A logaritmus fogalma

A logaritmus fogalma

Műveletek logaritmussal

Készítette:

2

A logaritmus fogalma

• A b szám a alapú logaritmusa az a kitevő, amelyre a-t emelve b-t kapunk, ahol :

• Jele:

0;1;0 bésaa

balogAz a-t a logaritmus alapjának,A b-t a logaritmus numeruszának szoktuk elnevezni.

balogHa létezik: ba ba log

3

Adjuk meg a következő kifejezés értékét!

?10lg

Induljunk ki a logaritmus definíciójából:

A logaritmus alapja:10

Mivel 101 =10, ezért a definíció értelmében az 1 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, a 10-et emelve megkapjuk a Logaritmus numeruszát, a 10-et.

110lg

LOGDef.

4


?100lg



Mivel 102 =100, ezért a definíció értelmében a 2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, a 10-et emelve megkapjuk a Logaritmus numeruszát, a 100-at.

2100lg

LOGDef.

5


?1,0lg



Mivel 10-1 =0,1, ezért a definíció értelmében a -1 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, a 10-et emelve megkapjuk a Logaritmus numeruszát, a 0,1-t.

11,0lg

LOGDef.

6


?1lg


A logaritmus alapja: 10

Mivel 100 =1, ezért a definíció értelmében a 0 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, az 1-t.

01lg

LOGDef.

7


?1000lg



Mivel 103/2 = , ezért a definíció értelmében a 3/2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a -t.

5,11000lg

LOGDef.

Alakítsuk 10 hatványára a logaritmus numeruszát!

1000 2

1310 2

3

10

1000

Vagyis a feladat átírható a következő módon:

?10lg 2

3

1000

8


?100lg 3



Mivel 10 2/3 = , ezért a definíció értelmében a 2/3 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a -t.

3

2100lg 3

LOGDef.


3 100 31

210 3

2

10

3 100


?10lg 3

2

3 100

9


?1,0lg



Mivel 10 -1/2 = , ezért a definíció értelmében a -1/2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a -t.

2

11,0lg

LOGDef.


1,0 2

1110 2

1

10

1,0


?10lg 2

1

1,0

10


?2lg A logaritmus alapja: 10

1505,02lg

2A nem írható fel pontosan 10 hatványaként. Ha mégis megpróbálnánk, akkor újabb ilyen jellegűlogaritmusok értékeit kellene kiszámítanunk.

Ilyenkor számológéppel, vagy függvénytáblázat segítségével célszerű meghatározni a közelítő értéket!

Vagyis:

210 1505,0

11


?2log2



Mivel 21 =2, ezért a definíció értelmében a 1 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a 2-t.

12log2

LOGDef.

12


?4log2

Induljunk ki a logaritmus definíciójából!


Mivel 2 2 = , ezért a definíció értelmében a 2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 2-re emelve megkapjuk a logaritmus argumentumát, a -t.

24log2

LOGDef.


4 22

4


?2log 22

4

13


?9

1log3



Mivel 3 -2 = , ezért a definíció értelmében a -2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 3-ra emelve megkapjuk a logaritmus argumentumát, az -t.

29

1log3

LOGDef.


9

1 23

9

1


?3log 23

9

1

14


?4log2


A logaritmus alapja:

Mivel ezért a definíció értelmében a 4 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a -t emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a 4 -t.

44log2

LOGDef.

Alakítsuk hatványára a logaritmus numeruszát!

4 42

424


?2log4

2

2

22

15


?25log5

1


A logaritmus alapja: 1/5

Mivel (1/5) -2 = , ezért a definíció értelmében a -2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz az 1/5-re emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a -t.

225log5

1

LOGDef.

Alakítsuk 1/5 hatványára a logaritmus numeruszát!

252

5

1

25


?5

1log

2

5

1

25

16


?9

1log

3

1


A logaritmus alapja: 1/3

Mivel (1/3) 2 = , ezért a definíció értelmében a 2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz az 1/3-ra emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, az -t.

29

1log

3

1

LOGDef.

Alakítsuk 1/3 hatványára a logaritmus numeruszát!

9

1 2

3

1

9

1


?3

1log

2

3

1

9

1

17

A logaritmusok azonosságai

yxyx aaa logloglog yxyx aaa loglog:log

Azonos alapú logaritmusok:

xnx an

a loglog

xn

xx an

an

a log1

loglog1

1log aa01log a

Különböző alapú logaritmusok

1loglog ab ba b

xx

a

ab log

loglog

0;0;1;10;:. yxbaésbafelt

Legutóbbi diára

18

Fejezzük ki x-et az a, b, c és d segítségével!

dcbax lglglglglg Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok

Összegére és különbségére vonatkozó összefüggést!

