对数及其运算

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对数及其运算. 对数. 2000 年我国国民经济生产总值为 a 亿元 , 如果按平均每年增长 8.2% 估算 , 那么经过多少年国民经济生产总值是 2000 年的两倍 . 假设经过 x 年 , 国民经济生产总值是 2000 年的 2 倍 , 依题意 , 有 a (1+8.2%) x =2 a , 即 1.082 x = 2. 指数 x 取何值时满足这个等式 ?. 真数. 底数. 对数概念. 如果 a ( a >0, a ≠1) 的 b 次幂等于 N , 即 a b = N , 那么数 b 叫作以 a 为底 N 的 对数 , 记作 - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: 对数及其运算

对数及其运算

Page 2: 对数及其运算

对数

Page 3: 对数及其运算

2000 年我国国民经济生产总值为 a亿元 ,如果按平均每年增长 8.2% 估算 ,那么经过多少年国民经济生产总值是 2000 年的两倍 . 假设经过 x 年 ,国民经济生产总值是 2000 年的2倍 ,依题意 ,有 a(1+8.2%)x=2a,即 1.082x=2

指数 x 取何值时满足这个等式 ?

Page 4: 对数及其运算

如果 a(a>0,a≠1)的 b次幂等于 N, 即 ab=N,那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数 , 记作 logaN=b

底数

真数

对数概念

Page 5: 对数及其运算

a>0,a≠1?log(-2)8

log01

log15

log11

不存在不存在不存在有无数个值

对于某些 N, 值不存在

对于某些 N, 值不存在

对于某些 N, 值不存在

对于 N=1, 值不唯一

在实数范围内 ,正数的任何次幂都是正数 ,所以 ab=N 中 ,N 总是正数 , 即 : 零和负数没有对数 . N>0

Page 6: 对数及其运算

对任何实数 a(a>0,a≠1), 指数函数 y=ax,x∈R 的值域是 (0,+∞),所以对任何实数 N,logaN 是存在 ,且由于指数函数是单调函数 ,logaN 是唯一 .

Page 7: 对数及其运算

练一练将下列对数形式写成对数形式

.01.010 ;48 ;644 ;2082.1 23

23 x

log1.0822=x

log464=3

log84=

log100.01=-2

3

2

以 1.082 为底 2 的对数是 x

以 4 为底 64 的对数是 3

以 8 为底 4 的对数是

以 10 为底 0.01 的对数是 -23

2

Page 8: 对数及其运算

思考(1) 式子 ab=N 和 logaN=b(a>0,a≠1,N>0)有什么关系 ?

logaN=bab=N

底数 (a>0,a≠1)

真数幂

指数 对数对数式与指数的关系

Page 9: 对数及其运算

思考(2) 求对数 loga1,logaa(a>0,a≠1).对于 a>0,a≠1都有

a0=1,a1=a所以

loga1=0

logaa=1

Page 10: 对数及其运算

?3 log 有什么关系与Na Na

思考

令 b=logaN

知 ab=N 即

alogaN=N

Page 11: 对数及其运算

通常将以 10为底的对数叫作常用对数 ,N的常用对数 log10N 简记作 lgN.

e 是一个重要的常数 ,是无理数 ,它的近似值为 2.71828. 科学技术中常以 e 作为对数的底数 ,以 e 为底的对数称为自然对数 .N的自然对数 logeN 简记作 lnN.

常用对数及自然对数

Page 12: 对数及其运算

例题讲解例 1 将下列指数式写成对数式 :

.1554 16;83

;27

132 ;62551

3

4

3-4

a

;4635log1 5 解 ;327

1log2 3

;3

416log3 8 ;15log4 5 a

Page 13: 对数及其运算

例 2 将下列对数式写成指数式

.11.0lg4 ;327

1log3

;5234log2 ;416log1

3

1

3

2

1

例题讲解

;162

11

4

解 ;23432 5

;27

1

3

13

3

.1.0104 1

Page 14: 对数及其运算

例题讲解例 3 求下列各式的值 :

.5.2log5 ;1ln4

;33 ;32log2 ;25log1

5.2

10log

2

153

;225log25,51 52 所以因为解

;532log32,2

12

2

1

-5

所以因为

;1033 10log3 ;01ln4 .15.2log5 5.2

Page 15: 对数及其运算

练习1.将下列系数式写成对数式 :

.4

1644 ;

4

9

8

273

;102422 ;72931

3

13

2

106

6729log1 3 011024log2 2

3

2

4

9log3

8

27 3

1-

4

1log4 64

Page 16: 对数及其运算

练习2.将下列对数式写成指数式 :

.2.4log4 ;40001.0lg3

;2

3125log2 ;9512log1

3

1

252

m

51221 9 125252 2

3

0001.0013 -4 2.43

14

m

Page 17: 对数及其运算

练习3.求下列对数的值 :

