PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK · Permütasyon, Kombinasyon, Binom,...
Transcript of PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK · Permütasyon, Kombinasyon, Binom,...
PERMÜTASYON, KOMBİNASYONBİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK
ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTPermütasyon
1. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar.
2. Kazanım : n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarını belirleyerek n, r ∈ N ve n ≥ r olmaküzere, n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısının
P(n, r) = n(n – 1)(n – 2)…(n – r + 1) = ( ) !
!n r
n–
olduğunu gösterir.
3. Kazanım : Dönel (dairesel) permütasyon ile ilgili uygulamalar yapar.
4. Kazanım : Tekrarlı permütasyon ile ilgili uygulamalar yapar.
Kombinasyon
1. Kazanım : n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarını belirleyerek n, r ∈ N ve n ≥ r olmaküzere, n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısının
C(n, r) = !
( , )! ( ) !
!r
P n rr n r
n–
= olduğunu ve kombinasyonun özelliklerini gösterir.
Binom Açılımı
1. Kazanım : Binom açılımını yapar.
Olasılık
1. Kazanım : Deney, çıktı, örneklem uzay, örneklem nokta, olay, kesin olay, imkânsız olay, ayrık olaylarkavramlarını açıklar.
2. Kazanım : Olasılık fonksiyonunu belirterek bir olayın olma olasılığını hesaplar ve olasılık fonksiyo-nunun temel özelliklerini gösterir.
3. Kazanım : Eş olasılı (olumlu) örneklem uzayı açıklar ve bu uzayda verilen bir A olayı için
P(A) = ( )( )
s Es A olduğunu belirtir.
4. Kazanım : Koşullu olasılığı açıklar.
5. Kazanım : Bağımsız ve bağımlı olayları örneklerle açıklar, A ve B bağımsız olayları için
P(A ∩ B) = P(A).P(B) olduğunu gösterir.
İstatistik
1. Kazanım : Verilen bir gerçek yaşam durumuna uygun serpilme grafiği ve kutu grafiği çizer ve bugrafikler üzerinden çıkarımlarda bulunur.
2. Kazanım : Verilen bir gerçek yaşam durumunu yansıtabilecek en uygun grafik türünün hangisi oldu-ğuna karar verir, grafiği oluşturur ve verilen bir grafiği yorumlar.
3. Kazanım : Merkezi eğilim ve yayılma ölçüleri kullanılarak gerçek yaşam durumları için hangi eğilimveya yayılım ölçüsünü kullanması gerektiğine karar verir.
4. Kazanım : Verilen iki değişken arasındaki korelasyon kat sayısını hesaplar ve yorumlar.
154
ÖRNEK 1
4 erkek ve 2 kadın arasından 1 erkek ve 1 kadın kaç
değişik şekilde seçilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 2
3 mektup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde atı-labilir?Çözüm
PERMÜTASYON, KOMBİNASYONBİNOM, OLASALIK ve İSTATİSTİK
Bire Bir Eşleme Yoluyla SaymaBir kümenin eleman sayısını, sayma sayıları kümesinin yani N+ = {1, 2, 3, .....} kümesinin elemanları ile bire bir eşleyerek bulmaya bire bir eşleme yoluyla sayma denir.Örneğin; bir sınıftaki öğrenci sayısını veya bir kitaptaki yaprakların sayısını bu yolla bulabiliriz.
Toplama Yoluyla SaymaA ve B ayrık ve sonlu iki küme olmak üzere, A ve B kümelerinin toplam kaç elemanı olduğunu,s(A ∪ B) = s(A) + s(B) , ( A ∩ B = ∅ ) şeklinde toplama yaparak buluruz.Örneğin; bir sınıfta 12 kız, 15 erkek öğrenci varsa, toplam kaç öğrenci olduğunu bulmak için öğrencilerin hepsini saymaya gerek yoktur. Kısaca, sınıfta 12 +15 = 27 öğrenci vardır diyebiliriz. Bu yolla yapılan sayma işlemine toplama yoluyla sayma denir.
Çarpma Yoluyla Saymaİkişer ikişer ayrık ve her biri a elemanlı b tane kümenin birleşiminin eleman sayısı a.b dir. Birleşim kümesinin eleman sayısını bu şekilde bulma işlemine çarpma yoluyla sayma denir.Örneğin; bir okulda 10 sınıf ve her sınıfta 30 öğrenci varsa, bu okulda 10.30 = 300 öğrenci vardır.
Saymanın Temel İlkesiBir olaylar dizisinde birinci olay n1 değişik biçimde, bunu izleyen ikinci olay n2 değişik biçimde ve bu şekilde işleme devam edildiğinde r. olay nr farklı biçimde oluşuyorsa, olayın tamamı n1.n2. ... nr çarpımı kadar değişik biçimde oluşur.
Örneğin, 3 farklı gömleği, 2 farklı kravatı olan bir kişi, bir gömlek ve bir kravatı 3.2 = 6 farklı biçimde giyebilir.
g1
k1 k2
g2
k1 k2
g3
k1 k2
Bu durumu ağaç diyagramı adı verilen yandaki
yöntemle de bulabilirdik.
Gömlekler: g1, g2, g3 , Kravatlar: k1, k2, k3
olmak üzere biçiminde 6 farklı durum vardır.Burada, G = {g1, g2, g3}, K = {k1, k2} olmak üzere, 1 gömlek ve 1 kravattan oluşan gömlek - kravat ikilisinin seçileceği kartezyen çarpım kümesi ise G x K = {(g1, k1), (g1, k2), (g2, k1), (g2, k2), (g3, k1), (g3, k2)} dir. G x K kümesi 3.2 = 6 tane ikiliden oluşmaktadır. Yani, 3 gömlek ve 2 kravatı olan bir kişinin, bir gömlek ve bir
kravatı 6 farklı biçimde giyebileceğini bu yolla da bulabiliriz.
SAYMA KURALLARI
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
155
ÖRNEK 3
Bir kutuya en çok bir mektup atmak koşulu ile 3 mek-tup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde atılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 4
Birbirinden farklı 3 matematik, 4 fizik ve 2 kimya kitabı arasından 1 matematik, 1 fizik ve 1 kimya kitabı kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 5
5 kişilik bir komisyondan bir başkan, 1 başkan yar-dımcısı ve bir sekreter kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 6
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak;
a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
c. Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
d. Üç basamaklı ve rakamları farklı kaç tek sayı
yazılabilir?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
156
ÖRNEK 7
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak;
a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
c. Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
d. Üç basamaklı ve rakamları farklı kaç çift sayı
yazılabilir?
e. 5 ile bölünebilen üç basamaklı kaç farklı sayı
yazılabilir?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
157
ÖRNEK 8
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile 4000 den büyük, rakamları farklı dört basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 9
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile 300 den büyük 500 den küçük, rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 10
İ, S, T, A, N, B, U, L
harflerini bir kez kullanmak şartıyla 4 harfli anlamlı ya
da anlamsız kelimeler yazılacaktır.
Bu kelimelerin kaç tanesinde A harfi vardır?
Çözüm
ÖRNEK 11
5 kişinin katıldığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı
biçimde oluşabilir?
Çözüm
ÖRNEK 12
3 farklı oyuncak 6 çocuğa kaç değişik biçimde dağı-
tılabilir?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
158
ÖRNEK 13
3 farklı oyuncak 6 çocuğa, bir çocuğa birden fazla
oyuncak vermemek koşulu ile kaç değişik biçimde
dağıtılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 14
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanları ile en az iki ra-
kamı birbirinin aynı olan, üç basamaklı kaç farklı sayı
yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 15
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak
yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm beş ba-
samaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
Buna göre, 50. sırada hangi sayı vardır?
Çözüm
ÖRNEK 16
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak
yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm dört
basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
Buna göre, 3214 sayısı kaçıncı sırada yer alır?
Çözüm
ÖRNEK 17
A B C
Şekildeki çizgiler A, B ve C kentleri arasındaki yolları
göstermektedir. Buna göre, A kentinden hareket edip
C kentine gidecek olan bir kimse kaç değişik yol iz-
leyebilir?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
159
Çözüm
ÖRNEK 18
Bir toplantıda herkes birbiri ile tokalaşmıştır. Toplam 45 tokalaşma olduğuna göre, toplantıda kaç kişi vardır?
Çözüm
FAKTÖRİYEL (ÇARPANSAL)
n ∈ N+ olmak üzere, 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! ile gösterilir. Buna göre,
n! = 1.2.3. ......... (n – 1).n olur.
1! = 1
2! = 1.2 = 2
3! = 1.2.3 = 6
4! = 1.2.3.4 = 24
5! = 1.2.3.4.5 = 120
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n! = 1.2.3..............n
n! = (n – 1)!.n
n! = (n – 2)!.(n – 1).n
0! = 1 dir.
ÖRNEK 19
15! = 14!.15 = 13!.14.15
= 12!.13.14.15 olur.
ÖRNEK 20
Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.
a. !!
810 b.
!! !10
8 9+
c. ( ) !( ) !nn
11
–+ d.
! !! !
5 45 6
–+ e.
!( !) !73
Çözüm
ÖRNEK 21
0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ………+19!
sayısının birler basamağındaki rakamı kaçtır?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
160
ÖRNEK 22
20! sayısı 19! sayısından kaç fazladır?
Çözüm
ÖRNEK 23
85! sayısının sondan kaç basamağı 0 (sıfır) dır?
Çözüm
ÖRNEK 24
23! + 24! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözüm
ÖRNEK 25
78! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır?
Çözüm
ÖRNEK 26
A ve n doğal sayılar olmak üzere, 26! = 6n.A eşitli-
ğini sağlayan n değeri en çok kaç olabilir?
Çözüm
ÖRNEK 27
x ve y birer doğal sayıdır.
x! = 6. y! ise y kaç farklı değer alabilir?
Çözüm
161
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. 2 mektup 4 posta kutusuna kaç farklı şekildeatılabilir?
2. Bir kutuya en çok 1 mektup atmak koşuluyla 2mektup 4 posta kutusuna kaç değişik biçimdeatılabilir?
3. 20 kişilik bir sınıftan bir başkan, bir başkan yar-dımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
4. 10 kişilik bir arkadaş grubunda herkes birbiri iletokalaşmıştır. Kaç tokalaşma olmuştur?
5. Beş soruluk bir test sınavında her soru için 5seçenek vardır. Bu sınav için kaç farklı cevapanahtarı hesaplanabilir?
6. 2 kişi 6 farklı şehire kaç farklı şekilde gidebilir?
7. Herkesin birbirine bir fotoğraf verdiği bir topluluk-ta dağıtılan fotoğraf sayısı 56 olduğuna göre butoplulukta kaç kişi vardır?
8. A kentinden B kentine 3 farklı yol, B kentinden Ckentine 4 farklı yol vardır. B ye uğramak koşuluy-la A dan C ye
a. Kaç türlü gidilebilir?
b. Kaç türlü gidilip gelinebilir?
c. Giderken kullanılan yolu dönerken kullanma-mak koşuluyla kaç türlü gidilip gelinebilir?
9. Birbirinden farklı 4 Geometri, 5 Matematik ve xTürkçe kitabı arasından, 1 Geometri, 1 Matematikve 1 Türkçe kitabı 60 farklı şekilde seçilebildiğinegöre x kaçtır?
ALIŞTIRMALAR – 1
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
162
ES
EN
YAY
INLA
RI
10. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere A kümesininelemanlarını kullanmak koşuluyla aşağıdakiler-den doğru olanlar için boş kutulara “D” yanlışolanlar için “Y” yazınız.
Üç basamaklı 216 sayı yazılabilir.
Rakamları farklı üç basamaklı 120 sayı
yazılabilir.
Rakamları farklı, üç basamaklı 60 çift sayı yazılabilir.
Rakamları farklı ve 400 den büyük 60 sayı yazılabilir.
En az iki rakamı aynı olan 96 sayı yazıla-bilir.
Üç rakamı aynı olan 6 sayı yazılabilir.
11. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarınıkullanarak
a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazı-labilir?
c. Rakamları farklı 5 ile bölünebilen üç basa-maklı kaç sayı yazılabilir?
d. Rakamları farklı üç basamaklı 300 den büyükkaç sayı yazılabilir?
e. Rakamları farklı 500 den küçük 200 denbüyük kaç sayı yazılabilir?
12. Aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara“D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
G, İ, Z, E, M harflerini bir kez kullanarak
4 harfli, 120 tane sözcük yazılabilir?
A, Y, B, E, N, İ, Z harflerini bir kez kulla-narak 5 harfli 840 tane sözcük yazılabilir?
Ü, Ç, G, E, N harflerini bir kez kullanarak yazılabilecek 4 harfli sözcüklerin 98 tane-sinde E harfi vardır?
13. Aşağıdaki işlemlerin her birinin sonucunu bulu-nuz.
a.!!
1012
b. !
! !8
6 7+
c. ( ) !( ) !nn
13
++
d. ! !! !
5 64 5
++
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
163
ES
EN
YAY
INLA
RI
14. Aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara“D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
0! = 0 dır.
1! = 1 dir.
10! sayısı 8! sayısının 90 katıdır.
(n + 2)! = (n – 2)!.(n – 1)n(n + 1) dir.
6!.7! = 10! dir.
!( ) !
nn2
2= dir.
15. 2! + 4! + 6! + ..... + 80! sayısının birler basama-ğındaki rakam kaçtır?
16. 2! + 3! + 4! + ..... + 40! sayısının 40 ile bölümün-den kalan kaçtır?
17. 72! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
18. 23! + 24! + 25! sayısının sondan kaç basamağısıfırdır?
19. 60! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamıvardır?
20. Aşağıdaki eşitliklerin herbirinde x ve y doğalsayılardır. Buna göre bu eşitlikleri sağlayan enbüyük x değerlerini bulunuz.
a. 32! = 3x.y
b. 40! = 6x.y
c. 28! = 4x.y
d. 46! = 12x.y
21. 10! sayısı 8! sayısından kaç fazladır?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
164
PERMÜTASYON (SIRALAMA)
A sonlu bir küme olmak üzere, A dan A ya tanımlanan
bire bir ve örten her fonksiyona, A nın bir permütas-
yon fonksiyonu ya da kısaca permütasyonu denir.
A = { 1, 2, 3 } olsun.
1
2
3
1
2
3
A Af
Yukarıdaki şema ile tanımlanan bire bir ve örten f
fonksiyonu bir permütasyon fonksiyonudur.
f fonksiyonunu,
f = { (1, 2) , (2, 1) , (3, 3) } veya f 12
21
33
= c m
biçiminde gösterebiliriz.
ÖRNEK 28
A = { 1, 2, 3 } kümesinde tanımlanan tüm permütas-
yon fonksiyonlarını gösteriniz.
Çözüm
Permütasyonların Sayısı
n, r ∈ N+ ve r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir küme-
nin birbirinden farklı r tane elemanından oluşmuş sı-
ralı r lilerin her birine n nin r li permütasyonu denir.
n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı,
( , )( ) !
!P n rn r
n–
= olur.
r = n ise n elemanlı bir kümenin permütasyonlarının
sayısı, P(n, n) = n! olacaktır.
ÖRNEK 29
A = { a, b, c } kümesinin ikili permütasyonlarının sa-
yısını bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 30
Bir A kümesinin üçlü permütasyonlarının sayısı 60
ise s(A) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 31
P(n, 1) = P(8, 2) ise n kaçtır?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
165
ÖRNEK 32
A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 lü permütasyonları-
nın kaç tanesinde a bulunur?
Çözüm
ÖRNEK 33
5 kişi, 3 kişilik bir banka kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözüm
ÖRNEK 34
5 kişi, 5 kişilik banka kaç değişik şekilde oturabilir?
Çözüm
ÖRNEK 35
Birbirinden farklı 3 matematik, 2 fizik ve 1 kimya kitabı
bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm
ÖRNEK 36
Birbirinden farklı 3 matematik ve 4 tarih kitabı bir
rafa, matematikler bir arada olmak koşulu ile kaç türlü
sıralanabilir?
Çözüm
ÖRNEK 37
5 farklı matematik, 4 farklı fizik ve 3 farklı kimya kitabı
bir rafa aynı tür kitaplar bir arada bulunmak koşuluyla
kaç değişik biçimde sıralanabilir?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
166
ÖRNEK 38
Ayşe ve Fatma’nın da aralarında bulunduğu 6 kişi,
Ayşe ile Fatma art arda gelmemek şartıyla bir kuy-
rukta kaç farklı şekilde dizilebilirler?
Çözüm
ÖRNEK 39
6 kız ve 3 erkek öğrenci, erkeklerden herhangi ikisi
yan yana gelmemek şartı ile bir sırada kaç farklı
şekilde dizilerek fotoğraf çektirebilirler?
Çözüm
ÖRNEK 40
4 erkek ve 3 bayan, bir erkek – bir bayan düzeninde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
Çözüm
TEKRARLI PERMÜTASYON
n elemanlı bir kümenin;
n1 tanesi aynı tür, n2 tanesi aynı tür, .........., nr tanesi aynı tür ve n1 + n2 + ......... + nr = n ise bu n tane
elemanın permütasyonlarının sayısı
P(n; n1, n2, ..., nr) = !. !…… !
!n n n
nr1 2
kadardır.
ÖRNEK 41
Özdeş 2 sarı ve 3 kırmızı bilye bir sırada kaç farklı
şekilde dizilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 42
333221 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek
altı basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
167
ÖRNEK 43
ANKARA sözcüğünün harflerinin yerleri değiştirilerek
anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kaç farklı sözcük ya-
zılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 44
MATEMATİK sözcüğünün harflerinin yerleri değiştiri-
lerek anlamlı ya da anlamsız, 9 harfli ve M ile başla-
yıp M ile biten kaç farklı sözcük yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 45
4442200 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek
7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 46
KELEBEK kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek
yazılabilen anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kelimelerin
kaç tanesinde E harfini K harfi takip eder?
Çözüm
ÖRNEK 47
A
B
Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokak-
larını göstermektedir. A dan hareket edip B noktasına
en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol
izleyebilir?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
168
ÖRNEK 48
333001 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 1
ile başlayan 6 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 49
1103334 sayısının rakamları ile 7 basamaklı kaç fark-
lı çift doğal sayı yazılabilir?
