Exponenciális és logaritmus - Matematikam.hu › konyv › pdf › p11.matematikam.hu.pdf...

Exponenciális és logaritmus

Kidolgozott példák

www.matematikam.hu Exponenciális és logaritmus Matematika kidolgozott példák

2

Hatványozás és gyökvonás mintapéldák a Számelmélet alapjai fejezet Egyenletek

témakörén belül vannak megadva, illetve a Másodfokú egyenletek fejezetben. Itt csak

pár mintapéldát szerepeltetünk, bevezetendőn az exponenciális kifejezéseket.

1. Hozd egyszerűbb alakra az alábbi hatványkifejezéseket!

32∙34∙36

34∙35 =32+4+6

34+5 =312

39 = 312−9 = 33 = 27

𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

𝑎𝑛

𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚

(𝑥3)

5∙(𝑥4)

2∙(𝑥2)

3

𝑥2∙(𝑥3)2∙(𝑥3)5 =𝑥15∙𝑥8∙𝑥6

𝑥2∙𝑥6∙𝑥15 =𝑥15+8+6

𝑥2+6+15 =𝑥29

𝑥23 = 𝑥29−23 = 𝑥6

(𝑎𝑛)𝑘 = 𝑎𝑛∙𝑘

(32

26)−5

∙ (24

37)−2

∙ (34

2−3)4

= (32

26)−5

∙ (37

24)2

∙ (34

2−3)4

=3−10

2−30 ∙314

28 ∙316

2−12 =

=3−10∙314∙316

2−30∙28∙2−12 =3−10+14+16

2−30+8+(−12) =320

2−34 = 320 ∙ 234

𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛

𝑎𝑛

𝑏𝑛 = (𝑎

𝑏)

𝑛

𝑎−1 =1

𝑎 (

𝑎

𝑏)

−1=

𝑏

𝑎 reciprok

2. Hozd egyszerűbb alakra az alábbi gyökös kifejezéseket!

√253

∙ √23∙243∙ √263

√23

∙ √273 =√25∙23∙24∙253

√2∙273 = √25∙23∙24∙25

2∙27

3

= √217

28

3= √293

= 29

3 = 23 = 8

√𝑎𝑛

∙ √𝑏𝑛

= √𝑎𝑏𝑛

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛 = √

𝑎

𝑏

𝑛


𝑎𝑛


√𝑎𝑘𝑛= 𝑎

𝑘

𝑛

√5

6∙ √ √5343

∙ √54

∙ √√53

√ √534

∙ √56

∙ √574=

√56

∙ √5312∙ √54

∙ √56

√512

∙ √56

∙ √574 =√5212

∙ √5312∙ √5312

∙ √5212

√512

∙ √5212∙ √(57)312 =

√52∙53∙53∙5212

√5∙52∙52112 =

= √52∙53∙53∙52

5∙52∙521

12= √

510

524

12= √5−1412

= 5−14

12 = 5−7

6 =1

576

√ √𝑎𝑚𝑛

= √𝑎𝑛∙𝑚

√𝑎𝑚𝑛= √𝑎𝑚∙𝑘𝑛∙𝑘


3

Exponenciális és logaritmus függvények

3. Ábrázold a következő függvényeket!

𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 felfele toljuk 2-vel 𝑦 tengely mentén

𝑔(𝑥) = 3𝑥−4 jobbra toljuk 4-el 𝑥 tengely mentén

ℎ(𝑥) = 5 ∙ 3𝑥 5-szörösére nyújtjuk

𝑖(𝑥) = −3𝑥 tükrözzük 𝑥 tengelyre

𝑓(𝑥) = (1

4)

𝑥

+ 2

felfele toljuk 2-vel 𝑦 tengely mentén

𝑔(𝑥) = (1

4)

𝑥−4

jobbra toljuk 4-el 𝑥 tengely mentén

ℎ(𝑥) = 5 ∙ (1

4)

𝑥

5-szörösére nyújtjuk

𝑖(𝑥) = − (1

4)

𝑥

tükrözzük 𝑥 tengelyre


4

4. Ábrázold és jellemezd a függvényt!

𝑓(𝑥) = 3 ∙ 2𝑥−1 − 4

A 2𝑥 alapfüggvényt jobbra toljuk 1-el, lefele 4-el, és 3-szorosára nyújtjuk.

ÉT: 𝑥 ℝ ÉK: 𝑦 > −4 zh.: 𝑥 = 1,415 A számolás alább levezetve. szélsőérték: nincsen monotonitás: szig. mon. nő paritás: nem páros, nem páratlan konvexitás: konvex

Aszimptotája az 𝑦 = −4 egyenes.

Zérushely megadása: a függvény egyenletét egyenlővé tesszük 0-val.

3 ∙ 2𝑥−1 − 4 = 0

3 ∙2𝑥

21 − 4 = 0

3

2∙ 2𝑥 − 4 = 0 / +4

3

2∙ 2𝑥 = 4 / :

3

2

2𝑥 = 4:3

2= 4 ∙

2

3=

8

3 / vesszük a két oldal logaritmusát

lg 2𝑥 = lg8

3

𝑥 ∙ lg 2 = lg8

3 / : lg 2

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏

𝑥 =lg

8

3

lg 2= 1,415 / számológéppel kiszámolva


5

5. Ábrázold a következő függvényeket!

