เอกสารแนะแนวทางที่ 1 เรื่อง ......เอกสารแนะแนวทางท 1 เร องสมการเช งเส นต
บทที่ 4 สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ......บทท...
Transcript of บทที่ 4 สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ......บทท...
บทที่ 4: สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับ 𝒏
สมการเชิงอนพุันธส์ามญัเชิงเส้นอันดับ 𝑛 มีรูปทัว่ๆไป ดังน้ี
𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑛−1𝑦𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑦𝑑𝑥
+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)
--------(1)
เมื่อ 𝑎0(𝑥), 𝑎1(𝑥), … , 𝑎𝑛(𝑥) และ 𝑓(𝑥) เป็นฟังก์ชันที่นิยามและต่อเนือ่งบน
ช่วง 𝐼 และ 𝑎0(𝑥) ≠ 0 ส าหรับทุก 𝑥 บน 𝐼
ถ้าสมการ (1) มี 𝑓(𝑥) = 0 เรียก สมการเอกพันธ์ (homogeneous equation)
และจะมีรูป คอื
𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑛−1𝑦𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑦𝑑𝑥
+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 0
-----(2)
ซึ่งในสมการที่ (2) มี 𝑦 = 0 เป็นผลเฉลยด้วย เรียกวา่ ผลเฉลยศูนย์ หรือ ผลเฉลย
ส าคัญน้อย (zero solution or trivial solution)
** ในสมการ (1) มี 𝑓(𝑥) ≠ 0 เรยีก สมการไม่เอกพันธ์ (non-homogeneous
equation)
KO
①=o ←
=
4.1 ความไมอ่ิสระเชิงเส้น (Linearly dependent)
นิยาม 1
ให้ 𝐴 = {𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥)} เป็นเซตของ 𝑛 ฟังก์ชัน
𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) ซึ่งนิยามบนช่วง 𝐼 ของ 𝑥
เรากว่าว่าเซต 𝐴 เป็น เซตไม่อสิระเชิงเส้น (linearly dependent set) บนช่วง 𝑰
ถ้ามีค่าคงตัว 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 มีค่าไม่เปน็ศูนย์พร้อมกัน ที่ท าให้
𝐶1𝑓1(𝑥) + 𝐶2𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑛𝑓𝑛(𝑥) = 0
ส าหรับทุก 𝑥 บน 𝐼
และกลา่วว่า ฟังก์ชัน 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) ไม่เป็นอิสระเชิงเส้นตอ่กันบนช่วง 𝐼
**ถ้าเซต 𝐴 ไม่เป็นเซตไมอ่ิสระเชิงเส้นบนช่วง 𝐼 เรียกเซต 𝐴 ว่าเป็น เซตอสิระเชิงเส้น
บนช่วง 𝑰 (linearly independent set) และ กล่าววา่
𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) เป็นฟังก์ชันอิสระเชิงเส้นบนช่วง 𝐼
------ถ้า 𝐶1𝑓1(𝑥) + 𝐶2𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑛𝑓𝑛(𝑥) = 0 ส าหรับทุก 𝑥 บน 𝐼
จะได้ว่า 𝐶1 = 𝐶2 = ⋯ = 𝐶𝑛 = 0
นิยาม 2
เรียกนิพจน์ 𝐶1𝑓1(𝑥) + 𝐶2𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑛𝑓𝑛(𝑥)
เมื่อ 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 เป็นค่าคงตัว
ว่า การรวมเชิงเส้น (linear combination) ของฟงัก์ชัน 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥)
มีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องดังนี ้
ทบ. 1
เซตของฟังก์ชัน {𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥)} เป็นเซตไม่อิสระเชิงเส้นบนช่วง 𝐼
ก็ต่อเมือ่ มอีย่างนอ้ยหนึ่งฟังก์ชันในเซตที่เขียนได้ในรูปของการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันที่
เหลือ
-
fix , = Czfzcx ) + Cgfzlxlt . - . + cnfncx ,
ตย.1
𝑓1(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥, 𝑓2(𝑥) = 2𝑥3 + 4𝑥2, 𝑓3(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥
โดย 𝑥 ∈ ℝ ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น เพราะ
fix -
- x'
- x =LE)I 2x'
-14×4 tG) ( 2x'
tx )
= x's -12×2-2×2 - X
= x'
- x
I. fix ) = Igfzlx ) t fix )
#
ตย.2
𝑓1(𝑥) = 12
𝑥2, 𝑓2(𝑥) = 8𝑥2 , 𝑥 > 0
- ถ้า 𝑓1(𝑥) และ 𝑓2(𝑥) เป็นฟังก์ชันไม่อิสระเชิงเส้นบนช่วง 𝑥 > 0 แล้ว
A = f fixated,
. . .
