既為合名線，分於戊點，甲戊為大分，則甲戊戊

乙為僅正方有等之有比例線，本卷三十七設甲乙與丁丙比，若甲

戊與丙己比，六卷十二則餘戊乙與餘己丁比，若甲乙與丙丁比。

五卷十九惟甲丙與丙丁長短有等，故甲戊與丙己、戊乙與己丁，

俱長短有等，本卷十又甲戊戊乙為有比例線，故丙己己丁亦為

有比例線，又甲戊與丙己比，既若戊乙與己丁比，則屬理，

甲戊與戊乙比，若丙己與己丁比。惟甲戊戊乙為僅正方有等

之有比例線，故丙己己丁亦為僅正方有等之有比例線，故丙

丁為合名線。本卷三十七與甲乙為同類者，蓋甲戊戊乙二正方之

較積方邊，與甲戊或有等或無等，設有等，則丙己己丁二正

方之較積方邊，與丙己長短有等，本卷十五如甲戊與所設比例

線有等，則丙己與所設比例線亦有等，本卷十二是甲乙丙丁俱

為第一合名線。又若戊乙與所設比例線有等，則己丁與所設

比例線亦有等，是甲乙丙丁俱為第二合名線。如甲戊戊乙與

所設比例線俱無等，是皆為第三合名線。若甲戊戊乙二正方

之較積方邊，與甲戊長短無等，則丙己己丁二正方之較積方

邊，與丙己長短亦無等，本卷十五又若甲戊與所設有比例線有

等，則丙己與此線亦有等，而皆為第四合名線。若戊乙與此

線有等，則己丁與此線亦有等，，而皆為第五合名線。若甲

戊戊乙與此線俱無等，則丙己己丁與此線亦俱無等，而皆為

第六合名線。是以與合名線有等之線，為同類合名線。29


解合名線呷＝ ⊥甲乙，與叮有等，則不

可不叮＝ ( )⊥寅甲乙，問題一注意及定理四附故叮與呷為同類合名線。30」

【討論】李善蘭的作法（或歐幾里得的作法）先證明甲乙與丙丁均為合名線，再

依據先前幾個命題逐一討論合名線的分類，進而利用窮舉法，31將所有

合名線的情形討論完畢而得證。而吳啟潛則是利用代數式，換成今日的符號則是

29 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷中，頁 25a-26b。 30 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 29a。 31 抑或窮竭法。


101

若 p qρ = + ，則 ( )k k p qρ = + 當然是同級的二項線。32 數與量的分別由此可見一斑。

而「六較線」的論證方式也是雷同：「定理八十（第一百四題）X.103

《幾何原本》凡線與斷線有等，則亦為斷線，且同類。

丁己

乙戊甲

丙

解曰：甲乙為斷線，設丙丁與甲乙長短有等，題言丙丁亦為

斷線，且與甲乙同類。

論曰：甲乙為斷線，設乙戊與之同宗，則甲戊戊乙為僅正方

有等二有比例線。本卷七十四又設乙戊與丁己比，若甲乙與丙丁

比。藩并前率與并後率比，若各前率與各後率比，五卷十二故

甲戊與丙己比，若甲乙與丙丁比。惟甲乙與丙丁有等，故甲

戊與丙己亦有等，而乙戊與丁己亦有等。惟甲戊戊乙為僅正

方有等二有比例線，故丙己己丁亦為僅正方有等二有比例

線，本卷十所以丙丁亦為斷線。本卷七十四與甲乙同類者，蓋甲戊

與丙己比，若戊乙與己丁比，屬理，甲戊與戊乙比，若丙己

與己丁比，五卷十六而甲戊戊乙上二正方之較積方邊，與甲戊

或有等或無等。設有等，則丙己己丁上上二正方之較積方邊，

與丙己亦有等，若甲戊與所設之有比例線有等，則丙己與有

比例線亦有等，若戊乙與有等，則丁己亦與有等。若甲戊戊

乙皆與之無等，則丙己己丁亦皆與之無等。又設甲戊戊乙上

二正方之較積方邊，與甲戊無等，則丙己己丁上二正方之較

積方邊，與丙己亦無等，若甲戊與所設之有比例線有等，則

丙己亦與有等，若戊乙與有等，則己丁亦與有等，若甲戊戊

乙皆與之無等，則丙己己丁亦皆與之無等，所以丙丁為斷線。

本卷下界說且與甲乙同類。33


32 「k」為有理數，因其可公度。 33 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 32a-33b。

叮


102

解斷線為呷＝甲乙Τ ，與有等，則不可

不＝ ( )寅甲乙Τ ＝二二寅甲寅乙Τ 。問題一注意及定理四附故亦為斷線，且與呷同類。34」

【討論】李善蘭的作法（或歐幾里得的作法）先證明甲乙與丙丁均為斷線，再利

用窮舉法，35證明與原斷線同類，進而得證。而吳啟潛則是利用代數式，換成今日的符號則是

若 p qρ = − ，則 2 2k k p k qρ = − 當然是同級的二項線。36

數與量的分別由此可見一斑。

由此二題的比較分析，不難發現『數與量的分別』竟如此的大，同樣的論證

模式，也適用於其他「六和線」、「六較線」的各 4 個命題中，37但這十個命題，吳起潛並無「如以數明之」這與其它命題有很大不一樣的地方，可能是吳起潛認

為這裡無須再重述，而且也不易分類的緣故。

5.2.5「六和線」、「六較線」與不盡根之開方

卷中、卷下分別在討論完「六和線」、「六較線」的可公度的情形完之後，分

別針對其組成分子，進行開方所得之六種情形，進行分類，如卷中的「定理五十

四（第七十二題）X.71 凡有比例面與中面和，則等積方邊無比例，或為合名線、或為第一合中線、或為比中方線，凡四類。」、「定理五十五（第七十三題）X.72凡二無等之中面和，則等積方邊無比例，或為第二合中線、或為兩中面之線，凡