𝑓(𝑥) = log5(𝑥) + 2 felfele toljuk 2-vel 𝑦 tengely mentén

𝑔(𝑥) = log5(𝑥 + 3) balra toljuk 3-al 𝑥 tengely mentén

ℎ(𝑥) = 4 ∙ log5(𝑥) 4-szeresére nyújtjuk

𝑖(𝑥) = − log5(𝑥) tükrözzük 𝑥 tengelyre

𝑓(𝑥) = log1

3

(𝑥) + 2

felfele toljuk 2-vel 𝑦 tengely mentén

𝑔(𝑥) = log1

3

(𝑥 + 3)

balra toljuk 3-al 𝑥 tengely mentén

ℎ(𝑥) = 4 ∙ log1

3

(𝑥)

4-szeresére nyújtjuk

𝑖(𝑥) = − log1

3

(𝑥)

tükrözzük 𝑥 tengelyre


6

6. Ábrázold és jellemezd a függvényt!

𝑓(𝑥) = − log2(𝑥 + 3) − 1

A log2 𝑥 alapfüggvényt balra toljuk 3-al, lefele 1-el, és tükrözzük.

ÉT: 𝑥 > −3 ÉK: 𝑦 ℝ zh.: 𝑥 = −2,5 A számolás alább levezetve. szélsőérték: nincsen monotonitás: szig. mon. csökken paritás: nem páros, nem páratlan konvexitás: konvex

Aszimptotája az 𝑥 = −3 egyenes.

Zérushely megadása: a függvény egyenletét egyenlővé tesszük 0-val.

− log2(𝑥 + 3) − 1 = 0 / +1

− log2(𝑥 + 3) = 1 / ∙ (−1)

log2(𝑥 + 3) = −1 / log definíció szerint

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑎𝑐 = 𝑏

2−1 = 𝑥 + 3

𝑎−1 =1

𝑎

1

2= 𝑥 + 3 / −3

𝑥 = −2,5


7

Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek,

egyenletrendszerek, szövegesek

7. Oldd meg a következő egyszerű egyenleteket!

𝟐𝟒𝒙−𝟑 = 𝟒

24𝑥−3 = 22

exponenciális függvény szigorúan monoton (exp.f.sz.m.)

4𝑥 − 3 = 2 / +3

4𝑥 = 5 / : 4

𝑥 =5

4

𝟑𝒙 ∙ 𝟑𝟐𝒙−𝟏 = 𝟗

3𝑥 ∙ 32𝑥−1 = 32


3𝑥+2𝑥−1 = 32

exp.f.sz.m.

𝑥 + 2𝑥 − 1 = 2

3𝑥 − 1 = 2 / +1

3𝑥 = 3 / : 3

𝑥 = 1

𝟐𝟐𝒙+𝟑 ∙ 𝟒 = 𝟐𝟑𝒙−𝟒

22𝑥+3 ∙ 22 = 23𝑥−4

22𝑥+3+2 = 23𝑥−4


exp.f.sz.m.

2𝑥 + 3 + 2 = 3𝑥 − 4

2𝑥 + 5 = 3𝑥 − 4

𝑥 = 9


8

𝟏𝟐𝟓𝒙+𝟐

𝟐𝟓𝒙+𝟏 = 𝟓𝟑𝒙−𝟔 / közös alapra tudunk hozni

(53)

𝑥+2

(52)𝑥+1 = 53𝑥−6


53𝑥+6

52𝑥+2 = 53𝑥−6

5(3𝑥+6)−(2𝑥+2) = 53𝑥−6

𝑎𝑛


exp.f.sz.m.

(3𝑥 + 6) − (2𝑥 + 2) = 3𝑥 − 6 / zárójelfelbontás

3𝑥 + 6 − 2𝑥 − 2 = 3𝑥 − 6 / rendezés

𝑥 + 4 = 3𝑥 − 6 / +6 / −𝑥

10 = 2𝑥 / : 2

5 = 𝑥

√𝟕𝟓𝒙+𝟐𝟔= 𝟒𝟗

𝟏

𝟒

75𝑥+2

6 = (72)1

4 = 72

4 = 71

2


𝑘

𝑛



exp.f.sz.m.

5𝑥+2

6=

1

2 / ∙ 6

5𝑥 + 2 = 3 / −2

5𝑥 = 1 / : 5

𝑥 =1

5


9

𝟏𝟑𝟐𝒙−𝟕 = 𝟏

132𝑥−7 = 130

𝑎0 = 1

exp.f.sz.m.

2𝑥 − 7 = 0 / +7

2𝑥 = 7 / : 2

𝑥 = 3,5

𝟒𝟑𝒙−𝟏 = 𝟏𝟏𝟑𝒙−𝟏

Különböző alapú hatványok csak akkor lehetnek egyenlőek, ha a kitevőjük 0.

𝑎0 = 1

3𝑥 − 1 = 0

𝑥 =1

3

8. Oldd meg a következő egyenleteket!

𝟎, 𝟓𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟑𝟓 = 𝟏

0,5𝑥2+2𝑥−35 = 0,50

𝑎0 = 1

exp.f.sz.m.

𝑥2 + 2𝑥 − 35 = 0

𝑥1;2 =−2±√22−4∙1∙(−35)

2∙1=

−2±12

2

Másodfokú megoldóképlet:

𝑥1;2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 =−2+12

2= 5

𝑥2 =−2−12

2= −7


10

𝟕𝟐−𝟒𝒙 =𝟏

𝟒𝟗𝟕+𝟔𝒙

72−4𝑥 =1

(72)7+6𝑥 =1

714+12𝑥 = (714+12𝑥)−1 = 7−14−12𝑥


𝑎−1 =1

𝑎

exp.f.sz.m.