Çözüm
DÖNEL (DAİRESEL) PERMÜTASYON
Sonlu bir kümenin elemanlarının bir daire üzerinde
birbirlerine göre farklı dizilişlerinin her birine bu ele-
manların bir dönel (dairesel) permütasyonu denir.
Sonlu n elemanın farklı dairesel permütasyonlarının
sayısı (n – 1)! tanedir.
ÖRNEK 50
Ahmet, Barış ve Ceylan’ın yuvarlak bir masa etrafın-
da kaç değişik şekilde oturabileceklerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 51
2 kız ve 3 erkek, yuvarlak bir masa etrafında kaç de-
ğişik şekilde oturabilirler?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
169
ÖRNEK 52
3 kız ve 4 erkek, yuvarlak bir masa etrafında, kızlar
yanyana olmak koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözüm
ÖRNEK 53
3 kız ve 4 erkek, yuvarlak bir masa etrafında, kızlar
yanyana olmamak koşulu ile kaç farklı şekilde otu-
rabilir?
Çözüm
ÖRNEK 54
4 öğretmen, 3 mühendis ve 2 doktor yuvarlak bir
masa etrafında oturacaklardır. Aynı meslekten olan-
lar birbirinden ayrılmamak koşulu ile kaç farklı şekilde
oturabilirler?
Çözüm
ÖRNEK 55
4 kız ve 4 erkek öğrenci yuvarlak bir masa etrafına
2 erkek arasında 1 kız olmak koşulu ile kaç değişik
şekilde oturabilirler?
Çözüm
ÖRNEK 56
Renkleri farklı 5 boncuk bir halkaya kaç değişik şekil-
de dizilebilir?
Çözüm
170
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin üçlü permütasyonları-nın herbirini yazınız.
2. A = {a, b, c, d, e} kümesinin dörtlü permütasyon-larının kaç tanesinde a bulunur?
3. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
Üçlü permütasyonlarının sayısı 24 olan
küme 4 elemanlıdır.
İkili permütasyonlarının sayısı 20 olan küme 5 elemanlıdır.
P(n, 0) = 120 ise n = 4 tür.
P(4, 2) + P(3, 2) = 18 dir.
4. Aşağıda sol sütunda verilen ifadelerin eşitini sağsütundan bulup eşleştiriniz.
P(n, 0)
P(n, 1)
P(n, 2)
P(n, n)
n2 – n
n
n!
1
5. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerinibulunuz.
a.( , )( , )
P nP n
65
32=
b. P(n + 1, 2) = 2.P(n, 2)
c. P(n, 5) = 5.P(n – 1, 3)
d. P(n, 0) + P(n, 1) + P(n, 2) = 10
6. 4 kişilik bir banka 120 farklı şekilde oturabilen birgrupta kaç kişi vardır?
7. 5 erkek ve 5 bayan, bir erkek - bir bayan düzenin-de yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
ALIŞTIRMALAR – 2
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
171
ES
EN
YAY
INLA
RI
8. Birbirinden farklı 4 Matematik, 3 Fizik ve 2 Türkçekitabı bir kütüphanenin rafına,
a. Kaç farklı şekilde sıralanabilir?
b. Matematikler bir arada olmak üzere kaç türlüsıralanabilir?
c. Türkçelerin biri başta, diğeri sonda olacakşekilde kaç türlü sıralanabilir?
d. Belli iki Matematik kitabı bir arada olmaküzere kaç türlü sıralanabilir?
9. 5 erkek ve 4 bayan, bir erkek - bir bayan düzenin-de yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
10. Bir grup arkadaş, yan yana bulunan iki koltuğa 30farklı şekilde oturabiliyorsa, yan yana bulunan 4koltuğa kaç farklı şekilde oturabilirler?
11. ECEM sözcüğündeki harfleri yer değiştirerekanlamlı ya da anlamsız 4 harfli kaç farklı sözcükyazılabilir?
12. OLASILIK sözcüğündeki harfleri yer değiştirerekanlamlı ya da anlamsız 8 harfli, O ile başlayankaç farklı sözcük yazılabilir?
13. 12232100 sayısının rakamlarını yer değiştirerek8 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
14. FİRİKİK sözcüğündeki harflerin yerleri değiştiri-lerek yazılabilen 7 harfli sözcüklerin kaç tanesin-de İ harfini K harfi takip eder?
15. Aybars ile Ecem’in de aralarında bulunduğu 7kişi, Aybars ile Ecem yan yana gelmemek koşu-luyla bir sıra halinde kaç farklı şekilde sıralanabi-lirler?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
172
ES
EN
YAY
INLA
RI
16. 21130751 sayısının rakamları ile 8 basamaklıkaç farklı çift sayı yazılabilir?
17. A
C
D
B
Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir. A dan harekete baş-layıp B ve C ye uğrayarak D kentine en kısa yoldan gitmek isteyen biri kaç değişik yol izleye-bilir?
18. 5 kız, 5 erkek arkadaş yuvarlak masa etrafında2 erkek arasında 1 kız olmak koşuluyla kaç türlüoturabilirler?
19. 4 evli çift yuvarlak masa etrafında, eşler birbi-rinden ayrılmamak koşuluyla kaç farklı şekildeoturabilirler?
20. 5 erkek, 3 kız arkadaş yuvarlak masa etrafında
a. Kaç türlü oturabilirler?
b. Kızlar bir arada olmak üzere kaç türlü otura-bilirler?
c. Erkekler bir arada olmak üzere kaç türlü otu-rabilirler?
21. 2 kız ve bir grup erkekten oluşan topluluk yuvar-lak masa etrafında, kızlar bir arada olmak koşu-luyla 48 farklı şekilde oturabiliyorsa bu topluluktakaç erkek vardır?
22. x kişi yuvarlak masa etrafına a farklı şekilde,
bir bankın üzerine b farklı şekilde oturabiliyorsa
ab kaçtır?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
173
ÖRNEK 57
A = {a, b, c} kümesinin 2 elemanlı kombinasyonları ile 2 elemanlı permütasyonlarını karşılaştırınız.
Çözüm
ÖRNEK 58
.n
nn
12
2–=c cm m olduğuna göre, n kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 59
n n5 7
=c cm m ise n kaçtır?
Çözüm: l. Yol
ES
EN
YAY
INLA
RI
r, n ∈ N ve r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li
kombinasyonu denir ve n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı
( , )( ) !. !
!C n rnr n r r
n–
= =c m biçiminde ifade edilir.
nr
nn r–
=c cm m nn
n0
1= =c cm m n
nn
n1 1–
= =c cm m n
rnr
nr1
1–
+ =+
c c dm m n
P(n, r) = C(n, r).r! n n n n
n0 1 22… n+ + + + =c c c cm m m m
nx
ny
=c dm n ⇒ x = y veya x + y = n dir.
Kombinasyonda sıranın önemi yoktur. n elemanın r li seçimleri söz konusudur. Permütasyonda ise sıralı diziliş vardır.
KOMBİNASYON (SEÇME)
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
174
ÖRNEK 60
n62
61
=+
d dn n ise n nin alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 61
62
63
74
85
96
+ + + +d d d d dn n n n n toplamının sonucu kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 62
n n n
r5 61
719
+ ++
=c c d dm m n n ise n + r kaç olabilir?
Çözüm
ÖRNEK 63
A = {1, 2, 3, 4} kümesinin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
Çözüm
ÖRNEK 64
9 elemanlı bir kümenin en çok 7 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 65
7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
175
ÖRNEK 66
8 kişilik bir sporcu grubundan, 5 kişilik bir basketbol takımı, kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözüm
ÖRNEK 67
7 soruluk bir sınavda öğrencilerden 5 soruyu cevap-lamaları istenmiştir.
Bu sınava giren bir öğrenci bu seçimi kaç farklı şekil-de yapabilir?
Çözüm
ÖRNEK 68
Bir öğrencinin seçmesi gereken 7 seçmeli dersin 3 ü aynı gün ve aynı saatte okutulmaktadır. 4 ders seçmek isteyen bu öğrencinin kaç değişik seçeneği vardır?
Çözüm
ÖRNEK 69
Bir öğrenciden 8 soruluk bir sınavda 5 soruyu cevap-laması isteniyor. İlk 3 sorudan en az ikisinin cevap-lanması zorunluluğu olduğuna göre, bu öğrenci bu soruları kaç farklı biçimde cevaplayabilir?
Çözüm
ÖRNEK 70
A = {3, 5, 7} ve B = {2, 4, 6, 8} kümeleri veriliyor.
Bu kümelerden seçilen 2 tek ve 3 çift rakam ile 5 ba-samaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 71
5 erkek, 4 kız arasından 3 kişilik bir grup oluşturula-caktır. Grupta en az 2 erkek olması koşulu varsa, bu grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
176
ÖRNEK 72
15 kişilik bir sporcu grubundan takıma girecek 3 kişi bellidir. Buna göre, bu gruptan 11 kişilik futbol takımı kaç değişik biçimde seçilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 73
6 sı doktor, 6 sı hemşire olan bir gruptan 4 kişilik bir sağlık ekibi oluşturulacaktır. Ekipte en az bir doktor bulunması istenirse, bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 74
Bir otelde 3 yataklı bir oda ve 2 yataklı üç oda boştur. 9 kişi bu odalara kaç farklı biçimde yerleştirilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 75
4 ü subay, 6 sı er olan bir gruptan 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Ekipte en çok 2 er bulunması istenir-se, bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 76
10 kız öğrenci ve 8 erkek öğrenci arasından 2 kız öğ-renci ve 2 erkek öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
177
ÖRNEK 77
10 kişiden 6 sı Urfa’ya ve 4 kişi Çorum’a gidecektir. Bu iki grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir?
Çözüm
ÖRNEK 78
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile a < b < c olmak üzere kaç farklı abc üç basamaklı sayısı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 79
a, b, c, d birer rakam olmak üzere, a < b < c < d koşulunu sağlayan kaç farklı abcd dört basamaklı sayısı yazılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 80
Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir ailenin elinde 3
kişilik bir davetiye vardır. Anne veya babadan en az
birisinin davete katılması gerektiğine göre, bu davete
3 kişi kaç farklı şekilde katılabilirler?
Çözüm
ÖRNEK 81
5 farklı oyuncağın 3 ü Özge’ye, 2 si Özlem’e kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
Çözüm
ÖRNEK 82
Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın ikisinden geçen en fazla kaç doğru çizilebilir?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
178
ÖRNEK 83
Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 farklı noktadan, köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 84
Aynı düzlemde bulunan 10 farklı doğru en fazla kaç noktada kesişebilir?
Çözüm
ÖRNEK 85
A, B, C, D, E, F, G, H noktaları aynı düzlemde olup herhangi üçü doğrusal değildir.
Köşeleri bu noktalar olan üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A noktasıdır?
Çözüm
ÖRNEK 86
d1
d2D E GF
A B C
Yukarıdaki şekilde d1 // d2 olmak üzere, köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 87
d1
d2
DB
C
AE
GF
Yukarıdaki şekilde A noktasında kesişen iki doğru üzerindeki bazı noktalar verilmiştir. Köşeleri bu 7 nok-tadan herhangi üçü olan kaç tane üçgen çizilebilir?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
179
Çözüm
ÖRNEK 88
Düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi doğrusaldır. Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç tane üçgen çizilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 89
Birbirine paralel olan 4 doğru ile birbirine paralel olan 5 doğru kesiştirilirse oluşan şekilde kaç tane paralel-kenar vardır?
Çözüm
ÖRNEK 90
6 farklı çemberin kesişmesi ile en çok kaç tane kesi-şim noktası oluşur?
Çözüm
ÖRNEK 91
dA B
C D
E
GF
Yukarıdaki şekilde verilen A, B, C, D, E, F, G nok-talarının herhangi ikisinden geçen kaç farklı doğru çizilebilir?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
180
ÖRNEK 92
Bir çember üzerindeki 8 noktayı birleştirerek köşeleri bu noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 93
B C
A
D G
E
F H
Köşeleri şekildeki noktalar olan kaç farklı üçgen çi-zilebilir?
Çözüm
ÖRNEK 94
B C
A
G HE F
D
Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır?
Çözüm
ÖRNEK 95
5 farklı dikdörtgenin herhangi iki kenarının veya ke-narlarının bir parçasının çakışmadan kesiştirilmesiyle en çok kaç kesişim noktası oluşur?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
181
Çözüm
ÖRNEK 96
4 farklı üçgenin herhangi iki kenarının veya kenarla-rının bir parçasının çakışmadan kesiştirilmesiyle en çok kaç kesişim noktası oluşur?
Çözüm
ÖRNEK 97
B K CE
A
L
N
MF
D
Şekilde kaç tane dörtgen vardır?
Çözüm
ÖRNEK 98
Yandaki şekilde, bir hareketliC
B
A
A noktasından sağ veya
yukarı yönde ilerleyerek B
noktasından geçmemek
koşulu ile çizgiler üzerinden
C noktasına kaç farklı şekilde gider?
Çözüm
182
1. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
C(n, 0) = 1
C(n, n) = n
C(n, 1) = n
C(n, n–1) = 1
C(n, r) + C(n, r+1) = C(n+1, r+1)
P(n, r) = r!.C(n, r)
2. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerinibulunuz.
a. C(2n, 1) = 2.C(n, 2)
b. P(n, 2) = 2.C(n, 3)
c. P(n, 2) + C(n, 2) = 30
3. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerinibulunuz.
a.n n2 5
=c cm m
b. nn
n2 11
2 14–
+=
+d dn n
4. Aşağıdaki ifadelerin her birinin eşitini bulunuz.
a. 82
83
84
85
86
87
+ + + + +d d d d d dn n n n n n
b. 91
92
99
……+ + +d d dn n n
c. 41
42
53
64
75
+ + + +d d d d dn n n n n
5. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin
a. 3 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
b. En az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
c. En çok 3 elemanlı kaç tane alt kümesi var-dır?
6. Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın;
a. İkisinden geçen kaç tane doğru çizilebilir?
b. Köşeleri bu noktalar olan kaç tane üçgençizilebilir?
c. Köşeleri bu noktalar olan kaç tane çokgençizilebilir?
ES
EN
YAY
INLA
RI
ALIŞTIRMALAR – 3
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
183
ES
EN
YAY
INLA
RI
7. 10 kişilik bir sporcu grubundan 5 kişilik bir basket-bol takımı oluşturulacaktır. Takıma girecek olan 2kişi biliniyorsa kaç farklı takım oluşturulabilir?
8. 6 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan
a. 4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?
b. 3 kız, 1 erkekten oluşan 4 kişilik kaç ekip
oluşturulabilir?
c. En az 3 ü kız olan 4 kişilik kaç ekip oluşturu-
labilir?
d. En çok 3 ü erkek olan 4 kişilik kaç ekip oluş-
turulabilir?
9. A B
C
D
E
K
F
Bir çember üzerindeki 7 farklı noktadan çizilebile-cek üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A dır?
10. Bir sınavda sorulan 10 sorunun ilk dördünden enaz üçünü cevaplandırmak koşuluyla 7 soru kaçdeğişik biçimde seçilebilir?
11. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı altkümelerinin kaç tanesinde,
a. 3 bulunur?
b. 2 bulunmaz?
c. 2 ve 3 bulunur?
d. 2 veya 3 bulunmaz?
12. 5 elemanlı alt kümeleri sayısı 4 elemanlı alt kü-melerinin sayısına eşit olan kümenin 2 elemanlıkaç tane alt kümesi vardır?
13. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile,
a < b < c olmak üzere kaç farklı abc üç basa-maklı sayısı yazılabilir?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
184
ES
EN
YAY
INLA
RI
14. Aynı düzlemde bulunan 8 doğru en fazla kaçnoktada kesişebilirler?
15. A
B
C
D
E
K
L
M
F
Şekildeki 5 nokta doğrusal, diğer 4 nokta bir çem-ber üzerindedir. Köşeleri bu 9 noktadan seçilen en çok kaç üçgen çizilebilir?
16.
A
BC
DE
LM
K
Yukarıdaki şekilde B noktasında kesişen iki doğru üzerinde 8 nokta verilmiştir.
Bu noktaların,
a. En az ikisinden geçen kaç doğru çizilebilir?
b. Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç üçgençizilebilir?
c. Bir köşesi C olan ve diğer köşeleri öteki nok-talardan seçilen kaç üçgen çizilebilir?
17. 4 farklı çemberin kesişmesiyle en çok kaç tanekesim noktası oluşur?
18.
B C
A
K
D E F
Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır?
19. 1 1 1 1
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
Yukarıda bir kenar uzunluğu 4 br olan kare çizil-miştir.
a. Şekilde kaç tane dikdörtgen vardır?
b. Kaç tane kare vardır?
c. Karelerden kaç tanesinin kenar uzunluğu1 den büyüktür?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
185
ÖRNEK 99
Aşağıdaki açılımları inceleyiniz.
1. (x + y)1 = x1 +d dn n
2. (x + y)2 = x xy y2 2+ +d d dn n n = x2 + 2xy + y2
3. (x + y)3 = x x y xy y3 2 2 3+ + +d d d dn n n n = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
4. (x + y)4 = x x y x y xy y4 3 2 2 3 4+ + + +d d d d dn n n n n = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
n pozitif tam sayı olmak üzere, (x + y)n ifadesinin açılımına binom açılımı denir.
(x + y)n = n
xn
x yn
x ynn
y0 1 2
…n n n n1 2 2– –+ + + +c c c cm m m m açılımı;
x in azalan, y nin artan kuvvetlerine göre yapılmıştır.
y nin yerine –y yazılırsa (x – y)n ifadesinin açılımı elde edilir.
Her terimdeki dereceler toplamı n dir.
n + 1 tane terim vardır.
Kat sayılar toplamı x = y = 1 alınarak bulunur.
Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin kat sayıları eşittir.
(x + y)2n açılımında, ortadaki terim .nn
x y2 n nd n dir.
.nr
x yn r r–c m terimine genel terim denir. Genel terim; baştan (r +1). terim, sondan (n – r + 1). terimdir.
Pascal Üçgeni
1051 1510
641 14
31 13
1 12
1 1
1(x + y)0 →
(x + y)1 →
(x + y)2 →
(x + y)3 →
(x + y)4 →
(x + y)5 →
(x + y)0 ⎯→ 00d n
(x + y)1 ⎯→ 10
11
d dn n
(x + y)2 ⎯→ 20
21
22
d d dn n n
(x + y)3 ⎯→ 30
31
32
33
d d d dn n n n
(x + y)4 ⎯→ 40
41
42
43
44
d d d d dn n n n n
........... ............................................................... ............. .............................................
