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°“√·°âªí≠À“§≥‘µ»“ µ√å(Problem Solving)

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®”π«π 48,000 ‡≈à¡

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ISBN 974-269-0499

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124 Àπâ“ : ¿“æª√–°Õ∫; 21 ´¡.

ISBN 974 - 269 - 0499

1. §≥‘µ»“ µ√å. 2. ‡¬“«≈—°…≥å ‡µ’¬√≥∫√√®ß.

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(𓬪√–æ—≤πåæß»å ‡ π“ƒ∑∏‘Ï)

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13 ¡‘∂ÿπ“¬π 2544

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ªí≠À“§≥‘µ»“ µ√å 9

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≈—°…≥–ªí≠À“§≥‘µ»“ µ√å 19

ª√–‡¿∑¢Õߪí≠À“§≥‘µ»“ µ√å 26

2. °“√æ—≤π“°“√‡√’¬π°“√ Õπ°“√·°âªí≠À“ 33

°“√ √â“ߧ”∂“¡ 34

°√–∫«π°“√∑’Ë„™â„π°“√·°âªí≠À“ 38

¬ÿ∑∏«‘∏’∑’Ë„™â„π°“√·°âªí≠À“ 49

°“√®—¥°‘®°√√¡°“√‡√’¬π°“√ Õπ°“√·°âªí≠À“ 67

°“√®—¥≈”¥—∫¢Õߪ√– ∫°“√≥å„π°“√·°âªí≠À“ 84

ªí®®—¬ ”§—≠∑’Ë¡’Õ‘∑∏‘æ≈µàÕ°“√·°âªí≠À“ 106

3. °“√ª√–‡¡‘𧫓¡ “¡“√∂„π°“√·°âªí≠À“ 111

‡°≥±å°“√ª√–‡¡‘π°“√·°âªí≠À“ 113

°“√ª√–‡¡‘πµ“¡ ¿“æ®√‘ß 114

∫√√≥“πÿ°√¡ 121

∫∑π”

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‚¥¬∑—Ë«‰ª™’«‘µ¢Õß§π ®–ª√– ∫°—∫ªí≠À“¡“°πâÕ¬·µ°µà“ß°—π

¢÷ÈπÕ¬Ÿà°—∫°“√‡ª≈’ˬπ·ª≈ߢÕß ¿“懻√…∞°‘®·≈– —ߧ¡ ·≈–°“√

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§◊ÕÕ–‰√é ‡ªìπ§”∂“¡∑’˵âÕß°“√§”µÕ∫ À√◊Õ¢âÕ ß —¬∑’˵âÕß°“√§âπ§«â“

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§≥‘µ»“ µ√凪ìπ‡æ’¬ß à«πÀπ÷ËߢÕß°“√·°âªí≠À“‡∑à“π—Èπ µ—«Õ¬à“ß

‡™àπ ç¢≥–π’ȇ«≈“‡∑à“‰√é ‡ªìπ§”∂“¡∑’ËÕ“®®–‡À¡“–°—∫°“√∂“¡

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‡°’ˬ«°—∫§≥‘µ»“ µ√å ‡™àπ çª≈“µ—«Àπ÷Ëß¡’ à«πÀ—«¬“« 6 π‘È« à«πÀ“ß

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·≈–≈”µ—«¬“«‡∑à“°—∫º≈√«¡¢Õߧ«“¡¬“«À—«·≈–À“ß ª≈“µ—«π’Ȭ“«

‡∑à“‰√é §”∂“¡π’ÈÕ“®®–‡À¡“–°—∫°“√∂“¡π—°‡√’¬π™—Èπ¡—∏¬¡»÷°…“

ªï∑’Ë 1 À√◊Õ ç®”π«ππ—Èπ§◊ÕÕ–‰√ ∂â“®”π«ππ—Èπ‡ªìπ®”π«π§’Ë∑’Ë¡’§à“

¡“°°«à“ 700 ·µàπâÕ¬°«à“ 720 ·≈–À“√¥â«¬ 3 ≈ßµ—«é °“√π”

‡≈¢‚¥¥ 0, 1, 2, 3, ......9 ¡“ √â“ß®”π«π„π·µà≈–À≈—°®–¡’§à“

·µ°µà“ß°—π Õ“®π”¡“ √â“ß„À⇪ìπªí≠À“„π√Ÿª¢Õ߇°¡‰¥â ‡™àπ ç®ßπ”

‡≈¢‚¥¥¡“ √â“߇ªìπ®”π«πµà“ßÊ ‚¥¬ “¡“√∂π”‡≈¢‚¥¥·µà≈–µ—«

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‡¢â“„°≈â 1,000 ¡“°∑’Ë ÿ¥é ªí≠À“„π√Ÿªª√‘»π“ ‡™àπ °”Àπ¥ 2, 8,

31, 88, , 384 ®ßÀ“®”π«π∑’ËÕ¬Ÿà„π

„π°“√µ—Èߧ”∂“¡ ≈—°…≥–¢Õߧ”∂“¡∑’Ë„™â§«√‡ªìπ§”∂“¡∑’Ë

°√–µÿâπ„Àâπ—°‡√’¬π§‘¥ §”∂“¡∑’Ë¡’§”µÕ∫∂Ÿ°µâÕ߉¥â¡“°¡“¬ ‡√’¬°

§”∂“¡‡À≈à“π’È«à“§”∂“¡‡ªî¥ (open question) ÷Ëßµ√ߢⓡ°—∫§”∂“¡

2

ªî¥ (closed question) §”∂“¡ªî¥‡ªìπ§”∂“¡∑’Ë¡’§”µÕ∫∑’Ë∂Ÿ°µâÕß

‡æ’¬ß§”µÕ∫‡¥’¬« µàÕ‰ªπ’ȇªìπµ—«Õ¬à“ß°“√‡ª√’¬∫‡∑’¬∫ ≈—°…≥–¢Õß

§”∂“¡ªî¥·≈–§”∂“¡‡ªî¥

3

§”∂“¡ªî¥

1. 7.2 °—∫ 7.107 ®”π«π„¥¡’§à“

¡“°°«à“°—π

2. ®ß∑” 5.87 „À⇪ìπ∑»π‘¬¡ 1

µ”·Àπàß

3. §à“‡©≈’ˬ¢Õß 2, 6, 4, 8 ·≈–

7 ‡ªìπ‡∑à“‰√

4. √Ÿª ’Ë ‡À≈’ˬ¡º◊πºâ“∑’Ë¡’§«“¡

¬“« 8 ‡´πµ‘‡¡µ√ ·≈–§«“¡

°«â“ß 3 ‡´πµ‘‡¡µ√ ¡’æ◊Èπ∑’Ë

‡∑à“‰√

5. ‡»…¢Õß 13 ÷ 4 ‡ªìπ‡∑à“‰√

§”∂“¡‡ªî¥

1. ®ß‡¢’¬π®”π«π∑—ÈßÀ¡¥ 15

®”π«π ∑’ËÕ¬Ÿà√–À«à“ß 7.1 °—∫ 7.2

2. ®”π«π„¥‡¡◊ËÕªí¥‡ªìπ∑»π‘¬¡

·≈⫉¥â 5.8

3. ∂â“§à“‡©≈’ˬ¢Õß®”π«πÀâ“

®”π«π §◊Õ 7 ®”π«π

‡À≈à“π—Èπ§◊ÕÕ–‰√

4. √Ÿª ’Ë ‡À≈’ˬ¡º◊πºâ“∑’Ë¡’æ◊Èπ∑’Ë

24 µ“√“߇´πµ‘‡¡µ√ ¡’§«“¡

°«â“ß·≈–§«“¡¬“«‡ªìπ‡∑à“‰√

5. ®”π«π∑’Ë°”Àπ¥„ÀâÀ“√¥â«¬

4 ·≈⫇À≈◊Õ‡»… 1 ®”π«ππ—Èπ

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°“√„™â§”∂“¡‡ªî¥¢Õߧ√Ÿ ®–™à«¬¥÷ߥŸ¥§«“¡ π„® ·≈–‡ªìπ

°“√°√–µÿâπ„Àâπ—°‡√’¬π§‘¥Õ¬à“ßÀ≈“°À≈“¬ °“√µ—Èߧ”∂“¡„Àâ¡’§”µÕ∫

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¡“°¢÷Èπ §√ŸÕ“®„™â§”∂“¡‡ªî¥ ‡æ◊ËÕ∑∫∑«π§«“¡√Ÿâ„π ‘Ëß∑’ˉ¥â‡√’¬π

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§”∂“¡‡æ◊ËÕ§‘¥À“§”µÕ∫ Õ’°∑—È߬—ߙ૬§√Ÿ„π°“√«‘π‘®©—¬¢âÕ∫°æ√àÕß

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„Àâ√Ÿâ®—°§‘¥Õ¬à“ß¡’‡Àµÿº≈ ¡’¢—ÈπµÕπ ¡’√–‡∫’¬∫·∫∫·ºπ ·≈–√Ÿâ®—°

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‡À¡◊ÕπÀ√◊Õ§≈⓬°—∫ªí≠À“∑’ˇ§¬∑”Õ¬à“߉√ ¡ÕßÀ“·∫∫√Ÿª (pattern)

·≈–À≈—°°“√ (principle) “¡“√∂„™â«‘∏’°“√·∫∫π‘√π—¬ (deductive)

À√◊ÕÕÿªπ—¬ (inductive) À√◊Õ„™â«‘∏’°“√§‘¥·∫∫¬âÕπ°≈—∫ ‡æ◊ËÕ§“¥‡¥“

«‘∏’°“√∑” ·≈–µ√«® Õ∫§”µÕ∫ πÕ°®“°π’Ȭ—ß¡’¬ÿ∑∏«‘∏’Õ◊ËπÊ ∑’Ë

4

π”¡“„™â„π°“√·°âªí≠À“ ‡æ◊Ëՙ૬„Àâπ—°‡√’¬π “¡“√∂·°âªí≠À“π—Èπ‰¥â

ßà“¬¢÷Èπ ‰¥â·°à °“√Õà“π‚®∑¬åªí≠À“´È” °“√∫Õ°‚®∑¬åªí≠À“π—Èπ¥â«¬

§”查¢Õßµπ‡Õß °“√¡ÕßÀ“¢âÕ§«“¡À√◊Õ§”∑’Ë®–™à«¬„π°“√·°âªí≠À“

°“√‡¢’¬π¢âÕ¡Ÿ≈µà“ßÊ ∑’Ë ”§—≠≈ß∫π°√–¥“…∑¥ °“√¢’¥‡ âπ„µâª√–‚¬§

∑’˧‘¥«à“®–„™â‡ªìπª√–‚¬™πå„π°“√·°âªí≠À“‰¥â °“√‡¢’¬πµ“√“ßÀ√◊Õ

·ºπ¿Ÿ¡‘ °“√‡¢’¬π°√“ø °“√«“¥¿“æ≈“¬‡ âπ °“√«“¥√Ÿª ·≈–

°“√„™â®”π«π∑’Ë¡’§à“πâÕ¬Ê ·∑π®”π«π∑’Ë¡’§à“¡“° ‡æ◊Ëՙ૬„Àâ‚®∑¬å

ªí≠À“π—Èπßà“¬¢÷È𠇪ìπµâπ

„π°“√·°âªí≠À“∑“ߧ≥‘µ»“ µ√姫√„™â¬ÿ∑∏«‘∏’µà“ßÊ ¥—ß∑’Ë

°≈à“«¡“·≈â«¢â“ßµâπ πÕ°®“°π’È°“√Õ¿‘ª√“¬√à«¡°—π °“√´—°∂“¡°Á®–

™à«¬„Àâπ—°‡√’¬π “¡“√∂§âπÀ“§”µÕ∫¢Õß‚®∑¬åªí≠À“π—Èπ‰¥â „π°“√

æ—≤𓧫“¡ “¡“√∂„π°“√·°âªí≠À“¢Õßπ—°‡√’¬π §√ŸºŸâ Õπ§«√§”π÷ß∂÷ß

‡«≈“ §«√„À⇫≈“π—°‡√’¬π¡“°æÕ„π°“√§‘¥·°âªí≠À“ §”π÷ß∂÷ߧ«“¡√Ÿâ

æ◊Èπ∞“π∑’Ëπ—°‡√’¬π®–µâÕß„™â„π°“√·°â‚®∑¬åªí≠À“‡À≈à“π—Èπ √â“ß∫√√¬“°“»

∑’Ë à߇ √‘¡°√–∫«π°“√·°âªí≠À“ „Àâ°”≈—ß„®·≈–°“√°√–µÿâπ„Àâπ—°‡√’¬π

§‘¥ √√À“«‘∏’°“√ª√–‡¡‘πº≈π—°‡√’¬π„π°“√·°âªí≠À“ ªí≠À“

≈—°…≥–„¥∑’Ë®–„Àâ√à«¡°—𧑥‡ªìπ°≈ÿà¡Ê ºŸâ Õπ§«√¡’∫∑∫“∑Õ¬à“߉√

„π°“√·°âªí≠À“ ®–ª√—∫«‘∏’°“√‡√’¬π°“√ ÕπÕ¬à“߉√ ∑’Ë®–∑”„Àâπ—°‡√’¬π

∑’ˇ√’¬π‡°àß ª“π°≈“ß ·≈–ÕàÕπ ª√– ∫§«“¡ ”‡√Á®„π°“√·°âªí≠À“

“¡“√∂π” ◊ËÕ°“√‡√’¬π°“√ ÕπÕ–‰√ ¡“™à«¬∑’Ë®–∑”„Àâπ—°‡√’¬π‡¢â“„®

‚®∑¬åªí≠À“‡À≈à“π—Èπ‰¥âßà“¬¢÷Èπ µ≈Õ¥®π à߇ √‘¡„Àâπ—°‡√’¬π¡’‚Õ°“

√â“ß‚®∑¬åªí≠À“¥â«¬µπ‡Õß °“√·≈°‡ª≈’ˬπªí≠À“ °“√™à«¬°—𧑥·≈

–Õ¿‘ª√“¬√à«¡°—π

5

6

°“√ Õπ«‘∏’°“√·°âªí≠À“‰¡à„™à ‘Ëß„À¡à ·µà‡ªìπ ‘Ëß∑’˵âÕß

Ωñ°Ωπ„À⇰‘¥§«“¡™”π“≠ §√Ÿ à«π¡“°æ∫«à“π—°‡√’¬π‰¡à “¡“√∂·°â

ªí≠À“‰¥âµ—Èß·µà‡√‘Ë¡‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å ∑—Èßπ’ÈÕ“®‡π◊ËÕß¡“®“° “‡Àµÿ

À≈“¬ª√–°“√ ‡™àπ π—°‡√’¬π‰¥â√—∫§”∫Õ°‡≈à“¡“«à“§≥‘µ»“ µ√凪ìπ

«‘™“∑’ˬ“°‰¡à “¡“√∂∑”§«“¡‡¢â“„®‰¥â ®÷ß∑”„Àâπ—°‡√’¬π‰¡à™Õ∫

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1 °“√·°âªí≠À“§≥‘µ»“ µ√å

10

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1. ç®ß‡¢’¬π 525 „π√Ÿªº≈∫«°¢Õß®”π«π “¡®”π«π∑’Ë