2 − 4𝑥 = −14 − 12𝑥 / +12𝑥 / −2

8𝑥 = −16 / : 8

𝑥 = −2

𝟑 ∙ 𝟏𝟔𝒙 = 𝟐 ∙ 𝟗𝟐𝒙

3 ∙ 16𝑥 = 2 ∙ 92𝑥

3 ∙ (24)𝑥 = 2 ∙ (32)2𝑥

3 ∙ 24𝑥 = 2 ∙ 34𝑥 / : 2 / : 24𝑥


3

2=

34𝑥

24𝑥

(3

2)

1

= (3

2)

4𝑥

𝑎𝑛


exp.f.sz.m.

1 = 4𝑥 / : 4

1

4= 𝑥


11

𝟑𝟐𝒙+𝟑 − 𝟓 ∙ 𝟐𝟒𝒙 = 𝟏𝟏 ∙ 𝟗𝒙 + 𝟒𝟐𝒙+𝟏

32𝑥 ∙ 33 − 5 ∙ 24𝑥 = 11 ∙ 9𝑥 + 42𝑥 ∙ 41

32𝑥 ∙ 27 − 5 ∙ 24𝑥 = 11 ∙ (32)𝑥 + (22)2𝑥 ∙ 4


32𝑥 ∙ 27 − 5 ∙ 24𝑥 = 11 ∙ 32𝑥 + 24𝑥 ∙ 4 / 32𝑥 ≔ 𝑎 / 24𝑥 ≔ 𝑏

𝑎 ∙ 27 − 5 ∙ 𝑏 = 11 ∙ 𝑎 + 𝑏 ∙ 4 / −11𝑎 / +5𝑏

16𝑎 = 9𝑏

16 ∙ 32𝑥 = 9 ∙ 24𝑥

16 ∙ 32𝑥 = 9 ∙ 22∙2𝑥 = 9 ∙ (22)2𝑥

16 ∙ 32𝑥 = 9 ∙ 42𝑥 / : 16 / : 42𝑥

32𝑥

42𝑥 =9

16

(3

4)

2𝑥

=9

16=

32

42 = (3

4)

2

𝑎𝑛

𝑏𝑛 = (𝑎

𝑏)

𝑛

exp.f.sz.m.

2𝑥 = 2 / : 2

𝑥 = 1

𝟐𝒙+𝟑 + 𝟐𝒙+𝟏 = 𝟏𝟎

2𝑥+3 + 2𝑥+1 = 10

2𝑥 ∙ 23 + 2𝑥 ∙ 21 = 10


2𝑥 ∙ 8 + 2𝑥 ∙ 2 = 10

10 ∙ 2𝑥 = 10 / : 10

2𝑥 = 1 = 20

𝑎0 = 1

exp.f.sz.m.

𝑥 = 0


12

𝟗𝒙+𝟏

𝟐 + 𝟗 ∙ 𝟑𝒙−𝟏 =𝟒

𝟑

9𝑥 ∙ 91

2 + 9 ∙3𝑥

31 =4

3


𝑎𝑛


9𝑥 ∙ 3 + 9 ∙3𝑥

3=

4

3 / ∙ 3

(32)𝑥 ∙ 9 + 9 ∙ 3𝑥 = 4 / −4

9 ∙ 32𝑥 + 9 ∙ 3𝑥 − 4 = 0 / 3𝑥 ≔ 𝑦


9 ∙ 𝑦2 + 9 ∙ 𝑦 − 4 = 0

𝑦1;2 =−9±√92−4∙9∙(−4)

2∙9=

−9±15

18


𝑥1;2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑦1 =−9+15

18=

6

18=

1

3

𝑦1 =−9−15

18= −

24

18= −

4

3

𝑦1 =1

3= 3𝑥

3−1 = 3𝑥

𝑎−1 =1

𝑎

exp.f.sz.m.

−1 = 𝑥

𝑦2 = −4

3= 3𝑥 pozitív szám egyik hatványa sem lehet negatív


13

𝟐𝟒𝒙−𝟏 ∙ 𝟐𝒙+𝟐 = 𝟒𝟑𝒙−𝟏 ∙ 𝟐𝒙−𝟑

24𝑥−1 ∙ 2𝑥+2 = (22)3𝑥−1 ∙ 2𝑥−3

24𝑥−1 ∙ 2𝑥+2 = 26𝑥−2 ∙ 2𝑥−3

24𝑥−1+𝑥+2 = 26𝑥−2+𝑥−3



exp.f.sz.m.

4𝑥 − 1 + 𝑥 + 2 = 6𝑥 − 2 + 𝑥 − 3

5𝑥 + 1 = 7𝑥 − 5 / −5𝑥 / +5

6 = 2𝑥 / : 2

3 = 𝑥

√𝟕𝒙−𝟏 ∙ √𝟕𝒙−𝟐𝟑∙ √𝟕𝒙−𝟑𝟒

= √𝟕𝟒

7𝑥−1

2 ∙ 7𝑥−2

3 ∙ 7𝑥−3

4 = 71

4


𝑘

𝑛

7𝑥−1

2+

𝑥−2

3+

𝑥−3

4 = 71

4


exp.f.sz.m.

𝑥−1

2+

𝑥−2

3+

𝑥−3

4=

1

4 / ∙ 12

6 ∙ (𝑥 − 1) + 4 ∙ (𝑥 − 2) + 3 ∙ (𝑥 − 3) = 3 ∙ 1

6𝑥 − 6 + 4𝑥 − 8 + 3𝑥 − 9 = 3

13𝑥 − 23 = 3 / +23

13𝑥 = 26 / : 13

𝑥 = 2


14

(𝟖

𝟐𝟕)

𝒙

∙ (𝟑

𝟐)

𝒙+𝟐

=𝟔𝟒

𝟕𝟐𝟗

(23

33)𝑥

∙ (3

2)

𝑥+2

=26

36

((2

3)

3)

𝑥

∙ ((2

3)

−1)

𝑥+2

= (2

3)

6

𝑎𝑛

𝑏𝑛 = (𝑎

𝑏)

𝑛


𝑎−1 =1

𝑎 (

𝑎

𝑏)

−1=

𝑏

𝑎

(2

3)

3𝑥

∙ (2

3)

−𝑥−2

= (2

3)

6

(2

3)

3𝑥−𝑥−2

= (2

3)

6


exp.f.sz.m.