Kombinasyon konusu işlenirken verilen, n
rnr
nr1
1–
+ =+
c c dm m n bağıntısını, Pascal üçgenini kombinasyon
biçiminde yukarıdaki gibi yazdığımızda rahatlıkla görebiliriz.
Örneğin, , gibi10
11
21
21
22
32
+ = + =d d d d d dn n n n n n
BİNOM AÇILIMI
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
186
ÖRNEK 100
(2x – 5y)3 ifadesinin açılımını yapınız.
Çözüm
ÖRNEK 101
a b23
2+c m ifadesinin açılımını yapınız.
Çözüm
ÖRNEK 102
(2a + 3)4 ifadesinin açılımını yapınız.
Çözüm
ÖRNEK 103
(2a – b2 + c)5 açılımında kat sayılar toplamı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 104
(3x – 4y)n açılımında 8 tane terim bulunduğuna göre, bu terimlerin kat sayıları toplamı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 105
(x3 – 5x + 2)6 açılımında sabit terim kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 106
(x + 2y)6 açılımında ortadaki terim nedir?
Çözüm
ÖRNEK 107
(2x + y)10 açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sırala-nırsa baştan 4. terim ne olur?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
187
ÖRNEK 108
(x – 2y)n = xn + ...... + Ax6y4+.......
biçiminde x in azalan kuvvetlerine göre açılım yapıldı-ğına göre A kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 109
(x2 – y)12 açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sırala-nırsa sondan 4. terim ne olur?
Çözüm
ÖRNEK 110
xx12
6+c m ifadesinin açılımındaki x6 lı terimin kat sa-
yısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 111
aa1–32
5c m ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
188
ÖRNEK 112
xx
13 8+c m ifadesinin açılımındaki x li terimin kat
sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 113
5 53 5 11+^ h açılımında rasyonel terim kaça eşittir?
Çözüm
ÖRNEK 114
(x + y + z)n açılımındaki terimlerden birisi A.x2.y3.z5
olduğuna göre, A kaçtır?Çözüm
(ax + by + cz)n ifadesinin açılımında xp.yq.zt li
terimin kat sayısı ap.bq.ct.!. !. !
!p q t
n dir.
ÖRNEK 115
(x – 3y + 2z)6 ifadesinin açılımındaki terimlerden biri
A.x3.y2.z olduğuna göre, A kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 116
(x2 + 2y3 – z4)10 açılımı yapıldığında, içinde x6 çar-panı olup başka x çarpanı olmayan kaç terim vardır?
Çözüm
189
1. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
(a + b)n açılımında;
Baştan r. terim nr
a bn r r–c m dir.
Sondan (r + 1). terim nr
a br n r–c m dir.
Kat sayılar toplamı 2n dir.
n çift olmak üzere ortadaki terim için
r n2
= dir.
Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimle-rin kat sayıları eşittir.
2. (2x – y)6
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa baştan 3. terim ne olur?
3. Aşağıdaki açılımların her birinde sabit terimleribulunuz.
a. (x – 1)3
b. (3x – 2)4
c. (x2 – x + 2)5
4. Aşağıdaki açılımların her birinde kat sayılar top-lamını bulunuz.
a. (2x – 1)20
b. (3x + 1)4
c. (2x – 3y)7
d. (2x – 3y + z)40
e. (x – 2y + 3z)7
5. (2x2 – y)8
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa sondan 4. terim ne olur?
ES
EN
YAY
INLA
RI
ALIŞTIRMALAR – 4
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
190
ES
EN
YAY
INLA
RI
6. xx
3 1–2
6c m
açılımında ortadaki terim nedir?
7. (x – 3y)n = xn + ..... + Ax4y2 + .....
eşitliğine göre A kaçtır?
8. xx1–3
7c m
ifadesinin açılımında x5 li terimin kat sayısı kaçtır?
9. x
x1 –2
6c m
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
10. (x2 – 3y2)n
açılımında terimlerden biri Ax4y8 ise A kaçtır?
11. xx2–23
5c m
açılımında sabit terim baştan kaçıncı terimdir?
12. (x – y + 3z)6
açılımında terimlerden biri Ax2yz3 ise A kaçtır?
13. (v2 – 1)6
açılımında elde edilen terimlerden rasyonel olan-ları bulunuz.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
191
ÖRNEK 117
Bir madeni paranın atılması deneyinin;
çıktıları: Y (yazı) ve T (tura) dır.
Örnek uzayı: E = {Y, T} dir.
Buna göre, bir madeni paranın atılması sonucu, yazı veya tura gelmesi olayına (örnek uzaya) kesin olay
denir. Paranın dik gelmesi olayı ise olanaksız olaydır.
ÖRNEK 118
Bir tavla zarının atılması deneyindeki örnek uzay
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dir.
Üste gelen sayının tek gelmesi olayı, T = {1, 3, 5} ve
çift gelmesi olayı Ç = {2, 4, 6} dır. Bu iki olayın kesi-
şimleri boş küme olduğundan, bu iki olaya ayrık (ba-
ğımsız) olaylar denir. Gelen sayının asal sayı olması
olayı, A = {2, 3, 5} olup A ∩ T ≠ Ø ve Ç ∩ A ≠ Ø dır. Yani, A olayı ile T ve Ç olayları ayrık olaylar değildir.
ÖRNEK 119
İki madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını yazınız.
Çözüm
Olasılık, sonucu kesin olmayan olayları sayılarla ifade eder. Olasılık teorisi günümüzde şans oyunlarının yanı-
sıra, ekonomi, spor, siyaset, bilimsel tespitler, meteoroloji, sigortacılık, bankacılık ve milli savunma gibi pek çok
uygulama alanında kullanılmaktadır.
Deney ve Çıktı
Yeni bilgi kazanmak ve olayların gelişimini incelemek için yapılan deneme ve testlere deney denir. Bir deneyin
mümkün olan her türlü sonucuna çıktı adı verilir. Düzgün bir zemine bir madeni paranın atılması bir deneydir.
Yazı gelmesi ve tura gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır. Aynı şekilde bir tavla zarının atılması bir deneydir.
1 gelmesi, 2 gelmesi, 3 gelmesi, 4 gelmesi, 5 gelmesi ve 6 gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır.
Örnek (Örneklem) Uzayı
Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın her
bir elemanına ise örnek nokta denir.
Olay
Örnek uzayın her bir alt kümesine bir olay denir. E örnek uzayına kesin olay, boş kümeye ise olanaksız (imkan-
sız) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olayın ara kesitleri (kesişimleri) boş küme ise bu iki olaya ayrık (bağımsız)
olaylar denir.
OLASILIK
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
192
ÖRNEK 120
Üç madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını yazınız.
Çözüm
Art arda yapılan madeni para atma deneyinde, para n kez atıldığında örnek uzayın eleman sayısı s(E) = 2n olur.
ÖRNEK 121
İki tavla zarının birlikte atılması deneyindeki örnek uzayı yazınız.
Çözüm
ÖRNEK 122
İçinde 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan torbadan bir çekilişte 2 bilye çekme deneyindeki;
a. Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır?
b. Çekilen bilyelerin aynı renkte olması olayınıneleman sayısı kaçtır?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
193
OLASILIK FONKSİYONU
E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu
küme (kuvvet kümesi) K olsun.
P : K → [0, 1]
fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa P fonk-
siyonuna olasılık fonksiyonu, P(A) görüntüsüne de
A olayının olasılığı denir.
A ⊂ E ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(E) = 1
A, B ⊂ E ve A ∩ B = ∅ ise
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
ÖRNEK 123
Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması dene-
yini inceleyelim.
E = {Y, T} örnek uzay ve
K = {∅, {Y,}, {T}, {Y, T}} kuvvet kümesidir.
A olayının olma olasılığı da P(A) dır.
P(∅) = 0 ∈ [0, 1]
P(Y) = 21 ∈ [0, 1]
P(T) = 21 ∈ [0, 1]
P(Y, T) = P(E) = 1 ∈ [0, 1]
P(Y ∪ T) = P(Y) + P(T) = 21
21 1+ =
olduğundan olasılık fonksiyonunun tanımındaki 3 aksiyom da sağlanır.
Yani, P : K → [0, 1] fonksiyonu bir olasılık fonksi-
yonudur.
Teorem:
A, B ⊂ E ve P bir olasılık fonksiyonu ise
a. P(∅) = 0
b. A ⊂ B ise P(A) ≤ P(B)
c. A′ = E – A ise P(E) = P(A) + P(A′) = 1
d. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) dir.
ÖRNEK 124
E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A′)= 31
P(B) = 41 ve P(A ∩ B)
61 ise P(A ∪ B) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 125
E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A) = 31
P(B) = 53 ve P(A ∩ B) =
41 olduğuna göre aşağıdaki
olasılıkları hesaplayınız.
a. P(A ∪ B)
b. P(B′)
c. P(A′ ∩ B′)
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
194
Eş Olumlu Örnek Uzay
E = {a1, a2, ...., an} bir sonlu örnek uzay olsun.
P(a1) = P(a2) = .... = P(an) ise E örnek uzayına
eş olumlu örnek uzay adı verilir.
Eş olumlu bir uzayda, aksi belirtilmedikçe,
olasılık fonksiyonu
( )( )( )
ıP A
s Bs A
T m durumlar n say sstenen durumlar n say s
ü › ›‹ › › ›
= = dır.
ÖRNEK 126
E = {1, 2, 3, 4, 5} eş olumlu örnek uzay ise
P(2) + P(5) toplamı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 127
Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması dene-yinde, yazı (Y) ve tura (T) olmak üzere,
E = {Y, T} olup s(E) = 2 dir. Buna göre,
P(Y) = ( )( )
s Es Y
21= ve P(T) =
( )( )
s Es T
21= olur.
P(Y) = P(T) = 21 olduğundan bu deneydeki örnek
uzay, eş olumlu örnek uzaydır.
ÖRNEK 128
İki madeni paranın düzgün bir zemine atılması sonu-cu ikisinin de tura gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 129
Bir madeni paranın arka arkaya üç kez atılması sonu-cu en az iki yazı gelmesi olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 130
Bir madeni paranın arka arkaya 5 kez atılması sonu-cu 2 tura, 3 yazı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 131
Bir tavla zarı bir kez atıldığında üst yüze gelen sayı-nın asal sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
195
ÖRNEK 132
Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze gelen sayıların aynı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 133
Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 134
Bir torbada 3 sarı, 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır.
Torbadan bir bilye çekildiğinde, bu bilyenin kırmızı olma olasılığı nedir?
Çözüm
ÖRNEK 135
Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele 2 bilye çekildiğinde, bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?Çözüm
ÖRNEK 136
Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan arka arkaya 2 bilye çekildiğinde, çekilen birinci bilye-nin kırmızı, ikinci bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır?Çözüm
ÖRNEK 137
Bir torbada 5 siyah ve 3 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele 3 bilye çekildiğinde ikisinin siyah, birinin beyaz olma olasılığı kaçtır?Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
196
ÖRNEK 138
7 kız ve 5 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kız-
ların 3 ü, erkeklerin 2 si gözlüklüdür. Sınıftan rastgele
seçilen iki öğrencinin,
a. İkisinin de kız olma olasılığı,
b. İkisinin de gözlüklü olma olasılığı,
c. Birisinin kız diğerinin erkek olma olasılığı,
d. İkisinin de gözlüklü ve kız olma olasılığı,
e. İkisinin de gözlüklü veya ikisinin de kız olma ola-
sılığını hesaplayınız.
Çözüm
ÖRNEK 139
5 doktor ve 6 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Bu ekipte en az 2 doktor bulunma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 140
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilen 4 basamaklı ve rakamları farklı sayılardan bir tanesi seçiliyor. Seçilen bu sayının 5 ile bölünebi-len bir sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
197
ÖRNEK 141
Bir oylama sırasında, birinci sandıkta 4 siyah 5 beyaz ve ikinci sandıkta, 5 siyah 3 beyaz oy pusulası vardır. Birinci sandıktan bir oy pusulası alınarak rengine bakılmadan ikinci sandığa atıldıktan sonra ikinci san-dıktan alınan bir oy pusulasının beyaz olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 142
İki torbadan her birinde 4 beyaz, 3 siyah bilye vardır. Birinciden bir bilye alınıp ikinciye ve sonra da ikinci-den bir bilye alınıp birinci torbaya atılıyor. Renk bakı-mından ilk durumu elde etme olasılığı kaçtır?
Çözüm
KOŞULLU OLASILIK
E örnek uzay ve A ile B herhangi iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının ger-çekleşmesi olasılığına A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A / B) biçiminde gösterilir.
P(A / B) = ( )
( )P B
P A B+ dir.
E eş olumlu örnek uzay ise,
P(A / B) = ( )
( )s B
s A B+ dir.
A nın B koşullu olasılığı hesaplanırken B küme- si örnek uzay olarak düşünülüp hesap yapılabilir.
ÖRNEK 143
E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. P(A) = 31
P(B) = 21 ve P(A ∪ B) =
43 ise P(A / B) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 144
Bir madeni paranın iki kez arka arkaya atılması de-neyinde yazı geldiği bilindiğine göre, ikisinin de yazı gelmesi olasılığı kaçtır?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
198
ÖRNEK 145
İki tavla zarının birlikte atılması deneyinde üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olduğu bilindiğine göre, sayıların ikisinin de çift sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 146
I. torbada 2 sarı 3 kırmızı top, II. torbada 3 sarı 4 kırmızı top vardır. Torbaların birinden rastgele bir top çekildiğinde topun kırmızı renkte olduğu bilindiğine göre, I. torbadan çekilmiş olma olasılığı nedir?
Çözüm
BAĞIMSIZ OLAYLAR
İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşme-mesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.
P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı olaylar denir.
A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı P(A ∩ B) demektir.
A veya B olaylarının meydana gelme olasılığı
P(A ∪ B) demektir.
ÖRNEK 147
A ve B bağımsız olaylardır.
P(A) = 32 ve P(B) =
61 ise
P(A ∩ B) ve P(A ∪ B) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 148
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
199
ÖRNEK 149
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura veya zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 150
Bir topluluktaki 12 bayanın 7 si gözlüklü ve 9 erkeğin 6 sı gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir kişinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır?
Çözüm: I. Yol
ÖRNEK 151
Bir sınava giren Ali’nin sınavı geçme olasılığı 53 ve
Barış’ın aynı sınavı geçme olasılığı 31 tür. Buna göre,
a. Her ikisinin de sınavı geçme olasılığı kaçtır?
b. Sadece Ali’nin sınavı geçme olasılığı kaçtır?
c. En az birisinin sınavı geçme olasılığı kaçtır?
d. İkisinin de sınavı geçememe olasılığı kaçtır?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
200
SONSUZ ÖRNEK UZAYI
E örnek uzayı sonsuz çoklukta örnek noktalardan
(uzunluk, alan, hacim, ağırlık, açı ölçüsü, ...) oluşuyor-
sa bu örnek uzaya sonsuz örnek uzay denir. A olayı da
E örnek uzayında bir olay ise bu A olayının olasılığı,
A nın ölçüsüP(A) = –––––––––––– olur.
E nin ölçüsü
ÖRNEK 152
Yarıçapı r cm olan bir dairenin içinden seçilen bir nok-tanın, dairenin merkezine olan uzaklığının, dairenin çevresine olan uzaklığından daha kısa olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 153
Boyutları 20 cm ve 30 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kağıt üzerinde rastgele işaretlenen bir noktanın, kağıdın ağırlık merkezine en çok 10 cm uzaklıkta olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 154
E = { x : |x| ≤ 3, x ∈ R }
örnek uzayında seçilen bir noktanın
[0, 2] aralığına ait olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 155
CD
BA
N M
K L
35
4
2
Şekildeki ABCD dikdörtgeni, K, L, M, N dikdörtgen-
sel bölgelerinin birleşiminden oluşmaktadır ve kenar
uzunlukları şekildeki gibidir.
Buna göre, ABCD dikdörtgeni içinde bir nokta rast-
gele işaretlendiğinde bu noktanın M bölgesinde olma
olasılığı kaçtır?
Çözüm
201
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
Bir para üst üste 4 kez atılırsa örnek uzayı 16 elemanlı olur.
Bir zar üst üste 3 kez atılırsa örnek uzayı 216 elemanlı olur.
5 para atıldığında örnek uzayı 25 eleman-lı olur.
Bir A olayının olasılığı P(A) ise
–1 ≤ P(A) ≤ 1 dir.
A kesin olay ise P(A) = 1 dir.
2. İki madeni para atıldığında en çok bir yazı gelme-si olasılığı kaçtır?
3. Bir madeni para art arda 3 kez atıldığında, 2 kezyazı 1 kez tura gelme olasılığı kaçtır?
4. Bir madeni para art arda 5 kez atıldığında, 2 kezyazı 3 kez tura gelme olasılığı kaç olur?
5. Bir çift zar atıldığında üste gelen sayıların
a. Aynı olma olasılığını
b. Farklı olma olasılığını
c. Toplamlarının 9 olma olasılığını
d. Birinin tek, diğerinin çift sayı olma olasılığını
e. Toplamlarının 13 olma olasılığını
f. Toplamlarının en az 2 olma olasılığını bulu-
nuz.
6. 4 kız, 5 erkek arkadaş yanyana fotoğraf çek-tireceklerdir. Kızların bir araya gelme olasılığıkaçtır?
ALIŞTIRMALAR – 5
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
202
ES
EN
YAY
INLA
RI
7. Aynı büyüklükte 5 kırmızı ve 3 beyaz bilyeninbulunduğu bir torbadan, rastgele 3 bilye çekiliyor.Çekilen bilyelerin,
a. Üçünün de beyaz olma olasılığını
b. Üçünün de kırmızı olma olasılığını
c. Üçünün de aynı renk olma olasılığını
d. İkisinin beyaz, birinin kırmızı olma olasılığını
e. En az birinin kırmızı olma olasılığını bulunuz.
8. 4321132 sayısının rakamları yer değiştirilerekoluşturulan 7 basamaklı sayılardan biri rastgelealındığında bunun 4 ile başlayıp 3 ile biten birsayı olma olasılığı kaçtır?