二類。」；卷下的「定理八十五（第一百九題）X.108 有比例面內減中面，則較積方邊無比例，或為斷線或為少線。」、「定理八十六（第一百十題）X.109 中面內減有比例面，則較積方邊無比例，或為第一中斷線、或為合比中方線。」、「定

理八十七（第一百十一題）X.110 兩無等之中面相較，則較積方邊無比例，或為第二中斷線、或為合中中方線。」，在這五個定理（命題）中巧妙的說明「六和

線」、「六較線」如何經由幾何的方法創造，說穿了便是吳起潛於《無比例線新解》

卷首之揭論中提到的，「以甲|

|

乙甲

|

|

乙甲

|

|

乙三式為其

綱，而從二分上較積方邊與大分有等或無等為其目，開方所得為六和六較線收其

34 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 41b。 35 抑或窮竭法。 36 「k」為有理數，因其可公度。 37 原本應為各六個命題，但第一合中線與第二合中線合為一命題，第一中斷線與第二中斷線合

為一命題，故只剩下各 5 個命題。


103

成。」38，利用現在的運算符號：

2x yz± 、 2yz x± 、 xy pq±

分別代表「六和線」、「六較線」如：「定理五十四（第七十二題）X.71

《幾何原本》凡有比例面與中面和，則等積方邊無比例，或為合名線、或

為第一合中線、或為比中方線，凡四類。

庚子

壬

乙丁

丙

辛

己

甲

戊

解曰：甲乙為有比例面，丙丁為中面，題言等甲丁面之方邊，

或為合名線、或為第一合中線、或為太線、或為比中方線。

論曰：甲乙或大於丙丁、或小於丙丁，先設大於丙丁，置有

比例線戊己，於上作戊庚矩形，與甲乙等，餘邊為戊辛，戊

己即辛庚，餘上作辛子矩形，與丙丁等，餘邊為辛壬，甲乙

既為有比例面，與戊庚等，則戊庚為有比例線戊己上有比例

面，故餘邊戊辛有比例，而與戊己長短有等，本卷二十一又丙丁

既為中面，與辛子等，則辛子為有比例線戊己即辛庚上之中

面，故餘邊辛壬有比例，而與戊己長短無等，本卷二十三又丙丁

既為中面，而甲乙為有比例面，則甲乙與丙丁無等，故戊庚

與辛子無等。惟戊庚與辛子比，若戊辛與辛壬比，六卷一故戊

辛與辛壬長短無等，而皆有比例，故戊辛辛壬為僅正方有等

之二比例線，所以戊壬為辛點所分之合名線。又甲乙既大於

丙丁，而甲乙與戊庚等、丙丁與辛子等，則戊庚大於辛子，

所以戊辛亦大於辛壬，而戊辛與辛壬上二正方之較積方邊，

與戊辛或有等或無等，若有等，因戊辛與所設之比例線戊己

長短有等，故戊壬為第一合名線，本卷中界說一戊己為有比例線，

凡有比例線與第一合名線成矩形，等面正方之邊，為合名線，

38 引自吳起潛，《無比例線新解》卷首揭論，頁 1b。


104

本卷五十五故等戊子面正方之邊為合名線，即等甲丁面正方之

邊，為合名線，若戊辛與辛壬上二正方之較積方邊，與戊辛

無等，因戊辛與所設之比例線戊己長短有等，則戊壬為第四

合名線，本卷中界說四戊己為有比例線，凡有比例線與第四合名

線成矩形，等面正方之邊為太線，本卷五十八故等戊子面正方之

邊為太線，即等甲丁面正方之邊，為太線。

子庚

壬辛

己丁乙

丙甲

戊

次設甲乙小於丙丁，則戊庚必小於辛子，故戊辛線小於辛壬，

而辛壬與戊辛上二正方之較積方邊，與辛壬或有等或無等，

若有等，因戊辛與所設之比例線戊己有等，故壬戊為第二合

名線，本卷中界說二戊己為有比例線，凡有比例線與第二合名線

成矩形，等面正方之邊，為第一合中線，本卷五十六故等戊子面

正方之邊為第一合中線，即等甲丁面正方之邊為第一合中

線，若辛壬與戊辛上二正方之較積方邊，與辛壬長短無等，

因戊辛與所設之比例線戊己長短有等，則戊壬為第五合名

線，本卷中界說五戊己為有比例線，凡有比例線與第五合名線成

矩形，等面正方之邊為比中方線，本卷五十九故等戊子面正方之

邊為比中方線，即等甲丁面正方之邊，為比中方線。

是以凡有比例面與中面和，等積方邊無比例，或為合名線、

或為第一合中線、或為比中方線，凡四類。39


39 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷中，頁 30a-32b。

