ก ำหนดกำรเชิงเส้นจ...

ก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมและกำรประยกต

ผชวยศำสตรำจำรย สปรชำ วงศอำรย

วท.ม. (คณตศำสตรประยกต)

ส ำนกวชำศกษำทวไป

มหำวทยำลยรำชภฏอดรธำน

2558

(1)

ค ำน ำ

ต ำรำ ก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมและกำรประยกต (Integer Linear Programming

and Application) เปนเอกสำรสวนหนงทใชประกอบกำรเรยนกำรสอนรำยวชำกำรคดและกำรตดสนใจ (GE40003) และรำยวชำก ำหนดกำรเชงเสน (MA07302) ทจ ำแนกเนอหำสำระเปนบทเรยน โดยมงเนนใหผศกษำไดมควำมรควำมเขำใจตวแบบก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมทชวยในกำรตดสนใจปญหำตำงๆ ทเกดขนในกำรด ำเนนงำน ซงกำรจดท ำต ำรำฉบบน ผเขยนไดศกษำคนควำจำกหนงสอ ต ำรำ ผลงำนวจย และจำกประสบกำรณทใชในกำรจดกจกรรมกำรเรยนกำรสอนแลวน ำมำเรยบเรยงเพอใหนกศกษำไดน ำไปใชประกอบกำรเรยนกำรสอน

ต ำรำเลมน ประกอบดวยเนอหำเกยวกบ ก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม กำรหำผลเฉลยดวยวธกำรคนหำผลเฉลย กำรหำผลเฉลยดวยวธกำรตดพนทออก ปญหำกำรขนสงทสมดล ปญหำกำรขนสงทไมสมดล และปญหำกำรมอบหมำยงำน

ผเขยนขอขอบพระคณผเขยนหนงสอ ต ำรำและเอกสำรตำงๆ ทไดน ำมำใชอำงองในกำรเรยบเรยงเปนต ำรำฉบบน และขอขอบพระคณบคคลทมสวนเกยวของทใหควำมชวยเหลอและก ำลงใจในกำรจดท ำต ำรำฉบบน จนกระทงส ำเรจ และหำกทำนทน ำต ำรำฉบบน ไปใชแลว มขอเสนอแนะทจะใหค ำแนะน ำแกผเขยน ซงผเขยนมควำมยนดทจะนอมรบและน ำค ำแนะน ำเหลำนนมำใชพฒนำ ปรบปรง แกไขใหต ำรำฉบบนมควำมถกตอง สมบรณมำกยงขนตอไป

สปรชำ วงศอำรย

ธนวำคม 2558

(3)

สารบญ

หนา

ค ำน ำ............................................................................................................................... (1)

สำรบญ............................................................................................................................ (3)

สำรบญภำพ..................................................................................................................... (7)

บทท 1 ก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมและกำรหำผลเฉลยดวยวธกำรคนหำผลเฉลย......... 1

รปแบบมำตรฐำนของปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม.................................. 1

ประเภทของตวแบบก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม............................................... 2

กำรหำผลเฉลยของปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม..................................... 3

วธกำรคนหำผลเฉลย.......................................................................................... 8

1. วธกำรแจกนบโดยตรง............................................................................. 8

2. วธกำรแตกกงสำขำและกำรก ำหนดขอบเขต.............................................. 11

ขนตอนท 1 กำรแตกกงสำขำของปญหำ.................................................. 12

ขนตอนท 2 กำรก ำหนดขอบเขตของปญหำ............................................. 16

3. วธกำรแจงนบโดยปรยำย......................................................................... 28

บทสรป.............................................................................................................. 51

แบบฝกหดบทท 1.............................................................................................. 52

บทท 2 กำรหำผลเฉลยดวยวธกำรตดพนทออก............................................................... 55

วธกำรตดทมสมประสทธของตวแปรมคำเปนหนง................................................ 55

สรปขนตอนกำรหำผลเฉลยดวยวธกำรตดทมสมประสทธของตวแปรมคำ

เปนหนง...................................................................................................... 56

วธกำรตดแบบเศษสวน....................................................................................... 64

กำรสรำงเงอนไขบงคบดวยกำรตดแบบเศษสวน............................................ 66

สรปขนตอนกำรหำผลเฉลยดวยวธกำรตดแบบเศษสวน................................. 67

วธกำรตดแบบจ ำนวนเตม................................................................................... 76

กำรสรำงเงอนไขบงคบดวยกำรตดแบบจ ำนวนเตม........................................ 82

สรปขนตอนกำรหำผลเฉลยดวยวธกำรตดแบบจ ำนวนเตม............................. 83

(4)

สารบญ (ตอ)

หนา

วธกำรตดแบบผสม............................................................................................ 99

รปแบบทวไปของก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมแบบผสม............................. 99

สรปขนตอนกำรหำผลเฉลยดวยวธกำรตดแบบผสม....................................... 103

บทสรป.............................................................................................................. 110

แบบฝกหดบทท 2.............................................................................................. 111

บทท 3 ปญหำกำรขนสงทสมดล...................................................................................... 115

ตวแบบก ำหนดกำรเชงเสนของปญหำกำรขนสง................................................... 115

ปญหำกำรขนสงทสมดล...................................................................................... 117

กำรหำผลเฉลยเรมตน......................................................................................... 121

1. วธกำรกฏมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ......................................................... 121

2. วธกำรประมำณของโวเกล........................................................................ 127

กำรหำผลเฉลยเหมำะสมทสดจำกกำรพฒนำผลเฉลยเรมตน................................ 138

1. วธกำรสเตปปงสโตน................................................................................ 139

2. วธกำรโมดฟำยดสทรบวชน...................................................................... 148

บทสรป.............................................................................................................. 155

แบบฝกหดบทท 3.............................................................................................. 156

บทท 4 ปญหำกำรขนสงทไมสมดล................................................................................. 159

กรณปรมำณอปทำนมำกกวำปรมำณอปสงค....................................................... 159

กรณปรมำณอปสงคมำกกวำปรมำณอปทำน...................................................... 177

ปญหำกำรขนสงทผลเฉลยมสภำพซอนสถำนะ.................................................... 188

1. ปญหำกำรขนสงทมสภำพซอนสถำนะในผลเฉลยเรมตน............................ 189

2. ปญหำกำรขนสงทมสภำพซอนสถำนะระหวำงกำรพฒนำผลเฉลย.............. 194

บทสรป.............................................................................................................. 198

แบบฝกหดบทท 4.............................................................................................. 199

(5)

สารบญ (ตอ)

หนา

บทท 5 ปญหำกำรมอบหมำยงำน.................................................................................... 203

ตวแบบก ำหนดกำรเชงเสนของปญหำกำรมอบหมำยงำน..................................... 203

ปญหำกำรมอบหมำยงำนทสมดล........................................................................ 205

กำรหำผลเฉลยของปญหำกำรมอบหมำยงำนทสมดล........................................... 209

1. กำรหำผลเฉลยของปญหำกำรมอบหมำยงำนทสมดลกรณกำรหำคำต ำสด.. 209

2. กำรหำผลเฉลยของปญหำกำรมอบหมำยงำนทสมดลกรณกำรหำคำสงสด.. 214

กำรหำผลเฉลยของปญหำกำรมอบหมำยงำนทไมสมดล....................................... 221

1. กำรหำผลเฉลยของปญหำกำรมอบหมำยงำนทไมสมดลกรณกำรหำ

คำต ำสด................................................................................................. 221

- กรณปรมำณงำนทมอบหมำยมำกกวำปรมำณเครองจกรทรบงำนได....... 221

- กรณปรมำณงำนทมอบหมำยนอยกวำปรมำณเครองจกรทรบงำนได....... 228

2. กำรหำผลเฉลยของปญหำกำรมอบหมำยงำนทไมสมดลกรณกำรหำ

คำสงสด................................................................................................. 237

- กรณปรมำณงำนทมอบหมำยมำกกวำปรมำณเครองจกรทรบงำนได....... 237

- กรณปรมำณงำนทมอบหมำยนอยกวำปรมำณเครองจกรทรบงำนได....... 245

บทสรป.............................................................................................................. 254

แบบฝกหดบทท 5.............................................................................................. 255

บรรณำนกรม................................................................................................................... 261

ภำคผนวก....................................................................................................................... 263

เฉลยแบบฝกหดทำยบท..................................................................................... 265

ดชน................................................................................................................................ 333

(7)

สารบญภาพ

ภาพท หนา

1.1 แสดงคำ Xbr ของเงอนไขบงคบใหม……............................................................ 13

1.2 กำรแตกกงสำขำปญหำจำก (IP1)....................................................................... 14

1.3 กำรแตกกงสำขำปญหำจำก (IP2)....................................................................... 15

1.4 กำรแตกกงสำขำจำก (IP4)................................................................................ 16

1.5 กำรแตกกงสำขำของปญหำทไดผลเฉลยเปนจ ำนวนเตม..................................... 17

1.6 กำรแตกกงสำขำของปญหำจำกตวอยำงท 1.6.................................................... 27

1.7 กำรแตกกงสำขำของปญหำจำกตวอยำงท 1.7.................................................... 44

1.8 กำรแตกกงสำขำของปญหำจำกตวอยำงท 1.8…................................................ 50

2.1 แสดงพนทผลเฉลยของปญหำจำกตวอยำงท 2.1 (IP1)........................................ 62

2.2 แสดงพนทผลเฉลยของปญหำทเพมเงอนไขทตยภม (IP2) จำกตวอยำงท 2.1...... 63

2.3 แสดงพนทผลเฉลยของปญหำจำกตวอยำงท 2.2 (IP1)…………………............... 74


2.5 แสดงพนทผลเฉลยของปญหำจำกตวอยำงท 2.7 (IP1)........................................ 108


1

บทท 1

ก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม

และกำรหำผลเฉลยดวยวธกำรคนหำผลเฉลย

จากการแกปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป (Linear Programming : LP) ผลเฉลยทเหมาะสมทสด (optimal solution) อาจเปนผลเฉลยทไมเปนจ านวนเตม (non-integer

solution) ซงจะเหนไดวาในบางปญหาอาจจะเปนการยากและไมเหมาะสมทจะน าผลเฉลยนไปใชในการปฏบตงานจรง อยางไรกตาม ผท าการตดสนใจสามารถบงคบใหผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดใหเปนเฉพาะตวเลขทมคาเปนจ านวนเตม (integer number) เพยงอยางเดยวได เพอใหงายตอการตดสนใจและสามารถน าไปใชปฏบตงานไดจรง ซงเรยกวธการแกปญหาทผลเฉลยทไดเปนเฉพาะจ านวนเตมนวา “ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม” (Integer Linear Programming : ILP) หรออาจจะเรยกอกอยางวา “ก าหนดการจ านวนเตม” (Integer Programming : IP) กได ทงน รปแบบของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมจะเขยนไดในลกษณะเดยวกนกบปญหาก าหนดการเชงเสนรปแบบทวไป แตจะตางกนตรงทในปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมจะมการระบคาของตวแปรทตองการตดสนใจจะตองมคาเปนจ านวนเตมเทานน

รปแบบมำตรฐำนของปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม

รปแบบมาตรฐานของก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมมอยดวยกนสองลกษณะ ทงนขนอยกบวาปญหาก าหนดการเชงเสนทพจารณาอยนน เปนปญหาในลกษณะทตองการหาคาสงสด (maximization) หรอตองการหาคาต าสด (minimization) ซงจะเขยนไดดงน ก ำหนดให จ ำนวนของกจกรรมทงหมด เทำกบ n กจกรรม

จ ำนวนของเงอนไขบงคบ (constraint) หรอ จ ำนวนทรพยำกรทม เทำกบ m เงอนไข

P คอ ฟงกชนจดประสงค

Xj คอ ตวแปรทตองกำรตดสนใจตวท j Cj คอ สมประสทธของตวแปรตวท j ในฟงกชนจดประสงค ซงหมำยถง ก ำไรตอหนวย หรอ ตนทนตอหนวย ฯลฯ

aij คอ สมประสทธของตวแปรท j ในเงอนไขบงคบขอท i bi คอ คำคงททำงขวำมอของเงอนไขบงคบขอท i

2

ฟงกชนจดประสงค (maximize หรอ minimize) P = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn เงอนไขบงคบ a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn (, , , หรอ = ) b1

a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn (, , , หรอ = ) b2

am1X1 + am2X2 + ... + amnXn (, , , หรอ = ) bm

Xj 0

และ Xj เปนเลขจ ำนวนเตม โดยท i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3, …, n

ประเภทของตวแบบก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม

ตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (linear integer programming model) คอ ตวแบบก าหนดการเชงเสนทวไป เพยงแตเพมเงอนไขบงคบในตวแบบทตวแปรทตองการตดสนใจ(decision variable) จะตองมคาเปนจ านวนเตม โดยสามารถแบงก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมออกไดเปน 3 ประเภท ดงน 1. ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทงหมด (all integer linear programming) คอ ตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม ทมตวแปรทตองการตดสนใจทกตวมคาเปนจ านวนเตม เชน

ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 6X1 + 5X2 + 10X3 เงอนไขบงคบ 1) 15X1 + 35X2 + 45X3 850

2) 8X1 + 18X2 + 38X3 900

3) 10X1 + 15X2 + 40X3 1,000

X1 , X2 , X3 0 และตวแปรทกตวมคาเปนจ านวนเตม

2. ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมแบบผสม (mixed integer linear programming) คอ ตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม ทตวแปรทตองการตดสนใจบางตวมคาเปนจ านวนเตม โดยตวแปรอนๆ จะมคาเปนจ านวนเตมหรอไมเปนจ านวนเตมได เชน

ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 9X1 + 10X2 + 14X3 เงอนไขบงคบ 1) 125X1 + 80X2 + 78X3 550

2) 28X1 + 60X2 + 25X3 400

3) 80X1 + 90X2 + 55X3 800

X1 , X2 , X3 0 และ X1 , X2 มคาเปนจ านวนเตม

... ... ... ... ...

3

3. ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมศนย-หนง (zero-one integer linear programming) หรอ ปญหาก าหนดการเชงเสนแบบทวภาค (Binary Linear Programming : BLP หรอ BP) คอ ตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทมตวแปรทตองตดสนใจมคาเปนศนยหรอหนงเทานน เชน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 16X1 + 15X2 + 20X3 เงอนไขบงคบ 1) 55X1 + 85X2 + 42X3 90

2) 16X1 + 43X2 + 35X3 70

3) 15X1 + 45X2 + 85X3 85

X1 , X2 , X3 = 0 หรอ 1

กำรหำผลเฉลยของปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม

การหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมสามารถท าไดหลายวธเชนเดยวกบการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนรปแบบทวไป ไดแก วธกรำฟ (graphical method) วธซมเพลกซ (simplex method) และวธกำรใชโปรแกรมส ำเรจรป ซงผลเฉลยทไดใน ตวแบบก าหนดการเชงเสนรปแบบทวไปโดยไมตองค านงถงเงอนไขบงคบทคาของตวแปรทตองการตดสนใจจะตองมคาเปนจ านวนเตม ถาผลเฉลยทไดนนสอดคลองกบเงอนไขบงคบทคาของตวแปรทตองการตดสนใจ คอ มคาเปนจ านวนเตมแลวผลเฉลยทไดนนจะเปนผลเฉลยตามทตองการของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวย แตถาผลเฉลยทไดนนมคาไมเปนจ านวนเตมจะตองท าการเพมเงอนไขบงคบทจะท าใหผลเฉลยเปนจ านวนเตม แลวท าการปรบปรงผลเฉลยใหสอดคลองกบเงอนไขบงคบทคาของตวแปรทตองการตดสนใจจะตองมคาเปนจ านวนเตม หรอใชวธการทสามารถท าไดงายและสะดวกทสด คอ การใชวธการปดเศษ (round-off) เพอท าการปดผลเฉลยของปญหาทมต วเลขทมคำไมเปนจ ำนวนเตม (non-integer number) ใหมคาเปนตวเลขจ านวนเตม ซงสามารถแสดงไดจากตวอยางตอไปน

ตวอยำงท 1.1 จงหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน

ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 30X1 + 50X2 เงอนไขบงคบ 1) X1 + 2X2 14

2) 5X1 + X2 18

X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม วธท ำ ท าการหาผลเฉลยส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมขางตน โดยไมตองค านงถงเงอนไขบงคบทผลเฉลยจะตองมคาเปนจ านวนเตม จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ

4

X1 = 2.444 , X2 = 5.777

(maximize) P = 362.222

จะเหนไดวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดน เปนตวเลขทมคาไมเปนจ านวนเตมตามทตองการ ดงนนจะท าการปดเศษของผลเฉลย ไดดงน X1 = 2.444 ปดเปน 2

X2 = 5.777 ปดเปน 6

แทนคา X1 = 2 และ X2 = 6 ในเงอนไขบงคบของปญหาจะพบวาสอดคลองกบเงอนไขบงคบทงหมด ดงน เงอนไขบงคบขอท 1) X1 + 2X2 14

(2) + 2(6) = 14 14

เงอนไขบงคบขอท 2) 5X1 + X2 18

5(2) + (6) = 16 18

ดงนน การใชวธการปดเศษหาผลเฉลยของปญหาทผลเฉลยจะตองมคาเปนจ านวนเตมนน ผลเฉลยทไดส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมในตวอยางน คอ

X1 = 2 , X2 = 6 (maximize) P = 30X1 + 50X2

= 30(2) + 50(6) = 360


ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 10X2 + 20X3 เงอนไขบงคบ 1) X1 + 3X2 + X3 21

2) 2X1 + X2 + X3 14

3) X1 + X2 + 5X3 36

X1 , X2 , X3 0 และมคาเปนจ านวนเตม

วธท ำ ท าการหาผลเฉลยส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมขางตน โดยไมตองค านงถงเงอนไขบงคบทผลเฉลยจะตองมคาเปนจ านวนเตม จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ

X1 = 1.818 , X2 = 4.409 , X3 = 5.954

(minimize) P = 181.363

5

จะเหนไดวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดน เปนตวเลขทมคาไมเปนจ านวนเตมตามทตองการ ดงนนจะท าการปดเศษผลเฉลยไดดงน X1 = 1.818 ปดเปน 2

X2 = 4.409 ปดเปน 4

X3 = 5.954 ปดเปน 6

แทนคา X1 = 2 , X2 = 4 และ X3 = 6 ในเงอนไขบงคบของปญหาจะพบวาไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบขอท 1 ดงน X1 + 3X2 + X3 21

(2) + 3(4) + (6) = 20 21 เปนเทจ

ดงนน จากการใชวธการปดเศษหาผลเฉลย ถงแมจะท าไดงายและไดคาของตวแปรทตองตดสนใจทเปนตวเลขทมคาเปนจ านวนเตมแลวกตาม แตคาของตวแปรทไดนนอาจไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสดส าหรบปญหาทพจารณาอย เพราะตวแปรทไดอาจไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบของปญหาซงผลเฉลยเหมาะสมทสดส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมในตวอยางน คอ X1 = 2, X2 = 5, X3 = 6 เพราะเมอแทนคาลงไปในเงอนไขบงคบของปญหา จะพบวาสอดคลองกบเงอนไขบงคบทงหมด ดงน เงอนไขบงคบขอท 1) X1 + 3X2 + X3 21

(2) + 3(5) + (6) = 23 21

เงอนไขบงคบขอท 2) 2X1 + X2 + X3 14

2(2) + (5) + (6) = 15 14

เงอนไขบงคบขอท 3) X1 + X2 + 5X3 36

(2) + (5) + 5(6) = 37 36

และ (minimize) P = 10X1 + 10X2 + 20X3

= 10(2) + 10(5) + 20(6) = 190

จากตวอยางน แสดงใหเหนวาการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม จากการใชวธการปดเศษหาผลเฉลยไมไดท าใหไดผลเฉลยเหมาะสมทสดเสมอไป


ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 20X1 + 10X2 + 5X3 เงอนไขบงคบ 1) 3X1 + 4X2 + X3 45

2) 8X1 + 5X2 + X3 85

6

3) 5X1 + X2 + 2X3 55


วธท ำ ท าการหาผลเฉลยส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมขางตน โดยไมตองค านงถงเงอนไขบงคบทผลเฉลยจะตองมคาเปนจ านวนเตม จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ

X1 = 7.205 , X2 = 3.970 , X3 = 7.500 และ (maximize) P = 221.3

จะเหนไดวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดน เปนตวเลขทมคาไมเปนจ านวนเตมตามทตองการ ดงนนจะท าการปดเศษของผลเฉลย ไดดงน X1 = 7.205 ปดเปน 7

X2 = 3.970 ปดเปน 4

X3 = 7.500 ปดเปน 7

แทนคา X1 = 7, X2 = 4 และ X3 = 7 ในเงอนไขบงคบของปญหาจะพบวาสอดคลองกบเงอนไขบงคบทงหมด ดงน เงอนไขบงคบขอท 1) 3X1 + 4X2 + X3 45

3(7) + 4(4) + (7) = 44 45

เงอนไขบงคบขอท 2) 8X1 + 5X2 + X3 85

8(7) + 5(4) + (7) = 83 85

เงอนไขบงคบขอท 3) 5X1 + X2 + 2X3 55 5(7) + (4) + 2(7) = 53 55

ดงนน การใชวธการปดเศษหาผลเฉลยของปญหาทผลเฉลยจะตองมคาเปนจ านวนเตมนน ผลเฉลยทไดส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมในตวอยางน คอ

X1 = 7 , X2 = 4 , X3 = 7

(maximize) P = 20X1 + 10X2 + 5X3

= 20(7) + 10(4) + 5(7) = 215

แตผลเฉลยทไดนท าใหคาของฟงกชนจดประสงคมคานอยกวาคาของฟงกชนจดประสงคทเปนจรง คอ P = 221.323 แสดงวาผลเฉลยทไดอาจไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสดกเปนไปได ซงสามารถแสดงวธการปดเศษไดอกแบบ ดงน X1 = 7.205 ปดเปน 7

X2 = 3.970 ปดเปน 4

X3 = 7.500 ปดเปน 8

7

แทนคา X1 = 7, X2 = 4 และ X3 = 8 ในเงอนไขบงคบของปญหาจะพบวาสอดคลองกบเงอนไขบงคบทงหมด ดงน เงอนไขบงคบขอท 1) 3X1 + 4X2 + X3 45

3(7) + 4(4) + (8) = 45 45

เงอนไขบงคบขอท 2) 8X1 + 5X2 + X3 85

8(7) + 5(4) + (8) = 84 85

เงอนไขบงคบขอท 3) 5X1 + X2 + 2X3 55 5(7) + (4) + 2(8) = 55 55

ดงน น การใชวธการปดเศษหาผลเฉลยในแบบท 2 ผลเฉลยทไดส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คอ

X1 = 7 , X2 = 4 , X3 = 8

(maximize) P = 20X1 + 10X2 + 5X3

= 20(7) + 10(4) + 5(8) = 220

จากการใชวธการปดเศษหาผลเฉลยทไดในแบบท 2 มคาของฟงกชนจดประสงคมากกวาแบบแรก แสดงวาการใชวธการปดเศษบางครงผลเฉลยทไดอาจไมใชผลเฉลยทเหมาะสมทสดกเปนไปได จากตวอยางทไดแสดงขางตนน การใชวธการปดเศษนนอาจท าใหไดคาของตวแปรทตองตดสนใจมคาเปนจ านวนเตม แตคาของตวแปรดงกลาวอาจไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบทก าหนดให หรอในกรณทสอดคลองกบเงอนไขบงคบแตผลเฉลยอาจไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสด เพราะอาจจะเปนเพยงผลเฉลยทเปนไปไดเทานน ตอไปจะไดกลาวถงวธการทนยมใชในการหาผลเฉลยทเหมาะสมทสดส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม ซงจะแสดงได 2 วธการ คอ

1. วธการคนหาผลเฉลย (enumeration method) 2. วธการตดพนทออก (cutting planes method) โดยในขนตนนจะท าการศกษาวธการคนหาผลเฉลยกอน สวนวธการตดพนทออกจะท าการศกษาในบทตอไป มรายละเอยดดงตอไปน

8

วธกำรคนหำผลเฉลย

การหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวยวธการคนหาผลเฉลยสามารถจ าแนกได 3 วธดวยกน ดงน 1. วธกำรแจงนบโดยตรง การหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวยวธการคนหาผลเฉลยนน มการพฒนามาจากแนวความคดทวา จากการหาผลเฉลยของก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คาของตวแปรตดสนใจทไดจะตองมคาเปนจ านวนเตมเสมอ ดงนน จ านวนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมจงมจ านวนจ ากดหรอเปนจ านวนทนบได (finite) เสมอ เพราะฉะนน จะสามารถท าการประเมนคาของผลเฉลยทเปนไปไดของปญหาตางๆ นไดทกคา ซงวธการคนหา ผลเฉลยโดยการประเมนคาหาผลเฉลยทกคาน จะเรยกอกอยางวา วธการแจงนบโดยตรง (exhaustive method) ซงเปนวธการหาผลเฉลยทท าไดงายและสะดวกเชนเดยวกบวธการปดเศษ เพราะเพยงแตท าประเมนคาของผลเฉลยตางๆ ทเปนไปไดใหครบทกคาเทานน ซงสามารถแสดงไดดงตวอยางตอไปน

ตวอยำงท 1.4 จงหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปนดวยวธการแจงนบโดยตรง ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15

2) 5X1 + X2 10

X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม

วธท ำ การหาผลเฉลยทเหมาะสมทสดในตวอยางนโดยวธการแจงนบโดยตรงนนจะพจารณาเงอนไขบงคบ ดงน เงอนไขบงคบท 1) คาของตวแปร X1 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 7

คาของตวแปร X2 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 3 เงอนไขบงคบท 2) คาของตวแปร X1 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 2 คาของตวแปร X2 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 10

ดงนนเมอท าการพจารณาเงอนไขบงคบทงสองพรอมกนจะสรปไดวา คาของตวแปร X1 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 2

คาของตวแปร X2 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 3

9

และสามารถสรางตารางแสดงการประเมนคาของฟงกชนจดประสงค ไดดงน จาก (maximize) P = 15X1 + 10X2

X2

X1

0

1

2

3

0 0 10 20 30

1 15 25 35 45

2 40 - - -

จากตารางจะเหนไดวาการประเมนคาของฟงกชนจดประสงคของตวแปร X1 ทมคาอยระหวาง 0 ถง 2 และคาของตวแปร X2 ทมคาอยระหวาง 0 ถง 3 ส าหรบคาฟงกชนจดประสงคทไดจะมตวแปร X1 และตวแปร X2 ทสอดคลองกบเงอนไขบงคบทก าหนดให แตถาไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบทก าหนดใหจะไมท าการประเมนคาของฟงกชนจดประสงค เชน กรณทสอดคลองกบเงอนไขบงคบ คาของตวแปร X1 เทากบ 1 และคาของตวแปร X2 เทากบ 2 ซงจะสอดคลองกบเงอนไขบงคบทงสอง ดงน เงอนไขบงคบท 1) 2X1 + 4X2 15 2(1) + 4(2) = 10 15 เงอนไขบงคบท 2) 5X1 + X2 10

5(1) + (2) = 7 10

ท าการแทนคาของตวแปรในฟงกชนจดประสงค จะได

P = 15X1 + 10X2 = 15(1) + 10(2) = 35

กรณทไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบ คาของตวแปร X1 เทากบ 2 และคาของตวแปร X2

เทากบ 1 ซงจะเหนวาไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 2 ดงน 5X1 + X2 10

5(2) + (1) = 11 10 เปนเทจ

10

ดงนนจงไมท าการประเมนคาของฟงกชนจดประสงคในตาราง จากการประเมนคาของฟงกชนจดประสงคในตารางจะไดผลเฉลยทเหมาะสมทสด คอ คาของตวแปร X1 เทากบ 1

คาของตวแปร X2 เทากบ 3

คาของฟงกชนจดประสงค เทากบ 45

จากตวอยางขางตนจะเหนไดวาการหาคาของตวแปร X1 และตวแปร X2 จะตองท าการประเมนคาผลเฉลยทงหมด 12 ชด (3 X 4 = 12) ซงเปนจ านวนทไมมากนกสามารถท าการประเมนไดโดยตรง แตในบางปญหาถาผลเฉลยมจ านวนมากเกนไปซงเปนการยากทจะท าการประเมนคาผลเฉลยทงหมดไดครบทกคา ดงตวอยางตอไปน

ตวอยำงท 1.5 จงหาผลเฉลยของปญหาการวางแผนการผลตสนคา บรษทอดรการผลต ตองการผลตสนคาออกขายจ านวน 3 แบบ คอ แบบ A แบบ B และแบบ C ซงผจดการบรษทตองการทราบวาจะตองผลตสนคาอยางละเทาไรออกมาขายจงจะท าใหไดก าไรมากทสด โดยมขอมลจากฝายผลต ดงน สนคาแบบ A ตองใชแรงงานคน 5 ชวโมง ใชแรงงานเครองจกร 8 ชวโมง และใชไมจ านวน 10 เมตร สนคาแบบ B ตองใชแรงงานคน 4 ชวโมง ใชแรงงานเครองจกร 13 ชวโมง และใชไมจ านวน 9 เมตร และสนคาแบบ C ตองใชแรงงานคน 10

ชวโมง ใชแรงงานเครองจกร 6 ชวโมง และใชไมจ านวน 10 เมตร โดยทบรษทมเวลาใหคนงานท างานไดไมเกน 200 ชวโมง มเวลาใหเครองจกรท างานไดไมเกน 400 ชวโมง และมไมในการผลตทงหมด 300 เมตร ซงฝายการตลาดแจงวาก าไรตอหนวยของสนคาทงสามแบบ คอ 200 บาท 100

บาท และ 150 บาท ตามล าดบ วธท ำ จากปญหาสามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมไดดงตอไปน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 200X1 + 100X2 + 150X3 เงอนไขบงคบ 1) 5X1 + 4X2 + 10X3 200

2) 8X1 + 13X2 + 6X3 400

3) 10X1 + 9X2 + 10X3 300

X1 , X2 , X3 0 และมคาเปนจ านวนเตม การหาผลเฉลยทเหมาะสมทสดในตวอยางนโดยวธการแจงนบโดยตรงนนจะพจารณาเงอนไขบงคบ โดยทเง อนไขบงคบท 1 จะได

คาของตวแปร X1 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 40 คาของตวแปร X2 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 50 คาของตวแปร X3 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 20

11

จากเงอนไขบงคบท 2 จะได

คาของตวแปร X1 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 50 คาของตวแปร X2 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 30


จากเงอนไขบงคบท 3 จะได


คาของตวแปร X2 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 33 คาของตวแปร X3 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 30

เมอท าการพจารณาเงอนไขบงคบทงสามพรอมกนจะสรปไดวา คาของตวแปร X1 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 30 (31 คา) คาของตวแปร X2 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 30 (31 คา) คาของตวแปร X3 มคาทเปนไปไดอยระหวาง 0 ถง 20 (21 คา)

ดงนนจะเหนไดวาจ านวนของผลเฉลยทตองท าการประเมนมทงหมด 20,181 ชด ซงค านวณไดจาก (31 X 31 X 21 = 20,181) ซงเปนการยากททางบรษทจะท าการประเมนคาของ ผลเฉลยไดครบทกชด แตถาบรษทจะท าการประเมนจรงอาจจะท าใหเสยเวลาและงบประมาณเปนจ านวนมาก

จากการหาผลเฉลยโดยการประเมนคาหรอการแจงนบโดยตรงน เปนวธการหาผลเฉลย ทท าไดงายแตวธการนมขอเสย คอ ถาผลเฉลยมจ านวนมากเกนไปจะเปนการยากทจะประเมนคาผลเฉลยทงหมดไดครบ ซงถาเปนปญหาเกยวกบการท าธรกจอาจจะท าใหเสยเวลาและงบประมาณจ านวนมากในการหาผลเฉลยทเหมาะสมทสด ดงนน จงตองมวธทดและเหมาะสมกวาวธการคนหาผลเฉลยโดยการประเมนคาของผลเฉลยทกชด โดยจะไดศกษาในหวขอตอไป

2. วธกำรแตกกงสำขำและกำรก ำหนดขอบเขต จากการหาผลเฉลยของก าหนดการเชงเสนผลทวไป ผลเฉลยทเปนไปไดอาจมหลายชด ดงนนจะตองท าการคนหาผลเฉลยทเปนไปไดเพยงหนงชดเทานนทท าใหไดผลเฉลยเหมาะสมทสด แตถาจ านวนของผลเฉลยทเปนไปไดมจ านวนมากซงเปนการยากทจะท าการคนหาผลเฉลยใหครบทกชด เพราะฉะนนในหวขอนจะท าการศกษาวธการทไมตองท าการประเมนคาของผลเฉลยทเปนไปไดใหครบทกชด แตจะท าการประเมนคาแคบางชดเทานน ซงวธการคนหาผลเฉลยโดยการประเมนคาของผลเฉลยทเปนไปไดแคบางชดนจะใชวธการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขต (branch and bound method) ซงมข นตอนในการด าเนนการดงรายละเอยดตอไปน

12

ขนตอนท 1 กำรแตกกงสำขำของปญหำ การหาผลเฉลยของ “ปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม” เขยนแทนดวย (IP1) ซงสามารถท าไดโดยการเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปน “ปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป ” เขยนแทนดวย (LP1) แลวท าการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป ถาผลเฉลยทไดเปนจ านวนเตมแลว ผลเฉลยทไดนจะเปน ผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวย แตถาเฉลยทไดไมเปนจ านวนเตมแสดงวา ผลเฉลยทไดนไมเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม ดงนนจะตองท าการหา ผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม โดยการเพมเงอนไขขอบงคบใหมเพมเตม เขาไป สามารถแสดงไดดงน จากปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม

ฟงกชนจดประสงค (maximize หรอ minimize) P = CX เงอนไขบงคบ AX b

X 0 และมคาเปนจ านวนเตม

พจารณาปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป

ฟงกชนจดประสงค (maximize หรอ minimize) P = CX เงอนไขบงคบ AX b

X 0

ถาผลเฉลยของ(LP1) เปนจ านวนเตม ผลเฉลยทไดจะเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (IP1) ดวย แตถาผลเฉลยของ (LP1) ไมเปนจ านวนเตม จะตองท าการหาผลเฉลยตอไปโดยการเพมเงอนไขขอบงคบใหมเขาไปในตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเดม ดงนนจะไดตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหมแลวท าการหาผลเฉลยใหมตอไป และการหาเงอนไขขอบงคบใหมทจะเพมเตมเขาไป สามารถแสดงไดดงตอไปน

จากการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป ผลเฉลยเหมาะสมทสด ทได คอ ตวแปรทเรยกวา ตวแปรพนฐาน (basic variable) เขยนแทนดวย Xbr โดยทจ านวนตวแปรพนฐานจะเทากบจ านวนของเงอนไขบงคบ (m เงอนไข) และถาตวแปรพนฐานท r (1 r m) มคาเปนจ านวนเตมแลวผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวย แตถาตวแปรพนฐานท r มคาไมเปนจ านวนเตม คอ มคาเปนเศษสวน (เขยนแทนดวย yr0) แลวผลเฉลยทไดจะไมเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเชนกน และจะตองท าการหา ผลเฉลยตอไปโดยการเพมเงอนไขขอบงคบใหม ดงน

(IP1)

(LP1)

13

สมมตใหผลเฉลยของปญหาทไดไมเปนจ านวนเตม คอ ตวแปรพนฐานมคาไมเปนจ านวนเตม ดงนนจะได Xbr = yr0 = [yr0] + fr0

โดยท [yr0] คอ คาจ านวนเตมทนอยกวาคาของ yr0 และ fr0 คอ คาทเปนเศษของ yr0

ยกตวอยางเชน จากการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสน ไดผลเฉลยเปนตวแปรพนฐาน Xbr มคาเทากบ 8.75 ดงนน จ านวนเตมของ Xbr คอ [8.75] = 8 และคาทเปน

เศษ คอ fr0 = 0.75

ดงนน ถาคาของตวแปรพนฐานมคาไมเปนจ านวนเตม จะตองท าการเพมเงอนไขบงคบใหมโดยจะก าหนดใหคาของตวแปรพนฐานเปนจ านวนเตม ดงน 1) Xbr ≤ [yr0] หรอ

2) Xbr ≥ [yr0] + 1 และถาก าหนดให ‹yr0› = [yr0] + 1 ดงนนจะได Xb ≥ ‹yr0›

ถาท าการเตมเงอนไขบงคบท 1 จะเปนการบงคบใหคาของ Xbr ใหม มคานอย

กวาหรอเทากบคาจ านวนเตมทนอยกวาคาของ yr0 และถาเตมเงอนไขบงคบท 2 จะเปนการบงคบ

ใหคาของ Xbr ใหม มคามากกวาหรอเทากบคาจ านวนเตมทนอยกวาคาของ yr0 บวกดวย 1

สามารถแสดงไดดงแผนภาพ ดงตอไปน

ภาพท 1.1 แสดงคา Xbr ของเงอนไขบงคบใหม

จะเหนไดวาเมอเตมเงอนไขบงคบใหม คอ Xbr ≤ [yr0] หรอ Xbr ≥ ‹yr0› ลง

ไปในตวแบบก าหนดการเชงเสนเดม โดยเงอนไขนจะท าการตดคาทอยระหวาง ([yr0] , ‹yr0›) ซงจะ

เปนการตดคาของ yr0 ทเปนเศษสวนระหวางชวง [yr0] ถง ‹yr0› นนเอง

yr0 [yr0] ‹yr0›

Xbr ≤ [yr0] Xbr ≥ ‹yr0›

14

จากวธการเตมเงอนไขบงคบใหมทท าใหคาของตวแปรพนฐานเปนจ านวนเตมนจะเรยกวา กำรแตกกงสำขำของปญหำ (branching)

จากปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป (LP1) ทท าการพจารณาอย ถาผลเฉลยไมเปนจ านวนเตมจะตองท าการหาผลเฉลยใหม โดยการพจารณาปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเดมแตเพมเงอนไขบงคบใหม ดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize หรอ minimize) P = CX (IP2) เงอนไขบงคบ AX b

Xbr ≤ [yr0] X 0 และมคาเปนจ านวนเตม

หรอ พจารณาปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเดมแตเพมเงอนไขบงคบใหม

ฟงกชนจดประสงค (maximize หรอ minimize) P = CX (IP3) เงอนไขบงคบ AX b

Xbr ≥ ‹yr0› X 0 และมคาเปนจ านวนเตม

สามารถแสดงขนตอนการแตกกงสาขาปญหาไดดงแผนภาพตอไปน

ภาพท 1.2 การแตกกงสาขาปญหาจาก (IP1)

Xbr ≤ [yr0]

IP1

IP2 IP3

Xbr ≥ ‹yr0›

15

ตอไปจะพจารณาการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม(IP2) โดยการเปลยนปญหา (IP2) ใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป (LP2) แลวท าการหาผลเฉลยของปญหา (LP2) ถาผลเฉลยทไดไมเปนจ านวนเตมแสดงวาเปนผลเฉลยทไดยงไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบ ดงนนจะตองท าการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP2) เชนเดยวกนกบการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP1) แตถาผลเฉลยทไดเปนจ านวนเตมแสดงวาเปนผลเฉลยทสอดคลองกบเงอนไขบงคบแลวจะท าการหยดการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP2) แลวจะยอนกลบมาพจารณาการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (IP3) ซงวธการนจะเรยกวา กำรท ำยอนกลบ (backtracking) และถาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสน (IP3) เปนจ านวนเตมจะท าการหยดการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP3) แตถาผลเฉลยทไดไมเปนจ านวนเตมจะท าการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP3) ตอไป

สามารถแสดงขนตอนการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP2) ไดดงแผนภาพตอไปน

ภาพท 1.3 การแตกกงสาขาปญหาจาก (IP2)

จากภาพท 1.3 จะท าการพจารณาการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการ เชงเสนจ านวนเตม (IP4) ถาผลเฉลยทไดไมเปนจ านวนเตมแสดงวาเปนผลเฉลยทยงไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบ ดงนนจะท าการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP4) แตถาผลเฉลยทไดเปนจ านวนเตมแสดงวาเปนผลเฉลยทสอดคลองกบเงอนไขบงคบแลวจะท าการหยดการแตกกงสาขาปญหาจาก(IP4) แลวจะยอนกลบมาพจารณาการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (IP5) ถาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสน (IP5) เปนจ านวนเตมจะท าการหยดการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP5) แตถาผลเฉลยทไดไมเปนจ านวนเตมจะท าการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP5) ตอไป

Xbr ≤ [yr0]

IP1

IP2 IP3

Xbr ≥ ‹yr0›

IP5 IP4

Xbr ≤ [yr0] Xbr ≥ ‹yr0›

16

สามารถแสดงขนตอนการแตกกงสาขาจาก (IP4) ไดดงแผนภาพตอไปน

ภาพท 1.4 การแตกกงสาขาจาก (IP4)

ในท านองเดยวกนจากภาพท 1.4 จะท าการพจารณาการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (IP6) ถาผลเฉลยทไดเปนจ านวนเตมจะท าการหยดการแตกกงสาขาปญหาจาก (IP6) แลวยอนกลบมาพจารณาการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม(IP7) ตอไป แตจะเหนไดวาในกระบวนการท ายอนกลบน ยงมปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม(IP5) และ (IP3) อกทจะตองท าการพจารณาการหาผลเฉลย ซงถาท าการพจารณาทกปญหาอาจจะท าใหเกดความยงยากและเสยเวลาในการหาผลเฉลย ดงนนจะตองมวธการเลอกปญหาทเหมาะสมทจะท าการหาผลเฉลย ซงจะไดศกษาในขนตอนตอไป

ขนตอนท 2 กำรก ำหนดขอบเขตของปญหำ จากวธการแตกกงสาขาของปญหาเพอหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการ เชงเสนจ านวนเตม คอ การแตกกงสาขาของปญหาไปเรอยๆ จนกวาผลเฉลยทไดจะเปนจ านวนเตมจงจะหยดการแตกกงสาขาของปญหาทพจารณาอย แลวท าการยอนกลบมาพจารณาปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทไดแตกกงสาขามาจากปญหาเดยวกนกบทไดผลเฉลยเปนจ านวนเตมแลว ซงในการท ายอนกลบจะตองท าการพจารณากอนวาปญหาทจะท าการหาผลเฉลยน

Xbr ≤ [yr0]

IP1

IP2 IP3

Xbr ≥ ‹yr0›

IP5 IP4

IP7 IP6

17

เหมาะสมทจะพจารณาหรอไม โดยใชคาของฟงกชนจดประสงคในการพจารณาเปรยบเทยบวาปญหาใหมทจะพจารณาจะใหผลเฉลยทดกวาผลเฉลยทไดจากปญหาทมผลเฉลยเปนจ านวนเตมแลวหรอไม จากการใชคาของฟงกชนจดประสงคในการพจารณาเปรยบเทยบปญหาวาสมควรทจะพจารณาหาผลเฉลยหรอไมจะเรยกวา กำรก ำหนดขอบเขตของปญหำ (bound) สามารถแสดงขนตอนการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขตของปญหา ไดดงแผนภาพตอไปน

ภาพท 1.5 การแตกกงสาขาของปญหาทไดผลเฉลยเปนจ านวนเตม

จากภาพท 1.5 การหาผลเฉลยทไดจากการแตกกงสาขาของปญหาจะได ผลเฉลยเปนจ านวนเตมทปญหา (IP6) ดงนนจงจะหยดการแตกกงสาขาจากปญหา (IP6) แลวตองยอนกลบไปพจารณาปญหา (IP7) ซงแตกกงสาขาออกมาจากปญหา (IP4) เหมอนกบปญหา (IP6) แตตองพจารณากอนวาปญหา (IP7) เหมาะสมทจะท าการปรบปรงเพอหาผลเฉลยหรอไม โดยใชการเปรยบเทยบคาของฟงกชนจดประสงคของปญหา (IP7) กบปญหา (IP6) ถาท าการปรบปรงคาของฟงกชนจดประสงคของปญหา (IP7) แลวจะดขนกวาคาของฟงกชนจดประสงคของปญหา (IP6) หรอไม เพราะถาปรบปรงแลวคาของฟงกชนจดประสงคของปญหา (IP7) ไมดขนกวาปญหา (IP6) กไมจ าเปนทจะตองแตกกงสาขาจากปญหา (IP7) แตถาเปรยบเทยบคาของฟงกชนจดประสงคแลว

ผลเฉลยเปนจ ำนวนเตม

Xbr ≤ [yr0]

IP1

IP2 IP3

Xbr ≥ ‹yr0›

IP5 IP4

IP7 IP6

18

ปญหา (IP7) ดขนกวาปญหา (IP6) จะท าการแตกกงสาขาของปญหา (IP7) ตอไป และถาเกดกรณทคาของฟงกชนจดประสงคของปญหา (IP7) ไมดขนกวาปญหา (IP6) แลวจะท าการพจารณาปญหา(IP5) ตอไป

ถาการปรบปรงคาของฟงกชนจดประสงคแลวปญหา (IP5) ดขนกวาปญหา(IP6) แลวจะท าการแตกกงสาขาของปญหา (IP5) แตถาการปรบปรงคาของฟงกชนจดประสงคแลวปญหา (IP5) ไมดข นกวาปญหา (IP6) แลวจะท าการพจารณาปญหา (IP3) ตอไป การแตกกงสาขาของปญหาจะท าไปเรอยๆ จนกระทงไดขอสรปประการใดประการหนง ดงตอไปน 1. คาของฟงกชนจดประสงคของปญหาทก าลงจะพจารณาท าการแตกกงสาขา ไมดขนกวาคาของฟงกชนจดประสงคทมผลเฉลยเปนจ านวนเตม หรอ

2. ปญหาทก าลงพจารณาอยน น เปนปญหาทไมมผลเฉลยท เปนไปได(infeasible solution) หรอ

3. ไดผลเฉลยทสอดคลองกบเงอนไขบงคบทวาคาของตวแปรตดสนใจหรอ ตวแปรพนฐานตองมคาเปนจ านวนเตม

กรณทปญหาก าหนดการเชงเสนทก าลงพจารณาอยมขอสรปอยางใดอยางหนงขางตนแลวไมตองพจารณาการแตกกงสาขาจากปญหานนอกตอไป นนหมายความวาปญหาก าหนดการเชงเสนทก าลงพจารณาอย ไดยตการพจารณาการแตกกงสาขาแลว ซงจะเหนไดวาในการก าหนดขอบเขตของปญหาจะเปนการชวยลดจ านวนปญหาก าหนดการเชงเสนทจะตองท าการพจารณาใหนอยลงซงจะท าใหสะดวกตอการหาผลเฉลยนนเอง และกรณทตวแปรพนฐานทเปน ผลเฉลยเหมาะสมทสดมคาไมเปนจ านวนเตมหลายตวจะท าการเลอกตวแปรทมคาไมเปนจ านวนเตมเพยงหนงตวเทานนเพอใชในการเรมตนการแตกกงสาขาของปญหาซงสามารถเลอกตวแปร ตวใดกอนกได (สามารถใชหลกเกณฑในการเลอกตวแปรทมคาไมเปนจ านวนเตม ไดโดย การพจารณาอตราสวนระหวางคาสมประสทธของตวแปรในฟงกชนจดประสงค หรอ Cj กบคา สมประสทธของตวแปรในเงอนไขบงคบ หรอ aij โดยจะเลอกตวแปรทมอตราสวนมากทสด) สามารถแสดงไดดวยตวอยางตอไปน

ตวอยำงท 1.6 จงหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม จากตวอยางท 1.4 โดยใชวธการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขตของปญหา ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15

