数学史概论 李文林

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第十讲19 世纪的几何与分析 II

分析的拓展 19 世纪的中国数学

分析的拓展 复变函数论 解析数论 微分方程

x

Q-

y

P ,

y

Q

x

P

复变函数论

1782-1812 年拉普拉斯 ( 法 , 1749-1827), 1815年泊松 ( 法 , 1781-1840) 讨论了复函数的积分

泊松

复函数的偏导数与积分性质1752 年和 1777 年获得了达朗贝尔 - 欧拉条件 ( 柯西 - 黎曼条件 )

• 奠基人 柯西 ( 法 , 1789-1857)

黎曼 ( 德 , 1826-1866)

魏尔斯特拉斯 ( 德 , 1815-1897)

• 柯西 ( 法 , 1789-1857 ): 建立复变函数的微分和积分理论

复变函数论

1814 年 , 1825 年的论文详细讨论了复函数的积分《关于积分限为虚数的定积分的报告》 , 建立了柯西积分定理

0d C

zf(z)柯西积分定理

1826 年提出留数概念

1846 年发现积分与路径无关定理

)(

2

1)(

00

zz

dzzf

izf柯西积分公式

1831 年获得柯西积分公式

1789 年法国爆发大革命1792 年建立第一共和国1799 － 1815 年拿破仑当政1814 － 1830 年波旁王朝复辟1830 － 1848 年七月王朝1848 年建立第二共和国1852 － 1870 年第二帝国

复变函数论• 柯西 , 一个复杂的人：多产的科学家、忠诚的保王党人、不出色的教师

• 父亲支持拿破仑 , 与拉普拉斯、拉格朗日交往颇多• 1805 年进入巴黎综合工科学校学习工程 , 1810-1815 参加拿破仑工程建设• 1816 年法国科学院院士、综合工科学校教授， 1821 年巴黎大学教授 • 1821-1829 年出版三部微积分重要著作 , 成为数学分析严格化的开拓者和复变函数论的奠基人 • 1830-1838 年离开法国 : 到瑞士 , 1831 年在都灵 , 1833 年在布拉格

• 1849 年任巴黎理学院数学天文教授 , 1853-1857 年任法兰西学院数学教授• 发表论文 800 多篇，全集 28 卷

柯西 ( 法 , 1989 )

• 黎曼 ( 德 , 1826-1866) : 黎曼面

复变函数论

1851 年博士论文《单复变函数一般理论基础》 黎曼映射定理：存在唯一解析函数将单连通区域 D 双方单

值保形映射为单位圆 阿尔福斯（芬－美， 1907 － 1996 年）：这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何

研究铺平了道路。

• 魏尔斯特拉斯 ( 德 , 1815-1897)• 19 世纪 40 年代建立了幂级数基础上的解析函数理论• 解析开拓• 占据主导地位，三者统一

复变函数论

克莱因（德， 1849 － 1925 年）：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家。……魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系统地逐步前进。在他工作的分支中，他力图达到确定的形式。”

解析数论

1837 年狄里克雷 ( 德 , 1805-1859)解决素数问题

1859 年黎曼 ( 德 , 1826-1866)《论不超过一个给定值的素数个数》 : π(x)与 ζ(s)

.

}{ ,

中有无穷多个素数则算术序列互素与若 nbaba

1896 年阿达玛 ( 法 , 1865-1963)和瓦莱•普桑 (比利时 , 1866-1962) 证明了素数定理 π(x)~x/lnx

狄里克雷定理

1737 年欧拉恒等式 : 解析数论 1s , )1/p-(1

1

n

1

1n pss

解析数论

阿达玛 ( 法 , 1865-1963) 瓦莱•普桑 (比利时 , 1866-1962)

黎曼猜想 (1859)

解析数论

1

1)(

kzk

z

素数分布的研究推向壮丽巅峰为数学家留下魅力无穷的谜团

黎曼猜想 (1859)

解析数论

黎曼猜想 (1859)

解析数论

达朗贝尔 ( 法国 , 1959)

偏微分方程

2

22

2

2

x

uc

t

u

t)-(xt)(x x)u(t, 通解

1n

cossin l

nππ

l

nππau(t, x) n特解

1747 年和 1749 年达朗贝尔 ( 法 , 1717-1783) 和欧拉 ( 瑞 , 1707-1783) 求出解

弦振动方程： 1715 年和 1727 年泰勒( 英 , 1685-1731) 和约翰•伯努利 ( 瑞 , 1667-1748) 分别提出

1753 年丹尼尔•伯努利 ( 瑞 , 1700-1782) 导出了具有正弦周期模式的解

偏微分方程

拉普拉斯 ( 法 , 1955)