3𝑥 − 𝑥 − 2 = 6

2𝑥 − 2 = 6 / +2

2𝑥 = 4 / : 2

𝑥 = 2

9. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket!

𝟑𝟒𝒙−𝟓 < 𝟐𝟕𝒙

34𝑥−5 < (33)𝑥

34𝑥−5 < 33𝑥


exp.f.sz.m. nő (mivel az alap (3) nagyobb, mint 1), tehát a reláció nem fordul

4𝑥 − 5 < 3𝑥 / +5 / −3𝑥

𝑥 < 5


15

(𝟐

𝟑)

𝟑𝒙+𝟒

≥𝟖

𝟐𝟕

(2

3)

3𝑥+4

≥23

33

(2

3)

3𝑥+4

≥ (2

3)

3

𝑎𝑛

𝑏𝑛 = (𝑎

𝑏)

𝑛

exp.f.sz.m. csökken (mivel az alap (2

3) kisebb, mint 1), tehát a reláció fordul

3𝑥 + 4 ≤ 3 / −4

3𝑥 ≤ −1 / : 3

𝑥 ≤ −1

3

𝟒𝒙−𝟏 ∙ 𝟖𝒙+𝟑 ≤ (𝟏

𝟖)

𝒙+𝟑

∙ 𝟏𝟐𝟖𝒙+𝟐

(22)𝑥−1 ∙ (23)𝑥+3 ≤ (1

23)𝑥+3

∙ (27)𝑥+2

(22)𝑥−1 ∙ (23)𝑥+3 ≤ ((23)−1)𝑥+3 ∙ (27)𝑥+2

𝑎−1 =1

𝑎

22𝑥−2 ∙ 23𝑥+9 ≤ 2−3𝑥−9 ∙ 27𝑥+14


22𝑥−2+3𝑥+9 ≤ 2−3𝑥−9+7𝑥+14


exp.f.sz.m. nő (mivel az alap (3) nagyobb, mint 1), tehát a reláció nem fordul

2𝑥 − 2 + 3𝑥 + 9 ≤ −3𝑥 − 9 + 7𝑥 + 14

5𝑥 + 7 ≤ 4𝑥 + 5 / −4𝑥 / −7

𝑥 ≤ −2


16

10. Oldd meg az alábbi egyenletrendszereket!

𝑰. 𝟕𝒙 + 𝟓 ∙ 𝟐𝒚 = 𝟒𝟏 𝑰𝑰. 𝟓 ∙ 𝟕𝒙 + 𝟑 ∙ 𝟐𝒚 = 𝟐𝟗

}

7𝑥 ≔ 𝑎 2𝑦 ≔ 𝑏

𝐼. 𝑎 + 5 ∙ 𝑏 = 41 𝐼𝐼. 5 ∙ 𝑎 + 3 ∙ 𝑏 = 29

}

𝐼. 𝑎 = 41 − 5𝑏 / kifejeztük 𝐼.-ből 𝑎-t

𝐼𝐼. 5 ∙ (41 − 5𝑏) + 3 ∙ 𝑏 = 29 / behelyettesítettük 𝑎 helyett 𝑎 értékét

205 − 25𝑏 + 3𝑏 = 29

205 − 22𝑏 = 29 / +22𝑏 / −29

176 = 22𝑏 / : 22

8 = 𝑏

𝐼. 𝑎 = 41 − 5 ∙ 8 / behelyettesítettünk 𝑏 helyett 8-at

𝑎 = 1

𝑎 = 7𝑥 = 1

𝒙 = 𝟎

𝑎0 = 1

𝑏 = 2𝑦 = 8

𝒚 = 𝟑


17

𝑰. 𝟗𝒙+𝒚−𝟓 = 𝟑𝟒−𝟐𝒙 𝑰𝑰. 𝟏𝟔𝟐𝒙−𝒚+𝟏 = 𝟖𝒚+𝟕

}

𝐼. 9𝑥+𝑦−5 = 34−2𝑥

(32)𝑥+𝑦−5 = 34−2𝑥

32𝑥+2𝑦−10 = 34−2𝑥


exp.f.sz.m.

2𝑥 + 2𝑦 − 10 = 4 − 2𝑥 / −4 / +2𝑥

4𝑥 + 2𝑦 − 14 = 0

𝐼𝐼. 162𝑥−𝑦+1 = 8𝑦+7

(24)2𝑥−𝑦+1 = (23)𝑦+7

28𝑥−4𝑦+4 = 23𝑦+21

exp.f.sz.m.