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°“√·°âªí≠À“¢âÕπ’ȵâÕß∑√“∫«à“

®”π«π∑’ˇ√’¬ß≈”¥—∫°—ππ—Èπ‡ªìπÕ¬à“߉√ ‡™àπ

1, 2, 3 ... ®”π«π·µà≈–®”π«π¡’§à“‡æ‘Ë¡¢÷Èπ‡ªìπ

≈”¥—∫

®”π«π “¡®”π«ππ—Èπ À“‰¥âÕ¬à“߉√

«‘∏’§‘¥ π” 3 ‰ªÀ“√ 525 ‰¥â 175 ¥—ßπ—Èπ®”π«π

“¡®”π«π∑’ˇ√’¬ß≈”¥—∫°—π·≈–∫«°°—π‰¥â 525 §◊Õ 174, 175, 176

2. ç∂â“ 2x = 15 ·≈– 225y = 120 ·≈â«

2xy - x ¡’§à“‡∑à“‰√é

°“√·°âªí≠À“¢âÕπ’È®–µâÕß„™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕ߇≈¢¬°°”≈—ß

«‘∏’∑” ‡π◊ËÕß®“° 225 = 152

¬°°”≈—ß y ∑—Èß Õߢâ“ß (225)y = (152)y

(225)y = 152y

·∑π§à“ 225y = 120 ·≈– 15 = 2x µ“¡∑’Ë‚®∑¬å°”Àπ¥

11

¥—ßπ—Èπ 120 = (2x)2y

(2x)2y = 120

22xy = 120

22xy 120π” 2x = 15 À“√∑—Èß Õߢâ“ß __ = _2x 15

22xy-x = 8

22xy-x = 23 (23 = 8)

¥—ßπ—Èπ 2xy-x = 3

3. ç¢âÕ¡Ÿ≈™ÿ¥Àπ÷Ëß¡’§à“‡©≈’ˬ‡≈¢§≥‘µ‡ªìπ 120 ∂â“®”π«π

Àπ÷Ëß„π¢âÕ¡Ÿ≈π—Èπ¡’§à“‡æ‘Ë¡¢÷Èπ 300 ·≈â« ®–∑”„Àâ§à“‡©≈’ˬ‡≈¢§≥‘µ

¢ÕߢâÕ¡Ÿ≈™ÿ¥„À¡à‡ªìπ 135 ¢âÕ¡Ÿ≈™ÿ¥π’È¡’∑—ÈßÀ¡¥°’Ë®”π«πé

°“√·°âªí≠À“¢âÕπ’ȵâÕß„™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕß ∂‘µ‘‡°’ˬ«°—∫§à“‡©≈’ˬ

‡≈¢§≥‘µNΣ χi

«‘∏’∑” Ÿµ√ i = 1x- = ___N

„Àâ¢âÕ¡Ÿ≈™ÿ¥π’È¡’∑—ÈßÀ¡¥ N ®”π«π

x- = §à“‡©≈’ˬ‡≈¢§≥‘µNΣχi = º≈√«¡¢ÕߢâÕ¡Ÿ≈i = 1

N = ®”π«π¢âÕ¡Ÿ≈∑—ÈßÀ¡¥

12

·∑π§à“ x_

= 120

NΣ χi

120 = i = 1___N

NΣ χi∴ i = 1 = 120 N

¥—ßπ—Èπ º≈√«¡¢ÕߢâÕ¡Ÿ≈™ÿ¥‡¥‘¡ ‡∑à“°—∫ 120 N

NΣ χi ‡¥‘¡ + 300

·µà x- „À¡ài = 1= ________

N

N·∑π§à“ x- „À¡à = 135 ·≈– Σ χ

i ‡¥‘¡ = 120 Ni = 1

120N + 300∴ 135 = _____N

135N = 120N + 300

15N = 300

∴ N = 20

¥—ßπ—Èπ ¢âÕ¡Ÿ≈™ÿ¥π’È¡’∑—ÈßÀ¡¥ 20 ®”π«π

À¡“¬‡Àµÿ ‚®∑¬å¢âÕ 2 ·≈– 3 ‡ªìπ¢âÕ Õ∫¢Õß‚§√ß°“√æ—≤π“Õ—®©√‘¬¿“æ∑“ß

§≥‘µ»“ µ√å√–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“ ª√–®”ªï æ.». 2543 ¢Õß ∂“∫—π

à߇ √‘¡°“√ Õπ«‘∑¬“»“ µ√å·≈–‡∑§‚π‚≈¬’

13

§«“¡ ”§—≠¢Õß°“√·°âªí≠À“§≥‘µ»“ µ√å

1. °“√ Õπ§≥‘µ»“ µ√å„π‚√߇√’¬π«‘™“§≥‘µ»“ µ√凪ìπ«‘™“∑’Ë¡’§«“¡ ”§—≠¡“°„π°“√æ—≤π“

§ÿ≥¿“æ∫ÿ§§≈ ‡π◊ËÕß®“°«‘™“π’È ‰¥âΩñ°∑—°…–°“√§‘¥Õ¬à“ß¡’‡Àµÿº≈ °“√§‘¥

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¢Õßπ—°‡√’¬π ‡æ◊ËÕ°“√‡ªìπ ¡“™‘°∑’Ë¥’¢Õß —ߧ¡ à߇ √‘¡π—°‡√’¬π„π°“√

æ—≤π“µπ‡Õß √Ÿâ®—°«‘∏’°“√·°âªí≠À“·≈– “¡“√∂µ—¥ ‘π„®„π°“√‡≈◊Õ°

Õ“™’浓¡§«“¡∂π—¥ §«“¡ π„® ·≈–§«“¡ “¡“√∂¢Õßµπ‡Õß

„π™’«‘µª√–®”«—π∑ÿ°§π„™â∑—°…–·≈–°√–∫«π°“√∑“ߧ≥‘µ-

»“ µ√åÕ¬à“ßÀ≈“°À≈“¬ ‡™àπ °“√∫Õ°‡«≈“ °“√·≈°‡ª≈’ˬπ‡ß‘πµ√“

°“√Õà“π·ºπ¿Ÿ¡‘·≈–°√“ø®“°Àπ—ß ◊Õæ‘¡æå °“√µ—¥ ‘π„® °“√‡ª√’¬∫

‡∑’¬∫‡æ◊ËÕæ‘®“√≥“‡≈◊Õ°´◊ÈÕ ‘ËߢÕß∑’˧‘¥«à“¥’∑’Ë ÿ¥ °“√æ‘®“√≥“ª√‘¡“≥

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π—°‡»√…∞»“ µ√å ·æ∑¬å ·≈–π—°∏ÿ√°‘®µà“ßÊ °ÁµâÕßÕ“»—¬§«“¡√Ÿâ

∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å„π°“√ª√–°Õ∫Õ“™’æ „π°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å

π—°‡√’¬π‰¥â‡√’¬π√Ÿâ°“√·°âªí≠À“µà“ßÊ µ—Èß·µàªí≠À“∑’Ëßà“¬·≈–¬“°¢÷Èπ

µ“¡≈”¥—∫ ¢Õß™—Èπ‡√’¬π °“√ Õπ§≥‘µ»“ µ√å„π‚√߇√’¬π®–™à«¬Ωñ°

∑—°…–°“√·°âªí≠À“„Àâ°—∫π—°‡√’¬π

14

2. °“√‡ √‘¡ √â“߇®µ§µ‘∑’Ë¥’µàÕ«‘™“§≥‘µ»“ µ√å∂â“π—°‡√’¬π‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å¥â«¬§«“¡‡¢â“„® πÿ° π“π

π—°‡√’¬π “¡“√∂·°âªí≠À“§≥‘µ»“ µ√å∑’ˇ√’¬π‰¥â·≈– “¡“√∂𔧫“¡√Ÿâ

∑’ˇ√’¬ππ—Èπ‰ªª√–¬ÿ°µå„™â„π™’«‘µª√–®”«—π π—°‡√’¬π®–¡’‡®µ§µ‘∑’Ë¥’µàÕ

°“√‡√’¬π«‘™“§≥‘µ»“ µ√å ÷Ë߇ªìπ‡√◊ËÕß ”§—≠„π°“√‡√’¬π√ŸâÕ¬à“ß¡“°

·µà∂â“π—°‡√’¬π‡√’¬π¥â«¬°“√∑àÕß®” §‘¥§”π«≥‰¥â‡©æ“–ªí≠À“∑’Ë¡’

—≠≈—°…≥å ‰¡à “¡“√∂‡™◊ËÕ¡‚¬ß§«“¡√Ÿâ∑’ˇ√’¬π°—∫ ‘Ëß∑’ˇ°‘¥¢÷Èπ„π™’«‘µ

ª√–®”«—π ®–∑”„Àâπ—°‡√’¬π‡∫◊ËÕÀπà“¬ §√ŸºŸâ Õπ§«√µâÕß √√À“°≈¬ÿ∑∏å

«‘∏’ Õπ∑’Ë∑”„Àâπ—°‡√’¬π‡¢â“„® ‡√’¬π√Ÿâ ‰¥âÕ¬à“ß πÿ° π“π ‡°‘¥‡®µ§µ‘∑’Ë¥’

µàÕ«‘™“§≥‘µ»“ µ√å π„®∑’Ë®–§‘¥·≈–·°âªí≠À“§≥‘µ»“ µ√å “¡“√∂

„™â§«“¡√Ÿâ§≥‘µ»“ µ√å ‡ªìπæ◊Èπ∞“π„π°“√‡√’¬π«‘™“«‘∑¬“»“ µ√å·≈–

»“ µ√åµà“ßÊ ™à«¬ à߇ √‘¡°“√§‘¥§âπ„À⇰‘¥‡∑§‚π‚≈¬’„À¡à «‘∑¬“°“√

„À¡àÊ ¢÷Èπ„π‚≈°‰¥â

3. °“√𔧫“¡√Ÿâ§≥‘µ»“ µ√剪„™â„π°“√·°âªí≠À“π—°‡√’¬π “¡“√∂‡ªìππ—°∫“ ‡°µ∫Õ≈‰¥â ∂Ⓡ§¬‡≈àπ

∫“ ‡°µ∫Õ≈ ·≈–‰¥â√—∫°“√Ωñ°ΩπÕ¬à“ß ¡Ë”‡ ¡Õ °“√‡√’¬π«‘™“

§≥‘µ»“ µ√å°Á‡™àπ°—π ∂â“π—°‡√’¬π‰¥âΩñ°Ωπ°“√·°âªí≠À“Õ¬à“ß ¡Ë”‡ ¡Õ

®–∑”„Àâπ—°‡√’¬π “¡“√∂𔧫“¡√Ÿâ ‰ª„™â„π°“√·°âªí≠À“‰¥â µ—«Õ¬à“ß

‡™àπ 燧√◊ËÕß®—°√„π‚√ßß“π·ÀàßÀπ÷Ëß “¡“√∂º≈‘µÕ–‰À≈à√∂¬πµå

‰¥â§√—Èß≈–Àπ÷Ëß™‘Èπ ‚¥¬™‘Èπ·√°„™â‡«≈“„π°“√º≈‘µ 50 π“∑’ ™‘ÈπµàÕÊ ‰ª

‡§√◊ËÕß®—°√®–„™â‡«≈“≈¥≈ß 10 % ¢Õ߇«≈“∑’Ë„™â°àÕπÀπâ“π—Èπ ·≈–

15

‡§√◊ËÕß®—°√π’È®–À¬ÿ¥∑”ß“π‚¥¬Õ—µ‚π¡—µ‘ ∂Ⓡ§√◊ËÕߧա摫‡µÕ√å¢Õß

‡§√◊ËÕß®—°√§‘¥§”π«≥¥Ÿ·≈â«æ∫«à“ „π°“√º≈‘µπ—Èπ„™â‡«≈“πâÕ¬°«à“

26 π“∑’ Õ¬“°∑√“∫«à“µ—Èß·µà‡ªî¥‡§√◊ËÕß„À⇧√◊ËÕß®—°√∑”ß“π®π∂÷߇«≈“

∑’ˇ§√◊ËÕß®—°√À¬ÿ¥π—Èπ ®– “¡“√∂º≈‘µÕ–‰À≈à√∂¬πµå‰¥â∑—ÈßÀ¡¥°’Ë™‘Èπé

∂â“π—°‡√’¬π‡§¬‡√’¬π‡√◊ËÕß√âÕ¬≈–‚¥¬‡¢â“„®§«“¡§‘¥√«∫¬Õ¥‡°’ˬ«°—∫

√âÕ¬≈– ·≈– “¡“√∂§‘¥§”π«≥‚¥¬„™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕß√âÕ¬≈–‰¥â π—°‡√’¬π

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„πªí®®ÿ∫—π·µà≈–∫ÿ§§≈‡º™‘≠°—∫°“√‡ª≈’ˬπ·ª≈ߢÕß

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°“√‡ª≈’ˬπ·ª≈ߢÕß —ߧ¡Õ¬à“ß√«¥‡√Á« ∑”„À⬓°∑’Ë®–‡µ√’¬¡°“√

”À√—∫Õ𓧵 ·≈–¬—߉¡à¡’«‘∏’°“√∑’Ë™—¥‡®π∑’Ë®–∑”π“¬«à“ §«“¡√Ÿâ∑“ß

«‘∑¬“»“ µ√å·≈–‡∑§‚π‚≈¬’®–∑”„À⇰‘¥°“√§âπæ∫Õ–‰√„πÕ𓧵 ·µà

∑ÿ°§π∑√“∫«à“«‘™“§≥‘µ»“ µ√å¡’§«“¡ ”§—≠°—∫Õ𓧵 °‘®°√√¡∑“ß

§≥‘µ»“ µ√å®”‡ªìπ ”À√—∫§π‡√“„π∑ÿ°Ê Õ“™’æ ‡™àπ ∏ÿ√°‘® «‘∑¬“»“ µ√å

∂“ªíµ¬°√√¡ «‘»«°√√¡ °“√欓°√≥åÕ“°“» °“√·æ∑¬å ‡»√…∞»“ µ√å

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‡√’¬π√Ÿâ ‘Ëß„À¡àÊ ∑’Ëπ—°‡√’¬π‰¡à‡§¬æ∫¡“°àÕπ ·≈–∫∑∫“∑¢Õߧ√Ÿ

§≥‘µ»“ µ√å°ÁµâÕ߇ª≈’Ë¬π‰ª®“°‡¥‘¡ „πªí®®ÿ∫—π¡’‡§√◊ËÕߧ‘¥‡≈¢ π—°‡√’¬π

‰¡à®”‡ªìπµâÕߧ”π«≥Õ¬à“ß´—∫´âÕπ ·µà ‘Ëß ”§—≠ §◊Õ π—°‡√’¬π¬—ߧߵâÕß

¡’§«“¡ “¡“√∂„π°“√§‘¥ “¡“√∂«‘‡§√“–Àåªí≠À“·≈–·°âªí≠À“‰¥â

¥—ßπ—ÈπÀ≈—° Ÿµ√§≥‘µ»“ µ√å®–µâÕßæ—≤𓧫“¡ “¡“√∂„π°“√·°âªí≠À“

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16

„πÀπ—ß ◊Õ çLandmarks of Tomorrowé ¢Õß Peter

F. Drucker (1959) ‰¥â°≈à“««à“ °“√æ—≤π“π—°‡√’¬π„À⇪ìππ—°·°âªí≠À“

∑’Ë¥’¡’§«“¡ ”§—≠¡“° ‡¢“‰¥â‡≈à“‡√◊ËÕß∑’ˇ°‘¥¢÷Èπ„πªÉ“¢Õߪ√–‡∑»Õ—ø°“π‘ ∂“π

¥—ßπ’È ç√∂∑—«√姗πÀπ÷Ëß ¢≥–∑’Ë·≈àπ™¡¿Ÿ¡‘ª√–‡∑»„πªÉ“ ‡°‘¥‡§√◊ËÕ߬πµå

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¡’§πÀ≈“¬§π¡“™à«¬°—π¥Ÿ·µà°Á·°â ‰¡à‰¥â À≈“¬§π™à«¬°—𧑥·°âªí≠À“