2) 5X1 + X2 10


(IP1)๗

19

วธท ำ เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไปและท าการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2

เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15

2) 5X1 + X2 10

X1 , X2 0

จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 + 0S1 + 0S2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 15

2) 5X1 + 1X2 + 0S1+ 1S2 = 10

X1 , X2 , S1 , S2 0

ตารางซมเพลกซท 1 (ตารางเรมตน) Cj 15 10 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

0 S1 2 4 1 0 15

0 S2 5 1 0 1 10

Pj 0 0 0 0 0

(Cj – Pj) 15 10 0 0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = 15 , S2 = 10 และ (maximize) P = 0

(LP1)

20

ตารางซมเพลกซท 2

Cj 15 10 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

0 S1 0 18

5 1 2

5 11

15 X1 1 1

5 0 1

5 2

Pj 15 3 0 3 30

(Cj – Pj) 0 7 0 – 3

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 2 , X2 = 0 , S1 = 11 , S2 = 0 และ (maximize) P = 30


Cj 15 10 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

10 X2 0 1

5

18

1

9

55

18

15 X1 1 0

1

18

2

9

25

18

Pj 15 10 35

18

20

9

925

18

(Cj – Pj) 0 0 35

18

30

9

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน

X1 = 251.38

18

, X2 = 553.05

18

, S1 = 0 , S2 = 0

(maximize) P = 92551.38

18

จำกตำรำงซมเพลกซท 3 ผลเฉลยทไดมตวแปรพนฐำนไมเปนจ ำนวนเตม ดงนนจะท ำกำรหำผลเฉลยใหมโดยกำรเพมเงอนไขขอบงคบใหม แตตวแปรพนฐำนทได คอ X1 และ X2 มคำไมเปนจ ำนวนเตมทง 2 ตวแปร ดงนนจะท ำกำรเลอก 1 ตวแปร เพอใชในกำรสรำงเงอนไขขอบงคบ

21

ใหม โดยการพจารณาอตราสวนระหวางคาสมประสทธของตวแปร X1 และ X2 ในฟงกชนจดประสงค หรอ Cj กบคาสมประสทธของตวแปร X1 และ X2 ในเงอนไขบงคบ หรอ aij ซงจะเลอกตวแปรทมอตราสวนมากทสด สำมำรถแสดงได ดงน

อตราสวนของตวแปร X1 ทมคำมำกทสด คอ 157.5

2

อตราสวนของตวแปร X2 ทมคำมำกทสด คอ 1010

1

ดงนนจะท ำกำรเลอกตวแปร X2 เพอใชในกำรสรำงเงอนไขขอบงคบใหม ดงน

1. X2 ≤ [3.05

] นนคอ X2 ≤ 3 หรอ

2. X2 ≥ ‹3.05

› นนคอ X2 ≥ 4

ท าการเตมเงอนไขบงคบทเปนการบงคบใหคาของตวแปร X2 มคาลดลง คอ X2 ≤ 3 ซงจะไดปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2


2) 5X1 + X2 10

3) X2 ≤ 3


เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไปและท าการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ

ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15

2) 5X1 + X2 10

3) X2 ≤ 3

X1 , X2 0

จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน

ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 15

2) 5X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 10

3) 0X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 3

(IP2)๗

(LP2)

22

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0 ตารางซมเพลกซทเหมาะสมทสด

Cj 15 10 0 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 S3 RHS(bi)

0 S1 0 0

1 2

5

18

5 14

15 X1 1 0

0 1

5

1

5

7

5

10 X2 0 1 0 0 1 3

Pj 15 10 0 3 7 51

(Cj – Pj) 0 0 0 – 3 – 7


X1 = 71.4

5 , X2 = 3 , S1 = 14 , S2 = 0 , S3 = 0

และ (maximize) P = 51

จำกผลเฉลยทไดมตวแปรพนฐำนทยงไมเปนจ ำนวนเตม คอ X1 1.4 ดงนนจะท ำกำรหำผลเฉลยใหมทเปนจ ำนวนเตมโดยกำรเพมเงอนไขขอบงคบใหม ดงน 1. X1 ≤ [1.4 ] นนคอ X1 ≤ 1 หรอ

2. X1 ≥ ‹1.4 › นนคอ X1 ≥ 2

ท าการเตมเงอนไขบงคบทเปนการบงคบใหคาของตวแปร X1 มคาลดลง คอ X1 ≤ 1

ดงนนจะไดปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP3) ดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2


2) 5X1 + X2 10

3) X2 ≤ 3

4) X1 ≤ 1


(IP3)๗

23

เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป และท าการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ


2) 5X1 + X2 10

3) X2 ≤ 3

4) X1 ≤ 1

X1 , X2 0


ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4

เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = 15

2) 5X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 = 10

3) 0X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 = 3

4) 1X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 1S4 = 1

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , S4 0

ตารางซมเพลกซทเหมาะสมทสด

Cj 15 10 0 0 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 S3 S4 RHS(bi)

0 S1 0 0

1 0

0

–2 1

0 S2 0 0

0 1

–1 –5 2

10 X2 0 1 0 0 1 0 3

15 X1 1 0 0 0 0 1 1

Pj 15 10 0 0 10 15 45

(Cj – Pj) 0 0 0 0 –10 –15

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1 , X2 = 3

S1 = 1 , S2 = 2 , S3 = 0, S4 = 0

(maximize) P = 45

(IP3)

24

จำกผลเฉลยทไดมตวแปรพนฐำนเปนจ ำนวนเตมทงหมดแลว คอ X1 = 1 , X2 = 3

และมคำฟงกชนจดประสงค เทำกบ 45 ดงนนจะท ำกำรหยดกำรหำผลเฉลยของปญหำ(IP3) และตอไปจะท ำกำรยอนกลบไปค ำนวณหำผลเฉลยของปญหำ (IP2) โดยการบงคบใหคาของตวแปร X1

มคาเพมขน คอ X1 ≥ 2 ดงนนจะไดปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP4) ดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15

2) 5X1 + X2 10

3) X2 3

4) X1 ≥ 2


เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไปและท าการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2


2) 5X1 + X2 10

3) X2 ≤ 3

4) X1 ≥ 2

X1 , X2 0


ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + 0A = 15

2) 5X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 + 0A = 10

3) 0X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 + 0A = 3

4) 1X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 – 1S4 + 1A = 2

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , S4 , A 0

(IP4)๗

(IP4)

25


Cj 15 10 0 0 0 0 –M

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 S3 S4 A RHS(bi)

0 S1 0 18

5 1 2

5 0

0 0 11

15 X1 1 1

5 0 1

5 0

0 0 2

0 S3 0 1 0 0 1 0 0 3

–M A 0 1

5 0 1

5 0 –1 1 0

Pj 15 3+ M

5 0 3+ M

5 0 M –M 30

(Cj – Pj) 0 – M

5+7 0 –3– M

5 0 –M 0

จำกตำรำงซมเพลกซจะเหนไดวำไมมคำ (Cj – Pj) ทเปนบวกแสดงวำไดผลเฉลยทเหมำะสมทสดแลวและอำนผลเฉลยไดดงน X1 = 2 , X2 = 0 , S1 = 11 , S2 = 0 , S3 = 3 , A = 0

(maximize) P = 30

จำกผลเฉลยทไดมตวแปรพนฐำนเปนจ ำนวนเตมทงหมดแลว คอ X1 = 2 , X2 = 0 และมคำฟงกชนจดประสงค เทำกบ 30 ซงจะเหนไดวำคำของฟงกชนจดประสงคของปญหำ (IP4) นอยกวำคำของฟงกชนจดประสงคของปญหำ (IP3) แสดงวำไมสำมำรถพฒนำใหดขนไดอก ดงนนจะท ำกำรหยดกำรหำผลเฉลยของปญหำ (IP4) ตอไปจะท ำกำรยอนกลบไปค ำนวณหำผลเฉลยของปญหำ (IP1) โดยการบงคบใหคาของตวแปร X2 มคาเพมขน คอ X2 ≥ 4 ดงนนจะไดปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม(IP5) ดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 10X2


2) 5X1 + X2 10

3) X2 4 X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม

(IP5)๗

26

เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไปและท าการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ


2) 5X1 + X2 10

3) X2 ≥ 4

X1 , X2 0


ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 10X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 – MA เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0A = 15

2) 5X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0A = 10

3) 0X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 – 1S3 + 1A = 4

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , A 0


Cj 10 10 0 0 0 –M

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 S3 A RHS(bi)

10 X2 1

2 1

1

4 0

0

0 15

4

0 S2 9

2 0

1

4 1

0 0 25

4

–M A 1

2 0 1

4 0 –1 1 1

4

Pj 10 M

2

10 10 M

4

0 M –M 150 – M

2

(Cj – Pj) M –10( )

2 0 10 M

( )4

0 –M 0

จำกตำรำงซมเพลกซจะเหนไดวำไมมคำ (Cj – Pj) ทเปนบวกแสดงวำไดผลเฉลยทเหมำะสมทสดแลวและอำนผลเฉลยไดดงน

(LP5)

27

X1 = 0 , X2 = 15

4, S1 = 0 , S2 = 25

4 , S3 = 0 , A = 1

4

(maximize) P = 150 – M2

จำกผลเฉลยทได ตวแปรเทยม (A) ยงคงเปนตวแปรพนฐำนอยและคำของฟงกชนกจดประสงคไมสำมำรถหำผลเฉลยไดเพรำะ M มคำมำก (M ) ดงนนปญหำก ำหนดกำร เชงเสนน (IP5) ไมมผลเฉลยทเปนไปได และจะหยดกำรค ำนวณหำผลเฉลยของปญหำ (IP5) เมอท ำกำรยอนกลบไปค ำนวณหำผลเฉลยของปญหำ (IP1) จะพบวำท ำกำรเพมเงอนไขบงคบครบทกปญหำแลว จงสำมำรถสรปไดวำผลเฉลยทไดจำกปญหำ (IP3) เปนผลเฉลยทเหมำะสมทสด ดงนนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (IP1) คอ ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 4X2 15

2) 5X1 + X2 10 X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม

ผลเฉลยเหมำะสมทสด คอ X1 = 1 , X2 = 3


สามารถแสดงขนตอนการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขตของปญหา ไดดงแผนภาพตอไปน

ผลเฉลยเปนจ ำนวนเตม

X1 ≤ 1

IP4 IP3

IP1

IP2 IP5

X2 ≥ 4 X2 ≤ 3

X1 ≥ 2

คำของฟงกชนจดประสงคไมดข น

ไมมผลเฉลยทเปนไปได

28

ภาพท 1.6 การแตกกงสาขาของปญหาจากตวอยางท 1.6

3. วธกำรแจงนบโดยปรยำย วธการแจงนบโดยปรยาย (implicit method) นจะเหมาะกบปญหาก าหนดการเชงเสนแบบทวภาค กลาวคอ เหมาะกบปญหาทมผลเฉลยหรอมตวแปรทตองการตดสนใจมคาเปน 0 หรอ 1 เทานน โดยทวธการแจงนบโดยปรยายจะมกระบวนการเหมอนกบวธการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขตของปญหาดงทไดกลาวมาแลวขางตน แตจะแตกตางกนในขนตอนการค านวณหาผลเฉลย นนคอ ในการหาผลเฉลยดวยวธการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขตของปญหาอาจจะใชวธกรำฟ วธซมเพลกซ หรอวธกำรใชโปรแกรมส ำเรจรปในการค านวณหาผลเฉลยไดแตวธการแจงนบโดยปรยายจะหาผลเฉลยโดยการพจารณาจากการค านวณความเปนไปไดของการก าหนดคาของตวแปรตดสนใจใหมคาเปน 0 หรอ 1 เทานน ซงมกระบวนการ ดงน ขนแรกจะตองท าฟงกชนจดประสงคใหอยในรปแบบทเหมาะสม คอ ถาเปนปญหาคาสงสด จะตองท าสมประสทธของตวแปรตดสนใจใหมคานอยกวาหรอเทากบศนย และถาเปนปญหาคาต าสด จะตองท าสมประสทธของตวแปรตดสนใจใหมคามากกวาหรอเทากบศนย หมายความวาตองจดสมประสทธของตวแปรตดสนใจใหมเครองหมายทอาจท าใหคาของฟงกชนจดประสงคมคาทแยลงกวาเดม นนคอถาเปนปญหาคาสงสดฟงกชนจดประสงคจะมคาลดลงถา ตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 1 แตถาตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 0 จะไดคาของฟงกชนจดประสงคทมคาสงทสด และถาเปนปญหาคาต าสดฟงกชนจดประสงคจะมคาเพมขนถาตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 1 แตถาตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 0 จะไดคาของฟงกชนจดประสงคทมคาต าทสด การท าฟงกชนจดประสงคใหอยในรปแบบทเหมาะสมจะท าไดโดยการแปลงคาของตวแปรตดสนใจ Xi เปนตวแปร Xi

โดยทจะก าหนดให Xi = 1 – Xi หรอ Xi = 1 – Xi

และเน องจากคาของตวแปรตดสนใจ Xi มคาเทา 0 หรอ 1 ดงนนคาของ

ตวแปร Xi จะมคาเทากบ 1 หรอ 0 เชนกน และจะเรยกตวแปร Xi วา ตวแปรคอมพลเมนต

(complement) ของตวแปร Xi สามารถแสดงไดดวยตวอยางตอไปน

ตวอยำงท 1.7 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 12X2 + 3X3 + 5X4

เงอนไขบงคบ 1) X1 + 13X2 + 4X3 – 5X4 10 2) 5X1 + 2X2 + X3 + 8X4 10

3) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 3

4) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5

X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1

(BP1)

29

วธท ำ ท าฟงกชนจดประสงคใหอยในรปแบบทเหมาะสม คอ ท าสมประสทธของตวแปรตดสนใจใหมคานอยกวาหรอเทากบศนย โดยการแทนคาของตวแปร Xi ในเทอมของตวแปร Xi โดยท

ก าหนดให Xi = 1 – Xi ลงในตวแบบ จะได

ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5(1 – X1) + 12(1 – X2) + 3(1 – X3) + 5(1 – X4) เงอนไขบงคบ 1) (1 – X1) + 13(1 – X2) + 4(1 – X3) – 5(1 – X4) 10 2) 5(1 – X1) + 2(1 – X2) + (1 – X3) + 8(1 – X4) 10

3) 6(1 – X1) + (1 – X2) – 2(1 – X3) – (1 – X4) 3

4) (1 – X1) + 2(1 – X2) + 4(1 – X3) + 3(1 – X4) 5 X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1

สามารถเขยนตวแบบใหมไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 25 – 5X1 – 12X2 – 3X3 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 13X2 – 4X3 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – 2X2 – X3 – 8X4 – 6

3) – 6X1 – X2 + 2X3 + X4 – 1 4) – X1 – 2X2 – 4X3 – 3X4 – 5

X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1

จะเหนไดวาฟงกชนจดประสงคอยในรปแบบทเหมาะสมแลว คอ สมประสทธของตวแปรตดสนใจของฟงกชนจดประสงคมคานอยกวาหรอเทากบศนย ซงคาของฟงกชนจดประสงคจะมคาไดมากทสด คอ 25 ถาก าหนดใหตวแปร Xiมคาเทากบ 0 ทงหมด แตถาก าหนดใหตวแปร Xiตวใดตวหนงหรอทกตวมคาเทากบ 1 แลวจะท าใหคาของฟงกชนจดประสงคมคาลดลง ดงนนจากการพจารณาฟงกชนจดประสงค จะสรปไดวาผลเฉลยของปญหาน คอ ตวแปร Xi มคาเทากบ 0

ทงหมด นนคอ ตวแปร Xi จะมคาเทากบ 1 ทงหมดนนเอง จากตวอยางทไดแสดงขางตนเปนการหาผลเฉลยโดยการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงค ซงจะสามารถก าหนดผลเฉลยของปญหาไดวาคาของตวแปรตดสนใจจะมคาเทากบ 0

ทงหมด หรอ 1 ทงหมดได แตผลเฉลยทไดนจะเปนผลเฉลยทเหมาะสมหรอไมจะตองท าการพจารณาทเง อนไขบงคบดวยวาผลเฉลยทไดจากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะสอดคลองกบเงอนไขบงคบหรอไม และเพอใหสะดวกกบการพจารณาจะตองจดเงอนไขบงคบใหอย

(BP1)

30

ในรปของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ( ) ทกเงอนไขบงคบกอน และจากตวอยางท 1.7 ตวแบบใหมทอยในรปของตวแปร Xi มเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบท 2 อยในรปของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบแลว แตเงอนไขบงคบท 3 และเงอนไขบงคบท 4 ยงไมอยในรปของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ดงนนจะท าการคณ (–1) เขาในเงอนไขบงคบทงสอง ดงน จากเงอนไขบงคบท 3) คณดวย (–1) จะได

(– 6X1 – X2 + 2X3 + X4 )(–1) (– 1) (– 1) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 1 จากเงอนไขบงคบท 4) คณดวย (–1) จะได

( – X1 – 2X2 – 4X3 – 3X4)(–1) (– 5)(– 1) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5

สามารถเขยนตวแบบใหมไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 25 – 5X1 – 12X2 – 3X3 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 13X2 – 4X3 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – 2X2 – X3 – 8X4 – 6

3) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 1 4) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5

X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1

จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคทไดแสดงขางตนจะไดผลเฉลย คอ คาของ ตวแปร Xi มคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบ

ท 2 เพราะถาใหคาของตวแปร Xi มคาเทากบ 0 ทงหมด จะท าใหเงอนไขบงคบไมเปนจรง คอจะท าใหคาทางซายมอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ มคาเทากบ 0 ซงจะมคาไมนอยกวาคาทอยทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ คอ – 3 และ – 6 ตามล าดบ ดงนนแสดงวาจะก าหนดใหตวแปร Xi มคาเทากบ 0 ทงหมดไมได ซงหมายความวาจะท าใหตวแปร Xi มคาเทากบ

1 ทงหมดไมไดดวยนนเอง แตถาตองการใหเงอนไขบงคบท 1 เปนจรง จะตองใหอยางนอยตวแปร X2 เทากบ 1 เพยงตวเดยว หรออาจจะใหตวแปร Xi เทากบ 1 ทงหมดทกตวกได และถาตองการใหเงอนไขบงคบท 2 เปนจรง จะตองใหอยางนอยตวแปร X4 มคาเทากบ 1 เพยงตวเดยว หรออาจจะใหตวแปร Xi เทากบ 1 ทงหมดทกตวกได ดงนนจากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงค

(BP1)

31

และเงอนไขบงคบทงหมด จะไดผลเฉลยของตวแปรตดสนใจ Xi มคาเปนไปไดทง 0 และ 1 นนคอ

จะท าใหตวแปร Xi จะมคาเปนไปไดทง 1 และ 0 ดวยเชนกน จากตวอยางทไดพจารณามานจะเหนไดวาในการก าหนดคาของตวแปรใหมคาเปน 0

หรอ 1 มขนตอนทคอนขางยงยาก ดงนนจะตองท าการศกษาสญลกษณทจะชวยใหการก าหนดคาของตวแปรใหงายและสะดวกมากยงขน การก าหนดคาของตวแปรจะมสญลกษณทเกยวของในการพจารณา ดงน

1. ก าหนดให Qk = { i bi < 0 } และให n(Qk) คอ จ านวนสมาชกทงหมดเซต Qk

หมายความวา Qk คอ เซตของดชนทก ากบเงอนไขบงคบทมคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ มคานอยกวา 0 ส าหรบปญหาท k ทพจารณาอย จากตวอยางท 1.7 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 13X2 – 4X3 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – 2X2 – X3 – 8X4 – 6

3) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 1 4) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5

X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1

จะเหนไดวาเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบท 2 มคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ มคานอยกวา 0 ดงน นจะได Qk = Q1 = { 1 , 2 } และ n(Q1) = 2 ซงหมายความวาจากตวอยางท 1.7 ในการพจารณาเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบท 2 ไมสามารถก าหนดใหคาของตวแปร Xi มคาเทากบ 0 ทงหมดได แตถาในกรณท Qk = จะได

n(Qk) = 0 แสดงวาไมมเงอนไขบงคบทคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ มคานอย

กวา 0 ดงนน ถา Qk = จะสามารถก าหนดใหคาของตวแปร Xi มคาเทากบ 0 ทงหมดได ซง

หมายความวาสามารถก าหนดใหตวแปร Xi มคาเทากบ 1 ทงหมดไดนนเอง

2. ก าหนดให Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk } และให n(Rk) คอ

จ านวนสมาชกทงหมดเซต Rk หมายความวา Rk คอ เซตของดชนทก ากบตวแปรตดสนใจทมคาของสมประสทธนอยกวา 0 ส าหรบเงอนไขบงคบทมคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ มคานอยกวา 0 จากตวอยางท 1.7 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 13X2 – 4X3 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – 2X2 – X3 – 8X4 – 6

3) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 1

32

4) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5

X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1

จาก Q1 = { 1 , 2 } ดงนนจะพจารณาเฉพาะเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบท 2 ซงในเงอนไขบงคบท 1 มตวแปรทคาของสมประสทธนอยกวา 0 คอ X1 , X2 , X3 และในเงอนไขบงคบท 2 มตวแปรทคาของสมประสทธนอยกวา 0 คอ X1 , X2 , X3 , X4 ดงนน Rk = R1 = { 1 , 2 , 3 , 4 } และ n(R1) = 4 หมายความวาจะสามารถก าหนดให

คาของตวแปร X1 , X2 , X3 , X4 ตวใดตวหนงหรอทกตวมคาเปน 1 ได แตถา Rk = และ

n(Rk) = 0 แสดงวาไมมสมประสทธของตวแปรใดเลยทมคานอยกวาหรอเทากบศนยในเงอนไขบงคบทมคาทางขวามอนอยกวาหรอเทากบศนย หมายความวาจะไมสามารถก าหนดคาของตวแปรตวใดตวหนงหรอทกตวมคาเปน 1 ได ยกตวอยางเชน เงอนไขบงคบ 5X1 + 2X2 + X3 + X4 – 10

จะไดวาถามตวแปรอยางนอยหนงตวมคาเทากบ 1 จะท าใหเงอนไขบงคบไมเปนจรง จากทไดกลาวมาขางตนจะเหนไดวา ถา n(Qk) 0 จะไมสามารถก าหนดใหคาของ ตวแปร Xi มคาเทากบ 0 ทงหมดได ซงจะมตวแปรตวใดตวหนงมคาเทากบ 1 แตถาเกดกรณท

n(Rk) = 0 ตามมา ซงหมายความวาจะไมสามารถก าหนดคาของตวแปรตวใดตวหนงหรอทกตวมคา

เปน 1 ได ซงจะขดแยงกบกรณท n(Qk) 0 ดงนน ถาในกรณท n(Qk) 0 และ n(Rk) = 0 จะสรปไดวาปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได ดงนนจะไดการสรปการก าหนดคาตวแปรแลวปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม ดงน

การทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม โดยก าหนดให

n

i ij

j=1

t min { 0 , a } ; i = 1, 2, 3, …, m

โดยท it จะเปนผลรวมของคาสมประสทธของตวแปรตวท j ทมคานอยกวาศนยในเงอนไขบงคบท i ทมคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ( ib ) มคานอยกวา 0

โดยทจะใชคา it เพอทจะพจารณาหาผลเฉลยของปญหาวาจะมผลเฉลยทเปนไปได

หรอไม โดยจะใชการเปรยบเทยบคา it กบคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ( ib )ถาหากคา it มคามากกวา ib สามารถสรปไดวาปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได ยกตวอยางเชน เงอนไขบงคบ 5X1 – 2X2 + X3 – X4 –10

33

จะได it = min { 0 , 5 } + min { 0 , –2 } + min { 0 , –1) } + min { 0 , 4 } = – 3

และ ib = –10 ดงนน it ib แสดงวาเงอนไขบงคบไมมผลเฉลยทเปนไปได จ าก ต ว อ ย า งท

1.7

เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 13X2 – 4X3 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – 2X2 – X3 – 8X4 – 6

3) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 1 4) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5

จะได 1t = min { 0 , –1 } + min { 0 , – 13 } + min { 0 , –4) } + min { 0 , 5 } = – 18 และ 1b = – 3 ดงนน 1t

< 1b แสดงวาเงอนไขบงคบมผลเฉลยทเปนไปได

จะได 2t = min { 0 , – 5 } + min { 0 , – 2 } + min { 0 , –1) } + min { 0 , –8 } = – 16

และ 2b = – 6 ดงนน 2t < 2b แสดงวาเงอนไขบงคบมผลเฉลยทเปนไปได

3. ก าหนดให m

i

i 1

I max { 0 , – b }

หมายความวา I คอ ผลรวมของความเปนไป

ไมได (Sum of Infeasibility) ของปญหาทพจารณาอย จากตวอยางท 1.7


3) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 1 4) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5

X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1

จะได I = max { 0, – (– 3) } + max { 0, – (– 6) } + max { 0, – 1 } + max { 0, – 5 }

ดงนน I = 9

4. ก าหนดให m

k i ij

i 1

I j max { 0 , – b a }

หมายความวา kI j คอ ผลรวม

ของความเปนไปไมได ของปญหาท k+1 และถาก าหนดใหคาของตวแปรตดสนใจท j ในปญหาท k มคาเทากบ 1 ดงนนจะท าการค านวณคา kI j เฉพาะตวแปรตดสนใจท j ทอยในเซต Rk เพราะ

34

เนองจากคาของตวแปรทอยในเชตของ Rk สามารถมคาเทากบ 1 ได และการค านวณจะค านวณผลรวมในทกเงอนไขบงคบ จากตวอยางท 1.7


3) 6X1 + X2 – 2X3 – X4 1 4) X1 + 2X2 + 4X3 + 3X4 5

X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1

จาก Q1 = { 1 , 2 } และ R1 = { 1 , 2 , 3 , 4 } ดงนนจะได 1I 1 = max {0 , 3 + (–1)} + max {0 , 6 + (–5)} + max {0 , –1 + 6} + max {0 , –5 + 1} = 8

1I 2 = max {0 , 3 + (–13)} + max {0 ,6 + (–2)} + max {0 , –1 + 1} + max {0 , –5 + 2} = 4

1I 3 = max {0 , 3 + (– 4)} + max {0 ,6 +(–1)} + max {0 ,–1 + (–2)} + max {0 , –5 + 4} = 5

1I 4 = max {0 , 3 + 5 } + max {0 ,6 + (–8)} + max {0 ,–1 +(–1)} + max {0 , –5 + 3} = 8

และจะก าหนดคาของตวแปรตดสนใจท j ใหมคาเทากบ 1 โดยพจารณาจาก

I = min { kI j } จากตวอยางท 1.7 จะได

I = min { 8 , 4 , 5 , 8 } = 4

จาก I = 4 ทไดนมาจากการค านวณของตวแปร X2 ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X2 มคาเทากบ 1 และจาก I = 4 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X2 ทมคาเทากบ 1 ดงนนจากตวอยางท 1.7 จะสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 13 – 5X1 – 3X3 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 4X3 + 5X4 10 2) – 5X1 – X3 – 8X4 – 4

3) 6X1 – 2X3 – X4 0 4) X1 + 4X3 + 3X4 3

X1 , X3 , X4 = 0 หรอ 1

(BP2)

35

ดงนนจะค านวณคาผลรวมของความเปนไปไมได ( I ) ดงน

จาก i m

i

i 1

I max { 0 , – b }

จะได I = max { 0 , –10 } + max { 0 , – (– 4) } + max { 0 , 0 } + max { 0 , –3 }

ดงนน I = 4

จากตวอยางท 1.7 ปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP2) สามารถหาผลเฉลยไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 13 – 5X1 – 3X3 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 4X3 + 5X4 10 2) – 5X1 – X3 – 8X4 – 4

3) 6X1 – 2X3 – X4 0 4) X1 + 4X3 + 3X4 3

X1 , X3 , X4 = 0 หรอ 1

จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1,X3,X4 มคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 2 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน ดงน

1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q2 = { 2 } และ n(Q2) = 1 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการหาผลเฉลยตอไป

2. จาก Rk = { j aij < 0 ส าหรบบางคาของ i ทอยใน Qk}

จะได R2 = { 1 , 3 , 4 } และ n(R2) = 3 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหาม ผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 2t = min { 0 , – 5 } + min { 0 , –1 } + min { 0 , – 8) } = –14

และ 2b = – 4 ดงนน 2t < 2b แสดงวาปญหามผลเฉลยทเปนไปได

3. จาก

i m

k i ij

i 1

I j max { 0 , – b a }

ดงนนจะได

2I 1 = max{0 , –10 + (–1)} + max{0 , 4 + (– 5)} + max{0 , 0 + 6} + max{0 , – 3 + 1} = 6

2I 3 = max{0 , –10 + (– 4)} + max{0 , 4 + (– 1)} + max{0 , 0 + (–2)} + max{0 , – 3 + 4} = 4

2I 4 = max{0 , –10 + 5 } + max{0 , 4 + (– 8)} + max{0 , 0 + (–1)} + max{0 , – 3 + 3} = 0

(BP2)

36

4. ก าหนดคาของตวแปรตดสนใจท j ใหมคาเทากบ 1 โดยพจารณา I = min { kI j } จะได I = min { 6 , 4 , 0 } = 0

ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X4 มคาเทากบ 1 และจาก I = 0 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X4 ทมคาเทากบ 1 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP3) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 8 – 5X1 – 3X3 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 4X3 5

2) – 5X1 – X3 4

3) 6X1 – 2X3 1 4) X1 + 4X3 0

X1 , X4 = 0 หรอ 1

ท าการค านวณคาผลรวมของความเปนไปไมได ( I ) ไดดงน

จาก i m

i

i 1

I max { 0 , – b }

จะได I = max { 0, – 5) } + max { 0, – 4 } + max { 0, –1 } + max { 0, 0 }

ดงนน I = 0

จากปญหาใหม (BP3) ท าการหาผลเฉลยตอไปไดดงน จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1, X3 มคาเทากบ 0 ทงหมด และผลเฉลยนจะสอดคลองกบเงอนไขบงคบทงหมดดวย นนคอ จาก Q3 = และ n(Q3) = 0 แสดงวาไมมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนยแลว

ดงนนจะหยดการพจารณาแตกกงสาขาจากปญหา(BP3) และผลเฉลยทไดคอ

X1 = 0 , X2 = 1 , X3 = 0 , X4 = 1 (maximize) P = 8

ตอไปจะท ำกำรยอนกลบมาพจารณาปญหา (BP2) คอ ก าหนดใหคาตวแปร X4 ใหมคาเทากบ 0 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP4) ไดดงน

(BP3)

37

ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 13 – 5X1 – 3X3 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 4X3 10 2) – 5X1 – X3 – 4

3) 6X1 – 2X3 0 4) X1 + 4X3 3

X1 , X3 = 0 หรอ 1

จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1 , X3 มคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 2 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน ดงน



จะได R4 = { 1, 3 } และ n(R4) = 2 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหาม ผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 2t = min { 0 , – 5 } + min { 0 , –1 } = – 6 และ 2b = – 4

ดงนน 2t < 2b แสดงวาปญหามผลเฉลยทเปนไปได

3. จาก

i m

k i ij

i 1

I j max { 0 , – b a }


4I 1 = max{0 , –10 + (– 1)} + max{0 , 4 + (– 5)} + max{0 , 0 + 6} + max{0 , –3 + 1} = 6

4I 3 = max{0 , –10 + (– 4)} + max{0 , 4 + (– 1)} + max{0 , 0 + (–2)} + max{0 , –3 + 4} = 4

4. ก าหนดคาของตวแปรตดสนใจท j ใหมคาเทากบ 1 โดยพจารณา I = min { kI j } จะได I = min { 6 , 4 } = 4

(BP4)

38

ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X3 มคาเทากบ 1 และจาก I = 4 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X3 ทมคาเทากบ 1 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP5) ไดดงน

ฟงกชนจดประสงค(maximize) P = 10 – 5X1 เงอนไขบงคบ 1) – X1 14 2) – 5X1 – 3

3) 6X1 2 4) X1 –1

X1 = 0 หรอ 1

จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1 มคาเทากบ 0 แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 2 และเงอนไขบงคบท 4 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน ดงน

1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q5 = { 2 , 4 } และ n(Q5) = 2 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการหาผลเฉลยตอไป


จะได R5 = { 1 } และ n(R4) = 1 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม

จาก 2t = min { 0 , – 5 } = – 5 และ 2b = – 3 ดงนน 2t < 2b แสดงวา

ปญหามผลเฉลยทเปนไปได และ 4t = min { 0 , 1 } = 0 และ 4b = – 1 ดงน น 4t

4b แสดงวา

ปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได

จะเหนไดวาไมมตวแปรทท าใหเงอนไขบงคบท 4 เปนจรงได ดงนนจงหยดการพจารณาปญหา (BP5) แลวท าการยอนกลบมาพจารณาปญหา (BP4) คอ ก าหนดใหคาตวแปร X3 ใหมคาเทากบ 0 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP6) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 13 – 5X1 เงอนไขบงคบ 1) – X1 10 2) – 5X1 – 4

(BP5)

(BP6)

39

3) 6X1 0 4) X1 3

X1 = 0 หรอ 1

จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1 มคาเทากบ 0 แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 2 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน ดงน



จะได R6 = { 1 } และ n(R6) = 1 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยท

เปนไปไดหรอไม จาก 2t = min { 0 , – 5 } = – 5 และ 2b = –4 ดงนน 2t < 2b แสดงวาปญหามผลเฉลยทเปนไปได

3. จาก

i m

k i ij

i 1

I j max { 0 , – b a }


6I 1 = max{0 , –10 + (– 1)} + max{0 , 4 + (– 5)} + max{0 , 0 + 6} + max{0 , – 3 + 1} = 6

4. ก าหนดคาของตวแปรตดสนใจท j ใหมคาเทากบ 1 โดยพจารณา I = min { kI j } จะได I = min { 6 } = 6

ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X1 มคาเทากบ 1 แตถาก าหนดใหคาตวแปร X1 เทากบ 1 จะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 3 แสดงวาปญหานไมมผลเฉลยทเปนไปได ดงนนจงหยดการพจารณาปญหา (BP6) และจาก I = 6 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X1 ทมคาเทากบ 1

ท าการยอนกลบมาพจารณาปญหา (BP1) คอ ก าหนดใหคาตวแปร X2 ใหมคาเทากบ 0 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP7) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 25 – 5X1– 3X3 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 4X3 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – X3 – 8X4 – 6

3) 6X1 – 2X3 – X4 1 (BP7)

40

4) X1 + 4X3 + 3X4 5

X1 , X3 , X4 = 0 หรอ 1

จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1,X3,X4 มคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบท 2 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน ดงน



จะได R7 = { 1 , 3 , 4 } และ n(R7) = 3 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหาม ผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 1t = min { 0, –1 } + min { 0, – 4 } + min { 0, 5) } = –5 และ 1b = – 3


และ 2t = min { 0, –5 } + min { 0, –1 } + min { 0, – 8) } = –14 และ 2b = – 6


3. จาก

i m

k i ij

i 1

I j max { 0 , – b a }


7I 1 = max{0 , 3 + (–1)} + max{0 , 6 + (–5)} + max{0 , –1 + 6} + max{0 , – 6 + 1} = 8

7I 3 = max{0 , 3 + (– 4)} + max{0 , 6 + (–1)} + max{0 , –1 + (–2)} + max{0 , – 6 + 4} = 5

7I 4 = max{0 , 3 + 5 } + max{0 , 6 + (– 8)} + max{0 , –1 + (–1)} + max{0 , – 6 + 3} = 8

4. ก าหนดคาของตวแปรตดสนใจท j ใหมคาเทากบ 1 โดยพจารณา I = min { kI j } จะได I = min { 8 , 5 , 8 } = 5

ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X3 มคาเทากบ 1 และจาก I = 5 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X3 ทมคาเทากบ 1 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP8) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 22 – 5X1 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) – X1 + 5X4 1

2) – 5X1 – 8X4 – 5 (BP8)

41

3) 6X1 – X4 3 4) X1 + 3X4 1

X1 , X4 = 0 หรอ 1


จาก i m

i

i 1

I max { 0 , – b }

จะได I = max { 0 , –1 } + max { 0 , 5 } + max { 0 , –3 } + max { 0 , –1 }

ดงนน I = 5 จากปญหาใหม (BP8) ท าการหาผลเฉลยตอไปไดดงน จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1, X4 มคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 2 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน



จะได R8 = { 1 , 4 } และ n(R8) = 2 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหาม ผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 2t = min { 0 , – 5 } + min { 0 , – 8 } = – 13 และ 2b = – 5


3. จาก

i m

k i ij

i 1

I j max { 0 , – b a }


8I 1 = max{0 , –1 + (– 1)} + max{0 , 5 + (– 5)} + max{0 , – 3 + 6} + max{0 , – 1 + 1} = 3

8I 4 = max{0 , –1 + 5 } + max{0 , 5 + (– 8)} + max{0 , – 3 + (– 1)} + max{0 , – 1 + 3} = 6


ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X1 มคาเทากบ 1 และจาก I = 3 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X1 ทมคาเทากบ 1 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP9) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 17 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) 5X4 2

2) – 8X4 0 (BP9)

42

3) – X4 – 3 4) 3X4 0

X4 = 0 หรอ 1


จาก i m

i

i 1

I max { 0 , – b }

จะได I = max { 0 , – 2) } + max { 0 , 0 } + max { 0 , 3 } + max { 0 , 0 }

ดงนน I = 3 จากปญหาใหม(BP9) ท าการหาผลเฉลยตอไปไดดงน จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X4 มคาเทากบ 0 แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 3 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน ดงน



จะได R9 = { 3 } และ n(R9) = 1 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 3t = min { 0 , –1 } = – 1 และ 3b = – 3 ดงนน 3t

3b แสดงวา

ปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได

จะเหนไดวาไมมตวแปรทท าใหเงอนไขบงคบท 3 เปนจรงได ดงนนจงหยดการพจารณาปญหา (BP9) แลวท าการยอนกลบมาพจารณาปญหา (BP8) คอ ก าหนดใหคาตวแปร X1 ใหมคาเทากบ 0 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP10) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 22 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) 5X4 1

2) 8X4 – 5

3) X4 3 4) 3X4 1

X4 = 0 หรอ 1

วธท ำ

(BP10)

43

จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X4 มคาเทากบ 0 แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 2 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน ดงน



จะได R10 = { 2 } และ n(R10) = 1 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 2t = min { 0 , 8 } = 0 และ 2b = – 5 ดงนน 3t

3b แสดงวาปญหา

ไมมผลเฉลยทเปนไปได ดงนนจงหยดการพจารณาปญหา (BP10)

ท าการยอนกลบมาพจารณาปญหา (BP7) คอก าหนดใหคาตวแปร X3 ทมคาเทากบ 0 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP11) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 25 – 5X1 – 5X4 เงอนไขบงคบ 1) – X1 + 5X4 – 3 2) – 5X1 – 8X4 – 6

3) 6X1 – X4 1 4) X1+ 3X4 5

X1 , X4 = 0 หรอ 1

จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลย คอ คาของตวแปร X1, X4มคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบท 2

ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยตามขนตอนทไดกลาวมาขางตน



จะได R11 = { 1 , 2 } และ n(R11) = 2 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 1t = min { 0, –1 } + min { 0, 5) } = –1 และ 1b = – 3 ดงนน 1t

1b

แสดงวาปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได

(BP11)

44

และ 2t = min { 0, –5 } + min { 0, –8) } = –13 และ 2b = – 6 ดงนน 2t < 2b

แสดงวาปญหามผลเฉลยทเปนไปได จะเหนไดวาไมมตวแปรทท าใหเงอนไขบงคบท 1 เปนจรงได ดงนนจงหยดการพจารณาปญหา (BP11) เนองจากท าการพจารณาปญหาทแตกกงสาขามาจากปญหา (BP1) ครบทกปญหาแลว จงสรปไดวามผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว คอ ผลเฉลยทไดจากปญหา (BP3) นนคอ

X1 = 0 , X2 = 1 , X3 = 0 , X4 = 1


ดงนนจะไดผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหำในตวอยำงท 1.7 คอ

X1 = 1 , X2 = 0 , X3 = 1 , X4 = 0




BP4 BP3

BP1

BP2 BP7

BP11 BP8

BP10 BP9 BP5 BP6

มผลเฉลย ไมมผลเฉลย

ไมมผลเฉลย ไมมผลเฉลย ไมมผลเฉลย ไมมผลเฉลย

X2 = 1 X2 = 0

X4 = 1 X4 = 0 X3 = 0 X3 = 1

X3 = 0

X3 = 1 X1 = 0 X1 = 1

45

จากตวอยางทไดแสดงขางตนสามารถสรปขนตอนการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมแบบทวภาคดวยวธการแจงนบโดยปรยาย ไดดงน 1. กำรจดรปแบบ คอ การจดรปแบบของฟงกชนจดประสงคและเงอนไขบงคบใหอยในรปแบบทเหมาะสม ดงน 1.1 ถาเปนปญหาคาสงสด จะตองท าสมประสทธของตวแปรตดสนใจใหมคานอยกวาหรอเทากบศนย 1.2 ถาเปนปญหาคาต าสด จะตองท าสมประสทธของตวแปรตดสนใจใหมคามากกวาหรอเทากบศนย

1.3 เงอนไขบงคบจะตองอยในรปของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ( ) ทกเงอนไขบงคบ

2. ก ำหนดขอบเขตของปญหำ พจารณาปญหาท k 2.1 ถาคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ( ) ในเงอนไขบงคบ มคามากกวาหรอเทากบศนย นนคอ Qk = แลวจะสรปไดวา ปญหาทก าลงพจารณาอยมผลเฉลยทเปนไปไดแลว โดยผลเฉลยทได คอ ตวแปรตดสนใจทกตวมคาเทากบ 0 ซงคาของฟงกชนจดประสงคทไดนจะใชเปรยบเทยบกบคาของฟงกชนจดประสงคของปญหาอนตอไป และใหไปพจารณาขนตอนการท ายอนกลบ (ขนตอนท 4) ตอไป 2.2 ถาคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ( ) ในเงอนไขบงคบ มคานอยกวาศนย นนคอ Qk แลวจะสรปไดวา ไมสามารถก าหนดใหตวแปรตดสนใจทกตวมคาเทากบ 0 ได แสดงวาตองมตวแปรตดสนใจอยางนอยหนงตวมคาเทากบ 1 และการทจะก าหนดใหตวแปรใดใหมคาเทากบ 1 ใหไปพจารณาการแตกกงสาขาของปญหา (ขนตอนท 3) ตอไป

3. กำรแตกกงสำขำของปญหำ พจารณาปญหาท k ทคาทางขวามอของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ( ) ในเงอนไขบงคบ มคานอยกวาศนย นนคอ Qk พจารณาปญหาวามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม โดยใช it ในการทดสอบ 3.1 ถาไมมผลเฉลยทเปนไปได ใหหยดการพจารณาปญหาท k และใหไปพจารณาขนตอนการท ายอนกลบ (ขนตอนท 4) ตอไป 3.2 ถามผลเฉลยทเปนไปได ใหพจารณาการก าหนดคาของตวแปรตดสนใจวาควรจะก าหนดใหตวแปรตดสนใจท j ตวใดใหมคาเทากบ 1 โดยการค านวณคา kI j และถาแทนคา ตวแปรตดสนใจท j ทมคาเทากบ 1 แลวจะไดปญหาท (k + 1) และจะท าการหาผลเฉลยของปญหาตามขนตอนของวธการก าหนดขอบเขตของปญหา (ขนตอนท 2) ตอไป

4. กำรท ำยอนกลบ เมอไดขอสรปของปญหาท k แลว คอ มผลเฉลยทเปนไปไดหรอไมมผลเฉลยทเปนไปได ใหท าการยอนกลบมาพจารณาปญหาท (k – 1) แตจะก าหนดใหคาของตวแปร

46

ตดสนใจมคาเทากบ 0 ซงตวแปรทจะก าหนดใหมคาเทากบ 0 น จะตองเปนตวแปรตวเดยวกบ ตวแปรทมคาเทากบ 1 ทแตกออกมาจากปญหาท (k – 1) และท าการด าเนนการตามวธการก าหนดขอบเขตของปญหา(ขนตอนท 2) ตอไป เมอด าเนนการตามวธการท ายอนกลบของปญหาท (k – 1) และเมอปญหาท (k – 1) เปนปญหาเรมตนทก าหนดใหแลว ดงนนจะสรปไดวา ปญหามผลเฉลยทเหมาะสมทสดแลวหรออาจจะไมมผลเฉลยทเปนไปไดแลวแตกรณ และจะหยดกระบวนการ การหาผลเฉลย ตวอยำงท 1.8 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = X1 + 5X2 + 3X3 + 2X4

เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 – 5X3 + 3X4 – 2 2) X1 – X2 – 3X3 + X4 4

3) 7X1 + 4X2 – X3 – 5X4 – 5

X1 , X2 , X3 , X4 = 0 หรอ 1

วธท ำ ตวแบบอยในรปแบบทเหมาะสมแลว คอ ฟงกชนจดประสงคมสมประสทธของตวแปรตดสนใจมคามากกวาหรอเทากบศนย และเงอนไขบงคบอยในรปของเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ( ) ทงหมด

จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลยทมคานอยทสดถาใหตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 0 ทงหมด นนคอ คาของตวแปร X1 , X2 , X3 , X4 จะมคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 1 และ เงอนไขบงคบท 3 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยไดดงตอไปน



จะได R1 = { 3 , 4 } และ n(R2) = 2 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยท

เปนไปไดหรอไม โดยใช i ij

j

t min { 0 , a }

จะได 1t = min { 0 , 2 } + min { 0 , 1 } + min { 0 , – 5 } + min { 0 , 3 } = – 5 และ 1b = – 2


จะได 3t = min { 0 , 7 } + min { 0 , 4 } + min { 0 , – 1 } + min { 0 , – 5 } = – 6 และ 3b = – 5

(BP1)

47


3. จาก

i m

k i ij

i 1

I j max { 0 , – b a }


1I 3 = max{0 , 2 + (–5)} + max{0 , – 4 + (–3)} + max{0 , 5 + (–1)} = 4

1I 4 = max{0 , 2 + 3} + max{0 , – 4 + 1} + max{0 , 5 + (– 5)} = 5


ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X3 มคาเทากบ 1 และจาก I = 4 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X3 ทมคาเทากบ 1 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 3 + X1 + 5X2 + 2X4

เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 + 3X4 3 2) X1 – X2 + X4 7

3) 7X1 + 4X2 – 5X4 – 4

X1 , X2 , X4 = 0 หรอ 1

ท าการค านวณคาผลรวมของความเปนไปไมได( I ) ไดดงน

จาก i m

i

i 1

I max { 0 , – b }

จะได I = max { 0 , – 3) } + max { 0 , – 7 } + max { 0 , 4 }

ดงนน I = 4

จากปญหาใหม(BP2) ท าการหาผลเฉลยตอไปไดดงน จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลยทมคานอยทสดถาใหตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 0 ทงหมด นนคอ คาของตวแปร X1 , X2 , X4 จะมคาเทากบ 0 ทงหมด แต ผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 3 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยไดดงตอไปน



(BP2)

48

จะได R2 = { 4 } และ n(R2) = 1 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 3t = min { 0, 7 } + min { 0, 4 } + min { 0, – 5 } = – 5 และ 3b = – 4


3. จาก

i m

k i ij

i 1

I j max { 0 , – b a }


2I 4 = max{0 , – 3 + 3} + max{0 , – 7 + 1} + max{0 , 4 + (– 5)} = 0

4. ก าหนดคาของตวแปรตดสนใจท j ใหมคาเทากบ 1 โดยพจารณา I = min { kI j } จะได I = min { 0 } = 0