叮


105

解有比例面 □呷＝甲，中面 □ 叮＝乙，或中面

□呷＝甲，有比例面 □ 叮＝乙，合之為 □呷叮＝

甲⊥ 乙，或 □呷叮＝甲⊥乙，此等積正方邊為

⊥甲乙＝⊥

⊥二二甲甲乙甲甲乙

二二

Τ Τ Τ(呷)，及

⊥甲乙＝⊥

⊥二二甲甲乙甲甲乙

二二

Τ Τ Τ( )，

於(呷) 二甲乙Τ 為完全平方數，則為合名線，否則為太線。

於( ) 二甲乙Τ 與甲有等，則為第一合中線，否則為

比中方線。40」

【討論】歐幾里得「量的證明」方式，可以說是利用「等積方邊」，亦即開雙重

根號，將之前證明過的的定義，重新分類。而吳啟潛先生則以「數的證明」方式，成功亦方便地完成相同的工作，

只能說時代背景的不同，工具的不同，而需要的算式或方法，便有跳躍

式的進步了。下一個命題（定理五十五）亦是如此的操作。

「定理八十五（第一百九題）X.108

《幾何原本》有比例面內減中面，則較積方邊無比例，或為斷線或為少線。

子

壬辛

庚丁

戊

丙甲

乙己

解曰：有比例面乙丙，內減中面乙丁，戊丙為較面，題言等

戊丙面正方之邊，無比例，或為斷線、或為少線。

論曰：置有比例線己庚，其上作庚辛矩形，與乙丙面等，其

內減庚壬矩形，與乙丁面等，則餘辛子矩形，與丙戊面等。

夫乙丙為有比例面，乙丁為中面，而乙丙與庚辛等，乙丁與

庚壬等，則庚辛為有比例線己庚上有比例面，而庚壬為有比

40 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 29b-30a。


106

例線己庚上之中面，故己辛與己庚長短有等，本卷二十一而己壬

有比例，與己庚長短無等，本卷二十三故己辛與己壬長短無等，

本卷二十三己辛己壬為僅正方有等二有比例線，所以壬辛為斷

線，壬己與之同宗，本卷七十四而己辛己壬上二正方之較積方

邊，與己辛或有等或無等。若有等，因大線己辛，與所設之

有比例線己庚有等，故壬辛為第一斷線。本卷下界說一凡正方面

與有比例線及第一斷線所成之矩形等積，則方邊為斷線，本卷

九十二故等子辛即丙戊面正方之邊為斷線。若辛己己壬上二正

方之較積方邊，與辛己無等，因辛己與所設之有比例線己庚

有等，故壬辛為第四斷線。本卷下界說四凡正方面與有比例線及

第四斷線所成之矩形等積，則方邊為少線，本卷九十五故等子辛

即丙戊面正方之邊為少線。41


解有比例面 □呷＝甲，內減中面 □ ＝乙，

則較積 □呷叮＝甲⊤ 乙之方邊甲乙Τ ＝

⊥ 二二甲甲乙甲甲乙二二

Τ Τ ΤΤ 。二甲乙Τ 為完全平方數，

則為斷線，否則為少線。42」

【討論】而吳起潛，依然使用代數的原理，「甲乙Τ ＝

⊥ 二二甲甲乙甲甲乙二二

Τ Τ ΤΤ 。二甲乙Τ 為完全平方數，則為斷線，

否則為少線。」更為精闢，且更容易懂。

綜上兩個定理可知，歐幾里得「量的證明」，是需要設計的，在分類上較麻

煩，而吳起潛的「數的證明」方式，成功亦方便地完成相同的工作，而且因為工

具的不同，處理的方法也隨著數學的演進而有所不同。

41 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 37b-38b。 42 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 42a-42b。

叮


107

5.2.6 卷中論六較線

在卷中文末先利用六個定理（命題）定出「六較線」的定義，「定理五十六

（第七十四題）X.73 僅正方有等二有比例線，其較無比例，命為斷線。」、「定理五十七（第七十五題）X.74 僅正方有等二中線，其矩形為有比例面，二線之較無比例，命為第一中斷線。」、「定理五十八（第七十六題）X.75 僅正方有等二中線，其矩形為中面，二線之較無比例，命為第二中斷線。」、「定理五十

九（第七十七題）X.76 二正方無等之線，二正方之和為有比例面，矩形為中面，二線之較無比例，命為少線。」、「定理六十（第七十八題）X.77 二正方無等之線，二正方之和為中面，倍矩形為有比例面，二線之較無比例，命為合比中方