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Õ¬ŸàÀ≈—ß¿Ÿ‡¢“≈Ÿ°π’È ‰ª‡ªìπ√–¬–∑“ß 50 ‰¡≈å µàÕ¡“Õ’° 3 «—π ™à“ß´àÕ¡

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µ”·Àπàß∑’Ë„¥ §‘¥√“§“ 99.90 ‡À√’¬≠é

®“°‡√◊ËÕßπ’È· ¥ß„Àâ‡ÀÁ𧫓¡ ”§—≠¢Õß°“√§‘¥ ·µà ‘Ëß∑’Ë

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·°âªí≠À“‡ªìπ à«πÀπ÷ËߢÕß°“√ Õπ ªí≠À“·√°∑’˧√Ÿ„Àâπ—°‡√’¬π·°â‰¡à§«√

®–¬“°‡°‘π‰ª ·µà‡ªìπªí≠À“∑’Ë∑â“∑“¬·≈–°√–µÿâπ„Àâπ—°‡√’¬π§‘¥ ·≈–

17

„™â§«“¡æ¬“¬“¡®÷ß®–µÕ∫ªí≠À“π—Èπ‰¥â ‡™àπ ç∑”Õ¬à“߉√π—°‡√’¬π

®÷ß®–‰¥âº≈≈—æ∏å ‡∑à“°—∫ 56é ∂â“π—°‡√’¬π§‘¥‚¥¬π” 4 x 8 = 32

·≈– 3 x 8 = 24 ·≈â«π” 32 + 24 = 56 ÷Ë߬—ß¡’Õ’°À≈“°À≈“¬

«‘∏’§‘¥ ∑—Èßπ’È §√ŸµâÕߧ”π÷ß∂÷ߧ«“¡√Ÿâ„π√–¥—∫™—Èπ∑’Ëπ—°‡√’¬π‡√’¬π¥â«¬

‰¡à§«√‡ªìπªí≠À“∑’Ëπ—°‡√’¬π∑àÕ߉¥â À√◊Õ°¥‡§√◊ËÕߧ‘¥‡≈¢ À√◊Õ„™â

«‘∏’°“√À“√·≈â«∑”‰¥â ‡™àπ 7 x 8 = ·≈– 9,842 ÷ 27 =

À√◊Õ ç‰Õ»°√’¡√“§“·∑àß≈– 12 ∫“∑ ∂â“´◊ÈÕ 2 ·∑à߇ªìπ‡ß‘π‡∑à“‰√é

∂â“π—°‡√’¬π‡§¬∑”‚®∑¬å≈—°…≥–π’È¡“°àÕπ ‚®∑¬å¢âÕπ’È°Á ‰¡à„™àªí≠À“

§≥‘µ»“ µ√å ”À√—∫π—°‡√’¬π ·µà‡ªìπ‚®∑¬å·∫∫Ωñ°À—¥‡∑à“π—Èπ

≈—°…≥–¢Õßπ—°·°âªí≠À“§≥‘µ»“ µ√å∑’Ë¥’

1. ¡’§«“¡‡¢â“„®„𧫓¡§‘¥√«∫¬Õ¥ (concepts) ∑“ß

§≥‘µ»“ µ√å

2. ¡’§«“¡ “¡“√∂„π°“√‡ª√’¬∫‡∑’¬∫ ·¬°§«“¡·µ°µà“ß

À√◊Õ§«“¡§≈⓬§≈÷ß°—π

3. ¡’§«“¡ “¡“√∂„π°“√‡≈◊Õ°„™â¢âÕ¡Ÿ≈ ·≈–«‘∏’°“√∑’Ë∂Ÿ°µâÕß

4. “¡“√∂ª√–¡“≥§à“¢Õߧ”µÕ∫‰¥â„°≈⇧’¬ß

5. ¡Õ߇ÀÁπ§ÿ≥§à“·≈–§«“¡‡°’ˬ«¢âÕߢÕߢâÕ¡Ÿ≈

6. ¬Õ¡√—∫°“√‡ª≈’ˬπ·ª≈ß ·≈–·°â‰¢ª√—∫ª√ÿß„À⥒¢÷Èπ‡ ¡Õ

7. “¡“√∂‡ª≈’ˬπ«‘∏’°“√§‘¥‰¥âÕ¬à“ß√«¥‡√Á«

8. ¡’§«“¡¡—Ëπ„®„πµπ‡Õß Ÿß

18

9. ¡’§«“¡ —¡æ—π∏åÕ—π¥’°—∫ºŸâÕ◊Ëπ

10. ¡’§«“¡ “¡“√∂∑“ß µ‘ªí≠≠“ Ÿß

≈—°…≥–ªí≠À“∑’Ë¥’

≈—°…≥–¢Õߪí≠À“∑’Ë¥’’§«√¡’≈—°…≥–¥—ßπ’È

1. ¿“…“∑’Ë„™â°√–™—∫ √—¥°ÿ¡ ∂Ÿ°µâÕß “¡“√∂‡¢â“„®‰¥âßà“¬

2. ·ª≈°„À¡à ”À√—∫π—°‡√’¬π ™à«¬°√–µÿâπ·≈–æ—≤π“

§«“¡§‘¥ ∑â“∑“¬§«“¡ “¡“√∂¢Õßπ—°‡√’¬π

3. ‰¡à —ÈπÀ√◊Õ¬“«‡°‘π‰ª

4. ‰¡à¬“°À√◊Õßà“¬‡°‘π‰ª ”À√—∫§«“¡ “¡“√∂¢Õßπ—°‡√’¬π

„π«—¬π—ÈπÊ

5. ∂“π°“√≥å¢Õߪí≠À“‡À¡“– ¡°—∫«—¬¢Õßπ—°‡√’¬π

6. „Àâ¢âÕ¡Ÿ≈Õ¬à“߇撬ßæÕ ∑’Ë®–𔉪ª√–°Õ∫°“√æ‘®“√≥“

·°âªí≠À“‰¥â

7. ‡°’ˬ«¢âÕß°—∫™’«‘µª√–®”«—π¢Õßπ—°‡√’¬π

8. ¢âÕ¡Ÿ≈∑’Ë¡’Õ¬Ÿà®–µâÕß∑—π ¡—¬ ·≈–‡ªìπ‡Àµÿ°“√≥å∑’ˇªìπ

‰ª‰¥â®√‘ß

9. ¡’«‘∏’°“√À“§”µÕ∫‰¥â¡“°°«à“ 1 «‘∏’

10. π—°‡√’¬π “¡“√∂„™â°“√«“¥¿“æ≈“¬‡ âπ ·ºπ¿“æ

‰¥Õ–·°√¡ À√◊Õ·ºπ¿Ÿ¡‘™à«¬„π°“√·°âªí≠À“

19

≈—°…≥–ªí≠À“§≥‘µ»“ µ√å

ªí≠À“§≥‘µ»“ µ√å®”·π°‰¥â‡ªìπ 6 ≈—°…≥– ¥—ßπ’È

1. ªí≠À“‡ªìπ·∫∫Ωñ°∑—°…– ‡™àπ 34 x 6 = ·≈–

528 x 79 = œ≈œ ´÷Ëߪí≠À“‡™àππ’È„™â§«“¡√Ÿâ·≈–∑—°…–°“√§Ÿ≥

2. ªí≠À“¢—ÈπµÕπ‡¥’¬« ‡ªìπªí≠À“ßà“¬Ê ∑’Ë„™â°“√·°âªí≠À“

‚¥¬∑”‡æ’¬ß¢—ÈπµÕπ‡¥’¬« ‡™àπ ç„πµŸâª≈“¢Õß ¡∫—µ‘¡’ª≈“Õ¬Ÿà 7 µ—«

·≈–„πµŸâª≈“¢Õßæ√™—¬¡’ª≈“Õ¬Ÿà 5 µ—« ¡∫—µ‘¡’ª≈“¡“°°«à“æ√™—¬

°’˵—«é ‡¢’¬π‡ªìπª√–‚¬§§≥‘µ»“ µ√剥⇪ìπ 7 - 5 = À√◊Õ

5 + = 7 ®–‡ÀÁπ«à“‚®∑¬å¢âÕπ’È„™â§«“¡√Ÿâ‡°’ˬ«°—∫°“√≈∫‡æ’¬ßÕ¬à“߇¥’¬«

3. ªí≠À“∑’Ë —∫´âÕ𠇪ìπªí≠À“∑’Ë„™â«‘∏’°“√§‘¥¡“°°«à“Àπ÷Ëß

¢—ÈπµÕ𠇙àπ ç„π°≈àÕß¢π“¥„À≠à®–∫√√®ÿ°≈àÕß¢π“¥‡≈Á°‰¥â 24 °≈àÕß

∂â“°≈àÕß¢π“¥‡≈Á°¡’≈Ÿ°ªîߪÕß 3 ≈Ÿ° ·≈–¡’√â“π¢“¬Õÿª°√≥å°“√°’Ó

·ÀàßÀπ÷Ëß —Ëß≈Ÿ°ªîߪÕß¡“¢“¬ 1,800 ≈Ÿ° Õ¬“°∑√“∫«à“√â“π¢“¬

Õÿª°√≥å°“√°’Ó·Ààßπ’È —Ëß°≈àÕß¢π“¥„À≠à∑’Ë∫√√®ÿ≈Ÿ°ªîߪÕß¡“°’Ë°≈àÕßé

‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ’È¡’«‘∏’°“√∑” 2 ¢—ÈπµÕπ §◊Õ

- À“®”π«π¢Õß≈Ÿ°ªîߪÕß∑’Ë∫√√®ÿÕ¬Ÿà„π°≈àÕß¢π“¥‡≈Á°

24 °≈àÕß ´÷Ëß¡’ 24 x 3 = 72 ≈Ÿ° ¥—ßπ—Èπ°≈àÕß¢π“¥„À≠à 1 °≈àÕß

∫√√®ÿ≈Ÿ°ªîߪÕ߉¥â 72 ≈Ÿ°

20

- À“®”π«π°≈àÕß¢π“¥„À≠à ÷Ëß®–‡∑à“°—∫

1,800 ÷ 72 = 25 °≈àÕß

®–‡ÀÁπ«à“‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ’È„™â∑—Èß«‘∏’°“√§Ÿ≥·≈–°“√À“√

µ—«Õ¬à“ß‚®∑¬å∑’Ë´—∫´âÕπÕ◊ËπÊ ‡™àπ

(1) ·¡à§â“´◊ÈÕ·Õª‡ªîô≈¡“ 2 ™π‘¥ ™π‘¥·√°√“§“º≈≈–

10 ∫“∑ ™π‘¥∑’Ë Õß√“§“º≈≈– 15 ∫“∑ ∂â“·¡à§â“´◊ÈÕ·Õª‡ªîô≈¡“

™π‘¥≈– 20 º≈ ·≈–π”¡“º ¡√«¡°—π·≈–¢“¬‰ªº≈≈– 12 ∫“∑ ·¡

à§â“®–‰¥â°”‰√À√◊Õ¢“¥∑ÿπ√âÕ¬≈–‡∑à“‰√

(2) §–·ππ Õ∫¢Õßπ—°‡√’¬π 4 §π ‡ªìπ¥—ßπ’È Àƒ∑—¬

Õ∫‰¥â§–·ππ¡“°°«à“π¿“ §‘¥‡ªìπ√âÕ¬≈– 20 ®“√¡’ Õ∫‰¥â§–·ππ

πâÕ¬°«à“Àƒ∑—¬ §‘¥‡ªìπ√âÕ¬≈– 50 ·≈–øÑ“„ Õ∫‰¥â§–·ππ¡“°°«à“

®“√¡’ §‘¥‡ªìπ√âÕ¬≈– 30 Õ¬“°∑√“∫«à“øÑ“„ Õ∫‰¥â§–·π𧑥‡ªìπ

√âÕ¬≈–‡∑à“‰√¢Õßπ¿“

4. ªí≠À“‡°’ˬ«°—∫°√–∫«π°“√ ‡™àπ ™ÿ¡πÿ¡‡∑ππ‘ ¢Õß

‚√߇√’¬π·ÀàßÀπ÷Ëß ¡’π—°‡√’¬π π„® ¡—§√‡¢â“·¢àߢ—π‡∑ππ‘ ∑—ÈßÀ¡¥ 15 §π

®—¥„Àâ·¢àߢ—π‰¥â§√—Èß≈– 2 §π ®–¡’«‘∏’®—¥°“√·¢àߢ—π„Àâ∑ÿ°§π‰¥âæ∫°—π

∑—ÈßÀ¡¥°’˧√—Èß

”À√—∫°“√·°â‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ’È π—°‡√’¬πÕ“®®–‰¡à‡§¬

æ∫ªí≠À“≈—°…≥–π’È¡“°àÕπ ¥—ßπ—Èπ°“√«“¥√Ÿª °“√‡¢’¬π·ºπ¿“æÀ√◊Õ

µ“√“ß®–™à«¬‰¥â µ—«Õ¬à“߇™àπ

21

√“¬™◊ËÕ Õ≈‘ “ ∫“√¡’ »√’¥“ ¥«ß„® ... Õ¿‘™“µ‘

Õ≈‘ “ ...

∫“√¡’ ...

»√’¥“ ...

¥«ß„® ...