, fnoxly
-
I c, ,{ www.vrwrowdo no
4ft'M-151¥)- o an # so
iron x = 2 Id C ,C2 ) + dz (2) = O
C,
+ Cz = O - ①
Eo x =L IN d, ( Iz ) t dz 187=0
C,
t 164 = O - ②
② - ① ; 154=0 .
-
. Cz = O no.
-
4=0 a
crams )
.
'
. f. Cx ),
fzlx , sdw.dvhtoar.irof
*
นิยาม 3
ถ้า 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) เป็นฟังก์ชัน ท่ีมีอนุพันธ์ต่อเนื่องถึงอันดับ 𝑛 − 1 บนช่วง 𝐼
เราเรียก ดีเทอร์มินันท์ (determinant)
||
𝑓1(𝑥) 𝑓2(𝑥) ⋯ 𝑓𝑛(𝑥)𝑓1
′(𝑥) 𝑓2′(𝑥) ⋯ 𝑓𝑛
′(𝑥)⋮
𝑓1(𝑛−1)(𝑥)
⋮𝑓2
(𝑛−1)(𝑥)⋱ ⋮
⋯ 𝑓𝑛(𝑛−1)(𝑥)
||
ว่า วรอนสเกียน (Wronskian) ของ ฟังก์ชัน 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) ณ จุด 𝑥
เขียนแทนด้วย 𝑊(𝑥; 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛) หรือ 𝑊(𝑥)
ทบ. 2
ให้ 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) เป็นฟังก์ชันท่ีมีอนุพันธ์ต่อเนื่องถึงอันดับ 𝑛 − 1 บนช่วง 𝐼
ถ้าฟังก์ชันเหล่านีไ้ม่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน แล้ว 𝑊(𝑥; 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛) = 0
ส าหรับทุก 𝑥 บน 𝐼
***(บทกลับไม่จริง)
หมายเหตุ**
1. ทบ.2 สมมูลกับข้อความ “ถ้า 𝑊(𝑥) ≠ 0 ส าหรับบาง 𝑥 บน 𝐼 แลว้
𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) จะเป็นอิสระเชิงเส้นต่อกันบนช่วง 𝐼”
2. ถ้า 𝑊(𝑥; 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛) = 0 บน 𝐼 ไม่ได้หมายความว่า
𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) ไม่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกันบน 𝐼
hxh
→
?!in%×Wax , =
I
cos ax sin
9×1= a sax +
asindax-aslnaxacosax-afaoiaxtsin.ae/=a-f0
IGoos ax
i. { cosax
,sinaxyhseroiooresdsrouguiiwourbna.to
#
ตย.4
พิจารณาเซต {𝑥3, 𝑥2 |𝑥|}
ถ้า 𝑥 ≥ 0
ถ้า 𝑥 < 0
x ถ้าพิจารณาว่า “ถ้า {𝑥3, 𝑥2|𝑥|} ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น จะมี 𝐶1, 𝐶2 ไม่เป็นศูนย์พร้อมกันท่ีท าให้ C1𝑥3 + 𝐶2𝑥2|𝑥| = 0 ทุก 𝑥”
ให้ 𝑥 = 1 ได ้
ให้ 𝑥 = −1 ได ้
WH ) =/, ?!!! )
= 3×5-3×5=0
Wan
=/,
!! a)
=-
3×5+3×5=0
C,
-1 Cz = O - ①
- d,
tdz =O - ②
① + ② ; age =o .
: g -- a un : 4--0
.
.
