Ders 14 - siirt.edu.tr · 1 Ders 14 Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları-I Bazı Kesikli...
Transcript of Ders 14 - siirt.edu.tr · 1 Ders 14 Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları-I Bazı Kesikli...
1
Ders 14
Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları-I
Bazı Kesikli Olasılık
Dağılımları
• Bernoulli Dağılımı
• Binom Dağılımı (İki Terimli Dağılım)
• Çok Terimli Dağılım
• Geometrik Dağılım
• Negatif Binom Dağılımı
• Hipergeometrik Dağılım
• Poisson Dağılımı
• Düzgün (Uniform) Dağılım
Bernoulli Rasgele Değişkeni
Tanım 6.2.1: Bir X rasgele değişkeni için yalnız iki sonuç
varsa X’e Bernoulli rasgele değişkeni denir.
Bir denemede elde edilecek iki sonuç için genellikle 0 ve 1
değerleri karşılık getirilir. 1 değeri belli bir denemenin
başarılı olmasına, 0 ise başarısızlığına karşılıktır.
Bernoulli Dağılımı
Örnek 6.2.1: Aşağıdaki denemelerde Bernoulli rasgele
değişkenini tanımlayınız.
1) Para atılması
2) İçinde M siyah ve N beyaz top bulunan bir kavanozdan
bir top çekilmesi
3) Kusurlu ve kusursuz parçaların bulunduğu bir kutudan
bir parça çekilmesi
2
Bernoulli Dağılımı
Tanım 6.2.2: (Bernoulli Dağılımı) X rasgele değişkeni
0 ve 1 değerlerini alsın. X’in olasılık fonksiyonu:
1
( 1)
( 0) 1 yada
( ) ( ) .(1 ) , 0,1 dir. x x
P X p
P X p q
f x P X x p p x
Bu dağılıma Bernoulli dağılımı denir.
Bernoulli Dağılımı
1( ) ( ) .(1 ) , 0,1 x xf x P X x p p x
Teorem 6.2.1: X, Bernoulli dağılımına sahip bir rasgele
değişken olsun.
Bernoulli dağılımının ortalaması μ ve varyansı σ2, sırasıyla
2 2 2
( )
( ) [ ( )] . .(1 )
E X p
E X E X p q p p
Bernoulli Dağılımı
1 11
0 0
( ) . ( ) . (1 )x x
x x
E X x f x x p p p
2 2 2
12 2 1
0
( ) [ ( )]
( ) . (1 )x x
x
E X E X
E X x p p p
İspat: Beklenen değer tanımından
2 2 (1 ) .p p p p p q
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
Tanım 6.3.1: (Binom Rasgele Değişkeni) Birbirinden
bağımsız n Bernoulli denemesinden başarılı olanların
toplam sayısı X rasgele değişkeni olsun. Bir tek deneme
için başarılı olma olasılığı p, başarısız olma olasılığı 1-p
ise aşağıdaki koşulları sağlayan X’e binom rasgele
değişkeni denir.
3
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
1) Deney n özdeş denemeden oluşmaktadır.
2) Her bir deneme için yalnız iki sonuç vardır.
Başarı (S) ve başarısızlık (F)
3) Bir tek deneme için başarı olasılığı olan p her deneme
için aynıdır. Başarısızlık olasılığı q=1-p dir.
4) Denemeler birbirinden bağımsızdırlar.
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
Örnek 6.3.1: Aşağıdaki deneylerde tanımlanan X, binom rasgele
değişkenidir.
1) Bir para 10 kez atılsın. X rasgele değişkeni gözlenen turların
sayısıdır.
2) İçinde 8 siyah ve 4 beyaz top bulunan bir kavanozdan tekrar
yerine koyarak 3 top çekilsin. X rasgele değişkeni çekilen siyah
top sayısıdır.
3) İçinde 3 kusurlu ve 7 kusursuz parça bulunan bir kutudan tekrar
yerine koyarak 4 parça seçelim. X rasgele değişkeni seçilen
kusurlu parçaların sayısıdır.
