Seminario Conciliar DEPTO DE MATEMATICA.

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P R O B A B I L I D A D E S

DEFINICIN: Es una rama de la matemtica que consiste en el estudio de ciertos experimentos llamados

aleatorios es decir libres de determinacin previa. La probabilidad surgi a comienzos del siglo XVI , en relacin

con los diversos juegos de azar que se practicaban en la poca.

Hoy en da los juegos de azar estn presentes en juegos tales como : Kino, Loto, y distintos tipos de

Lotera, juegos de casino y de naipes. As el calculo de probabilidades determina las posibilidades de perder o

ganar en un evento. El estudio de las probabilidades permite el anlisis de resultados relacionados con fenmenos

de carcter social, poltico y econmico.

Experimento Aleatorio Un experimento aleatorio es aquel que est regido por el azar, es decir, se conocen todos los resultados posibles,

pero no es posible tener certeza de cul ser en particular el resultado del experimento.

Ejemplos

Lanzamiento de una moneda Lanzamiento de un dado

Extraccin de una carta de un mazo de naipes

Espacio muestral ( ) Es el conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio dado

Ejemplo Experimento aleatorio: Lanzar un dado Espacio muestral: = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

Experimento aleatorio: lanzar dos monedas Espacio muestral: = { ( c , c ) , ( c , s ) , ( s , c ) , ( s , s ) }

Observacin: ( c , s ) ( s , c ), es decir, es importante el orden

Evento o suceso

Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral.

Ejemplo

En el experimento aleatorio Lanzar un dado cuyo Espacio Muestral = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } algunos eventos son: Obtener un nmero primo A = { 2 , 3 , 5 } Obtener un nmero menor o igual a 3 , B = { 1 , 2 , 3 }

Tipos de sucesos

Suceso seguro: Es aquel que siempre se verifica como resultado de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Obtener un nmero de 1 a 6 al lanzar un dado

Suceso imposible: Es aquel suceso que nunca se verifica como resultado de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Obtener un 8 al lanzar un dado.

Suceso complementario o contrario: Dos sucesos son contrarios si uno es la negacin del otro

Ejemplo: obtener un 3 al lanzar un dado. Su contrario es: no obtener el 3 al lanzar el dado.

Suceso mutuamente excluyente: Dos o ms sucesos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma

simultnea.

Ejemplo: Obtener el nmero 5 y el nmero 3 al lanzar el dado una vez.

Sucesos Independientes: Dos o ms son sucesos independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la

ocurrencia del otro.

Ejemplo: Al lanzar un dado, y obtener 4 no afecta la probabilidad de obtener el 1 en un segundo lanzamiento.

Sucesos condicionales: Dos o ms sucesos son condicionales si la ocurrencia de uno de ellos afecta la

probabilidad de ocurrencia de un segundo suceso.

Ejemplo: La lluvia afecta la probabilidad de que una persona lleve paraguas.

Variable Aleatoria: Una variable aleatoria es la que asocia a cada elemento del espacio muestral un nmero real .

Ejemplos

Experimento aleatorio: lanzar dos monedas simultneamente

Espacio muestral: = { ( c , c ) , ( c , s ) , ( s , c ) , ( s , s ) } Suceso A: se obtienen slo sellos: A = { ( s , s ) }

Variable aleatoria: X = N de sellos al lanzar dos monedas.

DEFINICIN CLSICA (PROBABILIDAD DE LAPLACE)

La probabilidad de que un suceso A ocurra es la razn ente el nmero de casos favorables y el nmero de casos

posibles.

posiblescasosdeN

AsucesoalfavorablescasosdeNAP

)(

Ejemplo: Al lanzar un dado, la probabilidad de que salga el nmero 5 es: p(A) = 6

1

Puesto que hay 1 caso favorable en un total de 6 casos posibles.

Expresin numrica de la probabilidad: la probabilidad de un suceso puede expresarse como fraccin, como decimal o

como tanto por ciento.

En el ejemplo: p(A) = 6

1 = 0,167 = 16,7%

TRES ENFOQUES EN LA PROBABIIDAD

Existen tres maneras bsicas de clasificar la probabilidad, y presentan planteamientos conceptuales bastante

diferentes:

Probabilidad clsica

A la probabilidad clsica se le conoce a menudo como probabilidad a priori, debido a que utilizamos ejemplos

previsibles como monedas no alteradas, dados no carados y naipes de cartas normales, entonces podemos establecer la

respuesta de antemano, sin necesidad de lanzar una moneda o un dado o tomar una carta. No tenemos que efectuar

experimentos para poder llegar a conclusiones. Ver problema resuelto N 4.

Frecuencia relativa

Este mtodo utiliza como probabilidad la frecuencia relativa (o porcentual) de las observaciones pasadas de un

suceso. Se determina qu tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de

que suceda de nuevo en el futuro. Cuando utilizamos el planteamiento de frecuencia relativa para establecer probabilidades,

el nmero que obtenemos como probabilidad adquirir mayor precisin a medida que aumenta el nmero de observaciones.

