6. Plenum 6.11.2009 Ganzrationale Funktionen

Funktionen II – Ganzrationale FunktionenMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11

6. Plenum6.11.2009

Ganzrationale Funktionen


Was sind noch mal Potenzfunktionen?

Funktionen der Form x a x n

mit n N und a R nenntman

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten.


. . . in der Übersicht

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

x

y

mit ungeraden Exponenten

Graphen von einfachen Potenzfunktionen (a=1)

mit geraden Exponenten

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

x2

x4

x6

xx3

x5

x7


Lernangebot

1. Ein neuer Funktionstyp: Ganzrationale Funktionen

2. Verhalten für x —› ± ∞ mit Übungen3. Symmetrie: allgemein

bei ganzrationalen Funktionen


Term zur Volumenberechnung : (30-2x)(21-2x)x

Anwendungsbeispiel

Volumen einer Schachtel

Funktion zur Volumenberechnung in Abhängigkeit von xV(x) = 4x3 - 102x2 + 630x

Definitionsmenge D = {x| x є R, 0< x < 10,5}

21 - 2

x


Definitionen

Neue Funktionsterme

4x3 - 102x2 + 630x-7x5 + 2x3 – 4,2

3x6 –x5 + 6x4 – 9x3 – 88x2 + 10x -7

Terme der Formaannxxnn + a + an-1n-1xxn-1n-1 + ... + a + ... + a11x + ax + a00

mit n є N und an≠ 0 nennt man PolynomePolynome

Der höchste Exponent nn heißt GradGrad des Polynoms.

Die reellen Zahlen aan n bis aa0 0 heißen KoeffizientenKoeffizienten..


Definitionen

Ganzrationale FunktionenEine Funktion f mit einem Polynom als

Funktionsterm nennt man eine ganzrationale Funktionganzrationale Funktion.

1x5-7x f(x) 4

2x-4)-x(x g(x)

-4xg(x)

1xx h(x)

2

4 3 2

1

0

a 7,a a 0,a - 5, a 1

0a -4, a 1, Grad

0

1

Der Funktionsterm ist kein Polynom → h ist keine ganzrationale Funktion

Grad 4


Ganzrationale Funktionen unter der Lupe

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-1000

-800

-600

-400

-200

200

400

600

800

1000

x

y

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-1000

-800

-600

-400

-200

200

400

600

800

1000

x

y

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

3. Grades unter der Lupe

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

f(x)= xf(x)= x33 - x - x

f(x)= xf(x)= x3 3 + x+ x22 - 2x - - 2x -22

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-300

-200

-100

100

200

300

400

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-300

-200

-100

100

200

300

400

x

y


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-200

-100

100

200

300

400

500

600

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-200

-100

100

200

300

x

y


-1.4 -1.2 -1.0 -0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4

-2

-1

1

2

3

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-200

-100

100

200

300

x

y


f(x)= xf(x)= x44 - 2x - 2x3 3 - x- x22 + 2x + 2x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-200

-100

100

200

300

400

500

600

x

y

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

f(x)= xf(x)= x44 - 3x - 3x3 3 - x- x22 + 3x + 3x



-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

x

y

-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

x

y

-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

x

y


f(x)= xf(x)= x55 - x - x3 3

f(x)= -xf(x)= -x55 + 1,27x + 1,27x3 3 – 0,15x– 0,15x22 + + 0,2376x0,2376x


-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

g

f

Direkter Vergleich PotenzfunktionenPotenzfunktionen - ganzrationaleganzrationale FunktionenFunktionen

-3 -2 -1 1 2 3

-20

-10

10

20

x

y

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

2000

4000

6000

8000

10000

12000

x

y

f(x)= xf(x)= x33 g(x)= xg(x)= x33 - x - x

aus der Nähe

f(x)= xf(x)= x44 g(x)= xg(x)= x44 - 2x - 2x33 – x – x22 +2x+2x

aus der Ferne


Kurvenverlauf

f(x) =f(x) = aannxxnn + a + an-1n-1xxn-1n-1 + ... + a + ... + a11x + ax + a00

Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f vom Grad n wird für x ∞ bzw. x - ∞ vom Summanden aannxxnn bestimmt.