Õ¿‘™“µ

‡§√◊ËÕßÀ¡“¬ · ¥ß°“√·¢àߢ—π‡∑ππ‘ √–À«à“ߧπ Õߧπ

À√◊Õ §π∑’Ë - §π∑’Ë

1 - 2, 1 - 3, 1 - 4, ... , 1 - 15

2 - 3, 2 - 4, ... , 2 - 15

3 - 4, ... , 3 - 15

4 - 15

22

®“°µ“√“ß®–‡ÀÁπ«à“ Õ≈‘ “·¢àß°—∫∫“√¡’ ·¢àß°—∫

»√’¥“ ·¢àß°—∫¥«ß„®... ·¢àß°—∫Õ¿‘™“µ‘ ∫“√¡’·¢àß°—∫»√’¥“ ·¢àß°—∫

¥«ß„®... ·¢àß°—∫Õ¿‘™“µ‘ œ≈œ

5. ªí≠À“‡°’ˬ«°—∫°“√ª√–¬ÿ°µå ‡™àπ ç‚√߇√’¬π¢Õß

π—°‡√’¬π„™â°√–¥“…‰ª®”π«π‡∑à“‰√„π‡«≈“ 1 ‡¥◊Õπé ”À√—∫ªí≠À“π’È

‡ªìπªí≠À“∑’ˇ°’ˬ«¢âÕß°—∫™’«‘µª√–®”«—π „π°“√·°âªí≠À“ π—°‡√’¬π

µâÕß„™â«‘∏’°“√∑“ß ∂‘µ‘„π°“√‡°Á∫√«∫√«¡¢âÕ¡Ÿ≈ «‘‡§√“–Àå¢âÕ¡Ÿ≈ ·≈–

𔇠πÕ¢âÕ¡Ÿ≈ ‚¥¬„™â§«“¡√Ÿâ∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å„π°“√§‘¥§”π«≥

§√ŸÕ“®®–‡ª≈’ˬπ«‘∏’°“√ Õπ ‚¥¬°“√„™â§”∂“¡¡“‡ªìπ°“√„Àâπ—°‡√’¬π

»÷°…“§âπ§«â“‡°’ˬ«°—∫°“√Õπÿ√—°…å ‘Ëß·«¥≈âÕ¡ ·π–π”„Àâπ—°‡√’¬πÕà“π

∫∑§«“¡‡°’ˬ«°—∫°“√√—°…“ªÉ“ ∫∑§«“¡‡°’ˬ«°—∫°“√µ—¥µâπ‰¡âÕ¬à“ß

¡“°¡“¬¡“„™â„π°“√º≈‘µ°√–¥“…™π‘¥µà“ßÊ °“√ √â“ß∫â“π °“√∑”

‡øÕ√å𑇮Õ√å·≈–Õ◊ËπÊ Õ’° ®“°°“√»÷°…“§âπ§«â“π—°‡√’¬π®–æ∫«à“ µâπ‰¡â

¢π“¥„À≠à∑’ˉ¥â¡“µ√∞“π 1 µâπ π”¡“∑”‡ªìπ°√–¥“…‰¥â 250 °‘‚≈°√—¡

¥—ßπ—Èπ‡¡◊ËÕµâÕß°“√∑√“∫®”π«π°√–¥“…∑’Ë ‚√߇√’¬π„™â∑—ÈßÀ¡¥ °ÁµâÕß

π—∫®”π«π°√–¥“…∑’Ë·µà≈–§π„™â„π‡«≈“ 1 «—π „π‡«≈“ 1 —ª¥“Àå

„π‡«≈“ 1 ‡¥◊Õπ ·≈⫧‘¥®”π«π°√–¥“…∑’Ë∑ÿ°§π„π‚√߇√’¬π„™â „π‡«≈“

∑’Ë°”Àπ¥ 1 ‡¥◊Õπ ‚¥¬µâÕß Õ∫∂“¡®”π«π°√–¥“…∑’ËÀπ૬ߓπµà“ßÊ

„π‚√߇√’¬π„™â ‡™àπ À¡«¥«‘™“°“√µà“ßÊ ¢Õß‚√߇√’¬π ÀâÕß∏ÿ√°“√

ÀâÕßÕ“À“√ ÀâÕß ¡ÿ¥ ‡ªìπµâπ Õ∫∂“¡®”π«π°√–¥“…∑’Ëπ—°‡√’¬π

∑ÿ°§π„™â ·≈â«π”®”π«π°√–¥“…∑—ÈßÀ¡¥¡“√«¡°—π ·≈–§‘¥§”π«≥

23

πÈ”Àπ—°¢Õß°√–¥“…∑’Ë„™â∑—ÈßÀ¡¥‡ªìπ°‘‚≈°√—¡ ´÷Ëß∑”„Àâπ—°‡√’¬π “¡“√∂

§‘¥§”π«π·≈–®–∑√“∫®”π«πµâπ‰¡â∑’˵âÕßµ—¥¡“∑”°√–¥“…„Àâ‚√߇√’¬π

·Ààßπ’È„™â„π‡«≈“ 1 ‡¥◊Õπ º≈®“°°“√»÷°…“§âπ§«â“ “¡“√∂§âπÀ“

°‘®°√√¡ «‘∏’°“√·°âªí≠À“Õ¬à“ßµàÕ‡π◊ËÕß §◊Õ ‚√߇√’¬π§«√®–√≥√ߧå

„Àâπ—°‡√’¬πª√–À¬—¥°√–¥“… Õ“®®–®—¥„Àâ¡’°“√ª√–°«¥‡°’ˬ«°—∫«‘∏’°“√

∑’Ë¥’∑’Ë ÿ¥„π°“√ª√–À¬—¥°√–¥“… °“√π”°√–¥“…∑’Ë„™â·≈⫉ª∑”„À¡à

(recycle) ‡æ◊ËÕ„Àâπ”°≈—∫¡“„™â„À¡à‰¥â

πÕ°®“°π’È „π°“√·°âªí≠À“§≥‘µ»“ µ√å µâÕß„™â§«“¡√Ÿâ

∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å °“√§‘¥§”π«≥ ·≈–æ‘®“√≥“µ—¥ ‘π„®«à“ ∑”Õ¬à“߉√

®÷ß®–·°âªí≠À“‰¥â¥’∑’Ë ÿ¥ ”À√—∫ ∂“π°“√≥å¢Õߪí≠À“π—Èπ µ—«Õ¬à“ß

ªí≠À“§≥‘µ»“ µ√å ‡™àπ

(1) ¡∫—µ‘¢“¬∫â“π ÕßÀ≈—ß„Àâ¡“≈‘π’„π√“§“ 9 ≈â“π∫“∑

·≈–¡“≈‘π’®à“¬‡ß‘π ¥ ¡∫—µ‘®÷ß≈¥√“§“„Àâ 10% ¢Õß√“§“∫â“π µàÕ¡“

¡“≈‘π’µâÕß°“√π”‡ß‘π‰ª≈ß∑ÿπ„π∏ÿ√°‘® àß ‘π§â“ÕÕ° ®÷ß®”‡ªìπµâÕߢ“¬

∫â“π§◊π„Àâ ¡∫—µ‘ ‚¥¬¡“≈‘π’¢Õ§‘¥°”‰√ 10% ¢Õß√“§“∫â“π∑’Ë ◊ÈÕ¡“

Õ¬“°∑√“∫«à“ ¡∫—µ‘®–µâÕß®à“¬‡ß‘π ◊ÈÕ∫â“π‡æ‘Ë¡¢÷Èπ®“°‡ß‘π∑’Ë ¡∫—µ‘‡§¬

‰¥â√—∫‡¡◊ËÕ¢“¬∫â“π‰¥âÀ√◊Õ‰¡à ∂⓵âÕß®à“¬‡æ‘Ë¡ ‡¢“®–µâÕß®à“¬‡∑à“‰√

24

(2) ∫¥‘π∑√åµâÕß°“√‡™à“√∂¬πµåÀπ÷Ëß«—π ‡æ◊ËÕµ‘¥µàÕ

∏ÿ√°‘®„π°√ÿ߇∑æ¡À“π§√ ‡¡◊ËÕ‡¢“‚∑√»—æ∑嵑¥µàÕ‡æ◊ËÕ‡™à“√∂¬πµå ‡¢“

‰¥â¢âÕ¡Ÿ≈¥—ßπ’È ∫√‘…—∑‚™§™—¬®”°—¥ §‘¥§à“‡™à“«—π≈– 1,500 ∫“∑ ·≈–

§à“ ÷°À√Õ°‘‚≈‡¡µ√≈– 20 ∫“∑ ∫√‘…—∑π”‚™§®”°—¥§‘¥§à“‡™à“«—π≈–

1,200 ∫“∑ ·≈–§à“ ÷°À√Õ°‘‚≈‡¡µ√≈– 25 ∫“∑ ∑à“𧑥«à“∫¥‘π∑√å

§«√®–‡≈◊Õ°‡™à“√∂¬πµå®“°∫√‘…—∑„¥®÷ß®–™à«¬ª√–À¬—¥‡ß‘π¡“°∑’Ë ÿ¥

(3) ™“¬ÀπÿࡧπÀπ÷Ë߉¥â™à«¬™’«‘µ¢Õ߇»√…∞’®“°°“√

∂Ÿ°ª≈â𠇻√…∞’ª√–∑—∫„®„𧫓¡™à«¬‡À≈◊Õ¢Õß™“¬Àπÿࡧππ’È¡“°

®÷ßµâÕß°“√¡Õ∫√“ß«—≈‡ªìπ ‘ππÈ”„®„À♓¬Àπÿà¡ ‚¥¬„Àâµ—¥ ‘π„®«à“

®–‡≈◊Õ°√—∫√“ß«—≈·∫∫„¥ ·∫∫·√° §◊Õ ™“¬Àπÿà¡®–‰¥â√—∫∑Õߧ”Àπ—°

1,000 ∫“∑ ·∫∫∑’Ë Õß §◊Õ «—π·√°™“¬Àπÿà¡®–‰¥â√—∫∑Õߧ”Àπ—°

2 ∫“∑ «—πµàÕÊ ¡“‡¢“®–‰¥â√—∫∑Õߧ”‡ªìπ 2 ‡∑à“¢Õß«—π°àÕπÀπâ“π—Èπ

25

‡™àπ «—π∑’Ë 2 ‡¢“®–‰¥â√—∫∑Õߧ”Àπ—° 4 ∫“∑ ·≈–«—π∑’Ë 3 ‡¢“®–‰¥â√—∫

∑Õߧ”Àπ—° 8 ∫“∑ ... ‚¥¬®–‰¥â√—∫∑Õߧ”‡ªìπ‡«≈“∑—ÈßÀ¡¥ 10 «—π

∑à“𧑥«à“™“¬Àπÿࡧππ’ȧ«√®–‡≈◊Õ°√—∫√“ß«—≈·∫∫„¥ Õ∏‘∫“¬§”µÕ∫

æ√âÕ¡°—∫· ¥ß«‘∏’°“√§‘¥¥â«¬

6. ªí≠À“„π√Ÿªª√‘»π“ ‡ªìπªí≠À“∑’Ë ‰¡à “¡“√∂®–À“

§”µÕ∫‰¥â∑—π∑’ µâÕßæ‘®“√≥“‡ß◊ËÕπ‰¢¢Õß‚®∑¬å·≈–∑¥≈Õß·°âªí≠À“

‡™àπ ®ß≈“° à«π¢Õ߇ âπµ√ß 3 ‡ âπ „Àâºà“π®ÿ¥∑—Èß 9 ®ÿ¥‡æ’¬ß§√—È߇¥’¬«

‚¥¬‰¡à¬°ª“°°“„π¢≥–∑’Ë≈“°‡ âπ

ªí≠À“„π√Ÿªª√‘»π“ Õ“®®–‡ªìπªí≠À“‡°’ˬ«°—∫§≥‘µ»“ µ√å

À√◊Õ‰¡à„™à§≥‘µ»“ µ√å‚¥¬µ√ß°Á‰¥â ”À√—∫‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ’ȵâÕß„™â°“√

§“¥‡¥“·≈–∑¥≈Õß≈“° à«π¢Õ߇ âπµ√ß §π∫“ߧπ™Õ∫ªí≠À“„π

√Ÿªª√‘»π“ ·µà§π à«π¡“°®–√Ÿâ ÷°«à“¬“° ·≈–‰¡à™Õ∫ªí≠À“‡À≈à“π’È

‡π◊ËÕß®“°‰¡à∑√“∫§”µÕ∫ ·≈–µâÕߧâπÀ“«‘∏’°“√·°âªí≠À“¥â«¬«‘∏’°“√

µà“ßÊ ®÷ß∑”„Àâ√Ÿâ ÷°«à“¬“° ·≈–‰¡à ∫“¬„®„π°“√§‘¥ªí≠À“„π√Ÿªª√‘»π“

26

ª√–‡¿∑¢Õߪí≠À“§≥‘µ»“ µ√å

Kutz (1991 : 93) ‰¥â·∫àß°“√·°âªí≠À“ÕÕ°‡ªìπª√–‡¿∑

„À≠àÊ 2 ª√–‡¿∑ §◊Õ

1. °“√·°âªí≠À“∑’Ëæ∫‡ÀÁπ∑—Ë«‰ªÀ√◊Õ‚®∑¬åªí≠À“ (routine

or word problem solving) ªí≠À“∑’Ëæ∫‡ÀÁπ°—π‚¥¬∑—Ë«‰ªÀ√◊Õªí≠À“

∑’Ëπ—°‡√’¬π§ÿâπ‡§¬ (routine problem) ‡ªìπªí≠À“∑’Ë¡’‚§√ß √â“߉¡à —∫´âÕπ

ºŸâ·°âªí≠À“¡’§«“¡§ÿâπ‡§¬°—∫‚§√ß √â“ß ≈—°…≥–¢Õߪí≠À“ ·≈–

«‘∏’°“√·°âªí≠À“ ‡™àπ ·Õª‡ªîô≈√“§“º≈≈– 12 ∫“∑ ∂⓵âÕß°“√´◊ÈÕ

·Õª‡ªîô≈ 8 º≈ ®–µâÕß®à“¬‡ß‘π‡∑à“‰√

2. °“√·°âªí≠À“∑’ˉ¡à‡§¬æ∫‡ÀÁπ¡“°àÕπ (non-routine

problem solving) ªí≠À“∑’ˉ¡à‡§¬æ∫‡ÀÁπ¡“°àÕπÀ√◊Õªí≠À“∑’Ëπ—°‡√’¬π

‰¡à§ÿâπ‡§¬ (non-routine problem) ‡ªìπªí≠À“∑’Ë¡’‚§√ß √â“ß —∫ âÕπ

ºŸâ·°âªí≠À“®–µâÕߪ√–¡«≈§«“¡√Ÿâ §«“¡§‘¥√«∫¬Õ¥ ·≈–À≈—°°“√

µà“ßÊ ∑’Ëπ”¡“„™â„π°“√·°âªí≠À“ ÷Ëß·∫àßÕÕ°‡ªìπ 2 ≈—°…≥– §◊Õ

2.1 ªí≠À“°√–∫«π°“√ (process problem) ‡ªìπ

ªí≠À“∑’˵âÕß„™â°√–∫«π°“√§‘¥ Õ¬à“ß¡’≈”¥—∫¢—ÈπµÕπ„π°“√·°âªí≠À“

µ—«Õ¬à“߇™àπ

27

(1) ç°”Àπ¥‡≈¢‚¥¥ 5, 6, 7, 8, 9 „ à‡≈¢‚¥¥

≈ß„π x Õ¬à“߉√ ∑”„Àâ ‰¥âº≈§Ÿ≥¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥

‚¥¬‡≈¢‚¥¥·µà≈–µ—«∑’Ëπ”¡“§Ÿ≥°—πµâÕ߉¡à È”°—πé

°“√§‘¥‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ’Èπ—°‡√’¬πµâÕß„™â§«“¡

√Ÿâ«à“ º≈§Ÿ≥¢Õ߇≈¢‚¥¥®–¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥‡¡◊ËÕ 8 x 9 = 72 ¥—ßπ—Èπ®–‰¥â

