§9.4 自感与互感

当一个线圈中的电流发生变化时，它所激发的磁场穿过线圈自身的磁通量发生变化，从而在线圈本身产生感应电动势，这种现象称为自感现象，相应的电动势称为自感电动势。

1 、自感现象

i

一、自感电动势 自感

2

1 ）自感 IΦL

若线圈有 N 匝，

ILNΦ 自感 磁通匝数

B

I

无铁磁质时 , 自感仅与线圈形状、磁介质及 N 有关 .

注意

穿过闭合电流回路的磁通量 LIΦB I 则 没有铁磁质时，根据磁通量的定义及 Biot-Savart 定律，

2 、自感系数

L 为自感系数 , 简称自感或电感。单位：亨利 (H)

3

0d

d t

L当 时，

d

dL

IL

t

d d d( )

d d dL

Φ I LL I

t t t 2 ）自感电动势

自感 ddL

IL

t

单位： 1 亨利 （ H ） = 1 韦伯 / 安培 （ 1 Wb / A ）

H10Hμ1,H10mH1 63

3 、自感的计算

例 1 ．有一长直螺线管，长度为 l(l >>R) ，横截面积为 S ，线圈总匝数为 N ，试求其自感系数。解：当有电流 I 时，管内磁场看作是均匀的，磁感应强度的大小为：

nIIl

NB 00

穿过螺线管的磁通量

nISNNBS 0＝＝自感系数为

nSll

NnSN

IL 00

＝

令 V=Sl 为螺线管的体积

VnL 2

0＝

增大 L 的方法：(1) 增大 n(2) 放入磁介质

I

l

Sn

•假设电流 I 分布 计算磁场 B 分布 计算由 L=/I求出 L

5

二、互感现象 互感系数由于一个回路中的电流变化而在邻近另一个回路中产生感应电动势的现象，称为互感现象。

I

I

C1

N2C2

N1

图中所示是绕有 C1 和 C2 两层线圈的长直螺 线管，长度均为 l ，截 面的半径都是 r ． C1 线 圈共有 N1 匝，当其中通有电流 I1 时，其磁场在

C2 线圈每匝中的磁通为：

210 1

NI r

l

6

所以，通过 C2 线圈 N2 匝的全磁通：21 2

21 0 1

N NI r

l

当 I1 变化时，在 C2 线圈回路中将产生感生电动势：

221 1 2 121 0

d N N dIr

dt l dt

将上式改写为：1

21 21

dIM

dt

式中： 21 221 0

N NM r

l

7

同样，当 C2 线圈中 I2 变化时，在 C1 回路中也将产生感生电动势：

21 2 2 221 0 12

N N dI dIr M

l dt dt

上式中可以看出：21 2

21 12 0

N NM M r M

l

M 反映了两回路间产生感生电动势的能力，称为互感系数或互感。互感的单位也是亨利（ H ）

若两个回路的相对位置固定，且周围没有铁磁性物质，则：

21 12

1 2

MI I

8

现仍以两层螺线管为例，讨论自感与互感的关系，以知原线圈的自感：

1

22

1 0

NL r

l

同理，副线圈的自感系数：

2

22

2 0

NL r

l

由此可见：

21 2 1 2,M L L M L L

9

只有一个回路所产生的磁感应线全部穿过另一回路，才有上述关系。对于一般的情形：

1 2M K L L

0K 1 ，称为偶合系数。

互感的计算

•假设一个线圈电流 I 分布•计算该线圈产生的磁场在另一线圈产生的磁通量•由 M=/I 求出互感系数

一般情况下，互感和自感一样只和两回路的形状，相对位置及周围磁介质有关，而与电流无关。

23/4/21

b

d lI

xo

xI

Bπ2

xlx

IsBΦ d

π2dd

bd

dxl

xI

Φ dπ2

解 设长直导线通电流 I

xdx

例 1 在磁导率为 的均匀无限大的磁介质中 , 一无限长直导线与一宽长分别为 和 的矩形线圈共面 , 直导线与矩形线圈的一侧平行 , 且相距为 . 求二者的互感系数 .

