BINOM
description
Transcript of BINOM
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
MATEMATIKA INDUKCIJA
Uvod
dodatni uvijeti
matematika indukcija
induktivni pristup
uvijek dao ispravne rezultate
deduktivni pristup
Dva osnovna naina logikog zakljuivanja
Deduktivni pristup kreemo od opih spoznaja i izvodimo istinite injenice u nekom konkretnom sluaju. Induktivni pristup kreemo od injenica koje vrijede u konkretnim primjerima i na temelju toga zakljuujemo o istinama koje vrijede u openitoj situaciji. Princip matematcke indukcije
Ako neka tvrdnja vrijedi za broj 1 i ako iz pretpostavke vrijedi za prirodni broj n slijedi da ta tvrdnja vrijedi i za slijedei broj n+1, tada vrijedi za svaki prirodni broj n.
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
Koraci provoenja matematike indukcije
1. Dokai matematikom indukcijom da je za svaki prirodni broj n vrijedi odnosno pokazati istinitost formule-tvrdnje.
1. Baza indukcije T (1) za n = 1
vrijedi 2. Pretpostavka indukcije vrijedi za sve sve n-ove
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
3. Korak indukcije T (n+1) Trebamo dobiti formulu za broj n+1 koja je istovjetna zadanoj za broj n na desnoj strani:
2. Dokai matematikom indukcijom da je za svaki prirodni broj n
1. Baza indukcije T (1) za n = 1
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
2. Pretpostavka indukcije vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1) Trebamo dobiti formulu za broj n+1 koja je istovjetna zadanoj za broj n na desnoj strani:
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
3. Dokai matematikom indukcijom da je za svaki prirodni broj n
1. Baza indukcije T (1) za n = 1
Samostalno! 2. Pretpostavka indukcije vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1) Trebamo dobiti formulu za broj n+1 koja je istovjetna zadanoj za broj n na desnoj strani:
Samostalno provjeriti da li nakon sreivanja odgovara gornjem izrazu
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
4. Dokai matematikom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi
, 1. Baza indukcije T (1) za n = 1
vrijedi 2. Pretpostavka indukcije vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1)
5. Dokai matematikom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi
, Samostalno! R:
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
6. Dokai matematikom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi
1. Baza indukcije T (1) za n = 1
vrijedi 2. Pretpostavka indukcije vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1)
7. Dokai matematikom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi
, Samostalno! R:
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
Formule za zbrojeve potencija
8. Izraunaj
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
9. Izraunaj Samostalno! R: 10. Izraunaj Samostalno rijeite!
R:
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
BINOMNI POUAK
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6321!3
221!2
2n1nn2n1nn2n1nn3n
1nn1nn1nn2n
n1n
! 1n
1n
10n
takoefi cj enabi nomni hneki haunanj e
NnR,ba,svakia
=
==
===
===
=
+++
+++=+
nb0an n1nb1a1n
n3b3na3n
2b2na2n1b1na1
n0bna0nnb
K
R
Z
a
Slobodni lan u razvoju binoma ne sadri x. Opi lan binomnog rastava:
Zbroj binomnih koeficijenata u razvoju potencije je .
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
1. Prikai pomou binomne formule:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
4321
1234
4321
3424144
!4
4321
234
321
24144
!3
632
12
32
4144
41
4;1
1
1114
=////////=
==
=////=
==
==//=
==
====
=++
+++=
3n2n1nn4 4
2n1nn34
212!1nn
24
1!n
14
04
40x4 431-1x3
4
22x2413x1
404x041-x
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
( ) ( ) ( )
( )
( ) 1x42x 63x44x41-
1-
1-x
++=
++=
++++=
11144
1411114
x2x 63x44x
0x11-1x2x 63x44x
x
x
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
154321
12345
54321
453525155
!5
54321
2345
4321
3525155
!4
1025321
32
45
321
25155
!3
1025
12
245
21
155
51
5;1
51551
111
=//////////=
==
=//////=
==
==////=
==
==//=
==
====
=+++
+++=+
4n3n2n1nn5 5
3n2n1nn45
2n1nn3 5
2!1nn
25
1!n
15
0x41x45312x3 5
23x2514x1
505x0 55 1x2
0 5
2
Samostalno nastavite rjeavati!