線。」、「定理六十一（第七十九題）X.78 二正方無等之線，二正方之和為中面，倍矩形亦為中面，二正方之和，與倍矩形無等之二線之較無比例，命為合中

中方線。」如：「定理五十六（第七十四題）X.73

《幾何原本》僅正方有等二有比例線，其較無比例，命為斷線。

丙乙甲

解曰：甲乙乙丙僅正方有等二有比例線，甲乙內減乙丙。題

言其較甲丙無比例，命為斷線。

論曰：甲乙與乙丙，既長短無等，而甲乙與乙丙比，若甲乙

之正方，與甲乙乙丙之矩形比，則甲乙之正方，與甲乙乙丙

之矩形無等。六卷一惟甲乙乙丙之二正方和，與甲乙之正方有

等，本卷十六而倍甲乙乙丙之矩形，與甲乙乙丙之矩形有等，

故甲乙乙丙之二正方和，與倍甲乙乙丙之矩形無等，所以甲

乙乙丙之二正方和，與其較甲丙之正方無等。蓋甲乙乙丙之

二正方和，與倍甲乙乙丙之矩形加甲丙之正方等，故也，二卷

七而甲乙乙丙之二正方和有比例，故甲丙之正方無比例，所

以甲丙無比例，本卷十一命為斷線。43


解兩僅正方有等有比例線，呷＝甲，＝乙。

問題三其較呷＝甲⊤ 乙，此為無理數，故長短無等。

又＝甲⊥乙⊤二甲乙，一部分為無理數，故正方亦

43 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷中，頁 35b-36a。


108

無比例，故甲⊤ 乙無比例，名之為斷線。

如以數明之，命呷＝五、＝三，則呷＝

五 ⊤ 三無比例，為斷線。44」

【討論】設 , x y 為有理線段，且 x y∼ 。

於是 x⌣y，因為 2: :x y x xy= ，但是 2x ⌢ ( )2 2x y+ ，和 xy⌢ 2xy ，

所以 2 2x y+ ⌣ 2xy ，因此 ( )2x y− ⌣ ( )2 2x y+ 。

而 2 2x y+ 是有理的，所以 ( )2x y− 以及 ( )x y− 都是無理的。

餘線 x y− 的形式為 kρ ρ− 、它和二項線 kρ ρ+ 是方程式

( ) ( )24 2 2 42 1 1 0x k x kρ ρ− + ⋅ + − = 的根。45

「六較線」的定義的產生，於歐幾里得而言，其實只是對應於卷上之「六和

線」的定義，由 Heath 的說法「餘線為 kρ ρ− 、和二項線 kρ ρ+ 皆為方程式

( ) ( )24 2 2 42 1 1 0x k x kρ ρ− + ⋅ + − = 的根。46」其共軛關係於 5.2.2 節已經討論過了，

但因「六較線」的想法應為卷中最後 12 個命題才出現，而 5.2.2 節在討論「六和線」與「六較線」的對稱關係應在其後，所以再提一次，而本小節只是在討論卷

中最後的十二個定理（命題），與卷下無關，介紹過「六較線」的定義之後，再

介紹「定理六十二（第八十題）X.79 凡斷線與合名線之小分同宗，只有一个。」、「定理六十三（第八十一題）X.80 凡第一中斷線，與第一合中線之小分同宗，只有一个。」、「定理六十四（第八十二題）X.81 凡第二中斷線，與第二合中線之小分同宗，只有一个。」、「定理六十五（第八十三題）X.82 凡少線與太線之小分同宗，只有一个。」、「定理六十六（第八十四題）X.83 凡合比中方線與比中方線之小分同宗，只有一个。」、「定理六十七（第八十五題）X.84凡合中中方線與兩中面線之小分同宗，只有一个。」如：

「定理六十二（第八十題）X.79

44 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 30b。 45 參閱 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII），p.159。 46 餘線即「斷線」、二項線即「合名線」。


109

《幾何原本》凡斷線與合名線之小分同宗，只有一个。

丙乙甲丁

解曰：設甲乙為斷線，乙丙與甲乙同宗線，而甲丙乙丙為僅

正方有等二線。本卷七十四題言乙丙而外，無如是之線，與甲乙

同宗。

論曰：若作乙丁，為甲乙同宗，而甲丁丁乙僅正方有等二線，

本卷七十四夫甲丁丁乙之二正方和，大於倍甲丁丁乙之矩形；甲

丙丙乙之二正方和，大於倍甲丙丙乙之矩形，其兩較相等，

因皆為甲乙之正方故也。又甲丁丁乙之二正方和，大於甲丙

丙乙之二正方和，倍甲丁丁乙之矩形，大於倍甲丙丙乙矩形

等，其兩較亦相等。惟甲丁丁乙之二正方和，與甲丙丙乙之

二正方和，其較有比例，因二和皆為有比例面故也，則倍甲

丁丁乙之矩形，與倍甲丙丙乙之矩形，其較亦有比例，於理

不合。蓋二矩皆為中面，兩中面之較，不能有比例故也，故

乙丙而外，凡僅正方有等之線，與甲乙非同宗，所以斷線與

合名線之小分同宗，只有一个。47


解兩僅正方有等有比例線所成斷線及合名線，若斷線為

呷＝甲⊤ 乙，則合名線為＝ ⊥甲乙。因

此二線為共軛數，故其小分不可不同宗於乙，而為

＝一箇。蓋共軛（即同宗）者，其二分上絕對值相等。

惟其閒符號為相反，若云一箇之外，尚有他箇，則其他必為

> 、或 < 。而題謂之同宗，是欲全等其

分也，有是理乎，故只有一箇。

又解斷線呷＝甲⊤ 乙，其小分只能為＝

乙。而呷＝甲。若云另有叮＝丁，呷叮＝

丙，亦為此線。試命丙 ⊤ 丁＝甲⊤ 乙，則準不盡

47 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷中，頁 41a-41b。


110

根理，不可不 ==

⎫⎬⎭

甲丙

乙丁，而仍為此一箇，則更無別箇可知矣，

叮點只能與點合故與之同宗之合名線，亦只有一箇。

如以數明之，命斷線為呷＝五 ⊤ 三，則與同宗之

合名線，只有＝五 ⊥ 三。48」

【今譯】To an apotome only one rational straight line can be annexed which is commensurable with the whole in square only.49 （僅有一個有理線段加到一個餘線上，能使得有理線段與全線段是正方

可公度的。50）

【討論】加在餘線上的有理線段，使得此線與二線之和為僅正方可公度的，稱所

加的線段為餘線的附加線段，簡稱加線段，餘線與加線段的和為全線段。以下命題類似理解。這一命題的敘述，李版與 Heath 版的敘述差異頗大，但看似不同，實相近也，李版的說法更進一步拉近與六和線的關係。這個命題的証明等價於眾所周知的不盡根的理論，51即如果

a b x y− = − ，那麼 , a x b y= = ，以及 a b x y− = − ，那麼

, a x b y= = 。證明的方法對應於 X.42 的証明。以下 X.80~X.84 也都類似採用以下的方法。若一個餘線能用兩種形式表示，即 x y− 與 x y′ ′− ，其中 , x y 是僅正方可公度的兩個有理線段， , x y′ ′也是如此。因為 x y− ＝ x y′ ′− ，

所以 ( )2 2 2 2 2 2x y x y xy x y′ ′ ′ ′+ − + = − 。

但是 ( )2 2x y+ ， ( )2 2x y′ ′+ 都是有理的，於是它們的差是有理面。另一方面， 2 , 2xy x y′ ′都是中項面，所以兩中項面的差是有理的：這是不可能的。（X.26）因而得證。52