9. Bir torbada, aynı büyüklükte 4 sarı, 3 lacivert ve5 beyaz bilye vardır. Torbadan geri atılmamakkoşuluyla art arda 3 bilye çekildiğinde birincisi-nin sarı, ikincisinin lacivert, üçüncüsünün beyazolma olasılığı kaç olur?
10. 5 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden herhangi2 tanesi rastgele alındığında ikisinin de 3 ele-manlı olma olasılığı kaç olur?
11. E örneklem uzayına ait iki olay A ve B olmak
üzere, P(A) = 41 , P(B′) =
87 ve
P(A ∩ B) = 161 ise P(A ∪ B) kaçtır?
12. 20 kişilik bir sınıfta bulunan öğrencilerin 12 sierkektir. Erkeklerin 4 ü, kızların 3 ü gözlüklü oldu-ğuna göre, sınıftan rastgele seçilen bir öğrencininerkek veya gözlüklü olma olasılığı kaç olur?
13. İki madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor.Paraların birinin yazı, diğerinin tura ve zarın çiftsayı gelme olasılığı kaç olur?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
203
ES
EN
YAY
INLA
RI
14. Bir madeni para iki kez atılıyor. Birinci atışta turageldiği biliniyorsa, ikinci atışta yazı gelme olasılı-ğı kaç olur?
15. Bir çift zar atıldığında zarların üstündeki sayılarıntoplamının 10 olduğu biliniyorsa ikisinin de teksayı olma olasılığı kaç olur?
16. İki torbadan birincisinde 3 kırmızı, 5 beyaz; ikinci-sinde 4 kırmızı, 3 beyaz bilye vardır. Torbalardanbiri rastgele alınıp içinden bir bilye alınırsa bubilyenin kırmızı olma olasılığı kaç olur?
17. İki torbadan birincisinde 4 beyaz, 5 yeşil; ikinci-sinde 3 beyaz, 4 yeşil bilye vardır. Birinci torba-dan bir bilye rastgele alınıp, ikinci torbaya konu-yor ve ikinci torbadan rastgele bir bilye alınıyor.Bu bilyenin yeşil olma olasılığı nedir?
18. İki torbadan birincisinde 6 kırmızı, 4 mavi; ikinci-sinde 5 kırmızı, 3 mavi bilye vardır. Torbalardanbiri rastgele alınıp, içinden bir bilye çekiliyor. Bubilyenin kırmızı olduğu biliniyorsa, birinci torba-dan çekilmiş olma olasılığı kaç olur?
19. s(A) = 3 ve s(B) = 4 olmak üzere, A dan B yetanımlı bağıntılardan biri rastgele seçilirse bununA dan B ye bir fonksiyon olma olasılığı kaç olur?
20. Şekildeki O merkezli
5 puan
3 puan
1 puan
BC
A O
hedef tahtasında
|CB| = |BA| = |AO|
olmak üzere,
alınabilecek puanlar
verilenler gibidir.
Tek atış yapan birisinin tahtayı vurduğu bilindiği-ne göre, 3 puan alma olasılığı kaçtır?
21. Yandaki şekilde A, B, C, D
50°120°
80°
BA
D
Cfabrikalarının ürettiği mallarındairesel grafiği verilmiştir.
Bu fabrikaların ürettiği mal-lardan seçilen bir malın Cveya D fabrikasında üretilmişolma olasılığı kaçtır?
204
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
İstatistik; örnek verilerden hareket ederek popülasyon (ana kitle – yığın) hakkında yorumlama, genelleme ve tahmin yapma bilimidir. 20. yüzyıldan itibaren istatistik; muhasebe, yönetim, finansman ve pazarlama gibi pek çok uygulama alanı bulmuştur.
Trafik kazaları, evlenme, boşanma, doğum, ölüm, kâr, zarar gibi konular istatistiğin ilgilendiği konulardır.
İstatistikte incelenen olayın özellik ya da özelliklerinin aldığı değerler rakamlarla ifade edilebilmelidir.
Bir olaylar kümesindeki tek bir olay, tüm olaylar kümesini temsil edebiliyorsa bu tür olaylar istatistiğin ilgi alanına girmez. (Suyun 100°C de kaynaması gibi, aynı yerde aynı koşullarda yapılan her deneyin sonucu aynı olur.)
Ölçülmeye veya sayılmaya elverişli tüm canlı ve cansız varlıklar ve olaylara; okul, insan, bina, araba, doğum, ölüm, evlenme, kâr zarar gibi kavramlara istatistiki birim denir.
Sevinç, korku, rüya, renk ve koku gibi soyut kavramlar sayılamadıkları ve ölçülemedikleri için istatistik için birim olamazlar.
Birimlerin sahip olduğu özelliklere değişken, değişkenlerin aldığı değerlere de şık denir.
Belirlenen amaçlar için gözlenecek olan birimlerin ölçülmesi, sayılması ve aldıkları değerlerin belirlenmesi ve kaydedilmesine veri derleme denir. Elde edilen bu verilerin istatistiksel yöntemlerle değerlendirildikten sonra uygun araçlar kullanarak sunumunun yapılması istatistiğin amacıdır.
İstatistik;
Yeni bilgilere ulaşmak ve bunları geliştirmek için yapılan araştırmalardan elde edilen verileri düzenlemek,
Problem çözümleri için çalışma teknikleri oluşturmak,
Değişkenlerin ürünleri ve üretim süreçlerini nasıl etkileyeceğini tahmin etmek,
Yapılan gözlem ve deneylerden elde edilen sonuçları, doğru yorumlamak ve anlaşılır bir biçimde sunmak,
Sonuçların güvenilirliğini test etmek gibi birçok amaç için çoğu bilim dalına yardımcı olmaktadır.
İstatistiksel çalışmalar yapılırken,
Grafikler Frekans Tabloları
Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi Yayılma (Dağılım) Ölçüleri (Değişkenlik Ölçüleri)
gibi yöntemlerden yararlanılır.
İstatistiksel verileri sözel ifadelerle açıklayarak, frekans tabloları yaparak ve grafik gösterimler kullanarak daha anlamlı ve kolay anlaşılabilir hale getirebiliriz. Verileri ise iki ana grup altında toplayabiliriz.
Veri
Kategorik (‹simsel)
Sayısal
Kesikli Marka, kanal adı,ders adı, ülke,flehir v.b. gibi
SürekliKardefl sayısı,araç sat›fl adedi,yafl, v.b. gibi
Boy, a¤›rl›k,s›cakl›k v.b. gibi
İSTATİSTİK
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
205
GRAFİKLER
Verilerin veya karşılaştırılması yapılacak değişkenlerin çizgi, tablo, nokta veya şekillerle ifade edilmesine grafik denir. Grafikler verilerin sunumuna görsellik katararak daha kolay yorumlanmasını sağlar. Veri türlerine ve istenen amaca göre çizilebilecek çeşitli grafik türleri vardır. Bunlar;
Çizgi grafiği Sütun grafiği (Çubuk - Histogram) Daire grafiği
Serpilme grafiği Kutu grafiği
başlıkları altında ifade edilebilir.
ÇİZGİ GRAFİĞİ
Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesi sonucunda elde edilen grafikler çizgi grafikleridir. Özellikle bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini (artma, azalma) ince-lemek için kullanılan en uygun grafiktir.
ÖRNEK 156
Yanda bir hareketlinin belli zaman aralığında aldığı yolu1
2
3
4
5
100
150
175
175
200
Zaman (dk) Yol (m)
gösteren tablo verilmiştir. Bu tablodan yararlanarak hare-ketlinin aldığı yolu zamana göre ifade eden çizgi grafik aşağıda çizilmiştir.
200
175
150
125
100
75
50
25
0
Yol (m)
Zaman (dk)1 2 3 54 76
Hareketin toplam süresi 5 dakikadır.
Hareket süresince alınan toplam yol 200 metredir.
1. dakikanın sonunda alınan yol 100 metredir.
2. ve 3. dakikalar arasında alınan yol 175 – 150 = 25 metredir.
3. ve 4. dakikalar arasında yol alınmamıştır. Yani bu zaman diliminde hareketli durmuştur.
Hız = zaman
yol olduğundan, hareketlinin en yüksek hıza sahip olduğu aralık 0-1 dakika aralığıdır.
Bu aralıktaki hızı V = 1 0
100 0 100–
– = m/dk dır.
En çok yol aldığı aralık 0-1 dakikalar arasıdır. Bu aralıkta 100 metre yol almıştır.
2. ve 3. dakikalar arasında aldığı yol, 4. ve 5. dakikalar arasında aldığı yola eşittir (25 m).
Aynı süre içinde (1 dk) aldığı yollar eşit olduğundan bu aralıklarda hızları da eşittir.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
206
ÖRNEK 157
1
25
2
30
3
20
4
30
5
40
S›nav No
Netlerin Say›s›
Yukarıdaki tabloda Serasu’nun 40 ar sorudan oluşan 5 farklı matematik sınavındaki netlerinin sayısı göste-rilmiştir. Tablodaki verileri çizgi grafiği ile gösterelim.
Çözüm
Uyarı
En düşük netin 3. sınavda çıkarılmış olmasına bakarak, bu sınavlar içinde en zor olanın 3. sınav olduğunu söyleyemeyiz. Çünkü netlerin düşüklü-ğü başka sebeplere de bağlı olabilir; rahatlık, çok işlem hatası, konsantre bozukluğu vs. gibi.
Aynı şekilde, en kolay sınavın 5. deneme sınavı olduğu söylenemez.
Serasu’nun sınıfının içindeki ve okul genelindeki sıralaması ile ilgili bir yorum yapılamaz.
ÖRNEK 158
10
8
6
4
2
0
Ö¤renci Say›s›
Notlar1 2 3 54
Yukarıdaki grafik bir sınıftaki tüm öğrencilerin mate-matik dersinden aldığı notları gösterdiğine göre, aşa-ğıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır?
I. 3 alan 9 kişi vardır.
II. En düşük geçme notu 2 ise matematik dersindenkalan öğrenci yoktur.
III. 2 alanların sayısı 5 alanların sayısına eşittir.
IV. Sınıf mevcudu 27 kişidir.
V. 1 ve 3 alan öğrenci sayılarının toplamı sınıfın ya-rısından azdır.
VI. Sınıfın 31 ünün notu 3 tür.
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
207
ÖRNEK 159
8
10
6
8
12
14
16
12
20
18
22
22
fiehirler
Aylar
Ankara
Çorum
Oca
k
fiub
at
Mar
t
Nis
an
May
›s
Haz
iran
Yukarıdaki tabloda Ankara ve Çorum’daki 2010 yılı-nın ilk 6 ayına ait güneşli gün sayıları verilmiştir. Bu tabloya ait çizgi grafiği aşağıda çizilmiştir. İnceleyiniz.
22
20
18
16
14
12
10
8
6
Güneflli Gün Say›s›
Aylar
AnkaraÇorum
Oca
k
fiub
at
Mar
t
Nis
an
May
›s
Haz
iran
ÖRNEK 160
Sıcaklık (°C)
Aylar
40
30
20
10
0
–109 101 2 3 7 85 64 11 12
Bir kentin 1 yıl boyunca aylık ortalama hava sıcak-lıkları yukarıdaki grafikle ifade edilmiştir. Buna göre, elde edilen aşağıdaki bilgileri inceleyiniz.
En soğuk ay ocak, en sıcak ay ise temmuzdur.
Kuzey yarımkürede yer alır.
Yıllık sıcaklık farkı 37°C civarındadır.
Kar yağışı ve donma görülebilir.
Şubat ve aralık aylarının sıcaklık değerleri aynıdır.
Üç ayın sıcaklık değerleri 0°C nin altındadır.
Yazı sıcak, kışı ise soğuktur.
ÖRNEK 161
Alınan yol (km)0 600
Yakıt miktarı (litre)
60
Deposu 60 litre yakıt alan bir aracın, şehirler arası yolda bir depo benzinle alabildiği yol 600 km dir. Bu durum yukarıdaki grafikle ifade edilmiştir. Buna göre,
a. Bu araç 1 L benzinle kaç km yol alabilir?
b. Şehir içinde, % 20 daha fazla yakıt tükettiğinegöre aynı araç bir depo yakıt ile şehir içinde kaçkm yol alabilir?
c. Aracın deposunda 50 km lik yola yetecek yakıtkaldığında uyarı ışığı yandığına göre, deposundakaç litre benzin kaldığında uyarı ışığı yanar?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
208
SÜTUN GRAFİĞİ
Bu grafik türünde toplanan bilgiler sütun şeklindeki grafiklerle gösterilir. Sütun grafiğinde iki eksen vardır. Yatay ve düşey eksende ölçülen değerlerin birbirine göre durumları sütunlarla (çubuklarla) belirtilir.Çiftli sütunlar halinde çizildiğinde farklı iki veri kümesi-nin karşılaştırılmasını da sağlarlar. İsimsel veriler için zorunlu bir sıralama koşulu yoktur. Süreksiz (aralıklı) veriler için çubuk grafiği, sürekli veriler için de his-togram olarak çizilir. Histogramda sütunlar birbirine bitişik ve veriler sıralıdır.
Çubuk Grafiği
ÖRNEK 162
Ülke Üretim Miktarı (ton)
İspanya 3.500.000
İtalya 2.700.000
Yunanistan 2.100.000
Türkiye 1.800.000
Tunus 1.000.000
Dünya zeytin üretimi ile ilgili bilgiler yukarıdaki tablo ile verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiğini oluş-turalım.
Çözüm
ÖRNEK 163
876543210
Ö¤renci sayısı
Notlar1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin matematik dersinin 1. yazılısından aldıkları notları göstermekte-dir. Buna göre, sınıfın yüzde kaçı 9 almıştır?
Çözüm
ÖRNEK 164
Ülke Sınır Uzunluğu (km)
Brezilya 15.000
Rusya Federasyonu 20.000
Çin 22.000
Hindistan 14.000
A.B.D. 12.000
Dünyada en uzun kara sınırlarına sahip ülkelerle ilgili bilgiler yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiği çizelim.
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
209
Bazı çubuk grafiklerinin çiziminde aşağıdaki yollar takip edilir. Veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır. Grup genişliği (aralık) bulunur. Bu aralık en büyük veri ile en küçük verinin farkıdır.
Verilerin kaç alt grupta toplanacağına karar veri-lir. Tespit edilen sayı grup genişliğine bölünerek alt grup genişliği bulunur. Bu sayı ondalık bir sayı ise yuvarlanarak tam sayı tespit edilir.
Bazen işlemi kolaylaştırmak için alt grup sayısı-nı bulduğumuz sayının yakınındaki başka sayı ile değiştirebiliriz.
ÖRNEK 165
20 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin, matematik dersin-deki I. yazılı sınav sonuçları;
24, 28, 32, 36, 38, 40, 44, 46, 48, 52, 54, 60, 60, 64, 70, 78, 82, 86, 92, 94
olarak verilmiştir. Bu notları çubuk grafiği ile göste-relim.
Çözüm
Çubuk grafiği çizerken değişkenleri y ekseninde, aldıkları değerleri de x ekseninde gösterebiliriz.
ÖRNEK 166
Göl Yüzölçümü (km2)
Eğirdir 470
İznik 300
Manyas 170
Tuz 1500
Van 3700
Ülkemizdeki tanınmış 5 gölün yüzölçümleri (yaklaşık) yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiğini çizelim.
Çözüm
Frekans TablosuGruplama sonucunda oluşan ve belirli bir özelliği temsil eden birey sayısına frekans denir. Frekans, bir özelliğin olayda kaç kez tekrarlandığını gösterir.
x(Puan Aralığı)
f(Frekans)
35 – 44 4
45 – 54 5
55 – 64 6
65 – 74 5
75 – 84 3
Yukarıda, bir sınıfta bulunan 23 öğrencinin matema-tik sınavına ilişkin puanların frekans tablosu verilmiş-tir. Bu tabloya göre, puanı 35 – 44 arallığında olan 4 öğrencinin bulunduğu v.s. söylenebilir.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
210
HistrogramAlanı, ilgili sınıfın frekansına, tabanı da ilgili sınıfın aralığına eşit olan ve birbirine bitişik dikdörtgenlerden oluşan bir grafik çeşitidir. Sürekli verileri göstermek için çizilirler. Tek bir değişkenin dağılımını göstermek için oldukça kullanışlı bir grafik sunumudur.
ÖRNEK 167
Sürekli bir K değişkeninin aldığı değerler aşağıda tablo ile gösterilmiştir.
Sınıflar Frekans
0 – 4 20
4 – 8 16
8 – 12 28
12 – 16 24
16 – 20 12
Bu verilerin histogram grafiğini çizelim.
Çözüm
ÖRNEK 168
Bir otoparkta bulunan 20 otomobilin modelleri aşağı-da verilmiştir.
1986, 1990, 1993, 1994, 1994, 1996, 1998, 1998, 2000, 2001, 2002, 2002, 2004, 2005, 2006, 2007, 2007, 2008, 2009, 2009
Bu araçların modellerine göre dağılımı için histogram oluşturunuz.
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
211
DAİRE GRAFİĞİEldeki verilerin daire dilimleri biçiminde sunulmasıdır. Değişkenlerin bir bütün içerisindeki oranları, yüzde veya merkez açı ölçüleri gösterilerek hazırlanır. Her bir dilimin içine veya dilimin yakınındaki bir yere, o değişkenin adı ve yüzdelik dilimi yazılır. Eğer merkez açılar kullanılacaksa her bir değişkene düşen merkez açılar ve bunların toplamları 360° olacak şekilde daire dilimlere ayrılır. Bu grafik türüne pasta grafiği de de-nilmektedir. Kesikli veriler için uygundur.
ÖRNEK 169
Ülke Üretim Miktarı (Bin ton)
Hindistan 870
Çin 650
Kenya 300
Sri Lanka (Seylan) 280
Endonezya 150
Türkiye 135
Toplam 2385
Dünya çay üretiminde en büyük paya sahip 6 ülke ve üretim miktarları yukarıda tablo şeklinde verilmiştir.Bu tabloya karşılık gelen daire grafiğini oluşturunuz.
Çözüm
ÖRNEK 170
Örnek 13 teki tabloya karşılık gelen daire grafiğini merkez açılar kullanarak gösteriniz.
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
212
ÖRNEK 171
Ezgi, sınıfındaki 20 arka-
% 40TRT 1
% 15Show TV
ATV
% 20
Kanal D% 25
daşına TRT 1, Kanal D, Show TV, ATV kanalların-dan hangisini daha çok iz-lediğini sormuş ve sonuç-ları aşağıdaki daire grafi-ğinde göstermiştir.
