对数及其运算
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对数及其运算. 对数. 2000 年我国国民经济生产总值为 a 亿元 , 如果按平均每年增长 8.2% 估算 , 那么经过多少年国民经济生产总值是 2000 年的两倍 . 假设经过 x 年 , 国民经济生产总值是 2000 年的 2 倍 , 依题意 , 有 a (1+8.2%) x =2 a , 即 1.082 x = 2. 指数 x 取何值时满足这个等式 ?. 真数. 底数. 对数概念. 如果 a ( a >0, a ≠1) 的 b 次幂等于 N , 即 a b = N , 那么数 b 叫作以 a 为底 N 的 对数 , 记作 - PowerPoint PPT Presentation
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对数及其运算
对数
2000 年我国国民经济生产总值为 a亿元 ,如果按平均每年增长 8.2% 估算 ,那么经过多少年国民经济生产总值是 2000 年的两倍 . 假设经过 x 年 ,国民经济生产总值是 2000 年的2倍 ,依题意 ,有 a(1+8.2%)x=2a,即 1.082x=2
指数 x 取何值时满足这个等式 ?
如果 a(a>0,a≠1)的 b次幂等于 N, 即 ab=N,那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数 , 记作 logaN=b
底数
真数
对数概念
a>0,a≠1?log(-2)8
log01
log15
log11
不存在不存在不存在有无数个值
对于某些 N, 值不存在
对于某些 N, 值不存在
对于某些 N, 值不存在
对于 N=1, 值不唯一
在实数范围内 ,正数的任何次幂都是正数 ,所以 ab=N 中 ,N 总是正数 , 即 : 零和负数没有对数 . N>0
对任何实数 a(a>0,a≠1), 指数函数 y=ax,x∈R 的值域是 (0,+∞),所以对任何实数 N,logaN 是存在 ,且由于指数函数是单调函数 ,logaN 是唯一 .
练一练将下列对数形式写成对数形式
.01.010 ;48 ;644 ;2082.1 23
23 x
log1.0822=x
log464=3
log84=
log100.01=-2
3
2
以 1.082 为底 2 的对数是 x
以 4 为底 64 的对数是 3
以 8 为底 4 的对数是
以 10 为底 0.01 的对数是 -23
2
思考(1) 式子 ab=N 和 logaN=b(a>0,a≠1,N>0)有什么关系 ?
logaN=bab=N
底数 (a>0,a≠1)
真数幂
指数 对数对数式与指数的关系
思考(2) 求对数 loga1,logaa(a>0,a≠1).对于 a>0,a≠1都有
a0=1,a1=a所以
loga1=0
logaa=1
?3 log 有什么关系与Na Na
思考
令 b=logaN
知 ab=N 即
alogaN=N
通常将以 10为底的对数叫作常用对数 ,N的常用对数 log10N 简记作 lgN.
e 是一个重要的常数 ,是无理数 ,它的近似值为 2.71828. 科学技术中常以 e 作为对数的底数 ,以 e 为底的对数称为自然对数 .N的自然对数 logeN 简记作 lnN.
常用对数及自然对数
例题讲解例 1 将下列指数式写成对数式 :
.1554 16;83
;27
132 ;62551
3
4
3-4
a
;4635log1 5 解 ;327
1log2 3
;3
416log3 8 ;15log4 5 a
例 2 将下列对数式写成指数式
.11.0lg4 ;327
1log3
;5234log2 ;416log1
3
1
3
2
1
例题讲解
;162
11
4
解 ;23432 5
;27
1
3
13
3
.1.0104 1
例题讲解例 3 求下列各式的值 :
.5.2log5 ;1ln4
;33 ;32log2 ;25log1
5.2
10log
2
153
;225log25,51 52 所以因为解
;532log32,2
12
2
1
-5
所以因为
;1033 10log3 ;01ln4 .15.2log5 5.2
练习1.将下列系数式写成对数式 :
.4
1644 ;
4
9
8
273
;102422 ;72931
3
13
2
106
6729log1 3 011024log2 2
3
2
4
9log3
8
27 3
1-
4
1log4 64
练习2.将下列对数式写成指数式 :
.2.4log4 ;40001.0lg3
;2
3125log2 ;9512log1
3
1
252
m
51221 9 125252 2
3
0001.0013 -4 2.43
14
m
练习3.求下列对数的值 :
17log8 ;01.0lg7 ;343log6 ;25.6log5
;1log4 ;525log3 ;81
1log2 ;000 1lg1
1775.2
4.03
59
(1)3 (2)-2 (3)5 (4)0
(5)2 (6)3 (7)-2 (8)1