48 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 32a-32b。 49 引自 Heath, Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII），p.167。 50 引自藍紀正、朱恩寬譯，《歐幾里得幾何原本》，頁 399。 51 即無理數的相等。 52 參閱 Heath. Euclid The Thirteen Books of The Elements Vol.3（Books X-XIII），p.168。


111

而吳起潛操作的方法則為不盡根的理論。

最後這六個命題，呼應卷上最後六個命題，也將「六較線」做個總結，當然

也準備帶出卷下的六「斷線」的思維，至此才算將「六和線」與「六較線」正式

介紹出來。

5.2.7 卷下「六和六較線」之綜合討論

從「定理八十八（第一百十二題）X.111 凡斷線與合名線不同類。」出發，

吳起潛，利用代數的原理，「若云不然，則必甲 ⊥ 乙＝寅( 甲⊤ 乙 )，(寅

⊤一) 甲＝(寅⊥一) 乙，於此寅＝一，53則 =O二乙，無是理也，故不

為同類。」將同類的原則說明清楚，也因為「斷線與合名線不同類」歐幾里得才

會做出以下的「推論（系、準前論）Remark」：54

斷線以下六無比例線，皆非中線，相與非同類。蓋有比例線上作等中線正方

之矩形，餘邊有比例，與原線無等，本卷二十三而有比例線上等斷線正方之矩

形，餘邊第一斷線，本卷九十八等第一中斷線正方之矩形，餘邊第二斷線，本卷

九十九等第二中斷線正方之矩形，餘邊第三斷線，本卷一百等少線正方之矩形，

餘邊第四斷線，本卷一百一等合比中方線正方之矩形，餘邊第五斷線，本卷一百二

等合中中方線正方之矩形，餘邊第六斷線，本卷一百三皆無比例，與等中線正

方矩形之餘邊異，故斷線以下六無比例線，皆非中線，又此六餘邊相與不同

類，故等積正方邊之六無比例線，相與非同類，理自明。

準前論，斷線與合名線不同類，本卷本題故凡有比例線上矩形，與斷線以下六

無比例線之正方等積，則諸餘邊同為斷線，即第一斷線以下六斷線是也。凡

有比例線上矩形，與合名線以下六無比例線之正方等積，則諸餘邊同為合名

線，即第一合名線以下六合名線是也。六斷線、六合名線，相與不同類，所

以無比例線之數共十有三，詳列於左(下)：

一、中線

二、合名線

三、第一合中線

四、第二合中線

五、太線

六、比中方線

七、兩中面之線

八、斷線

53 假設「寅＝一」這招非常的精闢。 54 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 41b-43a。


112

九、第一中斷線

十、第二中斷線

十一、少線

十二、合比中方線

十三、合中中方線

其實這個 Remark，其實是將前面所討論的「六和六較線」做個簡單的總結，因為「六和線」與六「合名線」的開方與「六較線」與六「斷線」的開方的因果

關係，也因此歐幾里得才會說「六斷線、六合名線，相與不同類，所以無比例線

之數共十有三。55」所以緊接著又用了「定理八十九（第一百十三題）X.112 合名線上之矩形，與有比例線之正方等，則其餘邊為斷線，此斷線之二分，與合名

線之二分有等，且比例同，亦為同類。」、「定理九十（第一百十四題）X.113 斷線上之矩形，與有比例線之正方等，則其餘邊為合名線，其二分，與斷線之二分

有等，且比例同，亦為同類。」、「定理九十一（第一百十五題）X.114 斷線與合名線成矩形，若斷線與合名線之二分有等，且比例同，則等面之方邊為有比例線。」

這三個命題，看似不同，實為等價關係：「定理九十一（第一百十五題）X.114

《幾何原本》斷線與合名線成矩形，若斷線與合名線之二分有等，且比例

同，則等面之方邊為有比例線。

庚

辛

子丑

丁戊

乙己甲

丙

壬

解曰：甲乙為斷線，與丙丁合名線成矩形，設合名線之二分

丙戊戊丁，與斷線之二分甲己己乙有等，且比例同，等面之

方邊為庚，題言庚為有比例線。

論曰：置有比例線辛，於丙丁上作矩形，與辛之正方等，餘

邊為壬子，一卷四十五則壬子為斷線，其二分人丑子丑，與合名

線之二分丙戊戊丁有等，比例亦同。本卷一百十三惟丙戊戊丁，

與甲己己乙有等，而比例同，故甲己與己乙比，若壬丑與丑

子比，五卷十一屬理，甲己與壬丑比，若己乙與丑子比，故餘

甲乙與餘壬子比，若甲己與壬丑比。五卷十九惟甲己與壬丑有

55 加上「中線」無理線段便有 13 條。


113

等，所以甲乙與壬子有等。本卷十惟甲乙與壬子比，若丙丁甲

乙之矩形與丙丁壬子之矩形比，六卷一故丙丁甲乙之矩形，與

丙丁壬子之矩形有等。惟丙丁壬子之矩形，與辛之正方等，

故丙丁甲乙之矩形，與辛之正方有等。惟丙丁甲乙之矩形與

庚之正方等，故庚辛之二正方有等。惟辛之正方為有比例面，

故庚之正方亦為有比例面，所以庚為有比例線，其正方與丙

丁甲乙之矩形等。是以斷線與合名線成矩形，若斷線之二分，

與合名線之二分有等，且比例同，則等面正方之邊，為有比

例線。

系：準題，無比例線之矩形中，亦有有比例面。56


解斷線呷＝甲⊤ 乙，合名線呷＝寅甲⊥

寅乙。二線二分上絕對值，相與有等，且比例同為寅然則

其矩形 □ ＝ ( )寅甲乙Τ 之等面方邊 ( )寅甲乙Τ

為有比例線。定義六

如以數明之，呷＝四三Τ ，呷＝ ⊥二四二三，

57則其矩形之等面方邊二，為僅正方有等有比例線，故為

有比例線。58」

【討論】延續自定理九十與九十一，吳起潛利用數字，使得此命題變的更清楚

( )( )⊥ =四三二四二三二Τ ，則，「其矩形之等面方邊二，為僅正方有等有比例線，故為有比例線。」

歐幾里得利用這三個定理（命題），來討論「斷線」與「合名線」的共軛關

係，雖然歐幾里得應不知何謂『共軛』，但是透過「若斷線之二分，與合名線之

二分有等，且比例同，則等面正方之邊，為有比例線。」亦能掌握『共軛』的思

維。

56 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 47b-48b。 57 吳起潛於此有筆誤了「二四二三Τ 」應為錯誤。 58 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 44a。