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
Teorem 6.3.1: (Binom Dağılımı) Birbirinden bağımsız n
Bernoulli denemesi için X, her bir denemede başarı
olasılığı p, başarısızlık olasılığı q olan binom rasgele
değişkeni ise, X’in olasılık fonksiyonu:
( ) . . , x=0,1,2,...,nx n xn
f x p qx
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
İspat: n bağımsız denemede başarı sayısı X; 0, 1, …, n
olabilir.SSS…..S
x
FFF…..F
n-x
Çarpım teoreminden ilk x denemenin başarılı, geri kalan
n-x denemenin başarısız olması olasılığı px.(1-p)n-x dir.
Denemeler birbirinden bağımsız olduğundan diğer bir x
“başarı” ve n-x “başarısızlık” dizisinin olasılığı da px.qn-x dir.
Bir grupta x, diğerinde n-x sonuç bulunan n sonucun farklı
dizilerinin sayısı dir.n
x
4
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
Bir defada bir olay elde edileceğinden bu olaylar ayrıktır.
Toplama kuralı nedeniyle f(x) (n denemedeki başarı sayısı)
aşağıdaki gibidir.
( ) . . , x=0,1,2,...,n (Binom Dağılımı)x n xn
f x p qx
Olasılıklar toplamı:
0 0
( ) . . ( ) 1n n
x n x n
x x
nf x p q p q
x
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
Örnek 6.3.2: Bir para 4 kez atılsın.
a) İki tura
b) En az bir tura
c) 1’den fazla tura gelmesi olasılıkları nedir?
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
44 1 1
( ) ( )2 2
x x
f x P X xx
Çözüm: 4 atıştaki turaların sayısı X olsun. Böylece X
rasgele değişkeni için olasılık fonksiyonu
a) İki tura gelme olasılığı
2 4 24 1 1 1 1 3
(2) ( 2) 6. .2 2 2 4 4 8
f P X
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
b) En az bir tura elde etme olasılığı, bir yada daha çok tura
elde etme olasılığına eşittir.
0 4 0
( 1) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 1 ( 0)
4 1 1 1 151 . . 1
0 2 2 16 16
P x P X P X P X P X P X
c) Birden fazla tura elde etmenin olasılığı
4 4
( 1) ( 2) ( 3) ( 4)
1 ( 0) ( 1)
1 1 111 4.
2 2 16
P X P X P X P X
P X P X
5
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
( ) . . , x=0,1,2,...,n x n xn
f x p qx
Teorem 6.3.2: X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu
aşağıdaki gibi olsun.
2 2 2
( )
( ) [ ( )]
E X np
E X E X npq
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
İspat: Binom rasgele değişkeni X, her biri 1 değerini p,
0 değerini 1-p olasılığı ile alan n bağımsız Xi, Bernoulli
değişkeninin toplamıdır.
X=X1+X2+…+Xn olduğundan
1 2( ) ( ... )
...
nE X E X X X
p p p np
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
X’in varyansı:
2
1 2( ) ( ... )nVar X Var X X X
Xi’ler bağımsız olduklarından
2
1 2( ) ( ) ( ) ... ( )
...
nVar X Var X Var X Var X
pq pq pq
npq
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
Örnek 6.3.6: Üç ildeki üç farklı göreve, üç farklı meslekten,
üç aday başvuruyor. Her adayın bulunduğu ildeki göreve
seçilmesi olasılığı 1/3 olmak üzere en az birinin oturduğu
ilde görev alma olasılığı nedir?
p=1/3 (Adayın oturduğu ilde göreve seçilmesi)
q=2/3 (Adayın oturduğu ilde göreve seçilmemesi)
6
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)Çözüm:
Binom deneyi için koşullar:
1) n=3 (sabit)
2) Her aday ya yaşadığı yere görevli gider, ya da gidemez.(iki
sonuç var)
3) p=1/3, q=2/3 (Her aday için aynıdır)
4) Görevlendirmeler bağımsızdır.
0 3
( 1) 1 ( 0)
3 1 2 191 . .
0 3 3 27
P X P X
İstenen olasılık:
Çok Terimli Dağılım
(Multinomial Distribution)
Bir deneyde E1, E2, …, Ek ile gösterilen ayrık sonuçların
elde edildiğini kabul edelim. Denemeler n kez
tekrarlandığında her bir Ei’nin (i=1, 2, …, k) elde ediliş
sayısının ortak dağılımı çok terimli dağılımdır. Çok
terimli dağılım binom dağılımının genelleştirilmesidir.