. fx ? xdlxllsduiraooriidsrofuuqniiun.org
ทบ.3 การมีผลเฉลยและมีเพียงผลเฉลยเดียว (existence and uniqueness theorem)
ให ้ 𝑎0(𝑥), 𝑎1(𝑥), … , 𝑎𝑛(𝑥), 𝑓(𝑥) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง 𝐼 ของจ านวนจริง
และ 𝑎0(𝑥) ≠ 0 ทุก 𝑥 บน 𝐼
ให้ 𝑥0 เป็นจุดใดๆ บน 𝐼
และ 𝑦0 = 𝑦(𝑥0), 𝑦1 = 𝑦′(𝑥0), … , 𝑦𝑛−1 = 𝑦(𝑛−1)(𝑥0) เป็นค่าคงตัวค่าจริงที่เป็นเงื่อนไขเริ่มต้น
แล้วสมการเชิงอนพุันธส์ามญัเชิงเส้นอันดับ 𝑛
𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑛−1𝑦𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑦𝑑𝑥
+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)
จะมีผลเฉลย 𝑦 = 𝑦(𝑥) ซึ่งนยิามบนช่วง 𝐼 เพยีงผลเฉลยเดียวเท่านั้น ที่สอดคลอ้ง
เงื่อนไขเริม่ต้นดังกล่าว
YO
บทแทรก
ถ้า 𝑦 เป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธส์ามญัเชงิเส้นเอกพันธ์
𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑛−1𝑦𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 0
𝑎0(𝑥), 𝑎1(𝑥), … , 𝑎𝑛(𝑥) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน 𝐼
และ 𝑎0(𝑥) ≠ 0 ทุก 𝑥 บน 𝐼
ส าหรับ 𝑥0 ที่เป็นจุดใดๆ บน 𝐼 มี 𝑦0 = 𝑦(𝑥0) = 0, 𝑦1 = 𝑦′(𝑥0) = 0, … , 𝑦𝑛−1 =
𝑦(𝑛−1)(𝑥0) = 0 แล้วจะได้ 𝑦 = 0 ทุก 𝑥 บน 𝐼
.
4.2 ผลเฉลยทั่วไปของสมการเอกพันธ์
สมการเชิงอนพุันธส์ามญัเชิงเส้นอันดับ 𝑛
- สมการเอกพันธ ์
- สมการไม่เอกพันธ์
พิจารณาสมการเชิงอนพุันธ์สามัญเชิงเส้นเอกพนัธ์อันดับ 𝑛
𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑛−1𝑦𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 0
----------------(1)
ถ้ามี 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑚 ต่างเป็นผลเฉลยของสมการ (1) แล้ว
การรวมเชิงเส้น 𝑦 = 𝐶1𝑢1 + 𝐶2𝑢2 + ⋯ + 𝐶𝑚𝑢𝑚 จะเป็นผลเฉลยของสมการ (1) ด้วย
แสดงได้ดังน้ี
𝑦 = 𝐶1𝑢1 + 𝐶2𝑢2 + ⋯ + 𝐶𝑚𝑢𝑚
ao an date + aim dany) + . . .t an any = fax ,
ทบ. 1
ถ้า 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑚 เป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธส์ามญัเชงิเส้นเอกพันธ์อันดับ 𝑛
𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 0 แล้ว
การรวมเชิงเส้น 𝑦 = 𝐶1𝑢1 + 𝐶2𝑢2 + ⋯ + 𝐶𝑚𝑢𝑚
โดย 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑚 เป็นค่าคงตัวไม่เจาะจง
จะเป็นผลเฉลยของสมการด้วย
ทบ.2
ถ้า 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 เป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธส์ามญัเชงิเส้นเอกพันธ์อันดัน 𝑛
𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 0
บนช่วง 𝐼 ซึ่ง 𝑎0(𝑥), 𝑎1(𝑥), … , 𝑎𝑛(𝑥) ต่อเนื่อง
และ 𝑎0(𝑥) ≠ 0 ทุก 𝑥 บน 𝐼 แล้ว
𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 ไม่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน ส าหรับทุก 𝑥 บน 𝐼 ก็ต่อเมื่อ
𝑊(𝑥; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) = 0 ส าหรับทุก 𝑥 บน 𝐼
นั่นคือ
- ถ้า 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 ไม่เป็นอสิระต่อกัน แล้ว 𝑊(𝑥; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) = 0
ทุก 𝑥 บน 𝐼