114

Heath 版的《幾何原本》只有 115 題，以下一個定理做結束：「定理九十二（第一百十六題）X.115

《幾何原本》從中線起，依法遞推，得無數無比例線，各與前六和六較線，

皆不同類。

甲

乙

丙

丁

解曰：甲為中線，從甲起，依法遞推，得無數無比例線，題

言此無數無比例線，各與前六和六較線皆不同類。

論曰：置有比例線乙，令丙之正方，與甲乙之矩形等，則丙

為無比例線，本卷上界説十一蓋無比例線與有比例線成矩形，為

無比例之面故也，本卷三十九題案此面與前諸題中六和六較線之

正方面不同類，蓋前諸題中各線之正方積，在有比例線上，

其餘邊皆非中線故也。本卷六十一至六十六、九十八至一百三又令丁之正

方，與乙丙之矩形等，則丁之正方，為無比例面，本卷三十九題

案所以丁為無比例線，與前六和六較線不同類，蓋前諸題中

各線之正方積在有比例線上，其餘邊皆非丙故也，依此法遞

推可得無數無比例線，皆與六合六較線不同類。

又解曰：以甲丙為中線，題言從甲丙起，遞推得無數無比例

線，各與前六和六較線不同類。

戊

己丁丙

乙

甲

論曰：設甲乙有比例線，與甲丙成乙丙矩形，則乙丙為無比

例面，其等積方邊無比例，以丙丁為等積方邊，則丙丁無比

例，而與前六和六較線不同類。蓋前諸線之正方積，在有比

例線上，其餘邊皆非中線故也。又成戊丁矩形，則戊丁為無

比例面，其等積方邊為丁己，亦無比例，與前六和六較線不

同類。蓋前諸線之正方積，在有比例線上其餘邊皆非丙丁故

也。所以從中線起，依法遞推，可得無數無比例線，皆與六


115

和六較線不同類。59


解任設中線呷＝四甲。有比例線＝乙。聯

之為直徑規半圓周叮呷。作叮，然則叮＝

四八甲乙。為呷、中率。與前六和六較線，皆

不為同類，如是遞推所得無數無比例線，與前所得，皆非同

類。60」

【討論】吳起潛利用代數，使得此命題變的更清楚。

而李版用下一個定理（命題）做結束：

「定理九十三（第一百十七題）

《幾何原本》凡正方形之邊，與對角線無等。

己

乙甲

丁丙

戊

庚

辛

解曰：甲乙丙丁為正方形，甲丙為對角線，題言甲丙與甲乙

無等。

論曰：甲丙與甲乙若有等，則二數必皆為偶，或皆為奇，此

理即甲丙之正方，倍於甲乙之正方，可明之，一卷四十七甲丙與

甲乙有等，則甲丙與甲乙比，若二數比，令二數若戊己與庚，

而同比最小數，設戊己為一，則一與庚比，若甲丙與甲乙比。

59 引自李善蘭、偉烈亞力譯，《幾何原本》第十卷卷下，頁 48b-50a。 60 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 44a。

