1

补充实验

圆周率的近似计算

算的近似计圆周率π

vpa(pi,101)

ans =

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170680

１ . 圆周率 π 的计算历程所谓“圆周率”是指一个圆的周长与其直径的比值。古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。回顾历史，人类对 π 的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。 π 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”直到 19 世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路。

实验时期基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在古代世界，实际上长期使用 π ＝ 3 这个数值。 最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为 3 。这一段描述的事大约发生在公元前 950 年前后。

几何法时期

真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把 π 的值精确到任意精度的方法。由此，开创了圆周率计算的第二阶段。

　圆周长大于内接正多边形周长而小于外切正多边形周长．　据说阿基米德用到了正96 边形才算出他的值域。

在中国刘徽：公元 263 年前后，刘徽提出著名的 “割圆术”求出了比较精确的圆周率。他发现：当圆内接正多边形的边数不断增加后，多边形的周长会越来越逼近圆周长，而多边形的面积也会越来越逼近圆面积。于是，刘徽利用正多边形面积和圆面积之间的关系，从正六边形开始，逐步把边数加倍：正十二边形、正二十四边形，正四十八边形……，一直到正三○七二边形，算出圆周率等于三点一四一六，将圆周率的精度提高到小数点后第四位。

在中国祖冲之 : 　在刘徽研究的基础上，进一步地发展，经过既漫长又烦琐的计算，一直算到圆内接正24576 边形，而得到一个结论： 3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 同时得到 π 的两个近似分数：约率为 22／ 7 ；　　 密率为 355／ 113 。他算出的 π 的 8 位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。

分析法时期

这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。1593 年，韦达（ VieTa）给出

                                                                                                                                                                           

这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它表明仅仅借助数字 2 ，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出 π 值。

接着有多种表达式出现。如沃利斯1650 年给出：

发现了下面的公式

1706 年，英国天文学教授 John Machin 利用

12

1753

arctan12

1753

nxxxx

xxn

n

,2391

arctan451

arctan16

并利用这个公式计算到了圆周率的 100位 .

1914 年，印度数学家 Srinivasa Ramanujan　发表了下面的公式：

0444 99

)263901103()!(4

)!4(22

9801

nnn

nnn

在 1985 年， Gosper 用这个公式计算到了圆周率的 17500000 位．

1989 年 ， David 和 Gregory Chudnovsky 发表了下面的公式

,640320

54514013413591409

)!()!3(

)!6()1(12

1

233

03

n

n

n n

nn

n

.

)640320()!3()!()13591409545140134()!6(

10005426880

033

nnnn

nn

并在 1994 年计算到了 4044000000 位．它的另一种形式是

1995 年 ， 由 David Bailey,Peter Borwein 和 Simon Plouffe 共同发表了下面的圆周率计算公式（简称 BBP 公式）

.68

158

148

218

4161

0

n

n nnnn

　　该公式的最大优点在于：经后来人将该公式变形后打破了传统的计算方法，可以直接计算圆周率的任意第 n 位数，而不是先计算前面的 n-1 位数．

1997 年， Fabrice Bellard 发表了一个比BBP 算法更快的公式

0 110

25634

114

321024

1641

n

n

nnn

从而，大大降低了圆周率近似值的计算量 .

.910

1710

4510

4310

64

nnnn

（ 1 ）

1. 圆周率 的幂级数计算方法

.

Maclaurinarctan

的近似值计算，展开式的利用

x

3 5 1 2 1( 1)arctan .

3 5 2 1

n nx x xx x

n

11 1 ( 1)4arctan 1 4(1 ).

3 5 2 1

n

n

解

).12

)1(51

31

1(41arctan41

n

n

编写下面的程序 :n=10; %选择展开式的次数s=0;digits(22); % 定义计算过程中的精度for k=1:n s=s+4*(-1)^(k+1)/(2*k-1);endvpa(s,20) % 定义显示精度为 20 位

1 14[arctan arctan ]

2 3

,2391

arctan451

arctan16

3 5 2 11

3 5 2 11

1 1 1 1 1 ( 1) 14[

2 3 2 5 2 2 1 2

1 1 1 1 1 ( 1) 1]

3 3 3 5 3 2 1 3

nn

nn

n

n

（ 2）

（ 3 ） Machin 公式

　　　　　　1 .利用下面的等式计算 的值，并与例（）比较

2

21

2 1

21

3 1

31

1( ) ,

8 (2 1)

( 1)( ) ,

12

( 1)( ) ,

32 (2 1)

n

n

n

n

n

an

bn

cn

练习

的数值积分计算方法圆周率.2

.,

]10[

的近似值编写下面的程序计算选取中点为上，等份，在每一个小区间分成，将积分区间

i

n

n=50; % 定义等分积分区间数，可以更改i=0:1/n:1;s=0;for k=1:length(i)-1 s=s+(1/(1+((i(k)+i(k+1))/2)^2))*1/n;end4*s

1

0 2 411

dxx

1

0 211

4 dxx

等分区间数 n

10 3.14242598500110

20 3.14180098689309

50 3.14162598692300

100 3.14160098692312

500 3.14159298692312

1000 3.14159273692313

5000 3.14159265692313

的近似值圆周率

.