17log8 ;01.0lg7 ;343log6 ;25.6log5

;1log4 ;525log3 ;81

1log2 ;000 1lg1

1775.2

4.03

59

(1)3 (2)-2 (3)5 (4)0

(5)2 (6)3 (7)-2 (8)1

Page 18: 对数及其运算

对数的运算性质

Page 19: 对数及其运算

1. 填出下表各组的值,并从数据中分析等量关系,猜想对数的运算性质

动手实践

第一组式 log28 log232 log2(8×32)

值猜想性质

)328(log32log8log 222

3 5 8

Page 20: 对数及其运算

1. 填出下表各组的值,并从数据中分析等量关系,猜想对数的运算性质

动手实践

第二组式 lg1000 lg100 000

值猜想性质

5

3

10

10lg

3 - 25

5

3

10

10lg100000lg1000lg

Page 21: 对数及其运算

1. 填出下表各组的值,并从数据中分析等量关系,猜想对数的运算性质

动手实践

第三组式 log335 5·log33

值猜想性质

3log53log 35

3

5 5

Page 22: 对数及其运算

2, 利用科学计算器 ,完成下表 (精确到 0.000001) 并从数据中分析等量关系 ,猜想对数的运算性质

1.0039371.1448461.305865

0.0129520.0629060.397940lgM - lgN

0.0129520.0629060.397940

10.8654710.2159102.210411lgM·lgN

6.5925760.9314453lgM+lgN

6.5925760.9314453lg(MN)

19492.71828120N

20083.14159650M

N

M

lg

lg

N

Mlg

Page 23: 对数及其运算

对数的运算性质

.logloglog3

;loglog2

;logloglog1

,0,0,0,0

NMN

M

RnMnM

NMMN

NMaa

aaa

an

a

aaa

则如果

.logloglog3

;loglog2

;logloglog1

,0,0,0,0

NMN

M

RnMnM

NMMN

NMaa

aaa

an

a

aaa

则如果

Page 24: 对数及其运算

对数的运算性质

;logloglog1

,0,0,0,0

NMMN

NMaa

aaa 则如果

;logloglog1

,0,0,0,0

NMMN

NMaa

aaa 则如果

证明 设 logaM=p,logaN=q, 则由对数定义得ap=M,aq=N.因为 MN=apaq=ap+q, 所以p+q=loga(MN),即 loga(MN)=logaM+logaN

Page 25: 对数及其运算

例 4 计算 .100lg2 ;39log1 5

152

3

解 (1)log3(92×35)=log392+log335

=log334+5log33

=4+5=9;

25

1

10lg5

1100lg2 2

5

1

5

2

Page 26: 对数及其运算

例 5 用 logax,logay,logaz 表示下列各式 : .log3 ;log2 ;log1

22

yz

x

yz

xyzx aaa

(1)logax2yz=logax2+logay+logaz

=2logax+logay+logaz

yz

xa

2

log2 =logax2-logayz

=2logax-(logay+logaz)

=2logax-logay-logaz

yz

xalog3 yzx aa loglog 2

1

zyx aaa logloglog2

1

Page 27: 对数及其运算

例 6 科学家以里氏震级来度量地震的强度 .若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度 ,则里氏震级 r可定义为 r=lgI, 试比较 6.9 级和 7.8级地震的相对能量程度 .解 设 6.9 级和 7.8 级地震的相对能量程度分别为 I1 和 I2, 由题意得

6.9=lgI1

7.8=lgI2

lgI2-lgI1=0.9

9.0lg1

2 I

I810 9.0

1

2 I

I

Page 28: 对数及其运算

思考交流1. 判断下列各式是否成立 ,如果不成立 ,举一个反例 .

.lg

lglglg4

;lglglg3

;lg

lglg2

;lglglg1

N

MNM

NMNM

N

M

N

M

NMMN

2. 对数的运算性质有什么特点 ?

Page 29: 对数及其运算

练习1. 求下列等式中的 x 的值 :(1)logx81=2; (2)lg0.001=x; (3)10x+lg2=2000.

2. 求下列各式的值 :

.4log1log6 ;20lg5lg5

;8

1log8log4 ;4log36log3

;216log2 ;ln1

5.05.0

7733

62

e

9 -3 3

-2

2

2 2

0

1.5

Page 30: 对数及其运算

3. 用 lgx,lgy,lgz 表示下列各式 : .lg3 ;lg2 ;lg1

3

22

3

3

132

zy

xzxyyzx

练习

(1)2lgx+lgy+3lgz

zyx lg2

3lg

3

1lg2

zyx lg2

1lg3lg23

Page 31: 对数及其运算

小结对数的概念

loga1=0 logaa=1 alogaN=N

零和负数没有对数

.logloglog3

;loglog2

;logloglog1

,0,0,0,0

NMN

M

RnMnM

NMMN

NMaa

aaa

an

a

aaa

则如果

.logloglog3

;loglog2

;logloglog1

,0,0,0,0

NMN

M

RnMnM

NMMN

NMaa

aaa

an

a

aaa

则如果

对数的运算性质