• 　　开放探究性问题是相对于有明确条件和结论的封闭式问题而言的，它的特点是条件或结论的不确定性、不唯一性．解此类题没有固定的方法，学生需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法，此类题往往作为中考试卷中的压轴题出现．

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专题突破五┃ 开放探究题

• 开放探究题常见的类型有： (1) 条件开放型：结论明确但问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一； (2) 结论开放型：在给定的条件下，无明确结论或结论不唯一； (3) 存在型问题：即条件或结论都不固定，仅提供一种问题情境，需要补充条件，设计结论； (4) 综合开放型：条件、结论、策略中至少有两项均是开放的．

• 在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题 .

专题突破五┃ 开放探究题

• 例 1 　已知命题：如图 X5 － 1 ，点 A ，D ， B ， E 在同一条直线上，且 AD ＝ BE ，∠ A ＝∠ FDE ，则△ ABC≌△DEF. 判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．

► 　类型之一　条件开放型问题

专题突破五┃ 开放探究题

• 解：原命题是假命题，添加一个适当条件使它成为真命题，以下任一方法均可：

• ① 添加条件： AC ＝ DF.• 证明：∵ AD ＝ BE ，∴ AD ＋ BD ＝ BE ＋ BD ，即 AB ＝ DE.• 在△ ABC 和△ DEF 中， AB ＝ DE ，∠ A ＝∠ FDE ， AC ＝

DF ，• ∴△ABC≌△DEF(SAS) ．• ② 添加条件：∠ CBA ＝∠ E.• 证明：∵ AD ＝ BE ，∴ AD ＋ BD ＝ BE ＋ BD ，即 AB ＝ DE.• 在△ ABC 和△ DEF 中，∠ A ＝∠ FDE ， AB ＝ DE ，∠ CBA

＝∠ E ，• ∴△ABC≌△DEF(ASA) ．

专题突破五┃ 开放探究题

• ③ 添加条件：∠ C ＝∠ F.• 证明：∵ AD ＝ BE ，∴ AD ＋ BD ＝ BE

＋ BD ，即 AB ＝ DE.• 在△ ABC 和△ DEF 中，∠ A ＝∠ FDE ，

∠ C ＝∠ F ， AB ＝ DE ，• ∴△ABC≌△DEF(AAS) ．

专题突破五┃ 开放探究题

• [ 解析 ] 在△ ABC 和△ DEF 中，由 AD＝ BE 易知 AB ＝ DE.

• 又∠ A ＝∠ FDE ，根据全等三角形的判定方法，可增加一个边或角的条件使△ ABC≌△DEF ，但要注意用边角边公理时其角必须是相等的两组对应边的夹角．

专题突破五┃ 开放探究题

• 解条件开放型问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因．

专题突破五┃ 开放探究题

• 例 2 　 [2011· 南通 ] 比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．

• 请你再写出它们的两个相同点和不同点．

► 　类型之二　结论开放型问题

专题突破五┃ 开放探究题

• 解：相同点有：①都有相等的内角；②都是轴对称图形；③对称轴都交于一点；④都有外接圆和内切圆等；

• 不同点有：①边数不同； ②内角的度数不同； ③内角和不同；④对角线条数不同； ⑤对称轴条数不同等．

[ 解析 ] 此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，所有的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是中心对称图形．根据正多边形的性质分析它们的相同和不同之处．

专题突破五┃ 开放探究题

• 例 3 　 [2012· 南京 ] “ ？”的思考• 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注：

• 题目：某村计划建造如图 X5 － 3 所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2∶1 ，在温室内，沿前面内墙保留 3 m宽的空地，其他三面内墙各保留 1 m宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是 288 m2 ？

专题突破五┃ 开放探究题

• 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为 x_m，则长为 2x_m．？• 根据题意，得x·2x＝ 288.• 解这个方程，得x1 ＝－ 12( 不合题意，舍去 ) ， x2 ＝ 12.• 所以温室的长为 2×12 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 28(m),• 宽为 12 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 14(m) ．• 答：当温室的长为 28 m，宽为 14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是 288 m2.

