Bölüm 5 Örneklem ve Örneklem Dağılımları
description
Transcript of Bölüm 5 Örneklem ve Örneklem Dağılımları
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
BİYOİSTATİSTİK-I (6BESYGS001)
Bölüm 5
Örneklem ve Örneklem Dağılımları
Bölüm-5-1
İşletme İstatistiği Araçları
Tanımlayıcı İstatistik Veriyi toplama, sunma ve betimleme
Çıkarımsal İstatistik Sadece örneklem verisine dayanarak bir
popülasyon hakkında sonuç çıkarma ve/veya karar verme
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-2
Popülasyonlar ve Örnekler
Bir Popülasyon araştırmaya konu olan öge veya bireylerin kümesidir.
Örnekler: Gelecek seçimlerdeki muhtemel tüm seçmenler Bugün imal edilen tüm parçalar
Kasım ayı için alınan tüm makbuzlar
Bir Örnekler popülasyonun bir alt kümesidir Örnekler: Bir görüşme için rastgele seçilmiş olan 1000 seçmen
Tahribatlı test için seçilmiş olan çok az sayıdaki parça
Denetim için rastgele seçilmiş olan makbuzlar
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-3
Popülasyona karşı Örneklem
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
a b c d
ef gh i jk l m n
o p q rs t u v w
x y z
Popülasyon Örneklem
b c
g i n
o r u
y
Bölüm-5-4
Neden Örneklem?
Genele göre daha az zaman alıcı
Genele göre daha düşük maliyetli
Örnekleme dayanan yeterince yüksek bir hassasiyet ile istatistiksel sonuçlar elde etmek mümkündür.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-5
Basit Rastgele Örneklem
Popülasyondaki tüm nesneler eşit seçilme şansına sahiptir
Nesneler bağımsız bir şekilde seçilmektedir
Örnekler rastgele sayılar tablosundan veya bilgisayardaki rastgele sayı üreteçlerinden elde edilebilmektedirler
Basit bir rastgele örneklem diğer örneklem yöntemleriyle kıyaslandığında en ideal olanıdır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-6
Çıkarımsal İstatistik
Örneklem sonuçlarını inceleyerek bir popülasyon hakkında çıkarımda bulunma
Örneklem İstatistiği Popülasyon parametreleri (bilinen) çıkarım (bilinen fakat, örneklem
bulgularından tahmin
edilebilinen)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-7
Çıkarımsal İstatistik
Kestirim Örneğin, örneklem ortalama ağırlığını
kullanarak popülasyon ortalama ağırlığını kestirmek
Hipotez testi Örneğin, popülasyonun ortalama
ağırlığının 62 kg olduğu iddiasının test edilmesi
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Çıkarım örneklem sonuçlarına dayanarak bir popülasyon hakkında sonuç çıkarma sürecidir.
Bölüm-5-8
Örneklem Dağılımları
Bir örneklem dağılımı bir popülasyondan seçilmiş olan verilmiş bir örnek büyüklüğü için olan bir istatistiğin tüm muhtemel sonuçlarının dağılımıdır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-9
Bölümün Anahatları
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Örneklem Dağılımları
Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı
Örneklem Orantısı
Örneklem Dağılımı
Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı
Bölüm-5-10
Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Örneklem Dağılımları
Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı
Örneklem Orantısı
Örneklem Dağılımı
Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı
Bölüm-5-11
Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi
Bir popülasyon olduğunu varsayınız… Popülasyon büyüklüğü N=4 Rassal Değişken, X,
bireylerin yaşıdır X Değerleri:
18, 20, 22, 24 (yıl olarak)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
A B C D
Bölüm-5-12
Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
0,25
0 18 20 22 24
A B C D
Tekdüze Dağılımı
P(x)
x
(devam)
Popülasyon Dağılımı için Özet Ölçütler:
214
24222018
N
Xμ i
2i(X μ)
σ 2,236N
Bölüm-5-13
Şimdi büyüklüğü n=2 olan tüm muhtemel