ดงนนจงจะก าหนดใหตวแปร X4 มคาเทากบ 1 และจาก I = 0 ทค านวณไดจะสามารถบอกไดวาเปนผลรวมของความเปนไปไมไดของปญหาใหมทไดจากการแทนคาตวแปร X4 ทมคาเทากบ 1 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP3) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 5 + X1 + 5X2

เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 0 2) X1 – X2 6

3) 7X1 + 4X2 1

X1 , X2 = 0 หรอ 1

จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลยทมคานอยทสดถาใหตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 0 ทงหมด นนคอ คาของตวแปร X1 , X2 จะมคาเทากบ 0 ทงหมด และผลเฉลยนจะสอดคลองกบเงอนไขบงคบทงหมดดวย นนคอ จาก Q3 = และ n(Q3) = 0 แสดงวาไมมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนยแลว ดงนนจะหยดการพจารณาแตกกงสาขาจากปญหา (BP3) และผลเฉลยทไดคอ X1 = 0 , X2 = 0 , X3 = 1 , X4 = 1

และ (minimize) P = 5

ตอไปจะท ำกำรยอนกลบมาพจารณาปญหา (BP2) คอ ก าหนดใหคาตวแปร X4 ใหมคาเทากบ 0 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม (BP4) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 3 + X1 + 5X2

เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 3 2) X1 – X2 7

(BP3)

(BP4)

49

3) 7X1 + 4X2 – 4

X1 , X2 = 0 หรอ 1

จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลยทมคานอยทสดถาใหตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 0 ทงหมด นนคอ คาของตวแปร X1 , X2 จะมคาเทากบ 0 ทงหมด แตผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 3 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยไดดงตอไปน



จะได R4 = และ n(R4) = 0 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม จาก 3t = min { 0 , 7 } + min { 0 , 4 } = 0 และ 3b = – 4

ดงนน 3t 3b แสดงวาปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได

ดงนนจงหยดการพจารณาปญหา(BP4) แลวท าการยอนกลบมาพจารณาปญหา (BP1) คอ ก าหนดใหคาตวแปร X3 ใหมคาเทากบ 0 ซงสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนใหม(BP5) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค(minimize) P = X1 + 5X2 + 2X4

เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 + 3X4 – 2 2) X1 – X2 + X4 4

3) 7X1 + 4X2 – 5X4 – 5

X1 , X2 , X4 = 0 หรอ 1

จากการพจารณาคาของฟงกชนจดประสงคจะไดผลเฉลยทมคานอยทสดถาใหตวแปรตดสนใจมคาเทากบ 0 ทงหมด นนคอ คาของตวแปร X1 , X2 , X4 จะมคาเทากบ 0 ทงหมด แต ผลเฉลยนจะไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท 1 และเงอนไขบงคบท 3 ดงนนจะท าการพจารณาหาผลเฉลยไดดงตอไปน

1. จาก Qk = { i bi < 0 } จะได Q2 = { 1 , 3 } และ n(Q2) = 2 แสดงวายงมคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทมคานอยกวาศนย


จะได R5 = { 4 } และ n(R5) = 1 ท าการทดสอบผลเฉลยของปญหามผลเฉลยทเปนไปไดหรอไม

(BP5)

50

จาก 1t = min { 0 , 2 } + min { 0 , 1 } + min { 0 , 3 } = 0 และ 1b = – 2 ดงนน 1t 1b แสดงวาปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได

ดงนนจงหยดการพจารณาปญหา (BP5) เนองจากท าการพจารณาปญหาทแตกกงสาขามาจากปญหา (BP1) ครบทกปญหาแลว จงสรปไดวามผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว คอ ผลเฉลยทไดจากปญหา (BP3) นนคอ X1 = 0 , X2 = 0 , X3 = 1 , X4 = 1

และ (minimize) P = 5



BP4 BP3

BP1

BP2 BP5

X3 = 1 X3 = 0

X4 = 1 X4 = 0

มผลเฉลย

ไมมผลเฉลย

ไมมผลเฉลย

51

บทสรป

ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คอ ตวแบบก าหนดการเชงเสนนนเอง เพยงแตเพมเงอนไขในเรองของผลเฉลย ทจะตองเปนเลขจ านวนเตม และขนอยกบวาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมจะเปนประเภทใด โดยสามารถแบงก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเปน 3 ประเภท ไดแก ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทงหมด ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมแบบผสม และก าหนดการ เชงเสนจ านวนเตมศนย-หนง ในกำรหำผลเฉลยของปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมสามารถท าไดหลายวธเชนเดยวกบการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนรปแบบทวไป เชน วธกรำฟ วธซมเพลกซ และวธกำรใชโปรแกรมส ำเรจรป แตวธการทนยมน ามาใชในการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดส าหรบปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม ไดแก วธการคนหาผลเฉลย และวธการตดพนทออก ส าหรบวธการคนหาผลเฉลย สามารถจ าแนกได 3 วธ ไดแก วธกำรแจกนบโดยตรง วธกำรแตกกงสำขำและกำรก ำหนดขอบเขต และวธกำรแจงนบโดยปรยำย ในการเลอกใชวธการใดขนอยกบลกษณะปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมจะเปนประเภทใด

52

แบบฝกหดบทท 1

จากปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน จงหาผลเฉลยดวยวธการแจงนบโดยตรง

1.1 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 15X2 เงอนไขบงคบ 5X1 + 4X2 11 X1 + 5X2 11


1.2 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 20X1 + 30X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + 5X2 11 4X1 + 6X2 25

2X1 + 3X2 7


1.3 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 30X1 + 10X2 + 20X3

เงอนไขบงคบ 2X1 + 6X2 + 7X3 10 5X1 + 3X2 + 8X3 14




2X1 + 3X2 + 9X3 17


53

1.5 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 20X1 + 10X2 + 20X3 + 20X4

เงอนไขบงคบ 2X1 + 8X2 + 2X3 + 4X4 15 8X1 + 4X2 + 10X3 + 5X4 18

7X1 + 3X2 + 5X3 + 10X4 12

X1 , X2 , X3 , X4 0 และมคาเปนจ านวนเตม

จากผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนทก าหนดใหตอไปน จงหาผลเฉลยทเปนจ านวนเตมดวยวธการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขต

1.6 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 20X1 + 30X2 เงอนไขบงคบ 2X1 + 4X2 15 2X1 + X2 12

X1 , X2 0

ผลเฉลย คอ X1 = 5.5 , X2 = 1 และ (maximize) P = 140

1.7 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 40X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + X2 10 2X1 + 6X2 8

X1 , X2 0

ผลเฉลย คอ X1 = 3.25 , X2 = 0.25 และ (maximize) P = 135

1.8 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 30X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ X1 + 3X2 6 2X1 + X2 8

X1 , X2 0

ผลเฉลย คอ X1 = 3.6 , X2 = 0.8 และ (minimize) P = 124

1.9 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 20X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + X2 8 2X1 + 4X2 10

X1 , X2 0

ผลเฉลย คอ X1 = 2.2 , X2 = 1.4 และ (minimize) P = 58

54

1.10 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 20X1 + 10X2 + 20X3


X1 , X2 0

ผลเฉลย คอ X1 = 0 , X2 = 3.75 , X3 = 0.5 และ (minimize) P = 47.5

จากผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนทก าหนดใหตอไปน จงหาผลเฉลยทเปนจ านวนเตมดวยวธการแจงนบโดยปรยาย


เงอนไขบงคบ X1 + 4X2 + 2X3 10 2X1 + X2 + 3X3 8

4X1 + 2X2 + X3 12

X1 , X2 , X3 = 0 หรอ 1


เงอนไขบงคบ 10X1 + 5X2 + 17X3 25 5X1 + 15X2 + 13X3 – 28

14X1 + 25X2 + 14X3 – 15 X1 , X2 , X3 = 0 หรอ 1


เงอนไขบงคบ 2X1 + 5X2 + 7X3 – 2 X1 + X2 + 3X3 – 8

4X1 + X2 + 5X3 – 5 X1 , X2 , X3 = 0 หรอ 1


เงอนไขบงคบ 3X1 + X2 + 2X3 8 2X1 – 3X2 + 6X3 4

2X1 + X2 – 5X3 5

X1 , X2 , X3 = 0 หรอ 1

55


เงอนไขบงคบ 3X1 – X2 + 4X3 4 X1 + 2X2 + 3X3 6 5X1 + X2 – 2X3 – 5

X1 , X2 , X3 = 0 หรอ 1

บทท 2

การหาผลเฉลยดวยวธการตดพนทออก

การหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวยวธการตดพนทออก (cutting planes method) เปนวธการทท าการตดพนททใหผลเฉลยทไมเปนจ านวนเตมออกแลว ผลเฉลยใหมทไดจะเปนผลเฉลยทเปนเฉพาะจ านวนเตม โดยการเพมเงอนไขบงคบใหมเขาไปใน ตวแบบก าหนดการเชงเสนทผลเฉลยยงไมเปนจ านวนเตม ซงเงอนไขบงคบใหมทเพมลงไปนจะท าหนาทตดผลเฉลยทไมเปนจ านวนเตมออกไปจากพนททมผลเฉลยเปนจ านวนเตม โดยทเง อนไขบงคบใหมทเพมลงไปจะไมขดแยงกบเงอนไขบงคบเดมทมอยกอนแลว ซงเงอนไขบงคบใหมทเพมลงไปนจะเรยกวา เงอนไขบงคบทตยภม (secondary constraint) ซงสามารถจ าแนกวธการสรางเงอนไขบงคบทตยภมได 4 วธ ดงน 1. วธการตดทมสมประสทธของตวแปรมคาเปนหนง (cuts with unit coefficients) 2. วธการตดแบบเศษสวน (fractional cuts) 3. วธการตดแบบจ านวนเตม (all integer cuts) 4. วธการตดแบบผสม (mixed cuts) สามารถแสดงไดดงรายละเอยดตอไปน

วธการตดทสมประสทธของตวแปรมคาเปนหนง

การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดทเปนจ านวนเตมดวยวธการน มแนวความคดทวาเมอท าการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนแลว ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดไมเปนจ านวนเตม จะไดวา ตวแปรพนฐานทกตวจะมคาไมเทากบ 0 และตวแปรไมพนฐานทกตวจะมคาเทากบ 0 ซงหมายความวาการทตวแปรไมพนฐานทกตวมคาเทากบ 0 นจะท าใหผลเฉลยทไดมคาไมเปนจ านวนเตม ดงนนถาตองการใหผลเฉลยมคาเปนจ านวนเตมจะตองท าใหตวแปรไมพนฐานบางตวมคามากกวา 0 เพราะฉะนนจะไดวาผลรวมของตวแปรไมพนฐานทกตวมคามากกวา 0 ดงนนจะไดเงอนไขบงคบใหมทจะเพมลงในตวแบบของปญหาก าหนดการเชงเสน หรอทเรยกวาเงอนไขบงคบทตยภม ไดดงน

j R

Xj 0 ----------------------(1)

โดยท R คอ กลมของตวแปรไมพนฐาน

จากรปแบบของเงอนไขบงคบ (1) ทไดจะอยในรปของเครองหมายมากกวาอยางเดยวซงจะเปนการยากในการหาผลเฉลย เพราะจะไมสามารถเตมตวแปรสวนเกนลงไปในเงอนไขบงคบได ดงนนจะท าการแปลงเงอนไขบงคบ (1) ใหอยรปของเครองหมายมากกวาหรอเทากบ ไดดงน

56

j R

Xj ----------------------(2)

โดยท คอ คาทมากกวาศนยทเหมาะสม

จากรปแบบของเงอนไขบงคบ (2) ทอยในรปของเครองหมายมากกวาหรอเทากบ ซงจะชวยท าใหการหาผลเฉลยไดงายขน เพราะจะสามารถเตมตวแปรสวนเกนลงไปในเงอนไขบงคบได และโดยทวไปแลวปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทสมประสทธของตวแปรตดสนใจมคาเปนจ านวนเตม และคาทางขวามอของเครองหมายมากกวาหรอเทากบมคาเปนจ านวนเตมแลวจะสามารถก าหนดใหคาของ ใหมคาเทากบ 1 ดงน นจะไดเงอนไขบงคบใหมทอยในรปของเครองหมายมากกวาหรอเทากบ ดงน

j R

Xj 1 ----------------------(3)

เมอท าการเพมเงอนไขบงคบ (3) ทอยในรปของเครองหมายมากกวาหรอเทากบ ซงจะเรยกวาเงอนไขบงคบทตยภม ลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสนแลวเงอนไขบงคบนจะท าหนาทตดพนททไมใชคาจ านวนเตมออกไป ซงจะเหนไดวาสมประสทธของตวแปรไมพนฐานในเงอนไขบงคบมคาเปน 1 ทงหมด ดงนนจะเรยกวธการเพมเงอนไขบงคบทตยภมทมสมประสทธของตวแปรไมพนฐานในเงอนไขบงคบมคาเปน 1 ทงหมดนวา การตดทมสมประสทธของตวแปรมคาเปนหนง และท าการหาผลเฉลยของปญหาใหมตอไป ถาตวแปรตดสนใจมคาเปนคาจ านวนเตมทกคา แสดงวาผลเฉลยทไดเปนผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว แตถาตวแปรตดสนใจบางคาไมเปนจ านวนเตม แสดงวาผลเฉลยทไดยงไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสด จะตองท าการสรางเงอนไขทตยภมใหมเพมลงไปในตวแบบของปญหาอก แลวท าการหาผลเฉลยของปญหาใหมตอไป จนกระทงไดตวแปรตดสนใจมคาเปนคาจ านวนเตมทกคาหรอจนกวาไมมผลเฉลยทเปนไปได

สรปขนตอนการหาผลเฉลยดวยวธการตดทมสมประสทธของตวแปรมคาเปนหนง

1. เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป 2. ท าการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป 2.1 ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดเปนจ านวนเตมแสดงผลเฉลยทไดนเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเชนกน 2.2 ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดไมเปนจ านวนเตม ใหด าเนนการตามขนตอนท 3 ตอไป

3. ท าการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ตามอสมการ (3) เพมลงไปในปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม แลวยอนกลบไปด าเนนการตามขนตอนท 1 สามารถแสดงไดดวยตวอยางตอไปน

57

ตวอยางท 2.1 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2


2) 3X1 + 2X2 10 X1 , X2 0 และมคาเปนจ านวนเตม

วธท า

ท ำกำรเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2


2) 3X1 + 2X2 10

X1 , X2 0

จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 = 15

2) 3X1 + 2X2 + 0S1 + 1S2 = 10

X1 , X2 , S1 , S2 0 S1 , S2 คอ ตวแปรสวนขำด


Cj 5 6 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

0 S1 2

5

1

0

15

0 S2 3

2

0

1

10

Pj 0 0 0

0 0

(Cj – Pj) 5

6 0

0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = 12 , S2 = 10 (maximize) P = 0

(IP1)

(LP1)

58


Cj 5 6 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

6 X2 2

5 1

1

5 0

3

0 S2 11

5 0

2

5 1

4

Pj 4 6 6

5 0 18

(Cj – Pj) 1

0 6

5 0



Cj 5 6 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

6 X2 0

1

3

11

2

11

25

11

5 X1 1

0

2

11

5

11

20

11

Pj 5 6 8

11

13

11

250

11

(Cj – Pj) 0

0 8

11

13

11


X1 = 20

11 , X2 = 25

11 , S1 = 0 , S2 = 0

(maximize) P = 250

11

59

จำกตำรำงซมเพลกซท 3 ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดแตเปนผลเฉลยทไมเปนจ ำนวนเตม ดงนนจะท ำกำรหำผลเฉลยใหมโดยกำรเพมเงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสนแลวเงอนไขบงคบนจะท าหนาทตดพนททไมใชคาจ านวนเตมออกไป ซงจะเหนไดวำตวแปร S1 , S2 เปนตวแปรไมพนฐำน ดงนนเงอนไขบงคบทตยภม คอ ผลรวมของตวแปรไมพนฐานทกตวมคามากกวาหรอเทากบ 1 สำมำรถแสดงไดดงน S1 + S2 1 หรอ S1 + S2 – S3 = 1 โดยท S3 คอ ตวแปรสวนเกน

ดงนนสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2


2) 3X1 + 2X2 10

3) S1 + S2 1

X1 , X2 , S1 , S2 0 และมคาเปนจ านวนเตม

ท ำกำรเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป


2) 5X1 + 2X2 10

3) S1 + S2 1

X1 , X2 , S1 , S2 0

จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 – MA1 – MA2 – MA3

เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 1A1 + 0A2 + 0A3 = 15

2) 3X1 + 2X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0A1 + 1A2 + 0A3 = 10

3) 0X1 + 0X2 + 1S1 + 1S2 – 1S3 + 0A1 + 0A2 + 1A3 = 1 X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , A1 , A2 , A3 0

จำกกำรค ำนวณหำผลเฉลยดวยตำรำงซมเพลกซจะเหนไดวำตวแปรเทยมทเพมลงในเงอนไขบงคบทอยในตำรำงทเปนผลเฉลยเหมำะสมทสดหรอตำรำงสดทำย ถำปญหำมผลเฉลย

(IP2)

(LP2)

60

เหมำะสมทสดแลว ตวแปรเทยมนจะเปนตวแปรไมพนฐำนทมคำเทำกบ 0 เสมอและจะไมกลบมำเปนตวแปรพนฐำนอก และจะไมมผลกระทบกบผลเฉลยของปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมใหมทเพมเงอนไขบงคบทตยภมใหมลงไปเพรำะเปนเพยงตวแปรทสรำงขนเพอใชในกำรเรมตนกำรค ำนวณดวยวธซมเพลกซเทำนน ดงนนในกำรค ำนวณหำผลเฉลยตอจำกตำรำงซมเพลกซทเปน ผลเฉลยเหมำะสมทสดของปญหำเดมจงไมจ ำเปนทจะตองใสตวแปรเทยมทออกมำเปนตวแปรไมพนฐำนแลว แตจะใสเฉพำะตวแปรเทยมทสรำงขนมำใหมเพอใชในกำรเรมตนกำรค ำนวณเทำนน

กำรค ำนวณหำผลเฉลยดวยตำรำงซมเพลกซใหมตอจำกตำรำงซมเพลกซทเปนผลเฉลยเหมำะสมทสดของปญหำเดม มวธกำรค ำนวณทสะดวกกวำทจะเรมค ำนวณจำกตำรำงซมเพลกซเรมตน สำมำรถท ำไดโดยกำรเพมแถวใหมในตำรำงซมเพลกซทเปนผลเฉลยเหมำะสมทสดของปญหำเดม ซงแถวทเพมใหมนจะเปนแถวทเกดจำกเงอนไขบงคบทตยภมใหมทเพมลงไปและท าการเพมหลกใหมในตารางซมเพลกซ คอ หลกของตวแปรสวนขาดหรอตวแปรสวนเกนแลวแตกรณ ซงถาเปนการเพมตวแปรสวนเกนตองเพมตวแปรเทยมใหมดวยเพอใชในกำรเรมตนกำรค ำนวณดวยวธซมเพลกซ แลวท าการค านวณหาผลเฉลยใหมตอไปไดเลยโดยทไมตองท าการเรมค านวณตารางซมเพลกซตงแตเรมตน สำมำรถแสดงไดดงน


Cj 5 6 0 0 0 – M

Cb ตวแปร

พนฐาน


6 X2 0

1

3

11

2

11 0 0 25

11

5 X1 1

0

2

11

5

11 0 0 20

11

–M A 0 0 1 1 – 1

1 1

Pj 5 6 8

11– M

13

11– M M – M 250

11– M

(Cj – Pj) 0

0 M – 8

11 M –13

11 – M 0


X1 = 20

11 , X2 = 25

11 , S1 = 0 , S2 = 0

(maximize) P = 250

11– M

61


Cj 5 6 0 0 0 – M

Cb ตวแปร

พนฐาน


6 X2 0

1

0

5

11

3

11

3

11 2

5 X1 1

0

0

7

11

2

11

2

11 2

0 S1 0 0 1 1 –1

1 1

Pj 5 6 0

5

11

8

11

8

11 22

(Cj – Pj) 0

0 0 5

11

8

11 –M– 8

11

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 2 , X2 = 2 S1 = 1 , S2 = 0 , S3 = 0 (maximize) P = 22

จำกตำรำงซมเพลกซท 5 ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดเพรำะตวแปรตดสนใจเปนจ ำนวนเตมทกตวแลว ดงนนผลเฉลยทไดจำกกำรเพมเงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสน คอ เงอนไขบงคบทตยภม S1 + S2 1 ดงนนจะสรปไดวา ผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คอ


2) 3X1 + 2X2 10


ผลเฉลยเหมำะสมทสดคอ X1 = 2 , X2 = 2 (maximize) P = 22

(IP1)

62

จำกปญหำก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม (IP1) สำมำรถแสดงพนทกำรหำผลเฉลยโดยกรำฟไดดงตอไปน

กราฟท 2.1 แสดงพนทผลเฉลยของปญหาจากตวอยางท 2.1 (IP1)

จากปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ทเพมเงอนไขทตยภม ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2


2) 3X1 + 2X2 10

3) S1 + S2 1


สามารถเปลยนตวแปร S1 , S2 ใหอยในเทอมของตวแปร X1 , X2 ไดดงตอไปน จาก 2X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 = 15 และ 3X1 + 2X2 + 0S1 + 1S2 = 10

ดงนน S1 = 15 – 2X1 – 5X2 และ S2 = 10 – 3X1 – 2X2 และจำก S1 + S2 1

(IP2)

63

ดงนน (15 – 2X1 – 5X2 ) + (10 – 3X1 – 2X2 ) 1

– 5X1 – 7X2 – 24

5X1 + 7X2 24

สามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 6X2


2) 3X1 + 2X2 10

3) 5X1 + 7X2 24


สำมำรถแสดงพนทกำรหำผลเฉลยโดยกรำฟไดดงตอไปน

กราฟท 2.2 แสดงพนทผลเฉลยของปญหาทเพมเงอนไขทตยภม (IP2) จากตวอยางท 2.1

(IP2)

64

วธการตดแบบเศษสวน

การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดทเปนจ านวนเตมดวยวธการตดแบบเศษสวนเปนวธการทน าเสนอโดย โกโมร (R.E. Gomory) ซงไดแสดงอสมการพนฐานทจะใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภมและเงอนไขบงคบทตยภมใหมทสรางนจะมสมประสทธของตวแปรเปนทศนยม ซงจะมวธการสรางดงรายละเอยดตอไปน โดยทวไปแลวคาของตวแปรพนฐานในตำรำงซมเพลกซ สำมำรถแสดงไดในรปของสมกำร ไดดงน Xbi = yi0 –

j R

yij Xj -------------------------(1)

ก าหนดให h คอ คาทไมเทากบ 0 น า h คณสมการ (1) จะได

hXbi = hyi0 –j R

hyij Xj

หรอ hXbi + j R

hyij Xj = hyi0 ------------------------(2)

จากขอความทวา คาในสวนทเปนคาเชงจ านวนเตมของจ านวน a ใดๆ จะมคานอยกวาหรอเทากบคาของจ านวนนนๆ เสมอ (ประกอบ จรกต, 2535 : 80) ดงนนจะได [ a ] a

ยกตวอยางเชน [ 6.5 ] = 6 < 6.5

[ 7 ] = 7

[– 4.8 ] = –5 < – 4.8

เพราะฉะนน จาก h คอ คาทไมเทากบ 0 ดงนน [ h ] h ------------------(3) คณอสมการ (3) ดวยตวแปรพนฐาน Xbi ทมคามากกวาหรอเทากบศนย จะได

[ h ] Xbi h Xbi ----------------------(4)

หรอ [ h Xbi ] h Xbi ----------------------(5)

จาก Xbi = yij ดงนนอสมการ (5) สามารถเขยนใหมได

[ hyij ] hyij ----------------------(6)

65

คณอสมการ (6) ดวยตวแปร Xj ทมคามากกวาหรอเทากบศนย จะได

[ hyij ] Xj hyij Xj ----------------------(7)

จากอสมการ (7) เมอท าการรวมทกๆ คา j จะได

j R

[ hyij ] Xj j R

hyij Xj ----------------------(8)

จากอสมการ (4) และอสมการ (8) สามารถเขยนผลรวมของอสมการทงสองไดดงน [ h ] Xbi +

j R

[ hyij ] Xj h Xbi + j R

hyij Xj

จากสมการ (2) hXbi + j R

hyij Xj = hyi0

ดงนน [ h ] Xbi + j R

[ hyij ] Xj hyi0 ----------------------(9)

จากผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมตวแปรพนฐาน (Xbi) ทไดจะตองเปนจ านวนเตม ดงนนตวแปรตดสนใจ (Xj) จะเปนจ านวนเตมดวย ซงจะไดวาคาทางซายมอของอสมการ (9) ทกเทอมจะมคาเปนจ านวนเตมทงหมดและผลรวมของคาจ านวนเตมทางซายมอทกเทอมจะมคาไมเกนคาจ านวนเตมของคาทางขวามอของอสมการ (9) ดงนนจะไดวา [ h ] Xbi +

j R

[ hyij ] Xj [ hyi0 ] ----------------------(9)

จากคาของตวแปรพนฐานในสมการ(1); Xbi = yi0 –j R

yij Xj

คณสมการ(1) ดวย [ h ] ทมคามากกวาหรอเทากบศนย จะได

[ h ]Xbi = [ h ]yi0 –j R

[ h ]yij Xj ----------------------(10)

แทนคา [ h ]Xbi ในสมการ(10) ลงในอสมการ(9) จะได

[ h ]yi0 –j R

[ h ]yij Xj + j R

[ hyij ] Xj [ hyi0 ]

j R

[ hyij ] Xj – j R

[ h ]yij Xj [ hyi0 ] – [ h ]yi0 ----------------------(11)

66

ดงนนจะได อสมการ (11) คอ อสมการพนฐานทจะใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภมตามวธการน าเสนอของโกโมร

การสรางเงอนไขบงคบดวยการตดแบบเศษสวน

จากอสมการ(11); j R

[ hyij ] Xj – j R

[ h ]yij Xj [ hyi0 ] – [ h ]yi0 ถาก าหนดให

คา h มคาเทากบ 1 จะได

j R

[ yij ] Xj – j R

yij Xj [ yi0 ] – yi0

j R

{ [ yij ] – yij } Xj [ yi0 ] – yi0 ----------------------(12)

โดยทวไปแลวจ านวนทมคาเปนเศษสวนหรอทศนยม สามารถเขยนไดสองสวนดวยกน คอ สวนทเปนจ านวนเตมและสวนทเปนทศนยม เชน 8.5 สวนทเปนจ านวนเตมคอ 8 และสวนทเปนทศนยม คอ 0.5 ดงนน ถาก าหนดให yij คอ จ านวนใดๆ สามารถเขยนคา yij ไดดงตอไปน

yij = [ yij ] + fi โดยท [ yij ] คอ คาของจ านวนเตมทนอยกวาหรอเทากบคาของจ านวน yij

fij คอ คาทศนยมของจ านวน yij

จากอสมการ (12); j R

{ [ yij ] – yij } Xj [ yi0 ] – yi0 จะได

j R

{ [ yij ] – ( [ yij ] + fij ) } Xj [ yi0 ] – { [ yi0 ] + fi0 } = j R

–( fij ) Xj –fi0

หรอ j R

fij Xj fi0 ----------------------(13)

ดงนนจะไดวา อสมการ (13) คอ อสมการพนฐานทใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ทจะใชตดพนทผลเฉลยทไมเปนจ านวนเตมออก ซงจะเหนไดวาเงอนไขบงคบทตยภมทสรางจากอสมการ (13) เปนการสรางมาจากคาเศษสวนหรอทศนยมของสมประสทธของตวแปรพนฐานในตารางซมเพลกซ ดงนนจะเรยกวธการนวา การหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวยวธการตดแบบเศษสวน

67

สรปขนตอนการหาผลเฉลยดวยวธการตดแบบเศษสวน 1. ท าการเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป 2. ท าการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป

2.1 ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดเปนจ านวนเตมแสดงผลเฉลยทไดนเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเชนกน

2.2 ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดไมเปนจ านวนเตม ใหด าเนนการตามขนตอนท 3 ตอไป

3. ท าการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ตามอสมการ (13) เพมลงไปในปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม แลวยอนกลบไปด าเนนการตามขนตอนท 1

การหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวยวธการตดแบบเศษสวน จะตองท าการเลอก แถวของตวแปรตดสนใจ Xi ทมคาไมเปนจ านวนเตม เพอใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ซงจะเรยกแถวนวา แถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม (source row) และในการเลอกแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม สามารถเลอกแถวใดกไดถาตวแปรตดสนใจ Xi มคาเปนทศนยมหลายตว ซงจะมความแตกตางกนเฉพาะขนตอนการค านวณในตำรำงซมเพลกซเทานน แตสดทายจะไดผลเฉลยเหมอนกน และเพอความสะดวกในการค านวณมวธการเลอก คอ การเปรยบเทยบคาทเปนทศนยมของตวแปร (fractional value) โดยจะเลอกคาทเปนทศนยมของ ตวแปรทมคามากกวาเปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม สามารถแสดงไดดวยตวอยางตอไปน



2) 2X1 + X2 5


วธท า

ท าการเปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนในรปแบบทวไป


2) 2X1 + X2 5

X1 , X2 0

(IP1)

(LP1) (LP1)

68

จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2 + 0S1 + 0S2

เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 = 15

2) 2X1 + X2 + 0S1 + 1S2 = 5



Cj 15 12 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

0 S1 2

5

1

0

15

0 S2 2

1

0

1

5

Pj 0 0 0

0 0

(Cj – Pj) 15

12 0

0



Cj 15 12 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

0 S1 0

4

1

–1 10

15 X1 1

0.5

0

0.5

2.5

Pj 15 7.5

0

7.5

37.5

(Cj – Pj) 0

4.5

0

–7.5

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 2.5 , X2 = 0 , S1 = 10 , S2 = 0 (maximize) P = 37.5

69


Cj 15 12 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

12 X2 0

1

0.25

– 0.25 2.5

15 X1 1

0

– 0.125 0.625

1.25

Pj 15 12

1.125

6.375

48.75

(Cj – Pj) 0

0

– 1.125 – 6.375

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1.25 , X2 = 2.5 , S1 = 0 , S2 = 0 (maximize) P = 48.75

จำกตำรำงซมเพลกซท 3 ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดแตเปนผลเฉลยทไมเปนจ ำนวนเตมหรอมคำเปนจ ำนวนทศนยม ดงนนจะท ำกำรหำผลเฉลยใหมโดยกำรเพม เงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสนแลวเงอนไขบงคบนจะท าหนาทตดพนททไมใชคาจ านวนเตมออกไป โดยจะใชวธการตดแบบเศษสวน ซงจะเหนไดวา ตวแปรตดสนใจ X1 และ X2 มคาเปนทศนยมทงค ดงนนจะตองเลอกแถวของตวแปรตวใดตวหนงในตำรำงซมเพลกซ เพอใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ซงจะเรยกแถวนวา แถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม และในการเลอกแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม จะใชการเปรยบเทยบคาทเปนทศนยมของตวแปร โดยจะเลอกคาทเปนทศนยมของตวแปรทมคามากกวาเปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม

ซงในตวอยางน คาทศนยมของตวแปรตดสนใจ X1 และ X2 มคาเทากน ดงน จาก X1 = 1.25 คาทเปนทศนยมของตวแปรตดสนใจ X1 คอ 0.25

จาก X2 = 2.5 คาทเปนทศนยมของตวแปรตดสนใจ X2 คอ 0.5

ดงนนจะเลอกแถวของตวแปรตดสนใจ X2 เปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม จาก อสมการพนฐานทจะใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม

j R

fij Xj fi0

จะไดเงอนไขบงคบทตยภม คอ 0.25S1 + 0.75S2 0.5

70



2) 2X1 + X2 5

3) 0.25S1 + 0.75S2 0.5




2) 2X1 + X2 5

3) 0.25S1 + 0.75S2 0.5

X1 , X2 , S1 , S2 0



2) 2X1 + X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0A1 + 1A2 + 0A3 = 5

3) 0X1 + 0X2 + 0.25S1 + 0.75S2 – 1S3 + 0A1 + 0A2 + 1A3 = 0.5

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , A1 , A2 , A3 0

(LP2)

(IP2)

71


Cj 15 12 0 0 0 –M

Cb ตวแปร

พนฐาน


12 X2 0

1

0.25

–0.25 0 0 2.5

15 X1 1

0

– 0.125 0.625

0 0 1.25

–M A 0 0 0.25 0.75 – 1

1 0.5

Pj 15 12

1.125 – 0.25M 6.375 – 0.75M M –M 48.75 – 0.5M

(Cj – Pj) 0

0

0.25M – 1.125 0.75M – 6.375 –M 0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1.25 , X2 = 2.5 , S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 0 , A = 0.5

(maximize) P = 48.75 – 0.5M


Cj 15 12 0 0 0 – M

Cb ตวแปร

พนฐาน


12 X2 0

1

0

– 1 1 – 1 2

15 X1 1

0

0

1 – 0.5 0.5

1.5

0 S1 0 0 1 3 – 4

4 2

Pj 15 12

0

3

4.5

– 4.5 46.5

(Cj – Pj) 0

0

0 – 3 – 4.5 – M –4.5

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1.5 , X2 = 2 , S1 = 2 , S2 = 0 , S3 = 0

(maximize) P = 46.5

จำกตำรำงซมเพลกซท 5 ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดแตตวแปรตดสนใจ X1 เปนผลเฉลยทไมเปนจ ำนวนเตมหรอมคำเปนจ ำนวนทศนยม ดงนนจะท ำกำรหำผลเฉลยใหมโดยกำรเพมเงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสน โดยจะใชวธการตดแบบเศษสวน ดงนนในตวอยางนจะเลอกแถวของตวแปรตดสนใจ X1

72

จาก อสมการพนฐานทจะใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม

j R

fij Xj fi0

จะไดเงอนไขบงคบทตยภม คอ 0.5S3 0.5 หรอ S3 1



2) 2X1 + X2 5

3) 0.25S1 + 0.75S2 0.5

4) S3 1

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0 และมคาเปนจ านวนเตม



2) 2X1 + X2 5

3) 0.25S1 + 0.75S2 0.5

4) S3 1

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0


เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + 1A1 + 0A2 + 0A3 + 0A4 = 15

2) 2X1 + X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 + 0A1 + 1A2 + 0A3 + 0A4 = 5

3) 0X1 + 0X2 + 0.25S1 + 0.75S2 –1S3 + 0S4 + 0A1 + 0A2 + 1A3 + 0A4 = 0.5 4) 0X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 – 1S4 + 0A1 + 0A2 + 0A3 + 1A4 = 1

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , S4 , A1 , A2 , A3 , A4 0

(IP3)

(LP3)

73


Cj 15 12 0 0 0 0 – M

Cb ตวแปร

พนฐาน


12 X2 0

1

0 – 1 1 0 0 2

15 X1 1

0

0

1

– 0.5 0 0

1.5

0 S1 0 0 1 3 – 4

0 0 2

– M A 0 0 0 0 0.5

– 1

1 0.5

Pj 15 12

0

3

4.5 – M M – M 46.5 – M

(Cj – Pj) 0

0

0 – 3

M – 4.5 – M 0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1.5 , X2 = 2 S1 = 2 , S2 = 0 , S3 = 0 , S4 = 0 , A = 0.5

(maximize) P = 46.5 – M


Cj 15 12 0 0 0 0 – M

Cb ตวแปร

พนฐาน


12 X2 0

1

0

– 1 0 2 – 2 1

15 X1 1

0

0

1

0

– 1 1

2

0 S1 0 0 1 3 0

8 -8 6

0 S3 0 0 0 0 1

– 2

2 1

Pj 15 12

0

3

0

9 – 9 42

(Cj – Pj) 0

0

0 – 3 0 – 9 – M+9

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 2 , X2 = 1

S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 1 , S4 = 0

(maximize) P = 42

74

จำกตำรำงซมเพลกซท 7 ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดเพรำะตวแปรตดสนใจเปนจ ำนวนเตมทกตวแลว ดงนนผลเฉลยทไดจำกกำรเพมเงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสน คอ เงอนไขบงคบทตยภม 0.25S1 + 0.75S2 0.5 และ S3 1

ดงนนจะสรปไดวา ผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คอ ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2


2) 2X1 + X2 5


ผลเฉลยเหมำะสมทสดคอ X1 = 2 , X2 = 1 (maximize) P = 42



(IP1)

75

จากปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP3) ทเพมเงอนไขทตยภม ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2


2) 2X1 + X2 5

3) 0.25S1 + 0.75S2 0.5

4) S3 1

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0 และมคาเปนจ านวนเตม

สามารถเปลยนตวแปร S1 , S2 , S3 ใหอยในเทอมของตวแปร X1 , X2 ไดดงตอไปน จาก 2X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 = 15 และ 2X1 + X2 + 0S1 + 1S2 = 5 ดงนน S1 = 15 – 2X1 – 5X2 และ S2 = 5 – 2X1 – X2 จำกเงอนไขบงคบ 3) 0.25S1 + 0.75S2 0.5

ดงนน 0.25 (15 – 2X1 – 5X2 ) + 0.75 (5 – 2X1 – X2 ) 0.5

– 2X1 – 2X2 – 7

2X1 + 2X2 7

และจำก 0.25S1 + 0.75S2 – S3 = 0.5 จะได S3 = 0.25S1 + 0.75S2 – 0.5

= 0.25 (15 – 2X1 – 5X2 ) + 0.75 (5 – 2X1 – X2 ) – 0.5

= 7.5 – 2X1 – 2X2 – 0.5

= 7 – 2X1 – 2X2 จำกเงอนไขบงคบ 4) S3 1 ดงนน 7 – 2X1 – 2X2 1

–2X1 – 2X2 – 6

X1 + X2 3



2) 2X1 + X2 5

3) 2X1 + 2X2 7

4) X1 + X2 3


(LP3)

(IP3)

76



วธการตดแบบจ านวนเตม

จากการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดทเปนจ านวนเตมดวยวธการตดแบบเศษสวนทไดกลาวมาแลวขางตนซงเงอนไขบงคบทตยภมทไดจะมสมประสทธของตวแปรเปนทศนยมและจะเหนไดวาเปนการยากและไมสะดวกในการค านวณในตำรำงซมเพลกซ เพรำะอำจจะท ำใหเกดขอผดพลำดในกำรหำผลเฉลยได ดงนน โกโมรผทน าเสนอการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดทเปนจ านวนเตมดวยวธการตดแบบเศษสวน ไดเสนอวธทสามารถค านวณไดงายกวา คอ การสรางเงอนไขบงคบทตยภมทมสมประสทธของตวแปรเปนจ านวนเตมทกตว ซงจะเรยกวธการสรางเงอนไขบงคบทตยภมทมสมประสทธของตวแปรเปนจ านวนเตมทกตวนวา การตดแบบจ านวนเตม ซงหมายความวาในการเรมตนการค านวณดวยตำรำงซมเพลกซ คาตางๆ ในตำรำงจะมคำเปนจ ำนวนเตมทงหมดและ ทกตำรำงในกระบวนกำรค ำนวณจนถงตำรำงสดทำยจะมคาตางๆ ในตำรำงเปนจ ำนวนเตม ทกตำรำงเสมอ ดงรายละเอยดตอไปน

77

การเปลยนเงอนไขบงคบทมคาสมประสทธของตวแปรทเปนเศษสวนหรอเปนทศนยมใหเปนจ านวนเตม เพอใชในการเรมตนการค านวณดวยตำรำงซมเพลกซ มวธการดงตอไปน

เงอนไขบงคบ 1

5X1 + 3

7X2 8

คณ 35 ทงสองขาง จะได 7X1 + 15X2 280

เงอนไขบงคบ 2.5X1 + 5.45X2 10

คณ 100 ทงสองขาง จะได 250X1 + 545X2 100

เมอท าการเปลยนคาของสมประสทธของตวแปรการตดสนใจใหเปนจ านวนเตมแลวจะเรมตนการค านวณในตำรำงซมเพลกซ โดยการพจารณาคณสมบตของตารางซมเพลกซวาม ผลเฉลยเหมาะสมทสดแลวหรอไม (optimality condition) และพจารณาคณสมบตของการม ผลเฉลยทเปนไปได (infeasibility condition) มรายละเอยดดงตอไปน 1. กรณปญหาคาสงสด เมอท าการพจารณาคาของ (Cj – Pj) โดยทถาคาของ (Cj – Pj) เปนจ านวนลบหรอศนยทกคา แลวจะไดวาตารางซมเพลกซมผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว และคาของตวแปรพนฐานทกตวจะตองมคามากกวาหรอเทากบศนย แสดงวาตารางมผลเฉลยทเปนไปได แตถามตวแปรพนฐานบางตวมคานอยกวาศนย แสดงวาตารางมผลเฉลยทเปนไปไมได ซงถาเกดกรณทงสองขนพรอมกนจะท าการเรมตนการค านวณดวยตำรำงซมเพลกซดวยวธการตดแบบจ านวนเตม ดงตวอยางตอไปน


เงอนไขบงคบ 1) X1 + 3X2 12

2) 4X1 + 1X2 8


วธท า



2) 4X1 + 1X2 8

X1 , X2 0

(IP1)

(LP1)

78


เงอนไขบงคบ 1X1 + 3X2 + 1S1 + 0S2 = 12

4X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 = 8



Cj 10 20 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

0 S1 1

3

1

0

12

0 S2 4

1

0

1

8

Pj 0 0 0

0 0

(Cj – Pj) 10

20 0

0


จำกตำรำงซมเพลกซท 1 จะเหนไดวำตำรำงยงไมเปนตำรำงเรมตนของวธการตดแบบจ านวนเตม เพรำะคาของ (Cj – Pj) ไมเปนจ านวนลบหรอศนยทกคา และไมมตวแปรพนฐานตวใดทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการจดตารางใหม ดงน โดยวธปกตแลวจะท าการน าตวแปร X2 เขาเปนตวแปรพนฐานและน าตวแปร S1 ออกจากตวแปรพนฐาน แตในการจดตารางเรมตนใหมจะเปลยนเปนการน าตวแปร X1 เขาเปนตวแปรพนฐานและน าตวแปร S1 ออกจากตวแปรพนฐาน

79


Cj 10 20 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

10 X1 1

3

1

0

12

0 S2 0

– 11 – 4 1

– 40

Pj 10 30 10

0 120

(Cj – Pj) 0

– 10 – 10 0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 12 , X2 = 0 , S1 = 0 , S2 = – 40 (maximize) P = 120

จำกตำรำงซมเพลกซท 2 จะเหนไดวำตำรำงน เปนตำรำงเรมตนของวธการตดแบบจ านวนเตมแลว เพรำะคาของ (Cj – Pj) เปนจ านวนลบหรอศนยทกคา และมตวแปรพนฐานบางตวทมคานอยกวาศนย คอ S2 = – 40 ดงนน ตำรำงซมเพลกซท 2 ทไดน จงเปนตารางเรมตนของกำรค ำนวณดวยวธการตดแบบจ านวนเตมตอไป

2. กรณปญหาคาต าสด เมอท าการพจารณาคาของ (Cj – Pj) โดยทถาคาของ (Cj – Pj) เปนจ านวนบวกหรอศนยทกคา แลวจะไดวาตารางซมเพลกซมผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว และคาของตวแปรพนฐานทกตวจะตองมคามากกวาหรอเทากบศนย แสดงวาตารางมผลเฉลยทเปนไปได แตถามตวแปรพนฐานบางตวมคานอยกวาศนย แสดงวาตารางมผลเฉลยทเปนไปไมได ซงถาเกดกรณทงสองขนพรอมกนจะท าการเรมตนการค านวณดวยตำรำงซมเพลกซ ดวยวธการตดแบบจ านวนเตม ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 2.4 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทก าหนดใหตอไปน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2


2) 4X1 + 1X2 8


(IP1)

80

วธท า


ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) X1 + 3X2 12

2) 4X1 + 1X2 8

X1 , X2 0

จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2 เงอนไขบงคบ 1X1 + 3X2 – 1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 12

4X1 + 1X2 + 0S1 – 1S2 + 0A1 + 1A2 = 8

X1 , X2 , S1 , S2 0 S1 , S2 คอ ตวแปรสวนเกน และ A1 , A2 คอ ตวแปรเทยม


Cj 10 20 0 0 M M

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 A1 A2 RHS(bi)

M A1 1

3

– 1 0

1 0 12M

M A2 4

1

0

– 1 0 1 8M

Pj 5M 4M – M – M M M 20M

(Cj – Pj) 10 – 5M 20 – 4M M

M 0 0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = 0 , S2 = 0 , A1 = 12M , A2 = 8M (maximize) P = 20M

จำกตำรำงซมเพลกซท 1 จะเหนไดวำตำรำงนยงไมเปนตำรำงเรมตนของวธการตดแบบจ านวนเตม เพรำะคาของ (Cj – Pj) ไมเปนจ านวนบวกหรอศนยทกคา และไมมตวแปรพนฐานตวใดทมคานอยกวาศนย ดงนนจะท าการจดตารางใหม โดยการคณ –1 เขาในเงอนไขบงคบ สามารถเขยนตวแบบใหม ไดดงน

(LP1)

81

ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) –X1 – 3X2 – 12

2) – 4X1 – 1X2 – 8



ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 3X2 – 12

2) – 4X1 – 1X2 – 8

X1 , X2 0


เงอนไขบงคบ 1) – 1X1 – 3X2 + 1S1 + 0S2 = – 12

2) – 4X1 – 1X2 + 0S1 + 1S2 = – 8 X1 , X2 , S1 , S2 0

S1 , S2 คอ ตวแปรสวนขำด

ตารางซมเพลกซท 1 ใหม

Cj 10 20 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

0 S1 – 1 – 3 1

0

– 12

0 S2 – 4 – 1 0

1

– 8

Pj 0 0 0

0 0

(Cj – Pj) 10

20 0

0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = – 12 , S2 = – 8 (minimize) P = 0

(IP1)

(LP1)

82

จำกตำรำงซมเพลกซท 1 ใหม จะเหนไดวำตำรำงนเปนตำรำงเรมตนของวธการตดแบบจ านวนเตมแลว เพรำะคาของ (Cj – Pj) เปนจ านวนบวกหรอศนยทกคา และมตวแปรพนฐานทมคานอยกวาศนย คอ S1 = –12 และ S2 = –8 ดงนน ตำรำงซมเพลกซท 1 ใหม ทไดน จงเปนตารางเรมตนของกำรค ำนวณดวยวธการตดแบบจ านวนเตม ตอไป

การสรางเงอนไขบงคบดวยการตดแบบจ านวนเตม

จากอสมการพนฐานทจะใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภมตามวธการน าเสนอของ โกโมร ทไดแสดงไวในหวขอทผานมา นนคอ วธการสรางเงอนไขบงคบโดยการตดแบบเศษสวน จะได

j R

[ hyij ] Xj – j R

[ h ] yij Xj [ hyi0 ] – [ h ] yi0 ------------------(1)

ถาก าหนดใหคา h มคาอยระหวาง 0 กบ 1 นนคอ 0 < h < 1 จะไดวาคาจ านวนเตมของ h หรอ [ h ] จะมคาเทากบศนย ดงนนจะได

j R

[ hyij ] Xj [ hyi0 ] ----------------------(2)

การหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวยวธการตดแบบจ านวนเตม จะท าการเลอก แถวของตวแปรพนฐาน yi0 เพอใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ซงจะเรยก

แถวนวา แถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม โดยทจะตองเลอกแถวทตวแปรพนฐาน yi0 มคานอยกวาศนย และในการเลอกแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม สามารถเลอกแถวใดกได ถาตวแปรพนฐาน yi0 มคานอยกวาศนยหลายตว ซงจะมความแตกตางกนเฉพาะขนตอนการค านวณในตำรำงซมเพลกซเทานน แตสดทายจะไดผลเฉลยเหมอนกน และเพอความสะดวกในการค านวณมวธการเลอก คอจะเลอกแถวของตวแปรพนฐาน yi0 ทมคานอยกวาศนยมากทสดเปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม และในการค านวณดวยตำรำงซมเพลกซ ถำก ำหนดใหสมำชกตำมหลก มคาเทากบ – 1 แลวจะไดวาคาตางๆ ในตำรำงซมเพลกซจะมคาเปนจ านวนเตมเสมอ หลงจากการปรบปรงตารางแลว การก าหนดใหคา h มคาอยระหวาง 0 กบ 1 ทเหมาะสมทจะท าใหคาของสมำชกตำมหลกมคาเทากบ – 1 นน มข นตอนดงตอไปน 1. เลอกแถวของตวแปรพนฐานทมคานอยกวาศนยมากทสดเปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม แทนดวยแถวท r

83

2. พจารณาคา yrj คอ คาของสมประสทธของตวแปรในแถวท r โดยทจะเลอกเฉพาะคา

yrj ทมคานอยกวาศนย ซงอาจจะเปนสมำชกตำมหลก ทจะใชในการค านวณเพอปรบปรงตำรำง ซมเพลกซตอไป 3. ก าหนดให Rr คอ เซตของดชนของกลม yrj ทมคานอยกวาศนย นนคอ

Rr = { j yrj < 0 }

4. พจารณาคา yrj ใน Rr และก าหนดใหคา yrk ดงน

yrk = min { yrj j เปนสมาชกของ Rr }

5. ค านวณคา h ทเหมาะสม ดงน h = min { Mj / yrj j เปนสมาชกของ Rr } โดยท Mj = – [ yrj / yrk ]

เมอค านวณคา h ทเหมาะสมแลวจะท าการสรางเงอนไขบงคบทตยภม โดยการแทนคา h

ลงในอสมการท (2) จะได

j R

[ hyrj ] Xj [ hyr0 ] ----------------------(3)

สรปขนตอนการหาผลเฉลยดวยวธการตดแบบจ านวนเตม

1. เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป 2. ท าการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป 2.1 ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดเปนจ านวนเตมแสดงผลเฉลยทไดนเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเชนกน



ตวอยางท 2.5 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนจากตวอยางท 2.3 ดวยวธการตดแบบจ านวนเตม ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2


2) 4X1 + 1X2 8


(IP1)

84

วธท า

จากตวอยางท 2.3 สามารถสรางตารางซมเพลกซ เรมตนของวธการตดแบบจ านวนเตม ไดดงน


Cj 10 20 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

10 X1 1

3

1

0

12

0 S2 0

– 11 – 4 1

– 40

Pj 10 30 10

0 120

(Cj – Pj) 0

– 10 – 10 0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 12 , X2 = 0 , S1 = 0 , S2 = – 40 (maximize) P = 120

จำกตำรำงจะเหนไดวำ ตวแปรพนฐำน S2 = – 40 ซงจะเปนผลเฉลยทเปนไปไมได ดงนน จะท ำกำรปรบปรงตำรำงเพอหำผลเฉลยใหม โดยท ำกำรเลอกแถวของตวแปรพนฐำน S2 เปนแถวส ำหรบการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ท าการค านวณหาคา h ทเหมาะสม เพอทจะท าใหไดคาของสมาชกตามหลกมคาเทำกบ – 1 ดงขนตอนตอไปน 1. เลอกแถวของตวแปรพนฐานทมคานอยกวาศนย คอ แถวท 2 เปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม 2. พจารณาคา y2j คอ คาของสมประสทธของตวแปรในแถวท 2 โดยทจะเลอกเฉพาะคา

y2j ทมคานอยกวาศนย ซงในตวอยางน คอ y22 = – 11 และ y23 = – 4

3. ก าหนดให R2 คอเซตของดชนของกลม y2j ทมคานอยกวาศนย นนคอ

R2 = { 2 , 3 }

4. พจารณาคา y2j ใน R2 และก าหนดใหคา y2k ดงน

y2k = min { y22 , y23 } = min { – 11 , – 4 } = – 11

85

5. ค านวณคา h ทเหมาะสม ไดดงน h = min { M2 / y22 , M3 / y23 } = min { 1 / 11 , 1 / 11 } = 1 / 11

โดยท M2 = – 1 , M3 = – 4/11

แทนคา h ลงในอสมการ j R

[ hyrj ] Xj [ hyr0 ] จะได

[(1 / 11)(–11)] X2 + [(1 / 11)(–4)] S1 [(1 / 11)(–40)]

(– 1) X2 + (– 1) S1 – 4

– 1X2 – 1S1 + S3 = – 4

ดงนน สามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2


2) 4X1 + 1X2 8

3) – X2 – S1 – 4

X1 , X2 , S1 0 และมคาเปนจ านวนเตม S1 คอ ตวแปรสวนขำด



2) 4X1 + 1X2 8

3) – X2 – S1 – 4

X1 , X2 , S1 0

S1 คอ ตวแปรสวนขำด

จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

เงอนไขบงคบ 1) 1X1 + 3X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 12

2) 4X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 8

3) 0X1 –1X2 –1S1 + 0S2 + 1S3 = – 4

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0 S1 , S2 , S3 คอ ตวแปรสวนขำด

(IP2)

(LP2)

86


Cj 10 20 0 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน


10 X1 1

3

1

0

0 12

0 S2 0

– 11 – 4 1

0 – 40

0 S3 0 – 1 – 1 0 1 – 4

Pj 10 30 10

0 0 120

(Cj – Pj) 0

– 10 – 10 0 0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 12 , X2 = 0 , S1 = 0 , S2 = – 40 , S3 = – 4 (maximize) P = 120


Cj 10 20 0 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน


10 X1 1

0

– 2 0

3 0

0 S2 0

0 7 1

– 11 4

20 X2 0 1 1 0 – 1

4

Pj 10 20 0 0 10 80

(Cj – Pj) 0

0 0 0 – 10

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 4 , S1 = 0 , S2 = 4 , S3 = 0 (maximize) P = 80

จำกตำรำงซมเพลกซท 3 จะเหนไดวำคำ (Cj – Pj) มคำนอยกวำหรอเทำกบศนยทกตวและตวแปรพนฐำนทกตวมคำมำกกวำหรอเทำกบศนย ดงนน ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดและมตวแปรตดสนใจเปนจ ำนวนเตมทกตวแลว ดงนน ผลเฉลยทไดจำกกำรเพมเงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสน คอ

87

เงอนไขบงคบทตยภม – X2 – S1 – 4 จะสรปไดวา ผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คอ ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 12X2


2) 2X1 + X2 5


ผลเฉลยเหมำะสมทสด คอ X1 = 0 , X2 = 4

(maximize) P = 80

ตวอยางท 2.6 จงหาผลเฉลยของตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนจากตวอยางท 2.4 ดวยวธการตดแบบจ านวนเตม ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2


2) 4X1 + 1X2 8


วธท า

จากตวอยางท 2.4 สามารถสรางตารางซมเพลกซ เรมตนของวธการตดแบบจ านวนเตม ไดดงน

ตารางซมเพลกซท 1 Cj 10 20 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

0 S1 – 1 – 3 1

0

– 12

0 S2 – 4 – 1 0

1

– 8

Pj 0 0 0

0 0

(Cj – Pj) 10

20 0

0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = – 12 , S2 = – 8 (minimize) P = 0

(IP1)

(IP1)

88

จำกตำรำงจะเหนไดวำ ตวแปรพนฐำน S1 = –12 , S2 = – 8 ซงจะเปนผลเฉลยทเปนไปไมได ดงนน จะท ำกำรปรบปรงตำรำงเพอหำผลเฉลยใหม โดยท ำกำรเลอกแถวของตวแปรพนฐำน S1 เปนแถวส ำหรบการสรางเงอนไขบงคบทตยภม เพราะมคาทนอยกวาศนยมากทสด

ท าการค านวณหาคา h ทเหมาะสม เพอทจะท าใหไดคาของสมาชกตามหลกมคาเทำกบ – 1 ดงขนตอนตอไปน 1. เลอกแถวของตวแปรพนฐานทมคานอยกวาศนย คอ แถวท 1 เปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม 2. พจารณาคา y1j คอ คาของสมประสทธของตวแปรในแถวท 1 โดยทจะเลอกเฉพาะคา


3. ก าหนดให R1 คอ เซตของดชนของกลม y1j ทมคานอยกวาศนย นนคอ

R1 = { 1 , 2 }


y1k = min { y11 , y12 } = min { – 1 , – 3 } = – 3 5. ค านวณคา h ทเหมาะสม ไดดงน h = min { M1 / y11 , M2 / y12 } = min { 1/3 , 1/3 } = 1/3 โดยท M2 = – 1/3 , M3 = – 1



[(1 / 3)(–1)] X1 + [(1 / 3)(–3)] X2 [(1 / 3)(– 12)]

(– 1) X1 + (– 1) X2 – 4

– 1X1 – 1X2 + S3 = – 4

ดงนน สามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2

เงอนไขบงคบ 1) –X1 – 3X2 – 12

2) – 4X1 – 1X2 – 8

3) – X1 – X2 – 4


(IP2)

89


ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) – X1 – 3X2 – 12

2) – 4X1 – 1X2 – 8

3) – X1 – X2 – 4

X1 , X2 0

จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

เงอนไขบงคบ – 1X1 – 3X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = – 12

– 4X1 – 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = – 8

– 1X1 – 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = – 4

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0 S1 , S2 , S3 คอ ตวแปรสวนขำด


Cj 10 20 0 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน


0 S1 – 1 – 3 1

0

0 – 12

0 S2 – 4 – 1 0

1

0 – 8

0 S3 – 1 – 1 0 0 1 – 4

Pj 0 0 0

0 0 0

(Cj – Pj) 10

20 0

0 0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = – 12 , S2 = –8 , S3 = – 4

(minimize) P = 0

(LP2)

90


Cj 10 20 0 0 0

ตวแปร

พนฐาน


0 S1 0 – 2 1

0

– 1 – 8

0 S2 0 3 0

1

– 4 8

10 X1 1 1 0 0 – 1

4

Pj 10 10 0

0 – 10 40

(Cj – Pj) 0

10 0

0 10

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 4 , X2 = 0 , S1 = – 8 , S2 = 8 , S3 = 0

(minimize) P = 40




R1 = { 2 , 5 }


y1k = min { y12 , y15 } = min { – 2 , – 1 } = – 2 5. ค านวณคา h ทเหมาะสม ไดดงน h = min { M2 / y12 , M5 / y15 } = min { 1/2 , 1/2 } = 1/2 โดยท M2 = – 1 , M5 = – 1/2

91



[(1 / 2)(–2)] X2 + [(1 / 2)(–1)] S3 [(1/2)(–8)]

(–1) X2 + (–1) S3 – 4

–1X2 – 1S3 + S4 = – 4

ดงนนสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP3) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2


2) –4X1 – 1X2 – 8

3) – X1 – X2 – 4

4) – X2 – S3 – 4




2) – 4X1 – 1X2 – 8

3) – X1 – X2 – 4

4) – X2 – S3 – 4

X1 , X2 , S3 0 S3 คอ ตวแปรสวนขำด

จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4

เงอนไขบงคบ – 1X1 – 3X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = – 12

– 4X1 – 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 = – 8

– 1X1 – 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 = – 4

0X1 – 1X2 + 0S1 + 0S2 – 1S3 + 1S4 = – 4

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , S4 0 S1 , S2 , S3 , S4 คอ ตวแปรสวนขำด

(IP3)

(LP3)

92


Cj 10 20 0 0 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน


0 S1 0 – 2 1

0

– 1 0 – 8

0 S2 0 3 0

1

– 4 0 8

10 X1 1 1 0 0 – 1

0 4

0 S4 0 – 1 0 0 – 1 1 – 4

Pj 10 10 0

0 – 10 0 40

(Cj – Pj) 0

10 0

0 10 0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 4 , X2 = 0 , S1 = – 8 , S2 = 8 , S3 = 0 , S4 = – 4 (minimize) P = 40


Cj 10 20 0 0 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน


0 S1 0 0 1

0

1 – 2 0

0 S2 0 0 0

1

– 7 3 – 4

10 X1 1 0 0 0 – 2

1 0

20 X2 0 1 0 0 1 – 1 4

Pj 10 20 0

0 0 – 10 80

(Cj – Pj) 0

0 0

0 0 10

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 4 , S1 = 0 , S2 = – 4 , S3 = 0 , S4 = 0

(minimize) P = 80

93


y2j ทมคานอยกวาศนย ซงในตวอยางน คอ y25 = – 7


R2 = { 5 }


Y2k = min { y25 } = min { – 7 } = – 7

5. ค านวณคา h ทเหมาะสม ไดดงน h = min { M5 / y25 } = min { 1/7 } = 1/7 โดยท M5 = –1



[(1/7)(– 7)] S3 [(1/7)(– 4)]

(– 1) S3 – 1

– 1S3 + S5 = – 1

ดงนนสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP4) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2


2) – 4X1 – 1X2 – 8

3) – X1 – X2 – 4

4) – X2 – S3 – 4

5) – S3 – 1


(IP4)

94



2) – 4X1 – 1X2 – 8

3) – X1 – X2 – 4

4) – X2 – S3 – 4

5) – S3 – 1

X1 , X2 , S3 0 S3 คอ ตวแปรสวนขำด

จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4

เงอนไขบงคบ 1) –1X1 – 3X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + 0S5 = – 12

2) – 4X1 – 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 + 0S5 = – 8

3) –1X1 – 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 + 0S5 = – 4

4) 0X1 – 1X2 + 0S1 + 0S2 – 1S3 + 1S4 + 0S5 = – 4

5) 0X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 – 1S3 + 0S4 + 1S5 = – 1

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , S4 , S5 0 S1 , S2 , S3 , S4 , S5 คอ ตวแปรสวนขำด


Cj 10 20 0 0 0 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 S3 S4 S5 RHS(bi)

0 S1 0 0 1

0

1 – 2 0 0

0 S2 0 0 0

1

– 7 3 0 – 4

10 X1 1 0 0 0 – 2

1 0 0

20 X2 0 1 0 0 1 – 1 0 4

0 S5 0 0 0 0 – 1 0 1 – 1

Pj 10 20 0

0 0 –10 0 80

(Cj – Pj) 0

0 0

0 0 10 0

(LP4)

95

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 4 , S1 = 0 , S2 = – 4 , S3 = 0 , S4 = 0 , S5 = –1 (minimize) P = 80


Cj 10 20 0 0 0 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 S3 S4 S5 RHS(bi)

0 S1 0 0 1

0

0 –2 1 –1 0 S2

0 0 0

1

0 3 –7 3

10 X1 1 0 0 0 0

1 –2

2

20 X2 0 1 0 0 0 –1 1 3

0 S3 0 0 0 0 1 0 –1 1

Pj 10 20 0

0 0 –10 0 80

(Cj – Pj) 0

0 0

0 0 10 0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 2 , X2 = 3 , S1 = –1 , S2 = 3 , S3 = 1 , S4 = 0 , S5 = 0 (minimize) P = 80

จำกตำรำงจะเหนไดวำ ตวแปรพนฐำน S1 = –1 ซงจะเปนผลเฉลยทเปนไปไมได ดงนน จะท ำกำรปรบปรงตำรำงเพอหำผลเฉลยใหม โดยท ำกำรเลอกแถวของตวแปรพนฐำน S1 เปนแถวส ำหรบการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ท าการค านวณหาคา h ทเหมาะสม เพอทจะท าใหไดคาของสมาชกตามหลกมคาเทำกบ –1 ดงขนตอนตอไปน 1. เลอกแถวของตวแปรพนฐานทมคานอยกวาศนย คอ แถวท 1 เปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม 2. พจารณาคา y1j คอ คาของสมประสทธของตวแปรในแถวท 1 โดยทจะเลอกเฉพาะคา

y1j ทมคานอยกวาศนย ซงในตวอยางน คอ y16 = – 2


R1 = { 6 }

96


y1k = min { y16 } = min { – 2 } = – 2 5. ค านวณคา h ทเหมาะสม ไดดงน h = min { M6 / y16 } = min { 1/2 } = 1/2

โดยท M2 = – 1



[(1 / 2)(–2)] S4 [(1/2)(–2)]

(–1) S4 – 1

– 1S4 + S6 = – 1

ดงนนสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP5) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) –X1 – 3X2 – 12

2) – 4X1 – 1X2 – 8

3) – X1 – X2 – 4

4) – X2 – S3 – 4

5) – S3 – 1

6) – S4 – 1

X1 , X2 , S3 , S4 0 และมคาเปนจ านวนเตม S3 , S4 คอ ตวแปรสวนขำด


ฟงกชนจดประสงค(minimize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 1) –X1 – 3X2 – 12

2) – 4X1 – 1X2 – 8

3) – X1 – X2 – 4

4) – X2 – S3 – 4

5) – S3 – 1

6) – S4 – 1

(IP5)

(LP5)

97


จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + 0S5 + 0S6

เงอนไขบงคบ 1) –1X1 – 3X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + 0S5 + 0S6 = – 12

2) – 4X1 – 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 + 0S5 + 0S6 = – 8

3) –1X1 – 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 + 0S5 + 0S6 = – 4

4) 0X1 – 1X2 + 0S1 + 0S2 – 1S3 + 1S4 + 0S5 + 0S6 = – 4

5) 0X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 – 1S3 + 0S4 + 1S5 + 0S6 = – 1

6) 0X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 – 1S4 + 0S5 + 1S6 = – 1

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S6 0 S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S6 คอ ตวแปรสวนขำด


Cj 10 20 0 0 0 0 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 S3 S4 S5 S6 RHS(bi)

0 S1 0 0 1

0

0 –2 1 0 –1 0 S2

0 0 0

1

0 3 –7 0 3

10 X1 1 0 0 0 0

1 –2

0 2

20 X2 0 1 0 0 0 –1 1 0 3

0 S3 0 0 0 0 1 0 –1 0 1

0 S6 0 0 0 0 0 –1 0 1 –1

Pj 10 20 0

0 0 –10 0 0 80

(Cj – Pj) 0

0 0

0 0 10 0 0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 2 , X2 = 3 , S1 = –1 ,

S2 = 3 , S3 = 1 , S4 = 0 , S5 = 0 , S6 = –1 (minimize) P = 80

98


Cj 10 20 0 0 0 0 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 S3 S4 S5 S6 RHS(bi)

0 S1 0 0 1

0

0 0 1 –2 1 0 S2

0 0 0

1

0 0 –7 3 0

10 X1 1 0 0 0 0

0 –2

1 1

20 X2 0 1 0 0 0 0 1 –1 4

0 S3 0 0 0 0 1 0 –1 0 1

0 S6 0 0 0 0 0 1 0 –1 1

Pj 10 20 0

0 0 0 0 –10 90

(Cj – Pj) 0

0 0

0 0 0 0 10

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1 , X2 = 4 , S1 = 1 , S2 = 0 , S3 = 1 , S4 = 1 , S5 = 0 , S6 = 0

(minimize) P = 90

จำกตำรำงซมเพลกซท 9 จะเหนไดวำคำ (Cj – Pj) มคำมำกกวำหรอเทำกบศนยทกตวและตวแปรพนฐำนทกตวมคำมำกกวำหรอเทำกบศนย ดงนน ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดและมตวแปรตดสนใจเปนจ ำนวนเตมทกตวแลว ดงนนผลเฉลยทไดจำกกำรเพมเงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสน คอ เงอนไขบงคบทตยภม 3) – X1 – X2 – 4

4) – X2 – S3 – 4

5) – S3 – 1

6) – S4 – 1

จะสรปไดวาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คอ ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 20X2


2) 4X1 + 1X2 8


ผลเฉลยเหมำะสมทสดคอ X1 = 1 , X2 = 4

(maximize) P = 90

(IP1)

99

วธการตดแบบผสม การแกปญหาก าหนดการเชงเสนทมผลเฉลยเหมาะสมทสดเปนจ านวนเตมทไดกลาวมาแลวในหวขอทผานมาเปนการหาผลเฉลยทตวแปรตดสนใจจะตองมคาเปนจ านวนเตมทงหมด แตในบางปญหาของก าหนดการเชงเสนผลเฉลยทเปนจ านวนเตมทไดอาจจะไมใชผลลพธทดทสดกเปนไปได นนคอ ผลเฉลยทตองการอาจจ าเปนจะตองมคาเปนเศษสวนหรอทศนยมได ยกตวอยางเชน ปญหาเกยวกบปรมาณน า ปรมาณของสารเคม หรอ ผลตอบแทนทเกยวกบจ านวนเงนทอาจจะมคาเปนทศนยมได ซงปญหาทผลเฉลยเปนไดทงจ านวนเตมและไมเปนจ านวนเตมนจะเรยกวา ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมแบบผสม

รปแบบทวไปของก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมแบบผสม ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = C1X + C2Y

เงอนไขบงคบ AX + DY B


Y 0

ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = C1X + C2Y เงอนไขบงคบ AX + DY B


Y 0

จากตวแบบก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมแบบผสม (1) และ (2) จะเหนไดวา ตวแปรตดสนใจมทงแบบจ านวนเตม คอ ตวแปร X และแบบไมเปนจ านวนเตม คอ ตวแปร Y

โดยทวไปแลวคาของตวแปรพนฐานท i ใดๆ ทมคาเปนจ านวนเตมในตำรำงซมเพลกซ สำมำรถแสดงไดในรปของสมกำรไดดงน Xbi = yi0 –

1j R

yij Xj –2j R

yij Yj -------------------------(3)

โดยท R1 คอ เซตของกลมตวแปรตดสนใจทมคาเปนจ านวนเตม คอ ตวแปร Xj

R2 คอ เซตของกลมตวแปรตดสนใจทมคาไมเปนจ านวนเตม คอ ตวแปร Yj

Xbi คอ ตวแปรพนฐานท i ทตองการใหมคาเปนจ านวนเตม

จาก yi0 = [yi0] + fi0 และ yij = [yij] + fij

(2)

(1)

100

ดงนนจากสมการ (3) สามารถเขยนสมการใหมไดดงน Xbi = [yi0] + fi0 –

1j R

([yij] + fij) Xj –2j R

yij Yj

= [yi0] + fi0 –1j R

[yij] Xj –1j R

fij Xj –2j R

yij Yj

1j R

fij Xj +2j R

yij Yj – fi0 = [yi0] –1j R

[yij] Xj – Xbi --------------------(4)

ถาคาของตวแปรพนฐาน Xbi มคาไมเปนจ านวนเตม จะตองท าการเพมเงอนไขบงคบ

ใหมใหคาของ Xbi เปนจ านวนเตม ไดดงน

1) Xbi ≤ [yi0] หรอ

2) Xbi ≥ ‹ yi0 ›

จากการเตมเงอนไขบงคบใหมทงสองทท าใหคาของ Xbi เปนจ านวนเตมน คอ การ แตกกงสาขาของปญหา ในวธการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขตของปญหา และในกรณทเพมเงอนไขบงคบท 1) Xbi ≤ [yi0] ในสมการท (4) จะได

จากสมการ(4); 1j R

fij Xj +2j R


[ yij ] Xj – Xbi

แทนคา Xbi ดวย [yi0] จะได [yi0] –1j R

[ yij ] Xj – [yi0] 0

แตจาก Xbi ≤ [yi0] จะได [yi0] –1j R

[ yij ] Xj – Xbi ≥ 0

จาก

1j R

fij Xj +2j R


[ yij ] Xj – Xbi

ดงนน

1j R

fij Xj +2j R

yij Yj – fi0 ≥ 0 --------------------(5)

จาก R2 คอ เซตของกลมตวแปรตดสนใจทมคาไมเปนจ านวนเตม คอตวแปร Yj หมายความวากลมของ R2 เปนคาทตอเนอง ดงนนสามารถแยกกลมของ R2 ไดสองกลม คอ กลมทสมประสทธของ yij มคามากกวาหรอเทากบศนย (R2+) และกลมทสมประสทธของ yij มคานอยกวาหรอเทากบศนย (R2-) ดงนนจากอสมการท(5) สามารถเขยนใหมไดดงน

101

จาก

1j R

fij Xj +2j R

yij Yj – fi0 ≥ 0

จะได

1j R

fij Xj +2j R

yij Yj +2j R


จาก

2j R

yij Yj 0

จะได

1j R

fij Xj +2j R


หรอ

1j R

fij Xj +2j R

yij Yj ≥ fi0 --------------------(6)

ในท านองเดยวกน ถาท าการเพมเงอนไขบงคบท 2) Xbi ≥ ‹yi0› ในสมการท (4) จะได

จากสมการ (4); 1j R

fij Xj +2j R


[ yij ] Xj – Xbi

แทนคา Xbi ดวย ‹yi0› จะได [yi0] –1j R

[ yij ] Xj – ‹yi0›

จาก ‹yr0› = [yi0] + 1 จะได [yi0] –1j R

[ yij ] Xj – [yi0] – 1 ≥ –1

แตจาก Xbi ≥ ‹yi0› จะได [yi0] –1j R

[ yij ] Xj – Xbi –1

จาก

1j R

fij Xj +2j R


[ yij ] Xj – Xbi

ดงนน

1j R

fij Xj +2j R

yij Yj – fi0 –1 --------------------(7)

จาก R2 คอ เซตของกลมตวแปรตดสนใจทมคาไมเปนจ านวนเตม คอตวแปร Yj หมายความวากลมของ R2 เปนคาทตอเนอง ดงนนสามารถแยกกลมของ R2 ไดสองกลม คอ กลมทสมประสทธของ yij มคามากกวาหรอเทากบศนย(R2+) และกลมทสมประสทธของ yij มคานอยกวาหรอเทากบศนย (R2-) ดงนนจากอสมการท(5) สามารถเขยนใหมไดดงน

จาก

1j R

fij Xj +2j R

yij Yj – fi0 –1

จะได

1j R

fij Xj +2j R

yij Yj +2j R

yij Yj – fi0 –1

จาก

2j R

yij Yj ≥ 0

102

จะได

1j R

fij Xj +2j R

yij Yj – fi0 –1

หรอ

1j R

fij Xj +2j R

yij Yj –1 + fi0 --------------------(8)

จาก R1 คอ เซตของกลมตวแปรตดสนใจทมคาเปนจ านวนเตม หมายความวาจะไมมคา yij ของ R1 ทมคาเปนทศนยม แสดงวา fij มคาเทากบศนย ดงนน

1j R

fij Xj = 0 ซงสามารถเขยน

อสมการท (8) ใหมไดดงน

2j R

yij Yj –1 + fi0 --------------------(9)

คณอสมการท (9) ดวย fi0 / (–1 + fi0) จะได

2j R

fi0 (yij Yj) /(–1 + fi0) ≥ fi0 --------------------(10)

จากอสมการท (6) และอสมการท (10) จะได

1j R

fij Xj +2j R

yij Yj + 2j R

fi0 (yij Yj) /(–1 + fi0) ≥ 2fi0

หรอ 1j R

fij Xj +2j R

yij Yj + 2j R

fi0 (yij Yj) /(–1 + fi0) ≥ fi0 --------------(11)

ดงนนจะไดวา อสมการท (11) คอ อสมการพนฐานทใชในการสรางเงอนไขทตยภม เพอตดพนททไมเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนแบบผสม ซงจะเรยกวธการนวา การตดแบบผสม จากอสมการท (11) ถาท าการตดเทอมของ R2 ทเปนเซตของกลมตวแปรตดสนใจทมคาไมเปนจ านวนเตมออกไป จะท าใหไดอสมการใหม คอ

1j R

fij Xj ≥ fi0

ซงจะเหนไดวาอสมการใหมทไดน คอ อสมการพนฐานทจะใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม ของการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมดวยวธการตดแบบเศษสวน นนเอง

103

สรปขนตอนการหาผลเฉลยดวยวธการตดแบบผสม

1. เปลยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหเปนปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป 2. ท าการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป 2.1 ถาผลเฉลยเหมาะสมทสดเปนจ านวนเตมแสดงผลเฉลยทไดนเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมเชนกน




เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 5

2) X1 + 3X2 6

X1 0 และมคาเปนจ านวนเตม

X2 0

วธท า


ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 5

2) X1 + 3X2 6

X1 , X2 0


เงอนไขบงคบ 2X1 + 1X2 + 1S1 + 0S2 = 5

1X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 6


(IP1)

(LP1)

104


Cj 5 10 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

0 S1 2

1

1

0

5

0 S2 1

3

0

1

6

Pj 0 0 0

0 0

(Cj – Pj) 5

10 0

0

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = 5 , S2 = 6

(maximize) P = 0


Cj 5 10 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

0 S1 5

3 0

1

1

3 3

10 X2 1

3 1

0

1

3 2

Pj 10

3 10 0

10

3 20

(Cj – Pj) 5

3 0 0

10

3

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 0 , X2 = 2 , S1 = 3 , S2 = 0

(maximize) P = 20

105


Cj 5 10 0 0

Cb ตวแปร

พนฐาน

X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

5 X1 1

0

0.6

– 0.2 1.8

10 X2 0

1

– 0.2 0.4

1.4

Pj 5

10 1

3

23

(Cj – Pj) 0

0 – 1 – 3

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1.8 , X2 = 1.4 , S1 = 0 , S2 = 0

(maximize) P = 23

จำกตำรำงซมเพลกซท 3 ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดแตเปนผลเฉลยทยงไมสอดคลองกบเงอนไขบงคบท X1 0 และมคาเปนจ านวนเตม นนคอ X1 = 1.8

ดงนนจะท ำกำรหำผลเฉลยใหมโดยกำรเพม เงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสนแลวเงอนไขบงคบนจะท าหนาทตดพนททไมเปนผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนแบบผสมออกไป โดยจะใชวธการตดแบบผสม และจะตองเลอกแถวของตวแปรตวในตำรำง ซมเพลกซ เพอใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม จาก X1 = 1.8 ดงนนจะเลอกแถวของตวแปรตดสนใจ X1 เปนแถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม

จาก อสมการพนฐานทจะใชในการสรางเงอนไขบงคบทตยภม

1j R

fij Xj +2j R

yij Yj + 2j R

fi0 (yij Yj) /(–1 + fi0) ≥ fi0

จะไดเงอนไขบงคบทตยภม คอ 0.6S1 + (0.8)(– 0.2)/(–1 + 0.8) S2 0.8

0.6S1 + 0.8S2 0.8

106



2) X1 + 3X2 6

3) 0.6S1 + 0.8S2 0.8


X2 0


ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 1) 2X1 + X2 5

2) X1 + 3X2 6

3) 0.6S1 + 0.8S2 0.8

X1 , X2 , S1 , S2 0



2) 1X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0A1 + 1A2 + 0A3 = 6

3) 0X1 + 0X2 + 0.6S1 + 0.8S2 – 1S3 + 0A1 + 0A2 + 1A3 = 0.8

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , A1 , A2 , A3 0


Cj 5 10 0 0 0 – M

Cb ตวแปร

พนฐาน


5 X1 1

0

0.6

– 0.2 0 0 1.8

10 X2 0

1

– 0.2 0.4

0 0 1.4

– M A 0 0 0.6 0.8 – 1

1 0.8

Pj 5

10 1 – 0.6M 3 – 0.8M M – M 23 – 0.8M

(Cj – Pj) 0

0 0.6M – 1 0.8M – 3 – M 0

(IP2)

(LP2)

107

อำนผลเฉลยจำกตำรำง ไดดงน X1 = 1.8 , X2 = 1.4 S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 0 , A = 0.8

(maximize) P = 23 – 0.8M


Cj 5 10 0 0 0 – M

Cb ตวแปร

พนฐาน


5 X1 1

0

0

–1 1 –1 1

10 X2 0

1

0

0.6

0.3

0.3

1.6

0 S1 0 0 1

1.3

1.6

1.6

1.3

Pj 5

10 0 1.6

1.6

1.6

21.6

(Cj – Pj) 0

0 0

1.6

1.6

–M 1.6


X1 = 1 , X2 = 1.6

S1 = 1.3

, S2 = 0 , S3 = 0

(maximize) P = 21.6

จำกตำรำงซมเพลกซท 5 ผลเฉลยทได คอ ผลเฉลยเหมำะสมทสดและตวแปรตดสนใจ X1 เปนผลเฉลยทเปนจ ำนวนเตมแลว คอ X1 = 1 ดงนนผลเฉลยทไดจำกกำรเพมเงอนไขบงคบทตยภมลงไปในตวแบบก าหนดการเชงเสน คอ เงอนไขบงคบทตยภม 0.6S1 + 0.8S2 0.8 ดงนนจะสรปไดวา ผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตม คอ ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 10X2


2) X1 + 3X2 6


X2 0

(IP1)

108

ผลเฉลยเหมำะสมทสดคอ X1 = 1 , X2 = 1.6

(maximize) P = 21.6



จากปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ทเพมเงอนไขทตยภม ดงนนสามารถเขยนปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมใหม (IP2) ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 10X2


2) X1 + 3X2 6

3) 0.6S1 + 0.8S2 0.8


X2 0

(IP2)

109

สามารถเปลยนตวแปร S1 , S2 ใหอยในเทอมของตวแปร X1 , X2 ไดดงตอไปน จาก 2X1 + X2 + 1S1 + 0S2 = 5 และ X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 6

ดงนน S1 = 5 – 2X1 – X2 และ S2 = 6 – X1 – 3X2 จำกเงอนไขบงคบ 3) 0.6S1 + 0.8S2 0.8

ดงนน 0.6 (5 – 2X1 – X2) + 0.8 (6 – X1 – 3X2) 0.8

– 2X1 – 3X2 – 7

หรอ 2X1 + 3X2 7



2) X1 + 3X2 6

3) 2X1 + 3X2 7


X2 0



(IP2)

110

บทสรป

ในกำรหำผลเฉลยของปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมดวยวธการตดพนทออก เปนวธการกระท าซ าๆ ส าหรบการแกปญหาก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมทมผลเฉลยเปนเลขจ านวนเตมทงหมด ซงวธการตดพนทออกจะเพมเงอนไขบงคบทตยภมเขาไปในตวแบบ โดยจะไปท าใหผลเฉลยทยงไมเปนจ านวนเตมใหกลายเปนผลเฉลยทอยนอกพนทหาผลเฉลย กระบวนการกระท าซ าจะเกดขนตอไปจนกวาจะไดผลเฉลยทเปนเลขจ านวนเตม ซงจ าแนกวธการสรางเงอนไขบงคบทตยภมได 4 วธ ไดแก วธการตดทมสมประสทธของตวแปรมคาเปนหนง วธการตดแบบเศษสวน วธการตดแบบจ านวนเตม และวธการตดแบบผสม

111


จำกปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมทก ำหนดใหตอไปน จงหำผลเฉลยดวยวธการตดพนทออกโดยใชวธการตดทมสมประสทธของตวแปรมคาเปนหนง

2.1 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 5X1 + 8X2 เงอนไขบงคบ 2X1 + X2 6 X1 + 3X2 5


2.2 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 5X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + X2 4 2X1 + 2X2 5


2.3 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + 2X2 5 2X1 + 3X2 4




จำกปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมทก ำหนดใหตอไปน จงหำผลเฉลยดวยวธการตดพนทออกโดยใชวธการตดแบบเศษสวน

2.5 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 20X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + X2 5 X1 + 2X2 6


112

2.6 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ X1 + 3X2 8 2X1 + 3X2 9






จำกปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมทก ำหนดใหตอไปน จงหำผลเฉลยดวยวธการตดพนทออกโดยใชวธการตดแบบจ านวนเตม

2.9 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 10X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ X1 + 2X2 16 2X1 + 5X2 15


2.10 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 15X1 + 15X2 เงอนไขบงคบ 4X1 + 5X2 15 2X1 + 2X2 15




113



จำกปญหำก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตมทก ำหนดใหตอไปน จงหำผลเฉลยดวยวธการตดพนทออกโดยใชวธการตดแบบผสม

2.13 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 20X1 + 30X2 เงอนไขบงคบ 2X1 + X2 18

X1 + 3X2 12 X1 0 และมคาเปนจ านวนเตม

X2 0

2.14 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 12X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ X1 + 2X2 10

5X1 + X2 15 X1 0


2.15 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 20X1 + 15X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + 4X2 11

6X1 + 3X2 10

X1 0


2.16 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 5X1 + 5X2 เงอนไขบงคบ 2X1 + X2 4

X1 + 3X2 6


X2 0

บทท 3

ปญหาการขนสงทสมดล

จากการศกษาปญหาก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทไดกลาวมาแลวในขางตน เปนการศกษาเกยวกบความรพนฐานและการหาผลเฉลยในรปแบบตางๆ ซงจะเปนประโยชน อยางมากในการน าไปประยกตใชในปญหาอนๆ ทแตกตางออกไป ในหวขอนจะเปนการน าไปประยกตใชในปญหาทสามารถพบไดทวไปในการใชชวตประจ าวน ซงปญหาทนาสนใจและ มการศกษากนอยางแพรหลาย คอ ปญหาการขนสงและปญหาการมอบหมายงาน ปญหาทงสองนคอปญหาก าหนดการเชงเสนทวไป แตจะมลกษณะพเศษทแตกตางออกไปและมการน าไปประยกตใชในประกอบการทางธรกจกนอยางแพรหลาย โดยตวแบบก าหนดการเชงเสนของทงสองปญหานจะมลกษณะพเศษและมกระบวนการหาผลเฉลยทเฉพาะและแตกตางจากวธการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนแบบทวไป สวนใหญจะใชวธซมเพลกซในการค านวณ ซงเปนวธการค านวณทมข นตอนทคอนขางยาก ในทนจงขอน าเสนอวธการหาผลเฉลยของปญหาการขนสงและปญหาการมอบหมายงานทมข นตอนทงายกวาวธซมเพลกซและผลเฉลยทไดจะเปนจ านวนเตมเสมอ โดยในขนตนนจะท าการศกษาปญหาการขนสงกอนซงจะเปนพนฐานส าคญส าหรบการศกษาปญหาการมอบหมายงานตอไป ตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการขนสง

ปญหาการขนสง (transportation problem) เปนประเภทปญหาอกประเภทหนงทอยในปญหาก าหนดการเชงเสน โดยมวตถประสงคเพอการขนสงสนคาจากแหลงผลต (source) ไปยงปลายทางหรอคลงสนคา (destination) โดยใหมคาใชจายในการขนสงต าทสด หรอเพอใหไดก าไรจากการขนสงสงสด ในการพจารณาตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการขนสง (transportation

problem model) สามารถพจารณาไดจากปญหาการขนสงสนคา เชน สมมตวามโรงงานผลตสนคาทต งอยในทตางๆ m แหง โดยทแตละแหงสามารถผลตสนคาไดจ านวนทแตกตางกน กลาวคอแตละโรงงานสามารถผลตสนคาไดจ านวนเทากบ Si หนวย ( i = 1, 2, 3,…, m ) ซงปรมาณของสนคาทผลตไดจะเรยกวาอปทาน (supply) และโรงงานตองการสงสนคาไปจดเกบทคลงสนคากอนทจะกระจายไปยงรานคายอยตางๆ ทงหมด n แหง และคลงสนคาแตละแหงสามารถจดเกบสนคาไดจ านวนทแตกตางกน คอแตละคลงสนคาสามารถจดเกบสนคาไดจ านวนเทากบ Dj หนวย ( j = 1, 2,

3,…, n ) ซงจ านวนสนคาทคลงสนคาจะจดเกบไดจะเรยกวาอปสงค (demand) สามารถแสดงไดดงน

116

ภาพท 3.1 แสดงการสงสนคาระหวางอปทาน (จ านวน m) และอปสงค (จ านวน n)

จะเหนไดวา ปญหาการขนสงเปนการพจารณาการจดสงสนคาจากตนทางไปยงปลายทางตามจดประสงคของปญหาและตองท าใหเสยคาใชจายนอยทสด โดยจะก าหนดให Cij เปน

คาใชจายในการขนสงสนคาจากโรงงานท i ไปยงคลงสนคาท j และก าหนดให Xij เปนจ านวนสนคาในการขนสงสนคาจากโรงงานท i ไปยงคลงสนคาท j ดงนนสามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการขนสง ไดดงน

ก าหนดให P แทน คาใชจายในการขนสงรวมทงหมด Cij แทน คาใชจายในการขนสงสนคาจากโรงงานท i ไปยงคลงสนคาท j

Xij แทน จ านวนสนคาในการขนสงสนคาจากโรงงานท i ไปยงคลงสนคาท j

Si แทน จ านวนสนคาทผลตไดแตละโรงงาน

Dj แทน จ านวนสนคาทจดเกบไดแตละคลงสนคา โดยท i = 1, 2, 3,…, m และ j = 1, 2, 3,…, n

โรงงานท m

…….

โรงงานท 1

คลงสนคาท 1

…….

…….