10;;:logloglog

10;;logloglog

ayxayxyx

ayxayxyx

aaa

aaa

cd

abx lglg

cd

abx

19


dcbax lg3

2lg5,0lg3lg2lg

Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére és különbségére vonatkozó összefüggést!

10;;:

logloglog

ayxayxyx aaa

3

23

2

12

lglg

db

cax

3

23

2

12

db

cax

Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést!

10;;loglog aésxaxxn naa

3

2

2

132 lglglglglg dcbax

20


dcbax lglg3lg2lglg

Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére vonatkozó összefüggést!

10;;logloglog ayxayxyx aaa

1321lglg dcbaxdcab

x32

1

Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! 10;;loglog aésxaxxn naa


21


dcbax lglglglg



132lg dcbaxbcd

ax lg



22

Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!

11lg3lg2lg a



119lglg a 99a


11lg3lglg 2 a

Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.

23


9lg2

34lg

2

1lg b

Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok különbségére vonatkozó összefüggést!

10;;:logloglog ayxayxyx aaa

27:2lglg b27

2b


2

3

2

1

9lg4lglg b


27lg2lglg bA hatványok kiszámolása után:

24


5lg227lg3

18lg

3

2lg c

Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést!


253

14lglgc

3

100c


23

1

3

2

5lg27lg8lglg

c


25lg3

1lg4lglg cA hatványok kiszámolása után:

25


3lg2

15lg

2

16lg15lg

2

1lg d

Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére és különbségére vonatkozó összefüggést!

10;;:logloglog

10;;logloglog

ayxayxyx

ayxayxyx

aaa

aaa

5

3615lglg

d

5

3635 c


3lg5lg6lg15lglg d


18c

26


15lg4,2lglg xAlkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést!


154,2lglg x36lglg x

36xAz azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.

27


18lg12lg2lg x

Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok különbségére vonatkozó összefüggést!


18:144lglg x8lglg x8x


18lg12lglg 2 x


28


2lg35lg2lg x



825

1lglg x

25

8lglg x

25

8x


32 2lg5lglg x


29

Melyik kifejezés értéke a nagyobb?

• A választ megtudhatjuk, ha alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést.

65lg vagy 6lg5lg 10;;logloglog ayxayxyx aaa

65lg vagy 65lg Végezzük el a zárójeleken belül a kijelölt műveleteket!

A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt:

30lg11lg Azaz: 6lg5lg65lg

30







31







32

Számítsd ki a következő kifejezés értékét!

?10 2lg7lg

LOGDef.

Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét!

Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapúlogaritmusok különbségére vonatkozó összefüggést!

2

7lg2lg7lg 1010


ba ba log

2

710 2

7lg

Vagyis:

2

710 2lg7lg

33


?5 7log2log 55

LOGDef.

Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét!

Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapúlogaritmusok összegére vonatkozó összefüggést!

72log7log2log 555 55 10;;logloglog ayxayxyx aaa

ba ba log 145 14log5

Vagyis: 145 7log2log 55

34


?3 4log5log8log 333

LOGDef.Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét!

Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapúlogaritmusok összegére és különbségére vonatkozó összefüggést!

4

58log

4log5log8log 3333 33

10;;:logloglog

10;;logloglog

ayxayxyx

ayxayxyx

aaa

aaa

ba ba log 103 10log3

Vagyis: 103 4log5log8log 333

35


?4 9log3log 24



2444 93log9log23log 44 10;;logloglog ayxayxyx aaa

ba ba log

2434 243log4 Vagyis:

Térjünk át a kitevőben a 2 alapról 4-es alapú logaritmusra a logaritmus alapváltásra vonatkozó összefüggéssel, hogy azonosak legyenek a logaritmusok alapjai

9log2b

xx

a

ab log

loglog

2log

9log

4

4 2

1

4

4

4log

9log

5,0

9log4 9log2 4

Ekkor az eredeti feladat átírható: ?4 9log23log 44

2434 9log3log 24

36


?5 9log2log6 25125



34log3log4log 555 55 10;;logloglog ayxayxyx aaa

ba ba log

125 12log5 Vagyis:

Térjünk át a kitevőben az 5 alapú logaritmusokra!

2log6 125

b

xx

a

ab log

loglog

125log

2log6

5

5 3

5

5

5log

2log6

3

2log6 5 2log2 5

Ekkor az eredeti feladat átírható: ?5 3log2log2 55

125 9log2log6 25125

9log 25 25log

9log

5

5 2

5

5

5log

9log

2

9log5 2

1

5 9log 3log5

37

Logaritmikus egyenletek

38

Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!

ba ba log

1log2 3 x

Használjuk fel a logaritmus definícióját az egyenletünk átalakításához!