Grafikteki verileri kullanarak aşağıdaki tabloyu dol-durunuz.
TVkanalı
İzleyicisayısı
Daire dilimin-deki merkez açının ölçüsü
TRT 1
Kanal D
Show TV
ATV
Toplam 20 360°
Çözüm
SERPİLME GRAFİĞİİki değişkenin bir arada incelenmesi için çizilen gra-fiklerdir. Değişkenlerden birinin değerleri yatay, diğer değişkenin değerleri de düşey eksende gösterilir.
ÖRNEK 172
Aşağıda 5 öğrencinin matematik ve fizik derslerinden aldıkları notlar sırasıyla verilmiştir.Matematik Notu : 30, 40, 50, 65, 75Fizik Notu : 20, 40, 45, 70, 80
Bu verilere ait grafiği oluşturalım.
20 40 60 80
80
60
40
20
0Matematik
Notu (X)100
Fizik Notu (Y)
Noktaların dağılımına bakarak, matematik notu yük-sek olan öğrencilerin fizik notu da yüksektir sonucunu çıkarabiliriz. Başka bir deyişle, notlar arasında doğru orantı vardır diyebiliriz.
ÖRNEK 173
Aynı yayın saatinde farklı kanallarda yayınlanan iki TV dizisi için 6 defa izlenme ölçümü yapılmış ve iz-lenme oranları zamana göre sıralı olarak aşağıdaki serpilme grafiğinde verilmiştir.
10
8
6
4
2
0
B dizisinin izlenme oranı
A dizisinin izlenmeoranı
2 4 6 108 12
Grafikten yararlanarak elde edilen aşağıdaki bilgile-ri inceleyiniz.
A dizisinin izlenme oranı arttıkça B dizisinin izlenme oranı azalmıştır.
İki dizinin izlenme oranları ters orantılıdır. Dizilerin yayına başladığı ilk zamanlarda B dizisi-
ni izleyenlerin oranı daha fazladır. B dizisinin izlenme oranı sürekli azalmıştır.
ES
EN
YAY
INLA
RI
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
213
60
40
25
125
MarkaYıllar
A
B
C
Toplam
2007
45
20
20
85
2008
55
30
25
110
2009
50
40
30
120
2010Bir araba galerisindeki 4 yıllık otomobil satışları
yandaki tablo ile verilmiştir.
Araç markaları ve satışları ile ilgili aşağıdaki
grafikler oluşturulabilir.
Üç markanın yıllara göre satış adetlerini incelemek için çizgi grafiği ile sütun grafiğinden yararlanabiliriz.
Bu grafikler aşağıda çizilmiştir.
Satıfllar (Adet)
Yıllar2007 2008 2009 2010
70
60
50
40
30
20
10
0
A: B: C:A CB
70
60
50
40
30
20
10
0
Satıfllar (Adet)
2007Yıllar
2008 2009 2010
Sadece A markasının yıllara göre satış adet-lerini incelemek için çizgi ve sütun grafiğini bir arada ifade edebiliriz. Bunlar aşağıda çi-zilmiştir.
B markasının satışlarını, toplam satış adetle-ri ile kıyaslamak için sütun grafiğinden yarar-lanabiliriz. Bu grafik aşağıda çizilmiştir.
60
40
20
0
Satıfllar (Adet)
2007Yıllar
2008 2009 2010 2007
150
100
50
0
Sat›fllar (Adet)
Y›llar
ToplamB
2008 2009 2010
2010 yılı satış adetlerinin üç marka için hangi
oranda olduğunu kolay bir şekilde incelemek
için daire grafiğinden yararlanabiliriz.
Bu grafik yanda çizilmiştir.
A% 41,7
C% 25
B% 33,3
ETKİNLİK
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
214
MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ
Gözlenen verilerin düzenlenerek, tablolarla, grafik-lerle sunulması çoğu durumda yeterli olmaz. Genel durumu yansıtacak bir takım ölçülere gereksinim vardır. Bu ölçüler merkezi eğilim ölçüleri olup en çok kullanılanları; ortalama (aritmetik ortalama), ortanca (medyan), mod (tepe değeri) olmak üzere üç grupta toplanabilir. Ayrıca geometrik ortalama ve harmonik ortalama da merkezi eğilim ölçüleridir.
ORTALAMAMerkezi eğilim ölçülerinin en sık kullanılanıdır.
Aritmetik ortalamayı ifade eder.
Eldeki veriler toplamının veri sayısına bölümüdür.
x ile gösterilir.
Veri değerleri x1, x2, ...., xn olan n tane veri için,
...x
x x x
nn1 2+ + +
= dir.
Ağırlıklı Ortalama: Aritmetik ortalamada, her bir ve-ri değerinin öneminin eşit olduğu varsayılmaktadır. Fakat bazı değerlerin önemi diğerlerinden farklı olabi-lir. Bu durumlarda ağırlıklı ortalama kullanılır.
ÖRNEK 174
7, 6, 7, 8, 10, 12, 6
veri grubundaki sayıların ortalaması kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 175
Ö¤renci say›s›
Kardefl say›s›
5
1
12
2
8
3
3
4
0
5
0
6
1
7
29 öğrenci bulunan bir sınıftaki öğrencilere, kardeş sayıları sorulmuş ve verilen cevaplara göre yuka-rıdaki tablo oluşturulmuştur. Buna göre, bu sınıfta bulunanların ortalama kardeş sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 176
Kredi
4
3
2
2
Ders
Matematik
Fizik
Kimya
Biyoloji
Not
84
72
65
70
Furkan’ın sayısal derslerinden aldığı yıl sonu notları ve bu derslerinin haftalık kredileri yukarıda tablo halinde verilmiştir. Furkan’ın sayısal karnesinin not ortalamasını, kredi ağırlığına göre bulunuz.
Çözüm
MEDYAN (ORTANCA)
Bir sayı dizisinin medyanını bulmak için, sayılar kü-çükten büyüğe doğru sıralanır.
Dizinin terim sayısı tek ise ortadaki terim med-
yandır.
Dizinin terim sayısı çift ise ortadaki iki terimin
aritmetik ortalaması medyandır.
Başka bir deyişle, n terimli bir sayı dizisinde
n tek ise medyan : xn2
1+
n çift ise medyan : x x
2
n n2 2 1
++
dir.
ÖRNEK 177
3, 2, 2, 1, 4, 5, 5, 7, 4
verilerinin ortancası (medyan) kaçtır?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
215
ÖRNEK 178
2, 7, 2, 5, 3, 4, 4, 1
verilerinin ortancası (medyan) kaçtır?
Çözüm
MOD (Tepe Değeri)
Bir veri grubundaki en çok (en sık) tekrarlanan de-ğere mod (tepe değeri) denir. Tekrar sayıları frekans olarak adlandırılır.
ÖRNEK 179
5, 11, 4, 13, 7, 6, 11
verilerinin tepe değeri (mod) kaçtır?
Çözüm
Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden değer yoksa, bu veri grubunun modu yoktur.
ÖRNEK 180
1, 2, 3, 4, 5, 6 veri grubunun modu yoktur.
3, 3, 3, 3, 3, 3 veri grubunun modu yoktur.
1, 1, 2, 2, 3, 3 veri grubunun modu yoktur.
Bir veri grubunda aynı sayıda tekrar eden birden fazla değer varsa, mod değeri de birden fazla ola-bilir. Fakat, tüm değerler eşit sayıda tekrar ediyorsa mod yoktur.
ÖRNEK 181
1, 3, 5, 2, 4, 3, 7, 9, 5
sayı dizisinin modu kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 182
7, 19, 11, 3, 3, 5, 7, 6, 7, 1, 19
verilerinin modu kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 183
Meyve suyu üreten bir fabrikada, rastgele seçilen 15 şişe meyve suyunun bozulma süreleri ay olarak aşa-ğıdaki gibi tespit edilmiştir.
18, 20, 21, 22, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 27, 30, 30, 31, 32
Bu süreler için merkezi eğilim ölçüleri olan; ortalama, ortanca ve mod değerleri nelerdir?
Çözüm
Not: Ortalama, mod ve ortanca değerler birbirine yakın olduğu için dağılım düzgündür veya veriler ho-mojen dağılmıştır diyebiliriz.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
216
ÖRNEK 184
Bazı özelliklerde Türkiye’nin dünya sıralamasındaki yeri aşağıdaki tablo ile belirtilmiştir.
Özellik Dünya Sıralamasındaki Yeri
Nüfus sayısı 17
Yüzölçümünün büyüklüğü 36
Kentli nüfus oranı 13
Ekonomik büyüme 16
Kişi başına düşen milli gelir 21
Bor ve krom üretimi 1
Altın ve toryum üretimi 2
Cıva, mermer ve jeotermalenerji üretimi 7
Fındık, incir ve kiraz üretimi 1
Çelik üretimi 9
Çimento üretimi 2
Kömür üretimi 15
İlaç üretimi 18
Koyun, keçi sütü üretimi 1
Dış satım (ihracat) 30
Tekstil ihracatı 3
Çimento ihracatı 2
Mermer ihracatı 8
En çok tatil yapılan ülkeler 3
Tablodan elde edilen verilerin modu, medyanı ve ortalamasını bulunuz.
Çözüm
Geometrik Ortalama: x1, x2, ... xn gibi n tane verinin
geometrik ortalaması . .....x x xnn
1 2 dir. Gözlem so-
nuçlarının her biri bir önceki gözlem sonuçlarına bağ-lı olarak değişiyorsa bu değişimin hızını belirtmek için geometrik ortalama daha sağlıklı sonuçlar verir.
Örnekİstanbul’da bir sitedeki ev kiraları aşağıda verilmiştir.
Yıllar Kira (TL)––––– –––––––– 1980 100 1995 800 2010 1600
1980-2010 yılları arasındaki ortalama kira artış oranı-nı hesaplayınız.Çözüm
Harmonik Ortalama: x1, x2, ... xn gibi n tane verinin
harmonik ortalaması .....
x x x
n1 1 1
n1 2+ + +
dir.
Harmonik ortalama sık kullanılmayan bir ortalama çeşitidir. Genellikle ekonomik olaylarda 1 birim ile alı-nabilen ortalama miktara veya bir ürünün bir birimi-nin üretimi için harcanan ortalama gideri hesaplarken kullanılır. Ayrıca ortalama hız hesabında da kullanılır.
Örnek
B CAO
Şekilde |OA| = |AB| = |BC| dir. Bir aracın hızı O – A arası 60 km/saat, A – B arası 80 km/saat ve B – C arası 100 km/saattir. Bu aracın bu yolculuk esnasın-daki ortalama hızı kaç km/saattir?Çözüm
ETKİNLİK
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
217
MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ
Merkezi eğilim ölçüleri, birimlerin kendi aralarında nasıl bir dağılım (yayılım) gösterdiklerini ifade etmede yetersiz kalırlar. Örneğin;
VER‹LER
Y
2
25
30
31
32
X
22
23
24
25
26
Z
7
9
11
13
80
x, y ve z verilerinin ortalamaları eşit ( )x y z 24= = = olduğu halde verilerin dağılımları oldukça farklıdır.
Bu nedenle verilerin ortalamaya göre veya kendi ara-larında nasıl bir dağılım gösterdiklerini incelemek için merkezi dağılım ölçüleri kullanılır. Bunlar,
Açıklık – Çeyrekler açıklığı
Varyans (değişim) – Standart Sapma
olarak ifade edilirler.
AÇIKLIK (Aralık – Ranj)Bir veri kümesinde bulunan en büyük ve en küçük değer arasındaki farktır ve genellikle R ile gösterilir.
R = En Büyük Değer – En Küçük Değer
ÇEYREKLER AÇIKLIĞI (Q)Bir veri grubundaki terimler küçükten büyüğe doğ-ru sıralandığında ilk terime alt uç, son terime üst uç, bunların ortasındaki terime de ortanca denir.
Ortancadan küçük terimlerin ortancasına alt çeyrek (Q1) denir.
Ortancadan büyük terimlerin ortancasına üst çeyrek (Q3) denir.
Bir başka ifade ile veri kümesinin ilk % 50 lik kısmının ortancasına Q1 , sonraki % 50 lik kısmının ortanca-sına da Q3 denir.
Çeyrekler açıklığı = Üst çeyrek – Alt çeyrek
Q = Q3 – Q1
% 0 % 25 % 50 % 75 % 100
Çeyrekler açıklı¤›
ortanca üst uç de¤eralt uç de¤er
Q1 Q3
ÖRNEK 185
7, 3, 4, 9, 2, 7, 5
veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 186
16, 18, 30, 4, 6, 10, 8, 8, 12, 17, 20, 24, 36, 22, 28
veri grubunun çeyrekler açıklığını bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 187
1, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 20
veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz.
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
218
KUTU GRAFİĞİ
Bir değişkenin sıklık dağılımını göstermek için kullanı-lan kutu grafikleri, dağılımın şekli, merkezi eğilimi ve değişkenlerin yayılım düzeyini göstermesi açısından kullanışlıdır. Kutu grafiği, veri için çeyreklere dayalı grafiksel gösterimlerdir. Kutu grafiğinin çizimi için,
en küçük değer (alt uç değer)
alt çeyrek (Q1), ortanca, üst çeyrek (Q3) ve
en büyük değer (üst uç değer) bulunur.
Kutu gösteriminde;
Kutunun uç noktaları Q1 ve Q3 tedir.
Kutunun uzunluğu Q3 – Q1 dir. Bu fark, verilerin ortadaki yarısının yayılma ölçüsüdür.
Ortanca, kutunun içinde çizgi ile işaretlenir.
Kutu dışındaki iki çizgi, alt uç değer ve üst uç de-ğere kadar uzatılır.
Kutu grafiğinde, dağılımın merkezi, verilerin yayılma genişliği ve uç değerleri kolaylıkla görülür.
En KüçükDe¤er
AltÇeyrek Ortanca
ÜstÇeyrek
En BüyükDe¤er
ÖRNEK 188
Bir sınıftaki öğrencilerin bir dakikalık zaman dilimi içe-risinde nabızlarını saymaları istenmiştir. Ölçüm so-nuçları cinsiyet değişkenine göre aşağıdaki tabloya aktarılmıştır.
56
60
En DüflükDe¤er
Erkek
Kız
60
68
AltÇeyrek
66
74
Ortanca
76
80
ÜstÇeyrek
96
110
En BüyükDe¤er
Bu tabloya karşılık gelen kutu grafiği aşağıdaki gibidir.
85657060
Erkek
Kız
Nabız Sayısı80756555 11010090 10595
Cinsiyet
Bu grafik üzerinden kızlarla erkeklerin nabız sayıla-rını, farklı açılardan (ortanca, en büyük ve en küçük değerler, çeyrekler) karşılaştırabiliriz.
ÖRNEK 189
Bir okulun 11–K ve 11–L şubelerindeki öğrencilerin, fizik dersinde uygulanan aynı sınavın sonucunda al-dıkları puanlar aşağıda verilmiştir.
70
80
11 – K
11 – L
40
20
50
40
50
30
80
50
60
70
40
40
90
50
60
80
Bu notlara ait kutu grafiğini oluşturalım ve sınıfların fizik notlarını yorumlayalım.
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
219
VARYANSGözlemlenen değerlerin (verilerin) ortalama etrafında nasıl yayıldıklarının (dağıldıklarının) ölçüsüne var-yans denir.
Belli karakterleri ortak olan birimlerin oluşturduğu top-luluğa popülasyon (kitle - yığın) denir. (Hayvan popü-lasyonu, bitki popülasyonu, öğrenci popülasyonu gibi)n (mü) : Yığın aritmetik ortalamasıN : Yığını oluşturan birimlerin sayısıv2 : Yığın varyansı
olmak üzere, v2 = ( )
N
x –ii
N2
1n
=/
dir.
( ) ( ) ( ) ..... ( )x x x x– – – –ii
N
N2
1
2 2 21 2n n n n= + + +
=f p/
Popülasyonda üzerinde çalışılan obje veya bireyle-ri teker teker incelemek; zaman, maliyet, işçilik ve-ya yasalar açısından çoğu zaman mümkün değildir. Bundan dolayı, popülasyonun tümünün üzerinde ça-lışılması yerine ondan belli yöntemlerle alınan örnek-ler üzerinde çalışılır.
x (x bar) : Örnek aritmetik ortalaması
n : Örneği oluşturan birimlerin sayısı
s2 : Örnek varyansı
olmak üzere, s2 = ( )
n
x x
1–
–ii
n2
1=/
dir.
n ve v2 popülasyonun özelliklerini tanımlayan para-
metrelerdir. İstatistikler, parametrelerin birer tahmini
değerleridir. Yani; x , n nün, s2 ise v2 nin tahmini değerleridir.
N
( μ, σ 2
)
n
( x, s2 )
Parametreler ‹statistikler
Y›¤›n
Örnek
Örnekleme
Yorumlama
İstatistik bilimi, örnek verilerden hareket ederek po-pülasyon (ana kitle – yığın) hakkında yorumlama ve genelleme yapar.
Çizgi Grafiği Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini incelemek için en uygun grafik türüdür.• Birden çok sürekli veri grubunun kıyaslanması kolaylıkla görülebilir.
SÜTUN
GRAFİĞİ
Çubuk Grafiği
• Görselliği kuvvetlidir.• 2 veya 3 veri grubu kolaylıkla kıyaslanabilir.• Her bir kesikli veri ayrı sütunda gösterildiği için incelenmesi kolaydır ve verinin gerçek
değeri kolaylıkla görülebilir.
Histogram• Gruplanmış (sınıflandırılmış) sürekli verilerin gösterimi için iyi bir görselliğe sahiptir.
• Her bir kategoriye düşen frekans sayıları kolaylıkla görülebilir.
Daire GrafiğiBir değişkenin bir bütün içerisindeki oranını belirlemek için en uygun grafik türüdür.• Göze hoş gelen bir sunumu vardır.
• Her bir kategorinin toplam içindeki payı çok rahat anlaşılır.
Kutu Grafiği
Verilerin genişliğini, yığılımını öğrenmek için en uygun grafik türüdür.• Uç değerleri ve sapan değerleri görmek çok kolaydır.• Veri sayısı çok olduğunda bile kolaylıkla gösterilebilir.• Dağılımın şekli, merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri hakkındaki bilgileri çok rahat sunar.
