专题突破四┃ 探究河南中考中的数学 思想方法

专题突破四┃

数学思想是数学知识的进一步提炼和升华，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径．解决数学问题除了需要有扎实的基础知识外，还需要一定的方法和技巧，更需要灵活运用数学方法和数学思想，才能使问题化难为易，变繁为简，准确把握各种数学思想和方法，可以拓宽解题的思路．纵观河南省近年中考试题中每一类题都有数学思想方法的渗透．

常见的数学思想方法有：分类讨论，数形结合，化归转化，函数思想，方程思想等.

专题突破四┃

► 热考一 分类讨论

例 1 [2012·三门峡实验中学一模] 如图 Z4－1，一次函数 y

＝kx＋2 的图象与 x轴交于点 B，与反比例函数 y＝mx的图象的一

个交点为 A(2,3).

(1)分别求出反比例函数和一次函数的关系式；

(2)过点 A作 AC⊥x轴，垂足为 C，若点 P在反比例函数图象上，且△ PBC的面积等于 18，求 P点的坐标.

图 Z4－1

专题突破四┃

解：(1)把 A(2,3)代入 y＝mx，得 m＝6.

∴ 该反比例函数表达式为 y＝6x.

把 A(2,3)代入 y＝kx＋2，有 2k＋2＝3.解得 k＝12.

∴ 该一次函数的表达式为 y＝12x＋2.

(2)令12x＋2＝0，解得 x＝－4，即 B(－4,0)．

∵ AC⊥x轴，∴ C(2,0)．∴ BC＝6.设 P(x，y)，

∵ S△ PBC＝12·BC·|y|＝18，∴ y1＝6或 y2＝－6.

分别代入 y＝6x，得 x1＝1或 x2＝－1.

∴ P点的坐标为(1,6)或(－1，－6)．

专题突破四┃

分类讨论的因素较多，归纳有以下几个方面：①与数学概念、定义有关的分类讨论；②涉及数学运算法则或定理、公式的适用范围的分类讨论；③由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；④由于图形的不确定性引起的分类讨论；⑤由于题目含有字母而引起的分类讨论．解决这些问题时，要认真审题，全面考虑，根据其数量差异与位置逐一讨论，做到不重不漏，条理清晰.

专题突破四┃

► 热考二　数形结合

例 2 [2012·海南] 如图 Z4－2，顶点为 P(4，－4)的二次函数图象经过原

点 O(0,0)，点 A在该图象上，OA交其对称轴 l于点 M，点 M、N关于点 P对

称，连接 AN、ON.

(1)求该二次函数的关系式；

(2)若点 A的坐标是(6，－3)，求△ ANO的面积；

(3)当点 A在对称轴 l右侧的二次函数图象上运动，

请解答下列问题：

①证明：∠ANM＝∠ONM；

②△ ANO 能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点 A 的坐

标，如果不能，请说明理由.

图 Z4－ 2

专题突破四┃

解：(1)∵ 二次函数图象的顶点为 P(4，－4)，

∴ 设二次函数的关系式为 y＝a(x－4)2－4.

又∵ 二次函数图象经过原点(0,0)，

∴ 0＝a(0－4)2－4，解得 a＝14.

∴ 二次函数的关系式为 y＝14(x－4)2－4，即 y＝

14x2－2x.

(2)设直线 OA的函数关系式为 y＝kx，将 A(6，－3)代入得－3＝6k，

解得 k＝－12.

∴ 直线 OA的函数关系式为 y＝－12x.把 x＝4代入 y＝－

12x得 y＝－2.

∴ M(4，－2)．

又∵ 点M、N关于点 P对称，∴ N(4，－6)，MN＝4.

∴ S△ ANO＝12× 6× 4＝12.

专题突破四┃

(3)①证明：作 AH⊥x轴于 H，如图 1，

设 A点坐标为

m，14m2－2m ，(m＞4)

则 OH＝m，AH＝2m－14m2，

由△ OMD∽△ OAH，得ODDM＝OHAH

.

得 DM＝8－m.∴ M(4，m－8)．

∵ 点M、N关于点 P对称．∴ N(4，－m)，

则直线 AN的函数关系式为 y＝m4x－2m.

∴ 直线 AN与 x轴交于点 B(8,0)，

∴ OD＝BD＝4.∵ DN⊥OB.

∴ ON＝BN.∴ ∠ANM＝∠ONM.

专题突破四┃

②能．由题意可知∠ANO不可能为直角．

当∠AON＝90°时，如图 2，此时 M(4，m－8)，

∵ 点 M、N关于点 P对称，∴ N(4，－m)．∴ DN＝m.

易证△ OMD∽ △ NOD，∴ODDM＝DNOD，∴ 16＝m(m－8)，

解得 m1＝4＋4 2，m2＝4－4 2(不合题意舍去)，

∴ A(4＋4 2，4)

当∠OAN＝90°时．作 AH⊥x轴于 H，NE⊥AH于 E.