Çok Terimli Rasgele
Değişken
Tanım 6.4.1: E1, E2,…, Ek bir deneyin ayrık sonuçları
olsunlar. (X1, X2, …, Xk) rasgele değişkeni n bağımsız
denemede her bir Ei’nin elde ediliş sayısını göstermek
üzere bir tek denemede Ei’nin elde edilme olasılığı pi
(i=1, 2,…, k) olsun. Bu takdirde (X1, X2, …, Xk) rasgele
değişkenine çok terimli rasgele değişken denir.
Çok Terimli Rasgele Değişken
Örnek 6.4.1:
1) Bir kavanozda N1 siyah, N2 kırmızı, N3 yeşil top vardır.
Yine yerine koyarak ardışık olarak n top çekilmiş olsun.
Çekilen siyah topların sayısı X1, kırmızı topların sayısı X2,
yeşil topların sayısı X3 olsun. Bu durumda (X1, X2, X3) çok
terimli rasgele değişkendir.
2) 52’lik bir desteden ardışık olarak yine yerine koyarak 13
kart çekiliyor. Çekilen kupaların sayısı X1, karoların sayısı
X2, maçaların sayısı X3, sineklerin sayısı X4 olsun. (X1, X2,
X3, X4) çok terimli rasgele değişkendir.
7
Çok Terimli Dağılım
1 2
1 2 1 2
1 2
!( , ,..., ) . ...
!. !... !kxx x
k k
k
nf x x x p p p
x x X
Teorem 6.4.1: (X1, X2, …, Xk) bir tek denemede pi olasılıkları
(i=1, 2, …, k) ile n bağımsız denemeden oluşan bir deney için
çok terimli rasgele değişken ise (X1, X2, …, Xk)’nin ortak
olasılık dağılımı aşağıdaki f fonksiyonu ile verilir.
Xi=0,1,2,…,n ve i=1,2,…,k.
1 1
, 1 dir.k k
i i
i i
x n p
Bu dağılıma çok terimli dağılım denir.
Çok Terimli Dağılım
1 2
1 2. ... kxx x
kp p p
İspat: n bağımsız denemede belli bir sırada E1’in x1 kez,
E2’nin x2 kez, …, Ek’nın xk kez elde edilmesi olasılığı:
Olayların herhangi bir sırada elde edilmesi ile
ilgilendiğimizden buradaki ayrık yolların sayısı:
1 2
!
!. !... !k
n
x x x
Çok Terimli Dağılım
1 2
1 2 1 2
1 2
0,1,...,!( , ,..., ) . . ...
1,2,...!. !... !k ixx x
k k
k
x nnf x x x p p p
i kx x x
Bu olasılık fonksiyonu (p1+p2+…+pk)n’nin çok terimli
açılımındaki genel terim olduğundan bu olasılık dağılımına
çok terimli dağılım denir.
Bu dağılım k=2 için iki terimli binom dağılımına indirgenir.
olmak üzere (X1, X2, …, Xk) rasgele
değişkeninin ortak olasılık fonksiyonu:1 1
ve 1k k
i i
i i
x n p
Çok Terimli Dağılım
Örnek 6.4.2: Bir zar 12 kez atılsın. İki kere 1, üç kere 2, bir
kere 3, iki kere 4, üç kere 5, bir kere 6 gelmesi olasılığı nedir?
(X1,X2,…,X6) rasgele değişkeni çok terimli dağılıma sahiptir.
1 2 3 4 5 6
1, 1,2,...,6; 2, 3, 1, 2, 3, 1
6
12
ip i x x x x x x
n
2 3 1 2 3 1 12
( 1 2, 2 3, 3 1, 4 2, 5 3, 6 1) (2,3,1,2,3,1)
12! 1 1 1 1 1 1 11! 1. . . . . . .
2!.3!.1!.2!.3!.1!. 6 6 6 6 6 6 12 6
P X X X X X X f
8
Çok Terimli Dağılım
Teorem 6.4.2: (X1,X2,…,Xk) rasgele değişkeni çok terimli
dağılıma sahip olsun. Bu durumda,
( )
ve
( ) (1 ), 1,2,...,
i i
i i i
E X np
Var X np p i k
Geometrik Dağılım
Bir deneyin bağımsız Bernoulli denemelerinden
oluştuğunu kabul edelim. İlk “başarıyı” elde edinceye
kadar bağımsız denemeleri yapmaya devam edersek, ilk
başarının elde edilmesi için gereken denemelerin sayısı
geometrik rasgele değişkendir.