8𝑥 − 4𝑦 + 4 = 3𝑦 + 21 / kifejezzük 𝑦-t / −21 / +4𝑦

8𝑥 − 17 = 7𝑦 / : 7

8

7𝑥 −

17

7= 𝑦

𝐼. 4𝑥 + 2𝑦 − 14 = 0 / behelyettesítettük 𝑦 helyett 𝑦 értékét

4𝑥 + 2 ∙ (8

7𝑥 −

17

7) − 14 = 0

4𝑥 +16

7𝑥 −

34

7− 14 = 0 / ∙ 7

28𝑥 + 16𝑥 − 34 − 98 = 0 / +132

44𝑥 = 134 / : 44

𝒙 = 𝟑

𝐼𝐼.8

7𝑥 −

17

7= 𝑦 / behelyettesítettünk x helyett 3-at

𝑦 =8

7∙ 3 −

17

7=

24

7−

17

7=

7

7= 1

𝒚 = 𝟏


18

Logaritmus egyenletek, egyenlőtlenségek,

egyenletrendszerek, szövegesek

11. Számold ki a következő logaritmusokat!

log2 32 = 5 mert 25 = 32

log3 81 = 4 mert 34 = 81

log5 125 = 3 mert 53 = 125

lg 10000 = 4 mert 104 = 10000

log6 36 = 2 mert 62 = 36

log2 8 = 3 mert 23 = 8

log21

8= −3 mert 2−3 =

1

8

𝑎−1 =1

𝑎

log51

25= −2 mert 5−2 =

1

25

log71

49= −2

log21

512= −9

log31

81= −4

log1

2

2 = −1

log1

2

16 = −4

log1

3

1

27= 3

log√2 8 = log2

(12

)23 = 6 mert (2

1

2)6

= 23 = 8

log3 √27 = log3 271

2 = log3(33)1

2 = log3 33

2 =3

2


log8 128 = log23 27 = log2 27

3 =7

3

log7 1 = 0

𝑎0 = 1


19

12. Oldd meg a következő egyszerű egyenleteket!

𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟒𝟎, 𝟓 = 𝒙

log3(2 ∙ 40,5) = 𝑥

log3 81 = 4 = 𝑥

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏 ∙ 𝑐)

𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟖𝟕𝟓 − 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟕 = 𝒙

log5 (875

7) = 𝑥

log5 125 = 3 = 𝑥

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏

𝑐)

𝐥𝐨𝐠𝟐(𝟏𝟔𝟓) = 𝒙

5 ∙ log2 16 = 𝑥

5 ∙ 4 = 20 = 𝑥

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏𝑛) = 𝑛 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏

𝟒 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟏𝟖 − 𝟑 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟑𝟔 + 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟐𝟓𝟔 + 𝟐 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟕𝟐 − 𝟒 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟐𝟒 = 𝒙

log3(184) − log3(363) + log3(256) + log3(722) − log3(244) = 𝑥

log3 (184∙256∙722

363∙244 ) = log3 ((32∙2)

4∙(28)∙(23∙32)

2

(22∙32)3∙(23∙3)4) = log3 (

218∙312

218∙310) =

log3(32) = log3 9 = 2 = 𝑥



𝑐)


𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛



𝑎𝑛



20

𝐥𝐨𝐠𝟐(𝟔𝒙 + 𝟐) = 𝟓

log2(6𝑥 + 2) = 5

25 = 6𝑥 + 2 / −2

30 = 6𝑥 / : 6

𝑥 =30

6= 5

Log def: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑐, mert 𝑎𝑐 = 𝑏

𝐥𝐨𝐠𝟏𝟓(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝟒) = 𝟎

150 = 𝑥2 + 2𝑥 − 34


1 = 𝑥2 + 2𝑥 − 34 / −1

0 = 𝑥2 + 2𝑥 − 35

𝑥1;2 =−2±√22−4∙1∙(−35)

2∙1=

−2±12

2


𝑥1;2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 =−2+12

2= 5

𝑥2 =−2−12

2= −7

𝐥𝐨𝐠𝒙(𝟔𝒙 − 𝟓) = 𝟐

𝑥2 = 6𝑥 − 5 / −6𝑥 / +5


𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0

𝑥1;2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎=

6±√(−6)2−4∙1∙5

2∙1=

6±4

2

𝑥1 =6+4

2= 5

𝑥1 =6−4

2= 1


21

𝐥𝐨𝐠𝟕(𝟑𝒙 − 𝟓) + 𝐥𝐨𝐠𝟕 𝟐 = 𝟏 + 𝐥𝐨𝐠𝟕(𝟐𝒙 − 𝟏)

Kikötés: 3𝑥 − 5 > 0 𝑥 >5

3

2𝑥 − 1 > 0 𝑥 >1

2

Kikötések összegzése: 𝑥 >5

3

log7(3𝑥 − 5) + log7 2 = 1 + log7(2𝑥 − 1) / − log7(2𝑥 − 1)

log7(3𝑥 − 5) + log7 2 − log7(2𝑥 − 1) = 1

log7 [(3𝑥−5)∙2

2𝑥−1] = 1

log7 (6𝑥−10

2𝑥−1) = 1

71 =6𝑥−10

2𝑥−1 / ∙ (2𝑥 − 1)


7 ∙ (2𝑥 − 1) = 6𝑥 − 10

14𝑥 − 7 = 6𝑥 − 10 / +7 / −6𝑥

8𝑥 = −3 / : 8

𝑥 = −3

8 kikötés miatt

𝐥𝐠 𝟏𝟐 − 𝐥𝐠(𝟏 − 𝒙) = 𝐥𝐠 𝟐𝟎 − 𝐥𝐠(𝒙 + 𝟕)

Kikötés: 1 − 𝑥 > 0 1 > 𝑥

𝑥 + 7 > 0 𝑥 > −7 Kikötések összegzése: −7 < 𝑥 < 1

lg12

1−𝑥= lg

20

𝑥+7

logaritmus függvény szigorúan monoton (log.f.sz.m.)

