正多边形和圆
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问题 1 ,什么样的图形是正多边形?
各边相等 , 各角也相等的多边形是正多边形 .
![Page 4: 正多边形和圆](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082321/5681320d550346895d98614e/html5/thumbnails/4.jpg)
你知道正多边形与圆的关系吗?
正多边形和圆的关系非常密切 , 只要把一个圆分成相等的一些弧 , 就可以作出这个圆的内接正多边形 , 这个圆就是这个正多边形的外接圆 .
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⌒⌒
B
4
⌒
⌒ 1
2
3
A
C D
E
⌒
5
证明:∵ AB=BC=CD=DE=EA
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3AB
∴∠1= 2∠
同理∠ 2= 3= 4= 5∠ ∠ ∠
又∵顶点 A 、 B 、 C 、 D 、 E都在⊙ O上,
∴五边形 ABCDE是⊙ O的内接五边形。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
⌒ ⌒ ⌒
如图 , 把⊙ O 分成把⊙ O 分成相等的5 段弧 , 依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
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正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 .
O·中心角 半径 R
边心距 r
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 .
外接圆的半径叫做正多边形的半径 .
中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距 .
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例 有一个亭子 , 它的地基半径为 4m 的正六边形 , 求地基的周长和面积 ( 精确到0.1m2).
OA
B C
D
EF
R
P
r
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解 : 如图由于 ABCDEF 是正六边形 , 所以它的中心角等于 ,△ OBC 是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径 .
36060
6
因此 , 亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在 Rt△OPC 中 ,OC=4, PC=4
22 2
BC ,
利用勾股定理 , 可得边心距2 24 2 2 3.r
亭子地基的面积
21 124 2 3 41.6(m ).
2 2S lr
OA
B C
D
EF
R
P
r
![Page 9: 正多边形和圆](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082321/5681320d550346895d98614e/html5/thumbnails/9.jpg)
练习:分别求出半径为 R 的圆内接正三角形,正方形的边长,边心距和面积 .
解:作等边△ ABC 的 BC 边上的高 AD, 垂足为D 连接 OB ,则 OB=R
在 Rt△OBD 中 ∠ OBD=30°,
边心距= OD=1.
2R
在 Rt△ABD 中 ∠ BAD=30°,
1 3
2 2AD OA OD R R R ,
cosAD
BADAB
,
32 3 .
cos cos30
RADAB R
BAD
21 1 3 3 33 .
2 2 2 4ABCS BC AD R R R
·
A
B CD
O
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解:连接 OB , OC 作 OE⊥BC 垂足为 E ,
∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°在 Rt△OBE 中为等腰直角三角形
2 2 2BE OE OB
2 22OE OB2
2
2
OBOE
2 2
2 2OE OB R 边心距
22 2 2
2BC BE R R 边长
2 22 2ABCDS AB BC R R 正方形
·
A
B C
D
O
E