1

的近似值圆周率数计算出的给出的是不同等分区间表

表１

数值积分简介

在高等数学中有一类积不出的积分，如

1

1

2

0 4

1

0

2

dxx

dxe x

（概率积分） 　　　（椭圆积分）

利用数值积分法

梯形法抛物线法

输入： x=0:0.1:1; y= exp(-x.^2); trapz(x,y)输出： ans = 0.746211

MATLAB命令•梯形方法 —— trapz(x,y) •抛物线方法—— quad(f,a,b)

1

0

2

dxe x如求积分的近似值

y=inline('exp(-x.^2)'); quad(y,0,1)

ans = 0.746826

梯形方法 抛物线方法

梯形方法

x

y

oa

b1x

2x 3x

公式推导：条件： .],[)( 类间断点上连续或有有限个第一在 baxf

当区间划分为 n 等分时

)(b

adxxf

nsss 21

1s2s

3s4s

n

iii

ii xxxfxf

11

1 ))(2

)()((

, ))()(2)((2

)(1

1

bfxfaf

hTdxxf

n

iin

b

a

——trapz(x,y)

1,,2,1 ,

nkkhaxnab

h k 其中

复化梯形方法

当区间等距划分为 n 个子区间时

nkkhaxn

abh

bfxfafh

Tdxxf

k

n

iin

b

a

,,2,1,0 ,

, ))()(2)((2

)(1

1

x

y

oa

b1x

2x 3x 4x 5x

现对每个子区间再二等分，得到 2n 个子区间

nkkhaxn

abh

bfxx

fxfafh

Tdxxf

k

n

i

iin

iin

b

a

,,2,1,0 ,

, ))()2

(2)(2)((4

)(1

11

12

))2

((2

1

1

1

n

i

iin

xxfhT ))

2((

2

1

1

n

in

hihafhT

))()((2

)( 1

bfaf

abTdxxf

b

a

举例 利用复化梯形算法求 Pi 的近似值 .

x0 1

4

y

))2

((2

1

1

4

12

1

0 2

n

inn

hihafhTTdx

x

))()((21 bfafab

T

取

运用复化梯形算法

输入初值：

输出结果： STOP

No

Yes

clear;a=0;b=1;f=inline('4/(1+x*x)');t1=(b-a)/2*(f(a)+f(b));er=1;n=1;while er>1.0e-6

h=(b-a)/n; s=0; for i=1:n s=s+f(a+i*h-h/2); end t2=(t1+h*s)/2; er=abs(t2-t1); fprintf('t=%.6f,r=%.6f\n',t2,er);

n=2*n; t1=t2;end

))2

((2

1

12

n

inn

hihafhTT

抛物线方法

x

y

oa

b1x

2x 3x

分析：

条件：.],[)( 类间断点上连续或有有限个第一在 baxf

1s2s

3s4s 梯形法是对每个子区间用梯形

面积近似曲线下面积累加而成；而抛物线法是对每个子区间考虑其中点，用三点决定的抛物线下面积来近似 .

0y

2/h2/h

1y

2y

)4(6 210 yyyh

S

))()2

(4)((6 3

322

233 xf

xxfxf

xxS

当区间划分为 n(n>1) 等分时

nkkhaxn

abh

xxfxfxfxf

hSdxxf

k

n

k

kkn

n

kkn

b

a

,,2,1,0 ,

, ))2

(4)()(2)((6

)(1

11

10

x

y

oa

b1x

2x 3x 4x 5x

)(3

1 22 nnn TTT

——辛浦生 (Simpson) 方法

))()2

(4)((6 3

3223 xf

xxfxf

hS

clear;a=0;b=1;f=inline('4/(1+x*x)');t1=(b-a)/2*(f(a)+f(b));er=1;s1=0;n=1;

while er>1.0e-6 h=(b-a)/n; s=0; for i=1:n s=s+f(a+i*h-h/2); end t2=(t1+h*s)/2; s=t2+(t2-t1)/3; er=abs(s-s1); fprintf('s=%.6f,r=%.6f\n',s,er); s=s1; n=2*n; t1=t2;

end

s=3.133333,r=3.133333s=3.141569,r=3.141569s=3.141593,r=3.141593s=3.141593,r=3.141593s=3.141593,r=3.141593s=3.141593,r=3.141593s=3.141593,r=3.141593s=3.141593,r=3.141593s=3.141593,r=3.141593s=3.141593,r=3.141593s=3.141593,r=3.141593s=3.141593,r=3.141593s=3.141593,r=3.141593s=3.141593,r=3.141593s=3.141593,r=3.141593s=3.141593,r=3.141593

)(.5 蒙特卡罗法的随机模拟计算方法圆周率

cs=0n=500 %随机取点数for i=1:n a=rand(1,2); if a(1)^2+a(2)^2<=1 cs=cs+1 endend4*cs/n

１

１

０

的近似值分别为圆周率

取算得依次取

50000,5000,3000,1000500,n

3.184000000000003.104000000000003.138666666666673.12080000000000 3.14376000000000

　　从计算结果看：这种数据模拟算法收敛的速度很慢．虽然在实验次数较少时，算得的近似值距离真实值误差较大，但这种数据模拟方法简单易行．在精度要求不是很高的情况下，这种取随机数进行数据模拟的方法还是有一定的实用价值，通过简单编程我们可以模拟出许多数学现象．