คลงสนคาท n

อปทาน อปสงค

117

ดงนนตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการขนสง คอ

ฟงกชนจดประสงค

n m

ij ij

j 1 i 1

minimize P C X

เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานอปทาน

n

ij

j 1

X = Si , i = 1, 2, 3,…, m

2) เงอนไขดานอปสงค

m

ij

i 1

X = Dj , j = 1, 2, 3,…, n

Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3,…, m และ j = 1, 2, 3,…, n

ปญหาการขนสงทสมดล

ปญหาการขนสงเปนการแจกจายทรพยากรหรอสนคาทจะท าการขนสงจากแหลงผลตสนคาหรอจากตนทางไปยงกลมผบรโภคหรอจดหมายปลายทาง โดยทจะท าการก าหนดใหปรมาณของสนคาทออกจากตนทางจะตองมคาเทากบปรมาณของสนคาทตองการของปลายทาง ยกตวอยางเชน ปญหาการขนสงของธรกจคาปกทวไป จะก าหนดใหปรมาณของสนคาทมหรออปทานจะเทากบความตองการสนคาหรออปสงค ซงจะเรยกวาปญหานวา ปญหาการขนสงทสมดล (balanced transportation problem) แตในความเปนจรงในการท าธรกจจะพบปญหาการขนสงทสมดลไดนอยมาก เพราะสวนใหญแลวในปญหาการขนสงอาจจะไดวาปรมาณของสนคาทตองการสงจะไมเทากบปรมาณของสนคาทตองการโดยจะเรยกปญหานวา ปญหาการขนสงทไมสมดล (unbalanced transportation problem) ซงจะไดศกษาในหวขอตอไป ดงนนในหวขอนจะท าการศกษาปญหาการขนสงทสมดล ดงรายละเอยดตอไปน จากการสรางตวแบบปญหาการขนสงแบบทวไป คอ

ฟงกชนจดประสงค n m

ij ij

j 1 i 1

minimize P C X


n

ij

j 1

X = Si , i = 1, 2, 3,…, m

118


m

ij

i 1

X = Dj , j = 1, 2, 3,…, n

Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3,…, m และ j = 1, 2, 3,…, n

ถาก าหนดใหปรมาณของสนคาทมหรออปทานเทากบความตองการสนคาหรออปสงค แสดงวาเปนปญหาการขนสงทสมดล (Summation of Supply = Summation of Demand)

ดงนนจะไดวา m

i

i 1

S =

n

j

j 1

D

จากเงอนไขดานอปทาน คอ n

ij

j 1

X = Si ดงนน

m

i

i 1

S =

m n

ij

i 1 j 1

X

และจากเงอนไขดานอปสงค คอ m

ij

i 1

X = Dj ดงนน

n

j

j 1

D =

n m

ij

j 1 i 1

X

ดงนนจะได m n

ij

i 1 j 1

X

= n m

ij

j 1 i 1

X

จากสมการทไดนหมายความวาผลรวมของจ านวนสนคาทผลตไดในแตละโรงงานทงหมด m โรงงานทสงไปยงคลงสนคาทงหมด n แหง จะมจ านวนเทากบผลรวมของจ านวนสนคาในแตละคลงสนคาตองการทงหมด n แหง ทถกสงมาจากโรงงานทงหมด m โรงาน นนเอง สามารถแสดงไดดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 3.1 บรษทผผลตเสอผาไหมแหงหนงในจงหวดอดรธานมโรงงานผลต 3 แหง ซงสนคาทผลตไดจากโรงงานทงสามแหงจะถกสงไปเกบทคลงสนคาของบรษททตงอยตามอ าเภอตางๆ ทงหมดซงมอย 3 แหง คอ อ าเภอหนองหาน อ าเภอกมภวาป และอ าเภอศรธาต เพอรอจดสงใหลกคาตอไป ถาโรงงานแหงแรกผลตสนคาไดวนละ 500 หนวย โรงงานแหงทสองผลตสนคาไดวนละ 250 หนวย และโรงงานแหงทสามผลตสนคาไดวนละ 250 หนวย สวนคลงสนคาทง 3 แหงนน สามารถเกบสนคาไดเตมทแหงละ 400 หนวย 250 หนวย และ 350 หนวย ตามล าดบ ในการสงสนคาจากโรงงานทงสามแหงไปยงคลงสนคาตางๆ จะเสยคาใชจายในการขนสงตางกน ดงน

119

ตารางแสดงคาใชจายในการขนสงสนคา (บาท/หนวย) ถง

จาก







30

20

35

50

40

45

35

30

20

บรษทควรจดสงสนคาจากโรงงานทงสามแหงไปยงคลงสนคาทง 3 แหง อยางไรจงจะเหมาะสมทสด โดยแตละโรงงานจะตองสงสนคาใหหมด และคลงสนคาแตละแหงจะตองเกบสนคาใหไดตามความตองการ

จากตวอยางขางตนจะเหนไดวาเปนปญหาการขนสงทสมดลเพราะจ านวนสนคาทผลตไดในโรงงานทงหมดหรออปทานมจ านวนเทากบความจของคลงสนคาทงหมดทรบไดหรออปสงค ดงนนสามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาไดดงน

เพอทจะท าใหการสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนท าไดงายขน สามารถสรปลกษณะของปญหาน ไดดงน

สงทบรษทตองการทราบ คอ จ านวนสนคาทจะสงจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาทง 3 แหง จ านวนสนคาทจะสงจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาทง 3 แหง และจ านวนสนคาทจะสงจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาทง 3 แหง ซงจ านวนการจดสรรการขนสงสนคาจากโรงงานไปยงคลงสนคาดงกลาวนนจะตองกอใหเกดคาใชจายในการขนสงสนคารวมต าสดและโรงงานแตละโรงจะตองสงสนคาใหครบทงหมด และคลงสนคาแตละแหงจะตองเกบสนคาใหเตมตามความตองการ

40

35

30

50

20

20

โรงงานท 1 500 หนวย



45

35

30

คลงสนคาท 2 250 หนวย



120

ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน คาใชจายในการขนสงรวมทงหมด (บาท)

X11 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1 (หนวย) X12 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2 (หนวย) X13 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 (หนวย) X21 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 1 (หนวย) X22 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2 (หนวย) X23 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 3 (หนวย) X31 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 1 (หนวย) X32 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 2 (หนวย) X33 แทน จ านวนสนคาสงจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3 (หนวย)


(minimize) P = 30X11 + 50X12 + 35X13 + 20X21 + 40X22 + 30X23 + 35X31 + 45X32 + 20X33

เงอนไขบงคบ

1) เงอนไขดานอปทาน

X11 + X12 + X13 = 500

X21 + X22 + X23 = 250

X31 + X32 + X33 = 250


X11 + X21 + X31 = 400

X12 + X22 + X32 = 250 X13 + X23 + X33 = 350

Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3

จากปญหาการขนสงสามารถสรปเปนตารางไดดงน

ถง

จาก




อปทานรวม

โรงงานท 1 X11 X12 X13 500



อปสงครวม 400 250 350 1,000

121

ในการสรางตารางเรมตนของปญหาการขนสงจะท าการเพมคาใชจายลงไปในตารางขางตนตรงมมขวาบนของแตละชอง ดงนนจะไดตารางเรมตนของปญหาการขนสง ดงน

ถง

จาก






X11

X12

X13

500


X21

X22

X23

250


X31

X32

X33

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

จากตวแบบก าหนดการเชงเสนทสรางจากปญหาการขนสงทไดขางตนน สามารถน าไปหาผลเฉลยไดดวยวธซมเพลกซ แตในการค านวณดวยวธซมเพลกซมข นตอนทคอนขางจะยงยากและใชเวลานานท าใหเสยเวลาในการแกปญหา ดงนนจะท าการค านวณตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการขนสงดวยวธเฉพาะส าหรบปญหาการขนสงเทานน โดยมขนตอนอย 2 ขน ไดแก

1. การหาผลเฉลยเรมตน (initial feasible solution) 2. การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน

การหาผลเฉลยเรมตน

การหาผลเฉลยเรมตน สามารถแสดงได 2 วธ ดงน 1. ว ธการกฎมมทศตะวนตกเฉ ยงเหนอ (northwest corner rule method) มขนตอนดงตอไปน

1.1 พจารณาตารางเรมตนของปญหาการขนสง

1.2 เรมตนพจารณาจากชองแรกของตารางเสมอหรอชองมมซายสด (ชองทอยทศเหนอเฉยงไปทางตะวนตกของตาราง) โดยทจะตองก าหนดใหมจ านวนสนคาใหมคามากทสด แตตองไมเกนอปสงคและอปทานของชองทพจารณาอย 1.3 ท าการลดจ านวนอปทานและอปสงคของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด แลวท าการตดแถวหรอหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก โดยจะตดแถวหรอหลกทมจ านวนสนคาหลงจากลดจ านวนสนคาแลวทมคาเทากบ 0 นน

30 50

20

35

40 30

35 45 20

122

คอหลงจากการลดจ านวนสนคาแลว ถาจ านวนของอปทานเทากบ 0 ใหตดแถวออก หรอถาจ านวนของอปสงคเทากบ 0 ใหตดหลกออก

1.4 กลบไปด าเนนตามขนตอนท 2 จนกวาจะสงสนคาไดครบตามจ านวนทตองการ

ดงนนจากตวอยางท 3.1 สามารถแสดงการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ ดงน 1. พจารณาตารางเรมตนของปญหาการขนสง

ถง

จาก






X11

X12

X13

500


X21

X22

X23

250


X31

X32

X33

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

2. เรมตนพจารณาจากชองแรกของตารางหรอชองมมซายสด คอ ชองของ X11 โดยทจะตองก าหนดใหมจ านวนสนคามคามากทสด คอ X11 = 400 หนวย แตตองไมเกนอปสงค (400 หนวย) และอปทาน (500 หนวย)

ถง

จาก






400

X12

X13

500


X21

X22

X23

250


X31

X32

X33

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

30 50 35

20 40 30

35 45 20

30 50 35

20 40 30

35 45 20

123

3. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 400 หนวย แลวท าการตดแถวหรอหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก โดยจะท าการตดหลกออกเพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (400 – 400 = 0)

ถง

จาก






400

X12

X13

100


X21

X22

X23

250


X31

X32

X33

250

อปสงครวม 0 250 350 600

4. พจารณาชองแรกของตารางหรอชองมมซายสดทไดจากขอ 3 คอ ชองของ X12 โดยทจะก าหนดใหมจ านวนสนคาทเหลอจากชองแรก คอ 500 – 400 = 100 และใหมคามากทสด คอ X12 = 100 หนวย ซงจะตองไมเกนอปสงค (250 หนวย) และอปทาน (100 หนวย)

ถง

จาก






400

100

X13

100


X21

X22

X23

250


X31

X32

X33

250

อปสงครวม 0 250 350 600

5. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 100 หนวย และจะท าการตดแถวออกเพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (100 – 100 = 0)

30 50 35

20 40 30

35 45 20

30 50 35

20 40 30

35 45 20

124

ถง

จาก






400

100

X13

0


X21

X22

X23

250


X31

X32

X33

250

อปสงครวม 0 150 350 500

6. พจารณาชองแรกของตารางหรอชองมมซายสดทไดจากขอ 5 คอ ชองของ X22 โดยทจะก าหนดใหมจ านวนสนคาทเหลอจากชองทไดก าหนดจ านวนสนคาในหลกหรอแถวเดยวกน คอ 250 – 100 = 150 และใหมคามากทสด นนคอ X22 = 150 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค(150 หนวย) และอปทาน (250 หนวย)

ถง

จาก






400

100

X13

0


X21

150

X23

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 0 150 350 500

7. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 150 หนวย และจะท าการตดหลกออกเพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (150 – 150 = 0)

20 40 30

30 50 35

30 50 35

20 40 30

35 45 20

35 45 20

125

ถง

จาก






400

100

X13

0


X21

150

X23

100


X31

X32

250

250

อปสงครวม 0 0 350 350

8. พจารณาชองแรกของตารางหรอชองมมซายสดทไดจากขอ 7 คอ ชองของ X23 โดยทจะก าหนดใหมจ านวนสนคาทเหลอจากชองทไดก าหนดจ านวนสนคาในหลกหรอแถวเดยวกน คอ 250 – 150 = 100 และใหมคามากทสด นนคอ X23 = 100 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (350 หนวย) และอปทาน (100 หนวย)

ถง

จาก






400

100

X13

0


X21

150

100

100


X31

X32

X33

250


9. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 100 หนวย และจะท าการตดแถวออกเพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (100 – 100 = 0)

20 40 30

35 45 20

30 50 35

20 40 30

35 45 20

30 50 35

126

ถง

จาก






400

100

X13

0


X21

150

100

0


X31

X32

X33

250


10. พจารณาชองแรกของตารางหรอชองมมซายสดทไดจากขอ 9 คอ ชองของ X33 โดยทจะก าหนดใหมจ านวนสนคาทเหลอจากชองทไดก าหนดจ านวนสนคาในหลกหรอแถวเดยวกน คอ 350 – 100 = 250 และใหมคามากทสด นนคอ X33 = 250 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (250 หนวย) และอปทาน (250 หนวย)

ถง

จาก






400

100

X13

0


X21

150

100

0


X31

X32

250

0


จะเหนไดวาทกโรงงานไดท าการขนสงสนคาไปยงคลงสนคาครบตามจ านวนทตองการแลว ดงนนจะไดเสนทางในการสงสนคาเรมตน ดงน

20 40 30

35 45 20

30 50 35

20 40 30

35 45 20

30 50 35

127

ถง

จาก






400

100

X13

500


X21

150

100

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

ดงนนจะไดแผนการสงสนคาและคาใชจายในการขนสงรวมทเปนผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ ดงตารางตอไปน

เสนทางการสงสนคา

คาขนสง/หนวย

(บาท/หนวย)

จ านวนสนคา

(หนวย)

คาขนสงรวม

(บาท) จาก

โรงงานท ถง

คลงสนคาท 1 1 30 400 12,000

1 2 50 100 5,000

2 2 40 150 6,000

2 3 30 100 3,000

3 3 20 250 5,000

รวม 1,000 31,000

2. วธการประมาณของโวเกล (Vogel’s Approximation Method หรอ VAM) การหาผลเฉลยเรมตนของวธการประมาณของโวเกล เปนการประมาณคาเสยโอกาส (penalty cost) นนคอ ถาเปนปญหาการลงทนหรอปญหาการหาคาต าสดจะเปนการหาตนทนทอาจตองจายเพมขนและถาเปนปญหาการเกยวกบก าไรหรอปญหาการหาคาสงสดจะเปนการหาก าไรทอาจตองลดลง เมอมการเลอกเสนทางทไมเหมาะสม ดงนนจะตองท าการเลอกเสนทางทเหมาะสมทท าใหคาเสยโอกาสนอยทสด โดยจะใชคาเสยโอกาสของคาใชจายในการขนสงสนคาเปนเกณฑในการก าหนดปรมาณของสนคาในแตละเสนทางมขนตอนดงตอไปน 2.1 ท าการค านวณคาเสยโอกาส ดงน ถาเปนปญหาการลงทน คอ ผลตางระหวางตนทนการขนสงตอหนวยของคานอยทสดกบคาทนอยรองลงมา ส าหรบทกแถวและทกหลก และถาเปนปญหาเกยวกบก าไร คอ ผลตางระหวางก าไรตอหนวยของคาสงทสดกบคาทสงทสดรองลงมา

30 50 35

35 45 20

20 40 30

128

ส าหรบทกแถวและทกหลก (กรณทมตนทนการขนสงตอหนวยนอยทสดมากกวา 1 คา หรอมก าไรตอหนวยสงทสดมากกวา 1 คา จะไดคาเสยโอกาส เทากบ 0) แลวท าการเขยนคาทไดก ากบไวตรงแถวและหลกนนๆ

2.2 ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 1 เปนแถวหรอหลกทจะใชก าหนดปรมาณสนคาทตองการขนสงกอน (กรณทมคาเสยโอกาสสงสดมากกวา 1 คา ใหเลอกแถวหรอหลกทมตนทนการขนสงตอหนวยนอยทสดแตถาเกดกรณทตนทนการขนสงตอหนวยนอยทสดมมากกวา 1 คา ใหท าการเปรยบเทยบตนทนการขนสงตอหนวยทมากสด โดยจะตองเลอกแถวหรอหลกทมตนทนการขนสงตอหนวยทมากสด ทมากกวา ส าหรบปญหาการลงทน และใหเลอกแถวหรอหลกทมก าไรตอหนวยมากทสดแตถาเกดกรณทก าไรตอหนวยมากทสดมมากกวา 1 คา ใหท าการเปรยบเทยบก าไรตอหนวยทนอยสด โดยจะตองเลอกแถวหรอหลกทมก าไรตอหนวยทนอยสด ทนอยกวา ส าหรบปญหาเกยวกบการหาก าไร) 2.3 ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสดในแถวหรอหลกทไดจากขอ 2 ส าหรบปญหาการลงทน และ เลอกชองทมก าไรตอหนวยทสงสดในแถวหรอหลกทไดจากขอ 2

ส าหรบปญหาเกยวกบก าไร โดยจะใชชองนเปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคากอน ซงจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด แตตองไมเกนอปสงคและอปทาน 2.4 ท าการลดจ านวนอปทานและอปสงคของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด แลวท าการตดแถวหรอหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก โดยจะตดแถวหรอหลกทมจ านวนสนคาหลงจากลดจ านวนสนคาแลวทมคาเทากบ 0 นนคอ หลงจากการลดจ านวนสนคาแลว ถาจ านวนของอปทานเทากบ 0 ใหตดแถวออก หรอถาจ านวนของอปสงคเทากบ 0 ใหตดหลกออก

2.5 กลบไปด าเนนตามขนตอนท 2 จนกวาจะสงสนคาไดครบตามจ านวนทตองการ

ดงนนจากตวอยางท 3.1 สามารถแสดงการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล ดงน 1. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสส าหรบทกแถวและทกหลก แลวท าการเขยนคาทไดก ากบไวตรงแถวและหลกนนๆ ดงน จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงสามารถแสดงการหาคาเสยโอกาสในการขนสงของแตละแถวไดดงน - โรงงานท 1 คาใชจายต าสด คอ 30 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 35 บาท มผลตางคอ 35 – 30 = 5

- โรงงานท 2 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท

มผลตางคอ 30 – 20 = 10

129


มผลตางคอ 35 – 20 = 15

และสามารถแสดงการหาคาเสยโอกาสในการขนสงของแตละหลกไดดงน - คลงสนคาท 1 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท มผลตางคอ 30 – 20 = 10

- คลงสนคาท 2 คาใชจายต าสด คอ 40 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 45 บาท มผลตางคอ 45 – 40 = 5

- คลงสนคาท 3 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท มผลตางคอ 30 – 20 = 10

ถง

จาก




อปทาน

รวม

คาเสยโอกาส


X11

X12

X13

500

5


X21

X22

X23

250

10


X31

X32

X 33

250

15

อปสงครวม 400 250 350 1,000

คาเสยโอกาส 10 5 10

2. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 1 เปนแถวหรอหลกทจะใชก าหนดปรมาณสนคาทตองการขนสงกอนซงในตวอยางน คอ 15 ในแถวท 3 (โรงงานท 3) ดงนนจะใชแถวท 3 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา

3. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 3 (โรงงานท 3) คอ 20 บาท ดงนนจะใชชองนเปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X33 = 250 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (350 หนวย) และอปทาน (250 หนวย)

30 50 35

20 40 30

35 45 20

130

ถง

จาก




อปทาน

รวม



X11

X12

X13

500

5


X21

X22

X23

250

10


X31

X32

250

250

15

อปสงครวม 400 250 350 1,000


4. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 250 หนวย และท าการตดแถวของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (250 – 250 = 0)

ถง

จาก




อปทาน

รวม



X11

X12

X13

500

5


X21

X22

X23

250

10


X31

X32

250

0

0

อปสงครวม 400 250 100 750


5. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 4 แลวท าการเขยนคาทไดก ากบไวตรงแถวและหลกนนๆ ดงน หาคาเสยโอกาสในการขนสงของแตละแถวไดดงน - โรงงานท 1 คาใชจายต าสด คอ 30 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 35 บาท

มผลตางคอ 35 – 30 = 5

30 50 35

20 40 30

35 45 20

30 50 35

20 40 30

35 45 20

131


มผลตางคอ 30 – 20 = 10

และหาคาเสยโอกาสในการขนสงของแตละหลกไดดงน - คลงสนคาท 1 คาใชจายต าสด คอ 20 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท

มผลตางคอ 30 – 20 = 10

- คลงสนคาท 2 คาใชจายต าสด คอ 40 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 50 บาท

มผลตางคอ 50 – 40 = 10



ถง

จาก




อปทาน

รวม



X11

X12

X13

500

5


X21

X22

X23

250

10


X31

X32

250

0

0

อปสงครวม 400 250 100 750


6. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 5 เปนแถวหรอหลกทจะใชก าหนดปรมาณสนคาทตองการขนสง ซงจะไดวา หลกท 1 (คลงสนคาท 1) และแถวท 2 (โรงงานท 2) มคาเสยโอกาสมากทสดเทากน คอ 10 และมตนทนการขนสงตอหนวยนอยสดเทากน คอ 20 บาทดงนนจะท าการเปรยบเทยบตนทนการขนสงตอหนวยทมากสด คอ หลกท 1 เทากบ 30 บาท และแถวท 2 เทากบ 40 บาท โดยจะท าการเลอกแถวหรอหลกทมตนทนการขนสงตอหนวยท มากสด ทมากกวา นนคอ แถวท 2 ดงนนจะท าการเลอกแถวท 2 (โรงงานท 2) เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา


30 50 35

20 40 30

35 45 20

132

ถง

จาก




อปทาน

รวม



X11

X12

X13

500

5


250

X22

X23

250

10


X31

X32

250

0

0

อปสงครวม 400 250 100 750


8. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 250 หนวย และท าการตดแถวของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (250 – 250 = 0)

ถง

จาก




อปทาน

รวม



X11

X12

X13

500

5


250

X22

X23

0

0


X31

X32

250

0

0

อปสงครวม 150 250 100 500




30 50 35

20 40 30

35 45 20

30 50 35

20 40 30

35 45 20

133

และหาคาเสยโอกาสในการขนสงของแตละหลกไดดงน - คลงสนคาท 1 คาใชจายต าสด คอ 30 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท






ถง

จาก




อปทาน

รวม



X11

X12

X13

500

5


250

X22

X23

0

0


X31

X32

250

0

0

อปสงครวม 150 250 100 500


10. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 9 เปนแถวหรอหลกทจะใชก าหนดปรมาณสนคาทตองการขนสง คอ 5 ในแถวท 1 (โรงงานท 1) ดงนนจะใชแถวท 1 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา


30 50 35

20 40 30

35 45 20

134

ถง

จาก




อปทาน

รวม



150

X12

X13

500

5


250

X22

X23

0

0


X31

X32

250

0

0

อปสงครวม 150 250 100 500


12. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 150 หนวย และท าการตดหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (150 – 150 = 0)

ถง

จาก




อปทาน

รวม



150

X12

X13

350

5


250

X22

X23

0

0


X31

X32

250

0

0

อปสงครวม 0 250 100 350



มผลตางคอ 50 – 35 = 15

30 50 35

20 40 30

35 45 20

30 50 35

20 40 30

35 45 20

135

และหาคาเสยโอกาสในการขนสงของแตละหลกไดดงน - คลงสนคาท 2 คาใชจายต าสด คอ 50 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 50 บาท มผลตางคอ 50 – 50 = 0



ถง

จาก




อปทาน

รวม



150

X12

X13

350

15


250

X22

X23

0

0


X31

X32

250

0

0

อปสงครวม 0 250 100 350


14. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 13 เปนแถวหรอหลกทจะใชก าหนดปรมาณสนคาทตองการขนสง คอ 15 ในแถวท 1 (โรงงานท 1) ดงนนจะใชแถวท 1

เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา


30 50 35

20 40 30

35 45 20

136

ถง

จาก




อปทาน

รวม



150

X12

100

350

15


250

X22

X23

0

0


X31

X32

250

0

0

อปสงครวม 0 250 100 350


16. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 100 หนวย และท าการตดหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (150 – 150 = 0)

ถง

จาก




อปทาน

รวม



150

X12

100

250

15


250

X22

X23

0

0


X31

X32

250

0

0



17. จากการก าหนดจ านวนสนคาในเสนทางตางๆ ทไดแสดงมาขางตนจะพบวาเหลอเสนทางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาอยหนงชอง คอ ชองของ X12 ซงจะเหนไดวามสนคาทยงไมไดสงอยจ านวน 250 หนวย และยงเหลอมทวางของคลงสนคาทสามารถเกบไดอก 250

หนวยเชนกน ดงนนจงสามารถก าหนดจ านวนสนคาในเสนทางนไดทงหมด 250 หนวย ดงน

30 50 35

20 40 30

35 45 20

30 50 35

20 40 30

35 45 20

137

ถง

จาก




อปทาน

รวม



150

250

100

0

0


250

X22

X23

0

0


X31

X32

250

0

0



จะเหนไดวาทกโรงงานไดท าการขนสงสนคาไปยงคลงสนคาครบตามจ านวนทตองการแลว ดงนนจะไดเสนทางในการสงสนคาเรมตน ดงน

ถง

จาก



คลงสนคาท 3 อปทานรวม


150

250

100

500


250

X22

X23

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

30 50 35

30 50 35

20 40 30

35 45 20

20 40 30

35 45 20

138

ดงนนจะไดแผนการสงสนคาทเปนผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล ดงน





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 30 150 4,500

1 2 50 250 12,500

1 3 35 100 3,500

2 1 20 250 5,000

3 3 20 250 5,000

รวม 1,000 30,500

เมอท าการเปรยบเทยบวธการหาผลเฉลยเรมตนทงสองนจะเหนไดวาวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอมข นตอนทงายกวาวธการประมาณของโวเกล แตวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอจะไดผลเฉลยทใหคาใชจายมากกวาวธการประมาณของโวเกล เพราะวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอไมไดค านงถงคาใชจายในการขนสงกอนทจะก าหนดจ านวนสนคา

การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน

การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน สามารถท าไดหลายวธดวยกน ในหวขอนจะท าการแสดงวธการ 2 วธ คอ วธการสเตปปงสโตน (stepping stone method) และวธการโมดฟายดสทรบวชน (modified distribution method) แตกอนทจะท าการพฒนาผลเฉลยจะตองท าการตรวจสอบจ านวนของชองทมการก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนกอน ซงจะตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) เสมอ โดยท m คอ จ านวนจากตนทาง และ n คอ จ านวนจากปลายทาง จงจะสามารถพฒนาผลเฉลยได นนคอ จ านวนตวแปรพนฐานของปญหาการขนสงจะตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) ตวเสมอ แตถาจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคามจ านวนนอยกวา (m + n – 1) ซงจะเรยกวา เกดสภาพซอนสถานะ (degeneracy) หมายความวา โดยทวไปแลวตวแปรพนฐานทกตวจะมคาไมเทากบ 0

แตถามตวแปรพนฐานบางตวมคาเทากบ 0 แลวจะเรยกกรณนวา เกดสภาพซอนสถานะ ซงจะไดศกษาในหวขอตอไป ดงนนในขนนจะท าการแสดงวธการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน ไดดงน

139

1. วธการสเตปปงสโตน มข นตอนดงตอไปน การพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการสเตปปงสโตน เปนการใชหลกการวเคราะหตนทนของการขนสงสนคาจากผลเฉลยเรมตน โดยจะท าการพจารณาทกๆ เสนทางการขนสงทไดจากผลเฉลยเรมตน ทจะตองน ามาค านวณตนทนทจะเปลยนไปหากมการขนสงสนคาจากเสนทางเดมทก าหนดในผลเฉลยเรมตนไปใชเสนทางใหม และในการค านวณตนทนทจะเปลยนไปเมอมการเปลยนเสนทางใหมโดยทตนทนจะเปลยนไป 1 หนวยสนคาทมการยายเสนทาง มข นตอนดงน ท าการตรวจสอบผลเฉลยเรมตนทไดกอนวาเปนผลเฉลยทเหมาะสมทสดแลวหรอไม โดยการสรางวงจรปด (loop) ของตวแปรไมพนฐานทกตว แลวท าการค านวณตนทนตอหนงหนวยสนคาของทกวงจรปด แลวจงพจารณาวาควรทจะพฒนาผลเฉลยตอไปหรอไมและควรจะพฒนาเสนทางใด ซงจะเรยกวธการน วา การตรวจสอบผลเฉลยเหมาะสมทสด(optimum) มกระบวนการดงน 1) พจารณาผลเฉลยเรมตนโดยท าการเลอกชองใดกได 1 ชองทไมมการก าหนดจ านวนสนคา คอ ชองทเปนตวแปรไมพนฐาน แลวใหใสเครองหมาย + ก ากบไว

2) พจารณาในแถวหรอหลกเดยวกบชองทไดจากขอ 1 แลวเลอกชองทใกลทสดทม การก าหนดจ านวนสนคาทสามารถท าเปนวงจรปดมายงชองเรมตน (ชองในขอท 1) ได แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไว 3) พจารณาในชองทไดจากขอ 2 แลวท าการวนผานชองนไปเปนมมฉากไปยงชองทมการก าหนดจ านวนสนคาทใกลทสดทสามารถท าเปนวงจรปดมายงชองเรมตน (ชองในขอท 1) ได แลวใหใสเครองหมาย + ก ากบไว

4) พจารณาในชองทไดจากขอ 3 แลวท าการวนผานชองนไปเปนมมฉากไปยงชองทมการก าหนดจ านวนสนคาทใกลทสดทสามารถท าเปนวงจรปดมายงชองเรมตน (ชองในขอท 1) ได แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไว 5) ท าการด าเนนการเชนน ไปเรอยๆ จนกระทงเสนทางกลบมายงชองทเปนจดเรมตน (ชองในขอท 1) ซงจะเปนวงจรปด โดยทมเครองหมาย + กบ – สลบกนไปเรอยๆ โดยการก าหนดวงจรปดนจะตองวนไปทางขวาหรอทางซายในทศทางใดทศทางหนง และตวแปรไมพนฐานแตละตวสามารถสรางวงจรปดไดเพยงหนงวงจรเทานน

6) ท าการค านวณตนทนตอหนงหนวยสนคา จากเสนทางทเปลยนไปถามการยายสนคาไปตามแนววงจรทได โดยการน าตนทนการขนสงตอหนวยสนคาในแตละชองคณกบจ านวนสนคา คอ 1 หนวย และใหผลลพธทไดของแตละชองมคาตามเครองหมายทไดก ากบไวในวงจร (ถาเสนทางของวงจรปดมการลากผานตวแปรพนฐานตวอนไมตองใสเครองหมายก ากบใดๆ ไวในชองตวแปรพนฐานตวนนและไมตองใชในการค านวณตนทนหรอก าไรตอหนงหนวยสนคา) 7) ด าเนนการซ าในชองทไมมการก าหนดจ านวนสนคาทเหลอจนครบทกชอง

140

8) ท าการพจารณาผลทไดดงน กรณปญหาการลงทน ถาคาตนทนตอหนงหนวยสนคา มคามากกวาหรอเทากบ 0 แสดงวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว แตถาคาตนทนตอหนงหนวยสนคา มคานอยกวา 0 แสดงวายงไมไดผลเฉลยทเหมาะสมทสด ดงนนจะท าการพฒนาหา ผลเฉลยเหมาะสมทสดตอไป (กรณปญหาเกยวกบการหาก าไร ถาคาก าไรตอหนงหนวยสนคา มคานอยกวาหรอเทากบ 0 แสดงวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว แตถาคาก าไรตอหนงหนวยสนคา ม คามากกวา 0 แสดงวายงไมไดผลเฉลยทเหมาะสมทสด ดงนนจะท าการพฒนาหาผลเฉลยเหมาะสมทสดตอไป) จากขนตอนทงหมดทไดกลาวมานจะเรยกวา การวเคราะหเสนทางขนสงทวาง และสามารถแสดงการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการสเตปปงสโตน ไดดงตวอยางตอไปน จากตวอยางท 3.1 สามารถหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ ไดดงน

ถง

จาก






400

100

X13

500


X21

150

100

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

ท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 5 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 3 และ n = 3

ดงนน (m + n – 1) = (3 + 3 – 1) = 5 แสดงวาในตวอยางนสามารถพฒนาผลเฉลยดวยวธการสเตปปงสโตนได จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด 4 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X13 , X21 , X31 และ X32 ดงนนจะตองท าการวเคราะหเสนทางขนสงทวางทงหมด 4 วงจร ดงน

30 50

20

35

40 30

35 45 20

141

วงจรท 1 ชองของตวแปรไมพนฐาน X13 1. เลอกชองของเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 3 โดยใหก าหนดเครองหมาย + ก ากบไวในชองเรมตนน 2. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 1 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 100 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2 แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน 3. เลอกชองในหลกเดยวกบชองทไดจากขอ 2 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 150 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 แลวใหใสเครองหมาย + ก ากบไวในชองน 4. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 3 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 100 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน

สามารถแสดงไดดงตอไปน

ถง

จาก






400 –

100

เรมตน+ X13

500


X21 +

150

–

100

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

ค านวณตนทนตอหนงหนวยสนคาในแตละชอง ดงน เสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 3 = +(1×35) = 35

เสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2 = –(1×50) = – 50

เสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 = +(1×40) = 40


รวม = – 5

30 50

20

35

40 30

35 45 20

142

ผลลพธทไดมคาเทากบ – 5 หมายความวา ถามการเปลยนเสนทางการขนสงตามแนวทางทเลอกไวในวงจรน คอ เมอเพมจ านวนสนคา 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 3 และเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 พรอมๆ กบการลดจ านวนสนคาลง 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคา 2 และเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 จะท าใหคาใชจายรวมทงหมดลดลง 5 บาทตอสนคาทเปลยนเสนทาง 1 หนวย ดงนนแผนการเปลยนแปลงในเสนทางนจงเหมาะกบการปรบผลเฉลยเรมตน

วงจรท 2 ชองของตวแปรไมพนฐาน X21

1. เลอกชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 1 โดยใหก าหนดเครองหมาย + ก ากบไวในชองเรมตนน 2. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 1 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 150 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2

แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน 3. เลอกชองในหลกเดยวกบชองทไดจากขอ 2 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 100 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2

แลวใหใสเครองหมาย + ก ากบไวในชองน 4. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 3 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 400 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 1

แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน


ถง

จาก






–

400

+

100

X13

500


เรมตน+ X21 –

150

100

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

30 50

20

35

40 30

35 45 20

143



เสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2 = +(1×50) = 50 เสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 1 = –(1×30) = – 30

รวม = 0

ผลลพธทไดมคาเทากบ 0 หมายความวา ถามการเปลยนเสนทางการขนสงตามแนวทางทเลอกไวในวงจรน คอ เมอเพมจ านวนสนคา 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 1 และเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2 พรอมๆ กบการลดจ านวนสนคาลง 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 และเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 1 จะท าใหคาใชจายรวมทงหมดไมมการเปลยนแปลง ดงนนแผนการเปลยนแปลงในเสนทางนจงไมเหมาะกบการปรบผลเฉลยเรมตน


1. เลอกชองของเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 1 โดยใหก าหนดเครองหมาย + ก ากบไวในชองเรมตนน 2. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 1 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 250 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 3 แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน 3. เลอกชองในหลกเดยวกบชองทไดจากขอ 2 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 100 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 แลวใหใสเครองหมาย + ก ากบไวในชองน

4. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 3 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 150 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน 5. เลอกชองในหลกเดยวกบชองทไดจากขอ 4 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 100 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2 แลวใหใสเครองหมาย + ก ากบไวในชองน 6. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 5 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 400 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 1 แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน

144


ถง

จาก






–

400

+

100

X13

500


X21 –

150

+

100

250



X32 –

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000







รวม = 25

ผลลพธทไดมคาเทากบ 25 หมายความวา ถามการเปลยนเสนทางการขนสงตามแนวทางทเลอกไวในวงจรน คอ เมอเพมจ านวนสนคา 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 1 เสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 และเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 2 พรอมๆ กบการลดจ านวนสนคาลง 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 3 เสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 และเสนทางจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาท 1 จะท าใหคาใชจายรวมทงหมดเพมขน 20 บาทตอสนคาทเปลยนเสนทาง 1 หนวย ดงนนแผนการเปลยนแปลงในเสนทางนจงไมเหมาะกบการปรบผลเฉลยเรมตน

30 50

20

35

40 30

35 45 20

145


1. เลอกชองของเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 2 โดยใหก าหนดเครองหมาย + ก ากบไวในชองเรมตนน 2. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 1 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 250 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 3 แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน 3. เลอกชองในหลกเดยวกบชองทไดจากขอ 2 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 100 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 แลวใหใสเครองหมาย + ก ากบไวในชองน 4. เลอกชองในแถวเดยวกบชองทไดจากขอ 3 คอชองทใกลทสดทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมคาเทากบ 150 นนคอชองของเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 แลวใหใสเครองหมาย – ก ากบไวในชองน


ถง

จาก






400

100

X13

500


X21 –

150

+

100

250


X31

เรมตน+ X32 –

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000





รวม = 15

30 50

20

35

40 30

35 45 20

146

ผลลพธทไดมคาเทากบ 15 หมายความวา ถามการเปลยนเสนทางการขนสงตามแนวทางทเลอกไวในวงจรน คอ เมอเพมจ านวนสนคา 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 1 และเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 3 พรอมๆ กบการลดจ านวนสนคาลง 1 หนวยในเสนทางจากโรงงานท 3 ไปยงคลงสนคาท 3 และเสนทางจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาท 2 จะท าใหคาใชจายรวมทงหมดเพมขน 15 บาทตอสนคาทเปลยนเสนทาง 1 หนวย ดงนนแผนการเปลยนแปลงในเสนทางนจงไมเหมาะกบการปรบผลเฉลยเรมตน

สามารถสรปเสนทางของวงจรปดทงหมดไดดงน

ตวแปรไมพนฐาน

วงจรปด

ตนทนตอหนงหนวยสนคา

X13 X13 X12 X22 X23 +35 – 50 + 40 – 30 = –5

X21 X21 X22 X12 X11 +20 – 40 + 50 – 30 = 0

X31 X31 X33 X23 X22 X12 X11 +35 – 20 + 30 – 40 + 50 –30 = 25

X32 X32 X33 X23 X22 +45 – 20 + 30 – 40 = 15

จากผลการวเคราะหเสนทางวางทมผลตอตนทนการเปลยนแปลงไปตามเสนทางทก าหนดใหมจะไดเสนทางทเหมาะกบการปรบผลเฉลยเรมตน คอ วงจรท 1 หรอชองของตวแปรไมพนฐาน X13 ดงนนจะท าการพจารณาวงจรท 1 วาควรจะเปลยนแปลงจ านวนสนคาเทาไรและในเสนทางใดบาง ซงจากการทท าการก าหนดชองของวงจรโดยการใสเครองหมาย + และ – ก ากบไว หมายความวาจะท าการลดจ านวนสนคาในชองทมเครองหมาย – และท าการเพมจ านวนสนคาในชองทมเครองหมาย + ซงจะท าใหไดผลลพธตามความหมายของวงจรทได คอ เมอมการเปลยนแปลงจ านวนสนคา 1 หนวย แลวตนทนจะลดลง 5 บาท และในวงจรท 1 มชองทมเครองหมาย – สองชองและมการก าหนดจ านวนสนคาเดม คอ 100 หนวย ทงสองชอง ดงนนจะท าการลดจ านวนสนคาลง 100 หนวย ทงสองชอง แลวน าจ านวนสนคาทลดลงนไปเพมในชองทมเครองหมาย + ในวงจรเดยวกน ซงจะตองไมเกนอปทานและอปสงคของแตละเสนทางทเพมจ านวนสนคาลงไปใหม ดงนนจะไดวามการเปลยนแปลงจ านวนสนคา 100 หนวย ซงตนทนจะลดลง 500

บาท นนเอง สามารถแสดงไดดงน

147

ถง

จาก






400 100 –

100

เรมตน+100

500


X21 100 +

150

100 –

100

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

การพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนวธการสเตปปงสโตน สามารถแสดงไดดงน

ถง

จาก






400

X12

100

500


X21

250

X23

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

ท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยทมการก าหนดจ านวนสนคาซงมจ านวน 4 ชอง แต (m + n – 1) = (3 + 3 – 1) = 5 แสดงวาในผลเฉลยทไดนไมสามารถพฒนาผลเฉลยดวยวธการสเตปปงสโตนไดอก (สามารถพฒนาผลเฉลยไดดวยวธอนอกซงจะไดท าการแสดงการพฒนาผลเฉลยทไดนในบทตอไป)

30 50

20

35

40 30

35 45 20

30 50

20

35

40 30

35 45 20

148

ดงน นจะสรปแผนการสงสนคาทไดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการ สเตปปงสโตน ดงน





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 30 400 12,000

1 3 35 100 3,500

2 2 40 250 10,000

3 3 20 250 5,000

รวม 1,000 30,500

จากผลเฉลยทไดมคาขนสงรวม คอ 30,500 บาท ซงจะเหนไดวามคาทลดลงจากผลเฉลยเรมตนทไดจากวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ 500 บาท (คาขนสงเดม 31,000 บาท) ซงจะเหนไดวามคาเทากบเฉลยเรมตนทไดจากวธการประมาณของโวเกล แสดงวาการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกลจะไดผลเฉลยทดกวาวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอและบางปญหาผลเฉลยทไดจากวธการประมาณของโวเกล อาจจะเปนผลเฉลยทเหมาะสมทสดโดยทไมตองพฒนาผลเฉลยเลยกเปนไปได ดงนนวธการประมาณของโวเกล จงเปนวธทนยมใชกนมากในการหาผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสง

2. วธการโมดฟายดสทรบวชน การพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน เปนการวเคราะหตนทนหรอก าไรของการขนสงสนคาจากผลเฉลยเรมตนเชนเดยวกบวธการ สเตปปงสโตน แตในวธการโมดฟายดสทรบวชนน ไมตองท าการพจารณาตนทนหรอก าไรของการขนสงสนคาในทกๆ เสนทางการขนสงทไดจากผลเฉลยเรมตน คอ ไมตองพจารณาวงจรปดของ ตวแปรไมพนฐานทกตวนนเอง แตจะท าการพจารณาเสนทาการขนสงทจะใหคาตนทนหรอก าไร การขนสงทเปลยนไปทมคาเหมาะสมมากทสด หมายความวาจะท าใหมการพจาณาตนทนหรอก าไรของการขนสงสนคาในเสนทางเพยงเสนทางเดยวเทานน ซงจะท าใหสะดวกและประหยดเวลาในการหาผลเฉลยไดมากกวาวธการสเตปปงสโตน โดยจะท าการพจารณาคาดชนประหยดตนทนกอนเพอทจะใชเปนคาทจะใชเลอกเสนทางทเหมาะสมเพยงเสนทางเดยวเทานน มข นตอนดงตอไปน

149

1. ก าหนดสมการ Ri + Cj = Kij ส าหรบทกชองทมก าหนดจ านวนสนคา

โดยท Ri คอ คาทก าหนดใหส าหรบแถวท i

Cj คอ คาทก าหนดใหส าหรบหลกท j

Kij คอ คาใชจายการขนสงทก าหนดใหส าหรบแตละเสนทางจาก ตนทางท i ไปยงปลายทางท j

2. ก าหนดให R1 = 0

3. หาคา Ri และ Cj

4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากสมการ ij ij i jI K R –C

5. ท าการเลอกเสนทางทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบสงสด

6. ท าการพฒนาผลเฉลยของเสนทางท ไดจากขอ 5 ตามขนตอนของวธ สเตปปงสโตน

สามารถแสดงวธการและขนตอน การพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน ไดดวยตวอยางตอไปน จากปญหาในตวอยางท 3.1 หาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ ไดดงน

ถง

จาก






400

100

X13

500


X21

150

100

250


X31

X23

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

ท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 5 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 3

30 50

20

35

40 30

35 45 20

150

และ n = 3 ดงนน (m + n – 1) = (3 + 3 – 1) = 5 แสดงวาในตวอยางนสามารถพฒนาผลเฉลยดวย วธการโมดฟายดสทรบวชน ไดดงน 1. ก าหนดสมการ Ri + Cj = Kij ส าหรบทกชองทมก าหนดจ านวนสนคา จะได

ถง

จาก




อปทาน

รวม


400

100

X13

500


X21

150

100

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

1) R1 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1





2. ก าหนดให R1 = 0 ดงนนจากสมการในขอ 1 จะได

1) 0 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1






จาก 1) จะได C1 = 30 จาก 2) จะได C2 = 50 จาก 3) จะได R2 + 50 = 40 ดงนน R2 = –10

จาก 4) จะได –10 + C3 = 30 ดงนน C3 = 40

จาก 5) จะได R3 + 40 = 20 ดงนน R3 = –20

R1

R2

R3

C1 C2 C3

30 50

20 40 30

35

35 45 20

151

4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด 4 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X13 , X21 , X31 และ X32

จากสมการ ij ij i jI K R –C จะได 13 13 1 3I K R –C = 35 – 0 – 40 = –5

21 21 2 1I K R –C = 20 – (–10) – 30 = 0

31 31 3 1I K R –C = 35 – (–20) – 30 = 25

32 32 3 2I K R –C = 45 – (–20) – 50 = 15

5. เสนทางทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบสงสด คอ 13I = – 5

ดงนนจะเลอกเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 เปนชองเรมตนในการค านวณตนทนของการขนสงสนคา

6. ท าการพฒนาผลเฉลยของเสนทางทไดจากขอ 5 คอ เสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 ตามขนตอนของวธการสเตปปงสโตน

จากตวอยางการพฒนาผลเฉลยดวยวธการสเตปปงสโตนทผานมาจะไดผลเฉลยทเกดจากการใชชองของเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 เปนชองเรมตน หรอ ชองของ ตวแปรไมพนฐาน X13 ดงน

ถง

จาก






400 –

100


500


X21 +

150

–

100

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

30 50

20

35

40 30

35 45 20

152

การพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดส ทรบวชน สามารถแสดงไดดงน

ถง

จาก






400

X12

100

500


X21

250

X23

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

ดงนนจะสามารถสรปแผนการสงสนคาทไดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน ดงน





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 30 400 12,000

1 3 35 100 3,500

2 2 40 250 10,000

3 3 20 250 5,000

รวม 1,000 30,500

จากผลเฉลยทไดมคาขนสงรวม คอ 30,500 บาท ซงจะเหนไดวามคาเทากบคาขนสงรวมของวธการสเตปปงสโตน แตในวธการโมดฟายดสทรบวชนนไมตองท าการพจารณาตนทนของการขนสงสนคาในทกๆ เสนทางการขนสงทไดจากผลเฉลยเรมตน ซงจะท าใหสะดวกและประหยดเวลาในการหาผลเฉลยไดมากกวาวธการสเตปปงสโตน ดงนนวธการโมดฟายดสทรบวชนนจงเปนวธทนยมใชกนมากในการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตน

30 50

20

35

40 30

35 45 20

153

ตอไปจะแสดงวธการและขนตอน การพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน โดยจะใชผลเฉลยเรมตนทไดจากวธการประมาณของโวเกล จากปญหาในตวอยางท 3.1 หาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล ไดดงน

ถง

จาก



คลงสนคาท 3 อปทานรวม


150

250

100

500


250

X22

X23

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

ท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 5 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 3 และ n = 3 ดงนน (m + n – 1) = (3 + 3 – 1) = 5 แสดงวาในตวอยางนสามารถพฒนาผลเฉลยดวย วธการโมดฟายดสทรบวชน ไดดงน 1. ก าหนดสมการ Ri + Cj = Kij ส าหรบทกชองทมก าหนดจ านวนสนคาจะได

ถง

จาก




อปทาน

รวม


150

250

100

500


250

X22

X23

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

30 50 35

20 40 30

R1

R2

R3

35 45 20

C1 C2 C3

30

20

35

50

40

45

35

30

20

154





5) R3 + C3 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3 2. ก าหนดให R1 = 0 ดงนนจากสมการในขอ 1 จะได







จาก 1) จะได C1 = 30 จาก 2) จะได C2 = 50 จาก 3) จะได C3 = 35

จาก 4) จะได R2 + 30 = 20 ดงนน R2 = –10 จาก 5) จะได R3 + 35 = 20 ดงนน R3 = –15 4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากสมการ ij ij i jI K R –C

จะได 22 22 2 2I K R –C = 40 – (–10) – 50 = 0

23 23 2 3I K R –C = 30 – (–10) – 35 = 5

31 31 3 1I K R –C = 35 – (–15) – 30 = 20

32 32 3 2I K R –C = 45 – (–15) – 50 = 10

จะเหนไดวาไมมเสนทางใดทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบ แสดงวาผลเฉลยนไมสามารถพฒนาผลเฉลยใหดขนไดอก นนคอ ผลเฉลยเรมตนทไดจากวธการประมาณของโวเกล เปนผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว แสดงใหเหนวาการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล จะไดผลเฉลยทเหมาะสมทสดโดยทไมตองพฒนาผลเฉลยเลยกเปนไปได

155

บทสรป

ตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการขนสง ใชส าหรบจ าลองปญหาการขนสงหรอการจายแจกสนคาจากตนทางซงอาจมแหงเดยวหรอหลายแหง ไปยงปลายทางซงอาจมแหงเดยวหรอหลายแหงเชนกน โดยใหมคาใชจายในการขนสงต าทสด หรอเพอใหไดก าไรจากการขนสงสงสด ปญหาการขนสงทสมดล เปนการก าหนดใหปรมาณของสนคาทออกจากตนทางจะตองมคาเทากบปรมาณของสนคาทตองการของปลายทาง กลาวคอ ปรมาณของสนคาทมหรออปทานจะเทากบความตองการสนคาหรออปสงค ในการหาผลเฉลยของปญหาการขนสงทสมดล มข นตอนอย 2 ขน ไดแก การหาผลเฉลยเรมตน และการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน โดยการหาผลเฉลยเรมตน สามารถแสดงได 2 วธ ไดแก วธการกฏมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ และวธการประมาณของโวเกล สวนการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน สามารถแสดงได 2 วธเชนกน ไดแก วธการสเตปปงสโตน และวธการโมดฟายดสทรบวชน

156


3.1 จากตวแบบของปญหาการขนสงทก าหนดใหตอไปน จงสรางตารางเรมตนของปญหาการขนสง

3.1.1 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X11 + 20X12 + 30X21 + 40X22 + 20X31 + 50X32 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานอปทาน

X11 + X12 = 100

X21 + X22 = 200

X31 + X32 = 100 2) เงอนไขดานอปสงค

X11 + X21 + X31 = 150

X12 + X22 + X32 = 250

Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2

3.1.2 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 30X11 + 20X12 + 10X13 + 40X21 + 50X22 + 30X23


X11 + X12 + X13 = 300

X21 + X22 + X23 = 200


X11 + X21 = 150

X12 + X22 = 200

X13 + X23 = 150 Xij 0 โดยท i = 1, 2 และ j = 1, 2, 3

3.1.3 ฟงกชนจดประสงค

(minimize)P = 40X11 + 20X12 + 10X13 + 50X21 + 20X22 + 60X23 + 30X31 + 20X32 + 40X33


X11 + X12 + X13 = 200

X21 + X22 + X23 = 150

X31 + X32 + X33 = 250


X11 + X21 + X31 = 100

X12 + X22 + X32 = 300

X13 + X23 + X33 = 200

Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3

157

3.1.4 ฟงกชนจดประสงค

(minimize) P = 20X11 + 20X12 + 30X13 + 50X21 + 60X22 + 70X23 + 20X31 + 40X32 + 50X33 + 20X41 + 10X42 + 40X43


X11 + X12 + X13 = 300

X21 + X22 + X23 = 150

X31 + X32 + X33 = 150

X41 + X42 + X43 = 200


X11 + X21 + X31 + 20X41 = 350

X12 + X22 + X32 + 20X42 = 200

X13 + X23 + X33 + 20X43 = 250

Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3

3.2 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 3.1 จงหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ

3.3 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 3.1 จงหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของ โวเกล

3.4 จากการหาผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสงดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอใน ขอ 3.2 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการสเตปปงสโตน

3.5 จากการหาผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสงดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอใน ขอ 3.2 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน

3.6 จากการหาผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสงดวยวธการประมาณของโวเกลในขอ 3.3 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการสเตปปงสโตน

3.7 จากการหาผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสงดวยวธการประมาณของโวเกลในขอ 3.3 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน

158

3.8 จงหาผลเฉลยเรมตนโดยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงทก าหนดใหตอไปน

ถง

จาก






X11

X12

X13

300


X21

X22

X23

350


X31

X32

X33

150

อปสงครวม 200 250 350 800

3.9 จากผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสงทไดในขอ 3.8 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสด โดยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน

3.10 โรงงานผลตของเลนเดกแหงหนงในจงหวดหนองคายมเครองจกรในการผลตทงหมด 3 เครอง ซงมก าลงการผลต 200 , 300 และ 500 ชนตอวนตามล าดบ และมตวแทนตองการน าไปจดจ าหนายในตางอ าเภอทงหมด 3 อ าเภอ ดงนนทางโรงงานจะตองท าการขนสงคาไปเกบยงคลงสนคาตามอ าเภอตางๆ กอนทจะแจกจายใหตวแทนน าไปจดจ าหนาย ซงคลงสนคาในแตละอ าเภอมความสามารถในการจดเกบสนคาได 300 , 450 และ 250 ชนตามล าดบ โดยทโรงงานจะตองเสยคาใชจายในการขนสงสนคาไปยงคลงสนคาในอ าเภอตางๆ ดงตารางตอไปน