则 OH＝m，AH＝2m－14m

2.N(4，－m)．∴ AE＝14m

2－m，

NE＝m－4.易证△ OAH∽△ ANE.

∴OHAH＝AENE

.解得 m1＝m2＝4(不合题意舍去)．

∴ △ ANO能为直角三角形，此时 A(4＋4 2，4)．

专题突破四┃

用数形结合思想解答的题目常常有利用几何图形直观表示数的问题；解决函数与图象的问题；运用数量关系来研究几何图形问题等；这些问题要把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，进而探求解题思路.

专题突破四┃

► 热考三 函数思想

例 3 [2012·乌鲁木齐] 如图Z4－3是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度 AB 为 100 米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱的水平距离为 10米(不考虑立柱的粗细)，其中距 A点 10米处的立柱 FE的高度为 3.6米.

(1)求正中间的立柱 OC的高度； (2)是否存在一根立柱，其高度恰好是 OC的一半？请说

明理由.

图 Z4－3

专题突破四┃

解：(1)根据题意可得中间立柱 OC经过 AB的中点 O. 以点 O为原点，以 AB所在的直线为 x轴，建立直角坐

标系． 问题转化为求点 C的纵坐标． |OF|＝OA－FA＝40(米)，故 B(50,0)，E(－40,3.6)． 设抛物线的关系式为 y＝ax2＋c，

∴ 502a＋c＝0，402a＋c＝3.6，

解得 a＝－

1250，

c＝10.

∴ y＝－1

250x2＋10，当 x＝0时，y＝10.

即正中间的立柱 OC的高度是 10米．

专题突破四┃

(2)设存在一根立柱的高度是 OC 的一半，即这根立柱的高度是 5米．

则有 5＝－1

250x2＋10.解得：x＝±25 2.

∵ 相邻立柱之间的间距为 10 米，最中间的立柱 OC在 y轴上， 根据题意每根立柱上的点的横坐标为 10 的整数倍，

∴ x＝±25 2与题意不符，

∴ 不存在一根立柱，其高度恰好是 OC高度的一半．

专题突破四┃

函数思想就是用运动、变化的观点来观察、分析问题，把所研究的问题纳入某个变化过程中，根据问题的条件及所给的数量关系，构造函数关系，使问题在函数关系中实现转化.

专题突破四┃

► 热考四 方程思想例 4 [2012·包头] 如图 Z4－4，在 Rt△ ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC

＝5 cm，点 D在 BC上，且 CD＝3 cm，现有两个动点 P、Q分别从点 A和点 B同

时出发，其中点 P以 1厘米/秒的速度沿 AC向终点 C运动，点 Q以 1.25厘米/秒

的速度沿 BC向终点 C运动．过点 P作 PE∥ BC交 AD于点 E，连接 EQ.设动点运

动时间为 t秒(t>0).

(1)连接 DP，经过 1秒后，四边形 EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；

(2)连接 PQ，在运动过程中，不论 t取何值时，总有线段 PQ与线段 AB平行，

为什么？

(3)当 t为何值时，△ EDQ为直角三角形？

图 Z4－4

专题突破四┃

解：(1)能．理由如下：经过 1秒后，DQ＝5－3－1.25

＝0.75.因为 EP∥ BC，所以△ AEP∽ △ ADC，所以APAC＝

EPDC，所以

14＝EP3 ，又因为 EP＝0.75.所以 EP＝DQ，所以

四边形 EQDP是平行四边形．

(2)CQ＝5－1.25t，CP＝4－t，所以CQBC＝

5－1.25t5 ＝

4－t4 ，

CPAC＝

4－t4 ，所以

CQBC＝

CPAC，所以△ CQP∽△ CBA，

所以∠PQC＝∠ABC，所以 PQ∥ AB.故不论 t取何值时，总有线段 PQ与线段 AB平行．

专题突破四┃

(3)由题意可知，当 Q位于 CD之间时，△ EDQ才可能为直角三角形．

若∠EQD为直角，则△ EDQ相似于△ ADC，即DQEQ＝DCAC＝3

4，

列出方程：3－5－1.25t

4－t＝3

4，得 t＝2.5.

若∠DEQ为直角，则△ EDQ∽△ CDA，即DEDQ＝DCAD＝3

5.

因为△ ADC相似于△ AEP，所以AEAD＝APAC＝t4，AD＝5，AE＝1.25t.

所以 DE＝AD－AE＝5－1.25t，DQ＝3－(5－1.25t)．

列出方程：5－1.25t

3－5－1.25t＝3

5，得 t＝3.1.

经验证，t＝2.5和 t＝3.1都符合题意．

综上所述，当 t＝2.5或 t＝3.1时，△ EDQ为直角三角形.

专题突破四┃

方程思想就是根据题设设定合适的未知数，并通过列方程(组)来求解的思维方法，可使问题简单明了，易于解决.