对数的运算性质
1. 填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质
动手实践
第一组式 log28 log232 log2(8×32)
值猜想性质
)328(log32log8log 222
3 5 8
1. 填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质
动手实践
第二组式 lg1000 lg100 000
值猜想性质
5
3
10
10lg
3 － 25
5
3
10
10lg100000lg1000lg
1. 填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质
动手实践
第三组式 log335 5·log33
值猜想性质
3log53log 35
3
5 5
2, 利用科学计算器 ,完成下表 (精确到 0.000001) 并从数据中分析等量关系 ,猜想对数的运算性质
1.0039371.1448461.305865
0.0129520.0629060.397940lgM － lgN
0.0129520.0629060.397940
10.8654710.2159102.210411lgM·lgN
6.5925760.9314453lgM+lgN
6.5925760.9314453lg(MN)
19492.71828120N
20083.14159650M
N
M
lg
lg
N
Mlg
对数的运算性质
.logloglog3
;loglog2
;logloglog1
,0,0,0,0
NMN
M
RnMnM
NMMN
NMaa
aaa
an
a
aaa
则如果
.logloglog3
;loglog2
;logloglog1
,0,0,0,0
NMN
M
RnMnM
NMMN
NMaa
aaa
an
a
aaa
则如果
对数的运算性质
;logloglog1
,0,0,0,0
NMMN
NMaa
aaa 则如果
;logloglog1
,0,0,0,0
NMMN
NMaa
aaa 则如果
证明 设 logaM=p,logaN=q, 则由对数定义得ap=M,aq=N.因为 MN=apaq=ap+q, 所以p+q=loga(MN),即 loga(MN)=logaM+logaN
例 4 计算 .100lg2 ;39log1 5
152
3
解 (1)log3(92×35)=log392+log335
=log334+5log33
=4+5=9;
25
1
10lg5
1100lg2 2
5
1
5
2
例 5 用 logax,logay,logaz 表示下列各式 : .log3 ;log2 ;log1
22
yz
x
yz
xyzx aaa
(1)logax2yz=logax2+logay+logaz
=2logax+logay+logaz
yz
xa
2
log2 =logax2-logayz
=2logax-(logay+logaz)
=2logax-logay-logaz
yz
xalog3 yzx aa loglog 2
1
zyx aaa logloglog2
1
例 6 科学家以里氏震级来度量地震的强度 .若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度 ,则里氏震级 r可定义为 r=lgI, 试比较 6.9 级和 7.8级地震的相对能量程度 .解 设 6.9 级和 7.8 级地震的相对能量程度分别为 I1 和 I2, 由题意得
6.9=lgI1
7.8=lgI2
lgI2-lgI1=0.9
9.0lg1
2 I
I810 9.0
1
2 I
I
思考交流1. 判断下列各式是否成立 ,如果不成立 ,举一个反例 .
.lg
lglglg4
;lglglg3
;lg
lglg2
;lglglg1
N
MNM
NMNM
N
M
N
M
NMMN
2. 对数的运算性质有什么特点 ?
练习1. 求下列等式中的 x 的值 :(1)logx81=2; (2)lg0.001=x; (3)10x+lg2=2000.
2. 求下列各式的值 :
.4log1log6 ;20lg5lg5
;8
1log8log4 ;4log36log3
;216log2 ;ln1
5.05.0
7733
62
e
9 -3 3
-2
2
2 2
0
1.5
3. 用 lgx,lgy,lgz 表示下列各式 : .lg3 ;lg2 ;lg1
3
22
3
3
132
zy
xzxyyzx
练习
(1)2lgx+lgy+3lgz
zyx lg2
3lg
3
1lg2
zyx lg2
1lg3lg23
小结对数的概念
loga1=0 logaa=1 alogaN=N
零和负数没有对数
.logloglog3
;loglog2
;logloglog1
,0,0,0,0
NMN
M
RnMnM
NMMN
NMaa
aaa
an
a
aaa
则如果
.logloglog3
;loglog2
;logloglog1
,0,0,0,0
NMN
M
RnMnM
NMMN
NMaa
aaa
an
a
aaa
则如果
对数的运算性质