叮


116

惟甲丙大於甲乙，則戊己大於庚，於理不合，故戊己非一，

而為數。又甲丙與甲乙比，既若戊己與庚比，則甲丙甲乙之

二正方比，若戊己與庚之二正方比，而甲丙之正方，倍與甲

乙之正方，故戊己之正方，倍於庚之正方，則戊己之正方為

偶數，而戊己亦為偶數。蓋無論有若干數，其邊為奇，則其

積亦必為奇，其邊為偶，則其積必為偶也，九卷二十三故戊己為

偶，平分戊己於辛，戊己與庚比依，既為同比之最小數，則

相與為無等之數，戊己為偶數，庚必為奇，若庚亦為偶，則

二可度戊己，亦可度庚。蓋凡偶數可折半故也。今戊己與庚，

為無等之數，於理不合，故庚必為奇數，戊己既倍於戊辛，

則戊己之正方，必四倍戊辛之正方。八卷十一惟戊己之正方，

倍於庚之正方，故庚之正方，倍於戊辛之正方，所以庚之正

方為偶，九卷二十九今庚為奇，於理不合，故甲丙與甲乙長短非

有等，而為無等之線。

又解曰：以甲為對角線，乙為邊，題言甲與乙長短無等。

乙甲

己辛戊

庚

論曰：若云甲與乙有等，試令甲與乙比，若戊己與庚比，而

戊己與庚為同比最小數，則相與為無等之數。七卷二十四設庚為

一，甲與乙比，既若戊己與庚比，則甲乙之正方比，若戊己

與庚之二正方比。惟甲之正方，倍於乙之正方，故戊己之正

方，倍於庚之正方。惟庚為一，故戊己之正方為二，於理不

合，故庚非一而為數。又甲與乙之二正方比，若戊己與庚之

之二正方比，則反理，乙與甲之二正方比，若庚與戊己之二

正方比。惟乙之正方，可度甲之正方，故庚之正方，可度戊

己之正方，所以庚可度戊己。八卷十四惟庚可自度，是庚可度

戊己及庚兩無等數之數，於理不合，故甲與乙長短非有等，

而為無等之線。61


61 引自李善蘭、偉烈亞力譯《幾何原本》第十卷卷下，頁 50a-52a。


117

解設正方邊呷為甲。則其對角線呷為

甲二。一為完全數，一為不盡根，故無等。又若設對角

線呷為甲，則正方邊呷為一

甲二

。故亦無等。62」

【討論】此命題，Heath 版沒有，而為李善蘭與偉列亞力之譯本有，加上之前多一題，此為第二題。

從這兩題的比較中發現，Heath 版的最後一個命題作結束，應該是比較好的選擇，因其與無比例線十三種有關，而李版的《幾何原本》第十卷的最後一個命

題，似乎與現今高中數學裡，『 2 是無理數』的證明一樣，可能是《幾何原本》

原本在流傳多年的過程中，誰加上去的。63拿本題做結束雖不無不可，但總讓人

疑惑，前面 116 個命題由簡入深的巧妙鋪排，而第 117 題有種虎頭蛇尾的感覺。

5.2.8 吳起潛於卷中、卷下末的教育關懷

吳起潛於卷中提出了兩個例題，作為卷中的練習示範題：

以下設諸例題，先設一二之法則：64

第一例問 ⊥一五三為第幾合名線？

因大分＝一五，長短無等，而小分＝三，有等。又

=二

二一五三六，與大分無等，故此為第五合名線。

第二例有合名線 O ⊥一四八四，求其方根，且問此方根為何線？

命 O ⊥一四八四＝ ⊥ ⊥天地天地Τ ，則二天＝

O一四＝二三五，二天地Τ ＝八四＝二二一。故得

⊥ ⊥三五一四三五一四Τ ，準上例知此為兩中面之線。

62 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 44b。 63 參閱蕭文強，〈 2 是無理數的六個證明〉，Mathematical Excalibur，3(1)，1997：2。 64 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 34a-34b。


118

而卷下亦是如此的操作：

以下諸例題，先示一二方法：65

第一例：有斷線二七二四Τ 。求其方根，且問此方根為何線。

命二七二四Τ ＝ ⊥天地天地Τ Τ ，則二天＝

二七，二天地Τ ＝二四，從此，天＝二七四

，地＝三

四，66故方根

＝四四一二三Τ ，準前卷第一例理，知此為第二中斷線。

第二例：求化

( )⊥

一五五

二二一

五一四

Τ 分母為有理。

原分母斷線＝五一Τ ，其共軛數為合名線＝ ⊥五一，故

( )( )( )

⊥ ⊥

⊥

一五五五一

二二一

五一五一四

Τ＝

( )( )⊥ ⊥ 二一五五五一二二

一＝

( )( )⊥ ⊥二五五六二五四

＝( )( )⊥ ⊥五五三五

二＝

⊥五二五。

用現在的符號數字來看：

( ) ( )

1 5 52 2

1 5 14

⊥ +=

−

一五五

二二一

五一四

Τ

＝( )

( )( )( )( ) ( )( )2

1 5 5 5 1 2 5 5 6 2 512 2 5 5 5 11 42 25 1 5 14

+ + + += + + =

− +

65 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 44b。 66 原文為「 = 三天

四」，應改為上式。


119

( )( )5 5 3 55 2 5

2

+ += = + 。

在這四個例題中，第一個例題在檢視六「合名線」的了解程度，67第二及第

三個例子再撿視「六和六較線」的理解程度，而第四個例子再做分母有理化的動

作，透過吳起潛的示範，相信他想傳達給學者的想法，已經不言可喻了。而卷中

與卷下各提了 60 個例題與 70 個例題，讓學者透過《無比例線新解》的學習後有得練習，這便是在呼應《無比例線新解》例言所言的「於每卷之末，補設例題，

以資學者演習」。

最後在卷下的最後面補了 4 個雜例，這個雜例，已經不侷限在《幾何原本》的第十卷了內容了，因吳起潛是以『代數』來明『幾何』，故便用『代數』的觀

點提出了這 4 個雜例：

（雜例）下更擴充以上智識，設雜例題，先示數方法：68

第一例：求使 ⊥一

三天地為有理之最小因子。

因 ⊥卯卯天地＝⊥ ⊥ ⊥ ⊥⎛ ⎞⎛ ⎞

⊥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

卯一卯二卯三二卯一天地天天地天地地Τ Τ Τ ΤΤ Τ Τ Τ

。69 故得因數為

⊥一二

二三三天天地地Τ 。從此 ⎛ ⎞⎛ ⎞

⊥ ⊥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

一一二二三三三天地天天地地Τ ＝

⊥三天地。

第二例：求 ⊥二一四五八三四一五Τ Τ 之平方根。

命 ⊥二一四五八三四一五Τ Τ ＝ ⊥天地人Τ ，則

⊥二一四五八三四一五Τ Τ ＝天⊥地⊥人⊥

( )二天地地人人天Τ Τ ，70今置天地＝四三，地人＝

67 卷下沒擺類似的六「斷線」的例題。 68 引自吳起潛，《無比例線新解》，頁 44b-45b。 69 此為「n 次方和差的乘法公式」，原文如此處理，應將卯視為奇數。 70 利用的乘法公式應為「 ( ) ( )2 2 2 2 2a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + + 」。