Ver problema resuelto N 2.

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Probabilidad subjetiva

Las probabilidades subjetivas estn basadas en las creencias o conocimiento intuitivo de las personas que efectan

la estimacin de probabilidad. La probabilidad subjetiva se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por

parte de

un individuo, basada en la evidencia que tenga disponible o en el conocimiento incorporado al sentido comn. Ver

problema N 1.

AXIOMAS DE LA PROBABIIDAD

Axioma 1 La probabilidad de un suceso A, en un espacio muestral , es un nmero entre 0 y 1 0% y 100%,

respectivamente, ambos valores inclusive. 1)(0 Ap

Axioma 2 Si un suceso A, en un espacio muestral , es seguro, su probabilidad es 1. p (A) = 1 A = suceso seguro

Si un suceso A, en un espacio muestral , es imposible que ocurra, su probabilidad es 0.

Esto es : p (A) = 0 p (A) = 0% A = suceso imposible.

Axioma 3 La probabilidad de que ocurran todos los sucesos de un espacio muestral en un experimento aleatorio dado, es igual a la unidad.

Es decir: Si = :,......,,,,......,,; sexcluyentemutuamenteNBAconNCBA P (A) + p (B) + ......... + p (N) = 1

TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD

PROBABILIDAD DE SUCESOS COMPLEMENTARIOS

Si p (A) representa la probabilidad de que un suceso A ocurra y p (A) representa la probabilidad de que el

mismo suceso no ocurra, en un espacio muestral es decir, A y A son sucesos complementarios o contrarios, entonces:

P (A) + p (A) = 1 p (A) = 1 - p (A)

Ejemplo:

Si la probabilidad de que durante el invierno un nio menor de 1 ao se enferme de algn cuadro bronco pulmonar

es de 0,45, Cul es la probabilidad de que un nio en las mismas condiciones no presente dichos cuadros?.

A : el nio presenta cuadro bronco pulmonar A: el nio no presenta cuadro bronco pulmonar

P (A) = 1 - p (A); p (A) = 0,45 p (A) = 1 - 0,45 p (A) = 0,55

La probabilidad de que un nio no enferme es de 0,55, lo que equivale al 55%.

PROBABILIDAD DE SUCESOS INDEPENDIENTES

Dos sucesos A y B definidos en los espacios muestrales 1 , 2, respectivamente, son independientes si:

p (A y B) = p (A) . p (B)

La probabilidad de que todos los sucesos independientes ocurran, entre el conjunto de tales sucesos, es igual al

producto de las probabilidades de ocurrencia de cada suceso.

Ejemplo:

Una caja A contiene 6 artculos, de los cuales 2 son defectuosos, y una caja B contiene 5 artculos, de los cuales 3

son defectuosos. Al sacar un artculo de cada caja, Cul es la probabilidad de que ambos artculos sean defectuosos?

En este caso, los sucesos son independientes, puesto que la extraccin en una de las cajas no afecta lo que ocurra

en la extraccin en la otra caja. Sea D: artculos defectuosos.

De la caja A: p (DA) = 3

1

6

2 y De la caja B: p (DB) =

5

3

p (DA y DB) = p (DA) p (DB) ; por ser sucesos independientes

p (DA y DB) = %202,05

1

5

3

3

1 ...que representa la probabilidad de extraer de ambas cajas un

artculo defectuoso.

PROBABILIDAD DE SUCESOS DEPENDIENTES O CONDICIONADOS

Dos sucesos A y B, definidos en el espacio muestral , son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos afecta la

probabilidad de ocurrencia del otro. P (A y B) = p (A) p (B/A)

En donde p (B/A) = probabilidad de B dado que ocurri A.

En sucesos dependientes, si la probabilidad de que un suceso ocurra es p (A), y si una vez ocurrido, la probabilidad

de que un segundo suceso B ocurra es p (B/A), la probabilidad de que los dos sucesos ocurran, en ese orden, es igual al

producto de las probabilidades por separadas.

Ejemplo:

Un curso tiene 12 nios y 4 nias. Si se escogen al azar dos estudiantes para que representen al curso, Cul es la

probabilidad de que los dos sean nios?

Sean los sucesos A : Elegir un nio en la primera eleccin B : Elegir un nio en la segunda eleccin

P(N) : la probabilidad de elegir slo nios P(A) = 16

12;

Para la segunda seleccin queda un nio menos y el total se reduce a 15.

p (B/A) = 15

11;

p(N) = %5555,020

11

240

132

15

11

16

12

PROBABILIDAD DE SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Dos o ms sucesos se llamarn excluyentes o mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de ellos

excluye la ocurrencia de los otros.

Si A, B son sucesos mutuamente excluyentes definidos en el espacio muestral , entonces:

P(A o B) = p(A) + p(B)

La probabilidad de que ocurra un suceso A, u ocurra B, en una sola prueba, es igual a la suma de las probabilidades

separadas de ocurrencia.