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
5x1
3x5
x10x103x55x
5x1x
++=
=++=
=
//+
/////
/+/
/=
=++
+++=
=+++
+++=
5x1
x1
1x11x13x5x
5x1
34x
1x13x
12x2x113x1
x134x5x
x10x
4
x11x
3
x12x
2
x13x1
1
x4x0
x15x1
x10x
4
x11x4
53
x12x3 5
2
x13x2
51
x4x1
50x15x0 5
13
51005
1
510051
52010
01
5
5
55
1)3
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
154321
12345
54321
453525155
!5
54321
2345
4321
3525155
!4
1025321
32
45
321
25155
!3
1025
12
245
21
155
51
5;1
=//////////=
==
=//////=
==
==////=
==
==//=
==
====
4n3n2n1nn5 5
45
3 5
0 5
3n2n1nn
2n1nn
2!1nn
25
1!n
15
4. Odredi zbroj koeficijenata u razvoju binoma (5 x2 4 y3)7. a = 5 x2 b = - 4 y3
n = 7 R: 1
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
5. Zbroj binomnih koeficijenata u razvoju potencije
iznosi 128. Odredi lan koji sadri Zbroj binomnih koeficijenata u razvoju potencije je .
- Odreivanje lana koji sadri
Opi lan binomnog rastava: kbkna
k
n
( ) ( ) ( )
=
=
+=
kk31k72
3ak
k31-k72
3ak
k31-ak72
3a 7777k
( ) 5k31k723 akak 77
=
( ) 5k 31k7 =23
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
5asadri lan k =5
6. Odredi onaj lan u razvijenom obliku potencije , koji
ne sadri a.
kbkna
k
n1
kak
32
akka
k32
akk
a1k2a 151515
=k
=
1
15
1
15153
1opi lan binomnog rastava:
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
=
=
kaakkaak
kak
32
ak151515
32152)15(
32
1
15 kk
=
=
=
k3k230
akk3
k230ak
kaak151515
3230 k
=
=
=
3k530
ak3
3k-k230ak
33k-k230
ak151515
0=3k503
0=3k503
6530
30kk50
==
== 0
k
5 3
0n
1.
6
n7.
5n
4n
3n
2n
1n
6.5.4.3.2.
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
Sedmi lan ne sadri a. 8. Zbroj koeficijenata prvog, drugog i treeg lana u raspisu izraza
jednak je 46. Odredi onaj lan raspisa koji ne sadri x.
kbkna
k
n
Zbroj koeficijenata prvog, drugog i treeg lana je 46. 1. 2. 3.
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
Potencije binoma su uvijek pozitivne vrijednosti.
- Odreivanje lana koji ne sadri x
Opi lan binomnog rastava:
lan ne sadri x (slobodni lan)
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
9. U raspisu izraza binomni koeficijent treeg lana
za 44 je vei od binomnog koeficijenta drugog. Odredi slobodni lan. Slobodni lan u razvoju binoma ne sadri x. Uputa: Binomni koeficijent treeg lana za 44 je vei od binomnog koeficijenta drugog lana trei lan
drugi lan
Odreivanje slobodnog lana koji ne sadri x isti postupak kao u prethodnom zadatku
10. lan od
64 x1x
+ koji ne sadri x
n = 6
41x
21x
==
==
4 x1
x
b
a
__________ U binomnom razvoju broj lanova je za jedan vei od zadanog eksponenta.
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
n = 6 sedam lanova u binarnom razvoju Opi lan binomnog rastava:
Samostalno!
11. U prikazu binoma
nx12x
koeficijenti etvrtog i desetog se
podudaraju. Odredi onaj lan koji ne sadri x.
+
nx12
+x
a
2x=
1== xx1b
0n
1.
a) etvrti i deseti lan se podudaraju
9
n3n
10.4.,8
n,7n,6
n,5n,4
n,,2n,1
n,9.8.7.6.5.3.2.
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )987654321
8n7n6n5n4n3n2n1nn9
3212n1nn
3
k211kn1nn
9n
=
=
=
=
+=
=
KK
9n
k
3n
k
kn
3n
0n
1.
9
n3n
10.4.,8
n,7n,6
n,5n,4
n,,2n,1
n,9.8.7.6.5.3.2.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
121239
938n7n6n5n4nn87654
9876548n7n6n5n4n3n
9876543218n7n6n5n4n3nn
321
9n
=
=+=
=
=
=
////=///
/
=
39
1
2n1n2n1n
nnn
n
3n
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
b) Nai lan koji ne sadri x 2x=a
1== xx1b
R:
12. Odredi 11. lan u raspisu potencije ( )13i2 gdje je i imaginarna jedinica.
i2
13
===
ban
ije
Samostalno !