• 我的结果也正确！• 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答

中划了一条横线，并打了一个“？”．

专题突破五┃ 开放探究题

• 结果为何正确呢？• (1) 请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程；•变化一下会怎样……• (2) 如图 X5 － 4 ，矩形 A′B′C′D′在矩形 ABCD 的内部，

AB∥A′B′， AD∥A′D′，• 且 AD∶AB ＝ 2∶1. 设 AB 与 A′B′，• BC 与 B′C′， CD 与 C′D′，• DA 与 D′A′之间的距离分•别为 a， b， c， d. 要使矩形• A′B′C′D′∽矩形 ABCD ，• a， b， c， d应满足什么条件？请说明理由．

图 X5 － 4

专题突破五┃ 开放探究题

解：(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶ 1的理由．

在“ 设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．” 前补充以下过程：

设温室的宽为y m，则长为2y m. 所以矩形蔬菜种植区域的宽为(y－1－1)m，

长为(2y－3－1)m.因为2y－3－1y－1－1

＝2y－4y－2

＝2，

所以矩形蔬菜种植区域的长与宽之比2为∶ 1.

(2)要使矩形A′ B′ C′ D∽矩形ABCD，就要A′ D′A′ B′

＝ADAB，即

AD－（a＋c）AB－（b＋d）＝

21，即

2AB－（a＋c）AB－（b＋d）＝

21，即

a＋cb＋d＝2.

专题突破五┃ 开放探究题

• 解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力．

专题突破五┃ 开放探究题

• 例 4 　已知抛物线 y＝－ (x－m)2 ＋ 1 与 x轴的交点为 A 、 B(B 在 A 的右边 ) ，与 y轴的交点为 C.

• (1) 写出m＝ 1 时与抛物线有关的三个正确结论；• (2) 当点 B 在原点的右边，点 C 在原点的下方时，

是否存在△ BOC 为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；

• (3) 请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题．　　

► 　类型之三　综合开放型问题

专题突破五┃ 开放探究题

• 解： (1) 当m＝ 1 时，抛物线的解析式为 y＝－ x2 ＋ 2x. 正确的结论有：①抛物线的解析式为 y＝－ x2 ＋ 2x；②开口向下；③顶点为 (1 ， 1) ；④抛物线经过原点；⑤与 x轴的另一个交点是 (2 ， 0) ；⑥对称轴为 x＝ 1 等；

• (2) 存在．当 y＝ 0 时，－ (x－m)2 ＋ 1 ＝ 0 ，即有 (x－m)2 ＝ 1.∴x1 ＝m－ 1 ， x2 ＝m＋ 1.∵ 点 B 在点 A 的右边，∴ A(m－ 1 ， 0) ， B(m＋ 1 ， 0) ．∵点 B 在原点右边，∴OB ＝m＋ 1.∵ 当 x＝ 0 时， y＝ 1 －m2 ，点 C 在原点下方，∴OC ＝m2 － 1. 当m2 － 1 ＝m＋ 1时，m2 －m－ 2 ＝ 0 ，∴m＝ 2 或m＝－ 1( 因为对称轴在 y轴的右侧，m＞ 0 ，所以不合要求，舍去 ) ．∴存在△ BOC 为等腰三角形的情形，此时m＝ 2.

专题突破五┃ 开放探究题

• (3) 如①对任意的m，抛物线 y＝－ (x－m)2 ＋ 1 的顶点都在直线 y＝ 1 上；②对任意的m，抛物线 y＝－ (x－m)2 ＋ 1与 x轴的两个交点间的距离是一个定值 ( 或对任意的m，抛物线 y＝－ (x－m)2 ＋ 1与 x轴两个交点的横坐标之差的绝对值为2) ．

专题突破五┃ 开放探究题

• (1) 解决综合开放性问题时，需要类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决．综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程．

• (2) 存在型问题是指条件、结论、解题方法都不固定，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，并寻求解法的一类问题，它更具有开发性，能为我们提供宽松的思维环境 .

专题突破五┃ 开放探究题