Ejemplo: La seora Marta tiene 9 canarios amarillos, 4 blancos y 2 celestes. Si se le escapa un canario, Cul es la

probabilidad de que haya sido blanco o celeste?

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Sean los sucesos: A : canario amarillo B : canario blanco C : canario celeste

Se tiene: p(A) = 15

9 ; p(B) =

15

4 y p(C) =

15

2

La probabilidad de blanco o celeste ? p(B o C) = p(B) + p(C)

P(B o C) = %404,015

6

15

2

15

4

DIAGRAMA DE RBOL

El diagrama de rbol es una metodologa que ayuda al anlisis, asignacin y clculo de probabilidades para dos o

ms sucesos.

Ejemplo: Se lanzan 3 monedas simultneamente. Cul es la probabilidad de obtener dos caras?

Luego, p(2 caras) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

EJERCICIOS RESUELTOS

Esta seccin te ayuda a desarrollar estrategias intelectuales para contestar correctamente las preguntas. La mayora

de ellas se relaciona con materia tratada en esta gua.

1.- Se estima que en das hbiles, a cierta hora, la probabilidad de que el pasajero que sube a cierto microbs sea mujer

es de 0,4 y de que sea escolar es de 0,25. Si ambos sucesos son independientes, Cul es la probabilidad de que el prximo

pasajero que suba sea mujer no-escolar?

a) 0,1 Solucin: b) 0,3 Tenemos dos sucesos:

c) 0,4 Sea A : el pasajero es mujer p(A) = 0,4

d) 0,75 B : el pasajero es escolar p(B) = 0,25 e) 0,9 Entonces, el suceso:

B : el pasajero es no-escolar p(B) = 1 - 0,25 = 0,75

Si estos dos sucesos son independientes, entonces, la probabilidad de que sucedan ambos es:

P(A y B) = p(A) p(B) = 0,4 0,75 = 0,3 Luego, la alternativa correcta es b).

2.- Se lanza un par de monedas 50 veces, registrando los resultados en cada lanzamiento. El registro se resume en la

tabla siguiente:

Moneda A C C S S

Moneda B C S C S

N de veces 11 13 9 17

Sobre la base de esta informacin, Cul es la probabilidad de que al lanzar estas dos monedas se obtenga a lo ms 1 cara?

a) 0,78 Solucin: b) 0,18 Este problema se trata de probabilidad emprica, pues se da como informacin c) 0,26 un hecho observado. Es decir, se dan frecuencias observadas. d) 0,44 A lo ms una cara significa: cero caras o una cara. e) 0,22 El nmero de casos favorables a o caras es: 17

El nmero de casos favorables a 1 cara es: 13 + 9 = 22 El nmero de casos favorables a a lo ms una cara es: 17 + 22 = 39 El nmero total de casos es 50

Luego, por definicin de probabilidad: p = 78,050

39 Luego, la alternativa correcta es a).

3.- Se sabe que el 70% de los cientficos no es creyente. Entre stos, el 85% son siclogos.

Entre los cientficos creyentes, slo un 95% no son siclogos. Si usted tiene que ir a entrevistar a un cientfico

elegido al azar, Cul es la probabilidad de que sea siclogo creyente?

a) 15% Solucin: En este problema, la probabilidad est expresada en % b) 28,5% Con la informacin entregada es posible trazar el siguiente rbol c) 1,5% Por lo tanto, la probabilidad de que el cientfico sea un siclogo creyente es:

1,5%

d) 30% Luego, la alternativa correcta es c). e) 60%

4.- En una tmbola hay 7 bolas rojas y 3 azules, desde donde se extraen dos, de una en una y sin reposicin. La

probabilidad de que ambas resulten del mismo color es:

a) 1/10 Solucin: Se trata de un experimento de sucesos condicionales puesto b) 9/15 que despus de la primera extraccin, al no devolver la bola a la tmbola, c) 8/15 se produce la modificacin del espacio muestral. d) 7/9 e)

Sea: A1 = la bola resulta azul en la primera extraccin A2 = la bola resulta azul en la segunda extraccin

R1 = la bola resulta roja en la primera extraccin R2 = la bola resulta roja en la segunda extraccin

y C = ambas bolas resultan del mismo color

El suceso C significa que ambas resultan azules o ambas resultan rojas

Esto es: C = (A1 y A2) o (R1 y R2) Entonces:

P(C ) = p(A1 y A2) o p(R1 y R2) P(C ) = p(A1) p(A2/A1) + p(R1) p(R2/R1)

Donde: p(A2/A1) = probabilidad de azul en la segunda extraccin, dado que result azul la primera extraccin

p(R2/R1) = probabilidad de rojo en la segunda extraccin, dado que result rojo la primera extraccin

Luego: P(C ) = p(A1) p(A2/A1) + p(R1) p(R2/R1)

P(C ) = 15

8

90

48

90

42

90

6

9

6

10

7

9

2

10

3 Luego, la alternativa correcta es c).