Serpilme Grafiği
İki değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için en uygun grafik türüdür.• Veriler arasındaki ilişkiyi (doğru orantılı, ters orantılı, ilişki yok gibi) açıklamak için çok
uygundur.• Verilerin gerçek değerleri göz önündedir.
Grafik Türünün Seçimi ve Avantajları
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
220
ÖRNEK 190
1, 2, 3, 4, 5 veri grubunun örnek varyansı kaçtır?
Çözüm
Verilerin ortalama etrafında daha uzak (geniş) bir dağılım göstermeleri durumunda varyans büyük, ortalamaya daha yakın değerler alması durumunda varyans küçük olur. Varyansın küçük olması daha homojen ve birbirine yakın bir veri grubu olduğunu gösterir. Başka bir deyişle küçük varyans daha is-tikrarlı bir durum, büyük varyans ise daha riskli bir durum olduğunun göstergesi olarak yorumlanabilir.
ÖRNEK 191
A veri grubu : 2, 3, 4
B veri grubu : 1, 3, 5
olmak üzere bu veri gruplarına ait örnek varyansları bulup birbiriyle kıyaslayınız.
Çözüm
STANDART SAPMA
Varyansın karekök değerine standart sapma denir. En yaygın merkezi yayılım ölçüsüdür. Varyansa ben-zer şekilde verilerin ortalama etrafında nasıl bir yayıl-ma gösterdiğinin ölçüsüdür. Düşük standart sapma değeri, bir araya toplanmış ve ortalamaya daha yakın verilerin çok olduğunun ölçüsüdür.
ÖRNEK 192
5, 3, 7 veri grubunun standart sapması kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 193
Araç aküsü üreten bir firmanın ürettiği 61 akünün dayanma sürelerine ait frekans tablosu aşağıda ve-rilmiştir.
Yıl
1 – 5
6 – 10
11 – 15
16 – 20
Toplam
21
15
19
6
61
Frekans
Tablo: Akülerin Dayanma Süreleri
Akülerin ortalama ömürleri ve dayanma sürelerinin standart sapması nedir?
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
221
ÖRNEK 194
Gün Alper Burak
1 4 3
2 2 3
3 5 4
4 3 5
5 4 5
6 6 4
Bir pazarlama şirketi Alper ve Burak isminde iki ele-mandan birisini 6 günlük deneme süresi sonunda işe alacaktır. Bu elemanların 6 günlük (yığın verisi) satış-ları yukarıdaki gibidir. Buna göre, bu şirketin daha is-tikrarlı bir eleman almak için Alper ve Burak’tan han-gisini tercih etmesini gerektiğini bulunuz.
Çözüm
A, B ve C oyuncularının son 7 maçta attıkları basket sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
A B C
12 18 24
13 21 14
12 15 14
14 13 22
11 16 25
20 18 16
16 18 11
a) Bu tablo yardımıyla A, B ve C basketçilerine aitmerkezi eğilim ve yayılma ölçülerini bulunuz.
b) Bu oyunculara sahip basketbol takımının koçusu-nuz ve önünüzdeki maçı çok farklı bir şekilde ka-zanmanız gerekiyor. Aksi takdirde takımınız ele-necek. A, B ve C oyuncularından birini seçerekmaça başlamak istiyorsunuz. Hangi basketçiyiseçersiniz?
c) Bir takımın koçusunuz ve sezon başında istikrarlıbir takım oluşturmak istiyorsunuz. Bu oyuncular-dan hangisini takımınıza alırsınız?
Çözüm
ETKİNLİK
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
222
1 TL, 7 TL, 8 TL, 9 TL, 10 TL, 13 TL, 50 TL
Bir lokantadaki 7 masada 13.00 – 14.00 saatleri arasında ödenen hesaplar yukarıdaki gibi olsun.
Bu verilerden yararlanarak sonraki 1 saatlik dilim içinde gelen yeni bir müşterinin yaklaşık ne kadar hesap ödeyeceğini tahmin etmeye çalışalım ve hangi ölçülerin bize nasıl bir bilgi verebilece-ğini inceleyelim.
Ortalama: 7 8 9 10 13 501x7
14+ + + + + += =
Ödenen hesapların birçoğu ortalamadan çok uzakta olduğu için ortalama çok faydalı bir gösterge değildir.
Mod: Mod olmadığından incelemeye katkısı yoktur.
Medyan: 1, 7, 8, , 10, 13,9 50a k
Aşırı uç değerlerden (1 ve 50) etkilenmediği için medyan iyi bir göstergedir.
Yani gelecek olan bir müşterinin ortalama 9 TL hesap ödeyeceği beklentisi oldukça gerçekçidir.
Standart Sapma:
s2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 1
1 14 7 14 8 14 9 14 10 14 13 14 50 14–
– – – – – – –2 2 2 2 2 2 2+ + + + + + ≅ 265
Standart sapma: s = 265 , 16
x – s = 14 – 16 = –2 , x + s = 14 – 16 = 30
Yeni gelecek bir müşterinin –2 TL ile 30 TL arasında bir hesap ödeyebileceği tahmini bize katkı sağlayan bir ölçü değildir. Ortalamaya göre kıyaslandığında oranı çok yüksek olduğu için standart sapmayı göz önüne ala-rak yapılan tahmin oldukça riskli olacaktır.
Şimdi de 1 TL ve 50 TL lik hesapların genellikle olmadığını düşünerek bu sapan değerleri veri grubundan çıkararak tahminde bulunmaya çalışalım. 7 TL , 8 TL , 9 TL , 10 TL , 13 TL
Ortalama: x = .5
7 8 9 10 13547 9 2,
+ + + + =
Sapan değerler veri grubundan atılarak elde edilen bu değer öncekine göre daha gerçekçidir.
Medyan: Medyan 9 TL olup bu durumda da iyi bir hesap tutarı tahmini yansıtmaktadır.
Standart Sapma:
s2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1
9 13 97 9 8 9 9 9 10–
– – – – –2 2 2 2 2+ + + + = .4
22 5 5=
Standart sapma: . .5 5 2 3,
x – s = 9.2 – 2.3 = 6.9 , x + s = 9.2 + 2.3 = 11.5
Yeni gelecek müşterilerin ortalama 6.9 TL ile 11.5 TL arasında bir hesap ödeyecekleri beklentisi gerçekçidir.
Standart sapma değeri öncekine göre daha düşük çıktığı için veriler birbirine daha yakın olup tahminlerde yanılma payı daha azdır.
ETKİNLİK
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
223
STANDART PUANLAR
Standart puan gözlenen puanların ortalamadan olan farklarını standart sapma cinsinden belirtilmesidir.
Standart puanlar, yapılan ölçümlerden elde edilen puanların aritmetik ortalamasının sıfır (0), standart sapmasının bir (1) kabul edildiği puanlardır.
z puanı
z-puanı bir verinin ortalamadan kaç standart sapma kadar uzakta olduğunu gösterir ve
z puanı = darttan sapma
Ham puan Aritmetik ortalama–S
z = s
X x–
formülü ile hesaplanır.
Herhangi bir kişinin almış olduğu puanı z puanına dö-nüştürerek, verilen bir puanın standart sapmaya göre ortalamanın ne kadar altında veya üstünde kaldığı belirlenebilir.
z puanının (–) veya sıfır (0) çıkması mümkündür.
T puanız puanı nasıl ki verilen puanları ortalaması 0, standart sapması 1 olan puanlara dönüşüyorsa, T puanı da verilen puanları ortalaması 50, standart sapması 10 olan puanlara dönüştürür. z puanlarından T punlarına geçiş T = 50 + 10.z formülü ile elde edilir.
ÖRNEK 195
Bir ülkedeki insanlar bir yılda 19 standart sapma ile ortalama 249 gün çalışmaktadırlar. z puanı 2 oldu-ğunda bu durum, ortalama kaç günlük çalışma süre-sini ifade eder?
Çözüm
ÖRNEK 196
Öğrenci Puanı
Melis 30
Zeynep 50
Burcu 90
Ezgi 70
Efe 40
Mesut 80
Tabloda 6 öğrencinin kimya dersi I. yazılı sınavından
aldığı notlar (standart puanlar) verilmiştir.
Melis ve Ezgi’nin bu sınav için aldıkları kimya notları-
nın z ve T puanlarını bulalım.
Çözüm
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
224
ES
EN
YAY
INLA
RI
ÖRNEK 197
3 kişinin katıldığı bir sınavda puanlar hesaplanırken;
I. Her öğrenciye 100 taban puan verilmektedir.
II. En yüksek puan alan öğrencinin puanı 500 eçekilerek diğer puanların dağılımı buna göreyapılmaktadır.
III. Test farkı gözetilmeksizin her sorunun puan geti-risi eşit kabul edilmektidir.
Aşağıdaki tablodaki verileri kullanarak Aybars’ın pua-nını hesaplayalım.
Ö¤renci
Ecem
Aybars
Gizem
28
34
39
MatematikNeti
32
36
36
FenNeti
30
30
35
TürkçeNeti
24
26
30
SosyalNeti
Çözüm
ÖRNEK 198
‹statistik
Fatma’n›n notu ( X )
S›n›f ortalamas› ( x )
Standart sapma ( s )
70
60
5
Matematik
75
70
10
EdebiyatDers
Fatma’nın matematik ve edebiyat derslerinin I. yazı-
lılarından aldığı notlar, sınıfın ortalaması ve standart
sapması yukarıda verilmiştir. Buna göre, Fatma’nın
bu sınavları ile ilgili z ve T puanlarını bulunuz.
Çözüm
KORELASYON
İki değişken arasında ilişki olup olmadığını, varsa bu ilişkinin derecesini gösteren kat sayıya korelasyon kat sayısı denir.
Korelasyon kat sayısı [–1, 1] aralığında değerler alır.
Korelasyon kat sayısı sıfıra eşit ise değişkenler arasında bir ilişkiden söz edilemez.
Korelasyon kat sayısının 1 e yaklaşması, değişkenler arasında olumlu ve kuvvetli bir ilişkinin bulunduğunu; –1 e yaklaşması, değişkenler arasında olumsuz ve kuvvetli bir ilişkinin bulunduğunu gösterir.
ÖRNEK 199
B
0,9A
C
0,2
D
– 0,1
E
– 0,8
Yukarıdaki tabloda A ile B, C, D ve E değişkenleri arasındaki korelasyon kat sayıları gösterilmiştir.
Buna göre, bu ilişkileri yorumlayınız.
Çözüm
225
1. 12, 12, 13, 14, 14, 15 (saniye)
6 kişilik bir sporcu grubunun 100 metreyi koşma süreleri yukarıdaki gibidir. Buna göre, bu spor-cuların 100 metreyi koşma süreleri ortalama kaç saniyedir?
2. I. 7, 9, 6, 8, 9, 4, 2
II. 1, 4, 3, 2, 1, 5, 5, 3
Yukarıda verilen I ve II nolu sayı dizilerinin med-yanlarının toplamı kaçtır?
3. 8, 9, 11, 11, 7, 8, 6, 13, 6, 6, 4
Yukarıda verilen sayı dizisinin mod ve medyanı-nın toplamı kaçtır?
4. 14, 17, 10, 12, 19, 21, 9, 24
verilenlerin açıklığı kaçtır?
5. 4, 5, 8, 12, x, x + 1
sayı dizisinin aritmetik ortalaması 9 olduğuna göre, tepe değeri kaçtır?
6. 10 öğrencinin matematik dersinden aldıkları not-lar,
25, 30, 30, 45, 45, 50, 60, 60, 60, 85
şeklindedir. Bu veri grubunun,
a. Ortancasını b. Tepe değerini (mod)
c. Alt uç değerini d. Üst uç değerini
e. Alt çeyrek değerini f. Üst çeyrek değerini
g. Çeyrek açıklığını h. Grup açıklığını
bulunuz.
7. 50, 54, 58, 60, 66, 72
Yukarıda, bir sınıfta bulunan herhangi 6 öğren-cinin geometri sınavından aldıkları puanlar veril-miştir. Bu puanların standart sapmasını bulunuz.
8. Sınav ortalaması 60, standart sapması 4 olan birsınavda 40 alan Ali ile 100 alan Barış’ın z puan-larını bulunuz.
9. Sınav ortalaması 70, standart sapması 8 olanbir sınavda 60 alan Fatma’nın T standart puanıkaçtır?
ALIŞTIRMALAR – 6
ES
EN
YAY
INLA
RI
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
226
10. Şekilde verilen grafik bir
Di¤er% 45
Kira% 30
Yiyecek
ailenin aylık harcamala-rını göstermektedir. Buailenin aylık kira gideri450 TL olduğuna göre,aylık yiyecek gideri kaçTL dir?
11.
1 2 3 4 5
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Ö¤renci sayısı
Alınan Not
Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin tarih dersinin sınavından aldıkları notları göstermekte-dir. 2 ve üzeri not alanlar başarılı olduğuna göre, bu sınıfın yüzde kaçı tarih dersinden başarılıdır?
12. 25
20
15
10
5
0
Benzin (L)
Zaman (gün)1 2 3 54 6
Yukarıdaki grafik, bir aracın benzin tüketimini göstermektedir. Buna göre, bu aracın hangi gün-ler arasında benzin tüketim hızı en fazladır?
13. Aşağıdaki grafik bir otobüsteki yolcuların meslek-lerine göre dağılımını göstermektedir.
Ö¤r
etm
en
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Kifli sayısı
Meslek
Mem
ur
Esn
af
‹flçi
a. Otobüsteki yolcular mesleklerine göre bir dairegrafiğiyle gösterildiğinde öğretmenleri gösterendaire diliminin merkez açısının ölçüsü kaç dereceolur?
b. Bu otobüsten x sayıda yolcu inip otobüse x sayı-da yolcu binerse otobüste her meslek grubundaneşit sayıda yolcu oluyor. Buna göre, x en az kaç-tır?
c. Otobüsten belirli sayıda işçi inip otobüse işçi ol-mayan 8 kişi binerse otobüsteki işçilerin sayısı,tüm yolcuların sayısının % 25’i oluyor. Buna gö-re, otobüsten inen işçilerin sayısı kaçtır?
ES
EN
YAY
INLA
RI
231
TEST – 1
1. 0! + 2! + 4! + ..... + 400! sayısının birler basama-ğındaki rakam kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8
2. 13! + 14! toplamının sonunda kaç tane sıfır var-dır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
3. 4! + 6! + 8! + ..... + 120! sayısının onlar basama-ğındaki rakam kaçtır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
4. 40! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamıvardır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
5. 3! + 4! + 5! + ..... + 140! sayısının 30 ile bölü-münden kalan kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 3 D) 12 E) 17
6. x ve y doğal sayılar olmak üzere 24! = 4x.yeşitliğini sağlayan x en çok kaçtır?
A) 22 B) 20 C) 18 D) 14 E) 11
7. x ve y doğal sayılar olmak üzere
!y2440
x= eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı
kaçtır?
A) 80 B) 79 C) 78 D) 77 E) 76
8. x ve y doğal sayılar olmak üzere 32! = 12x.yeşitliğini sağlayan en büyük x değeri kaçtır?
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
Faktöriyel ve Permütasyon
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
232
1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.E 7.C 8.C 9.A 10.E 11.D 12.C 13.A 14.C 15.C 16.D
9. 5 soruluk bir test sınavında her soru için 5 se-çenek vardır. Ardışık iki sorunun doğru yanıtları aynı seçenek olmayacak şekilde kaç farklı cevap anahtarı hazırlanabilir?
A) 1280 B) 1240 C) 1220 D) 1140 E) 1020
10. 7 rakamlı telefon numarasının ilk 5 rakamı bilin-mektedir. Kaç değişik deneme ile bu telefon nu-marası kesin olarak tespit edilebilir?
A) 80 B) 90 C) 96 D) 98 E) 100
11. 3 öğrenci 5 farklı dersten birer tane seçecektir. Her birinin seçtiği ders farklı olmak koşuluyla kaç seçim yapılabilir?
A) 24 B) 32 C) 48 D) 60 E) 72
12. 18 takımın bulunduğu süper ligde her takım birbi-riyle 2 maç yapacaktır. Toplam kaç maç oynanır?
A) 304 B) 305 C) 306 D) 308 E) 309
13. A = {0, 1, 3, 4} kümesinin elemanlarını kullana-rak rakamları farklı üç basamaklı kaç tek sayı ya-zılabilir?
A) 8 B) 12 C) 18 D) 24 E) 30
14. {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesindeki rakamlar kullanı-larak, rakamları farklı, 4 basamaklı kaç tane çift sayı yazılabilir?
A) 96 B) 120 C) 156 D) 180 E) 196
15. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kul-lanarak 400 den küçük rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?
A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50
16. A = {2, 4, 5, 7, 9} kümesinin elemanları ile ra-kamları farklı 4 ile bölünebilen 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
A) 30 B) 24 C) 18 D) 12 E) 9
ES
EN
YAY
INLA
RI
235
TEST – 3
1. 2 kız ve 4 erkek arkadaş yanyana, başta vesonda birer erkek bulunacak şekilde kaç türlü sı-ralanabilir?
A) 288 B) 240 C) 220 D) 144 E) 120
2. 3 öğretmen, 5 öğrenci arasından seçilen 1 öğret-men ve 2 öğrenci yanyana kaç değişik biçimdefotoğraf çektirebilirler?
A) 120 B) 136 C) 140 D) 160 E) 180
3. Murat 6 arkadaşından 2 sini tiyatroya davet ede-cektir. Belli iki arkadaşı birlikte olmak istemiyor-lar. Buna göre Murat 2 arkadaşını kaç değişikşekilde seçer?
A) 6 B) 10 C) 14 D) 15 E) 20
4. 9 kişiden belli iki kişi aynı odada kalmamak koşu-lu ile bir oteldeki 4 ve 5 kişilik iki odaya kaç deği-şik biçimde yerleşebilir?
A) 60 B) 62 C) 68 D) 70 E) 72
5. Bir çember üzerinde bulunan 7 nokta ile köşeleribu noktalar olan kaç çokgen oluşturulabilir?
A) 64 B) 72 C) 89 D) 99 E) 101
6. C(n + 1, 11 – n) = C(n + 1, 6) eşitliğini gerçekleyenn değerlerinin çarpımı aşağıdakilerden hangisi-dir?
A) 8 B) 12 C) 24 D) 40 E) 48
7. 5 kız ve 4 erkek arasından seçilen 3 kız ve 2erkek yuvarlak masa etrafına erkekler yanyanaolmak koşuluyla kaç değişik biçimde oturabilir?