örneklemleri göz önüne alınız
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
1. 2. Gözlem Göz 18 20 22 24
18 18,18 18,20 18,22 18,24
20 20,18 20,20 20,22 20,24
22 22,18 22,20 22,22 22,24
24 24,18 24,20 24,22 24,24
16 muhtemel örneklem (yerine
koyarak örnekleme)
1. 2. Gözlem Göz 18 20 22 24
18 18 19 20 21
20 19 20 21 22
22 20 21 22 23
24 21 22 23 24
(devam)
Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi
16 Örneklem Ortalamaları
Bölüm-5-14
Tüm örneklem ortalamalarının Örneklem
Dağılımı
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
1. 2. Gözlem Göz 18 20 22 24
18 18 19 20 21
20 19 20 21 22
22 20 21 22 23
24 21 22 23 24
18 19 20 21 22 23 240
.1
.2
.3 P(X)
X
Örneklem Ortalamalarının
Dağılımı
16 Örneklem Ortalamaları
_
Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi
(devam)
(artık Tekdüze değil)
_
Bölüm-5-15
Bu Örneklem Dağılımının Özet Ölçütleri:
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi
(devam)
μ2116
24211918
N
X)XE( i
1.5816
21)-(2421)-(1921)-(18
N
μ)X(σ
222
2i
X
Bölüm-5-16
Popülasyonun Örneklem Dağılımı ile Karşılaştırılması
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
18 19 20 21 22 23 240
0,1
0,2
0,3 P(X)
X 18 20 22 24
A B C D
0
0,1
0,2
0,3
PopülasyonN = 4
P(X)
X_
1.58σ 21μXX
2.236σ 21μ
Örneklem Ortalamaları Dağılımı n = 2
_
Bölüm-5-17
Örneklem Ortalamasının Beklenen Değeri
X1, X2, . . . Xn bir popülasyondan olan rassal örnekleri temsil ediyor olsun
Bu gözlemlerin Örneklem Ortalaması değeri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
n
1iiX
n
1X
Bölüm-5-18
Ortalamanın Standart Hatası Aynı popülasyondan olan aynı örneklem büyüklüğündeki
farklı örnekler farklı örneklem ortalamalarına yol açabilirler
Örneklemden örnekleme göre değişen ortalamanın değişkenliğinin bir ölçütü de Ortalamanın Standart Hatası ile verilmektedir
Ortalamanın standart hatasının, örneklem büyüklüğü arttıkça azaldığına dikkat ediniz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
n
σσ
X
Bölüm-5-19
Eğer örneklem değerleri bağımsız değilse
Eğer örneklem büyüklüğü n, popülasyon büyüklüğü N’e göre küçük bir kesri temsil etmiyorsa, o halde bireysel örneklem üyeleri bir diğerinden bağımsız olarak dağılmamışlardır
O halde, gözlemler bağımsız olarak seçilmemişlerdir Bunu hesaba katan bir düzeltme yapmak gerekir
veya
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-20
(devam)
1N
nN
n
σσ
X
1N
nN
n
σ)XVar(
2
Eğer Popülasyon Normal ise Eğer bir popülasyon μ ortalama ve σ standart
sapma ile normal dağılıyorsa, örneklem
dağılımı da ortalama ile normal olarak
dağılmaktadır
ve
Eğer örneklem büyüklüğü n popülasyon büyüklüğü N’e göre büyük değilse, o halde
ve
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
X
μμX
n
σσ
X
Bölüm-5-21
1N
nN
n
σσ
X
μμX
Ortalamanın Örnekleme Dağılımı için Z-değeri
‘in örnekleme dağılımı için Z-değeri:
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
burada: = örneklem ortalaması
= popülasyon ortalaması
= ortalamanın standart hatası
Xμ
Xσ
μ)X(Z
X
Bölüm-5-22
xσ
Örnekleme Dağılımının Özellikleri
(yani yansız ise)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Normal Popülasyon Dağılımı
Normal Örnekleme Dağılmı(aynı ortalamaya sahiptir
x x
x
μμx
μ
xμ
Bölüm-5-23
Örnekleme Dağılımının Özellikleri
Yerine koyarak örnekleme için:
n arttıkça,
azalır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Büyük örneklem
büyüklükleri
Küçük örneklem
büyüklüğü
x
(devam)
xσ
μ
Bölüm-5-24
Eğer Popülasyon Normal dağılmamışsa
Merkezi Limit Teoremi uygulanabilir:
Popülasyon normal olmasa bile, …popülasyondan olan örneklem ortalamaları,
örneklem büyüklüğü yeterince büyük olduğu ölçüde yaklaşık olarak normal olacaktır.
