一、要点复习：正弦定理

正弦定理： RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

（其中： R 为△ ABC 的外接圆半径）

BCa

A’2R

A

二、正弦定理的变形R

C

c

B

b

A

a2

sinsinsin

B

b

A

a

sinsin

C

c

B

b

sinsin

A

a

C

c

sinsin

1, 2, asinB=bsinA

bsinC= csinB

asinC=csinA

正弦定理的变形R

C

c

B

b

A

a2

sinsinsin

3 、边角分离

ARa sin2BRb sin2CRc sin2

R

aA

2sin

R

bB

2sin

R

cC

2sin

CBA

cba

sinsinsin 4 ，

BA

ba

sinsin

A

a

sin R2

5, a:b:c=sinA:sinB:sinC

正弦定理的变形R

C

c

B

b

A

a2

sinsinsin

1 ，面积三、三角形的面积及常用关系式

(1) hhhS cbaABCcba

2

1

2

1

2

1

(2) AbcBacCabS ABCsin

2

1sin

2

1sin

2

1

(3) rcbaS ABC)(

2

1

r 为△内切圆半径

2, 常用关系式

(1)A+B+C=π

(2) sin(A+B)=sinC

cos(A+B)= － cosC

(3) 2

cos2

sincBA

2sin

2cos

CBA

四、正弦定理应用

（ 1 ）已知两角和任意一边

（ 2 ） 已知两边和其一对角

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

BC

A

a

bc

例题讲解

例 1 在 中，已知 ，求 b （保留两个有效数字） .

ABC 30,45,10 CAc

解：∵ 且C

cB

bsinsin

105)(180 CAB

1930sin

105sin10sinsin

CBc

b　

例 2 在 中，已知 ，求 .ABC 45,24,4 Bba A

例题讲解

解：由 B

bA

asinsin

得 21sin

sin b

BaA

∵ 在 中 ABC ba

∴ A 为锐角

30A　

例题讲解

例 3 在 中， ，求 的面积 S ．　　ABC

)13(2,60,45 aCBABC

BacCab sin21

sin21 Abc sin

21

h

A

B C

aABC ahS21

三角形面积公式

解： 75)(180 CBA

∴ 由正弦定理得 4

426

)22

)(13(2

sinsin

ABa

b

326)23

(4)13(221

sin21 CabS ABC

在 ABC 中，已知 2b=a+c ，证明：

2sinB=sinA+sinC

问题 1 ：

引：能找到三角形各边与对角正弦的关系吗？

导：如何利用正弦定理证明以上关系？

C

A

Ba

c b

证明：由 得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

即 2sinB=sinA+sinC

a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 　　　　，

将此式 代入 2b=a+c 得2•2RsinB=2RsinA+2RsinC

灵活运用

变式 1 ： 在 ABC 中，已知 b2 =a • c ，证明：

sin2B=sinA • sinC

C

A

Ba

c b

证明：由 得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 　　　　，

（ 2RsinB ） = （ 2RsinA ）（ 2RsinC ）2

将此式 代入 b =a • c 得2

即 sin B=sinA • sinC2

变式 2 ： 在 ABC 中，已知 bcosA=acosB ，

判断三角形的形状。 解：由 得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

B

b

A

a

sinsin

a=2RsinA ， b=2RsinB 　　　　，

将此式 代入 bcosA=acosB 得（ 2RsinB ） cosA= （ 2RsinA ） cosB

sinAcosB - cosAsinB=0 , Sin(A – B) =0

由 -<A- B< 知 A –B=0 , 即 A=B

所以 , 此三角形为等腰三角形

动手实践： 1. 在 ABC 中，已知 acosA=bcosB ，判断三角形的形状。

又 0<2A 、 2B<

所以 , 此三角形为等腰三角形或直角三角形。

B

A

b

a

tan

tan2

2

2. 在 ABC 中，已知 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　， , 判断三角形的形状。

1. 解：由 得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

B

b

A

a

sinsin

a=2RsinA ， b=2RsinB 　　　　，

将此式 代入 acosA=bcosB 得（ 2RsinA ） cosA= （ 2RsinB ） cosB sinAcosA = cosBsinB ,

sin2A = sin2B ,

2A=2B 或 2A= -2B

A=B 或 A+B= 2

2. 解 ( 略 ) 等腰三角形或直角三角形

练习

3 ，在△ ABC 中，已知（ a+b+c)(b+c-a)=3bc, 且sin2A=sinBcosC,判断三角形的形状。