A logaritmusnak akkor van értelme, ha

01x

1log2 333 x

19 xx8 Ez a megoldás a feltételnek is eleget tesz

1x

39


ba ba log

23log2

1 x

Használjuk fel a logaritmus definícióját az egyenletünk átalakításához!

A logaritmusnak akkor van értelme, ha

03 x

23log

2

1

2

1 2

1

x

43 x1x Ez a megoldás a feltételnek is eleget tesz

3x


24lg3lg2lg xx

A logaritmusoknak akkor van értelme, ha

2423 xx

5x Ez a megoldás a feltétel-nek is eleget tesz.

2x2x és 3x Azaz a kettő feltételEgyütt:

Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó azonosságot! 10;;logloglog ayxayxyx aaa

24lg23lg xxBontsuk fel a többtagú tényezők szorzatát!

2462 xx 0302 xxA másodfokú egyenlet megoldásai:

2

120112;1

x

2

111

6xEz a megoldás a feltétel-nek nem tesz eleget.


12log4log 33 xx


324 xx


4x4x és 2x Azaz a kettő feltételEgyütt:

Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó azonosságot!


24log3 xxBontsuk fel a többtagú tényezők szorzatát!

3862 xx 0562 xxA másodfokú egyenlet megoldásai:

2

51466 2

2;1

x

2

46


És az 1-et írjuk fel 3 alapú logaritmus kifejezésével3log3

Hivatkozott azonosság


95lg x

95lg4lg3lg xxx


9543 xxx


3x3x és 4x Azaz a három feltétel

Együtt:

Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó azonosságot!

43lg xx

Bontsuk fel a többtagú tényezők szorzatát!

95122 xxx 02142 xxA másodfokú egyenlet megoldásai:

2

211444 2

2;1

x

2

104



5

9x


10lg

12log13log 55 xx


102

13

x

x

3x

3

1x

3

1x és 2x

Azaz a két feltétel együtt:

Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok különbségére vonatkozó azonosságot!

2

13lgx

x Írjuk fel az 1-t 10 alapú logaritmus kifejezésével

21013 xx201013 xx

x721Ez a megoldás a feltétel-nek nem tesz eleget.


Nincs megoldása az egyenletnek

Feltételek:


12log105log 57 xx

2x és 2xAzaz a két feltétel együtt:

Az egyenlet értelmezési tartománya üres halmaz, ezért nincs megoldása az egyenletnek

0x

Feltételek:

Oldjuk meg a pozitív valós számok halmazán a következő egyenletet!

165log 27 xx

0652 xxEbből következik, hogy 2x

Feltételek:

vagy 3x2

61455 2

2;1

x

3x

2x

Írjuk fel az 1-t 7 alapú logaritmus segítségével!

7log65log 72

7 xx

7652 xx0152 xx

/ -7

2

11455 2

2;1

x

2

295 Ez megoldása a feladatnak, merta megoldás pozitív

2

295 Ez nem megoldása a feladatnak, mert a megoldás negatív. 295

Oldjuk meg a természetes számok halmazán a következő egyenletet!

165log 220 xx

0652 xxEbből következik, hogy 2x

Feltételek:

vagy 3x2

61455 2

2;1

x

3x

2x

Írjuk fel az 1-t 20 alapú logaritmus segítségével!

20log65log 202

20 xx

20652 xx01452 xx

/ -20

2

141455 2

2;1

x

7Ez megoldása a feladatnak, merta megoldás természetes szám,és a feltételnek is eleget tesz

2 Ez nem megoldása a feladatnak, mert a megoldás nem természetes szám.

N 2

Oldjuk meg a természetes számok halmazán a következő egyenletet!

37log42log 32 xx

2x és 7xAzaz a két feltétel együtt:

72 xFeltételek:

A szóba jöhető megoldások: 3; 4; 5; 6

Ezek közül csak a 4 lehet a feladat megoldása.

48

Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

központi érettségi 1990/A/7. (14 pont)

1

5

5

5log

4log x

44log2log4log 2,03

55 xxx

A logaritmus értelmezéséből következő feltételek:

4x 26,123 x 4x4x

A 4log 2,0 x átírható 5 alapú logaritmusok hányadosaként:

4log5

1 x

51

log

4log

5

5 x 1

4log5

x

Azaz: 4log 2,0 x 4log5 xAzaz, az eredeti egyenlet felírható a következőképen:

44log2log4log 53

55 xxx

49

42log 3

5x

Vagyis az összevonások elvégzése után a feladat:

A logaritmus definíciója szerint:

43 52x

2523 xA hatványozás elvégzése után:

| +2

273 x3x Lenne az egyenlet megoldása, de

43 Vagyis x=3 nem tesz eleget a logaritmus létezésének feltételének

Nincs megoldása az egyenletnek

A logaritmus fogalma

Documents

Transcript of A logaritmus fogalma