ตารางแสดงคาใชจายในการขนสงสนคา (บาท/หนวย) ถง

จาก




เครองจกรท 1



5

4

3

4

7

5

6

3

4

โรงงานควรจดสงสนคาไปยงคลงสนคาทง 3 แหง อยางไรจงจะเสยคาใชจายนอยทสด โดยทโรงงานจะตองสงสนคาใหหมดและคลงสนคาจะตองเกบสนคาใหไดครบทงหมดเชนกน

20 30

50

35

40 20

35 45 30

บทท 4

ปญหาการขนสงทไมสมดล

จากปญหาการขนสงทไดกลาวมาแลว เปนการศกษาปญหาการขนสงทเรยกวา การขนสงทสมดล คอ ปรมาณของสนคาทมหรออปทาน จะมจ านวนเทากบความตองการของจ านวนสนคาหรออปสงค แตในความเปนจรงแลวในปญหาการขนสงจะพบกรณทการขนสงทสมดลคอนขางยาก เพราะปญหาสวนมากแลวจะเปนปญหากรณทการขนสงทไมสมดล (unbalanced

transportation problem) ซงอาจจะเปนไปได 2 กรณ คอ ปรมาณอปทานมากกวาปรมาณอปสงค หรอปรมาณอปสงคมากกวาปรมาณอปทาน ซงจะไมสามารถหาผลเฉลยตามขนตอนของปญหาการขนสงแบบสมดลได ดงนนในหวขอนจะท าการศกษาการหาผลเฉลยของปญหาการขนสงทไมสมดลนนเอง

กรณปรมาณอปทานมากกวาปรมาณอปสงค

จากตวอยางท 3.1 จะเปนปญหาการขนสงทสมดล หมายความวา ปรมาณอปทานจะมคาเทากบปรมาณอปสงค แตถามการเพมปรมาณของสนคาทผลตไดในแตละโรงงานเพมขน คอ การเพมจ านวนอปทานแตปรมาณของสนคาทแตละคลงสนคาจะรบไดมจ านวนเทาเดม คอ จ านวน อปสงคมคาเทาเดม ซงจะไดวาปรมาณอปทานจะมากกวาปรมาณอปสงค ซงจะเรยกปญหานวา ปญหาการขนสงทไมสมดล ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 4.1 จากตวอยางท 3.1 เปนปญหาการขนสงทสมดล แตถาท าการก าหนดใหโรงงานท 2

สามารถผลตสนคาไดเพมจากเดมวนละ 250 หนวย เปนวนละ 450 หนวย แตคลงสนคาทงหมดยงสามารถเกบจ านวนสนคาไดเทาเดม แสดงวาปญหาการขนสงทก าหนดจ านวนการผลตใหมนจงเปนปญหาการขนสงทไมสมดล จากลกษณะปญหาทก าหนดจ านวนการผลตใหมขางตนน สามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสน ไดดงน ฟงกชนจดประสงค




X11 + X12 + X13 = 500

X21 + X22 + X23 = 450

X21 + X22 + X23 = 250

160


X11 + X21 + X31 = 400

X12 + X22 + X32 = 250

X13 + X23 + X33 = 350

Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3

ดงนนจะท าการสรปเปนตารางไดดงน

ถง

จาก








อปสงครวม

400

250

350 1,200

1,000

และจะไดตารางเรมตนของปญหาการขนสง ดงน

ถง

จาก






X11

X12

X13

500


X21

X22

X23

450


X31

X32

X33

250


400

250

350 1,200

1,000

30 50 35

20 40 30

35 45 20

161

จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงจะเหนวาปรมาณอปทานรวม (1,200 หนวย) จะมคามากกวาปรมาณอปสงครวม (1,000 หนวย) ซงจะท าใหไมสามารถหาผลเฉลยเรมตนดวยวธปกตทไดกลาวมาแลวได ดงนนจะตองท าการปรบตารางเรมตนของปญหาใหเปนปญหาการขนสงทสมดล โดยจะท าการก าหนดใหมคลงสนคาเทยม (dummy destination) ขนมาเพอทจะจดเกบสนคาทผลตเพมขนจากปญหาเดม (1,200 – 1,000 = 200 หนวย) แตคลงสนคาใหมทก าหนดขนนจะไมมผลกบคาใชจายรวมในการขนสง ดงนนคลงสนคาเทยมนจะมคาใชจายในการขนสงเทากบ 0 บาทตอหนวย นนเอง ดงนนจะไดตารางเรมตนของปญหาการขนสงใหมทมการเพมคลงสนคาเทยม ดงน

ถง

จาก

คลงสนคา

ท 1


ท 2


ท 3


เทยม (ท 4) อปทาน

รวม


X11

X12

X13

X14

500


X21

X22

X23

X24

450


X31

X32

X33

X34

250

อปสงครวม 400 250 350 200 1,200

ท าการหาผลเฉลยตามขนตอนทไดอธบายไวขางตน คอ การหาผลเฉลยเรมตนกอนซงจะใชวธการประมาณของโวเกล แลวท าการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการพฒนาผลเฉลยเรมตน ตอไป

จากตวอยางท 3.1 ทท าการก าหนดใหโรงงานท 2 สามารถผลตสนคาไดเพมจากเดม วนละ 250 หนวย เปนวนละ 450 หนวย แตคลงสนคาทงหมดยงสามารถเกบจ านวนสนคาได เทาเดม สามารถแสดงการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล ดงน 1. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสส าหรบทกแถวและทกหลก ดงน - โรงงานท 1 คาใชจายต าสด คอ 0 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 30 บาท






30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

162


มผลตางคอ 30 – 20 = 10




มผลตางคอ 30 – 20 = 10

- คลงสนคาเทยม คาใชจายต าสด คอ 0 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 0 บาท


ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



X11

X12

X13

X14

500

30


X21

X22

X23

X24

450

20


X31

X32

X33

X34

250

20

อปสงครวม 400 250 350 200 1,200

คาเสยโอกาส 10 5 10 0

2. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 1 คอ 30 ในแถวท 1 ดงนนจะใชแถวท 1 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา

3. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากแถวท 1 คอ 0 บาท ดงนนจะใชชองของ X14 เปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X14 = 200 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (200 หนวย) และอปทาน (500 หนวย)

30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

163

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



X11

X12

X13

200

500

30


X21

X22

X23

X24

450

20


X31

X32

X33

X34

250

20

อปสงครวม 400 250 350 200 1,200


4. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชอง X14)โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 200 หนวย และท าการตดหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (200 – 200 = 0)

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



X11

X12

X13

200

500

30


X21

X22

X23

X24

450

20


X31

X32

X33

X34

250

20

อปสงครวม 400 250 350 0 1,000


5. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 4 ดงน - โรงงานท 1 คาใชจายต าสด คอ 0 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 35 บาท




30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

164






มผลตางคอ 30 – 20 = 10

- คลงสนคาเทยม คาใชจายต าสด คอ 0 บาท และคาทต ารองลงมา คอ 0 บาท


ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



X11

X12

X13

200

300

35


X21

X22

X23

X24

450

30


X31

X32

X33

X34

250

20

อปสงครวม 400 250 350 0 1,000




30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

165

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



300

X12

X13

200

300

35


X21

X22

X23

X24

450

30


X31

X32

X33

X34

250

20

อปสงครวม 400 250 350 0 1,000


8. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชอง X11) โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 300 หนวย และท าการตดแถวของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (300 – 300 = 0)

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



300

X12

X13

200

0

35


X21

X22

X23

X24

450

30


X31

X32

X33

X34

250

20

อปสงครวม 100 250 350 0 700



มผลตางคอ 30 – 20 = 10


มผลตางคอ 35 – 20 = 15

30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

166


มผลตางคอ 35 – 20 = 15




มผลตางคอ 30 – 20 = 10

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



300

X12

X13

200

0

0


X21

X22

X23

X24

450

10


X31

X32

X33

X34

250

15

อปสงครวม 100 250 350 0 700


10. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 9 ซงจะได หลกท 1 และแถวท 3 มคาเสยโอกาสมากทสดเทากน คอ 15 และมตนทนการขนสงตอหนวยนอยสดเทากน คอ 20 บาท โดยจะท าการเลอกตนทนการขนสงตอหนวยทมากสดทมากกวา คอ หลกท 1 เทากบ 35

และแถวท 3 เทากบ 45 บาท ดงนนจะท าการเลอกแถวท 3 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา


30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

167

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



300

X12

X13

200

0

0


X21

X22

X23

X24

450

10


X31

X32

250

X34

250

15

อปสงครวม 100 250 350 0 700


12. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชองX33) โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 250 หนวย และท าการตดแถวของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (250 – 250 = 0)

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



300

X12

X13

200

0

0


X21

X22

X23

X24

450

10


X31

X32

250

X34

0

15

อปสงครวม 100 250 100 0 450



มผลตางคอ 30 – 20 = 10



30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

168





ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



300

X12

X13

200

0

0


X21

X22

X23

X24

450

10


X31

X32

250

X34

0

0

อปสงครวม 100 250 100 0 450




ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



300

X12

X13

200

0

0


100

X22

X23

X24

450

10


X31

X32

250

X34

0

0

อปสงครวม 100 250 100 0 450


30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

169

16. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชองX21) โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 100 หนวย และท าการตดหลกของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (100 – 100 = 0)

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



300

X12

X13

200

0

0


100

X22

X23

X24

350

10


X31

X32

250

X34

0

0

อปสงครวม 0 250 100 0 450



มผลตางคอ 30 – 20 = 10





ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



300

X12

X13

200

0

0


100

X22

X23

X24

350

10


X31

X32

250

X34

0

0

อปสงครวม 0 250 100 0 350


30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

170



ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



300

X12

X13

200

0

0


100

X22

100

X24

350

10


X31

X32

250

X34

0

0

อปสงครวม 0 250 100 0 350



ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม



300

X12

X13

200

0

0


100

X22

100

X24

250

10


X31

X32

250

X34

0

0

อปสงครวม 0 250 0 0 250


30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

171

21. จากการก าหนดจ านวนสนคาในเสนทางตางๆ ทไดแสดงมาขางตนจะพบวาเหลอเสนทางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาอยหนงชอง คอ ชองของ X22 ซงจะเหนไดวามสนคาทยงไมไดสงอยจ านวน 250 หนวย และยงเหลอมทวางของคลงสนคาทสามารถเกบไดอก 250 หนวยเชนกน ดงนนจงสามารถก าหนดจ านวนสนคาในเสนทางนไดทงหมด 250 หนวย และจะเหนไดวาทกโรงงานไดท าการขนสงสนคาไปยงคลงสนคาครบตามจ านวนทตองการแลว ดงนนจะไดเสนทางในการสงสนคาเรมตน ไดดงน

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3


เทยม(ท 4) อปทาน

รวม


300

X12

X13

200

500


100

250

100

X24

450


X31

X32

250

X34

250

อปสงครวม 400 250 350 200 1,200

จากผลเฉลยทไดจะเหนวาจ านวนสนคาทเหลอของโรงงานท 1 คอ 200 หนวย จะอยในคลงสนคาเทยม ซงหมายความวาไมมการสงสนคาจรงเกดขน และมคาใชจายในการขนสง 0 บาทตอหนวย ซงจะไมมผลกบคาใชจายรวมในการขนสง ดงนนจะไดแผนการสงสนคาทเปนผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล ดงน





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 30 300 9,000

1 4 0 200 0

2 1 20 100 2,000

2 2 40 250 10,000

2 3 30 100 3,000

3 3 20 250 5,000

รวม 1,200 29,000

30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

172

และตอไปจะท าการแสดงการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนทไดดวย วธการโมดฟายดสทรบวชน ดงน

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม


300

X12

X13

200

500


100

250

100

X24

450


X31

X32

250

X34

250

อปสงครวม 400 250 350 200 1,200

ท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 6 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 3 และ n = 4 ดงนน (m + n – 1) = (3 + 4 – 1) = 6 แสดงวาในตวอยางนสามารถพฒนาผลเฉลยดวย วธการโมดฟายดสทรบวชนไดดงน 1. ก าหนดสมการ Ri + Cj = Kij ส าหรบทกชองทมก าหนดจ านวนสนคา จะได

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม


300

X12

X13

200

500


100

250

100

X24

450


X31

X32

250

X34

250

อปสงครวม 400 250 350 200 1,200

30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

30

20 40 0

35 45 20 0

50 35 0

30

C1 C2 C3 C4

R1

R2

R3

173





5) R2 + C3 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 3 6) R3 + C3 = 20 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 3 ไปคลงสนคาท 3








จาก 1) จะได C1 = 30 จาก 2) จะได C4 = 0 จาก 3) จะได R2 + 30 = 20 ดงนน R2 = – 10

จาก 4) จะได –10 + C2 = 20 ดงนน C2 = 30 จาก 5) จะได –10 + C3 = 30 ดงนน C3 = 40 จาก 6) จะได R3 + 40 = 20 ดงนน R3 = – 20 4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด 6 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X12 , X13 , X24 , X31 , X32 และ X34

จากสมการ ij ij i jI K R –C จะได 12 12 1 2I K R –C = 50 – 0 – 30 = 20

13 13 1 3I K R –C = 35 – 0 – 40 = –5

24 24 2 4I K R –C = 0 – (–10) – 0 = 10

31 31 3 1I K R –C = 35 – (–20) – 0 = 55

32 32 3 2I K R –C = 45 – (–20) – 30 = 35

34 34 3 4I K R –C = 0 – (–20) – 0 = 20



174

6. ท าการพฒนาผลเฉลยของเสนทางทไดจากขอ 5 คอ เสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 ตามขนตอนของวธการสเตปปงสโตน ดงน

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม


– 300

X12

+ X13

200

500


+ 100

250

– 100

X24

450


X31

X32

250

X34

250

อปสงครวม 400 250 350 200 1,200

ดงนนจะท าการลดจ านวนสนคาลง 100 หนวย ในชองทมการใสเครองหมาย – แลวน าจ านวนสนคาทลดลงนไปเพมในชองทมเครองหมาย + ในวงจรเดยวกน ซงจะตองไมเกนอปทานและอปสงคของแตละเสนทางทเพมจ านวนสนคาลงไปใหม ดงนนจะไดวามการเปลยนแปลงจ านวนสนคา 100 หนวย ซงตนทนจะลดลง 500 บาท นนเอง สามารถแสดงการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน ไดดงน

ตอไปท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยทไดซงมการก าหนดจ านวนสนคาจ านวน 6 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 3 และ n = 4 ดงนน (m + n – 1) = (3 + 4 – 1) = 6 แสดงวาในตวอยางนสามารถพฒนาผลเฉลยดวยวธการ โมดฟายดสทรบวชนไดดงน

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม


200

X12

100

200

500


200

250

X23

X24

450


X31

X32

250

X34

250

อปสงครวม 400 250 350 200 1,200

30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

30 50 35 0

20 40 30 0

35 45 20 0

175

1. ก าหนดสมการ Ri + Cj = Kij ส าหรบทกชองทมก าหนดจ านวนสนคา จะได

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3



รวม


200

X12

100

200

500


200

250

X23

X24

450


X31

X32

250

X34

250

อปสงครวม 400 250 350 200 1,200
















จาก 4) จะได R2 + 30 = 20 ดงนน R2 = –10 จาก 5) จะได –10 + C2 = 40 ดงนน C2 = 50 จาก 6) จะได R3 + 35 = 20 ดงนน R3 = –15

R1

R2

R3

C1 C2 C3 C4

30 50

30 0

35 45 20 0

35 0

40

176

4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด 6 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X12 , X23 , X24 , X31 , X32 และ X34

จากสมการ ij ij i jI K R –C จะได 12 12 1 2I K R –C = 50 – 0 – 50 = 0

23 23 2 3I K R –C = 30 – (–10) – 35 = 5

24 24 2 4I K R –C = 0 – (–10) – 0 = 10

31 31 3 1I K R –C = 35 – (–15) – 0 = 50

32 32 3 2I K R –C = 45 – (–15) – 50 = 10

34 34 3 4I K R –C = 0 – (–15) – 0 = 15

จะเหนไดวาไมมเสนทางใดทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบ แสดงวาผลเฉลยนไมสามารถพฒนาผลเฉลยใหดขนไดอก แสดงวาผลเฉลยทไดเปนผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว

ดงนนสามารถสรปแผนการสงสนคาของปญหาจากตวอยางท 4.1 ไดดงน





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 30 200 6,000

1 3 35 100 3,500

1 4 0 200 0

2 1 20 200 4,000

2 2 40 250 10,000

3 3 20 250 5,000

รวม 1,200 28,500

177

กรณปรมาณอปสงคมากกวาปรมาณอปทาน

ถามการเพมปรมาณของสนคาทคลงสนคาจะรบไดใหมจ านวนเพมขน คอ การเพมจ านวนอปสงค แตปรมาณของสนคาทผลตไดในแตละโรงงานมจ านวนเทาเดม คอ จ านวนอปทานมคาเทาเดม ซงจะไดวาปรมาณอปสงคจะมากกวาปรมาณอปทาน ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 4.2 จากตวอยางท 3.1 เปนปญหาการขนสงทสมดล แตถาท าการก าหนดใหคลงสนคา ท 3 สามารถรบจ านวนสนคาไดเพมจากเดม 350 หนวย เปน 450 หนวย แตโรงงานทงหมดยงสามารถผลตสนคาไดจ านวนเทาเดม แสดงวาปญหาการขนสงทก าหนดจ านวนการผลตใหมนจงเปนปญหาการขนสงทไมสมดล จากลกษณะปญหาทก าหนดจ านวนการผลตใหมขางตนน สามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสน ไดดงน ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 30X11 + 50X12 + 35X13 + 20X21 + 40X22 + 30X23 + 35X31 + 45X32 + 20X33



X11 + X12 + X13 = 500

X21 + X22 + X23 = 250

X21 + X22 + X23 = 250


X11 + X21 + X31 = 400

X12 + X22 + X32 = 250

X13 + X23 + X33 = 450

Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3

ดงนนจะท าการสรปเปนตารางไดดงน

ถง

จาก









400

250

450 1,000

1,100

178

และจะไดตารางเรมตนของปญหาการขนสง ดงน

ถง

จาก






X11

X12

X13

500


X21

X22

X23

250


X31

X32

X33

250


400

250

450 1,000

1,100

จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงจะเหนวาปรมาณอปสงครวม (1,100 หนวย) จะมคามากกวาปรมาณอปทานรวม (1,000 หนวย) ซงจะท าใหไมสามารถหาผลเฉลยเรมตนดวยวธปกตทไดกลาวมาแลวได ดงนนจะตองท าการปรบตารางเรมตนของปญหาใหเปนปญหาการขนสงทสมดล โดยจะท าการก าหนดใหมโรงงานเทยม (dummy source) ขนมาเพอทจะผลตสนคาใหมจ านวนเทากบจ านวนของสนคาทคลงสนคาจะรบได ซงจะตองท าการผลตเพมขนจากปญหาเดม (1,100 – 1,000 = 100 หนวย) แตโรงงานใหมทก าหนดขนนจะไมมผลกบคาใชจายรวมในการขนสง ดงนนโรงงานเทยมนจะมคาใชจายในการขนสงเทากบ 0 บาทตอหนวย นนเอง ดงนนจะไดตารางเรมตนของปญหาการขนสงทท าการเพมโรงงานเทยม ดงน

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3

อปทาน

รวม


X11

X12

X13

500


X21

X22

X23

250


X31

X32

X33

250

โรงงานเทยม

(ท 4)

X41

X42

X43

100

อปสงครวม 400 250 450 1,100

30 50 35

20 40 30

35 45 20

30 50 35

20 40 30

35 45 20

0 0 0

179

ท าการหาผลเฉลยเรมตนซงจะใชวธการประมาณของโวเกล แลวท าการผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน ตอไป จากตวอยางท 3.1 ก าหนดใหคลงสนคาท 3 สามารถรบจ านวนสนคาไดเพมจากเดม 350 หนวย เปน 450 หนวย แตโรงงานทงหมดยงสามารถผลตสนคาไดจ านวนเทาเดม สามารถแสดงการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล ดงน

1. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสส าหรบทกแถวและทกหลก ดงน

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3

อปทาน

รวม



X11

X12

X13

500

5


X21

X22

X23

250

10


X31

X32

X33

250

15


(ท 4)

X41

X42

X43

100

0

อปสงครวม 400 250 450 1,100


2. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 1 คอ 40 ในหลกท 2 ดงนนจะใชหลกท 2 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา

3. ท าการเลอกชองทมตนทนการขนสงตอหนวยทนอยสด จากหลกท 2 คอ 0 บาท ดงนนจะใชชองของ X42 เปนชองทจะก าหนดปรมาณสนคา โดยทจะท าการก าหนดใหจ านวนสนคามคามากทสด นนคอ X14 = 100 หนวย ซงจะไมเกนอปสงค (250 หนวย) และอปทาน (100 หนวย)

4. ท าการลดจ านวนอปสงคและอปทานของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคา (ชองX42)โดยใหลดตามจ านวนสนคาทไดก าหนด คอ 100 หนวย และท าการตดแถวของชองทก าลงก าหนดจ านวนสนคาออก เพราะหลงจากลดจ านวนสนคาลงแลวมคาเทากบ 0 (100 – 100 = 0)

30 50 35

20 40 30

35 45 20

0 0 0

180

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3

อปทาน

รวม



X11

X12

X13

500

5


X21

X22

X23

250

10


X31

X32

X33

250

15


(ท 4)

X41

100

X43

0

0

อปสงครวม 400 150 450 1,100


5. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 4 ดงน

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3

อปทาน

รวม



X11

X12

X13

500

5


X21

X22

X23

250

10


X31

X32

X33

250

15


(ท 4)

X41

100

X43

0

0

อปสงครวม 400 150 450 1,000



30 50 35

20 40 30

35 45 20

0 0 0

30 50 35

20 40 30

35 45 20

0 0 0

181



ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3

อปทาน

รวม



X11

X12

X13

500

5


X21

X22

X23

250

10


X31

X32

250

0

0


(ท 4)

X41

100

X43

0

0

อปสงครวม 400 150 200 750



30 50 35

20 40 30

35 45 20

0 0 0

182

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3

อปทาน

รวม



X11

X12

X13

500

5


X21

X22

X23

250

10


X31

X32

250

0

0


(ท 4)

X41

100

X43

0

0

อปสงครวม 400 150 200 750


10. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ 9 ซงจะไดวา หลกท 1 และแถวท 2 มคาเสยโอกาสมากทสดเทากน คอ 10 และมตนทนการขนสงตอหนวยนอยสดเทากน คอ 20 บาท ดงนนจะท าการเปรยบเทยบตนทนการขนสงตอหนวยทมากสด คอ หลกท 1 เทากบ 30

บาท และแถวท 2 เทากบ 40 บาท โดยจะท าการเลอกแถวหรอหลกทมตนทนการขนสงตอหนวยทมากสด ทมากกวา ดงนนจะท าการเลอกแถวท 2 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา



30 50 35

20 40 30

35 45 20

0 0 0

183

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3

อปทาน

รวม



X11

X12

X13

500

5


250

X22

X23

0

0


X31

X32

250

0

0


(ท 4)

X41

100

X43

0

0

อปสงครวม 150 150 200 500



ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3

อปทาน

รวม



X11

X12

X13

500

5


250

X22

X23

0

0


X31

X32

250

0

0


(ท 4)

X41

100

X43

0

0

อปสงครวม 150 150 200 500


14. ท าการเลอกแถวหรอหลกทมคาเสยโอกาสสงสดจากขอ คอ 5 ในแถวท 1 ดงนนจะใชแถวท 1 เปนแถวทจะใชก าหนดปรมาณสนคา

30 50 35

20 40 30

35 45 20

0 0 0

30 50 35

20 40 30

35 45 20

0 0 0

184



ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3

อปทาน

รวม



150

X12

X13

350

5


250

X22

X23

0

0


X31

X32

250

0

0


(ท 4)

X41

100

X43

0

0

อปสงครวม 0 150 200 350


17. ท าการค านวณหาคาเสยโอกาสใหมส าหรบทกแถวและทกหลกจากขอ 16



30 50 35

20 40 30

35 45 20

0 0 0

185


21. จากการก าหนดจ านวนสนคาในเสนทางตางๆ ทไดแสดงมาขางตนจะพบวาเหลอเสนทางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาอยหนงชอง คอ ชองของ X12 ซงจะเหนไดวามสนคาทยงไมไดสงอยจ านวน 150 หนวย และยงเหลอมทวางของคลงสนคาทสามารถเกบไดอก 150 หนวยเชนกน ดงนนจงสามารถก าหนดจ านวนสนคาในเสนทางนไดทงหมด 150 หนวย

ดงนนจะไดเสนทางในการสงสนคาเรมตน ดงน

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3

อปทาน

รวม


150

150

200

500


250

X22

X23

250


X31

X32

250

250


(ท 4)

X41

100

X43

100

อปสงครวม 400 250 450 1,100

จากผลเฉลยทไดจะเหนวาปรมาณสนคาทคลงสนคาท 2 จะจดเกบไดยงเหลออก 100

หนวย เพราะเปนการสงมาจากโรงงานเทยม หมายความวาไมมการสงสนคามาจรง ซงจะมคาใชจายในการขนสง 0 บาทตอหนวย และจะไมมผลกบคาใชจายรวมในการขนสง แผนการสงสนคาทเปนผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล คอ

30 50 35

20 40 30

35 45 20

0 0 0

186





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 30 150 4,500

1 2 50 150 7,500

1 3 35 200 7,000

2 1 20 250 5,000

3 3 20 250 5,000

4 2 0 100 0

รวม 1,200 29,000

และตอไปจะท าการแสดงการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนทไดดวย วธการโมดฟายดสทรบวชน ดงน

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3

อปทาน

รวม


150

150

200

500


250

X22

X23

250


X31

X32

250

250


(ท 4)

X41

100

X43

100

อปสงครวม 400 250 450 1,100

ท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 6 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 4 และ n = 3

ดงนน (m + n – 1) = (3 + 4 – 1) = 6 แสดงวาในตวอยางนสามารถพฒนาผลเฉลยดวย วธการโมดฟายดสทรบวชน ไดดงน

C1 C2 C3

R4

R1

R2

R3

30 50 35

35 45 20

20 40 30

0 0 0

187















จาก 4) จะได R2 + 30 = 20 ดงนน R2 = –10 จาก 5) จะได R3 + 35 = 20 ดงนน R3 = –15 จาก 6) จะได R4 + 50 = 0 ดงนน R4 = –50

4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด 6 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X22 , X23 , X31 , X32 , X41 และ X43

จากสมการ ij ij i jI K R –C จะได 22 22 2 2I K R –C = 40 – (–10) – 50 = 0

23 23 2 3I K R –C = 30 – (–10) – 35 = 5

31 31 3 1I K R –C = 35 – (–15) – 30 = 20

32 32 3 2I K R –C = 45 – (–15) – 50 = 10

41 41 4 1I K R –C = 0 – (–50) – 30 = 20

43 4 4 3I K R –C = 0 – (–50) – 35 = 15

188

จะเหนไดวาไมมเสนทางใดทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบ แสดงวาผลเฉลยนไมสามารถพฒนาผลเฉลยใหดขนไดอก แสดงวาผลเฉลยทไดจากการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกลเปนผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว






(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 30 150 4,500

1 2 50 150 7,500

1 3 35 200 7,000

2 1 20 250 5,000

3 3 20 250 5,000

4 2 0 100 0

รวม 1,200 29,000

ปญหาการขนสงทผลเฉลยมสภาพซอนสถานะ

จากการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนจะตองท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดสนคาของผลเฉลยเรมตนกอน ซงชองทมการก าหนดจ านวนสนคาตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) ชองเสมอ นนคอ ตวแปรพนฐานตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) ตว จงจะสามารถพฒนาผลเฉลยดวยวธปกตได ดงทไดกลาวมาแลวในหวขอขางตน แตถาจ านวนของชองทม การก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนมจ านวนนอยกวา (m + n – 1) ชอง หรอตวแปรพนฐานมจ านวนนอยกวา (m + n – 1) ตว และจะเรยกกรณนวา สภาพซอนสถานะ (degeneracy) ซงจะไมสามารถพฒนาผลเฉลยดวยวธปกตได และบางกรณทปญหามผลเฉลยเรมตนไมมสภาพซอนสถานะแตอาจจะเกดสภาพซอนสถานะระหวางการพฒนาผลเฉลยกได และถาผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดมจ านวนชองทมการก าหนดจ านวนสนคามจ านวนนอยกวา (m + n – 1) ชอง หรอตวแปรพนฐานมจ านวนนอยกวา (m + n – 1) ตว จะเรยกกรณนวา ผลเฉลยเหมาะสมทสดทเกดสภาพซอนสถานะ(degeneracy optimal solution) สามารถแยกไดเปน 2 กรณ ดงน

189

1. ปญหาการขนสงทมสภาพซอนสถานะในผลเฉลยเรมตน จากผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสงทไดจะตองท าการตรวจสอบจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคากอน ซงจะตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) ชอง จงจะสามารถพฒนาผลเฉลยได แตถาจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของ ผลเฉลยเรมตนทมการก าหนดจ านวนสนคามจ านวนนอยกวา (m + n – 1) ชอง ซงจะเรยกวาการเกดสภาพซอนสถานะ และจะไมสามารถพฒนาผลเฉลยได ดงนนจะตองท าการก าหนดจ านวนสนคาใหมจ านวนเทากบ (m + n – 1) ชอง นนคอ โดยการก าหนดชองก าหนดจ านวนสนคาใหจ านวนสนคาเทากบ 0 หนวย ซงจะท าใหการเปนสภาพซอนสถานะของผลเฉลยเรมตนหายไป แลวจงท าการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดตอไป และทวไปแลวสามารถเลอกชองก าหนดจ านวนสนคาใดกไดแตเพอความสะดวกในการเลอกสามารถก าหนดไดดงน ในกรณทผลเฉลยเรมตนไดจากวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอจะเลอกก าหนดชองทไมมการก าหนดจ านวนสนคาทอยในแนวทแยงมมของตาราง (โดยประมาณ) และถากรณทผลเฉลยเรมตนไดจากวธการประมาณของโวเกล จะเลอกก าหนดชองทไมมการก าหนดจ านวนสนคาทสามารถสรางเปนวงจรปด (loop) ไดงายทสด

ตวอยางท 4.3 สมมตผลเฉลยเรมตนทไดจากวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ สามารถแสดงไดดงน

ถง

จาก






10

20

X13

30


X21

X22

10

10


แผนการสงสนคาทไดจากการหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ คอ

5 6 3

4 3 5

190





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 5 10 50

1 2 6 20 120

2 3 5 10 50

รวม 40 220

ท าการตรวจสอบจ านวนของชองทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 3 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 2 และ n = 3 แต (m + n – 1) = (2 + 3 – 1) = 4 แสดงวาในตวอยางนเปนสภาพซอนสถานะของผลเฉลยเรมตนและไมสามารถพฒนาผลเฉลยได ดงนนจะท าการเลอกชองก าหนดจ านวนสนคาใหมคาเทากบ 0 หนวย โดยจะเลอกชองของ X22 ดงนนจะให X22 = 0 และไดผลเฉลยเรมตนใหมดงน

ถง

จาก






10

20

X13

30


X21

0

10

10


ท าการตรวจสอบจ านวนของชองทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 4 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 2 และ n = 3 และ (m + n – 1) = (2 + 3 – 1) = 4 แสดงวาความเปนสภาพซอนสถานะของผลเฉลยเรมตนไมมแลวและสามารถพฒนาผลเฉลยได และจะท าการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน ดงน


5 6 3

4 3 5

191

ถง

จาก




อปทาน

รวม


10

20

X13

30


X21

0

10

10












จาก 1) จะได C1 = 5 จาก 2) จะได C2 = 6 จาก 3) จะได R2 + 6 = 3 ดงนน R2 = –3

จาก 4) จะได –3 + C3 = 5 ดงนน C3 = 8

4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด

2 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X13 และ X21 จากสมการ ij ij i jI K R –C จะได 13 13 1 3I K R –C = 3 – 0 – 8 = – 5

21 21 2 1I K R –C = 4 – (–3) – 5 = 2

C1 C2 C3

5 6 3

4 3 5

R1

R2

192



6. ท าการพฒนาผลเฉลยของเสนทางทไดจากขอ 5 คอ เสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 ตามขนตอนของวธการสเตปปงสโตน ดงน

ถง

จาก






10

– 20

+ X13

30


X21

+ 0

–10

10


ดงนนจะท าการลดจ านวนสนคาลง 10 หนวย ในชองทมการใสเครองหมาย – แลวน าจ านวนสนคาทลดลงนไปเพมในชองทมเครองหมาย + ในวงจรเดยวกน ซงจะตองไมเกนอปทานและอปสงคของแตละเสนทางทเพมจ านวนสนคาลงไปใหม ดงนนจะไดวามการเปลยนแปลงจ านวนสนคา 10 หนวย ซงตนทนจะลดลง 50 บาท นนเอง สามารถแสดงการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตน ไดดงน

ถง

จาก






10

10

10

30


X21

10

X23

10


ตอไปจะท าการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน ดงน

5 6 3

4 3 5

5 6 3

4 3 5

193


ถง

จาก




อปทาน

รวม


10

10

10

30


X21

10

X23

10












จาก 1) จะได C1 = 5 จาก 2) จะได C2 = 6 จาก 3) จะได C3 = 3 จาก 4) จะได R2 + 6 = 3 ดงนน R2 = –3

4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด

2 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X21 และ X23

C1 C2 C3

R1

R2

5 6 3

4 3 5

194

จากสมการ ij ij i jI K R –C จะได

21 21 2 1I K R –C = 4 – (–3) – 5 = 2 23 23 2 3I K R –C = 5 – (–3) – 3 = 5

จะเหนไดวาไมมเสนทางใดทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบ แสดงวาผลเฉลยนไมสามารถพฒนาผลเฉลยใหดขนไดอก แสดงวาผลเฉลยทไดเปนผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว






(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 5 10 50

1 2 6 10 60

1 3 3 10 30

2 2 3 10 30

รวม 40 170

2. ปญหาการขนสงทมสภาพซอนสถานะระหวางการพฒนาผลเฉลย

จากการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสง เมอท าการตรวจสอบจ านวนของชองทมการก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยเรมตนมคาเทากบ (m + n – 1) ชอง แสดงวาผลเฉลยเรมตนไมเปนสภาพซอนสถานะจงสามารถท าการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดได แตเมอท าการพฒนาผลเฉลยแลวเกดกรณทจ านวนของชองก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยทมการก าหนดจ านวนสนคาใหมทไดมคานอยกวา (m + n –1) ชอง แสดงวาผลเฉลยมความเปนสภาพซอนสถานะระหวางการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสด ดงนนจะท าการก าหนดชองก าหนดจ านวนสนคาใหจ านวนสนคาเทากบ 0 หนวย ซงจะท าใหการเปนสภาพซอนสถานะของผลเฉลยหายไป แลวจงท าการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดตอไป และทวไปแลวสามารถเลอกชองก าหนดจ านวนสนคาใดกไดแตเพอความสะดวกในการเลอกควรเลอกชองเดมทมการเปลยนแปลงการก าหนดจ านวนสนคาไปเปนชองทไมมการก าหนดจ านวนสนคา ยกตวอยางเชน

195

ตวอยางท 4.4 จากตวอยางท 3.1 การพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน สามารถแสดงไดดงน

ถง

จาก






400

X12

100

500


X21

250

X23

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

ท าการตรวจสอบจ านวนของชองทมการก าหนดจ านวนสนคาของผลเฉลยซงมจ านวน 4 ชอง มคาไมเทากบ (m + n – 1) = (3 + 3 – 1) = 5 แสดงวาผลเฉลยทไดนเปนสภาพซอนสถานะและไมสามารถพฒนาผลเฉลยไดอก ดงนนจะท าการเลอกชองก าหนดจ านวนสนคาใหมคาเทากบ 0

หนวย โดยจะเลอกชองของ X12 เพราะเปนชองเดมทมการเปลยนแปลงการก าหนดจ านวนสนคาไปเปนชองทไมมการก าหนดจ านวนสนคา ดงนนจะให X12 = 0 และไดผลเฉลยเรมตนใหมดงน

ถง

จาก






400

0

100

500


X21

250

X23

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000

ท าการตรวจสอบจ านวนของชองทมการก าหนดจ านวนสนคากอนซงมจ านวน 5 ชอง และตองมจ านวนเทากบ (m + n – 1) จาก m = 3 และ n = 3 และ (m + n – 1) = (2 + 3 – 1) = 5

30 50

20

35

40 30

35 45 20

30 50

20

35

40 30

35 45 20

196

แสดงวาความเปนสภาพซอนสถานะของผลเฉลยเรมตนไมมแลวและสามารถพฒนาผลเฉลยได และจะท าการพฒนาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากผลเฉลยดวยวธการโมดฟายดสทรบวชนตอไป ดงน


ถง

จาก






400

0

100

500


X21

250

X23

250


X31

X32

250

250

อปสงครวม 400 250 350 1,000






2. ก าหนดให R1 = 0 ดงนนจากสมการในขอ 1 จะได 1) 0 + C1 = 30 ส าหรบเสนทางจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1






จาก 1) จะได C1 = 30 จาก 2) จะได C2 = 50

จาก 3) จะได C3 = 35

R1

R2

R3

C1 C2 C3

30 50

20

35

40 30

35 45 20

197

จาก 4) จะได R2 + 50 = 40 ดงนน R2 = –10

จาก 5) จะได R3 + 35 = 20 ดงนน R3 = –15

4. ค านวณคาดชนประหยดตนทน ij(I ) ส าหรบทกชองทไมมก าหนดจ านวนสนคา จากผลเฉลยเรมตนจะเหนไดวามชองวางทยงไมมการก าหนดจ านวนสนคาทงหมด 4 ชอง คอ ชองของตวแปรไมพนฐาน X21 , X23 , X31 และ X32

จากสมการ ij ij i jI K R –C จะได

21 21 2 1I K R –C = 20 – (–10) – 30 = 0 23 23 2 3I K R –C = 30 – (–10) – 35 = 5 31 31 3 1I K R –C = 35 – (–15) – 30 = 20

32 32 3 2I K R –C = 45 – (–15) – 50 = 10

จะเหนไดวาไมมเสนทางใดทมคาดชนประหยดตนทนทมคาลบ แสดงวาผลเฉลยนไมสามารถพฒนาผลเฉลยใหดขนไดอก แสดงวาผลเฉลยทไดในตวอยางท 3.1 เปนผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว






(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 30 400 12,000

1 3 35 100 3,500

2 2 40 250 10,000

3 3 20 250 5,000

รวม 1,000 30,500

198

บทสรป

ปญหาการขนสงทไมสมดล เปนปญหาการขนสงทมปรมาณสนคาทมหรอทผลตได ไมเทากบความตองการสนคา ซงอาจจะเปนไปได 2 กรณ คอ ปรมาณอปทานมากกวาปรมาณ อปสงค หรอปรมาณอปสงคมากกวาปรมาณอปทาน ส าหรบการหาผลเฉลยของปญหาการขนสงทไมสมดล มข นตอนเชนเดยวกนกบปญหาการขนสงทสมดล ซงม 2 ขนไดแก การหาผลเฉลยเรมตน และการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดจากการพฒนาผลเฉลยเรมตน แตจะมการเพมดมม หรอความตองการเทยมขนมาจ านวนเทากบสวนตางระหวางอปทานและอปสงค ส าหรบผลเฉลยของปญหาการขนสงทไมสมดล สามารถเกดสภาพซอนสถานะขนได สามารถแยกไดเปน 2 กรณ ไดแก ปญหาการขนสงทมสภาพซอนสถานะในผลเฉลยเรมตน และปญหาการขนสงทมสภาพซอนสถานะระหวางการพฒนาผลเฉลย

199


จากตวแบบของปญหาการขนสงทก าหนดใหตอไปน จงสรางตารางเรมตนของปญหาการขนสง 4.1 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 10X11 + 20X12 + 30X21 + 40X22 + 20X31 + 50X32 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานอปทาน

X11 + X12 = 150

X21 + X22 = 300

X31 + X32 = 150 2) เงอนไขดานอปสงค

X11 + X21 + X31 = 100

X12 + X22 + X32 = 250

Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2

4.2 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 30X11 + 20X12 + 10X13 + 40X21 + 50X22 + 30X23


X11 + X12 + X13 = 300

X21 + X22 + X23 = 200


X11 + X21 = 250

X12 + X22 = 300

X13 + X23 = 300 Xij 0 โดยท i = 1, 2 และ j = 1, 2, 3

4.3 ฟงกชนจดประสงค



X11 + X12 + X13 = 200

X21 + X22 + X23 = 150

X31 + X32 + X33 = 250


X11 + X21 + X31 = 300

X12 + X22 + X32 = 350

X13 + X23 + X33 = 250

Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3

200




X11 + X12 + X13 = 300

X21 + X22 + X23 = 250

X31 + X32 + X33 = 250


X11 + X21 + X31 = 100

X12 + X22 + X32 = 300

X13 + X23 + X33 = 200

Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3


(minimize) P = 20X11 + 20X12 + 30X13 + 50X21 + 60X22 + 70X23 + 20X31 + 40X32 + 50X33 + 20X41 + 10X42 + 40X43


X11 + X12 + X13 = 300

X21 + X22 + X23 = 150

X31 + X32 + X33 = 150

X41 + X42 + X43 = 200


X11 + X21 + X31 + 20X41 = 400

X12 + X22 + X32 + 20X42 = 250

X13 + X23 + X33 + 20X43 = 350

Xij 0 โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3

4.6 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.1 จงหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ และหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการ สเตปปงสโตน

4.7 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.2 จงหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล และหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน

201

4.8 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.3 จงหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศ ตะวนตกเฉยงเหนอ และหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวย วธการโมดฟายดสทรบวชน

4.9 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.4 จงหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของ โวเกล และหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการสเตปปงสโตน

4.10 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.5 จงหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ และหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการ โมดฟายดสทรบวชน

4.11 จงหาผลเฉลยเรมตนโดยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ และวธการประมาณของโวเกล จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงทก าหนดใหตอไปน

ถง

จาก






X11

X12

X13

250


X21

X22

X23

450


X31

X32

X33

200


300

350

450 900

1,100

4.12 จากผลเฉลยเรมตนของปญหาการขนสงทไดในขอ 4.11 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสด โดยการพฒนาผลเฉลยเรมตนดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน

20 30

50

35

40 20

35 45 30

บทท 5

ปญหาการมอบหมายงาน

จากการศกษาปญหาการขนสงทผานมาจะเหนไดวามวธการหาผลเฉลยทมความพเศษเฉพาะเชนเดยวกนกบปญหาการมอบหมายงาน โดยการแกปญหาการมอบหมายงานจะเรมจากการสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานแลวจงท าการหาผลเฉลย โดยท ตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานจะมลกษณะพเศษ และมกระบวนการหา ผลเฉลยทเฉพาะทแตกตางจากวธการหาผลเฉลยของปญหาก าหนดการเชงเสนแบบทวไป ซงวธการหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานจะมขนตอนทงายกวาวธซมเพลกซและผลเฉลยทไดจะเปนจ านวนเตมเสมอเชนเดยวกนกบปญหาการขนสง

ตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงาน

ปญหาการมอบหมายงาน (assignment problem) เปนการพจารณาการมอบหมายงานใหกบบคคลหรอเครองจกร โดยทมจดประสงคเพอใหงานทมอบหมายไปแลวเสรจสนโดยเรวเพอทจะไดประหยดเวลาและตองเสยคาใชจายนอยทสดหรอใหไดก าไรมากทสด ซงลกษณะของปญหาการมอบหมายงานจะเปนการพฒนามาจากปญหาการขนสงทไดกลาวมาแลวขางตน ดงน จากปญหาการขนสงโดยทจะท าการขนสงจากแหลงผลตสนคาหรอจากตนทาง (source) ทงหมด m แหง และแตละแหงสามารถผลตสนคาไดจ านวนเทากบ Si หนวย( i = 1, 2, 3,…, m ) ไปยงกลมผบรโภคหรอจดหมายปลายทาง (destination) ทงหมด n แหง และแตละแหงสามารถจดเกบสนคาไดจ านวนเทากบ Dj หนวย ( j = 1, 2, 3,…, n ) และถาเปนปญหาการมอบหมายงานจะเปนการก าหนดงาน (job) ทงหมดจ านวน m งาน และแตละงานสามารถก าหนดไดเพยง 1 ครงเทาน น ดงน น Si = 1 (i =1, 2, 3,…,m) ซงจะท าการก าหนดใหกบบคลากรหรอเครองจกร

(Machine) ทงหมด n เครอง และแตละเครองสามารถรบงานไดเพยง 1 งานเทานน ดงนน Dj = 1

( j = 1, 2, 3,…, n ) และจะตองเสยคาใชจายนอยทสดหรอใหไดก าไรมากทสด โดยจะก าหนดให Cij

เปนคาใชจายในการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j และก าหนดให Xij เปนการแสดงการ

มอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยทถามการมอบหมายงานแลว Xij จะเทากบ 1 และถาไมม

การมอบหมายงานแลว Xij จะเทากบ 0 แสดงวาตวแปร Xij มคาเปนไบนาร (binnary) หมายความวาผลเฉลยมคาเปนไปได 2 อยาง คอ 0 กบ 1 เทานน สามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานไดดงน

204

ก าหนดให P แทน คาใชจายหรอก าไรในการมอบหมายงานรวมทงหมด Cij แทน คาใชจายหรอก าไรในการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j

Xij แทน การแสดงการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j

Si แทน จ านวนงานทสามารถมอบหมายไดในแตละงาน สามารถมอบหมายงาน

ไดเพยง 1 งาน ดงนนจะได Si = 1

Dj แทน จ านวนงานทสามารถรบไดในแตละเครองจกร สามารถรบงานไดเพยง

1 งาน ดงนนจะได Dj = 1

โดยท Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j

Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j i = 1, 2, 3,…, m และ j = 1, 2, 3,…, n

ดงนนตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงาน คอ


(maximize หรอ minimize) n m

ij ij

j 1 i 1

P C X

เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน

n

ij

j 1

X = 1 , i = 1, 2, 3,…, m

2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน

m

ij

i 1

X = 1 , j = 1, 2, 3,…, n

Xij = 1 ถามการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j

Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3,…, m และ j = 1, 2, 3,…, n

205

ปญหาการมอบหมายงานทสมดล

ปญหาการมอบหมายงานจะเปนการมอบหมายงานใหกบบคลากรหรอเครองจกร เชน ถามอบหมายงานใหกบเครองจกร จะท าการมอบหมายงานใหแตละเครองจกรไดเพยง 1 ครงเทานน และแตละเครองจกรสามารถรบงานไดเพยง 1 งานเทานนเชนกน โดยทจะท าการมอบหมายใหปรมาณของงานทออกจากตนทางหรอทตองการมอบหมายจะตองมคาเทากบปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได ซงจะเรยกวาปญหานวา ปญหาการมอบหมายงานทสมดล (balanced

assignment problem) แตบางครงอาจจะเจอปญหาการมอบหมายงานทปรมาณของงานทออกจากตนทางหรอทตองการมอบหมายไมเทากบปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได โดยจะเรยกปญหานวา ปญหาการมอบหมายงานทไมสมดล ซงจะไดศกษาในหวขอตอไป ดงนนในหวขอนจะท าการสรางตวแบบของปญหาการมอบหมายทสมดล ดงน จากการสรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานแบบทวไป คอ ฟงกชนจดประสงค

(maximize หรอ minimize)n m

ij ij

j 1 i 1

P C X


n

ij

j 1

X = 1 , i = 1, 2, 3,…, m

2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน

m

ij

i 1

X = 1 , j = 1, 2, 3,…, n


Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3,…, m และ j = 1, 2, 3,…, n

ถาก าหนดใหปรมาณของงานทออกจากตนทางหรอทตองการมอบหมายจะตองมคาเทากบปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได แสดงวาเปนปญหาการมอบหมายงานทสมดล (summation of job = summation of machine)