- ถ้า 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 เป็นอิสระต่อกัน แล้ว 𝑊(𝑥; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) ≠ 0
ทุก 𝑥 บน 𝐼
ทบ.3
ให้ 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 เป็นผลเฉลยที่เป็นอสิระเชิงเส้นต่อกันบน 𝐼 ของสมการ
𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 0
-------------------(1)
แล้วผลเฉลยของสมการ (1) ทุกผลเฉลยบนช่วง 𝐼 จะอยู่ในรูป
𝑦 = 𝐶1𝑢1(𝑥) + 𝐶2𝑢2(𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑛𝑢𝑛(𝑥)
เมื่อ 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 เป็นค่าคงตัวไม่เจาะจง
4.3 ผลเฉลยทั่วไปของสมการไมเ่อกพันธ ์
สมการเชิงอนพุันธส์ามญัเชิงเส้นไม่เอกพันธ์อันดับ 𝑛
𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)
-----------------(1)
เมื่อ 𝑎0(𝑥), 𝑎1(𝑥), … , 𝑎𝑛(𝑥) และ 𝑓(𝑥) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
และ 𝑎0(𝑥) ≠ 0 บน 𝐼
- ถ้าให้ 𝑓(𝑥) = 0 ใน (1) สมการจะเป็นสมการเอกพันธ ์
𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 0
------------------(2)
สมการ (2) เรยีก สมการเอกพันธ์สัมพัทธ์ (related homogeneous equation) หรือ
สมการลดรูป (reduced equation) ของสมการ (1)
ทบ.1
ถ้า 𝑣(𝑥) เป็นผลเฉลยของสมการไม่เอกพันธ์ (1) บนช่วง 𝐼
และ 𝑢(𝑥) เป็นผลเฉลยของสมการเอกพันธ์ (2) บนช่วง 𝐼
แล้ว ผลเฉลยทั่วไปของสมการไม่เอกพันธ์ (1) จะอยู่ในรูป
𝑦 = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)
^
I
,fan
so
นิยาม 1
x เราเรียกผลเฉลยทั่วไป 𝑢 ของสมการ (2) วา่ ฟังก์ชันเติมเต็ม
(complementary function) ของสมการ (1) ใช้สัญลักษณ์ 𝑦𝐶
x เราเรียกผลเฉลย 𝑣 ของสมการ (1) ว่า ผลเฉลยเฉพาะ (particular
solution) ของสมการ (1) ใช้สัญลักษณ์ 𝑦𝑃
ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นไม่เอกพันธ์อันดับ 𝑛
อยู่ในรูป
𝑦 = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑃
to
= fan
ตย.1
พิจารณาสมการ 𝑑2𝑦𝑑𝑥2 + 𝑦 = 𝑥
-------(1)
ซึ่งมีสมการเอกพันธ์สัมพันธ์เป็น
-------(2)
จากการทดสอบ ได ้𝑦 = sin 𝑥 และ 𝑦 = cos 𝑥 เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน
ทุกจ านวนจริง 𝑥 และต่างเป็นผลเฉลยของ (2)
ดังนั้น
DI + y= O
dx '
Yc =C
,
sin x t Czcosx
11 r :y
p= X
-
'
. y = 4sin x tCzcosxt x
ทบ.2
ถ้า 𝑣𝑖 เป็นผลเฉลยเฉพาะของสมการ
𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑓𝑖(𝑥)
, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (1)
แล้ว 𝑦 = 𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2 + ⋯ + 𝑘𝑚𝑣𝑚 เป็นผลเฉลยเฉพาะของสมการ
𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦′ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦
= 𝑘1𝑓1(𝑥) + 𝑘2𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝑘𝑚𝑓𝑚(𝑥)
เมื่อ 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑚 เป็นค่าคงตัว
'
Fs.÷
#=
=
-
ตย.2
พิจารณาสมการ 𝑑2𝑦𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦
𝑑𝑥− 12𝑦 = 10𝑒𝑥 − 12𝑒2𝑥 − 24𝑒−𝑥
เนื่องจาก
Q①①- a
dd×}_td÷ - lay = e
× Iwao or v,
= go×
¥43 +dyed
- lay = e
"
me v,
=
×
6
da÷+da÷ - ray-
-E
'
m v,
=
.