dlb

11

)ln(π2 d

dblIΦ

M

bd

dxl

xI

Φ dπ2

)ln(π2 d

dbIl

2b

lI

2b

若导线如左图放置 , 根据对称性可知 0Φ

xd

b

d l

x

I

xo

0M 得

12

自感线圈磁能

2m 2

1LIW

l

r2

R

9.5 磁场的能量当线圈中的电流由 0→I 过程中 ,dt时间内电源抵抗自感电动势作功 :

idtdA L

dt

diLL LididA

2

0 2

1LILididAA

I

线圈中储存的自感磁能2

2

1LIWL

同理可证明 , 切断电源后 , 自感电动势在电流减少过程中作的功 : 20

2

1LILidiidtA

IL

13

nIBVnL ,2

222m )(

2

1

2

1

n

BVnLIW

V

B

2

2

1 Vwm

磁场能量密度 BHHB

w2

1

2

1

22

2

m

磁场能量 VV

VB

VwW d2

d2

mm

自感线圈磁能 2m 2

1LIW

LI

例 3 ．如图示，在纸面所在的平面内有一载有电流 I 的无限长直导线，其旁另有一边长为 l 的等边三角形线圈 ACD．该线圈的 AC 边与长直导线距离最近且相互平行．今使线圈 ACD 在纸面内以匀速 v 远离长直导线运动，且 v 与长直导线相垂直．求当线圈 AC 边与长直导线相距为 a 时，线圈 ACD 内的动生电动势 ε ．

C

D

A

I

a

vl

解：设线圈回路以 A→C→D→A 的绕向为动生电动势 ε 的正向，与直导线平行的 AC 边产生的动生电动势

)2/(0 aIvlvlBAC

其它两边产生的动生电动势大小相等绕向相同．如图示，在 CD 边上选一线元 dl ，则其上的动生电动势

Bv

dxdl 30cos

xa

dxIvd

CD

30cos

60cos

20

)(260cos 0

xaIdl

v

23

00

2/32/1

2l

CD xadxIv

alaIv 23

ln23 0

ldBvd CD

)( dlvB 012cos

a

x

C

D

A

I

v

B

o

ld

dx

CDAC 2 ]23

ln3

32[

20

ala

alIv

16

例题：

如图所示，在均匀磁场中有一金属框架aOba ， ab 边可无摩擦自由滑动，已知∠ aob ＝， ab Ox⊥ ，磁场随时间变化规律为 B t= t2/2 。若 t ＝ 0 时， ab 边由 x ＝ 0 处开始以速率 v 作平行于 X 轴的匀速滑动。试求任意时刻 t 金属框中感应电动势的大小和方向。解 : 由于 B 随时间变化，同时 ab导线切割磁场线，故回路中既存在感生电动势，又存在动生电动势。由法拉第电磁感应定律可知， t时刻金属框中感应电动势的大小为：

Ob

a

v

B

l

x

17

感动

)2

1(

d

d

2

1)

2

1(

d

dd

d

d

d

d

)(d

d

d

2tt

lxlxt

B

t

BS

t

SB

t

BS

t

动 的方向从 b 指向 a ， 感的方向为逆时针方向。将 x ＝ v t ， l ＝ xtan ＝ v t tan 代人上式，则

2 2 2 2 2 2 2 21 d 1 1 d 1( tan ) tan ( ) tan

2 d 2 2 d 2t t t t t

t t v v v

注释 : 对于这类问题，既可直接用法拉第电磁感应定律求解总的感应电动势，也可分别计算动生电动势和感生电动势，即假设磁场不变化，金属棒切割磁场线，求动，再假设金属棒不动，因磁场变化，求感。最后求出总的感应电动势。