9 x 8 À√◊Õ 8 x 9 ‡¡◊ËÕ≈Õߧ‘¥µàÕ‰ª Õ“®®–‰¥â

975 x 86 = 83,850

À√◊Õ 976 x 85 = 82,960

À√◊Õ 965 x 87 = 83,955

À√◊Õ 876 x 95 = 83,220

À√◊Õ 875 x 96 = 84,000

·≈– 84,000 ¡’§à“¡“°∑’Ë ÿ¥ ¥—ßπ—È𧔵Õ∫

§◊Õ 8 7 5 x 9 6

(2) ç‡≈¢‚¥¥∑’ËÕ¬Ÿà„πÀ≈—°Àπ૬·≈–À≈—° ‘∫¢Õß

72001 §◊ÕÕ–‰√é

°“√§‘¥‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ’ÈÕ“®‡√‘Ë¡¥â«¬°“√

À“§à“¢Õß 71 = 7, 72 = 49, 73 = 343, 74 = 2,401,

75 = 16,807, 76 = 117,649, 77 = 823,543, 78 = 5,764,801,

79 = ...607, 710 = ...249, 711 = ...43,... ‡¡◊ËÕæ‘®“√≥“‡≈¢‚¥¥

∑’ËÕ¬Ÿà„πÀ≈—° ‘∫·≈–À≈—°Àπ૬®–‰¥â 07, 49, 43, 01 µ“¡≈”¥—∫

´÷Ëß®–‡ªìπ 4 ®”π«ππ’ȇ ¡Õ ·≈– 72001 = 74k + 1 ‡¡◊ËÕ

28

k = 500 ¥—ßπ—Èπ 72001 ®–¡’‡≈¢‚¥¥∑’ËÕ¬Ÿà„πÀ≈—° ‘∫·≈–À≈—°Àπ૬

‡À¡◊Õπ°—∫ 75, 79,...... π—Ëπ§◊Õ 0 ·≈– 7 µ“¡≈”¥—∫

(3) ç®–µâÕß„™â ’∑“ÀâÕ߇√’¬π‡ªìπª√‘¡“≥‡∑à“„¥é

°“√·°âªí≠À“π—°‡√’¬π®–µâÕߧ”π«≥æ◊Èπ∑’Ë

∑—ÈßÀ¡¥¢ÕßÀâÕ߇√’¬π∑’Ë®–∑“ ’ ·≈–§”π«≥ª√‘¡“≥ ’∑’Ë®–„™â∑“

2.2 ªí≠À“„π√Ÿªª√‘»π“ (puzzle problem) ‡ªìπ

ªí≠À“∑’Ë∑â“∑“¬ ·≈–„À⧫“¡ πÿ° π“𠇙àπ ®“°¿“æ∑’Ë°”Àπ¥„Àâπ’È

®ßæ‘®“√≥“«à“ÀπŸ®–À“∑“ßÕÕ°®“°‡¢“«ß°µπ’È ‰¥âÕ¬à“߉√

29

®“°¿“æ®–‡ÀÁπ«à“ „π°“√À“∑“ßÕÕ°®“°‡¢“«ß°µ

¢ÕßÀπŸ ∑”‰¥â¥â«¬°“√§‘¥¬âÕπ°≈—∫«à“ÀπŸ‡¥‘πÕÕ°¡“∑“ß„¥ °Á≈“°‡ âπ

¬âÕπ°≈—∫¢÷Èπ‰ª®π‰ªæ∫‡ âπ∑“ß∑’ËÀπŸ‡¥‘π‡¢â“¡“

®“°‚®∑¬åªí≠À“µà“ßÊ ∑’Ë°≈à“«¡“ ®–‡ÀÁπ«à“ªí≠À“

∑’ˇªìπ·∫∫Ωñ°µâÕß°“√„Àâ ‰¥âΩñ°Ωπ¢—ÈπµÕπ°“√§‘¥§”π«≥ µâÕß„™â§«“¡

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30

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34

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38

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39

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°—π‚¥¬∑—Ë«‰ª §◊Õ °√–∫«π°“√·°âªí≠À“¢Õß ‚æ≈¬“ (George Polya

ªï §.». 1887 - 1985) ´÷Ë߉¥â‡¢’¬π‰«â„πÀπ—ß ◊Õ™◊ËÕ çHow to Solve Ité

„πªï §.». 1957 ‡ªìπÀπ—ß ◊Õ∑’Ë¡’™◊ËÕ‡ ’¬ß¡“° ‚¥¬‰¥â√—∫°“√·ª≈

‡ªìπ¿“…“µà“ßÊ ∑—Ë«‚≈°‰¡àπâÕ¬°«à“ 15 ¿“…“ °√–∫«π°“√·°âªí≠À“

¢Õß‚æ≈¬“ ¡’∑—ÈßÀ¡¥ 4 ¢—ÈπµÕπ §◊Õ

¢—Èπ∑’Ë 1 °“√∑”§«“¡‡¢â“„®ªí≠À“ (Understanding the

problem) µâÕ߇¢â“„®«à“‚®∑¬å∂“¡Õ–‰√ ‚®∑¬å°”Àπ¥Õ–‰√¡“„Àâ ·≈–

‡æ’¬ßæÕ ”À√—∫°“√·°âªí≠À“π—ÈπÀ√◊Õ‰¡à “¡“√∂ √ÿªªí≠À“ÕÕ°¡“

‡ªìπ¿“…“¢Õßµπ‡Õ߉¥â ∂⓬—߉¡à™—¥‡®π„π‚®∑¬åÕ“®„™â°“√«“¥√Ÿª

·≈–·¬°·¬– ∂“π°“√≥å À√◊Õ‡ß◊ËÕπ‰¢„π‚®∑¬åÕÕ°‡ªìπ à«πÊ ´÷Ëß®–

™à«¬∑”„À⇢Ⓞ®‚®∑¬åªí≠À“¡“°¢÷Èπ

40

¢—Èπ∑’Ë 2 °“√«“ß·ºπ°“√·°âªí≠À“ (Devising a plan)

ºŸâ‡√’¬π¡Õ߇ÀÁ𧫓¡ ”§—≠¢ÕߢâÕ¡Ÿ≈µà“ßÊ „π‚®∑¬åªí≠À“Õ¬à“ß™—¥‡®π

¡“°¢÷È𠇪ìπ¢—Èπ∑’˧âπÀ“§«“¡ —¡æ—π∏å√–À«à“ß ‘Ëß∑’Ë ‚®∑¬å∂“¡ °—∫¢âÕ¡Ÿ≈

À√◊Õ ‘Ëß∑’Ë‚®∑¬å°”Àπ¥„Àâ ∂â“À“°‰¡à “¡“√∂À“§«“¡ —¡æ—π∏剥⠰Á§«√

Õ“»—¬À≈—°°“√¢Õß°“√«“ß·ºπ°“√·°âªí≠À“¥—ßπ’È

- ‚®∑¬åªí≠À“≈—°…≥–π’ȇ§¬æ∫¡“°àÕπÀ√◊Õ‰¡à ¡’≈—°…≥–

§≈⓬§≈÷ß°—∫‚®∑¬åªí≠À“∑’ˇ§¬∑”¡“·≈â«Õ¬à“߉√

- ‡§¬æ∫‚®∑¬åªí≠À“≈—°…≥–π’ȇ¡◊ËÕ‰√ ·≈–„™â«‘∏’°“√„¥

„π°“√·°âªí≠À“

- ∂â“Õà“π‚®∑¬åªí≠À“§√—Èß·√°·≈⫉¡à‡¢â“„® §«√Õà“π‚®∑¬å

ªí≠À“Õ’°§√—Èß ·≈â««‘‡§√“–À姫“¡·µ°µà“ߢÕߪí≠À“π’È°—∫ªí≠À“∑’ˇ§¬

∑”¡“°àÕπ

¢—Èπ∑’Ë 3 °“√¥”‡π‘π°“√µ“¡·ºπ (Carrying out the plan)

≈ß¡◊ժؑ∫—µ‘°“√µ“¡·ºπ∑’Ë«“߉«â ‡æ◊ËÕ„Àâ ‰¥â§”µÕ∫¢Õߪí≠À“¥â«¬°“√

√Ÿâ®—°‡≈◊Õ°«‘∏’°“√§‘¥§”π«≥ ¡∫—µ‘ °Æ À√◊Õ Ÿµ√ ∑’ˇÀ¡“– ¡¡“„™â

¢—Èπ∑’Ë 4 °“√µ√«® Õ∫º≈ (Looking back) ‡ªìπ°“√

µ√«® Õ∫‡æ◊ËÕ„Àâ·πà„®«à“º≈≈—æ∏å∑’ˉ¥â∂Ÿ°µâÕß ¡∫Ÿ√≥å ‚¥¬°“√æ‘®“√≥“

·≈–µ√«®¥Ÿ«à“º≈≈—æ∏å∂Ÿ°µâÕß·≈–¡’‡Àµÿº≈∑’Ëπà“‡™◊ËÕ∂◊Õ‰¥âÀ√◊Õ‰¡à µ≈Õ¥®π

°√–∫«π°“√„π°“√·°âªí≠À“ ´÷ËßÕ“®®–„™â«‘∏’°“√Õ’°«‘∏’Àπ÷Ëßµ√«® Õ∫

‡æ◊ËÕ¥Ÿ«à“º≈≈—æ∏å∑’ˉ¥âµ√ß°—πÀ√◊Õ‰¡à À√◊ÕÕ“®„™â°“√ª√–¡“≥§à“¢Õß

§”µÕ∫Õ¬à“ߧ√à“«Ê

41

µ—«Õ¬à“ß°“√¥”‡π‘π°“√·°â ‚®∑¬åªí≠À“µ“¡°√–∫«π°“√

·°âªí≠À“ ¢Õß‚æ≈¬“

ç„πß“π‡≈’Ȭ߂µä–®’π·ÀàßÀπ÷Ëß ¡’®“π·≈–™“¡Õ“À“√∑’ˇ ‘√åø

„πß“π‡≈’Ȭß∑—ÈßÀ¡¥ 65 „∫ ∂â“·¢°∑’Ë¡“„πß“π√à«¡°—π√—∫ª√–∑“π

Õ“À“√‚¥¬¡’‡ß◊ËÕπ‰¢¥—ßπ’È ·¢°∑ÿ° 2 §π·∫àߢ⓫®“π‡¥’¬«°—π ·¢°

∑ÿ° 3 §π ·∫àß·°ß®◊¥™“¡‡¥’¬«°—π ·≈–·¢°∑ÿ° 4 §π ·∫àß

‡π◊ÈÕ‰°à®“π‡¥’¬«°—π Õ¬“°∑√“∫«à“ß“π‡≈’Ȭßπ’ȇ™‘≠·¢°¡“∑—ÈßÀ¡¥°’˧πé

¥”‡π‘π°“√·°âªí≠À“µ“¡¢—ÈπµÕπµàÕ‰ªπ’È

1. °“√∑”§«“¡‡¢â“„®ªí≠À“

¡’®“πÕ“À“√∑—ÈßÀ¡¥°’Ë„∫ (65 „∫)

¡’°“√√—∫ª√–∑“πÕ“À“√√à«¡°—πÕ¬à“߉√ ”À√—∫¢â“«

(2 §πµàÕ 1 ®“π)

·°ß®◊¥ (3 §πµàÕ 1 ™“¡) ·≈–‡π◊ÈÕ‰°à (4 §πµàÕ 1 ®“π)

2. °“√«“ß·ºπ°“√·°âªí≠À“

∂â“¡’§π 6 §π ®–√—∫ª√–∑“πÕ“À“√√à«¡°—π‰¥âÕ¬à“߉√

(¢â“« 3 ®“π ·°ß®◊¥ 2 ™“¡)

∂â“¡’§π 8 §π ®–√—∫ª√–∑“π‡π◊ÈÕ‰°à‰¥â°’Ë®“π (2 ®“π)

¥—ßπ—Èπ§«√∑”µ“√“ß· ¥ß®”π«π·¢° ®”π«π®“π™“¡

¢ÕßÕ“À“√·µà≈–™π‘¥

3. °“√¥”‡π‘π°“√µ“¡·ºπ

∑”µ“√“ß·≈â«¥Ÿ·∫∫√Ÿª¢Õß®”π«π∑’ˇ°‘¥¢÷Èπ

42

¢â“« ·°ß®◊¥ ‡π◊ÈÕ‰°à ®”π«π®“π®”π«π·¢°

(®“π) (™“¡) (®“π) ·≈–™“¡∑—ÈßÀ¡¥ („∫)

1 1 1 1 32 1 1 1 33 2 1 1 44 2 2 1 55 3 2 2 76 3 2 2 77 4 3 2 98 4 3 2 99 5 3 3 1110 5 4 3 1211 6 4 3 1312 6 4 3 13. : : : :: : : : :

60 30 20 15 30 + 20 + 15 = 65 „∫

®“°µ“√“ß®–æ∫«à“ ¡’·¢°¡“„πß“π∑—ÈßÀ¡¥ 60 §π

4. °“√µ√«® Õ∫º≈ §”µÕ∫∑’ˉ¥â¡’§«“¡‡ªìπ‰ª‰¥â·≈–∂Ÿ°µâÕß

°“√µ√«® Õ∫§”µÕ∫∑’Ë ‰¥â«à“¡’·¢°¡“„πß“π∑—ÈßÀ¡¥

60 §π ∂Ÿ°µâÕßÀ√◊Õ‰¡àπ—Èπ ∑”‰¥â‚¥¬µ√«® Õ∫«à“·¢° 60 §π √—∫ª√–∑“π

¢â“«°’Ë®“π ·°ß®◊¥°’Ë™“¡ ·≈–‡π◊ÈÕ‰°à°’Ë®“π ´÷Ëß®–‰¥â

¢â“« 60 ÷ 2 = 30 ®“π ·°ß®◊¥ 60 ÷ 3 = 20 ™“¡

·≈–‡π◊ÈÕ‰°à 60 ÷ 4 = 15 ®“π π”®“π·≈–™“¡∑—ÈßÀ¡¥¡“√«¡°—π‰¥â

30 + 20 + 15 = 65 „∫ · ¥ß«à“§”µÕ∫ ç¡’·¢°¡“„πß“π∑—ÈßÀ¡¥

60 §πé ∂Ÿ°µâÕß

”À√—∫‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ’ÈÕ“®®–„™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕß §.√.π.