A) 720 B) 600 C) 540 D) 480 E) 240
8. 21 kişilik bir grupta erkeklerden oluşturulabilecekikişerli grupların sayısı kızların sayısına eşittir.
Bu grupta kaç erkek vardır?
A) 6 B) 9 C) 12 D) 14 E) 15
Kombinasyon
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
236
1.A 2.E 3.C 4.D 5.D 6.D 7.A 8.A 9.B 10.C 11.D 12.E 13.A 14.E 15.E 16.C
9. 10 doğrudan 2 tanesi bir A noktasında kesişmiş-tir. Diğer doğrulardan 3 tanesi paralel olduğunagöre bu 10 doğru en fazla kaç noktada kesişir?
A) 41 B) 42 C) 43 D) 44 E) 45
10.
d1
d2
d3
d4
d5 d6 d7 d8
d1 // d2 // d3 // d4 ve d5 // d6 // d7 // d8 olduğu-na göre, yukarıdaki şekilde kaç tane paralelkenar vardır?
A) 16 B) 20 C) 36 D) 40 E) 48
11. 8 kenarlı bir konveks çokgenin kaç köşegeni var-dır?
A) 16 B) 18 C) 19 D) 20 E) 22
12. 6 sı kız olan 11 kişilik bir gruptan 4 kişilik bir ekipoluşturulacaktır. Grupta en az bir kız öğrenci bu-lunması koşuluyla kaç grup oluşturulabilir?
A) 332 B) 330 C) 328 D) 326 E) 325
13. 6 farklı oyuncak her çocuğa ikişer tane verilmeküzere 3 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
A) 90 B) 80 C) 72 D) 60 E) 54
14. 6 kişi her birinde en az bir kişi bulunan üç grubakaç farklı şekilde ayrılabilirler?
A) 72 B) 80 C) 90 D) 120 E) 180
15. A
B C
Şekildeki üçgen üzerinde işaretlenmiş 12 nokta-dan kaç farklı üçgen çizilebilir?
A) 190 B) 189 C) 188 D) 187 E) 186
16. A
B CD E K L MF
Yukarıdaki şekilde kaç üçgen vardır?
A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30
ES
EN
YAY
INLA
RI
237
TEST – 4
1. (ax – 2y2)6 açılımında kat sayılar toplamı 64 ise a nın alabileceği değerler toplamı kaç olur?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. (3x – 2y)n açılımında 8 terim varsa, bu terimlerin kat sayılar toplamı kaçtır?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
3. (x – 2y)7 ifadesi, x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa, baştan 4. terim ne olur?
A) –120x3y4 B) –120x4y3 C) –280x4y3 D) –240x4y3 E) –240x3y4
4. (2x – y2)6 ifadesi, x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa, sondan 3. terimin kat sayısı kaç olur?
A) 32 B) 48 C) 50 D) 58 E) 60
5. xx1–2
6c m ifadesinin açılımında ortadaki terim
nedir?
A) x10–
3 B)
x20–
3 C)
x30–
3
D) x20
3 E)
x30
3
6. xx2
138
+c m ifadesinin açılımında sabit terim kaç-
tır?
A) 167 B)
21 C)
169 D)
85 E)
1611
7. x
x1 – 26
c m ifadesinin açılımında sabit terim
baştan kaçıncı terimdir?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
8. xxa–
8b l ifadesinin açılımında sabit terim 70 ise
a nın pozitif değeri kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Binom Açılımı
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
238
1.D 2.D 3.C 4.E 5.B 6.A 7.D 8.A 9.B 10.B 11.C 12.E 13.D 14.A 15.A 16.A
9. (x + y)16 ifadesinin açılımında kat sayılarn enbüyük olanı nedir?
) ) ) ) )A B C D E159
168
167
169
158
d d d d dn n n n n
10. (vx + x)6 ifadesinin açılımında x5 li terim baştankaçıncı terimdir?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
11. (x + y)n ifadesinin açılımında x4 lü terimin kat sa-yısı 5 ise y3 lü terimin kat sayısı kaçtır?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15
12. (x2 – 2y)n açılımındaki terimlerden biri Ax6y2 iseA kaçtır?
A) 112 B) 102 C) 80 D) 60 E) 40
13. (x2 + vx)8 ifadesinin açılımında terimlerden biri7ax7 dir. Buna göre a kaçtır?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 4 E) 3
14. xx
241–5
2
10c m = 210.x50 + ..... + K.x29 + .....
eşitliğinde K kaçtır?
A) –240 B) –216 C) –196 D) –172 E) –150
15. (2x2 + y2)n açılımı yapıldığında bir terim,
A.x6.y18 olduğuna göre A kaçtır?
A) 8129
d n B) 129
d n C) 128
d n
D) 6128
d n E) 1412d n
16. (1 – 23 )6 ifadesinin açılımı düzenlenirse oluşanrasyonel terim kaç olur?
A) –35 B) –34 C) –33 D) –32 E) –31
ES
EN
YAY
INLA
RI
239
TEST – 5
1. Bir sınıfta 5 siyah 4 kırmızı 3 beyaz elbiseli öğ-renci vardır. Rastgele seçilen iki öğrencinin ikisi-nin de kırmızı elbiseli olma olasılığı nedir?
) ) ) ) )A B C D E51
61
71
101
111
2. 40 mevcutlu bir sınıftaki öğrencilerin 14 tanesi matematikten, 20 tanesi kimyadan başarılı ol-muştur. 10 öğrenci de hem matematik hem de kimyadan başarılı ise rastgele seçilen 1 öğren-cinin matematik veya kimyadan başarılı olması olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E103
107
54
53
52
3. s(A) = 3 ve s(B) = 3 olmak üzere A dan B ye ta-nımlı fonksiyonlardan biri rastgele alınırsa, bunun bire bir ve örten bir fonksiyon olma olasılığı kaç-tır?
) ) ) ) )A B C D E91
92
31
94
95
4. Bir zarın iki yüzü beyaz, bir yüzü mavi, üç yüzü sarıya boyanmıştır. Bu zar üç kez atıldığında, bi-rinci ve ikinci atışlarda beyaz, üçüncü atışta mavi gelme olasılığı nedir?
) ) ) ) )A B C D E271
481
541
601
721
5. Bir torbada 5 mavi, 3 beyaz bilye vardır. Bir zar atılıp torbadan bir bilye çekildiğinde; zar tek sayı gelirse beyaz bilye, zar asal sayı gelirse, mavi bilye çekme olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E21
31
41
51
61
6. 20 den 100 e kadar olan (20 ve 100 dahil) doğal sayılar içerisinden rastgele seçilen bir sayının 6 veya 8 ile tam bölünen bir sayı olma olasılığı nedir?
) ) ) ) )A B C D E8119
8120
10019
277
10021
7. İki torbadan birincisinde 2 sarı 4 beyaz, ikincisin-de 3 sarı 5 beyaz bilye vardır. Rastgele seçilen bir torbadan alınan bir bilyenin sarı olduğu bili-niyorsa, 2. torbadan alınmış olma olasılığı kaç olur?
) ) ) ) )A B C D E179
178
176
174
161
8. Bir yarışı A nın kazanma olasılığı 52
B nin kazanmama olasılığı 31 tür.
A ve B den sadece birinin kazanma olasılığı kaç-tır?
) ) ) ) )A B C D E52
157
158
53
32
Olasılık
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
240
ES
EN
YAY
INLA
RI
1.E 2.D 3.B 4.C 5.A 6.A 7.A 8.C 9.B 10.A 11.A 12.A 13.D 14.A 15.A 16.C
9. Bir torbada üzerinde 1 den 10 a kadar numara-lar bulunan 10 top vardır. Bu torbadan seçileceküç topun üzerindeki sayıların toplamının çift olmaolasılığı nedir?
) ) ) ) )A B C D E32
21
31
41
51
10. 5 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir grup-ta 3 ve 4 kişilik iki ayrı grup oluşturulacaktır.Gruplarda kızların ve erkeklerin bir araya gelme-me olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E421
211
4217
4231
4241
11. 7 evli çift arasından rastgele seçilen iki kişininkarı-koca olma olasılığı nedir?
) ) ) ) )A B C D E131
111
91
71
51
12. 4 kırmızı, 2 sarı, 3 lacivert bilye bulunan bir torba-dan aynı anda 3 bilye çekiliyor. Çekilen bilyeleriniçinde en az bir kırmızı bilye olma olasılığı nedir?
) ) ) ) )A B C D E4237
4337
4336
4940
4943
13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kü-melerinden biri rastgele seçildiğinde bu kümeninelemanları arasında 5 in bulunma olasılığı kaçolur?
) ) ) ) )A B C D E43
54
65
32
31
14. Bir yarışmada A, B, C kişileri yarışacaktır. A nınkazanma olasılığı B nin kazanma olasılığının 3katı, C nin kazanma olasılığının yarısı ise bu ya-rışı A veya B nin kazanma olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E52
21
53
97
94
15. ALPAY sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirile-rek oluşturulan 5 harfli sözcüklerden biri rastge-le seçiliyor. Bu sözcüğün PA ile başlayan sözcükolma olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E101
51
103
52
21
16. Bir torbada 3 tanesi beyaz olan bir miktar beyazve kırmızı bilye vardır. Bu torbadan, çekilen geritorbaya konmamak koşuluyla art arda iki bilyeseçildiğinde birincisinin beyaz, ikincisinin kırmızıolma olasılığı
41 ise bu torbada kaç tane kırmızı
bilye olabilir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
ES
EN
YAY
INLA
RI
243
TEST – 7
1. Bir marketin 2011 yılının 1. yarısındaki aylara göre, kâr-zarar durumu aşağıdaki grafikte veril-miştir.
18000
15000
12000
9000
6000
3000
0
Miktar (TL)
KârZarar
Oca
k
fiub
at
Mar
t
Nis
an
May
›s
Haz
iran Aylar
Grafiğe göre, bu marketin kâr-zarar durumu aşa-ğıdakilerden hangisidir?
A) 3000 TL kâr B) 9000 TL kâr
C) 3000 TL zarar D) Ne kâr, ne de zarar
E) 9000 TL zarar
2. Bir ülkede üretilen kömür miktarlarının cinslerine göre oranları aşağıdaki grafikte verilmiştir.
Linyit
TaflkömürüKok
Yalnızca bu grafikten yararlanarak aşağıdaki bil-
gilerden hangisine kesinlikle ulaşılabilir?
A) Üretim miktarı az olduğu için en pahalı kömür
koktur.
B) Linyit üretim miktarı, toplam kömür üretim
miktarının yarısından azdır.
C) Bu ülkedeki kömür üretiminde taşkömürünün
maddi değeri en yüksektir.
D) Kok ve taşkömürü üretim miktarları toplamı,
linyit üretim miktarından azdır.
E) Kok kömürünün elde edilmesi daha masraflı
bir süreçtir.
3.
1995 2000 2005 2010
40
30
20
10
0
Nüfus (milyon kifli)
Y›llar
ErkekKad›n
Grafikte bir ülkedeki kadın-erkek nüfusunun 4
nüfus sayımına göre değişimi gösterilmiştir.
I. 2000 yılı sayımında erkek nüfusu bir önceki
sayıma göre artmamıştır.
II. Toplam nüfustaki artış oranı en yüksek 2000-
2005 yılları arasında olmuştur.
III. Kadın sayısı, erkek sayısını hiç geçmemiştir.
IV. 2010 yılındaki kadın/erkek sayıları oranı 1995
yılındaki orana eşittir.
Yukarıdaki ifadelerin Doğru(D) ve Yanlış(Y)
olarak sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?
A) D – D – D – Y B) D – Y – D – Y
C) D – Y – D – D D) Y – Y – D – Y
E) D – D – D – D
4. Bir işyerinde çalışan 8 kişi A ve B diye iki gruba ayrılmıştır. Bu kişilerin isimleri ve maaşlarını gös-teren tablo aşağıda gösterilmiştir.
B grubu Maaş (TL)
Derya 1.400
Selma 1.800
Fatma 1.500
Soner 2.100
A grubu Maaş (TL)
Hülya 1.800
Ümit 1.600
İlhami 3.200
Turan 2.600
A ve B gruplarındaki hangi iki kişi yer değiştirirse
gruplardaki maaşların ortalaması eşit olur?
A) İlhami ile Soner B) Turan ile Derya
C) Hülya ile Derya D) İlhami ile Selma
E) Turan ile Selma
İstatistik
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
244
1.D 2.D 3.B 4. B 5.D 6.A 7.E 8.E
5.
120°
60°80°
2000
60°
2010
61 ekran
67 ekran
106 ekran
51 ekran
60°
Dairesel grafiklerde, 2000 ve 2010 yılı ekranla-
rına göre TV satış oranları verilmiştir. 106 ekran
TV satışındaki değişim için ne söylenebilir?
A) 2000 yılına göre % 90 artmıştır.
B) 2010 yılı daire grafiğindeki merkez açısı 120°
olmuştur.
C) Toplam satış içindeki payı 41 oranında art-
mıştır.
D) 2010 yılı satışları, 2000 yılına göre % 150 art-
mıştır.
E) 2000 yılında 61 lık paya sahipken, 2010 yılın-
da 31 lük paya sahip olmuştur.
6. 3 tane 11. sınıfı bulunan bir okuldaki öğrencilerin sınıflara dağılımı aşağıda sütun grafiği ile göste-rilmiştir.
24
20
16
12
8
4
0
Ö¤renci say›s›
S›n›flar11–A 11–B 11–C
B
C
A
E
D
Erkek
K›z
Bu sınıflar arasından seçilecek 11. sınıf temsil-
cisinin kız veya 11-C sınıfından olma olasılığı 32
olduğuna göre, 11-C sınıfındaki kız öğrenci sayı-
sına hangi harf karşılık gelir?
A) A B) B C) C D) D E) E
7.
32028024020016012080400
Yukarıdaki grafikte bir veri grubuna ait kutu grafi-
ği verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
A) Alt uç değer 40 tır.
B) Medyan 160 tır.
C) Veri grubunun aralık (genişliği) değeri 280 dir.
D) Üst çeyrek değeri 280 dir.
E) Çeyrekler açıklığı 160 tır.
8. Aşağıdaki grafikte bir işletmenin 2005-2010 yılla-rı arasındaki gelir-gider durumları gösterilmiştir.
100
80
60
40
20
0
Para (bin TL)
Y›llar2005 2006 2007 2008 2009 2010
Gelir Gider
Grafiğe göre, bu işletme için aşağıda verilen bil-
gilerden hangisi yanlıştır?
A) 2008 yılında kâr etmemiştir.
B) En yüksek kârı 2010 yılında yapmıştır.
C) 2006 yılında, 2005 e göre geliri artmamış
fakat kârı artmıştır.
D) 2008-2009 arasında zarar etmiştir.
E) Bu yıllar içindeki toplam kârı 140 bin TL dir.
ES
EN
YAY
INLA
RI
247
TEST – 9
1. 400
300
200
100
0
Nükleotit Sayısı
G S A TNükleotit Çeflitleri
Bir DNA molekülünde Adenin (A) nükleotit sa-yısı, Timin (T) nükleotit sayısına ve Guanin (G) nükleotit sayısı, Sitozin (S) nükleotit sayısına eşit olmak zorundadır. Yukarıda verilen grafikte be-lirtilen nükleotitlerin bulunduğu bir ortamda üreti-lecek bir DNA molekülü en fazla kaç nükleotide sahip olabilir?
A) 400 B) 500 C) 600 D) 700 E) 800
2. Bir ailenin aylık har-
%30
%30
%25
Kira
E¤itim
YiyecekgiyecekE¤lence
camalarının tümharcamalarına oran-ları yandaki grafikte
verilmiştir.
Eğlence için harca-
ması 150 TL olan bu
ailenin aylık harcamaları toplamı kaç TL dir?
A) 750 B) 850 C) 900 D) 1000 E) 1150
3. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Dağılım ölçüleri, verilerin değişkenliğini gös-
terir.
B) Varyans ve standart sapma dağılım ölçüleri-
dir.
C) Varyansın ölçüm birimi, değişkenin ölçüm
birimidir.
D) Standart sapmanın ölçüm birimi, değişkenin
ölçüm birimidir.
E) Ortalama, merkezi eğilim ölçüsüdür.
4. Ankara’da Mart ayının ilk haftasına ait günlükhava sıcaklıkları aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.
Sıcaklık (°C)
Günler
6
4
3
0
–21 2 3 75 64
ABCDE
Bu haftaya ait hava sıcaklığı ortalaması 3°C oldu-
ğuna göre, grafik 7. gün hangi noktadan geçer?
A) A B) B C) C D) D E) E
5. Yandaki silindirik tankın
h
h
A
•
•
r
2r
altta bulunan silindirinin
yarıçapı 2r, yüksekliği h
tır. Üstteki silindirinin ise
yarıçapı r, yüksekliği h tır.
Sabit debili A musluğu
açıldıktan sonra tanktaki
su seviyesini zamana
karşı gösteren grafik aşa-
ğıdakilerden hangisidir?
2h
t
A)
h
2t 3t 4t 5t
2h
t
B)
h
2t 3t 4t 5t
2h
t
C)
h
2t 3t 4t 5t
2h
t
D)
h
2t 3t 4t 5t
2h
t
E)
h
2t 3t 4t 5t
Su seviyesi (m)
Zaman (dk)
Su seviyesi (m)
Zaman (dk)
Su seviyesi (m)
Zaman (dk)
Su seviyesi (m)
Zaman (dk)
Su seviyesi (m)
Zaman (dk)
İstatistik
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
248
1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.A 7.A 8.D 9.D 10.C 11.D
6. Aşağıda üç atletin 200 m koşusunda zamanakarşı koştukları mesafeyi gösteren çizgi grafik ve-rilmiştir.
200
150
100
50
0
Koflulan mesafe (m)
Zaman (sn)
Ali
Veli
Selami
5 10 15 20
Grafikteki bilgilere göre, yarışla ilgili yapılan yo-
rumlardan hangisi yanlıştır?
A) Yarışı Veli kazanmıştır.
B) Yarışa en hızlı başlayan Selami’dir.