0z

V

y

V

x

V2

2

2

2

2

2

02 拉普拉斯 : 1773 年进入巴黎科学院 , 1796 年任法兰西科学院院长 , 1799 年任内政部长 , 1803年任上议院议长 , 1817 年再任法兰西科学院院长 , 并封爵 1789 年研究制定公制系统

位势方程 ( 拉普拉斯方程 ) ： 1752 年欧拉 ( 瑞 , 1707-1783) 提出，拉普拉斯 ( 法 , 1749-1827) 1785 年用球调和函数求解

1796 年《宇宙体系论》的星云假说， 1799 － 1825 年《天体力学》 “ 陛下 , 我不需要这样的假设 !”

偏微分方程02 位势方程 42

1828 年格林 ( 英 , 1793-1841) 《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》提出求解方法

dn

VU

n

UVdvUVVU )()( 格林公式

斯托克斯( 英 , 1819-190

3)

麦克斯韦( 英 , 1831-187

9)

格林 : 诺丁汉磨坊主的儿子 研读拉普拉斯、拉格朗日的著作 , 1828年完成成名之作 (1850 年发表 ) 1833 年剑桥大学自费生 , 1838 年学士 , 积劳成病， 1840 年返回诺丁汉 发表 10 篇论文 , 孕育了剑桥数学物理学派

• 热传导方程

偏微分方程

t

Tk

z

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y

T

x

T

2

2

2

2

2

2

2

1822 年傅里叶《热的解析理论》

• 热传导问题的求解及新的普遍性数学方法的创造• “ 这只有富于生动的想象力和具有适合其工作的清醒的数学哲

学头脑的数学大师才能达到”

傅里叶 ( 法 , 1768-1830)

1807 年傅里叶 ( 法 , 1768-1830) 提出

• 傅里叶级数

偏微分方程

“ 傅里叶是一首数学的诗” 法国大革命时就读于巴黎高等师范学校 , 1795 年在巴黎综合工科学校作为拉格朗日、蒙日的助手 1798 年随拿破仑远征埃及 , 任埃及研究院秘书

1801 年被拿破仑任命为地方高级官员 , 1808 年授予男爵 , 1815 年全力投入学术研究 1817 年就职于法国科学院 , 1822 年当选为终身秘书 , 1827 年被选为法兰西学院院士

傅里叶：“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。数学分析与自然界本身同样的广阔。”

九大行星

常微分方程1781 年，威廉•赫

歇耳

1844 － 1845 年，耶得默斯，勒威烈

八大行星

常微分方程 解的存在性

1820-1830 年柯西获得第一个解的存在性定理

柯西 ( 法 , 1789-1851) 李普希茨 ( 德 , 1832-1903)

1869 年李普希茨条件

皮卡 ( 法 , 1856-1941)

1890 年皮卡逐步逼近定理

1875 年柯西－柯瓦列夫斯卡娅定理

柯瓦列夫斯卡娅，杰出女数学家，发表 10 篇论文 出生贵族家庭，很小对数学痴迷 1869 年，到海德堡 1870 年，到柏林，成为魏尔斯特拉斯的学生 1874 年，哥廷根大学博士 1884 年，斯德哥尔摩大学教授 1888 年，解决“数学水妖”问题 1889 年，彼得堡科学院通讯院士

柯瓦列夫斯卡娅

（俄， 1850 － 1891）

常微分方程 解的定性与稳定性理论

1881-1886 年庞加莱在《由微分方程定义的曲线》创建了微分方程的定性理论

庞加莱 ( 法 , 1854-1912)( 法 , 1952)

李雅普诺夫 (俄 , 1857-1918)

(俄 , 1957)

1892 年李雅普诺夫在《运动稳定性的一般问题》开创了微分方程的稳定性理论

常微分方程 庞加莱 ( 法 , 1854-1912): 显赫的家族 , 多病的童年 1873 年进入巴黎综合工科学校 , 1879 年关于微分方程的论文得到博士学位 , 1882 年提升为巴黎大学教授 , 1906 年当选法国科学院院长 , 1908 年选为法兰西学院院士 “ 我们确信，庞加莱一生中没有片刻的休息。他永远是一位朝气蓬勃的、健全的战士 , 直至他的逝世。” (沃尔泰拉 ) 500 篇科学论文和 30本科学专著 , 开辟了微分方程、动力系统、代数拓扑、代数几何等新方向的研究 19 世纪最后四分之一和 20 世纪初世界数学的领袖人物 , 对数学及应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师 1905 年，鲍约奖（ l0000金克朗） 阿达玛 : 庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”