„π¢—Èπ°“√«“ß·ºπ°“√·°âªí≠À“ ‡æ◊ËÕÀ“«à“®–¡’·¢°¡“„πß“πÕ¬à“ß

πâÕ¬∑’Ë ÿ¥°’˧π ∂â“·¢°∑ÿ° 2 §π ·∫àߢ⓫®“π‡¥’¬«°—π ·¢°∑ÿ° 3 §π

·∫àß·°ß®◊¥™“¡‡¥’¬«°—π ·≈–·¢°∑ÿ° 4 §π ·∫à߇π◊ÈÕ‰°à®“π‡¥’¬«°—π

π—Ëπ§◊Õ °“√À“ §.√.π. ¢Õß 2, 3 ·≈– 4 „π¢—Èπ°“√¥”‡π‘π°“√µ“¡·ºπ

π—°‡√’¬πÀ“ §.√.π. ‚¥¬«‘∏’°“√·¬°µ—«ª√–°Õ∫À√◊Õ‚¥¬«‘∏’°“√À“√

¥—ßπ’È

‚¥¬«‘∏’·¬°µ—«ª√–°Õ∫ ‚¥¬«‘∏’°“√À“√

2 = 2 x 1 2) 2 3 4______

3 = 3 x 1 1 3 2__________4 = 2 x 2

∴ §.√.π. ¢Õß 2, 3 ·≈– 4 §◊Õ 2 X 3 X 2 = 12

¥—ßπ—Èπ ®–¡’·¢°¡“„πß“πÕ¬à“ßπâÕ¬∑’Ë ÿ¥ 12 §π

43

44

·µà·¢° 12 §π ®–√—∫ª√–∑“π¢â“« 12 ÷ 2 = 6 ®“π

·°ß®◊¥ 12 ÷ 3 = 4 ™“¡

·≈–‡π◊ÈÕ‰°à 12 ÷ 4 = 3 ®“π

¥—ßπ—Èπ®–„™â®“π·≈–™“¡∑—ÈßÀ¡¥ 6 + 4 + 3 = 13 „∫

·µà‚®∑¬å°”Àπ¥„Àâ¡’®“π·≈–™“¡Õ“À“√∑’ˇ ‘√åø„πß“π

‡≈’Ȭß∑—ÈßÀ¡¥ 65 „∫

· ¥ß«à“®”π«π®“π·≈–™“¡µâÕ߇æ‘Ë¡¢÷Èπ‡ªìπ 5 ‡∑à“

‡æ√“– 5 X 13 = 65

¥—ßπ—Èπ®”π«π·¢°°ÁµâÕ߇æ‘Ë¡¢÷Èπ 5 ‡∑à“¥â«¬ ®÷ß¡’·¢°

¡“„πß“π∑—ÈßÀ¡¥ 5 x 12 = 60 §π

µ—«Õ¬à“ߢÕߪí≠À“µà“ßÊ ∑’Ë„ÀâΩñ°§‘¥

1. ‚ ¿’¡’Õ“¬ÿ‡ªìπ Õ߇∑à“¢Õß™“¥“ ‡¡◊ËÕπ”Õ“¬ÿ¢Õߧπ

∑—Èß Õß¡“√«¡°—π®–‰¥â 42 ªï ·µà≈–§π¡’Õ“¬ÿ‡∑à“‰√

2. „π√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡°≈ ´÷Ëß¡’√Ÿª«ß°≈¡«“߇√’¬ß°—πÕ¬Ÿà

¥—ß¿“æ ®ßπ”µ—«‡≈¢µ—Èß·µà 1 - 6 „ à≈ß„π√Ÿª«ß°≈¡‡À≈à“π’È ·≈â«∑”„Àâ

º≈∫«°„π·µà≈–·∂«‡∑à“°—∫ 10 À√◊Õ 11 À√◊Õ 12

45

3. „π«—π»ÿ°√å§ÿ≥·¡à®–®à“¬‡ß‘πª√–®” —ª¥“Àå„Àâ¡π—

225 ∫“∑ ‚¥¬®à“¬‡ªìπ‡À√’¬≠≈–Àâ“∫“∑·≈–‡À√’¬≠≈– ‘∫∫“∑

¡π— π—∫®”π«π‡À√’¬≠‰¥â∑—ÈßÀ¡¥ 25 ‡À√’¬≠ Õ¬“°∑√“∫«à“¡π—

‰¥â√—∫‡À√’¬≠≈–Àâ“∫“∑·≈–‡À√’¬≠≈– ‘∫∫“∑Õ¬à“ß≈–°’ˇÀ√’¬≠

4. „π«—π՗ߧ“√‡«≈“ 13.00 π. §√Õ∫§√—«¢Õß¡“≈‘π’ÕÕ°

‡¥‘π∑“ß®“°∫â“π‰ªæ—°ºàÕπ∑’Ë∫â“πæ—°™“¬∑–‡≈¢Õß®—ßÀ«—¥Àπ÷Ëß ‚¥¬

µâÕߢ—∫√∂‡ªìπ√–¬–∑“ß 260 °‘‚≈‡¡µ√ ∂ⓧÿ≥æàÕ¢Õß¡“≈‘π’¢—∫√∂

‚¥¬Õ—µ√“‡√Á«‡©≈’ˬ 65 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß ·≈–æ’Ë “«¢Õß¡“≈‘π’¢—∫√∂

µ“¡¡“„π‡«≈“ 2 ™—Ë«‚¡ßµàÕ¡“ ‚¥¬„™â‡ âπ∑“߇¥‘¡∑’˧ÿ≥æàÕ¢—∫ ·≈–¢—∫

√∂¥â«¬Õ—µ√“‡√Á«‡©≈’ˬ 75 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß æ’Ë “«¢Õß¡“≈‘π’®–¢—∫√∂

‰ª∑—π§ÿ≥æàÕÀ√◊Õ‰¡à ·≈–„§√®–‰ª∂÷ß∫â“πæ—°°àÕπ·≈–∂÷ß∫â“πæ—°

‡¡◊ËÕ‡«≈“‡∑à“‰√

5. ß“π‡≈’È¬ß —ß √√§åªï„À¡à¢ÕßÀπ૬ߓπ·ÀàßÀπ÷Ëß ´÷Ëß¡’

§π∑”ß“π 30 §π °”Àπ¥°“√√—∫ª√–∑“πÕ“À“√¥—ßπ’È §π 2 §π

®–·∫àߢ⓫®“π‡¥’¬«°—π §π 3 §π ®–·∫àß·°ß‡¢’¬«À«“π‰°à

™“¡‡¥’¬«°—π ·≈–§π 4 §π®–·∫àߪ≈“µ—«‡¥’¬«°—π Õ¬“°∑√“∫

„πß“π‡≈’Ȭߧ√—Èßπ’È®–µâÕ߇ ‘√åø¢â“« ·°ß‡¢’¬«À«“π‰°à ·≈–ª≈“Õ¬à“ß≈–

‡∑à“‰√

46

6. ®ß·∑πµ—«Õ—°…√µàÕ‰ªπ’ȥ⫬µ—«‡≈¢µ—Èß·µà 0 ∂÷ß 9 ‚¥¬

µ—«Õ—°…√µ—«‡¥’¬«°—π·∑π¥â«¬µ—«‡≈¢µ—«‡¥’¬«°—π

1. ONE 2. TWO 3. THREE 4. FOUR+ + + +

ONE TWO FOUR FOUR__ __ __ __

TWO FOUR SEVEN EIGHT__ __ __ ____ __ __ __

7. °ƒ…≥“µâÕß°“√ÕÕ°·∫∫°√–ªÜÕß „Àâ “¡“√∂∫√√®ÿ

πÈ”¡—π‰¥â 4 ≈‘µ√ ·≈–„™âª√‘¡“≥‚≈À–„π°“√∑”°√–ªÜÕßπâÕ¬∑’Ë ÿ¥

°√–ªÜÕß„∫π’ȧ«√®–¡’ à«π Ÿß·≈–√—»¡’¬“«‡∑à“‰√

8. ®ß· ¥ß«à“º≈∫«°¢Õß®”π«π§ŸàÀâ“®”π«π ∑’ˇ√’¬ßµ‘¥µàÕ

°—π ·≈â«À“√¥â«¬ 5 ≈ßµ—«

9. π—°‡√’¬πæ‘®“√≥“¥Ÿ√ŸªµàÕ‰ªπ’È ∂â“≈Ÿ°∫Õ≈·µà≈–≈Ÿ°Àπ—°

2 °√—¡ ·≈–≈Ÿ° ’ˇÀ≈’ˬ¡≈Ÿ°∫“»°å·µà≈–≈Ÿ°Àπ—°‡∑à“°—π ≈Ÿ°∫“»°å

·µà≈–≈Ÿ°Àπ—°‡∑à“‰√

°. 4 °√—¡

¢. 8 °√—¡

§. 16 °√—¡

ß. 24 °√—¡

47

10. ‡ âπ∑“ß°“√‡¥‘π∑“ß¡’≈—°…≥–¥—ß√Ÿª ∂â“¡¥µ—«Àπ÷Ë߇√‘Ë¡

‡¥‘π®“°®ÿ¥ A ·≈⫉µà‰ªµ“¡‡ âπ∑“ßπ’È ¢âÕ„¥„Àâ√–¬–∑“ß∑’Ë —Èπ∑’Ë ÿ¥

D C

A B

I. ®“° A ‰ª D ‰ª C ‰ª B

II. ®“° A ‰ª B ‰ª C ‰ª D

°. I —Èπ∑’Ë ÿ¥

¢. II —Èπ∑’Ë ÿ¥

§. I ·≈– II ¡’√–¬–∑“߇∑à“°—π

ß. ‰¡à “¡“√∂∫Õ°‰¥â

11. √“µ√’·°à°«à“®“√ÿ«√√≥ ®“√ÿ«√√≥ÕàÕπ°«à“ ÿ¥“ ¡“≈’

·°à°«à“√“µ√’ ¢âÕ √ÿª„¥µàÕ‰ªπ’È¡’‡Àµÿº≈

°. ¡“≈’·°à°«à“®“√ÿ«√√≥

¢. ¡“≈’Õ“¬ÿπâÕ¬∑’Ë ÿ¥

§. ÿ¥“ÕàÕπ°«à“®“√ÿ«√√≥

ß. √“µ√’Õ“¬ÿ¡“°∑’Ë ÿ¥

48

12. ¿“æ„¥µàÕ‰ªπ’È ‰¡à “¡“√∂æ—∫‡ªìπ≈Ÿ°∫“»°åÀπ÷Ëß≈Ÿ°‰¥â

°.

¢.

§.

ß.

®.

13. à«π¢Õ߇ âπµ√ß„π¿“æ„¥ ∑’ˉ¡à “¡“√∂π”¡“ √â“ß√Ÿª

“¡‡À≈’ˬ¡√ŸªÀπ÷Ë߉¥â

°.

¢.

§.

ß.

49

14. π“Ãî°“∑’Ë·¢«πÕ¬Ÿà∫πºπ—ß 4 ‡√◊Õπ ∫Õ°‡«≈“¥—ßπ’ȇ√◊Õπ∑’Ë 1 ‡«≈“ 2.25 π. ‡√◊Õπ∑’Ë 2 ‡«≈“ 6.45 π. ‡√◊Õπ∑’Ë 3‡«≈“ 12.05 π. ‡√◊Õπ∑’Ë 4 ‡«≈“ ...... π. ∑à“𧑥«à“π“Ãî°“‡√◊Õπ∑’Ë 4®–‡ªìπ‡«≈“‡∑à“‰√

15. ®”π«π„π·µà≈–°≈ÿࡇªìπ¥—ßπ’È

2040 27 400 36

65 18 3080 54 216

12 26100 108 6

°≈ÿà¡∑’Ë 1 °≈ÿà¡∑’Ë 2 °≈ÿà¡∑’Ë 3

®ßÀ“«à“®”π«π„¥∑’Ë·µ°µà“ß®“°®”π«πÕ◊ËπÊ „π·µà≈–°≈ÿà¡

æ√âÕ¡°—∫∫Õ°‡Àµÿº≈

¬ÿ∑∏«‘∏’∑’Ë„™â„π°“√·°âªí≠À“

°“√Ωñ°∑—°…–‡æ◊ËÕ √â“ߧ«“¡™”π“≠„π°“√§‘¥·°âªí≠À“

¡’§«“¡ ”§—≠ ‡™àπ „π°“√‡≈àπ‡∫ ∫Õ≈ ºŸâ‡≈àπµâÕßÕ“»—¬∑—°…–°“√

®—∫‰¡â‡∫ ∫Õ≈ °“√¢«â“ß≈Ÿ°‡∫ ∫Õ≈ °“√µ’≈Ÿ°‡∫ ∫Õ≈ ·≈–°“√«‘Ëß ∑—°

…–‡À≈à“π’È®–‡°‘¥¢÷Èπ‰¥âµâÕßÕ“»—¬°“√Ωñ°Ωπ®“°‚§â™ „π∑”πÕ߇¥’¬«°—π

°“√·°âªí≠À“°ÁµâÕßÕ“»—¬°“√Ωñ°Ωπ„À⇰‘¥∑—°…– ‚¥¬§√Ÿ®–µâÕߙ૬ àß

‡ √‘¡„Àâπ—°‡√’¬π‰¥â¡’ ‚Õ°“ „™â∑—°…–°√–∫«π°“√µà“ßÊ „π°“√·°â

ªí≠À“ µ—«Õ¬à“߇™àπ

50

ç‚®∑¬åªí≠À“‡°’ˬ«°—∫°“√µ—¥¢π¡‡§â° 5 §√—Èß ∂⓵—¥„Àâºà“π

®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß∑ÿ°§√—Èß ®–‰¥â¢π¡‡§â°∑—ÈßÀ¡¥°’Ë™‘Èπé

®”π«π§√—Èß∑’˵—¥ (§√—Èß) ®”π«π¢π¡‡§â°∑’˵—¥‰¥â (™‘Èπ)1 22 43 64 85 10. .. .. .n 2n

¥—ßπ—Èπ∂⓵—¥ n §√—Èß ‚¥¬µ—¥„Àâºà“π®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ߢÕß¢π¡‡§â°∑ÿ°§√—Èß®–

‰¥â¢π¡‡§â° 2n ™‘Èπ

„π°√≥’∑’˵âÕß°“√µ—¥¢π¡‡§â° 5 §√—Èß ·µà®–µ—¥Õ¬à“߉√°Á‰¥â

®–‰¥â¢π¡‡§â°®”π«π∑—ÈßÀ¡¥°’Ë™‘Èπ

®”π«π§√—Èß∑’˵—¥ (§√—Èß) ®”π«π¢π¡‡§â°∑’˵—¥‰¥â (™‘Èπ)

1 2

2 4

3 7

4 11

5 16

51

¥—ßπ—Èπ‡¡◊ËÕµ—¥¢π¡‡§â° 5 §√—Èß ®–‰¥â¢π¡‡§â°®”π«π∑—ÈßÀ¡¥

16 ™‘Èπ ®–‡ÀÁπ«à“‡¡◊ËÕµ—¥§√—Èß∑’Ë 1 ®–‰¥â¢π¡‡§â° 2 ™‘Èπ ‡¡◊ËÕµ—¥ 2 §√—Èß

‰¥â¢π¡‡§â° 4 ™‘Èπ ·≈–µ—¥§√—Èß∑’Ë 3 ®–‰¥â¢π¡‡§â° 7 ™‘Èπ ·≈–µ—¥

§√—Èß∑’Ë 4 ‰¥â¢π¡‡§â° 11 ™‘Èπ ´÷Ëß®”π«π¢π¡‡§â°®–‡æ‘Ë¡¢÷Èπ§√—Èß≈–

2, 3, 4 µ“¡≈”¥—∫

®”π«π§√—Èß∑’˵—¥ 1 2 3 4 5

®”π«π¢π¡‡§â°∑’ˉ¥â 2 4 7 11 16

®”π«π¢ππ¡‡§â°∑’ˇæ‘Ë¡·µà≈–§√—Èß 2 3 4 5

¥—ßπ—Èπ‡¡◊ËÕµ—¥§√—Èß∑’Ë 5 ®÷߉¥â¢π¡‡§â° 11 + 5 = 16 ™‘Èπ

”À√—∫π—°‡√’¬π™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 1 - 2 §√ŸÕ“®„™â ◊ËÕ

