os

C

BA

D

S

S1A1 B1

Konstruirati elipsu e1 kao afinu sliku kružnice k u afinitetu (o, S, S1). Pri tome vrijedi

D1

C1

Definicija 1. Dva su promjera elipse konjugirana, ako su pri afinom preslikavanju kružnice u elipsu nastali kao afina slika međusobno okomitih promjera kružnice.

Par okomitih promjera kružnice preslikava se u par konjugiranih promjera elipse.

Afinost između kružnice i elipse

os

C

BA

D

S

S1

A1B1

simetrala dužine SS1

D1

C1

Konstruirati veliku i malu os elipse zadane parom konjugiranih promjera koja je afino pridružena danoj kružnici

Velika i mala os elipse konstruiraju se pomoćuTalesovog teorema.

G

oT1

Preslikavanje kružnice ortogonalnim afinitetom

T2

S1

S2

k1

BA S

C1

D1

Afinost kružnice i elipse u kojem je jedan promjer zajednički, a zraka afinosti je okomita na taj promjer.

AB=A1B1 - svaka točka na tom pravcu pridružena je sama sebi, pa je on os afinosti

A 1= =B1=S1

os

C

D

smjer zrake

CD=C2D2 – zajednički promjer kružnice i elipse, pa je taj pravac os afinosti

osC

D

S

=C2

=S2

=D2

smjer zrake

A B

Elipsa je zadana velikom i malom osi.

a) b)

Promjeru CD elipse pridružen onaj promjer C1D1 kružnice koji je okomit na A1B1 def.1.

Afinost je ovdje određena osi i parom pridruženih točaka C – C1 (ili D – D1).

k2

Promjeru AB elipse pridružen onaj promjer A2B2 kružnice koji je okomit na C2D2 - def.1.

B2A2

Afinost je ovdje određena osi i parom pridruženih točaka A – A2 (ili B – B2).

Elipsa je zadana velikom i malom osi AB i CD.

Istodobnom kombinacijom obaju afiniteta dobivamo točke afino pridružene elipse.

Točka T, koja je afino pridružena točkama T1 i T2, sjecište je dviju zraka dvaju afiniteta.

C

D

SA B

k1

k2

1. U afinitetu između zadane elipse i kružnice k1, os je incidentna s AB, a zrake su paralelne s CD.

2. U afinitetu između elipse i kružnice k2, os je incidentna s CD, a zrake su paralelne s AB.

p1= p2

Može se dokazati da je nekom pravcu p kroz S u području elipse pridružen u oba afiniteta isti pravac p1 p2.

p

TT2

T1

Temeljem navedenih zaključaka izvodi se sljedeća konstrukcija elipse.

Konstrukcija točaka elipse pomoću afinosti

Konstrukcija elipse iz velike i male osi pomoću afiniteta

A B

C

D

S

T2

T1

t2 t1

t

T

Napomena. Konstrukcija točaka elipse pomoću afinosti izvodi se na onim dijelovima krivulje, na kojim krivulja nije aproksimirana hiperoskulacijskim kružnicama.

Tangenta t u točki T elipse afino je pridružena tangenti t1 u afinitetu s kružnicom k1, odnosno tangenti t2 u afinitetu s kružnicom k2.k1

k2

Zadaci

1. Konstruirati tangente iz točke P na elipsu, koja je zadana velikom i malom osi.

A B

C

D

a) odabran je afinitet nad kružnicom k2, jer se u tom afinitetu točka P nalazi na osi afinosti, pa je sama sebi pridružena.

k2

P

A2 B2

b) A-A2 (odnosno B-B2) su u tom afinitetu par pridruženih točaka.

P2

o

c) konstruiraju se tangente u2 i v2 iz točke P na kružnicu k2.U2

V2

u2 v2

d) dirališta U2 i V2 preslikavaju se u točke U i V elipse pomoću para pridrtuženih točaka ili prethodnom konstrukcijom.

VU

u v

Zadaci

2. Konstruirati sjecišta pravca p i elipse, koja je zadana velikom i malom osi.

A B

C

Dk1

p

a) odabran je afinitet između elipse i kružnice k1

C1

o

b) pravac p iz područja elipse preslikava se u pravac p1 iz područja kružnice pomoću neke točke X.

X

X1

p1

c) odrede se sjecišta M1 i N1 pravca p1 i kružnice k1.

M1

N1 d) na zrakama afinosti odrede se afino pridružene točke M i N, koje su tražena sjecišta pravca i elipse.

N

M

Napomena. Ta su sjecišta geometrijski točno određena bez iscrtavanja elipse.

Afinost između elipse zadane parom konjugiranih promjera i kružnice opisane većem promjeru

SM N

P

Q

k1

P1

Q1

Temeljem def. 1 slijedi:

- MN je zajednički promjer elipse i kružnice MN je os afinosti,

- promjer PQ elipse preslikava se u promjer P1Q1 kružnice P – P1

je zraka afinosti.

Konstrukcija točke T (odnosno R) elipse, ako je zadana njezina afina slika T1 k1 (R1 k1 ):

a) pomoću para pridruženih točaka P – P1,

o

T1

T

Tangenta t elipse u točki T afina je slika tangente t1 kružnice s diralištem u točki T1.

t1

tb) koristeći svojstvo da se paralelni pravci preslikavaju u paralelne pravce (R – R1).

Velika i mala os elipse može se dobiti Rytzovom konstrukcijom.

R1

R

Afinost između elipse zadane parom konjugiranih promjera i kružnice nad manjim promjerom

SM N

P

Q

k2

M2

N2

Par konjugiranih promjera elipse je afina slika para konjugiranih promjera kružnice, a oni su uvijek međusobno okomiti.

PQ – zajednički promjer elipse i kružnice PQ je os afinosti. P2

Q2

o

MN je afina slika promjera M2N2 kružnice, pa su M i M2 (odnosno N i N2) par pridruženih točaka, a njihova spojnica zraka afinosti.

Tangenta u točki elipse je afina slika tangente afino pridružene kružnice u pridruženoj točki.

T2

T

t2

t

.