°
.eroioowbowi.ru osmo ① Go
y =
uol.IOthat"
nice#×
12
= - ex toned "
-12 e-×
#
4.4 ตัวด าเนินการเชิงอนุพันธ์ (differential operator)
x ใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้แทนอนุพันธ์เทียบตัวแปรอสิระ 𝑥 ดังน้ี
𝐷 =𝑑
𝑑𝑥, 𝐷2 =
𝑑2
𝑑𝑥2 , …, 𝐷𝑛 =𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛
นั่นคือ 𝐷𝑦 = 𝑑𝑦𝑑𝑥
, 𝐷2𝑦 = 𝑑2𝑦𝑑𝑥2 , …, 𝐷𝑛𝑦 = 𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
x รูปทั่วไป
𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑛−1𝑦𝑑𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦
= 𝑎0(𝑥)𝐷𝑛𝑦 + 𝑎1(𝑥)𝐷𝑛−1𝑦 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝐷𝑦 + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦
= [𝑎0(𝑥)𝐷𝑛 + 𝑎1(𝑥)𝐷𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝐷 + 𝑎𝑛(𝑥)]𝑦
นิยาม 1
เรียกนิพจน์ 𝐿 = 𝑎0(𝑥)𝐷𝑛 + 𝑎1(𝑥)𝐷𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝐷 + 𝑎𝑛(𝑥)
ว่า ตัวด าเนินการเชิงอนุพันธ์อันดับ 𝒏 หรือเรียกสั้นๆ ว่า ตัวด าเนินการ
x ตัวด าเนินการ 𝐿 มีคุณสมบัติเชิงเส้น
o คือ ถ้า 𝑓1 และ 𝑓2 เปน็ฟังก์ชันที่หาอนุพันธไ์ด้ จนถึงอันดับ 𝑛 และ
𝐶1, 𝐶2 เป็นค่าคงตัวแล้ว
𝐿[𝐶1𝑓1(𝑥) + 𝐶2𝑓2(𝑥)] = 𝐶1𝐿1(𝑥) + 𝐶2𝐿2(𝑥)
การเท่ากันของตัวด าเนินการ
ตัวด าเนินการอันดับ 𝑛 จะกล่าวว่า 𝐿1 และ 𝐿2 เท่ากัน ถ้า 𝐿1𝑓 = 𝐿2𝑓
ส าหรับฟังก์ชัน 𝑓 ใดๆ ทีห่าอนุพันธไ์ด้จนถึงอันดบั 𝑛 เขียน 𝐿1 = 𝐿2
f, fz
การบวกการคูณกันของตัวด าเนินการ
ถ้า 𝐿1 และ 𝐿2 เป็นตัวด าเนนิการ
และ 𝑓 เป็นฟังก์ชันใดๆที่หาผลการด าเนินการได ้(คือหา 𝐿1𝑓 และ 𝐿2𝑓 ได)้
เรานิยามการบวกและการคณูของตัวด าเนินการ 𝐿1 และ 𝐿2 ตามล าดับ ดังน้ี
การบวก (𝐿1 + 𝐿2)𝑓 = 𝐿1𝑓 + 𝐿2𝑓
การคูณ (𝐿1𝐿2)𝑓 = 𝐿1(𝐿2𝑓)
ตย.1
ก าหนด 𝐿1 = 2𝐷2 − 𝐷 + 𝑥 − 2 และ 𝐿2 = 𝑥2𝐷 + 3
จงหา 𝐿1 + 𝐿2
GW f rahiahnohrndanoqdoldnsovau 2
( L,
-1Ldf =L,
f + Lzf
= ( 2 Dd- D + x - 2) f t ( x 'D + 3) f