°“√‡√’¬π°“√ Õπ°“√«“¥√Ÿª™à«¬„π°“√·°âªí≠À“ π—°‡√’¬π™—Èπª√–∂¡

»÷°…“ªï∑’Ë 3 - 6 §√ŸÕ“®„Àâπ—°‡√’¬π √â“ßµ“√“ß «“¥√Ÿª ¡ÕßÀ“

·∫∫√Ÿª ‡¢’¬π ‘Ëß∑’Ë ‚®∑¬å°”Àπ¥„Àⵓ¡≈”¥—∫ §“¥‡¥“ „™â‡Àµÿº≈

µ√«® Õ∫§‘¥¬âÕπ°≈—∫ ”À√—∫π—°‡√’¬π™—Èπ¡—∏¬¡»÷°…“ Õ“®„™â«‘∏’°“√

·°âªí≠À“¡“°°«à“π’È°Á‰¥â πÕ°®“°π’ȧ√Ÿ§«√®–„Àâπ—°‡√’¬πΩñ°§‘¥·°âªí≠À“

∑’Ëßà“¬°àÕπ ‚¥¬§”π÷ß∂÷ß ‘Ëß∑’Ë∑”„Àâ‚®∑¬åªí≠À“π—Èπ¡’§«“¡¬“° ßà“¬

·µ°µà“ß°—π ‰¥â·°à §«“¡¬“«¢Õß‚®∑¬å ¢π“¥¢Õß®”π«π„π‚®∑¬å

¢âÕ¡Ÿ≈∑’Ë¡’‡æ‘Ë¡‡µ‘¡„π‚®∑¬å ≈”¥—∫¢ÕߢâÕ¡Ÿ≈„π‚®∑¬å µ≈Õ¥®π®”π«π

§”·≈– —≠≈—°…≥å∑’Ë„™â¿“¬„π‚®∑¬å

¥—ßπ—Èπ‡¡◊ËÕæ∫ªí≠À“ ·µà≈–∫ÿ§§≈µâÕß„™â§«“¡§‘¥·≈–欓¬“¡

‡≈◊Õ°¬ÿ∑∏«‘∏’∑’Ë “¡“√∂π”¡“„™â·°âªí≠À“π—Èπ‰¥â π—°·°âªí≠À“∑’Ë¥’®–¡’

52

¬ÿ∑∏«‘∏’„π°“√·°âªí≠À“∑’Ëæ√âÕ¡®–‡≈◊Õ°ÕÕ°¡“„™â ‰¥â„π∑—π∑’¢≥–∑’ˇº™‘≠

ªí≠À“ ¬ÿ∑∏«‘∏’∑’Ë “¡“√∂π”¡“„™â„π°“√·°âªí≠À“¡’À≈“°À≈“¬ ¥—ßπ’È

1. °“√À“·∫∫√Ÿª

2. °“√‡¢’¬π·ºπº—ß À√◊Õ¿“æª√–°Õ∫

3. °“√ √â“ß·∫∫√Ÿª

4. °“√ √â“ßµ“√“ß À√◊Õ°√“ø

5. °“√§“¥‡¥“ ·≈–µ√«® Õ∫

6. °“√·®°·®ß°√≥’∑’ˇªìπ‰ª‰¥â∑—ÈßÀ¡¥

7. °“√‡¢’¬π‡ªìπª√–‚¬§§≥‘µ»“ µ√å

8. °“√¡Õߪí≠À“¬âÕπ°≈—∫

9. °“√√–∫ÿ¢âÕ¡Ÿ≈∑’˵âÕß°“√ ·≈–¢âÕ¡Ÿ≈∑’Ë°”Àπ¥„Àâ

10. °“√·∫àߪí≠À“ÕÕ°‡ªìπªí≠À“¬àÕ¬Ê À√◊Õ‡ª≈’ˬπ

¡ÿ¡¡Õß ªí≠À“π—Èπ

µàÕ‰ªπ’ȇªìπµ—«Õ¬à“ß°“√· ¥ß¬ÿ∑∏«‘∏’µà“ßÊ „π°“√·°âªí≠À“

1. ¬ÿ∑∏«‘∏’°“√À“·∫∫√Ÿª

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1®ßÀ“§à“¢Õß _ _ _ _ _ _ _ _ _2 6 12 20 30 42 56 72 90

«‘∏’§‘¥ π—°‡√’¬π≈ÕßÀ“º≈∫«°¥—ßπ’È

1 1 3 + 1 4 2(1) _ + _ = ___ = _ = _2 6 6 6 3

53

1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 8 + 1 = 9 = 3(2) _ _ _ _ _ ___ _ _2 6 12 3 12 12 12 4

1 1 1 1 = 3 + 1 = 15 + 1 = 16 = 4(3) _+ _ + _ + _ _ _ ___ _ _2 6 12 20 4 20 20 20 5

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4 + 1 = 24 + 1 = 25 = 5(4) _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _2 6 12 20 30 5 30 30 30 6

‡¡◊ËÕæ‘®“√≥“º≈≈—æ∏å∑’ˇ°‘¥¢÷Èπ 2_3

, 3_4

, 4_5

, 5_6

®– —߇°µ·∫∫√Ÿª¢Õߺ≈≈—æ∏å∑’ˉ¥â«à“ µ—« à«π®–¡“°°«à“µ—«‡»…Õ¬Ÿà 1

·≈–µ—«‡»…®–‡∑à“°—∫®”π«π∑—ÈßÀ¡¥∑’Ëπ”¡“∫«°°—π ®“°·∫∫√Ÿª

∑’Ë —߇°µ‰¥â ∑”„Àâ‡√“ “¡“√∂§“¥‡¥“§”µÕ∫¢Õß°“√∫«°®”π«π

∑—ÈßÀ¡¥‰¥â1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9¥—ßπ—Èπ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 6 12 20 30 42 56 72 90 10

2. ¬ÿ∑∏«‘∏’°“√‡¢’¬π·ºπº—ßÀ√◊Õ¿“æª√–°Õ∫ç‚π√’¡’‡ ◊ÈÕ 3 µ—« §◊Õ ’·¥ß ’‡À≈◊Õß ’πÈ”‡ß‘π ·≈–¡’

°√–‚ª√ß 2 µ—« §◊Õ ’¢“«·≈– ’¥” ‚π√’®–„ à‡ ◊ÈÕ·≈–°√–‚ª√߉¥â

∑—ÈßÀ¡¥°’Ë™ÿ¥é«‘∏’§‘¥

’·¥ß ’‡À≈◊Õß ’πÈ”‡ß‘π

’¢“« ’¥”

54

°“√·µàßµ—«¢Õß‚π√’

À√◊Õ ‡ ◊ÈÕ °√–‚ª√ß ‡ ◊ÈÕ °√–‚ª√ß

’¢“«..... ’·¥ß ’¢“« ’·¥ß

’¥”..... ’·¥ß ’¥” ’¢“«..... ’‡À≈◊Õß ’¢“«

’‡À≈◊Õß ’¥”..... ’‡À≈◊Õß ’¥” ’¢“«..... ’πÈ”‡ß‘π ’¢“«

’πÈ”‡ß‘π ’¥”..... ’πÈ”‡ß‘π ’¥”

¥—ßπ—Èπ ‚π√’®–„ à‡ ◊ÈÕ·≈–°√–‚ª√߉¥â∑—ÈßÀ¡¥ 6 ™ÿ¥

3. ¬ÿ∑∏«‘∏’°“√ √â“ß·∫∫√Ÿªç√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—µÿ√— ∑’Ë¡’¥â“𬓫¥â“π≈– n Àπ૬ ·∫àß

‡ªìπ√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—µÿ√— √Ÿª‡≈Á°∑’Ë¡’¥â“𬓫¥â“π≈– 1 Àπ૬ ®ßÀ“®”π«π

√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—µÿ√— ∑’ˇ°‘¥¢÷Èπ∑—ÈßÀ¡¥é

«‘∏’§‘¥ π—°‡√’¬π∑¥≈Õß √â“ß√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—µÿ√— ∑’Ë¡’¥â“𬓫¥â“π≈–

2 Àπ૬ 3 Àπ૬ 4 Àπ૬ ..... µ“¡≈”¥—∫ ·∫à߇ªìπ√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—µÿ√—

√Ÿª‡≈Á° ·≈â«π—∫®”π«π√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—µÿ√— ∑’ˇ°‘¥¢÷Èπ∑—ÈßÀ¡¥

55

§«“¡¬“«¥â“π®”π«π√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—µÿ√— (Àπ૬)

(1) 2 4 + 1 = 5

22 + 1

(2) 3 9 + 4 + 1 = 14

32 + 22 + 12

(3) 4 16 + 9 + 4 +1 = 30

42 + 32 + 22 + 12

(4) 5 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55

52 + 42 + 32 + 22 + 12

. . .. . .. . .

(5) n n2 + (n-1)2 + ...42 + 32

+ 22 + 12 = ∑n2

n (n+1) (2n+1)= _6

56

®“°µ“√“ß®–æ∫«à“ √Ÿª∑—Ë«‰ª°“√À“®”π«π√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—µÿ√—

∑—ÈßÀ¡¥‡∑à“°—∫ n_6 (n + 1) (2n +1)

°“√µ√«® Õ∫

2 (2 + 1) (4 + 1) = 2 x 8 x 5 = 5 ®√‘߇¡◊ËÕ n = 2 ®–‰¥â _ _____6 6

4 (4 + 1) (8 + 1) = 4 x 5 x 9 = 30 ®√‘߇¡◊ËÕ n = 4 ®–‰¥â _ ____6 6

n (n + 1) (2n + 1)¥—ßπ—Èπ ®”π«π√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—µÿ√— ∑—ÈßÀ¡¥‡∑à“°—∫ _6

4. ¬ÿ∑∏«‘∏’°“√ √â“ßµ“√“ßÀ√◊Õ°√“øç∂â“ m ·≈– n ∂Ÿ°‡≈◊Õ°®“° 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9 ‚¥¬°“√ ÿà¡ ®ßÀ“§«“¡πà“®–‡ªìπ∑’Ë x2 + mx + n2 = 0

®–¡’º≈≈—æ∏å∑’ˇªìπ®√‘ßÕ¬à“ßπâÕ¬ 1 §”µÕ∫é

«‘∏’§‘¥ π—°‡√’¬π∑√“∫«à“ ®–¡’§”µÕ∫∑’Ë®–‡ªìπ®√‘ßÕ¬à“ßπâÕ¬

1 §”µÕ∫

√Ÿª∑—Ë«‰ª ax2 + bx + c = 0 ·≈– b2 - 4ac ≥ 0

x2 + mx + n2 = 0 ¡’ b2 - 4ac = m2 - 4(1)n2

‡¡◊ËÕ m2 - 4(1) n2 ≥ 0

¥—ßπ—Èπ m2 ≥ 4n2

· ¥ß«à“ m ·≈– n µâÕ߉¡à‡ªìπ®”π«π≈∫

π—Ëπ§◊Õ m ≥ 2n

57

‡¢’¬πµ“√“ß· ¥ß§à“¢Õß m ·≈– n ¥—ßπ’È

n §à“¢Õß m ∑’ˇªìπ‰ª‰¥â

0 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

1 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2 4, 5, 6, 7, 8, 9

3 6, 7, 8, 9

4 8, 9

®“°µ“√“ß ‡¡◊ËÕ∑√“∫§à“¢Õß n ®–‰¥â§à“¢Õß m ∑’ˇªìπ‰ª‰¥â

¡’ 30 §à“

·µà§à“¢Õß m ·≈– n ®–¡’‰¥â∑—ÈßÀ¡¥ 10 x 10 = 100

¥—ßπ—È𠧫“¡πà“®–‡ªìπ‡∑à“°—∫ 30 = 3__ _100 10

5. ¬ÿ∑∏«‘∏’°“√§“¥‡¥“·≈–µ√«® Õ∫ç®ßÀ“º≈∫«°¢Õß®”π«ππ—∫∑’ˇªìπ®”π«π§’˵—Èß·µà 1 ∂÷ß 55é

«‘∏’§‘¥ ‚®∑¬å„ÀâÀ“§”µÕ∫¢Õß 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 55

π—°‡√’¬πÕ“®®–≈Õߧ‘¥ ‚¥¬π”®”π«π·√°∫«°°—∫®”π«π ÿ¥∑⓬ ·≈–

®”π«π∑’Ë Õß∫«°°—∫®”π«π∂—¥¡“ ∑”‰ª‡√◊ËÕ¬Ê ¥—ßπ’È

58

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +17 + 19 + ... + 51 + 53 + 55

®–‡ÀÁπ«à“º≈∫«°¢Õß·µà≈–§Ÿà‡ªìπ 56

°“√§‘¥À“º≈∫«°∑’ˇªìπ®”π«π§Ÿà«à“¡’∑—ÈßÀ¡¥°’˧Ÿà

π—°‡√’¬π≈Õߧ‘¥«à“

1 + 3 + 5 + 7 ¡’º≈∫«°§Ÿà≈– 8 Õ¬Ÿà 2 §Ÿà

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 ¡’º≈∫«°§Ÿà≈– 16

Õ¬Ÿà 4 §Ÿà

1 + 3 + 5 + 7 + 9 +11 + 13 + 15 + 17 + 19 ¡’º≈∫«°

§Ÿà≈– 20 Õ¬Ÿà 5 §Ÿà

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 +.......................55 ®–‡ªìπ

Õ¬à“߉√

8 2, 16 = 4 ·≈– 20 = 5π—°‡√’¬π®–‡ÀÁπ«à“ _ = _ _4 4 4

1 + 55 = 56 ·≈– 56 = 14®÷ߧ“¥«à“ _4

∴ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + 51 + 53 + 55

¡’º≈∫«°§Ÿà≈– 56 Õ¬Ÿà 14 §Ÿà

59

¥—ßπ—Èπ º≈∫«°¢Õß®”π«ππ—∫∑’ˇªìπ®”π«π§’˵—Èß·µà 1 ∂÷ß 55

෈ҡѺ 14 x 56 = 784

°“√µ√«® Õ∫

π—°‡√’¬πÀ“º≈∫«°¥—ßπ’È

(1) 1 + 3 = 4 = 22

(2) 1 + 3 + 5 = 9 = 32

(3) 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

(4) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

(5) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62

(6) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 72

¥—ßπ—Èπ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + ... + 53 = 282 = 784

6. ¬ÿ∑∏«‘∏’°“√·®°·®ß°√≥’∑’ˇªìπ‰ª‰¥â∑—ÈßÀ¡¥ç ¡„®π—∫®”π«π¢π¡«ÿâπ°√Õ∫„π∂“¥ ´÷Ëß¡’®”π«π

¡“°°«à“ 30 ™‘Èπ ·µàπâÕ¬°«à“ 70 ™‘Èπ ‡¡◊ËÕ ¡„®π—∫¢π¡«ÿâπ°√Õ∫∑’≈–

5 ™‘Èπ ®–‡À≈◊Õ‡»… 1 ™‘Èπ ∂â“π—∫∑’≈– 4 ™‘Èπ ®–‡À≈◊Õ‡»… 1 ™‘Èπ

·≈–∂â“π—∫∑’≈– 3 ™‘Èπ °Á®–‡À≈◊Õ¢π¡«ÿâπ°√Õ∫ 1 ™‘È𠇙àπ°—π Õ¬“°

∑√“∫«à“ ¡„®¡’¢π¡«ÿâπ°√Õ∫„π∂“¥®”π«π∑—ÈßÀ¡¥°’Ë™‘Èπé

60

·®°·®ß°√≥’∑’ˇªìπ‰ª‰¥â

π—∫∑’≈– 5 ™‘Èπ‡À≈◊Õ‡»… 1 π—∫∑’≈– 4 ™‘Èπ‡À≈◊Õ‡»… 1 π—∫∑’≈– 3 ™‘Èπ‡À≈◊Õ‡»… 1

31 33 3136 37 3441 41 3746 45 4051 49 4356 53 4661 57 4966 61 52

65 5569 58

616467

®“°µ“√“ß®–æ∫«à“ ¡„®¡’¢π¡«ÿâπ°√Õ∫„π∂“¥®”π«π

∑—ÈßÀ¡¥ 61 ™‘Èπ

7. ¬ÿ∑∏«‘∏’°“√‡¢’¬π‡ªìπª√–‚¬§§≥‘µ»“ µ√åç ∂“∫—π°“√»÷°…“·ÀàßÀπ÷Ëß ¡’π—°°’Ó∑’Ë ”‡√Á®°“√»÷°…“

