9.89.8 空间角空间角

【教学目标】

掌握二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小

【知识梳理】

空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。其取值范围分别是：0° ≤90° 、 0°≤ ≤90° 、 0° ≤180°. 空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法和向量法 .

【点击双基】 1 ．如果平面的一条斜线长是它在这个平面上射影长的 3 倍，那么这条斜线与平面所成角的余弦值为…………………………… ..( )

A. B. C. D. 1

32 3

3

2

2

2

3

A

2. 平面 α 的斜线与 α 所成的角为 30°, 则此斜线和 α 内所有不过斜足的直线所成的角的最大值为……………………………… ..( )

A. 30° B.60° C.90° D.150°

C

【点击双基】 3. 如果向量 a=(1,0,1),b=(0,1,1) 分别平行于平面 α,β 且都与此两平面的交线 l 垂直 , 则二面角 α-l-β 的大小是……………… ..( )

A. 90° B. 30° C.45° D.60°

D

4. 在△ ABC 中 ,M,N 分别是 AB,AC 的中点 ,PM⊥平面 ABC, 当 BC=18,PM= 时 ,PN 和平面ABC 所成的角是

3 3

30°

【点击双基】

5.PA,PB,PC 是从 P 点引出的三条射线 ,他们之间每两条的夹角都是 60°, 则直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦值为 .3

3

【典例剖析】

例 1 （ 04 高考广东 18 （ 2 ））如右下图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知AB=4 ， AD=3 ， AA1=2 。 E 、 F 分别是线段 AB 、BC 上的点，且 EB=BF=1 。求直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值。

一、异面直线所成的角

【典例剖析】 二、直线和平面所成的角

例 2 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，∠ ACB=900 ，侧棱 AA1=2 ， D ， E 分别是 CC1 与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是⊿ ABD 的重心 G 。求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小。

A

A1 B1

C

B

C1

D

z

yx

E

G

【典例剖析】 三、二面角的求法

例 3. 在四棱锥 P-ABCD 中，已知 ABCD 为矩形， PA ⊥ 平面 ABCD ，设 PA=AB=a ， BC=2a ，求二面角 B-PC-D 的大小。

B

D

P

C

A

【典例剖析】

例 4 如图 6 ，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 3 ，侧棱 ， D 是 CB 延长线上一点，且 BD=BC, 求二面角 B1-AD-B 的大小。

32

31 AA

C

B1BO

A1

D

C1

z

A

y

x

【补充练习 】 1. （ 01 天津）如图，以正四棱锥 V—ABCD 底面中心 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O—xyz ，其中Ox//BC ， Oy//AB ． E 为 VC 中点，正正四棱锥底面边长为 2a ，高为 h ．（Ⅰ）求（Ⅱ）记面 BCV 为 α ，面 DCV 为 β ，若∠ BED 是二面角 α—VC—β 的平面角，求∠ BED ．

;,cos DEBE

【补充练习 】

2 ．（ 04 高考四川卷）如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1

中，∠ ACB=90° ， AC=1 ， CB= ，侧棱 AA1=1,侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D ， B1C1 的中点为M 。求证： (1)CD⊥ 平面 BDM ； (2) 求面 B1BD 与面CBD 所成二面角的大小。

2

A

B

C

A'

B'

C'

D

M