12

1−𝑥=

20

𝑥+7 / keresztbe felszorzás

12 ∙ (𝑥 + 7) = 20 ∙ (1 − 𝑥)

12𝑥 + 84 = 20 − 20𝑥 / +20𝑥 / −84

34𝑥 = −64 / : 34

𝒙 = −𝟐


22

𝐥𝐨𝐠𝟖(𝟑𝒙 + 𝟏) + 𝐥𝐨𝐠𝟖(𝟓𝒙 − 𝟏) =𝟒

𝟑

Kikötés: 3𝑥 + 1 > 0 𝑥 > −1

3

5𝑥 − 1 > 0 𝑥 >1

5


5

log8[(3𝑥 + 1) ∙ (5𝑥 − 1)] =4

3

log8(15𝑥2 − 3𝑥 + 5𝑥 − 1) =4

3

84

3 = 15𝑥2 − 3𝑥 + 5𝑥 − 1


√843= 16 = 15𝑥2 − 3𝑥 + 5𝑥 − 1 / −16

15𝑥2 + 2𝑥 − 17 = 0

𝑥1;2 =−2±√22−4∙15∙(−17)

2∙15=

−2±32

30


𝑥1;2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝒙𝟏 =−2+32

30= 𝟏

𝑥2 =−2−32

30= −

34

30= −

17

15 kikötés miatt

13. Oldd meg a következő egyenleteket!

𝐥𝐨𝐠𝟒(𝟑𝒙+𝟓)

𝐥𝐨𝐠𝟒(𝟕𝒙−𝟏)= 𝟏 / ∙ (log4(7𝑥 − 1))

Kikötés: 3𝑥 + 5 > 0 𝑥 > −5

3

7𝑥 − 1 > 0 𝑥 >1

7


7

log4(3𝑥 + 5) = log4(7𝑥 − 1)

log.f.sz.m.

3𝑥 + 5 = 7𝑥 − 1 / −3𝑥 / +1

6 = 4𝑥 / : 4

6

4=

3

2= 𝑥


23

𝐥𝐠(𝒙 − 𝟐) + 𝟑 ∙ 𝐥𝐠 𝟐 = 𝐥𝐠(𝒙 − 𝟏) + 𝐥𝐠(𝒙 + 𝟏) Kikötés: 𝑥 − 2 > 0 𝑥 > 2

𝑥 − 1 > 0 𝑥 > 1 𝑥 + 1 > 0 𝑥 > −1 Kikötések összegzése: 𝑥 > 2

lg(𝑥 − 2) + lg 23 = lg(𝑥 − 1) + lg(𝑥 + 1)


lg[(𝑥 − 2) ∙ 8] = lg[(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1)]


lg(8𝑥 − 16) = lg(𝑥2 − 11)

log.f.sz.m.

8𝑥 − 16 = 𝑥2 − 1 / −𝑥2 / +1

−𝑥2 + 8𝑥 − 15 = 0

𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟒

𝐥𝐨𝐠𝟑(𝒙+𝟏)= 𝟐 / log3(𝑥 + 1)

Kikötés: 𝑥 + 1 > 0 𝑥 > −1

log3 4 = 2 ∙ log3(𝑥 + 1)

log3 4 = log3[(𝑥 + 1)2]


log.f.sz.m.

4 = (𝑥 + 1)2 / √

±2 = 𝑥 + 1

I. eset: +2 = 𝑥 + 1 / −1

𝒙𝟏 = 𝟏

II. eset: −2 = 𝑥 + 1 / −1

𝑥2 = −3 kikötés miatt


24

𝐥𝐠(𝒙 − 𝟐) + 𝟑 ∙ 𝐥𝐠 𝟐 = 𝐥𝐠(𝒙 − 𝟏) + 𝐥𝐠(𝒙 + 𝟏)

Kikötés: 𝑥 − 2 > 0 𝑥 > 2

𝑥 − 1 > 0 𝑥 > 1 𝑥 + 1 > 0 𝑥 > −1 Kikötések összegzése: 𝑥 > 2

lg(𝑥 − 2) + lg 23 = lg(𝑥 − 1) + lg(𝑥 + 1)


lg[(𝑥 − 2) ∙ 8] = lg[(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1)]


lg(8𝑥 − 16) = lg(𝑥2 − 12)

(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

log.f.sz.m.

8𝑥 − 16 = 𝑥2 − 1 / −𝑥2 / +1

−𝑥2 + 8𝑥 − 15 = 0

𝑥1;2 =−8±√82−4∙(−1)∙(−15)

2∙(−1)=

−8±2

−2


𝑥1;2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝒙𝟏 =−8+2

−2= 𝟑

𝒙𝟐 =−8−2

−2= 𝟓


25

𝐥𝐨𝐠𝒙(𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝒙 + 𝟒𝟐) = 𝟏

Kikötés:

2𝑥2 − 19𝑥 + 42 > 0

𝑥1;2 =19±√192−4∙2∙42

2∙2=

19±5

4

𝑥1 = 6

𝑥2 = 3,5

𝑥 < 3,5 ∪ 6 < 𝑥

𝑥 ∈ ]−∞; 3,5[ ∪ ]6; ∞[

log𝑥(2𝑥2 − 19𝑥 + 42) = 1

𝑥1 = 2𝑥2 − 19𝑥 + 42 / −𝑥

Log def: loga 𝑏 = 𝑐, mert 𝑎𝑐 = 𝑏

2𝑥2 − 20𝑥 + 42 = 0

𝑥1;2 =20±√202−4∙2∙42

2∙2=

20±8

4


𝑥1;2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝒙𝟏 =20+8

4= 𝟕

𝒙𝟐 =20−8

4= 𝟑


26

𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 + 𝟏) − 𝐥𝐨𝐠𝟒(𝟑𝒙 − 𝟓) = 𝟏

Kikötés: 𝑥 + 1 > 0 𝑥 > −1

3𝑥 − 5 > 0 𝑥 >5

3


3

log22(𝑥 + 1)2 − log4(3𝑥 − 5) = 1

log4[(𝑥 + 1)2] − log4(3𝑥 − 5) = 1

log𝑎𝑛 𝑥𝑛 = loga 𝑥

log4(𝑥+1)2

3𝑥−5= 1


𝑐)