Geometrik Rasgele
Değişken
Tanım 6.5.1: Bağımsız Bernoulli denemelerinin bir
dizisinde her bir deneme için başarı olasılığı p ve ilk
başarının elde edilmesi için gerekli denemelerin sayısı X
rasgele değişkeni olsun. Bu durumda X’e geometrik
rasgele değişken denir.
Geometrik Rasgele
Değişken
Örnek 6.5.1: Aşağıdaki örnekler geometrik rassal
değişkenlerle ilgilidir.
1) Bir para tura gelinceye kadar atılsın. X ilk turayı bulmak
için gereken atışların sayısı olsun. X, geometrik rassal
değişkendir.
2) Bir kutuda 6 kusurlu, 7 kusursuz parça vardır. Parçalar
ardışık olarak tekrar yerine konarak çekiliyor. Burada X,
kusurlu parça elde edilinceye kadar gereken çekilişlerin
sayısı X geometrik rassal değişkenidir.
9
Geometrik Dağılım
Teorem 6.5.1: X, bir tek denemede başarısızlık olasılığı
q=1-p ve başarı olasılığı p olan geometrik rassal değişken
ise, X’in olasılık fonksiyonu:
1( ) ( ) . , 1,2,...xf x P X x q p x
Geometrik Dağılım
İspat: İlk başarının elde edilmesi için gereken denemelerin
sayısı X, 1,2,3,… değerlerinden biri olabilir. X-1, ilk
başarıdan önceki denemelerin sayısı olsun.
1( ) ( ) . , 1,2,...xf x P X x q p x
FF… … F S
X-1
X-1 başarısızlığı, başarının takip ettiği dizinin olasılığı qx-1.p dir
Geometrik Dağılım
1,2,3,… denemede ilk başarının elde edilmesi olasılıkları
aşağıdaki sonsuz serideki ardışık terimlere karşılık gelir.
2
2
1
( ) . . ...
:
1( ) .(1 ...) . 1
1x
f x p q p q p
Olasılıklar Toplamı
f x p q q pq
Geometrik Dağılım
Örnek 6.5.2: 1 elde edinceye kadar zarı atalım.
a) Bağımsız atışlar dizisinde, ilk 1’in elde edilmesi için
gereken atışların sayısının olasılık fonksiyonu nedir?
b) 3. atışta 1 bulmanın olasılığı nedir?
10
Geometrik DağılımÇözüm:
a) X’in olasılık fonksiyonu:
15 1
( ) ( ) . , 1,2,...6 6
x
P X x f x x
b) 3. atışta 1 elde etme olasılığı:
3 1 25 1 5 1
( 3) (3) . .6 6 6 6
25
216
P X f
Geometrik DağılımTeorem 6.5.2: X rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu
aşağıdaki gibi olsun.
1( ) . , 1,2,...xf x q p x
Bu durumda
2 2 2
2
1( )
( ) [ ( )]
E xp
qE X E X
p
Geometrik Dağılımın
ortalama ve varyansı
1
Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları-II
Ders 15
Negatif Binom Dağılımı
Varsayalım ki bir deney birbirinden bağımsız Bernoulli
denemelerinden oluşmaktadır. Bu deneye K başarı elde
edinceye kadar devam edersek, K başarının elde edilmesi
için gerekli denemelerin sayısı negatif binom rasgele
değişkenidir.
Binom Dağılımı Negatif Binom Dağılımı
Rassal Değ.: Başarı Sayısı
Sabit : Deneme Sayısı
Rassal Değ.: Deneme Sayısı
Sabit : Başarı Sayısı
Negatif Binom Rassal
Değişkeni
Tanım 6.6.1: Bağımsız Bernoulli denemeleri dizisinde her
bir denemede başarı olasılığı p olmak üzere K≥1
başarının elde edilmesi için gereken denemelerin sayısı X
rasgele değişkeni olsun. Bu durumda X’e negatif binom
rasgele değişkeni denir.