Örnekleme dağılımının özellikleri:
ve
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
μμx n
σσx
Bölüm-5-25
Merkezi Limit Teoremi
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
n↑Örneklem büyüklüğü yeterince büyük oldukça…
Örnekleme dağılımı popülasyonun şekli ne olursa olsun neredeyse normale dönüşür
xBölüm-5-26
Eğer Popülasyon Normal dağılmamışsa
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Popülasyon Dağılımı
Örneklem Dağılımı (n arttıkça normale dönüşür)
Merkezi Eğillim
Varyasyon
x
x
Büyük örneklem büyüklüğü
Küçük örneklem
büyüklüğü
(devam)
Örnekleme dağılımı özellikleri:
μμx
n
σσx
xμ
μ
Bölüm-5-27
Ne Kadar Büyük Olmalı?
Pek çok dağılım için, n > 25 neredeyse normal bir örnekleme dağılımı verecektir
Normal popülasyon dağılımları için, örnekleme dağılımları daima normal olarak dağılmıştır.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-28
Örnek
Ortalaması μ = 8 ve standart sapması σ = 3 olan bir büyük popülasyonu ele alınız. Büyüklüğü n = 36 olan rassal bir örneklemi ele alınız.
Örneklem ortalamasının 7,8 ile 8,2 arasında olma olasılığı nedir?
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-29
Örnek
Çözüm:
Popülasyon normal olarak dağılmamışsa bile, merkezi limit teoremi kullanılabilmektedir (n > 25)
… yani örnekleme dağılımı yaklaşık olarak normaldir
… ortalaması = 8
…ve standart sapması
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
(devam)
x
xμ
x
σ 3σ 0,5
n 36
Bölüm-5-30
Örnek
Çözüm (devam):
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
(devam)
X
X
μ -μ7,8-8 8,2-8P(7,8 μ 8,2) P
3 σ 336 n 36
P(-0,5 Z 0,5) 0,3830
Z7,8 8,2 -0,5 0,5
Örnekleme Dağılımı
Standart Normal Dağılımı 0,1915
+0,1915
Popülasyon Dağılımı
??
??
?????
??? Örneklem Standardize et
8μ 8μX
0μz xX
Bölüm-5-31
Kabul Aralıkları
Amaç: Bir popülasyon ortalaması ve varyansı verilmişken örneklem ortalamalarının meydana gelmesinin muhtemele olacağı bir aralığı tespit ediniz
Merkezi Limit Teoremi ile, dağılımının eğer n yeterince büyükse μ ortalama ve ile yaklaşık olarak normaldir.
zα/2 normal dağılımda α/2 ‘lik bir alanı kaplayan z-değeri olsun
(yani - zα/2 ‘den zα/2 ‘ye kadar 1 – α’lik bir olasılığa karşılık gelir)
O halde,
X’i 1 – α olasılık ile kapsayan bir aralıktır.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
X/2σzμ
Bölüm-5-32
Xσ
X
Xσ
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Örnekleme Dağılımları
Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı
Örneklem Orantısı
Örneklem Dağılımı
Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı
Bölüm-5-33
Örneklem Orantısının Örnekleme Dağılımları
Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı
P = aynı özelliklere sahip olan popülasyonun orantısı
Örnek orantısı ( ) P’nin bir tahmini verir:
0 ≤ ≤ 1 bir binom dağılıma sahiptir, fakat nP(1 – P) > 5
olduğunda bir normal dağılıma yaklaştırılabilirler
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
X örneklemde söz konusu özelliklere sahip olan ögelerin sayısı p̂
n örneklem büyüklüğü
p̂
p̂
Bölüm-5-34
p̂
’nin Örnekleme Dağılımı
Normale yaklaşma:
Özellikler:
ve
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
(burada P = popülasyon orantısı)
Örnekleme Dağılımı
0,30,20,1 0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
P)pE( ˆn
P)P(1
n
XVarσ2
p
ˆ
)PP( ˆ
P̂
Bölüm-5-35
p̂
Orantılar için Z-Değerleri
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
nP)P(1
Pp
σ
PpZ
p
ˆˆ
ˆ
’yi aşağıdaki formül ile Z değerine standardize ediniz:
Bölüm-5-36
p̂
Örnek
Halk oylaması A’yı destekleyen seçmenlerin
orantısı P = 0,4 ise, büyüklüğü 200 olan bir
örneklem için orantının 0,40 ile 0,45 arasında
olma olasılığı nedir?
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
yani: eğer P = 0,4 ve n = 200, ise
P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir?p̂
Bölüm-5-37
Örnek
eğer P = 0,4 ve n = 200, ise
P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir?