41 =(𝑥+1)2

3𝑥−5 / ∙ (3𝑥 − 5)


4 ∙ (3𝑥 − 5) = (𝑥 + 1)2

12𝑥 − 20 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑥2 − 10𝑥 + 21 = 0

𝑥1;2 =10±√102−4∙1∙21

2∙1=

10±4

2


𝑥1;2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝒙𝟏 =10+4

2= 𝟕

𝒙𝟐 =10−4

2= 𝟑


27

𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓 [𝟕 − 𝐥𝐨𝐠𝟑 (𝟐 − 𝐥𝐨𝐠𝟏

𝟐

𝒙)] =𝟏

𝟐

Kikötés I.: 𝑥 > 0

Kikötés II.: log3 (2 − log1

2

𝑥) > 0

Kikötés III.: 7 − log3 (2 − log1

2

𝑥) > 0 / + log3(… )

Hosszú kikötés helyett inkább megéri a végén ellenőrizni…

251

2 = √25 = 7 − log3 (2 − log1

2

𝑥)



𝑘

𝑛

5 = 7 − log3 (2 − log1

2

𝑥) / −5 / + log3(… )

log3 (2 − log1

2

𝑥) = 2

32 = 2 − log1

2

𝑥 / −9 / + log1

2

𝑥


log1

2

𝑥 = −7


(1

2)

−7

= 27 = 𝟏𝟐𝟖 = 𝒙

Ellenőrzés: log25 [7 − log3 (2 − log1

2

𝑥)] =1

2

log25 [7 − log3 (2 − log1

2

128)] =1

2

251

2 = 5 = 7 − log3 (2 − log1

2

128)

log3 (2 − log1

2

128) = 2

32 = 2 − log1

2

128

log1

2

128 = −7

(1

2)

−7

= 27 = 128


28

14. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket!

𝐥𝐨𝐠𝟕(𝟒𝒙 − 𝟑) ≤ 𝐥𝐨𝐠𝟕(𝒙 + 𝟏)

Kikötés: 4𝑥 − 3 > 0 𝑥 >3

4 (erősebb kikötés)

𝑥 + 1 > 0 𝑥 > −1

log.f.sz.m. nő (mivel az alapja nagyobb, mint 0, tehát a reláció nem fordul)

4𝑥 − 3 ≤ 𝑥 + 1 / −𝑥 / +3

3𝑥 ≤ 4 / : 3

𝑥 ≤4

3

Kikötéssel egyeztetve: 𝟑

𝟒< 𝒙 ≤

𝟒

𝟑

𝐥𝐨𝐠𝟒(𝟑𝒙 − 𝟓) ≤ 𝟏

Kikötés: 3𝑥 − 5 > 0 𝑥 >5

3

log4(3𝑥 − 5) ≤ log4 4


log.f.sz.m. nő

3𝑥 − 5 ≤ 4 / +5 / : 3

𝑥 ≤ 3

Kikötéssel egyeztetve: 𝟓

𝟑< 𝒙 ≤ 𝟑

𝐥𝐨𝐠𝟏

𝟑

(𝟓𝒙 − 𝟑) < −𝟑

Kikötés: 5𝑥 − 3 > 0 𝑥 >3

5

log1

3

(5𝑥 − 3) < log1

3

[(1

3)

−3]

loga 𝑎𝑥 = 𝑥

log.f.sz.m. csökken (mivel az alapja kisebb, mint 0, tehát a reláció megfordul)

5𝑥 − 3 > (1

3)

−3

= 33 = 27 / +3 / : 5

𝒙 >𝟑𝟎

𝟓= 𝟔


29

15. Oldd meg az alábbi egyenletrendszereket!

𝑰. 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 + 𝟐 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒚 = 𝟖𝑰𝑰. 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 − 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒚 = 𝟐

}

Kikötés: 𝑥; 𝑦 > 0

𝐼. log3 𝑥 + 2 ∙ log3 𝑦 = 8

log3 𝑥 + log3(𝑦2) = 8


log3(𝑥 ∙ 𝑦2) = 8


38 = 𝑥 ∙ 𝑦2


𝑥 =38

𝑦2

𝐼𝐼. log3 𝑥 − log3 𝑦 = 2

log3𝑥

𝑦= 2


𝑐)

32 =𝑥

𝑦

Behelyettesítve ide az 𝐼. egyenletet (𝑥 =38

𝑦2):

32 =

38

𝑦2

𝑦 / ∙ 𝑦

32 ∙ 𝑦 =38

𝑦2 / ∙ 𝑦2 / : 32

𝑦3 = 36 / √ 3

𝒚 = 𝟑𝟐 = 𝟗

Visszahelyettesíteni az I. egyenletbe 𝑦 = 9 értékét (𝑥 =38

𝑦2):

𝑥 =38

𝑦2 =38

92 =38

(32)2 =38

34 = 34 = 𝟖𝟏 = 𝒙


𝑎𝑛



30

𝑰. 𝟓 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 + 𝟑 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒚 = 𝟑𝑰𝑰. 𝟒 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 + 𝟐 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒚 = 𝟐

}

Kikötés: 𝑥; 𝑦 > 0

𝐼. log4(𝑥5) + log4(𝑦3) = 3

𝐼𝐼. log4(𝑥4) + log4(𝑦2) = 2 }


𝐼. log4(𝑥5 ∙ 𝑦3) = 3

𝐼𝐼. log4(𝑥4 ∙ 𝑦2) = 2 }

𝐼. 43 = 𝑥5 ∙ 𝑦3

𝐼𝐼. 42 = 𝑥4 ∙ 𝑦2 }


𝐼. 43 = 𝑥5 ∙ 𝑦3 / : 𝑥5

𝑦3 =43

𝑥5 / √ 3

𝑦 = √43

𝑥5

3=

√433

√𝑥53 =4

𝑥53

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛 = √

𝑎

𝑏

𝑛


𝑘

𝑛

𝐼𝐼. 42 = 𝑥4 ∙ 𝑦2 / behelyettesítjük 𝑦-t

42 = 𝑥4 ∙ (4

𝑥53

)2

= 𝑥4 ∙42

𝑥103

/ : 42

1 =𝑥4

𝑥103

= 𝑥4−10

3 = 𝑥2

3

𝑎𝑛


1𝑛 = 1

𝒙 = 𝟏

Visszahelyettesítünk 𝑦-ba

𝑦 =4

𝑥53

=4

153

=4

1= 𝟒 = 𝒚

1𝑛 = 1


31

16. Oldd meg a következő szöveges feladatokat!

A Föld népessége átlagosan évi 1,21%-al növekszik. 2001-ben 6,2 milliárdan éltek itt.

Idén mennyi embernek kéne a Földön élnie? Mikorra leszünk 8 milliárdan?

0. év (2001): 6,2 Mrd 1. év (2002): 6,2 ∙ 1,0121 Mrd 2. év (2003): 6,2 ∙ 1,01212 Mrd 19. év (2020): 6,2 ∙ 1,012119 = 7,792 Mrd

Tehát idén (2020-ban) 𝟕, 𝟕𝟗𝟐 milliárd lakosa van a Földnek (és valóban).

n. év: 6,2 ∙ 1,0121𝑛 = 8 Mrd

6,2 ∙ 1,0121𝑛 = 8 / : 6,2

1,0121𝑛 =8

6,2= 1,29 / vesszük a két oldal 10-es alapú logaritmusát

lg 1,0121𝑛 = lg 1,29

𝑛 ∙ lg 1,0121 = lg 1,29 / : lg 1,0121


𝑛 =lg 1,29

lg 1,0121= 21,17

Azaz bő 21 évvel később, 2022-ben várható 8 milliárd Földgolyólakó.

Egy robogót vettünk újonnan 450ezer forintért. Évente 15%-ot veszít az értékéből.

Amennyiben már nem ér 70ezer forintot, akkor a javítása már nem éri meg sajnos.

Hány év múlva kell javítás helyett már inkább lecseréljük egy nagyobb hiba esetén?

0. év: 450000 Ft 1. év: 450000 ∙ 0,85 Ft 2. év: 450000 ∙ 0,852 Ft x. év: 450000 ∙ 0,85𝑥 = 70000 Ft

450000 ∙ 0,85𝑥 = 70000 / : 450000

0,85𝑥 =70000

450000= 0,156 / vesszük a két oldal logaritmusát

lg 0,85𝑥 = lg 0,156

𝑥 ∙ lg 0,85 = lg 0,156 / : lg 0,85


𝑥 =lg 0,156

lg 0,85= 11,4

Tehát a 11. évben már nem éri meg a motort komolyabb baj esetén javítani.


32

Kis mennyiségű cukor oldódásának ideje sok vízben megközelítőleg a következő

képlettel kifejezhető: 𝑀(𝑡) = 𝑀0 ∙ 0,95𝑡, ahol 𝑀0 a beletett cukor mennyisége, 𝑀(𝑡)

pedig a még fel nem oldott cukor mennyisége 𝑡 idő múlva. A 𝑡 értékét percben mérjük

a cukor belekerülésétől kezdődően. Mennyi idő elteltével oldódik fel 50𝑔 cukor fele?

Illetve megközelítőleg az egész (99,9%-a)?

A cukor fele feloldódik: (𝑀0 = 50; 𝑀𝑡 = 25)

𝑀(𝑡) = 𝑀0 ∙ 0,95𝑡 / behelyettesítés

25 = 50 ∙ 0,95𝑡 / : 50

1

2= 0,95𝑡 / vesszük a 10-es alapú logaritmusukat

lg1

2= lg 0,95𝑡

lg1

2= 𝑡 ∙ lg 0,95 / : lg 0,95


lg

1

2

lg 0,95= 𝑡 = 13,5

Tehát kb. 𝟏𝟑, 𝟓 perc múlva oldódik fel a mennyiség fele.

A cukor egésze feloldódik: (𝑀0 = 50; 𝑀𝑡 = 0,05)

𝑀(𝑡) = 𝑀0 ∙ 0,95𝑡 / behelyettesítés

0,05 = 50 ∙ 0,95𝑡 / : 50

0,001 = 0,95𝑡 / vesszük a 10-es alapú logaritmusukat

lg 0,001 = lg 0,95𝑡

lg 0,001 = 𝑡 ∙ lg 0,95 / : lg 0,95


lg 0,001

lg 0,95= 𝑡 = 134,7

Tehát kb. 𝟏𝟑𝟒, 𝟕 perc múlva oldódik fel a mennyiség majd egésze.

Exponenciális és logaritmus - Matematikam.hu › konyv › pdf › p11.matematikam.hu.pdf...

Documents

Transcript of Exponenciális és logaritmus - Matematikam.hu › konyv › pdf › p11.matematikam.hu.pdf...