Negatif Binom Rassal
Değişkeni
Örnek 6.6.1:
1) 3 tura gelinceye kadar bir paranın ardışık olarak atılması
durumunda X, “3 tura elde etmek için gereken atışların
sayısı” negatif binom rassal değişkenidir.
2) Bir kutuda 3 kusurlu, 7 kusursuz parça vardır. Parçalar
tekrar yerine konularak ardışık olarak çekildiği durumda
X, “3 kusursuz parça elde edinceye kadar gerekli
çekilişlerin sayısı” negatif binom rassal değişkenidir.
2
Negatif Binom Dağılımı
Teorem 6.6.1: Bir tek denemedeki başarısızlık olasılığı
q=1-p ve başarı olasılığı p olmak üzere, X negatif binom
rasgele değişkeni ise, K başarının gerçekleşmesi için, X
rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdadır:
1( ) . .(1 ) , x=K, K+1,...
1
K x Kx
f x p pK
Bu fonksiyona PASCAL Dağılımı da denir.
K=1 ise Negatif Binom Dağılımı, Geometrik Dağılıma indirgenir.
İspatK ve x için sabit değerler seçip A ve B olaylarını düşünelim.
1( ) . .(1 ) , x=K, K+1,...
1
K x Kx
f x p pK
A={İlk x-1 deneme K-1 başarı içeriyor}
B={x’nci denemede başarı var}
Denemeler bağımsız kabul
edildiğinden A ve B birbirinden
bağımsızdır (P(B)=p) .
( ) ( ) ( ) ( ). ( )f x P X x P A B P A P B
(x-1)<(K-1) yada eşdeğer olarak x<K için P(A)=0’ dır.
1 1 ( 1)1
( ) . . . (x K ise)1
K x Kx
f x p q pK
Sonuç:
Örnek
Örnek 6.6.2: Bir zar atılsın. Yedinci atışta üçüncü kez 6
elde etme olasılığı nedir?
Çözüm:
x=7, K=3 ve p=1/6 olmak üzere
3 46 1 5
(7. denemede 3. kez 6 elde etme) . .2 6 6
P
Negatif Binom Dağılımın
Beklenen Değeri ve Varyansı
Teorem 6.6.2: X rasgele değişkeni negatif binom dağılıma
sahip olsun. Bu durumda;
( )K
E Xp
2
2
Kq
p
3
İspatX1= İlk başarıya kadar gereken denemelerin sayısıX2= İlk başarıdan ikinci başarıya kadar (ikinci başarı dahil) iki
başarı arasındaki denemelerin sayısı ...
XK= (K-1)’nci başarı ve K’ncı başarı arasındaki (K’ncı dahil) gereken denemelerin sayısı
K başarı için istenen denemelerin toplam sayısı:
X=X1+X2+…+XK’dır (Xi’lerin her biri geometrik dağılıma sahip
bağımsız rassal değişken).
E(Xi)=1/p (i=1,2,…,K) (Geometrik Dağılımın Beklenen Değeri)
1 2
1 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ...K
KE X E X E X E X
p p p p
İspat
Xi’ler (i=1,2,…,K) bağımsız olduğundan
2
1 2( ) ( ) ( ) ... ( )KVar X Var X Var X Var X
2( ) (i=1,2,...,K) (Geometrik Dağılımın Varyansı)i
qVar X
p
2
2 2 2 2( ) ...
q q q KqVar X
p p p p
Hipergeometrik Dağılım
Tanım 6.7.1: Sonlu sayıda N öğeden oluşan bir kitle
içinde belli bir A tipindeki öğelerin sayısı a olsun. Tekrar
yerine koymaksızın rasgele çekilen ve n birimden oluşan
bir örneklemdeki A tipinden öğelerin sayısı X olsun. Bu
durumda X’e hipergeometrik rassal değişken denir.
Hipergeometrik Dağılım
Örnek 6.7.1:
1) Bir kavanozda 4 beyaz ve 6 s,yah top vardır. Tekrar
yerine koymaksızın 3 top çekiliyor. Bu durumda X
rassal değişkeni “çekilen siyah topların sayısı”
hipergeometrik rassal değişkendir.
2) Bir kutuda 4 kusurlu, 8 kusursuz parça vardır. Çekileni
yerine koymadan 3 parça çekiliyor. X rassal değişkeni
“çekilen kusurlu parçaların sayısı” hipergeometrik rassal
değişkendir.