Ist aann > 0 > 0 und n geraden gerade so folgt für f(x):für x - ∞ gilt: f(x) + ∞. für x + ∞ gilt: f(x) + ∞.

Ist aann < 0 < 0 und n geraden gerade so folgt für f(x):für x - ∞ gilt: f(x) - ∞. für x + ∞ gilt: f(x) - ∞.


Kurvenverlauf

Ist aann > 0 > 0 und n ungeraden ungerade so folgt für f(x):für x - ∞ gilt: f(x) - ∞. für x + ∞ gilt: f(x) + ∞.

Ist aann < 0 < 0 und n ungeraden ungerade so folgt für f(x):für x - ∞ gilt: f(x) + ∞. für x + ∞ gilt: f(x) - ∞.

f(x) =f(x) = aannxxnn + a + an-1n-1xxn-1n-1 + ... + a + ... + a11x x + a+ a00


Casting - Beispiel

CCaassttiinngg:: DDeeuuttsscchhllaanndd ssuucchht t ddeenn KKuurrvveennssttaarr

f(x) = -xf(x) = -x44 +3x +3x33 +x +x22 -3x -3x f(x) =f(x) = -x-x44 +3x+3x33 +x +x22 -3x -3x


Casting 1A

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar

f(x) = 2xf(x) = 2x55 +3x +3x44 –7x –7x


Casting 1B


f(x) = f(x) = 2x2x55 +3x +3x44 –7x –7x


Casting 2A


f(x) = 7xf(x) = 7x44 –7x –7x55 +x +x22


Casting 2B


f(x) = 7xf(x) = 7x44 –7x–7x55 +x +x22


Casting 3A


f(x) = 10 -x +xf(x) = 10 -x +x22 -x -x33 +4x +4x4 4 -10x-10x55 +x +x66 -x -x7 7 +x+x88


Casting 3B


f(x) = 10 -x +xf(x) = 10 -x +x22 -x -x33 +4x +4x4 4 -10x-10x55 +x +x66 -x -x7 7 +x+x88


Casting 4A


f(x) = f(x) = 5x5x66 –50x –50x55 +75x +75x44 +1280x +1280x33 +580x +580x2 2 -6480x +14240-6480x +14240


Casting 4B


f(x) = f(x) = 5x5x66 –50x –50x55 +75x +75x44 +1280x +1280x33 +580x +580x2 2 -6480x +14240-6480x +14240


-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Symmetrie

Achsensymmetrie zur y-Achse:

zu –x und zu x gehört derselbe y-Wert

-2 -1 1 2

-5-4-3-2-1

12345

x

y

Punktsymmetrie zum Ursprung:

die zu –x und zu x gehörige y-Werte unterscheiden sich nur

durch das Vorzeichen

f(-x) = f(x)f(-x) = f(x)

f(-x) = -f(x)f(-x) = -f(x)


Symmetrie – einfach zu erkennen

Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit geradengeraden HochzahlenHochzahlen, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achseachsensymmetrisch zur y-Achse. Solche ganzrationalen Funktionen heißen geradegerade.

Bei ganzrationalen Funktionen erkennt man eine vorhandene Symmetrie sehr

schnell.

Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit ungeradenungeraden HochzahlenHochzahlen, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprungpunktsymmetrisch zum Ursprung. Solche ganzrationalen Funktionen heißen ungeradeungerade.

f(x)= -3x6 + 5x2 g(x)= x400 - 3x78 – 77

h(x)= 4x7 - 5x3 + 9xk(x)= -22x431 - 3x91


Die drei Fragen

1. Erkläre die Begriffe: „ Polynom“ und „ganzrationale Funktion“.

2. Welchen Verlauf haben die Graphen der ganzrationalen Funktionen im Vergleich zu den Potenzfunktionen?

3. Wie erkenne ich, welche dieser Funktionen Symmetrieeigenschaften besitzen?


Aufgaben

Stunde 1 2

BASIC´s LS11 Seite 91: A 3 Seite 91: A 4 Seite 91: A 5

LS11 Seite 93: A 2c,f,i A 3

TOP´s LS11 Seite 99: A 4 LS11 Seite 93: A 4 A 5

LS11 Seite 99: A 8

LS11 Seite 93: A 7

Viel Erfolg!

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