追求真理应该是我们活动的目标，它是值得我们活动的唯一目的，毫无疑问，世界一日不灭，痛苦终身不能已。如果我们希望越来越多地使人们摆脱物质烦恼，那正是因为他们能够在对真理的研究和思考之中享受到自由。

庞加莱《科学的价值》 (1905)

常微分方程

“呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国之边患。推源其故，制器精也，推源制器之精，算学明也。” “ 人人习算，制器日精，以威海外。”

李善兰李善兰 (( 清清 , 1811, 1811 －－ 18821882年年 ))

《垛积比类》 (1850)

19 世纪的中国数学

李善兰恒等式

q

kqn

k

q

q

qn q

k 2

2

0

2

李善兰李善兰 (( 清清 , 1811, 1811 －－ 18821882 年年 ))翻译部分西方学术著翻译部分西方学术著作作

徐光启等译《几何原本》 后 250年

《几何原本》 (1857)

《谈天》 (1858) 万有引力定律及天体力学

《重学》 (1859) 牛顿运动定律

《代微积拾级》 [ 美 , 罗密士 ](1859) 《代数学》 [英 , 德 •摩根 ] (1859)

19 世纪的中国数学

19 世纪的中国数学

丙对天甲天甲

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)(cx)(a

xa

dx

ln

卯地彳天地彳地天彳天 mydxydyxdx

李善兰 : 天文算学馆数学教习 (1868-1882)

小学略通书数 , 大隐不在山林

京师同文馆

代表 19 世纪中国传统数学最高峰

直线之公式，地＝甲天丄乙，则地为天的函数。

江南制造总局江南制造总局翻译馆华蘅芳 ( 中 )

19 世纪的中国数学

中国近代科学事业的先行者

华蘅芳华蘅芳 (( 清清 , 1833, 1833 －－ 19019022 年年 ))

19 世纪的中国数学

《代数术》 (1872) 《微积溯源》 (1874) 《决疑数学》 (1880)

TTT 壬丁乙辛已甲庚戊丙庚乙已丁辛丙甲戊壬壬辛庚已戊丁丙乙甲

京师大学堂京师大学堂 ( 1898( 1898 － － ))

19 世纪的中国数学

京师大学堂校匾京师大学堂校匾 ( 1898-1912 )( 1898-1912 )

19 世纪的中国数学，求天地人之同数。

五五天四人四地四二地三人三天四五人三地二天

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z.yx

55x-4z4y

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45z-3y2x

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T 二二二二 乙甲二七

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太平天国运动太平天国运动 (1851(1851 －－ 18641864 年年 ))

19 世纪的中国数学

圆明园遗址圆明园遗址

19 世纪的中国数学

中日甲午战争中日甲午战争 (1894-1895(1894-1895年年 ))

19 世纪的中国数学

中国传统数学

　历史存在与文化影响

中国现代数学

　另起炉灶与学习西方

“五四”运动 (1919)

19 世纪的中国数学

周 秦 汉 魏 唐 　宋 元 　 明 清 ( 前 221- 前 206) (220-265) (618-907) (960-1279)(1279-1368)(1368-1644) (1644-1911)

初期

形成体

系 稳步发展

兴盛

期

衰落

期 西方数学传

入

－ 206 220

907

1303

1582 1911

中算之进程

19 世纪的主要数学家

德国

高斯(1777-1855)

魏尔斯特拉斯(1815-1897)

黎曼(1826-1866)

康托(1845-1918)

克莱因(1849-1925)

庞加莱(1854-1912)

法国

傅里叶(1768-1830)

柯西(1789-1857)

英国

哈密顿(1805-1865)

凯莱(1821-1895)

庞加莱、克莱因、希尔伯特，是在 19 和 20世纪数学交界线上高耸着的三个巨大身影，反射着 19世纪数学的光辉，同时照耀着通往 20世纪数学的道路。

第十讲思考题 1 、从柯瓦列夫斯卡娅的数学道路谈数学中的性别歧视。2 、如何理解 19 世纪的数学是“函数论的世纪”？3 、近、现代数学的分界线从何算起？谈谈您的想法。4 、试分析 19 世纪世界数学中心的转移。5 、 19 世纪末中日数学之比较。