120

二五，人天＝二一五，得天＝一二，地＝四，人＝五，滿足

方程式 ⊥ ⊥天地人＝二一，故求得 ⊥二三二五Τ 。

第三例：求七二⊤三二五之立方根。

命三七二三二五Τ ＝天⊤ 地 (一)，則 ⊥三七二三二五＝天

⊥ 地，從此四＝二天地Τ (二)，從(一) 七二⊤三二五＝三天 ⊥

三天地⊤ ( )⊥二三天地地，因得七二＝ ⊥三天三天地 (三)，從

(二)及(三) 七二＝ ( )⊥三二天三天天四Τ ，即三天三天一八Τ Τ ＝O，

由視察法知天＝三，而得地＝五，故三七二三二五Τ ＝三

⊤ 五。

第四例：有圓半徑一，求內接正十角形之一邊，且言此為何線。（如圖一）

中心角＝OO

Ο三六

一＝ Ο三六，

而＝＝

OΟ Ο一八三六二

Τ＝ Ο七二，作呷

平分。於此、

，，則Δ呷

∼Δ 呷，故＝，因

，則呷＝，從此＝一⊤呷＝

五一

二

Τ，此二分上較積方邊，與大分無等，故此為第五斷線。

圖一：第四例圖

⎫⎬⎭


121

這 4 個雜例，充分展現出，吳起潛『代數』的掌握程度，從第一例的「n 次

方和差的乘法公式」出發，71到第二例的 ( ) ( )2 2 2 2 2a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + +

的應用，72第三例則為立方根的求法，其應用的乘法公式為

( ) ( )3 3 3 3a b a b ab a b+ = + + + 。而第四例為最特殊的一例，筆者的解讀是《無比

例線新解》由幾何出發，由代數明之，而本例題恰恰做相反的動作，由代數反攻

幾何的思維，吳起潛確實對無理數的掌握有一定程度的深入。在這 4 個雜例的介紹後，更在例題三之後，73擺了 30 個雜例題，74來連結這 4 個雜例，也順便呼應《無比例線新解》例言中提到的「於本書後附總雜問，以滙通代數幾何應用，無

比例線全書中最為緊要」更可交代《無比例線新解》卷首揭論中提到的「用代數

論無比例線，不惟十三線而已，有多項者、有多次者。多項者，如

⊥ ⊥ ⊥甲乙丙丁＝ ⊥ ⊥天地人以上是也；多次者，如 ⊥三甲乙

＝ ⊥天地以上是也。若由十三線之理擴之，則皆可作為無比例線，而較十

三線為繁，各有其消根因數為各種無理數。75然則無比例線者，其項數無盡、其

次數無盡，即其種類亦無盡。茲十三線，不過至於二次二項者耳。76」

5.3 小結

《幾何原本》第十卷卷中與卷下的內容體例，因其討論的內容有共軛的情

形，故在內容的呈現上，富對稱性，雖然「六和線」的由來，來自於卷上，但是

為了能作出如此的無理線段，歐幾里得定義了六『合名線』，透過比例論的推廣

及巧妙的作圖，呈現出《無比例線新解》中所提到的不盡根的開方，而找到其互

推的方法，77而在卷中的後面引出「六斷線」，且依樣畫葫蘆的探討上述的結果，

這也是筆者將卷中與卷下的內容分析放在一起的主因。

而在卷下最後的論證中，歐幾里得將「「六和線」與六「合名線」的開方與

「六較線」與六「斷線」的開方的因果關係做個總結，也因此歐幾里得才會說「六

71 此例應為 n 次方根「有理化」的理論基礎。 72 此例應為 3 個無理方根的特殊求法。 73 卷下之作業的後面。 74 雜例之作業。 75 各類的乘法公式可以搭配。 76 引自吳起潛，《無比例線新解》卷首揭論，頁 1b。 77 見 5.2.2 有比例線與「第 N 合名線」與「第 N 斷線」成矩形等面正方之邊無比例，為「六和

線」與「六較線」。及 5.2.3 凡有比例線上矩形，與「六和線」與「六較線」之正方等，則矩之餘邊為「第 N 合名線」與「第 N 斷線」。和 5.2.5「六和線」、「六較線」與不盡根之開方。


122

斷線、六合名線，相與不同類，所以無比例線之數共十有三。78」並討論「斷線」

與「合名線」的共軛關係，而《無比例線新解》利用代數式的呈現，會讓現代(在)

的學習者有親切的感覺，如它於「定理八十九（第一百十三題）X.112 合名線上之矩形，與有比例線之正方等，則其餘邊為斷線，此斷線之二分，與合名線之二

分有等，且比例同，亦為同類。」、「定理九十（第一百十四題）X.113 斷線上之矩形，與有比例線之正方等，則其餘邊為合名線，其二分，與斷線之二分有等，

且比例同，亦為同類。」中提到的「如以數明之，命 ( )⊥四三天＝一，則

天＝⊥一

四三＝四三Τ ，為斷線與合名線共軛。79」有理化的想法或作法，

已經熟悉的被吳起潛操作著，以現在的學習者觀之，確實比較容易上手。

雖然 Heath 版與李善蘭版的《幾何原本》作為結束的命題不同，但也都留下了無理線段可以無窮的擴充之，而不只侷限於「六和六較線＋中線」等 13 種無比例線，綜觀而言，在只有量的世界中，能將不可公度量的無比例線「設計」成

可操作的想法，應予以肯定，雖然吳起潛說：「無比線十三線，一言以蔽之曰，

不盡根之平方而己，其中線，為不盡根獨項之方根，他之六和六較線，則不盡根

二項之方根。80」但在歐幾里得的年代，已屬難能可貴，更何況又能作出不只侷

限於「六和六較線＋中線」等 13 種無比例線的這種結論，說他們沒有『無理數』的思維，也真叫人不敢相信。

而吳起潛於卷中及卷下的後面提出的示範例題及作業，在在反映出其教育

(學)的潛在目標。最特別的是，最後的雜例與雜例題，也適當的反應了吳起潛的

當時的數學能力與獨到的見解，說《無比�

第5 章...

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