C) Veli tüm yarış boyunca sabit hızla koşmuştur.
D) 150. metrede üçü yanyana gelmişlerdir.
E) Ali sürekli artan bir tempo ile koşmuştur.
7. Bir liseden mezun olan 180 öğrencinin üniversi-teye giriş sınavında aldığı MF4 puanları aşağıdatablo halinde verilmiştir.
Puan: x Öğrenci Sayısı
x < 300 36
300 ≤ x < 350 50
350 ≤ x < 400 64
400 ≤ x 30
Bu verilere uygun daire grafiği çizildiğinde, en
büyük merkez açı ile en küçük merkez açının
farkı kaç derecedir?
A) 68 B) 56 C) 40 D) 28 E) 12
8. 7, 4, 8, 6, 5, 12, x
sayılarından oluşan veri grubunun ortalama, mod ve medyan değerinin aynı olması için x kaç ol-
malıdır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
9. Aşağıdakilerden hangisi merkezi eğilim ölçüsü-dür?
A) Varyans B) Aralık
C) Standart sapma D) Medyan
E) Varyasyon kat sayısı
10.
14131211109876543210
Yukarıda kutu grafiği verilen, veri gurubu aşağı-
dakilerden hangisi olabilir?
A) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14
B) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 12, 14
C) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 14
D) 1, 2, 4, 5, 5, 8, 10, 14
E) 2, 3, 4, 5, 5, 8, 10, 10
11. Bir sınıfta bulunan 15 öğrenciye ayakkabı numa-raları sorulmuş ve aşağıdaki çetele elde edilmiş-tir.
38 :
39 :
40 :
41 :
Bu veriler için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Modu 41 dir.
B) Medyanı 40 tır.
C) Aritmetik ortalaması 40 tan küçüktür.
D) Açıklığı 2 dir.
E) İlk çeyrek değeri 39 dur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
249
TEST – 10
1. 6 farklı kitaptan 4 tanesi üst rafa, 2 tanesi alt rafa kaç türlü sıralanabilir?
A) 320 B) 600 C) 720 D) 900 E) 1440
2. 2! + 3! + 4! + ..... + 20! toplamında, faktöriyeli alınmış her sayı 1 artırılır-
sa toplamın sonucu ne kadar artar?
A) 21! B) 21! + 1 C) 21! – 1 D) 21! – 2 E) 21! + 2
3. 8 televizyon programından 3 tanesi aynı saatte yayınlanmaktadır. Bu programlardan iki tanesini izlemek isteyen biri kaç değişik seçim yapabilir?
A) 30 B) 25 C) 24 D) 20 E) 18
4. A = {1, 2, 3, 5, 7} kümesinin elemanlarını kulla-narak rakamları farklı, 5 basamaklı, 4 ile bölüne-bilen kaç sayı yazılabilir?
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30
5. 12334 sayısının rakamları yer değiştirilerek 4 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
A) 72 B) 68 C) 64 D) 60 E) 52
6. En çok 2 elemanlı 16 tane alt kümesi olan bir kü-menin, 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
7. P(n+1, 2) – C(n+2, n+2) = C(n+2, 3) + C(n+3, 0) eşitliğini sağlayan n kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8.
A
B C
D
E
FK
L
MN
Yukarıdaki şekilde L, M, N ve D doğrusaldır. Köşeleri verilen 10 nokta olan en çok kaç üçgen
çizilebilir?
A) 116 B) 115 C) 114 D) 113 E) 112
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
250
1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.E 7.C 8.A 9.C 10.A 11.C 12.C 13.E 14.E 15.A 16.E
9. 6 kişinin katıldığı bir sınavda 2 kişinin başarısız,4 kişinin başarılı olması durumu kaç farklı şekildegerçekleşebilir?
A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18
10. Kenar uzunlukları farklı ve herhangi iki kenarı ça-kışık olmayan 5 kare en fazla kaç noktada kesi-şir?
A) 80 B) 75 C) 72 D) 70 E) 64
11. yx
xy
–2 2
6d n ifadesinin açılımında
yx
9
3 içeren teri-
min kat sayısı kaçtır?
A) –18 B) –12 C) –6 D) 6 E) 12
12. (x + y + z)9 açılımında oluşacak terimlerden kaçtanesinde y5 bulunur?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
13. Madeni bir para 3 defa atıldığında en az 1 keztura gelme olasılığı kaç olur?
) ) ) ) )A B C D E81
41
83
85
87
14. İki zar birlikte atılıyor. Gelen zarların üzerinde-ki sayıların toplamının 6 olduğu bilindiğine göre,zarlardan birinin 2 olma olasılığı kaç olur?
) ) ) ) )A B C D E76
65
54
53
52
15. Üç yarışmacının, bir yarışı kazanma olasılıkları
, ve52
61
85 dir.
Bu yarışmacılardan en az birinin yarışı kazanma olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E1613
87
1615
1211
2423
16. 112334 sayısının rakamları ile oluşturulan 6 ba-samaklı sayılardan bir tanesi rastgele seçilirsebu sayının 1 ile başlayıp 4 ile bitme olasılığı kaçolur?
) ) ) ) )A B C D E52
103
51
101
151
ES
EN
YAY
INLA
RI
253
TEST – 12
1. Bir zar art arda iki kez atıldığında gelen sayıların ardışık olma olasılığı nedir?
) ) ) ) )A B C D E185
31
95
3617
3619
2. Aralarında Elif ve Arman’ın da bulunduğu 10 kişi-lik bir grupta herkes birbiri ile tokalaşacaktır.
İlk tokalaşacak iki kişinin Elif ve Arman olma ola-sılığı nedir?
) ) ) ) )A B C D E451
452
151
454
91
3. x pozitif tam sayı olmak üzere 2x sayıları içinden seçilen bir sayının 2 ile biten bir sayı olma olası-lığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E21
31
41
61
81
4. 1 den 100 e kadar (1 ve 100 dahil) olan sayılar arasından seçilen iki sayıdan birinin diğerinin iki katı olması olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E91
991
253
174
85
5. A = { Ç, A, R, P, I, M } kümesinin elemanlarını bir kez kullanarak oluşturulabilecek 6 harfli sözcük-lerin kaç tanesinde sesli harfler alfabedeki sırala-rına göre yer alır?
A) 180 B) 240 C) 300 D) 360 E) 420
6. Suat ile Seçkin’in de bulunduğu 7 kişi bir sırada, Suat ile Seçkin arasında hep 3 kişi olacak şekilde kaç farklı biçimde oturabilirler?
A) 180 B) 360 C) 420 D) 600 E) 720
7. d1
d2
A B C
D E GF
d1 // d2 olmak üzere, d1 üzerinde 3 ve d2 üze-rinde 4 nokta vardır. Köşeleri verilen bu 7 nok-tadan herhangi üçü olan üçgenler içinden seçilen bir üçgenin bir köşesinin A olma olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E154
31
52
157
158
8. Ali ve Barış bir madeni para ile oyun oynuyorlar. Tura atan oyunu kazanacaktır. Parayı ilk kez Ali atacağına göre, oyunu Barış’ın kazanma olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E32
21
31
41
81
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
254
1.A 2.A 3.C 4.B 5.D 6.E 7.D 8.C 9.D 10.D 11.E 12.A 13.A 14.B 15.C 16.D
9. İki zar birlikte atıldığında zarlardan en az biri-nin 4 geldiği bilindiğine göre, toplamlarının 6 danbüyük olma olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E61
31
21
32
65
10. Bir kapıyı açmak için denenen 5 anahtardan yal-nız biri bu kapıyı açabilmektedir. Anahtarlar sı-rayla denerek kapı açılmaya çalışılırsa en çokikinci denemede kapının açılması olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E259
254
53
52
51
11.
A B
CD
1 1 1 1 1
1
1
1
Üsteki şekilde alanı 1 br2 olan 15 tane kare var-dır. Buna göre, şekilde oluşan dikdörtgenler için-den rastgele birisi boyanırsa, bu boyalı dikdörtge-nin kare olma olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E51
92
4511
154
4513
12. 4 madeni para aynı anda atıldığında 3’ünün yazı,birinin tura gelme olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E41
81
83
161
163
13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanlarındanikisi rastgele seçiliyor. Seçilen bu iki sayının çar-pımının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E75
74
73
72
71
14. Farklı 6 çift ayakkabı arasından rastgele seçilen1 çift ayakkabının birbirinin eşi olma olasılığı kaç-tır?
) ) ) ) )A B C D E121
111
112
61
31
15. Fatih ve Mehmet poligonda aynı hedefe birer kez
ateş etmişlerdir. Fatih’in hedefi vurma olasılığı32
ve Mehmet’in hedefi vurma olasılığı 43 ise hede-
fin yalnız bir kez vurulmuş olma olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E127
31
125
21
1712
16. Anne, baba ve 4 çocuğun bulunduğu bir aile yu-varlak masa etrafında oturacaklardır. Buna göre,anne ile babanın yan yana oturmama olasılıklarıkaçtır?
) ) ) ) )A B C D E61
65
52
53
54
255
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. 1990 – ÖYS
Sıfırdan ve birbirinden farklı A, B, C, D rakamla-rının yerleri değiştirilerek elde edilen dört basa-maklı 24 sayı toplanıyor. Bu toplam için aşağıda-kilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) 6 ile bölünebilir.
B) 9 ile bölünebilir.
C) 14 ile bölünebilir.
D) Tek sayıdır.
E) Beş basamaklı bir sayıdır.
2. 1990 – ÖYS
x
x2 – 27
c m nin açılımında x8 li terimin kat sayısı
kaçtır?
A) 84 B) 48 C) 28 D) – 48 E) –84
3. 1990 – ÖYS
A B C D E
Şekildeki A, B, C, D, E noktaları bir doğru ve ay-rıca C, D noktaları bir çember üzerindedir.
Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki nokta-dan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı kaç-tır?
) ) ) ) )A B C D E32
52
53
65
107
4. 1991 – ÖYS
n elemanlı bir kümenin r li bütün kombinas-yonlarının (kombinezonlarının) sayısı C(n, r) ile gösterildiğine göre, C(n, 2) + C(n, 3) = 4C(n, 1) eşitliğinde n kaç olmalıdır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
5. 1992 – ÖYS
Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vardır. Aynı anda çekilen 2 bilyeden birinin beyaz öbürünün siyah olma olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E61
111
112
334
335
6. 1995 – ÖYS
8 kişilik bir gruptan 5 kişilik kaç değişik takım ku-rulabilir?
A) 336 B) 224 C) 168 D) 112 E) 56
7. 1995 – ÖYS
Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır.
Bu torbadan rasgele çekilen 3 bilyeden birinin beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E103
193
154
145
135
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
256
8. 1996 – ÖSS
d1
d2
A B C
D E F G H
A, B, C ∈ d1
D, E, F, G, H ∈ d2
Yukarıdaki şekilde d1 // d2 olduğuna göre, kö-şeleri bu 8 noktadan (A, B, C, D, E, F, G, H) her-hangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir?
A) 45 B) 48 C) 52 D) 56 E) 72
9. 1996 – ÖYS
xx12
6+c m ifadesinin açılımındaki sabit terim kaç-
tır?
A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22
10. 1997 – ÖYS
(x2 – 2y2)n açılımında x4y4 lü terimin kat sayısıkaçtır?
A) – 48 B) –24 C) 12 D) 24 E) 48
11. 1997 – ÖYS
A torbasında 3 beyaz, 4 kırmızı; B torbasında5 beyaz, 2 kırmızı top vardır. Aynı anda her ikitorbadan birer top alınıyor ve öteki torbaya (A tor-basından alınan B ye, B torbasından alınan Aya) atılıyor.
Bu işlemin sonucunda torbalardaki kırmızı vebeyaz top sayılarının başlangıçtakiyle aynı olmaolasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E4918
4919
4920
4922
4923
12. 1998 – ÖYS
(3x + 2y)23 ün açılımında baştan 11. terimininkat sayısı kaçtır?
A) 210.313 C(23, 10)
B) 211.312 C(23, 11)
C) 211.312 C(23, 12)
D) 212.311 C(23, 12)
E) 213.311 C(23, 11)
13. 1998 – ÖYS
Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane yeşil mendil var-dır. Bu torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki kezbirer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birincisindemavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme olasılığıkaçtır?
) ) ) ) )A B C D E1270
4920
4510
2110
215
14. 1999 – ÖSS
Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eşkenarüçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yü-zünde de T harfleri yazılıdır. Bu düzgün dörtyüz-lü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına veyönüne bakılmaksızın A, T, A harflerinin görülmeolasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E21
31
32
41
43
15. 1999 – ÖSS
5, 6, 7, 8, 9 rakamları kullanılarak rakamları bir-birinden farklı olan, üç basamaklı ve 780 denküçük kaç değişik sayı yazılabilir?
A) 46 B) 42 C) 36 D) 30 E) 24
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
257
16. 2000 – ÖSS
l. fiekil lI. fiekil
16 küçük kareden oluşan l. şeklin her satır ve her sütununda bir ve yalnız bir küçük kare karalana-rak ll. şekildeki gibi desenler elde edilmektedir.
Bu kurala göre, en çok kaç farklı desen elde edi-lebilir?
A) 16 B) 20 C) 24 D) 32 E) 36
17. 2001 – ÖSS
B
C
A
Şekildeki çizgiler bir kentin dik kesen sokaklarını göstermektedir. A dan hareket edip C ye uğra-yarak B noktasına en kısa yoldan gidecek olan kimse kaç değişik yol izleyebilir?
A) 24 B) 18 C) 16 D) 12 E) 9
18. 2003 – ÖSS
Yükseköğrenim için A ve B ülkelerine gönderil-mek üzere 5 öğrenci seçilmiştir. Her iki ülkeye enaz birer öğrenci gideceğine göre, bu 5 öğrencikaç farklı gruplama ile gönderilebilir?
A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40
19. 2004 – ÖSSA
B C
Yukarıdaki ABC üçgeninin kenarları üzerinde 9 nokta verilmiştir. Köşeleri bu 9 noktadan üçü olan kaç üçgen oluşturulabilir?
A) 64 B) 69 C) 74 D) 79 E) 84
20. 2005 – ÖSS
3 tane madeni 1 TL, kumbaralara istenen sayıdaatılmak suretiyle değişik bankalardan alınmış 5farklı kumbaraya kaç değişik şekilde atılabilir?
A) 10 B) 21 C) 24 D) 35 E) 45
21. 2006 – ÖSS
A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla, en az ikibasamağındaki rakamı aynı olan üç basamaklıkaç sayı yazılabilir?
A) 52 B) 40 C) 38 D) 30 E) 24
22. 2007 – ÖSS
A = {–2, –1, 0, 1}
B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} kümeleri veriliyor.
A x B kartezyen çarpımından alınan bir elemanın(a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır?
) ) ) ) )A B C D E41
61
81
121
245
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
258
23. 2008 – ÖSSK = { –2,–1, 0, 1, 2, 3 }
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç ta-nesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya eşittir?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
24. 2008 – ÖSSAşağıdaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üze-rinde bulunmaktadır.
Bu yedi noktadan rastgele seçi-len üç noktanın bir üçgen oluş-turma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir? (Aynı doğru üzerin-
deki üç noktanın bir üçgen oluşturmadığı kabul edilecektir.)
) ) ) ) )A B C D E3532
3527
3524
75
73
25. 2009 – ÖSSBir mağazadan belirli miktarın üzerinde alışverişyapan müşteriler, 4 eş parçaya ayrılmış birinciçarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte geleniki sayının toplamı 6 ya da 6 dan büyükse 6 eşparçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek çıkan he-diyeyi almaktadır.
II. çarkI. çark
ütü
ütüütü
çamafl›rmakinesi
kahvemakinesi
tostmakinesi
1 2
3 4
Buna göre, birinci çarkı çevirmeyi hak eden bir müşterinin çamaşır makinesi kazanma olasılığı kaçtır?
A) 141 B)
161 C)
245 D)
283 E)
325
26. 2009 – ÖSSAynı düzlemde alınan 4 farklı çember en fazlakaç noktada kesişir?
A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18
27. 2010 – YGSBir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve 1 sarı bilyevardır. Torbadan rastgele 4 bilye alındığında tor-bada kalan bilyenin kırmızı renkte olma olasılığıkaçtır?
A)21 B)
32 C)
43 D)
52 E)
53
28. 2010 – LYSA = {1, 2, 3, 4} ve B = {–2, –1, 0} olmak üzereA x B kartezyen çarpım kümesinden alınan her-hangi bir (a, b) elemanı için a + b toplamınınsıfır olma olasılığı kaçtır?
A)41 B)
51 C)
61 D)
71 E)
72
29. 2011 – YGSMeriç’in elinde kırmızı ve beyaz renklerde top-lam 10 top vardır. Meriç bu topları iki torbaya herbir torbada en az bir kırmızı ve bir beyaz top ola-cak şekilde dağıttıktan sonra şunları söylüyor:“Birinci torbada 3 kırmızı top vardır. Torbalardanrastgele birer top çekildiğinde topların ikisinin de
kırmızı olma olasılığı 21 dir.”
Buna göre, ikinci torbada kaç beyaz top vardır?
A) 3 B) 5 C) 1 D) 2 E) 4
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
259
30. 2011 – LYS6 kız ve 7 erkek öğrencinin bulunduğu bir grup-tan 2 temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilcidenbirinin kız, diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır?
A)43 B)
83 C)
132 D)
137 E)
139
31. 2012 – YGSBoyları farklı dört öğrenci bir çizgi boyunca rast-
gele sıraya giriyor. Buna göre, en kısa ve en
uzun boylu öğrencilerin uçlarda olma olasılığı
kaçtır?
A)21 B)
31 C)
41 D) 1
6 E)
121
32. 2012 – LYS
Bir çiçekçide 5 farklı renkten çok sayıda gül ve
2 çeşit vazo vardır. Bir müşteri, 2 farklı renkten
toplam 3 gül ve 1 vazo satın almak istiyor.
Bu müşteri alışverişini kaç farklı şekilde yapabi-
lir?
A) 15 B) 20 C) 25 D) 40 E) 50
33. 2012 – LYS
Bir torbada 5 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır.
Bu torbadan aynı anda rastgele 3 bilye çekil-
diğinde her bir renkten en fazla 2 bilye olma
olasılığı kaçtır?
A)32 B)
43 C)
65 D)
87 E)
98