13. Odredi 13. lan u raspisu potenc ( )153i1 gdje je i imaginarna jedinica.
Samostalno ! R: 331 695
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
TRIGONOMETRIJSKI PRIKAZ KOMPLEKSNOG BROJA
Prisjetimo se gradiva drugog razreda koji nam je potreban da savladamo Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja
Algebarski prikaz kompleksni broj
1. Odredi realni i imaginarni dio svakog od kompleksnih brojeva:
1)
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
2)
3)
4)
5)
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
Potencije imaginarne jedinice
uionica br. 4 (mala ploa pored prozora)
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
2. Izraunaj: 1)
Broj 24 djeljiv je s 4 i zadovoljava izraz
2)
Broj 123 pri dijeljenju sa 4 daje ostatak 3. i zadovoljava izraz
Kompleksna ravnina
(4, 7) Prvi element ureenog para: 4 Drugi element ureenog para: 7
Napiite jedan ureen par ?
SVAKI KOMPLEKSNI BROJ MOE SE ZAPISATI KAO UREEN PAR REALNIH BROJEVA. Prvi element ureenog para je realni dio kompleksnog broja, a drugi element ureenog para je imaginarni dio. z = 2 + 3i = M (2, 3) Re (z) = 2 Im (z) = 3
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
x os - realna os (realni brojevi = realni dio kompleksnog broja) y os - imaginarna os (imaginarni brojevi = imaginarni dio kompleksnog broja) Kompleksna ravnina ili Gaussova ravnina je koordinatna ravnina u kojoj su smjeteni svi kompleksni brojevi.
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
z4 = - i
z3 = - 3
z2 = 4 -2i = M
z1= 1 + 4i
z4 = - i
z3 = - 3
z2 = 4 - 2i
z1 = 1 + 4i
imaginarna os
realna os2 (4, -2)
M1 (1, 4) =
Re (z4) = 0Im (z4) = -1 M4 (0, -1) = z4
Re (z3) = - 3Im (z3) = 0 M3 (-3, 0) = z3
Re (z2) = 4Im (z2) = -2 M2 (4, -2) = z2
Re (z1) = 1Im (z1) = 4 M1 (1, 4) = z1
z = x + yi - kompleksni broj Re (z) = x Im (z) = y ureenom paru (x, y) odgovara toka M (x, y)
3. Napiite ureene parove kompleksnih brojeva: a) z = -2 + 2i
Re (z) = -2 Im (z) = 2
ureen par kompleksnog broja je (-2, 2)
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
b) z = - 4
Re (z) = - 4 Im (z) = 0
ureen par je (- 4, 0)
c) z = i
Re (z) = 0
Im (z) =
ureen par kompleksnog broja je (0, )
4. Odredite skup toaka z kompleksne ravnine za koje vrijedi Re (z) = Im (z + i) Samostalno!
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Kartezijeve i polarne koordinate vezane su relacijama:
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Kut se naziva argument kompleksnog broja.
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV
Modul kompleksnog broja r
Udaljenost toke M (X, Y) od ishodita koordinatnog sustava je modul kompleksnog broja odnosno pozitivan realan broj
r=|z| = modul
j
M (x, y)z
y
x
Imaginarnaos
realna os
Kada su zadana dva kompleksna broja ,
tada je njihova udaljenost
5. Prikai u kompleksnoj ravnini skup toaka odreenih uvjetima 1. |z| = |z + i| Uputa:
Samostalno! 6. Prikai u kompleksnoj ravnini skup toaka odreenih uvjetima | z - 1 - i | = | z + 2 + i | Samostalno!
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
-
Nastavna cjelina: Razred: IV
Autor:E.M. Fotografije:E.M.
BROJEVI
7. Odredi argument i modul kompleksnog broja koji je a) suprotan; b) konjugiran; c) reciproan kompleksnog broja Uputa:
Samostalno! R: a)
b)
c)
8. Ako je
koliko je Samostalno! R:
Potovani uenici !
U daljnjem vremenskom periodu nadopuniti u s jo rijeenih zadataka.