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
(devam)
0p̂
P(1 P) 0,4(1 .0,4)σ ,03464
n 200
0 00
0,40 ,40 0,45 ,40ˆP(0,40 p ,45) P Z
0,03464 0,03464
P(0 Z 1,44)
‘yi bulunuz:
Standart normale dönüştürünüz:
pσ ˆ
Bölüm-5-38
p̂
Örnek
eğer P = 0,4 ve n = 200, ise
P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir?
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Z0,45 1,44
0,4251
Standardize ediniz
Örnekleme DağılımıStandardize
Normal Dağılım
(devam)
Standard normal tabloyu kullanınız: P(0 ≤ Z ≤ 1,44) = 0,4251
0,40 0p̂
Bölüm-5-39
p̂
Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Örnekleme Dağılımları
Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı
Örneklem Orantısı
Örneklem Dağılımı
Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı
Bölüm-5-40
Örneklem Varyansı x1, x2, . . . , xn bir popülasyondan rassal örneklem olsun.
Örneklem varyansı aşağıdaki gibidir
örneklem varyansının kare kökü örneklem standart sapması olarak anılmaktadır.
örneklem varyansı aynı popülasyona ait olan farklı rassal örneklemler için farklı varyansa sahiptirler.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
n
1i
2i
2 )x(x1n
1s
Bölüm-5-41
Örneklem Varyanslarının Örnekleme Dağılımı
s2’ in örnekleme dağılımı σ2 ortalamasına sahiptir
Eğer popülasyon dağılımı normal ise, o halde
Eğer popülasyon dağılımı normal ise, o halde
has bir n – 1 serbestlik derecesi ile 2 dağılımına sahiptirler
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
22 σ)E(s
1n
2σ)Var(s
42
2
2
σ
1)s-(n
Bölüm-5-42
Ki-kare Dağılımı
Ki-kare dağılımı serbestlik derecesine bağımlı olan bir dağılımlar ailesidir:
ν = n – 1
2 Tabloları ki-kare olasılıklarını içermektedir.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
0 4 8 12 16 20 24 28 0 4 8 12 16 20 24 28 0 4 8 12 16 20 24 28
ν= 1 ν= 5 ν= 15
2 22
Bölüm-5-43
Serbestlik Derecesi (ν)
Fikir: Örneklem ortalaması hesaplandıktan sonra değişkenlik gösterebilme serbestliğine sahip olan gözlem sayısı
Örnek: 3 sayının ortalamasının 8,0 olduğunu varsayınız
X1 = 7
X2 = 8
ise X3nedir?
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Eğer bu üç değerin ortalaması 8,0 ise, X3 9 olmalıdır(yani, X3 değişkenlik gösterme serbestliğine sahip değildir
Burada, n = 3, yani serbestlik derecesi = n – 1 = 3 – 1 = 2
(2 değer herhangi bir değer i almaktadır, fakat üçün değer verilen bir ortalama için değişebilme serbestliğine sahip değildir)
Bölüm-5-44
Ki-kare Örnek
Bir ticari soğutucu imalatçısı sıcaklığı çok küçük bir varyasyonla muhafaza etmelidir. Şartnameye göre standart sapma 4 dereceden daha yüksek olmamalı (16 derece2).
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
14 soğutucudan oluşan bir örneklem test edilecektir
Popülasyon standart sapmasının 4’ü aşma olma olasılığı 0,05 ise örneklem varyansının üst limit olan (K) nedir?
Bölüm-5-45
Ki-kare Değerinin Bulunması
Üst kuyrukta alanı 0,05 alanı olan ki-kare dağılımını kullanınız:
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
olasılık α =0,05
213
2
213
= 22,36
= 22,36 (α = 0,05 and 14 – 1 = 13 ν.)
2
22
σ
1)s(n χ serbestlik derecesi ile dağılmış olan ki-
kare dağılımıdır
Bölüm-5-46
Ki-kare Örnek
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
22 2
13
(n 1)sP(s K) P χ 0,05
16
O halde:
(devam)
213 = 22,36 (α = 0,05 ve 14 – 1 = 13 ν)
(n 1)K22,36
16
(burada n = 14)
so(22,36)(16)
K 27,52(14 1)
Eğer n=14 örnekleminden olan s2 27,52’den daha büyükse, popülasyon varyansının 16’yı aştığına dair güçlü bir kanıt mevcuttur.
veya
Bölüm-5-47