206

ดงนนจะไดวา m

i

i 1

S =

n

j

j 1

D

จากเงอนไขดานการมอบหมายงาน คอ

n

ij

j 1

X = Si = 1 ดงนน

m

i

i 1

S =

m

i 1 1 = m

และจากเงอนไขดานการรบผดชองงาน คอ

m

ij

i 1

X = Dj = 1 ดงนน

n

j

j 1

D =

n

j 1 1 = n

ดงนนจะได m = n

จากสมการหมายความวาจ านวนของงานทตองการมอบหมายทงหมด m งาน จะมจ านวนเทากบเครองจกรทสามารถรบงานไดทงหมด n เครอง ซงจะเรยกวาปญหาลกษณะนวา ปญหาการมอบหมายงานทสมดล นนเอง สามารถแสดงไดดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 5.1 บรษทกมภวาปการผลตเปนบรษทผรบจางผลตสนคาในเขตจงหวดอดรธานท าการตกลงท าสญญารบสนคามาผลต 3 ชนด คอ กางเกงผชาย กางเกงผหญง และกางเกงเดก โดยทผบรหารของบรษทก าลงท าการตดสนใจจะใชเครองจกรแบบใดในการผลตสนคา โดยทบรษทมเครองจกรทงหมด 3 เครอง และในการท างานของเครองจกรจะเสยคาใชจายในการผลตสนคาแตละชนดตางกน ดงน

ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3

สนคาชนดท 1



2

1

1.5

3

2.5

2

1.5

3

1

ผบรหารของบรษทควรมอบหมายงานใหเครองจกรแตละเครองผลตสนคาชนดใดจงจะเสยใชจายนอยทสด โดยทเครองจกรแตละเครองสามารถผลตสนคาไดทละชนดเทานน จากตวอยางขางตนจะเหนไดวาเปนปญหาการมอบหมายงานทสมดลเพราะจ านวนจ านวนสนคาทจะผลตทงหมดหรอจ านวนงานทตองการมอบหมายมจ านวนเทากบเครองจกรทงหมดทบรษทมอย สามารถสรปลกษณะของปญหาน ไดดงน

207

สงทผบรหารของบรษทตองการทราบ คอ คาใชจายในการมอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรทง 3 เครอง คาใชจายในการมอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรทง 3 เครองและคาใชจายในการมอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรทง 3 เครอง ซงการมอบหมายงานดงกลาวนจะตองท าใหเกดคาใชจายในการผลตสนคารวมต าทสด

สามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงาน ไดดงน ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน คาใชจายในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2

X13 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3


X22 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2 X23 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3 X31 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1 X32 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2 X33 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3


(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33

1.5

2

3

1

1

2

1.5

3

2.5







208


X11 + X12 + X13 = 1

X21 + X22 + X23 = 1

X31 + X32 + X33 = 1

2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 = 1

X12 + X22 + X32 = 1

X13 + X23 + X33 = 1


Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3

ถาท าการพจารณาวธทสามารถมอบหมายงานทงหมดจะม 3! วธ คอ 3 × 2 = 6 วธ สามารถแสดงการเปรยบเทยบผลเฉลยในแตละวธไดดงน

จากการเปรยบเทยบคาใชจายในการมอบหมายงานจะไดวธทใหคาใชจายนอยทสด คอ วธท 5 โดยจะใหคาใชจายนอยทสด คอ 4,500 บาท ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3 - มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1

- มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2

วธท การมอบหมายงาน คาใชจายในการมอบหมาย

งานรวมทงหมด (พนบาท) สนคาชนดท 1 สนคาชนดท 2 สนคาชนดท 3

1 เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 2 + 2.5 + 1 = 5.5

2 เครองจกรท 1 เครองจกรท 3 เครองจกรท 2 2 + 3 + 2 = 7


4 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 1 3 + 3 + 1.5 = 7.5

5 เครองจกรท 3 เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 1.5 + 1 + 2 = 4.5

6 เครองจกรท 3 เครองจกรท 2 เครองจกรท 1 1.5 + 2.5 + 1.5 = 5.5

209

จะเหนไดวาในการเปรยบเทยบคาใชจายในแตละวธคอนขางจะเสยเวลามากเพราะยงถาปญหามจ านวนงานและเครองจกรเพมขนจะท าใหจ านวนวธเพมมากขน เชน ถาปญหามจ านวนงาน 7 งาน และเครอ งจกร 7 เครอ ง ดงน นจ านวนวธท จะท าการพจารณ ามท งหมด 7! คอ 7×6×5×4×3×2×1 = 5,040 วธ ซงจะเปนการยากทจะพจารณาไดครบทกวธ ดงนนในการหาผลเฉลยจะตองมกระบวนการทดกวาการเปรยบเทยบทละวธซงจะไดท าการศกษาตอไป

การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทสมดล

1. การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทสมดลกรณการหาคาต าสด การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานจะใชวธการทเรยกวา วธฮงกาเรยน(hungarian method) ซงเปนการหาคาใชจายใหมจากตารางคาใชจายเดม โดยการลดคาของตารางคาใชจายเดมจนกระทงไดตารางคาใชจายทใหผลเฉลยเหมาะสมทสดและตวทถกมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0 โดยใชหลกการทวาถาผลเฉลย (Xij) ใหคาฟงกชนจดประสงค (P) ทเหมาะสมทสดในตารางคาใชจายซงถามการบวกหรอลบคาใชจายในตารางคาใชจายทกตวในแตละแถวหรอแตละหลกดวยคาคงทแลวผลเฉลย (Xij) ทไดจากตารางคาใชจายทมการบวกคาคงทนจะไมมการ

เปลยนแปลง นนคอจะไดผลเฉลย (Xij) เหมอนเดมและผลเฉลย (Xij) จะใหคาฟงกชนจดประสงคใหม ( P ) ทเหมาะสมทสดเชนกน สามารถพสจนไดดงน ก าหนดให Cij แทน คาใชจายในการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j

ai แทน คาคงททใชในการบวกหรอลบคาจายในแถวท i

bj แทน คาคงททใชในการบวกหรอลบคาจายในหลกท j

ijC แทน คาใชจายใหมในการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j หลงจากการบวกหรอลบคาคงท ai และ bj แลว โดยท i = 1, 2, 3,…, m และ j = 1, 2, 3,…, n ดงนนจะได ij ij i jC C a b จากฟงกชนจดประสงคของปญหาการมอบหมายงาน ( P ) คอ

n m

ij ij

j 1 i 1

P C X

----------------------------(1)

210

ดงนนฟงกชนจดประสงคของปญหาการมอบหมายงานใหม ( P ) คอ

n m

ij ij

j 1 i 1

P C X

n m

ij i j ij

j 1 i 1

(C a b )X

n m

ij ij

j 1 i 1

C X

n m

i ij

j 1 i 1

a X

n m

j ij

j 1 i 1

b X

n m

ij ij

j 1 i 1

C X

m n

i ij

i 1 j 1

a X

n m

j ij

j 1 i 1

b X

จาก

n

ij

j 1

X = 1 และ

m

ij

i 1

X = 1

และจาก m

i

i 1

a และ

n

j

j 1

b เปนคาคงท

ดงนน n m

ij ij

j 1 i 1

P C X

คาคงท

จาก (1) จะได P P คาคงท

จะเหนไดวาถา คาคงท มคาเทากบ 0 แสดงวา P P นนคอ ตารางคาใชจายเดมเปนตารางคาใชจายทเหมาะสมแลว คอใหคาฟงกชนจดประสงคทเหมาะสมทสดแลวนนเอง แตถาคาคงท มไมคาเทากบ 0 แสดงวา P P นนคอ ตารางคาใชจายเดมยงไมเปนตารางคาใชจายทเหมาะสม คอคาฟงกชนจดประสงคยงไมเปนคาทเหมาะสมทสด ดงนนจะตองท าการปรบปรงตารางคาใชจายโดยการบวกหรอลบคาคงทในแตละแถวหรอแตละหลกตอไป

จากการหาผลเฉลยดวยวธฮงกาเรยนนจะไดผลเฉลยทเหมาะสมทสดโดยไมตองท าการเปรยบเทยบผลเฉลยทไดทละวธเหมอนกบวธทไดกลาวมาแลวขางตน ดงนนการหาผลเฉลยดวยวธฮงกาเรยนจะท าใหไดผลเฉลยรวดเรวและสะดวกกวา ซงมรายละเอยดดงน 1. สรางตารางคาใชจายเสยโอกาสหรอตนทนเสยโอกาส (opportunity cost) จากตารางคาใชจายการมอบหมายงาน โดยทตนทนเสยโอกาส คอ คาของตนทนทจะแพงกวาเมอไมไดมอบหมายงานทมตนทนนอยทสด มข นตอนการสรางตารางดงน 1.1 พจารณาคาใชจายในทกแถว โดยน าคาใชจายนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละแถว 1.2 พจารณาคาใชจายในทกหลกทไดจากขอ 1.1 โดยน าคาใชจายนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละหลก 2. ตรวจสอบตารางตนทนเสยโอกาส ทไดจากขอ 1 เปนตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสดหรอไม มข นตอนดงน

211

2.1 ท าการลากเสนตรงตามแถวหรอหลกโดยทเสนตรงตองผานคาใชจายทเทากบ 0 ทกตว และใหใชเสนตรงนอยทสด

2.2 ถาจ านวนเสนตรงทใชมคาเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานได แสดงวาตารางทไดเปนตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสดแลว และจะด าเนนการตามขนตอนท 4 ตอไป

2.3 ถาจ านวนเสนตรงทใชมคาไมเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอไมเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานได แสดงวาตารางทไดยงไม เปนตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด และจะด าเนนการตามขนตอนท 3 ตอไป

3. ท าการปรบปรงตารางตนทนเสยโอกาสจากขอ 2.3 โดยการน าตวเลขทไมถกเสนตรงลากผานทมจ านวนนอยทสดไปลบกบตวเลขทกตวทไมถกเสนตรงลากผาน และน าไปบวกกบตวเลขทอยบนจดตดของเสนตรงแลวกลบไปด าเนนการตามขนตอนท 2 ตอไป

4. ท าการมอบหมายงานโดยใหพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนนและท าการตดแถวและหลกนนออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอจนครบทกงาน

ดงนนจากตวอยางท 5.1 สามารถแสดงการหาผลเฉลยดวยวธฮงกาเรยน ไดดงน

1. สรางตารางตนทนเสยโอกาสจากตารางคาใชจายการมอบหมายงาน

ถง

จาก

ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร

เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3

สนคาชนดท 1 2 3 1.5

สนคาชนดท 2 1 2.5 3

สนคาชนดท 3 1.5 2 1

1.1 พจารณาคาใชจายในทกแถว โดยน าคาใชจายนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละแถว

ถง

จาก



สนคาชนดท 1 2 3 1.5 ลบดวย 1.5

สนคาชนดท 2 1 2.5 3 ลบดวย 1

สนคาชนดท 3 1.5 2 1 ลบดวย 1

212

1.2 พจารณาคาใชจายในทกหลกทไดจากขอ 1.1 โดยน าคาใชจายนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละหลก

ถง

จาก



สนคาชนดท 1 0.5 1.5 0



ลบดวย 0 ลบดวย 1 ลบดวย 0

ดงนนจะไดตารางตนทนเสยโอกาส ดงน

ถง

จาก






2. ตรวจสอบตารางตนทนเสยโอกาส ทไดจากขอ 1


ถง

จาก






2.2 จ านวนเสนตรงทใชจ านวน 3 เสน ซงมคาเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดคอเทากบ 3 แสดงวาตารางทไดเปนตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสดแลว

213

ขนตอนตอไปท าการมอบหมายงาน ดงน 1. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกแถวท 1 คอ สนคาชนดท 1 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 3 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอจนครบทกงาน

ถง

จาก






2. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกแถวท 2 คอ สนคาชนดท 2 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 และท าการตดแถวและหลกออก

ถง

จาก






3. เหลอการมอบหมายงานสดทาย คอ แถวท 3 ของสนคาชนดท 3 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 2 ดงนนจะสรปการมอบหมายงานและคาใชจายทงหมด ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3 ดงนน X13 = 1

- มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1 ดงนน X21 = 1


และ Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0

214

จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานในตวอยางท 5.1 จะได


(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33

= 2(0) + 3(0) + 1.5(1) + 1(1) + 2.5(0) + 3(0) + 1.5(0) + 2(1) + 1(0) = 1.5 + 1 + 2 = 4.5


1) เงอนไขดานการก าหนดงาน

X11 + X12 + X13 = 1 = 0 + 0 + 1

X21 + X22 + X23 = 1 = 1 + 0 + 0

X31 + X32 + X33 = 1 = 0 + 1 + 0

2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 = 1 = 0 + 1 + 0

X12 + X22 + X32 = 1 = 0 + 0 + 1

X13 + X23 + X33 = 1 = 1 + 0 + 0

ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 4.5 หรอ 4,500 บาท และ X13 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3

X21 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1


Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0

จะเหนไดวาจากการหาผลเฉลยทไดดวยวธฮงกาเรยนจะมคาเทาการเปรยบเทยบคาใชจายในแตละวธแตวธฮงกาเรยนไมจ าเปนตองท าการพจารณาทกวธและวธฮงกาเรยนนมกระบวนการทเปนขนตอนทงายท าใหไดผลเฉลยรวดเรวและสะดวกกวา

2. การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทสมดลกรณการหาคาสงสด ในปญหาของการมอบหมายงานจดประสงคโดยทวไปแลวจะตองเสยคาใชจายใหนอยทสดในการมอบหมายงานแตบางปญหาอาจจะตองการก าไรทสงทสดในการประกอบการกเปนไปได จากตวอยางท 5.1 ถาท าการเปลยนขอมลจากคาใชจายทจะเสยไปจากการมอบหมายงานเปนก าไรทจะไดรบในการมอบหมายงาน ดงนนจะไดปญหาใหมดงน

215

ตวอยางท 5.2 บรษทกมภวาปการผลตเปนบรษทผรบจางผลตสนคาในเขตจงหวดอดรธานท าการตกลงท าสญญารบสนคามาผลต 3 ชนด คอ กางเกงผชาย กางเกงผหญง และกางเกงเดก โดยทผบรหารของบรษทก าลงท าการตดสนใจจะใชเครองจกรแบบใดในการผลตสนคา โดยทบรษทมเครองจกรทงหมด 3 เครอง และในการท างานของเครองจกรจะไดรบก าไรในการผลตสนคาแตละชนดตางกน ดงน

ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3




2

1

1.5

3

2.5

2

1.5

3

1

ผบรหารของบรษทควรมอบหมายงานใหเครองจกรแตละเครองผลตสนคาชนดใดจงจะเหมาะสมทสดหรอไดรบก าไรมากทสด โดยทเครองจกรแตละเครองสามารถผลตสนคาไดทละชนดเทานน ดงนนสามารถสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาไดดงน

ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน ก าไรทไดรบในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2





(maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33

216


1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน

X11 + X12 + X13 = 1

X21 + X22 + X23 = 1

X31 + X32 + X33 = 1


X12 + X22 + X32 = 1

X13 + X23 + X33 = 1



ถาท าการพจารณาวธทสามารถมอบหมายงานทงหมดจะม 3! วธ คอ 3 × 2 = 6 วธ สามารถแสดงการเปรยบเทยบผลเฉลยในแตละวธไดดงน

วธท การมอบหมายงาน คาใชจายในการมอบหมาย

งานรวมทงหมด (พนบาท) สนคาชนดท 1 สนคาชนดท 2 สนคาชนดท 3

1 เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 2 + 2.5 + 1 = 5.5



4 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 1 3 + 3 + 1.5 = 7.5

5 เครองจกรท 3 เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 1.5 + 1 + 2 = 4.5

6 เครองจกรท 3 เครองจกรท 2 เครองจกรท 1 1.5 + 2.5 + 1.5 = 5.5

จากการเปรยบเทยบก าไรทไดรบในการมอบหมายงานจะไดวธทใหก าไรมากทสด คอ วธท 4 โดยจะใหก าไรมากทสด คอ 7,500 บาท ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2 - มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3

- มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1

217

การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานในกรณ นจะใช วธฮงกาเรยน เชนเดยวกบปญหาการหาคาต าสดแตจะมขอแตกตางกน คอ กอนทจะเรมตนวธการค านวณแบบ ฮงกาเรยนในปญหาการหาคาสงสดจะตองน าเอาคาของก าไรทสงทสดลบดวยคาของก าไรทกตวในตารางแสดงคาของก าไรแลวจงเรมวธฮงกาเรยนได

ดงนนจากตวอยางท 5.2 สามารถแสดงการหาผลเฉลยดวยวธฮงกาเรยน ไดดงน ท าการเลอกคาของก าไรทสงทสดแลวลบดวยคาของก าไรทกตวในตารางแสดงคาของก าไร ซงในตวอยางน คอ 3 หรอ 3,000 บาท ดงนนจะไดตารางแสดงคาของก าไรใหม ดงน

ถง

จาก

ตารางแสดงคาของก าไรในการท างานของเครองจกร





1. สรางตารางก าไรเสยโอกาสจากตารางแสดงการไดก าไรในการมอบหมายงาน

1.1 พจารณาก าไรในทกแถว โดยน าคาของก าไรนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละแถว

ถง

จาก



สนคาชนดท 1 1 0 1.5 ลบดวย 0

สนคาชนดท 2 2 0.5 0 ลบดวย 0

สนคาชนดท 3 1.5 1 2 ลบดวย 1

1.2 พจารณาคาของก าไรในทกหลกทไดจากขอ 1.1 โดยน าคาใชจายนอยทสดลบออกจากคาใชจายของทกคาในแตละหลก

218

ถง

จาก






ลบดวย 0.5 ลบดวย 0 ลบดวย 0

ดงนนจะไดตารางก าไรเสยโอกาส ดงน

ถง

จาก



สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5


สนคาชนดท 3 0 0 1

2. ตรวจสอบตารางก าไรเสยโอกาส ทไดจากขอ 1


ถง

จาก






2.2 จ านวนเสนตรงทใชจ านวน 3 เสน ซงมคาเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดคอเทากบ 3 แสดงวาตารางทไดเปนตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสดแลว

219

ขนตอนตอไปท าการมอบหมายงาน ดงน 1. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกแถวท 1 คอ สนคาชนดท 1 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 2 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอจนครบทกงาน

ถง

จาก







ถง

จาก






3. เหลอการมอบหมายงานสดทาย คอ แถวท 3 ของสนคาชนดท 3 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 ดงนนจะสรปการมอบหมายงานและคาใชจายทงหมด ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2 ดงนน X12 = 1




220

จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานในตวอยางท 5.2 จะได

ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33

= 2(0) + 3(1) + 1.5(0) + 1(0) + 2.5(0) + 3(1) + 1.5(1) + 2(0) + 1(0) = 3 + 3 + 1.5

= 7.5

เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการก าหนดงาน

X11 + X12 + X13 = 1 = 0 + 1 + 0

X21 + X22 + X23 = 1 = 0 + 0 + 1

X31 + X32 + X33 = 1 = 1 + 0 + 0

2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 = 1 = 0 + 0 + 1

X12 + X22 + X32 = 1 = 1 + 0 + 0

X13 + X23 + X33 = 1 = 0 + 1 + 0

จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 7.5 หรอ 7,500 บาท และ X12 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2




ปญหาการมอบหมายงานทไมสมดล

ปญหาการมอบหมายงานทปรมาณของงานทออกจากตนทางหรอทตองการมอบหมายไมเทากบปรมาณของบคลากรหรอเครองจกรทสามารถรบงานได ซงอาจจะเปนไปได 2 กรณ คอ ปรมาณของงานทตองการมอบหมายมากกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได หรอปรมาณของงานทตองการมอบหมายนอยกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได ซงจะไมสามารถหาผลเฉลยตามขนตอนของปญหาการมอบหมายงานแบบสมดลได และจะเรยกปญหาลกษณะนวา ปญหาการมอบหมายงานทไมสมดล (unbalanced assignment problem) ดงนนในหวขอนจะท าการศกษาการหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทไมสมดลตอไป

221

การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทไมสมดล

1. การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทไมสมดลกรณการหาคาต าสด

กรณปรมาณงานทมอบหมายมากกวาปรมาณเครองจกรทรบงานได จากปญหาการมอบหมายทสมดลจะไดวาปรมาณของงานทตองการมอบหมายจะมคาเทากบปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได แตถามการเพมปรมาณของงานทตองการมอบหมายเพมขน แตปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานไดมจ านวนเทาเดม ซงจะเรยกปญหานวา ปญหาการการมอบหมายทไมสมดล สามารถแสดงไดดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 5.3 จากตวอยางท 5.1 ถาท าการก าหนดใหเพมจ านวนสนคาทตองการผลตจาก 3 ชนด เปน 4 ชนด แตจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดมจ านวนเทาเดมและมคาใชจายของสนคาชนดท 4 ในการมอบหมายงานใหเครองทง 3 เครอง คอ 2,000 บาท 1,000 บาท และ 1,500 บาทตามล าดบ ดงนนปญหาการมอบหมายงานทก าหนดจ านวนสนคาทตองการผลตใหมนจงเปนปญหาการขนสงทไมสมดล สามารถสรปตารางคาใชจายไดดงน

ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3





2

1

1.5

2

3

2.5

2

1

1.5

3

1

1.5

สามารถสรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมสนคาชนดท 4 ดงนก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน คาใชจายในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2



X22 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2 X23 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3 X31 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1

222

X32 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2 X33 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3 X41 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 1 X42 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2



(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23

+ 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 2X41 + 1X42 + 1.5X43


X11 + X12 + X13 = 1

X21 + X22 + X23 = 1

X31 + X32 + X33 = 1

X41 + X42 + X43 = 1

2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1

X12 + X22 + X32 + X42 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1


Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3

จากตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกรจะเหนวาปรมาณของงานทตองการมอบหมายจะมคามากกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได ซงจะท าใหไมสามารถหาผลเฉลยเรมตนดวยวธปกตทไดกลาวมาแลวได ดงนนจะตองท าการปรบตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกรใหเปนปญหาการมอบหมายงานทสมดล โดยจะท าการก าหนดใหมปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานไดเพมขน คอ เครองจกรเทยม (dummy machine) ขนมาเพอทจะรบงานใหครบทกงานซงในตวอยางน คอ เครองจกรท 4 แตเครองจกรเทยมใหมทก าหนดขนนจะไมมผลกบคาใชจายรวมในการมอบหมายงาน ดงนนเครองจกรเทยมนจะมคาใชจายในการท างานเทากบ 0 บาท นนเอง ซงจะไดตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกรทเพมเครองจกรเทยมหรอเครองจกรท 4 ดงน

223

ถง

จาก


เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกร

เทยม(ท 4) สนคาชนดท 1 2 3 1.5 0

สนคาชนดท 2 1 2.5 3 0

สนคาชนดท 3 1.5 2 1 0

สนคาชนดท 4 2 1 1.5 0

ท าการหาผลเฉลยตามขนตอนทไดอธบายไวขางตน คอ ท าการหาผลเฉลยเชนเดยวกบปญหาการมอบหมายงานทสมดลดวยวธฮงกาเรยน ดงน

สรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมสนคาชนดท 4 และเครองจกรเทยม ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน คาใชจายในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2




X22 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 2 X23 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 3

X24 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 4 X31 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1 X32 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2 X33 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 3 X34 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 4 X41 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 1 X42 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2 X43 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 3



(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 0X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 0X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 0X34 + 2X41 + 1X42 + 1.5X43 + 0X44

224


X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 = 1


X12 + X22 + X32 + X42 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 = 1


Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3 , 4

1. สรางตารางตนทนเสยโอกาสจากตารางคาใชจายการมอบหมายงาน


ถง

จาก





เครองจกรเทยม(ท 4)

สนคาชนดท 1 2 3 1.5 0 ลบดวย 0

สนคาชนดท 2 1 2.5 3 0 ลบดวย 0

สนคาชนดท 3 1.5 2 1 0 ลบดวย 0



225

ถง

จาก



เทยม (ท 4) สนคาชนดท 1 2 3 1.5 0




ลบดวย 1 ลบดวย 1 ลบดวย 1 ลบดวย 0


ถง

จาก









ถง

จาก



เครองจกร





226


ขนตอนตอไปท าการมอบหมายงาน ดงน 1. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกแถวท 1 คอ สนคาชนดท 1 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรเทยม (ท 4) และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ

ถง

จาก







2. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกแถวท 2 คอ สนคาชนดท 2 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ

ถง

จาก







227


ถง

จาก







4. เหลอการมอบหมายงานสดทาย คอ แถวท 4 ของสนคาชนดท 4 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 2 ดงนนจะสรปการมอบหมายงานและคาใชจายทงหมด ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรเทยม (ท 4) ดงนน X14 = 1 - มอบหมายสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 1 ดงนน X21 = 1


- มอบหมายสนคาชนดท 4 ใหเครองจกรท 2 ดงนน X42 = 1 และ Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0

จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมจ านวนสนคา ฟงกชนจดประสงค

(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 0X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 0X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 0X34 + 2X41 + 1X42 + 1.5X43 + 0X44

= 2(0) + 3(0) + 1.5(0) + 0(1)+ 1(1) + 2.5(0) + 3(0) + 0(0)+ 1.5(0) + 2(0) + 1(1) + 0(0) + 2(0) + 1(1) + 1.5(0) + 0(0) = 1 + 1 + 1 = 3


X11 + X12 + X13 + X14 = 1 = 0 + 0 + 0 + 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1 = 1 + 0 + 0 + 0

X31 + X32 + X33 + X34 = 1 = 0 + 0 + 1 + 0

X41 + X42 + X43 + X44 = 1 = 0 + 1 + 0 + 0

228

2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1 = 0 + 1 + 0 + 0

X12 + X22 + X32 + X42 = 1 = 0 + 0 + 0 + 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1 = 0 + 0 + 1 + 0

X14 + X24 + X34 + X44 = 1 = 1 + 0 + 0 + 0

จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 3 หรอ 3,000 บาท และ X14 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 4





กรณปรมาณงานทมอบหมายนอยกวาปรมาณเครองจกรทรบงานได จากปญหาการมอบหมายทสมดล ถามการเพมปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานไดเพมขนแตปรมาณของงานทตองการมอบหมายมจ านวนเทาเดม ซงจะเรยกปญหาลกษณะนวา ปญหาการการมอบหมายทไมสมดล สามารถแสดงไดดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 5.4 จากตวอยางท 5.1 ถาท าการก าหนดใหเพมจ านวนเครองจกรทสามารถรบงานไดจาก 3 เครอง เปน 4 เครอง แตจ านวนของสนคาทตองการผลตมจ านวนเทาเดมและมคาใชจายในการมอบหมายงานใหเครองจกรท 4 ของสนคาทง 3 ชนด คอ 2,000 บาท 1,000 บาท และ 1,500

บาท ตามล าดบ ดงนนปญหาการมอบหมายงานทก าหนดจ านวนเครองจกรทสามารถรบงานไดใหมนจงเปนปญหาการขนสงทไมสมดล สามารถสรปตารางคาใชจายไดดงน

ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) ถง

จาก เครองจกร

ท 1


ท 2


ท 3


ท 4




2

1

1.5

3

2.5

2

1.5

3

1

2

1

1.5

229

สามารถสรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมเครองจกรท 4 ดงน ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน คาใชจายในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2







(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 2X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 1.5X34 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน

X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1


X12 + X22 + X32 = 1

X13 + X23 + X33 = 1

X14 + X24 + X34 = 1


Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3, 4

230

จากตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกรจะเหนวาปรมาณของงานทตองการมอบหมายจะมคานอยกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได ซงจะท าใหไมสามารถหาผลเฉลยเรมตนดวยวธปกตทไดกลาวมาแลวได ดงนนจะตองท าการปรบตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกรใหเปนปญหาการมอบหมายงานทสมดล โดยจะท าการก าหนดใหมปรมาณของงานทตองการมอบหมายเพมขน คอ งานเทยม (dummy job) ขนมาเพอทจะไดมจ านวนงานทมอบหมายใหครบทกเครองจกร ซงในตวอยางน คอ สนคาชนดท 4 แตงานเทยมใหมทก าหนดขนนจะไมมผลกบคาใชจายรวมในการมอบหมายงาน ดงนน งานเทยมนจะมคาใชจายในการมอบหมายใหเครองจกร เทากบ 0 บาท นนเอง ซงจะไดตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกรทมเพมงานเทยมหรอเพมสนคาชนดท 4 ดงน

ถง

จาก



ท 1


ท 2


ท 3


ท 4



สนคาชนดท 3 1.5 2 1 1.5

สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0 0

ท าการหาผลเฉลยเชนเดยวกบปญหาการมอบหมายงานทสมดลดวยวธฮงกาเรยน ดงน สรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมเครองจกรท 4 และงานเทยม ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน คาใชจายในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2





X24 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 2 ใหเครองจกรท 4 X31 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 1 X32 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรท 2

231




(minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 2X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 1.5X34 + 0X41 + 0X42 + 0X43 + 0X44


X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 = 1


X12 + X22 + X32 + X42 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 = 1


Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3 , 4 1. สรางตารางตนทนเสยโอกาสจากตารางคาใชจายการมอบหมายงาน


232

ถง

จาก






ท 4

สนคาชนดท 1 2 3 1.5 2 ลบดวย 1.5


สนคาชนดท 3 1.5 2 1 1.5 ลบดวย 1

สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0 0 ลบดวย 0


ถง

จาก



ท 1


ท 2


ท 3


ท 4

สนคาชนดท 1 0.5 1.5 0 0.5


สนคาชนดท 3 0.5 1 0 0.5




ถง

จาก



ท 1


ท 2


ท 3


ท 4

สนคาชนดท 1 0.5 1.5 0 0.5


สนคาชนดท 3 0.5 1 0 0.5


233



ถง

จาก


เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4

สนคาชนดท 1 0.5 1.5 0 0.5


สนคาชนดท 3 0.5 1 0 0.5


2.2 จ านวนเสนตรงทใชมจ านวน 3 เสน ซงมคาไมเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอไมเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดซงมคาเทากบ 4 แสดงวาตารางทไดยงไมเปนตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด และจะด าเนนการตามขนตอนท 3

ตอไป

3. ท าการปรบปรงตารางตนทนเสยโอกาส โดยการน าตวเลขทไมถกเสนตรงลากผานทมจ านวนนอยทสด คอ 0.5 ไปลบกบตวเลขทกตวทไมถกเสนตรงลากผาน และน าไปบวกกบตวเลขทอยบนจดตดของเสนตรงแลวกลบไปด าเนนการตามขนตอนท 2 ตอไป

ถง

จาก



สนคาชนดท 1 0 1 0 0

สนคาชนดท 2 0 1.5 2.5 0


สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0 0.5 0

4. ตรวจสอบตารางตนทนเสยโอกาส ทไดจากขอ 3 4.1 ท าการลากเสนตรงตามแถวหรอหลกโดยทเสนตรงตองผานคาใชจายทเทากบ 0 ทกตว และใหใชเสนตรงนอยทสด

234

ถง

จาก




สนคาชนดท 2 0 1.5 2.5 0




ขนตอนตอไปท าการมอบหมายงาน ดงน 1. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกหลกท 2 คอ เครองจกรท 2 โดยไดรบการมอบหมายงานใหผลตสนคาเทยม (ชนดท 4) และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ ตอไป

ถง

จาก




สนคาชนดท 2 0 1.5 2.5 0



2. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด แลวท าการมอบหมายงานทชองนน ซงจะเลอกหลกท 3 คอ เครองจกรท 3 โดยเปนการไดรบการมอบหมายงานใหผลตสนคาชนดท 3 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ ตอไป

235

ถง

จาก




สนคาชนดท 2 0 1.5 2.5 0



3. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด ซงแบงไดเปน 2 กรณ ไดแก

กรณท 1 จะเลอกแถวท 1 คอ สนคาชนดท 1 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 และท าการตดแถวและหลกนนออก

ถง

จาก




สนคาชนดท 2 0 1.5 2.5 0



สวนการมอบหมายงานสดทาย คอ แถวท 2 ของสนคาชนดท 2 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 4 ดงนนจะสรปการมอบหมายงานและคาใชจายทงหมด ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 ดงนน X11 = 1



- มอบหมายสนคาเทยม(ชนดท 4) ใหเครองจกรท 2 ดงนน X42 = 1 และ Xij ทไมมการมอบหมายงานจะมคาเทากบ 0

จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมเครองจกรท 4 จะได

236



= 2(1) + 3(0) + 1.5(0) + 2(0)+ 1(0) + 2.5(0) + 3(0) + 1(1)+ 1.5(0) + 2(0) + 1(1) + 1.5(0) + 0(0) + 0(1) + 0(0) + 0(0)

= 2 + 1 + 1 = 4 จะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 4 หรอ 4,000 บาท และ X11 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1





กรณท 2 จะเลอกแถวท 2 คอ สนคาชนดท 2 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 และท าการตดแถวและหลกนนออก

ถง

จาก




สนคาชนดท 2 0 1.5 2.5 0






- มอบหมายสนคาเทยม(ชนดท 4) ใหเครองจกรท 2 ดงนน X42 = 1


237


ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 2X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 1.5X34 + 0X41 + 0X42 + 0X43 + 0X44

= 2(0) + 3(0) + 1.5(0) + 2(1)+ 1(1) + 2.5(0) + 3(0) + 1(0)+ 1.5(0) + 2(0) + 1(1) + 1.5(0) + 0(0) + 0(1) + 0(0) + 0(0) = 2 + 1 + 1 = 4






จากตวอยางจะเหนไดวาเมอเกดกรณทสามารถเลอกวธการมอบหมายงานในแตละงานไดหลายวธซงจากตวอยางจะไดวาผลเฉลยทไดมคาเทากน ดงนนแสดงวาสามารถเลอกมอบหมายงานใดกอนกไดนนเอง

2. การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทไมสมดลกรณการหาคาสงสด

ในปญหาของการมอบหมายงานจดประสงคของบางปญหาอาจจะตองการก าไรทสงทสด ดงทไดกลาวมาแลวในตวอยางท 5.2 ซงเปนปญหาการมอบหมายงานทสมดลกรณทหาคาสงสดหรอก าไรสงสด ถาท าการเปลยนแปลงขอมล 2 กรณ คอ ปรมาณของงานทตองการมอบหมายมากกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได และปรมาณของงานทตองการมอบหมายนอยกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได สามารถแสดงไดดงตวอยางตอไปน

กรณปรมาณงานทมอบหมายมากกวาปรมาณเครองจกรทรบงานได

ตวอยางท 5.5 จากตวอยางท 5.2 ถาท าการก าหนดใหเพมจ านวนสนคาทตองการผลตจาก 3 ชนด เปน 4 ชนด แตจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดมจ านวนเทาเดมและในการท างานของเครองจกรจะไดรบก าไรในการผลตสนคาแตละชนดตางกน ดงน 2,000 บาท 1,000 บาท และ 1,500

บาทตามล าดบ ดงนนปญหาการมอบหมายงานทก าหนดจ านวนสนคาทตองการผลตใหมนจงเปนปญหาการขนสงทไมสมดล สามารถสรปตารางคาใชจายไดดงน

238

ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3





2

1

1.5

2

3

2.5

2

1

1.5

3

1

1.5

สามารถสรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมสนคาชนดท 4 ดงนก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน ก าไรทไดรบในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2





(maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23

+ 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 2X41 + 1X42 + 1.5X43


X11 + X12 + X13 = 1

X21 + X22 + X23 = 1

X31 + X32 + X33 = 1

X41 + X42 + X43 = 1

239


X12 + X22 + X32 + X42 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1


Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3

จากตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกรจะเหนวาปรมาณของงานทตองการมอบหมายจะมคามากกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได ดงนนจะท าการก าหนดใหมปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานไดเพมขน คอ เครองจกรเทยม (Dummy Machine) ขนมาเพอทจะรบงานใหครบทกงาน (เครองจกรท 4) แตเครองจกรเทยมนจะมคาใชจายในการท างานเทากบ 0 บาท ดงนนจะไดตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกรทเพมเครองจกรเทยมหรอเครองจกรท 4 ดงน

ถง

จาก

ตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกร






สรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมสนคาชนดท 4 และเครองจกรเทยม ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน ก าไรทไดรบในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2





240




(maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 0X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 0X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 0X34 + 2X41 + 1X42 + 1.5X43 + 0X44


X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 = 1


X12 + X22 + X32 + X42 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 = 1



การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานในกรณ นจะใช วธฮงกาเรยน เชนเดยวกบปญหาการหาคาต าสดแตจะมขอแตกตางกน คอ กอนทจะเรมตนวธการค านวณแบบ ฮงกาเรยนในปญหาการหาคาสงสดจะตองน าเอาคาของก าไรทสงทสดลบดวยคาของก าไรทกตวในตารางแสดงคาของก าไรแลวจงเรมวธฮงกาเรยนได

241

1. ท าการเลอกคาของก าไรทสงทสดแลวลบดวยคาของก าไรทกตวในตารางแสดงคาของก าไร คอ 3 หรอ 3,000 บาท ดงนนจะไดตารางแสดงคาของก าไรใหม ดงน

ถง

จาก







2. สรางตารางก าไรเสยโอกาสจากตารางแสดงคาของก าไรใหม

2.1 พจารณาก าไรในทกแถว โดยน าก าไรนอยทสดลบออกจากก าไรของทกคาในแตละแถว

ถง

จาก





เครองจกรเทยม (ท 4)



สนคาชนดท 3 1.5 1 2 3 ลบดวย 1


2.2 พจารณาก าไรในทกหลกทไดจากขอ 2.1 โดยน าก าไรนอยทสดลบออกจากก าไรของทกคาในแตละหลก

242

ถง

จาก









ถง

จาก








3.1 ท าการลากเสนตรงตามแถวหรอหลกโดยทเสนตรงตองผานก าไรทเทากบ 0 ทกตว และใหใชเสนตรงนอยทสด

ถง

จาก







243


ขนตอนตอไปท าการมอบหมายงาน ดงน 1. ท าการมอบหมายงานโดยเลอกแถวท 1 คอ สนคาชนดท 1โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 2 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ

ถง

จาก







2. ท าการมอบหมายงานโดยเลอกแถวท 2 คอ สนคาชนดท 2 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 3 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ

ถง

จาก







3. ท าการมอบหมายงานโดยเลอกแถวท 3 คอ สนคาชนดท 3 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรเทยม (ท 4) และท าการตดแถวและหลกออก

244

ถง

จาก







4. เหลอการมอบหมายงานสดทาย คอ แถวท 4 ของสนคาชนดท 4 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 ดงนนจะสรปการมอบหมายงานและก าไรรวมทงหมด ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2 ดงนน X12 = 1


- มอบหมายสนคาชนดท 3 ใหเครองจกรเทยม (ท 4) ดงนน X34 = 1



จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมจ านวนสนคา ฟงกชนจดประสงค

(maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 0X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 0X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 0X34 + 2X41 + 1X42 + 1.5X43 + 0X44

= 2(0) + 3(1) + 1.5(0) + 0(0)+ 1(0) + 2.5(0) + 3(1) + 0(0)+ 1.5(0) + 2(0) + 1(0) + 0(1) + 2(1) + 1(0) + 1.5(0) + 0(0) = 3 + 3 + 2 = 8


X11 + X12 + X13 + X14 = 1 = 0 + 1 + 0 + 0

X21 + X22 + X23 + X24 = 1 = 0 + 0 + 1 + 0

X31 + X32 + X33 + X34 = 1 = 0 + 0 + 0 + 1

X41 + X42 + X43 + X44 = 1 = 1 + 0 + 0 + 0

245

2) เงอนไขดานการรบผดชองงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1 = 0 + 0 + 0 + 1

X12 + X22 + X32 + X42 = 1 = 1 + 0 + 0 + 0

X13 + X23 + X33 + X43 = 1 = 0 + 1 + 0 + 0

X14 + X24 + X34 + X44 = 1 = 0 + 0 + 1 + 0






กรณปรมาณงานทมอบหมายนอยกวาปรมาณเครองจกรทรบงานได

ตวอยางท 5.6 จากตวอยางท 5.2 ถาท าการก าหนดใหเพมจ านวนเครองจกรทสามารถรบงานไดจาก 3 เครอง เปน 4 เครอง แตจ านวนของสนคาทตองการผลตมจ านวนเทาเดมและมก าไรในการมอบหมายงานใหเครองจกรท 4 ของสนคาทง 3 ชนด คอ 2,000 บาท 1,000 บาท และ 1,500 บาทตามล าดบ ดงนนปญหาการมอบหมายงานทก าหนดจ านวนเครองจกรทสามารถรบงานไดใหมนจงเปนปญหาการขนสงทไมสมดล สามารถสรปตารางก าไรไดดงน

ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4




2

1

1.5

3

2.5

2

1.5

3

1

2

1

1.5

สามารถสรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมเครองจกรท 4 ดงน ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน ก าไรในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2



246





(maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 2X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 1.5X34 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน

X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1


X12 + X22 + X32 = 1

X13 + X23 + X33 = 1

X14 + X24 + X34 = 1


Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3 และ j = 1, 2, 3, 4

จากตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกรจะเหนวาปรมาณของงานทตองการมอบหมายจะมคานอยกวาปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได ซงจะท าการก าหนดใหมปรมาณของงานทตองการมอบหมายเพมขน คอ งานเทยม (dummy job) ขนมาเพอทจะไดมจ านวนงานทมอบหมายใหครบทกเครองจกร (สนคาชนดท 4) และงานเทยมนจะมคาใชจายในการมอบหมายใหเครองจกร เทากบ 0 บาท ดงนนจะไดตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกรทมเพมงานเทยมหรอเพมสนคาชนดท 4 ดงน

247

ถง

จาก





สนคาชนดท 3 1.5 2 1 1.5


สรางตวแบบปญหาการมอบหมายงานใหมทมการเพมเครองจกรท 4 และงานเทยม ก าหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน ก าไรในการมอบหมายงานรวมทงหมด (พนบาท) X11 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 X12 แทน แสดงการมอบหมายงานของสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2









248


X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 = 1

2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 = 1

X12 + X22 + X32 + X42 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 = 1



การหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานในกรณ นจะใช วธฮงกาเรยน เชนเดยวกบปญหาการหาคาต าสดแตจะมขอแตกตางกน คอ กอนทจะเรมตนวธการค านวณแบบ ฮงกาเรยนในปญหาการหาคาสงสดจะตองน าเอาคาของก าไรทสงทสดลบดวยคาของก าไรทกตวในตารางแสดงคาของก าไรแลวจงเรมวธฮงกาเรยนได 1. ท าการเลอกคาของก าไรทสงทสดแลวลบดวยคาของก าไรทกตวในตารางแสดงคาของก าไร คอ 3 หรอ 3,000 บาท ดงนนจะไดตารางแสดงคาของก าไรใหม ดงน

ถง

จาก





สนคาชนดท 3 1.5 1 2 1.5


249

2. สรางตารางก าไรเสยโอกาสจากตารางแสดงคาของก าไรใหม

2.1 พจารณาก าไรในทกแถว โดยน าก าไรนอยทสดลบออกจากก าไรของทกคาในแตละแถว

ถง

จาก






ท 4



สนคาชนดท 3 1.5 1 2 1.5 ลบดวย 1

สนคาเทยม (ชนดท4) 3 3 3 3 ลบดวย 3

2.2 พจารณาก าไรในทกหลกทไดจากขอ 2.1 โดยน าก าไรนอยทสดลบออกจากก าไรของทกคาในแตละหลก

ถง

จาก





สนคาชนดท 3 0.5 0 1 0.5




ถง

จาก





สนคาชนดท 3 0.5 0 1 0.5


250


3.1 ท าการลากเสนตรงตามแถวหรอหลกโดยทเสนตรงตองผานก าไรท เทากบ 0 ทกตว และใหใชเสนตรงนอยทสด

ถง

จาก





สนคาชนดท 3 0.5 0 1 0.5


3.2 จ านวนเสนตรงทใชมจ านวน 3 เสน ซงมคาไมเทากบจ านวนของสนคาทตองการมอบหมายหรอไมเทากบจ านวนของเครองจกรทสามารถรบงานไดซงมคาเทากบ 4 แสดงวาตารางทไดยงไมเปนตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด และจะด าเนนการตามขนตอนท 4

4. ท าการปรบปรงตารางก าไรเสยโอกาส โดยการน าตวเลขทไมถกเสนตรงลากผานทมจ านวนนอยทสด คอ 0.5 ไปลบกบตวเลขทกตวทไมถกเสนตรงลากผาน และน าไปบวกกบตวเลขทอยบนจดตดของเสนตรงแลวกลบไปด าเนนการตามขนตอนท 2 ตอไป

ถง

จาก



สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5 0.5

สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 1.5


สนคาเทยม (ชนดท4) 0 0.5 0.5 0



251

ถง

จาก



สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5 0.5

สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 1.5




ขนตอนตอไปท าการมอบหมายงาน ดงน 1. ท าการมอบหมายงานโดยเลอกแถวท 1 คอ สนคาชนดท 1 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 2 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ

ถง

จาก



สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5 0.5

สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 1.5



2. ท าการมอบหมายงานโดยเลอกแถวท 2 คอ สนคาชนดท 2 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 3 และท าการตดแถวและหลกออก แลวท าการพจารณามอบหมายงานทเหลอ

ถง

จาก



สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5 0.5

สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 1.5



252

3. ท าการมอบหมายงานโดยพจารณาเลอกแถวหรอหลกทมเลข 0 นอยทสด ซงแบงไดเปน 2 กรณ ไดแก

กรณท 1 ท าการมอบหมายงานโดยเลอกแถวท 3 คอ สนคาชนดท 3 โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 และท าการตดแถวและหลกนนออก

ถง

จาก



สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5 0.5

สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 1.5



สวนการมอบหมายงานสดทาย คอ แถวท 4 ของสนคาเทยม (ชนดท 4) โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 4 ดงนนจะสรปการมอบหมายงานและก าไรรวมทงหมด ดงน - มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 1 ดงนน X11 = 1







(maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 2X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 1.5X34 + 0X41 + 0X42 + 0X43 + 0X44

= 2(1) + 3(0) + 1.5(0) + 2(0)+ 1(0) + 2.5(0) + 3(1) + 1(0)+ 1.5(0) + 2(0) + 1(0) + 1.5(1) + 0(0) + 0(0) + 0(0) + 0(1)

= 2 + 3 + 1.5

= 6.5



253




กรณท 2 ท าการมอบหมายงานโดยเลอกแถวท 4 คอ สนคาเทยม(ชนดท 4) โดยเปนการมอบหมายงานใหเครองจกรท 1 และท าการตดแถวและหลกนนออก

ถง

จาก



สนคาชนดท 1 0.5 0 1.5 0.5

สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 1.5










(maximize) P = 2X11 + 3X12 + 1.5X13 + 2X14 + 1X21 + 2.5X22 + 3X23 + 1X24 + 1.5X31 + 2X32 + 1X33 + 1.5X34 + 0X41 + 0X42 + 0X43 + 0X44

= 2(1) + 3(0) + 1.5(0) + 2(0)+ 1(0) + 2.5(0) + 3(1) + 1(0)+ 1.5(0) + 2(0) + 1(0) + 1.5(1) + 0(0) + 0(1) + 0(0) + 0(0)

= 2 + 3 + 1.5 = 6.5

254






จากตวอยางจะเหนไดวาเมอเกดกรณทสามารถเลอกวธการมอบหมายงานในแตละงานไดหลายวธซงจากตวอยางจะไดวาผลเฉลยทไดมคาเทากน ดงนนแสดงวาสามารถเลอกมอบหมายงานใดกอนกไดนนเอง บทสรป

ปญหาการมอบหมายงาน เปนการพจารณาการมอบหมายงานใหกบบคคลหรอเครองจกร โดยทมจดประสงคเพ อใหงานทมอบหมายไปแลวเสรจสนโดยเรวเพ อทจะไดประหยดเวลาและตองเสยคาใชจายนอยทสดหรอใหไดก าไรมากทสด ซงการมอบหมายโดยใหปรมาณของงานทออกจากตนทางหรอทตองการมอบหมายมคาเทากบปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได เรยกวา ปญหาการมอบหมายงานทสมดล สวนการมอบหมายงานทปรมาณของงานทออกจากตนทางหรอทตองการมอบหมายไมเทากบปรมาณของเครองจกรทสามารถรบงานได เรยกวา ปญหาการมอบหมายงานทไมสมดล ในการหาผลเฉลยของปญหาการมอบหมายงานทสมดลและปญหาการมอบหมายงานทไมสมดล สามารถท าได 2 กรณ ไดแก กรณการหาคาต าสด และกรณการหาคาสงสด

255


จากตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกรของปญหาการมอบหมายงานทก าหนดใหตอไปน จงสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนและสรางตารางตนทนเสยโอกาสของปญหา

5.1 ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร (พนบาท) จาก

ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2



2.5

1.5

1

3






1.5

2

3.5

3

2.5

2


ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3



3

2.5

5

4.5

2.5

3.5






4

3.5

2.5

5.5

2.5

2

3

4

5.5

256







6

4.5

2.5

3

4.5

2.5

3

5

3.5

5

5.5

2.5


ถง เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรท 4




4

3.5

6.5

3.5

5.5

6

5.5

6

5

3.5

7

4.5







8

3.5

6.5

5

4

6.5

5

7

5.5

6

7

8

3.5

5

8

4








4

5.5

4.5

5

6

3.5

6.5

6

8

4.5

5.5

7

4

4.5

5

6.5

5

6

5.5

3.5

257


ถง เครองจกรท

1









12

11

15.5

10

13

12.5

20

9.5

11.5

13

15

9

14.5

10

18

12

10.5

12

14

12.5



1










20

11

15.5

15

12

22

12.5

22

14.5

15

10.5

13

21

20

13

10.5

21

18

25

10.5

11.5

18

15.5

17

15

จากตารางแสดงก าไรในการท างานของเครองจกรของปญหาการมอบหมายงานทก าหนดใหตอไปน จงสรางตวแบบก าหนดการเชงเสนและสรางตารางก าไรเสยโอกาสของปญหา





2.5

1.5

1

3






1.5

2

3.5

3

2.5

2

258





3

2.5

5

4.5

2.5

3.5






4

3.5

2.5

5.5

2.5

2

3

4

5.5







6

4.5

2.5

3

4.5

2.5

3

5

3.5

5

5.5

2.5






4

3.5

6.5

3.5

5.5

6

5.5

6

5

3.5

7

4.5

259







8

3.5

6.5

5

4

6.5

5

7

5.5

6

7

8

3.5

5

8

4








4

5.5

4.5

5

6

3.5

6.5

6

8

4.5

5.5

7

4

4.5

5

6.5

5

6

5.5

3.5



1









12

11

15.5

10

13

12.5

20

9.5

11.5

13

15

9

14.5

10

18

12

10.5

12

14

12.5



1










20

11

15.5

15

12

22

12.5

22

14.5

15

10.5

13

21

20

13

10.5

21

18

25

10.5

11.5

18

15.5

17

15

260

5.21 จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานทตองการคาใชจายนอยทสดใน ขอ 5.1 – 5.10 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธฮงกาเรยน และแสดงตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด

5.22 จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานทตองการก าไรสงทสดใน ขอ 5.11 – 5.20 จงหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธฮงกาเรยนและแสดงตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด

261

บรรณานกรม

กตต ภกดวฒนะกล. (2554). การวเคราะหเชงปรมาณเพอการตดสนใจ. กรงเทพฯ : เคพพ คอมพ แอนด คอนซลท

ประกอบ จรกต (2535). การโปรแกรมเชงเสนจ านวนเตม. กรงเทพฯ : โครงการสงเสรมและ

พฒนาเอกสารวชาการ สถาบนบณฑตพฒนบรหารศาสตร. ประพนธ ชยกจอราใจ. (2550). การวเคราะหเชงปรมาณเพอการจดการและกรณศกษา.