=213¥
- Df + Xf - 2ft
Df -13 f
. -
=IDF + ( xd
- I ) Df t (x + 1) f
= ( 2132+1×2 - DD t Cx -11 ) ) f
Ly t Lz
ตย.2
1) ก าหนด 𝐿1 = 𝐷 และ 𝐿2 = 𝑥𝐷 จงแสดงว่า 𝐿1𝐿2 ≠ 𝐿2𝐿1
Tw f Ward, roionanoyntrrlsdngoas do a
( L,
4) f = L,
( Laf ) =L, ( x Df )
= D ( x Df )
= xD ( Df ) t Df ( Dx )
= xD 't t Df ( :.Dx =D
= ( x D
'
+ D) f
( La 4) f =L
,( L
,f) =
xD ( Df ) = xD 't
↳ ez = xD 't D ¥ xD'd
= ↳ 4
#
2) ก าหนด 𝐿1 = 𝐷2 + 𝐷 + 1 และ 𝐿2 = 2𝐷 + 1
จงแสดงว่า 𝐿1𝐿2 = 𝐿2𝐿1
9W f standard rndwioynoldnsorou 3
µL, )f = L
,flat ) = (Ddt Dtl ) ( Capt1) f )
= ( DID -11 ) ( 2 Df tf )
= DT2 Df ) t DF t D ( IDF ) t Df t IDF + f
=2133ft DH + a
Dd f + 3 Df tf
= ( 2 D
'
+ 3 Ddt 3D t 1) f
no :
(Lg4) f = Lg I Lyft = I 213-11 ) ( fDdt Dt1) f )
= 21 ) ( DF t Df tf ) t ( DF t Df tf )
= 2133ft 2132ft IDF t pdf + pf tf
= @D'
t3132+3 Pt 1) f
.
'
.
L,
Ls = ↳ 4 XX
คุณสมบัติทางพีชคณิตของการบวกและการคูณของตัวด าเนินการ
ให้ 𝐿1, 𝐿2, 𝐿3 เป็นตัวด าเนินการ
แล้วจะมคีุณสมบัติทางพีชคณิตดังต่อไปนี้เป็นจริงเสมอ
(1) กฎการสลับที่ของการบวก 𝐿1 + 𝐿2 = 𝐿2 + 𝐿1
(2) กฎการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก 𝐿1 + (𝐿2 + 𝐿3) = (𝐿1 + 𝐿2) + 𝐿3
(3) กฎการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ 𝐿1(𝐿2𝐿3) = (𝐿1𝐿2)𝐿3
(4) กฎการแจกแจง 𝐿1(𝐿2 + 𝐿3) = 𝐿1𝐿2 + 𝐿1𝐿3
(5) ถ้า 𝐿1 และ 𝐿2 มีสมัประสิทธิข์อง 𝐷𝑖 เป็นค่าคงตัว
กฎการสลับที่ของการคณูเป็นจริง คือ 𝐿1𝐿2 = 𝐿2𝐿1
คุณสมบัติบางประการของตัวด าเนินการที่มสีมัประสิทธิ์เป็นค่าคงตัว
ให้ 𝑃(𝐷) = 𝑎0𝐷𝑛 + 𝑎1𝐷𝑛−1+. . +𝑎𝑛−1𝐷 + 𝑎𝑛 เป็นตัวด าเนินการ
ที่มี 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 เป็นค่าคงตัว
(1) 𝑃(𝐷)𝑒𝑚𝑥 = 𝑒𝑚𝑥𝑃(𝑚)
เมื่อ 𝑃(𝑚) = 𝑎0𝑚𝑛 + 𝑎1𝑚𝑛−1+. . +𝑎𝑛−1𝑚 + 𝑎𝑛
(2) 𝑒𝑚𝑥𝑃(𝐷)𝑦 = 𝑃(𝐷 − 𝑚)[𝑒𝑚𝑥𝑦]
หรือ 𝑃(𝐷)𝑒𝑚𝑥𝑦 = 𝑒𝑚𝑥𝑃(𝐷 + 𝑚)𝑦
(3) (𝐷 − 𝑚)𝑛(𝑥𝑛𝑒𝑚𝑥) = 𝑒𝑚𝑥𝑛!