กรงเทพฯ : ซ.ว.แอล การพมพ. พชราภรณ เนยมมณ. (2556). ตวแบบการจดสรรทรพยากร. พมพครงท 2. กรงเทพฯ : โครงการ

สงเสรมและพฒนาเอกสารวชาการ สถาบนบณฑตพฒนบรหารศาสตร. มานพ วราภกด. (2552). การวจยด าเนนการ. กรงเทพฯ : ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย. รงรตน ภสชเพญ (สเหลองสวสด). (2556). การวจยด าเนนงาน. กรงเทพฯ : ซเอดยเคชน. สดา เถลงตระการ. (2550). การวจยด าเนนงาน 1. นครปฐม : คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลย

ศลปากร นครปฐม. สทธมา ช านาญเวช. (2554). การวเคราะหเชงปรมาณ. กรงเทพฯ : วทยพฒน. อ าพล ธรรมเจรญ. (2551). ก าหนดการเชงเสนเบองตน. กรงเทพฯ : พทกษการพมพ. ฮลเลอร, เฟรเดอรก เอส. (2553). การวจยด าเนนงาน. กรงเทพฯ : ทอป. Bazaraa, M.S., Jarvis, J.J., and Sherali, H.D. (1990). Linear Programming and Network

Flows. 2nd. New York : Wiley.

Cooper L. and D.Steinbery. (1974). Methods and Applications of Linear Programming.

Philadelphia : W.B.Saunders.

Dantzig, G.B. (1963). Linear Programming and Extensions. Princeton, N.J. : Princeton

University Press.

Garefinkel, R.S., Nemhauser, G.L. (1972). Integer Programming. New York : John Wiley &

Sons.

Gass, S.I. (1985). Linear Programming, Methods and Application. 5th Ed. New York :

McGraw-Hill.

Hadley, G. (1969). Linear Programming. 4th Ed. MA : Addison-Wesley Publishing

Company.

Hu, T.C. (1969). Integer Programming and Network Flows. California : Addison-Wesley.

Ignizio, J.P. and Cavalier, T.M. (1994). Linear Programming. N.J. : Prentice-Hall.

262

Luenberger, D.G. (1973). Introduction to Linear and Nonlinear Programming. New York :

Addison-Wesley Reading Mass.

Murty, K.G. (1983). Linear Programming. New York : Wiley.

Nash, Stephen G. and Ariela Sofer. (1996). Linear and Nonlinear Programming.

New York : The McGraw-Hill Companies, Inc.

Nering, E. and Tucker, A. (1992). Linear Programming and Related Problems. Boston :

Academic Press.

Swanson, L.W. (1980). Linear Programming, Basic theory and Applications. New York :

MxGraw-Hill Book Company.

ภาคผนวก

265

เฉลยแบบฝกหดทายบท


1.1 X1 = 0 , X2 = 2 และ (maximize) P = 30

1.2 X1 = 2 , X2 = 1 และ (maximize) P = 70

1.3 X1 = 2 , X2 = 1 , X3 = 0 และ (maximize) P = 70


1.5 X1 = 1 , X2 = 0 , X3 = 1 , X4 = 0 และ (maximize) P = 40

1.6 X1 = 5 , X2 = 1 และ (maximize) P = 130

1.7 X1 = 3 , X2 = 0 และ (maximize) P = 120

1.8 X1 = 3 , X2 = 2 และ (minimize) P = 130

1.9 X1 = 2 , X2 = 2 และ (minimize) P = 60

1.10 X1 = 0 , X2 = 5 , X3 = 0 และ (minimize) P = 50



1.13 ปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได 1.14 X1 = 0 , X2 = 1 , X3 = 1 และ (maximize) P = 50


266


2.1 X1 = 2 , X2 = 1 และ (maximize) P = 80

2.2 X1 = 1 , X2 = 1 และ (maximize) P = 15

2.3 X1 = 2 , X2 = 0 และ (minimize) P = 20

2.4 X1 = 3 , X2 = 0 และ (minimize) P = 15

2.5 X1 = 1 , X2 = 2 และ (maximize) P = 40

2.6 X1 = 4 , X2 = 0 และ (maximize) P = 40

2.7 X1 = 3 , X2 = 0 และ (minimize) P = 60

2.8 X1 = 0 , X2 = 8 และ (minimize) P = 80

2.9 X1 = 7 , X2 = 0 และ (maximize) P = 70

2.10 X1 = 3 , X2 = 0 และ (maximize) P = 45

2.11 X1 = 3 , X2 = 3 และ (minimize) P = 60

2.12 X1 = 7 , X2 = 0 และ (minimize) P = 140

2.13 X1 = 8 , X2 = 1 และ (maximize) P = 190

2.14 X1 = 2 , X2 = 4 และ (maximize) P = 64

2.15 X1 = 1 , X2 = 2 และ (minimize) P = 50

2.16 X1 = 1 , X2 = 2 และ (minimize) P = 15

267


3.1 ตารางเรมตนของปญหาการขนสง

3.1.1 ตารางเรมตนของปญหา

ถง

จาก





X11

X12

100


X21

X22

200


X31

X32

100

อปสงครวม 150 250 400


ถง

จาก






X11

X12

X13

300


X21

X22

X23

200

อปสงครวม 150 200 150 500

10 20

30 40

20 50

30 20

40

10

50 30

268


ถง

จาก






X11

X12

X13

200


X21

X22

X23

150


X31

X32

X33

250

อปสงครวม 100 300 200 600


ถง

จาก






X11

X12

X13

300


X21

X22

X23

150


X31

X32

X33

150


X41

X42

X43

200

อปสงครวม 350 200 250 800

40 20

50

10

20 60

30 20 40

20 20

50

30

60 70

20 40 50

20 10 40

269

3.2 การหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ

3.2.1 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ

ถง

จาก





100

X12

100


50

150

200


X31

100

100


แผนการสงสนคา เสนทางการสงสนคา




(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 10 100 1,000

2 1 30 50 1,500

2 2 40 150 6,000

3 2 50 100 5,000

รวม 400 13,500


ถง

จาก






150

150

X13

300


X21

50

150

200

อปสงครวม 150 200 150 500

10 20

30 40

20 50

30 20

40

10

50 30

270





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 30 150 4,500

1 2 20 150 3,000

2 2 50 50 2,500

2 3 30 150 4,500

รวม 500 14,500


ถง

จาก






100

100

X13

200


X21

150

X23

150


X31

50

200

250

อปสงครวม 100 300 200 600





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 40 100 4,000

1 2 20 100 2,000

2 2 20 150 3,000

3 2 20 50 1,000

3 3 40 200 8,000

รวม 600 18,000

40 20

50

10

20 60

30 20 40

271


ถง

จาก






300

X12

X13

300


50

100

X23

150


X31

100

50

150


X41

X42

200

200

อปสงครวม 350 200 250 800





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 20 300 6,000

2 1 50 50 2,500

2 2 60 100 6,000

3 2 40 100 4,000

3 3 50 50 2,500

4 4 40 200 8,000

รวม 800 29,000

20 20

50

30

60 70

20 40 50

20 10 40

272

3.3 การหาผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล

3.3.1 ตารางผลเฉลยเรมตนวธการประมาณของโวเกล

ถง

จาก





50

50

100


X21

200

200


100

X32

100






(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 10 50 500

1 2 20 50 1,000

3 2 40 200 8,000

3 1 20 100 2,000

รวม 400 11,500


ถง

จาก






X11

200

100

300


150

X22

50

200

อปสงครวม 150 200 150 500

10 20

30 40

20 50

30 20

40

10

50 30

273





(หนวย)




คลงสนคาท 1 2 20 200 4,000

1 3 10 100 1,000

2 1 40 150 6,000

2 3 30 50 1,500

รวม 500 12,500


ถง

จาก






X11

X12

200

200


X21

150

X23

150


100

150

X33

250

อปสงครวม 100 300 200 600





(หนวย)




คลงสนคาท 1 3 10 200 2,000

2 2 20 150 3,000

3 1 30 100 3,000

3 2 20 150 3,000

รวม 600 11,000

40 20

50

10

20 60

30 20 40

274


ถง

จาก






50

X12

250

300


150

X22

X23

150


150

X32

X33

150


X41

200

X43

200

อปสงครวม 350 200 250 800





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 20 50 1,000

1 3 30 250 7,500

2 1 50 150 7,500

3 1 20 150 3,000

4 2 10 200 2,000

รวม 800 21,000

20 20

50

30

60 70

20 40 50

20 10 40

275

3.4 การพฒนาผลเฉลยเรมตนจากวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอดวยวธการสเตปปงสโตน

3.4.1 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการสเตปปงสโตน

ถง

จาก





50

50

100


X21

200

200


100

X32

100






(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 10 50 500

1 2 20 50 1,000

2 2 40 200 8,000

3 1 20 100 2,000

รวม 400 11,500

3.4.2 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการสเตปปงสโตน

ถง

จาก






X12

200

100

300


150

X22

50

200

อปสงครวม 150 200 150 500

10 20

30 40

20 50

30 20

40

10

50 30

276





(หนวย)




คลงสนคาท 1 2 20 200 4,000

1 3 10 100 1,000

2 1 40 150 6,000

2 3 30 50 1,500

รวม 500 12,500


ถง

จาก






X11

X12

200

200


X21

150

X23

150


100

150

X33

250

อปสงครวม 100 300 200 600





(หนวย)




คลงสนคาท 1 3 10 200 2,000

2 2 20 150 3,000

3 1 30 100 3,000

3 2 20 150 3,000

รวม 600 11,000

40 20

50

10

20 60

30 20 40

277


ถง

จาก






50

X12

250

300


150

X22

X23

150


150

X32

X33

150


X41

200

X43

200

อปสงครวม 350 200 250 800





(หนวย)


(บาท)

จาก


คลงสนคาท 1 1 20 50 1,000

1 3 30 250 7,500

2 1 50 150 7,500

3 1 20 150 3,000

4 2 10 200 2,000

รวม 800 21,000

20 20

50

30

60 70

20 40 50

20 10 40

278

3.5 การพฒนาผลเฉลยเรมตนจากวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ ดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน

3.5.1 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน

ถง

จาก





50

50

100


X21

200

200


100

X32

100






(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 10 50 500

1 2 20 50 1,000

2 2 40 200 8,000

3 1 20 100 2,000

รวม 400 11,500


ถง

จาก






X12

200

100

300


150

X22

50

200

อปสงครวม 150 200 150 500

30 20

40

10

50 30

10 20

30 40

20 50

279





(หนวย)




คลงสนคาท 1 2 20 200 4,000

1 3 10 100 1,000

2 1 40 150 6,000

2 3 30 50 1,500

รวม 500 12,500


ถง

จาก






X11

X12

200

200


X21

150

X23

150


100

150

X33

250

อปสงครวม 100 300 200 600





(หนวย)




คลงสนคาท 1 3 10 200 2,000

2 2 20 150 3,000

3 1 30 100 3,000

3 2 20 150 3,000

รวม 600 11,000

40 20

50

10

20 60

30 20 40

280


ถง

จาก






50

X12

250

300


150

X22

X23

150


150

X32

X33

150


X41

200

X43

200

อปสงครวม 350 200 250 800





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 20 50 1,000

1 3 30 250 7,500

2 1 50 150 7,500

3 1 20 150 3,000

4 2 10 200 2,000

รวม 800 21,000

20 20

50

30

60 70

20 40 50

20 10 40

281

3.6 การพฒนาผลเฉลยเรมตนจากวธการประมาณของโวเกลดวยวธการสเตปปงสโตน


ถง

จาก





50

50

100


X21

200

200


100

X32

100






(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 10 50 500

1 2 20 50 1,000

3 2 40 200 8,000

3 1 20 100 2,000

รวม 400 11,500


ถง

จาก






X11

200

100

300


150

X22

50

200

อปสงครวม 150 200 150 500

10 20

30 40

20 50

30 20

40

10

50 30

282





(หนวย)




คลงสนคาท 1 2 20 200 4,000

1 3 10 100 1,000

2 1 40 150 6,000

2 3 30 50 1,500

รวม 500 12,500


ถง

จาก






X11

X12

200

200


X21

150

X23

150


100

150

X33

250

อปสงครวม 100 300 200 600





(หนวย)




คลงสนคาท 1 3 10 200 2,000

2 2 20 150 3,000

3 1 30 100 3,000

3 2 20 150 3,000

รวม 600 11,000

40 20

50

10

20 60

30 20 40

283


ถง

จาก






50

X12

250

300


150

X22

X23

150


150

X32

X33

150


X41

200

X43

200

อปสงครวม 350 200 250 800





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 20 50 1,000

1 3 30 250 7,500

2 1 50 150 7,500

3 1 20 150 3,000

4 2 10 200 2,000

รวม 800 21,000

20 20

50

30

60 70

20 40 50

20 10 40

284

3.7 การพฒนาผลเฉลยเรมตนจากวธการประมาณของโวเกลดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน


ถง

จาก





50

50

100


X21

200

200


100

X32

100






(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 10 50 500

1 2 20 50 1,000

3 2 40 200 8,000

3 1 20 100 2,000

รวม 400 11,500


ถง

จาก






X11

200

100

300


150

X22

50

200

อปสงครวม 150 200 150 500

10 20

30 40

20 50

30 20

40

10

50 30

285





(หนวย)




คลงสนคาท 1 2 20 200 4,000

1 3 10 100 1,000

2 1 40 150 6,000

2 3 30 50 1,500

รวม 500 12,500


ถง

จาก






X11

X12

200

200


X21

150

X23

150


100

150

X33

250

อปสงครวม 100 300 200 600





(หนวย)




คลงสนคาท 1 3 10 200 2,000

2 2 20 150 3,000

3 1 30 100 3,000

3 2 20 150 3,000

รวม 600 11,000

40 20

50

10

20 60

30 20 40

286


ถง

จาก






50

X12

250

300


150

X22

X23

150


150

X32

X33

150


X41

200

X43

200

อปสงครวม 350 200 250 800





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 20 50 1,000

1 3 30 250 7,500

2 1 50 150 7,500

3 1 20 150 3,000

4 2 10 200 2,000

รวม 800 21,000

20 20

50

30

60 70

20 10 40

20 40 50

287

3.8 ผลเฉลยเรมตนโดยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ

ถง

จาก






200

100

X13

300


X21

150

200

350


X31

X32

150

150

อปสงครวม 200 250 350 800





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 20 200 4,000

1 2 30 100 3,000

2 2 40 150 6,000

2 3 20 200 4,000

3 3 30 150 4,500

รวม 800 21,500

20 30

50

35

40 20

35 40 30

288

3.9 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน

ถง

จาก






200

100

X13

300


X21

X22

350

350


X31

150

X33

150

อปสงครวม 200 250 350 800





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 20 200 4,000

1 2 30 100 3,000

2 3 20 350 7,000

3 2 40 150 6,000

รวม 800 20,000

20 30

50

35

40 20

35 40 30

289

3.10 ตารางเรมตนของปญหา

ถง

จาก






X11

X12

X13

200


X21

X22

X23

300


X31

X32

X33

500

อปสงครวม 300 450 250 1,000

ผลเฉลยเรมตน ถง

จาก






200

X12

X13

200


100

200

X23

300


X31

250

250

500

อปสงครวม 300 450 250 1,000

ผลเฉลยเหมาะสมทสด

ถง

จาก






X11

X12

200

200


300

X22

X23

300


X31

450

50

500

อปสงครวม 300 450 250 1,000

5 4

4

6

7 3

3 5 4

5 4

4

6

7 3

3 5 4

5 4

4

6

7 3

3 5 4

290





(หนวย)



เครองจกรท ถง

คลงสนคาท 1 3 6 200 1,200

2 1 4 300 1,200

3 2 5 450 2,250

3 3 4 50 200

รวม 1,000 4,850

291



ถง

จาก คลงสนคาท 1 คลงสนคาท 2


เทยม (ท 3)



X11

X12

X13

150


X21

X22

X23

300


X31

X32

X33

150

อปสงครวม 100 250 250 600


ถง

จาก






X11

X12

X13

300


X21

X22

X23

200


(ท 3)

X31

X32

X33

350

อปสงครวม 250 300 300 850

30 20

40

10

50 30

10 20

30 40

20 50

0

0

0

0 0 0

292


ถง

จาก






X11

X12

X13

200


X21

X22

X23

150


X31

X32

X33

250


(ท 4)

X41

X42

X43

300

อปสงครวม 300 350 250 900


ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3


เทยม(ท 4)

อปทาน

รวม


X11

X12

X13

X14

300


X21

X22

X23

X24

250


X31

X32

X33

X34

250

อปสงครวม 100 300 200 200 800

40 20

50

10

20 60

30 20 40

0 0 0

40 20 10

50 20 60

30 20 40

0

0

0

293


ถง

จาก






X11

X12

X13

300


X21

X22

X23

150


X31

X32

X33

150


X41

X42

X43

200


(ท 5)

X51

X52

X53

200

อปสงครวม 400 250 350 1,000

4.6 จากตารางเรมตนของปญหาการขนสงในขอ 4.1


ถง



เทยม(ท 3)



100

50

X13

150


X21

200

100

300


X31

X32

150

150

อปสงครวม 100 250 250 600

20 20

50

30

60 70

20 40 50

20 10 40

0 0 0

10 20

30 40

20 50

0

0

0

294





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 10 100 1,000

1 2 20 50 1,000

2 2 40 200 8,000

2 3 0 100 0

3 3 0 150 0

รวม 600 10,000


ถง



เทยม(ท 3)



X11

150

X13

150


X21

100

200

300


100

X32

50

150

อปสงครวม 100 250 250 600





(หนวย)




คลงสนคาท 1 2 20 150 3,000

2 2 40 100 4,000

2 3 0 200 0

3 1 20 100 2,000

3 3 0 50 0

รวม 600 9,000

10 20

30 40

20 50

0

0

0

295


4.7.1 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล

ถง

จาก






X11

200

100

300


X21

X22

200

200


(ท 3)

250

100

X33

350

อปสงครวม 250 300 300 850





(หนวย)




คลงสนคาท 1 2 20 200 4,000

1 3 10 100 1,000

2 3 30 200 6,000

3 1 0 250 0

3 2 0 100 0

รวม 850 11,000

30 20

40

10

50 30

0 0 0

296


ถง

จาก






X11

200

100

300


X21

X22

200

200


(ท 3)

250

100

X33

350

อปสงครวม 250 300 300 850





(หนวย)




คลงสนคาท 1 2 20 200 4,000

1 3 10 100 1,000

2 3 30 200 6,000

3 1 0 250 0

3 2 0 100 0

รวม 850 11,000

30 20

40

10

50 30

0 0 0

297



ถง

จาก






200

X12

X13

200


100

50

X23

150


X31

250

X33

250


(ท 4)

X41

50

250

300

อปสงครวม 300 350 250 900





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 40 200 8,000

2 1 50 100 5,000

2 2 20 50 1,000

3 2 20 250 5,000

4 2 0 50 0

4 3 0 250 0

รวม 900 19,000

40 20

50

10

20 60

30 20 40

0 0 0

298


ถง

จาก






200

X12

X13

200


X21

150

X23

150


50

200

X33

250


(ท 4)

50

X42

250

300

อปสงครวม 300 350 250 900





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 40 200 8,000

2 2 20 150 3,000

3 1 30 50 1,500

3 2 20 200 4,000

4 1 0 50 0

4 3 0 250 0

รวม 900 16,500

40 20

50

10

20 60

30 20 40

0 0 0

299


4.9.1 ตารางผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล

ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3


เทยม (ท 4)

อปทาน

รวม


X11

100

200

X14

300


X21

50

X23

200

250


100

150

X33

X34

250

อปสงครวม 100 300 200 200 800





(หนวย)




คลงสนคาท 1 2 20 100 2,000

1 3 10 200 2,000

2 2 20 50 1,000

2 4 0 200 0

3 1 30 100 3,000

3 2 20 150 3,000

รวม 800 11,000

40 20 10

50 20 60

30 20 40

0

0

0

300


ถง

จาก


ท 1


ท 2


ท 3


เทยม(ท 4)

อปทาน

รวม


X11

100

200

X14

300


X21

50

X23

200

250


100

150

X33

X34

250

อปสงครวม 100 300 200 200 800





(หนวย)




คลงสนคาท 1 2 20 100 2,000

1 3 10 200 2,000

2 2 20 50 1,000

2 4 0 200 0

3 1 30 100 3,000

3 2 20 150 3,000

รวม 800 11,000

40 20 10

50 20 60

30 20 40

0

0

0

301


4.10.1 ผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ

ถง

จาก






300

X12

X13

300


100

50

X23

150


X31

150

X33

150


X41

50

150

200


(ท 5)

X51

X52

200

200

อปสงครวม 400 250 350 1,000





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 20 300 6,000

2 1 50 100 5,000

2 2 60 50 3,000

3 2 40 150 6,000

4 1 10 50 500

4 3 40 150 6,000

5 3 0 200 0

รวม 800 26,500

20 20

50

30

60 70

20 40 50

20 10 40

0 0 0

302


ถง

จาก






100

50

150

300


150

X22

X23

150


150

X32

X33

150


X41

200

X43

200


(ท 5)

X51

X52

200

200

อปสงครวม 400 250 350 1,000





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 20 100 2,000

1 2 20 50 1,000

1 3 30 150 4,500

2 1 50 150 7,500

3 1 20 150 3,000

4 2 10 200 2,000

5 3 0 200 0

รวม 800 20,000

20 20

50

30

60 70

20 40 50

20 10 40

0 0 0

303


ถง

จาก






X11

X12

X13

250


X21

X22

X23

450


X31

X32

X33

200


(ท 4)

X41

X42

X43

200

อปสงครวม 300 350 450 1,100

4.11.1 ผลเฉลยเรมตนดวยวธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ

ถง

จาก






250

X12

X13

250


50

350

50

450


X31

X32

200

200


(ท 4)

X41

X42

200

200

อปสงครวม 300 350 450 1,100

20 30

50

35

40 20

35 45 30

0 0 0

20 30

50

35

40 20

35 45 30

0 0 0

304





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 20 250 5,000

2 1 50 50 2,500

2 2 40 350 14,000

2 3 20 50 1,000

3 3 30 200 6,000

4 3 0 200 0

รวม 1,100 28,500

4.11.2 ผลเฉลยเรมตนดวยวธการประมาณของโวเกล

ถง

จาก






250

X12

X13

250


X21

X22

450

450


50

150

X33

200


(ท 4)

X41

200

X43

200

อปสงครวม 300 350 450 1,100

20 30

50

35

40 20

35 45 30

0 0 0

305





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 20 250 5,000

2 3 20 450 9,000

3 1 35 50 1,750

3 2 45 150 6,750

4 2 0 200 0

รวม 1,100 22,500

4.12 ผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธการโมดฟายดสทรบวชน

ถง

จาก






250

X12

X13

250


X21

X22

450

450


50

150

X33

200


(ท 4)

X31

200

X33

200

อปสงครวม 300 350 450 1,100

20 30

50

35

40 20

35 45 30

0 0 0

306





(หนวย)




คลงสนคาท 1 1 20 250 5,000

2 3 20 450 9,000

3 1 35 50 1,750

3 2 45 150 6,750

4 2 0 200 0

รวม 1,100 22,500

307


5.1 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 2.5X11 + 1X12 + 1.5X21 + 3X22 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน

X11 + X12 = 1

X21 + X22 = 1

2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 = 1

X12 + X22 = 1


Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2 และ j = 1, 2

ตารางตนทนเสยโอกาส

ถง

จาก


เครองจกรท 1 เครองจกรท 2

สนคาชนดท 1 1.5 0

สนคาชนดท 2 0 1.5

5.2 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 1.5X11 + 3X12 + 0X13 + 2X21 + 2.5X22 + 0X23 + 3.5X31 + 2X32 + 0X33


X11 + X12 + X13 = 1

X21 + X22 + X23 = 1

X31 + X32 + X33 = 1

2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 = 1

X12 + X22 + X32 = 1

X13 + X23 + X33 = 1



308


ถง

จาก


เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรเทยม (ท 3) สนคาชนดท 1 0 1 0



5.3 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 3X11 + 5X12 + 2.5X13 + 2.5X21 + 4.5X22 + 3.5X23

+ 0X31 + 0X32 + 0X33 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน

X11 + X12 + X13 = 1

X21 + X22 + X23 = 1

X31 + X32 + X33 = 1


X12 + X22 + X32 = 1

X13 + X23 + X33 = 1




ถง

จาก





สนคาเทยม(ชนดท3) 0 0 0

309

5.4 ฟงกชนจดประสงค (minimize) P = 4X11 + 5.5X12 + 3X13 + 3.5X21 + 2.5X22 + 4X23

+ 2.5X31 + 2X32 + 5.5X33


X11 + X12 + X13 = 1

X21 + X22 + X23 = 1

X31 + X32 + X33 = 1


X12 + X22 + X32 = 1

X13 + X23 + X33 = 1




ถง

จาก







(minimize) P = 6X11 + 4.5X12 + 3.5X13 + 0X14 + 4.5X21 + 2.5X22 + 5X23 + 0X24

+ 2.5X31 + 3X32 + 5.5X33 + 0X34 + 3X41 + 5X42 + 2.5X43 + 0X44


X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 = 1

310


X12 + X22 + X32 + X42 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 = 1


Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4 และ j = 1, 2, 3, 4


ถง

จาก


เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรเทยม (ท 4) สนคาชนดท 1 3.5 2 1 0



สนคาชนดท 4 0.5 2.5 0 0


(minimize) P = 4X11 + 3.5X12 + 5.5X13 + 3.5X14 + 3.5X21 + 5.5X22 + 6X23 + 7X24 + 6.5X31 + 6X32 + 5X33 + 4.5X34 + 0X41 + 0X42 + 0X43 + 0X44


X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 = 1


X12 + X22 + X32 + X42 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 = 1



311


ถง

จาก




สนคาชนดท 2 0 2 2.5 3.5

สนคาชนดท 3 2 1.5 0.5 0

สนคาเทยม(ชนดท4) 0 0 0 0


(minimize) P = 8X11 + 4X12 + 5.5X13 + 3.5X14 + 3.5X21 + 6.5X22 + 6X23 + 5X24 + 6.5X31 + 5X32 + 7X33 + 8X34 + 5X41 + 7X42 + 8X43 + 4X44


X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 = 1


X12 + X22 + X32 + X42 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 = 1




ถง

จาก



สนคาชนดท 1 4.5 0.5 0 0

สนคาชนดท 2 0 3 0.5 1.5



312


(minimize) P = 4X11 + 3.5X12 + 5.5X13 + 6.5X14 + 0X15 + 5.5X21 + 6.5X22 + 7X23

+ 5X24 + 0X25 + 4.5X31 + 6X32 + 4X33 + 6X34 + 0X35 + 5X41 + 8X42 + 4.5X43 + 5.5X44 + 0X45 + 6X51 + 4.5X52 + 5X53 + 3.5X54 + 0X55


X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1

X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1

2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1

X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1

X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1


Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2, 3, 4, 5 และ j = 1, 2, 3, 4, 5


ถง

จาก



ท 1


ท 2


ท 3


ท 4


เทยม (ท 5) สนคาชนดท 1 0 0 1.5 3 0

สนคาชนดท 2 1.5 3 3 1.5 0

สนคาชนดท 3 0.5 2.5 0 2.5 0

สนคาชนดท 4 1 4.5 0.5 2 0

สนคาชนดท 5 2 1 1 0 0

313


(minimize) P = 12X11 + 13X12 + 11.5X13 + 14.5X14 + 10.5X15 + 11X21 + 12.5X22 + 13X23 + 10X24 + 12X25 + 15.5X31 + 20X32 + 15X33 + 18X34 +14X35 + 10X41 + 9.5X42 + 9X43 + 12X44 + 12.5X45 + 0X51 + 0X52 + 0X53

+ 0X54 + 0X55


X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1

X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1


X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1

X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1




ถง

จาก



ท 1


ท 2


ท 3


ท 4


ท 5

สนคาชนดท 1 1.5 2.5 1 14.5 4

สนคาชนดท 2 1 2.5 3 0 2

สนคาชนดท 3 1.5 6 1 4 0

สนคาชนดท 4 1 0.5 0 3 3.5

สนคาเทยม(ชนดท5)

0

0

0

0

0

314


(minimize) P = 20X11 + 30X12 + 10.5X13 + 10.5X14 + 11.5X15 + 11X21 + 12.5X22 + 13X23 + 21X24 + 18X25 + 15.5X31 + 22X32 + 21X33 + 18X34 + 15.5X35 + 15X41 + 14.5X42 + 20X43 + 25X44 + 17X45 + 0X51 + 0X52 + 0X53 + 0X54 + 0X55


X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1

X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1


X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1

X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1




ถง

จาก



ท 1


ท 2


ท 3


ท 4


ท 5

สนคาชนดท 1 9.5 11.5 0 0 1

สนคาชนดท 2 11 1.5 2 10 7

สนคาชนดท 3 0 6.5 5.5 2.5 0

สนคาชนดท 4 0.5 0 5.5 10.5 2.5

สนคาชนดท 5 1.5 4.5 2.5 0 4.5

315

5.11 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 2.5X11 + 1X12 + 1.5X21 + 3X22 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน

X11 + X12 = 1

X21 + X22 = 1

2) เงอนไขดานการรบผดชอบงาน X11 + X21 = 1

X12 + X22 = 1


Xij = 0 ถาไมมการมอบหมายงานท i ไปยงเครองจกรท j โดยท i = 1, 2 และ j = 1, 2

ตารางก าไรเสยโอกาส

ถง

จาก





5.12 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 1.5X11 + 3X12 + 0X13 + 2X21 + 2.5X22 + 0X23

+ 3.5X31 + 2X32 + 0X33 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน

X11 + X12 + X13 = 1

X21 + X22 + X23 = 1

X31 + X32 + X33 = 1


X12 + X22 + X32 = 1

X13 + X23 + X33 = 1



316


ถง

จาก


เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรเทยม (ท 3) สนคาชนดท 1 1.5 0 0.5




(maximize) P = 3X11 + 5X12 + 2.5X13 + 2.5X21 + 4.5X22 + 3.5X23

+ 0X31 + 0X32 + 0X33 เงอนไขบงคบ 1) เงอนไขดานการมอบหมายงาน

X11 + X12 + X13 = 1

X21 + X22 + X23 = 1

X31 + X32 + X33 = 1


X12 + X22 + X32 = 1

X13 + X23 + X33 = 1




ถง

จาก






317

5.14 ฟงกชนจดประสงค (maximize) P = 4X11 + 5.5X12 + 3X13 + 3.5X21 + 2.5X22 + 4X23

+ 2.5X31 + 2X32 + 5.5X33


X11 + X12 + X13 = 1

X21 + X22 + X23 = 1

X31 + X32 + X33 = 1


X12 + X22 + X32 = 1

X13 + X23 + X33 = 1




ถง

จาก






5.15 ตวแบบก าหนดการเชงเสน


(maximize) P = 6X11 + 4.5X12 + 3.5X13 + 0X14 + 4.5X21 + 2.5X22 + 5X23 + 0X24

+ 2.5X31 + 3X32 + 5.5X33 + 0X34 + 3X41 + 5X42 + 2.5X43 + 0X44


X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 = 1

318


X12 + X22 + X32 + X42 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 = 1




ถง

จาก


เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรเทยม(ท 4) สนคาชนดท 1 0 1.5 2.5 1

สนคาชนดท 2 0.5 2.5 0 0

สนคาชนดท 3 3 2.5 0 0.5



(maximize) P = 4X11 + 3.5X12 + 5.5X13 + 3.5X14 + 3.5X21 + 5.5X22 + 6X23 + 7X24 + 6.5X31 + 6X32 + 5X33 + 4.5X34 + 0X41 + 0X42 + 0X43 + 0X44


X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 = 1


X12 + X22 + X32 + X42 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 = 1



319


ถง

จาก




สนคาชนดท 2 3.5 1.5 1 0

สนคาชนดท 3 0 0.5 1.5 2



(maximize) P = 8X11 + 4X12 + 5.5X13 + 3.5X14 + 3.5X21 + 6.5X22 + 6X23 + 5X24 + 6.5X31 + 5X32 + 7X33 + 8X34 + 5X41 + 7X42 + 8X43 + 4X44


X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 = 1


X12 + X22 + X32 + X42 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 = 1




ถง

จาก



สนคาชนดท 1 0 4 2.5 4.5

สนคาชนดท 2 3 0 0.5 1.5



320


(maximize) P = 4X11 + 3.5X12 + 5.5X13 + 6.5X14 + 0X15 + 5.5X21 + 6.5X22 + 7X23

+ 5X24 + 0X25 + 4.5X31 + 6X32 + 4X33 + 6X34 + 0X35 + 5X41 + 8X42 + 4.5X43 + 5.5X44 + 0X45 + 6X51 + 4.5X52 + 5X53 + 3.5X54 + 0X55


X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1

X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1


X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1

X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1




ถง

จาก



ท 1


ท 2


ท 3


ท 4


เทยม (ท 5) สนคาชนดท 1 2.5 3 1 0 0.5

สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 2 1

สนคาชนดท 3 1.5 0 2 0 0

สนคาชนดท 4 3 0 3.5 2.5 2

สนคาชนดท 5 0 1.5 1 2.5 0

321


(maximize) P = 12X11 + 13X12 + 11.5X13 + 14.5X14 + 10.5X15 + 11X21 + 12.5X22 + 13X23 + 10X24 + 12X25 + 15.5X31 + 20X32 + 15X33 + 18X34 +14X35 + 10X41 + 9.5X42 + 9X43 + 12X44 + 12.5X45 + 0X51 + 0X52 + 0X53

+ 0X54 + 0X55


X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1

X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1


X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1

X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1




ถง

จาก



ท 1


ท 2


ท 3


ท 4


ท 5

สนคาชนดท 1 1 0 1.5 8.5 2.5

สนคาชนดท 2 2 0.5 0 3 1

สนคาชนดท 3 4.5 0 5 2 6

สนคาชนดท 4 2.5 3 3.5 0.5 0


0

0

0

0

0

322


(maximize) P = 20X11 + 30X12 + 10.5X13 + 10.5X14 + 11.5X15 + 11X21 + 12.5X22 + 13X23 + 21X24 + 18X25 + 15.5X31 + 22X32 + 21X33 + 18X34 + 15.5X35 + 15X41 + 14.5X42 + 20X43 + 25X44 + 17X45 + 0X51 + 0X52 + 0X53 + 0X54 + 0X55


X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1

X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1


X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1

X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1




ถง

จาก



ท 1


ท 2


ท 3


ท 4


ท 5

สนคาชนดท 1 0 0 10.5 11.5 10.5

สนคาชนดท 2 8 8.5 7 0 3

สนคาชนดท 3 4.5 0 0 4 6.5

สนคาชนดท 4 8 10.5 4 0 8

สนคาชนดท 5 1 0 1 4.5 0

323

5.21 จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานใน ขอ 5.1 – 5.10

5.21.1 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 2.5 หรอ 2,500 บาท X12 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 2



ตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด

ถง

จาก










ถง

จาก


เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรเทยม(ท 3) สนคาชนดท 1 0 1 0



5.21.3 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ P = 5 หรอ 5,000 บาท X13 = 1 คอ มอบหมายสนคาชนดท 1 ใหเครองจกรท 3




324


ถง

จาก











ถง

จาก












ถง

จาก


เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรเทยม(ท 4) สนคาชนดท 1 3.5 2 1 0



สนคาชนดท 4 0.5 2.5 0 0

325






ตารางตนทนเสยโอกาสทเหมาะสมทสด ถง

จาก




สนคาชนดท 2 0 2 2.5 3.5

สนคาชนดท 3 2 1.5 0.5 0








ถง

จาก



สนคาชนดท 1 4.5 0.5 0 0

สนคาชนดท 2 0 3 0.5 1.5



326








ถง

จาก



ท 1


ท 2


ท 3


ท 4


เทยม (ท 5) สนคาชนดท 1 0 0 2 3 1

สนคาชนดท 2 0.5 2 2.5 0.5 0

สนคาชนดท 3 0 2 0 2 0.5

สนคาชนดท 4 0 3.5 0 1 0

สนคาชนดท 5 2 1 1.5 0 1







327


ถง

จาก



ท 1


ท 2


ท 3


ท 4


ท 5

สนคาชนดท 1 0 1 0 14 4

สนคาชนดท 2 0 1.5 2.5 0 2.5

สนคาชนดท 3 0 4.5 0 3.5 0

สนคาชนดท 4 0.5 0 0 3.5 4.5


0

0

0.5

1

1.5








ถง

จาก



ท 1


ท 2


ท 3


ท 4


ท 5

สนคาชนดท 1 9 11.5 0 1 0.5

สนคาชนดท 2 9 0 0.5 9.5 5

สนคาชนดท 3 0 7 6 4 0

สนคาชนดท 4 0 0 5.5 11.5 2

สนคาชนดท 5 0 3.5 1.5 0 3

328

5.22 จากตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการมอบหมายงานในขอ 5.11 – 5.20




ตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด

ถง

จาก










ถง

จาก


เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรเทยม (ท 3) สนคาชนดท 1 1.5 0 0.5







329


ถง จาก

ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3









ถง

จาก












ถง

จาก


เครองจกรท 1 เครองจกรท 2 เครองจกรท 3 เครองจกรเทยม(ท 4) สนคาชนดท 1 0 1.5 2.5 1

สนคาชนดท 2 0.5 2.5 0 0

สนคาชนดท 3 3 2.5 0 0.5


330






ตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด ถง

จาก




สนคาชนดท 2 3.5 1.5 1 0

สนคาชนดท 3 0 0.5 1.5 2








ถง

จาก



สนคาชนดท 1 0 4 2.5 4.5

สนคาชนดท 2 3 0 0.5 1.5



331








ถง จาก

ตารางแสดงคาใชจายในการท างานของเครองจกร เครองจกร

ท 1

เครองจกร ท 2



เครองจกร เทยม(ท 5)

สนคาชนดท 1 2.5 3 1 0 0.5

สนคาชนดท 2 1.5 0.5 0 2 1

สนคาชนดท 3 1.5 0 2 0 0

สนคาชนดท 4 3 0 3.5 2.5 2

สนคาชนดท 5 0 1.5 1 2.5 0







332

ตารางก าไรเสยโอกาสทเหมาะสมทสด ถง

จาก



ท 1


ท 2


ท 3


ท 4


ท 5

สนคาชนดท 1 0 0 1.5 7.5 2

สนคาชนดท 2 1 0.5 0 2 0.5

สนคาชนดท 3 3.5 0 5 1 5.5

สนคาชนดท 4 2 3.5 4 0 0


0

1

1

0

0.5








ถง

จาก



ท 1


ท 2


ท 3


ท 4


ท 5

สนคาชนดท 1 0 0 10.5 14.5 13.5

สนคาชนดท 2 5 5.5 4 0 0

สนคาชนดท 3 4.5 0 0 7 6.5

สนคาชนดท 4 5 7.5 1 0 5

สนคาชนดท 5 1 0 1 7.5 0

333

ดชน

หนา

ก

การก าหนดขอบเขตของปญหา (bound) 17

การตดทมสมประสทธของตวแปรมคาเปนหนง (cuts with unit coefficients) 55,56

การตดแบบจ านวนเตม (all integer cuts) 55,76

การตดแบบผสม (mixed cuts) 55,99

การตดแบบเศษสวน (fractional cuts) 55,64,66

การแตกกงสาขาของปญหา (branching) 14,100

การท ายอนกลบ (backtracking) 15

การปดเศษ (round-off) 3

ก ำหนดกำรจ ำนวนเตม (integer programming) 1

ก ำหนดกำรเชงเสน (linear programming) 1

ก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม (linear integer programming) 1

ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมทงหมด (all integer linear programming) 2

ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมแบบผสม (mixed integer linear programming) 2

ก าหนดการเชงเสนจ านวนเตมศนย-หนง (zero-one integer linear programming) 3

ก าหนดการเชงเสนแบบทวภาค (binary linear programming) 3,28

ค

คลงสนคาเทยม (dummy destination) 161

คำต ำสด (minimize) 1

คำสงสด (maximize) 1

คาเสยโอกาส (penalty cost) 127

ง

งานเทยม (dummy job) 230,246

เงอนไขบงคบ (constraint) 1

เงอนไขบงคบทตยภม (secondary constraint) 55

จ

จ านวนจ ากด (finite) 8

334

ดชน (ตอ)

หนา

ต

ตนทนเสยโอกาส (opportunity cost) 210

ตวแบบก ำหนดกำรเชงเสนจ ำนวนเตม (linear integer programming model) 1

ตวแบบก าหนดการเชงเสนของปญหาการขนสง (transportation problem model) 115

ตวแปรคอมพลเมนต (complement) 28

ตวแปรทตองกำรตดสนใจ (decision variable) 2

ตวแปรพนฐำน (basic variable) 12

ตวเลขทมคำเปนจ ำนวนเตม (integer number) 1

ตวเลขทมคำไมเปนจ ำนวนเตม (non-integer number) 3

ถ

แถวทใชสรางเงอนไขบงคบทตยภม (source row) 67,82

ท

ทศนยมของตวแปร (fractional value) 67

บ

ไบนาร (binnary) 203

ป

ปญหำกำรขนสง (transportation problem) 115

ปญหาการขนสงทสมดล (balanced transportation problem) 117

ปญหาการขนสงทไมสมดล (unbalanced transportation problem) 159

ปญหำกำรมอบหมำยงำน (assignment problem) 203

ปญหาการมอบหมายงานทสมดล (balanced assignment problem) 205,206

ปญหาการมอบหมายงานทไมสมดล (unbalanced assignment problem) 205,220

ปลายทาง (destination) 115

ผ

ผลเฉลยทเปนไปได (infeasible solution) 18,27

ผลเฉลยทไมเปนจ ำนวนเตม (non-integer solution) 1

ผลเฉลยเรมตน (initial feasible solution) 121

ผลเฉลยเหมำะสมทสด (optimal solution) 1,18

ผลเฉลยเหมาะสมทสดทเกดสภาพซอนสถานะ (degeneracy optimal solution) 188

335

ดชน (ตอ)

หนา

ว

วงจรปด (loop) 139,189

วธกรำฟ (graphical method) 3

วธการกฎมมทศตะวนตกเฉยงเหนอ (northwest corner rule method) 121

วธการแจงนบโดยตรง (exhaustive method) 8

วธการแจงนบโดยปรยาย (implicit method) 28

วธการตดพนทออก (cutting planes method) 55

วธการแตกกงสาขาและการก าหนดขอบเขต (branch and bound method) 11

วธการประมาณของโวเกล (Vogel’s Approximation Method) 127

วธการโมดฟายดสทรบวชน (modified distribution method) 138,148

วธการสเตปปงสโตน (stepping stone method) 138,139

วธซมเพลกซ (simplex method) 3

วธฮงกาเรยน (hungarian method) 209

ห

แหลงผลต (source) 115,203

ส

สภาพซอนสถานะ (degeneracy) 138,188

อ

อปทาน (supply) 115

อปสงค (demand) 115

ก ำหนดกำรเชิงเส้นจ...

Documents

Transcript of ก ำหนดกำรเชิงเส้นจ...