52% ¢Õß®”π«ππ—°°’Ó∑—ÈßÀ¡¥ „π®”π«ππ’ȇªìππ—°°’Ó™“¬ 48%

·≈–π—°°’ÓÀ≠‘ß 55% ®ßÀ“Õ—µ√“ à«π¢Õß®”π«ππ—°°’Ó™“¬

∑—ÈßÀ¡¥µàÕ®”π«ππ—°°’ÓÀ≠‘ß∑—ÈßÀ¡¥é

61

«‘∏’∑” „Àâ m ‡ªìπ®”π«ππ—°°’Ó™“¬∑—ÈßÀ¡¥

·≈– n ‡ªìπ®”π«ππ—°°’ÓÀ≠‘ß∑—ÈßÀ¡¥

48m¡’π—°°’Ó™“¬∑’Ë ”‡√Á®°“√»÷°…“ __ §π100

55n·≈–¡’π—°°’ÓÀ≠‘ß∑’Ë ”‡√Á®°“√»÷°…“ __ §π100

¡’π—°°’Ó™“¬·≈–π—°°’ÓÀ≠‘ß∑’Ë ”‡√Á®°“√»÷°…“∑—ÈßÀ¡¥

52_ (m + n) §π100

‡¡◊ËÕπ”¡“‡¢’¬π‡ªìπª√–‚¬§§≥‘µ»“ µ√å®–‰¥â

48m 55n 52 (m + n)__ + __ = _100 100 100

π” 100 ¡“§Ÿ≥∑—Èß Õߢâ“ß

48m + 55n = 52 (m + n)

48m + 55n = 52m + 52n

3n = 4m

∴ m = 3_ _n 4

¥—ßπ—Èπ Õ—µ√“ à«π¢Õß®”π«ππ—°°’Ó™“¬µàÕ®”π«ππ—°°’Ó

˭ԧ෈ҡѺ 3 : 4

62

8. ¬ÿ∑∏«‘∏’°“√¡Õߪí≠À“¬âÕπ°≈—∫çº≈∫«°¢ÕßÀⓇ∑à“¢Õß®”π«π®”π«πÀπ÷Ëß°—∫ ‘∫Àâ“

‡∑à“°—∫Àπ÷Ëß√âÕ¬Àâ“®”π«ππ—Èπ‡ªìπ‡∑à“‰√é

«‘∏’§‘¥

®”π«π®”π«πÀπ÷Ëß ª√–‚¬§§≥‘µ»“ µ√å

5 + 15 = 105

°“√§‘¥¬âÕπ°≈—∫

‡¡◊ËÕ≈∫ 15 ®“° 105 ®–‰¥â 105 - 15 = 90

·≈–ÀⓇ∑à“¢Õß®”π«π®”π«πÀπ÷Ë߇∑à“°—∫ 90

®”π«ππ—Èπ §◊Õ 90 = 18_5

µ√«® Õ∫

5(18) + 15 = 90 + 15 = 105

9. ¬ÿ∑∏«‘∏’°“√√–∫ÿ¢âÕ¡Ÿ≈∑’˵âÕß°“√·≈–¢âÕ¡Ÿ≈∑’Ë°”Àπ¥„Àâ

A D

GB C E

F

ç ABCD ·≈– BDEF ‡ªìπ√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—µÿ√—

AG_

⊥ BD_

®ßÀ“æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√ŸªÀⓇÀ≈’ˬ¡ BCDEFé

63

‘Ëß∑’Ë ‚®∑¬åµâÕß°“√ §◊Õ æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√ŸªÀⓇÀ≈’ˬ¡ BCDEF

‘Ëß∑’Ë ‚®∑¬å°”Àπ¥„Àâ §◊Õ ABCD ·≈– BDEF

‡ªìπ√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡®—µÿ√— AG_

⊥ BD_

* ‘Ëß∑’Ë ‚®∑¬å§«√°”Àπ¥¥â«¬ §◊Õ

æ◊Èπ∑’Ë ADG : æ◊Èπ∑’Ë ABCD ‡∑à“°—∫ 1 : 4

«‘∏’∑”

°”Àπ¥„Àâ AG = a Àπ૬

·µà AG = DG = BG = a Àπ૬

æ◊Èπ∑’Ë¢Õß ADG = 1 x ∞“π x Ÿß_2

= 1 x a x a µ“√“ßÀπ૬_2

= 1 a2 µ“√“ßÀπ૬_2

1 a2= 1_ _

2 4

a2 = 2_4

a = √2_2

∴ 2a = √2

¥—ßπ—Èπ BD = √2 Àπ૬

∴ æ◊Èπ∑’Ë¢Õß BDEF = √2 x √2 = 2 µ“√“ßÀπ૬

64

·µàæ◊Èπ∑’Ë¢Õß BCD = 2 ‡∑à“¢Õßæ◊Èπ∑’Ë¢Õß ADG

= 2 x 1 x √2 x √2_ _ _ µ“√“ßÀπ૬2 2 2

= 2 x 1_4 µ“√“ßÀπ૬

= 1_ µ“√“ßÀπ૬2

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡ BCDEF

‡∑à“°—∫ 2 - 1 = 3 = 1.5 µ“√“ßÀπ૬_ _2 2

10. ¬ÿ∑∏«‘∏’°“√·∫àߪí≠À“ÕÕ°‡ªìπªí≠À“¬àÕ¬Ê癓¬§πÀπ÷Ë߇™à“ÕŸ∞ Õßµ—« ‡æ◊ËÕ¢π¢â“«®”π«π 3,000

°‘‚≈°√—¡ ®“°À¡Ÿà∫â“π¢Õ߇¢“ ‡æ◊ËÕ‰ª¢“¬∑’˵≈“¥¢ÕßÀ¡Ÿà∫â“πÕ’°·ÀàßÀπ÷Ëß

‚¥¬µâÕ߇¥‘π∑“ߢⓡ∑–‡≈∑√“¬ √–¬–∑“ß 1,000 °‘‚≈‡¡µ√ ∑ÿ°Ê

√–¬–∑“ß 250 °‘‚≈‡¡µ√ ®–¡’‚°¥—ß ”À√—∫‡°Á∫¢â“«‰«â ∂â“ÕŸ∞∑—Èß Õßµ—«

“¡“√∂¢π¢â“«‰¥â§√—Èß≈– 1,000 °‘‚≈°√—¡ ·≈–®”‡ªìπµâÕß°‘π¢â“«

‡ªìπÕ“À“√ ®”π«π 1 °‘‚≈°√—¡ µàÕ√–¬–∑“ß 1 °‘‚≈‡¡µ√ Õ¬“°

∑√“∫«à“ ‡¡◊ËÕ∂÷ßµ≈“¥¢ÕßÀ¡Ÿà∫â“πÕ’°·ÀàßÀπ÷Ëß ™“¬§ππ’È®–‡À≈◊բ⓫

‰«â¢“¬°’Ë°‘‚≈°√—¡é

65

‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ’È°≈à“«∂÷ߢ⓫®”π«π 3,000 °‘‚≈°√—¡

·≈–√–¬–∑“ß∑’ËÕŸ∞ Õßµ—«‡¥‘π 1,000 °‘‚≈‡¡µ√ ¡’‚°¥—ß ”À√—∫‡°Á∫¢â“«

∑ÿ°√–¬–∑“ß 250 °‘‚≈‡¡µ√ ÕŸ∞∑—Èß Õßµ—«¢π¢â“«‰¥â§√—Èß≈– 1,000

°‘‚≈‡¡µ√ ÕŸ∞ Õßµ—«°‘π¢â“« 1 °‘‚≈°√—¡µàÕ√–¬–∑“ß 1 °‘‚≈‡¡µ√

°“√§‘¥‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ’È µâÕß·∫à߇ªìπªí≠À“¬àÕ¬Ê §◊Õ ÕŸ∞ Õßµ—«

¢π¢â“«‰¥â§√—Èß≈– 1,000 °‘‚≈°√—¡ ·≈–√–¬–∑“ß∑’Ë¢π¢â“«‰ª‡°Á∫∑’Ë‚°¥—ß

250 °‘‚≈‡¡µ√ ·≈–ÕŸ∞ Õßµ—«°‘π¢â“« 1 °‘‚≈°√—¡µàÕ√–¬–∑“ß 1 °‘‚≈‡¡µ√

®–‡À≈◊բ⓫‡∑à“‰√ ·≈–‡À≈◊Õ√–¬–∑“ß∑’ËÕŸ∞µâÕ߇¥‘π∑“ßÕ’°‡∑à“‰√

®–‡ÀÁπ«à“‡¡◊ËÕ‡√‘Ë¡‡¥‘π∑“ß ÕŸ∞ Õßµ—«¢π¢â“« 1,000

°‘‚≈°√—¡ ®÷߇À≈◊բ⓫∑’˵âπ∑“ß 2,000 °‘‚≈°√—¡ √–¬–∑“ß∑’ËÕŸ∞∑—Èß

Õßµ—«‡¥‘π‰ª 250 °‘‚≈‡¡µ√ ÕŸ∞°‘π¢â“« 250 °‘‚≈°√—¡ ¥—ßπ—Èπ®÷߇°Á∫¢â“«

‰«â∑’Ë ‚°¥—ß 500 °‘‚≈°√—¡‡∑à“π—Èπ ‡π◊ËÕß®“°ÕŸ∞∑—Èß Õßµ—«µâÕ߇¥‘π∑“ß

°≈—∫‰ª¢π¢â“«Õ’° ®÷ßµâÕ߇°Á∫¢â“«‰«â°‘π 250 °‘‚≈°√—¡ ‡¡◊ËÕÕŸ∞∑—Èß Õß

µ—«°≈—∫¡“¢π¢â“«Õ’° 1,000 °‘‚≈°√—¡ ®÷߇À≈◊բ⓫∑’˵âπ∑“ßÕ’°

1,000 °‘‚≈°√—¡ ¢â“« 1,000 °‘‚≈°√—¡∑’ËÕŸ∞ Õßµ—«¢π‰ª ÕŸ∞ Õßµ—«°‘π

250 °‘‚≈°√—¡ ·≈–‡À≈◊Õ‡°Á∫‰«â∑’Ë ‚°¥—ß 500 °‘‚≈°√—¡ ¥—ßπ—Èπ∑’Ë‚°¥—ß∑’Ë

1 ¡’¢â“«‡°Á∫Õ¬Ÿà 1,000 °‘‚≈°√—¡ ÕŸ∞∑—Èß Õßµ—«¢π¢â“« 1,000 °‘‚≈°√—¡

‡¥‘π∑“߇ªìπ√–¬–∑“ß 250 °‘‚≈‡¡µ√ °‘π¢â“«‰ª 250 °‘‚≈°√—¡ ¥—ßπ—Èπ

®÷߇À≈◊բ⓫∑’ˇ°Á∫‚°¥—ß∑’Ë 1 Õ’°®”π«π 750 °‘‚≈°√—¡ √«¡‡ªìπ¢â“«∑’Ë

‚°¥—ß∑’Ë 1 ®”π«π 1,750 °‘‚≈°√—¡

®“°‚°¥—ß∑’Ë 1 ÕŸ∞ Õßµ—«¢π¢â“« 1,000 °‘‚≈°√—¡ ‡¥‘π∑“ß

‡ªìπ√–¬–∑“ß 250 °‘‚≈‡¡µ√ °‘π¢â“«‰ª 250 °‘‚≈°√—¡ ‡À≈◊բ⓫∑’ˇ°Á∫

66

‰«â∑’Ë ‚°¥—ß∑’Ë 2 ®”π«π 500 °‘‚≈°√—¡ ÕŸ∞∑—Èß Õßµ—«‡¥‘π∑“ß°≈—∫‰ª∑’Ë

‚°¥—ß∑’Ë 1 ·≈–ÕŸ∞∑—Èß Õßµ—«¢π¢â“« 750 °‘‚≈°√—¡ ‡¥‘π∑“߇ªìπ√–¬–∑“ß

250 °‘‚≈‡¡µ√ °‘π¢â“«‰ª 250 °‘‚≈°√—¡ ‡À≈◊բ⓫ 500 °‘‚≈°√—¡

¥—ßπ—Èπ®÷߇À≈◊բ⓫∑’ˇ°Á∫∑’Ë‚°¥—ß∑’Ë 2 ®”π«π 1,000 °‘‚≈°√—¡

®“°‚°¥—ß∑’Ë 2 ÕŸ∞ Õßµ—«¢π¢â“« 1,000 °‘‚≈°√—¡

‡¥‘π∑“߇ªìπ√–¬–∑“ß 500 °‘‚≈‡¡µ√ ·≈–ÕŸ∞°‘π¢â“«‰ª 500 °‘‚≈°√—¡

®÷߇À≈◊բ⓫‰«â¢“¬ 500 °‘‚≈°√—¡

°“√·°â ‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ’ÈÕ“®∑”‰¥â ‚¥¬°“√«“¥¿“æ

· ¥ß‡ âπ∑“ß°“√‡¥‘π∑“ߢÕßÕŸ∞ Õßµ—«¥—ßπ’È

µâπ∑“ß2,000 °.°. 500 °.° ª≈“¬∑“ß

250 °.¡. 250 °.¡. 500 °.¡ 750 °.¡. 1,000 °.¡.

250 °.°.1,000 °.°. 1,000 °.°.

250 °.°. 250 °.¡. 500 °.¡ 750 °.¡. 1,000 °.¡.

250 °.°.1,750 °.°.

250 °.¡. 500 °.¡ 750 °.¡. 1,000 °.¡.250 °.°.

750 °.°. 500 °.°.250 °.¡.

250 °.°.500 °.¡ 750 °.¡. 1,000 °.¡.

250 °.°.1,000 °.°.

250 °.¡. 500 °.¡ 750 °.¡. 1,000 °.¡.

250 °.°.500 °.°.

250 °.¡. 500 °.¡ 750 °.¡. 1,000 °.¡.

500 °.°.

67

„π°“√𔇠πÕ¬ÿ∑∏«‘∏’„π°“√·°âªí≠À“ ‘Ëß∑’Ë®–µâÕßµ√–Àπ—°

Õ¬Ÿà‡ ¡Õ §◊Õ

- ¬ÿ∑∏«‘∏’∑—ÈßÀ≈“¬ “¡“√∂ª√–¬ÿ°µå„™â°—∫ªí≠À“∑’Ë¡’Õ¬Ÿà

Õ¬à“ßÀ≈“°À≈“¬

- ¬ÿ∑∏«‘∏’ “¡“√∂ª√–¬ÿ°µå„™â„π·π«∑“ß∑’˵à“ß°—π ”À√—∫

ªí≠À“∑’Ë·µ°µà“ß°—π

- ªí≠À“ “¡“√∂·°â ‰¥âÀ≈“°À≈“¬«‘∏’ ‰¡à®”‡ªìπ∑’Ë®–µâÕß

„™â¬ÿ∑∏«‘∏’∑’ˇ©æ“–‡®“–®ß°—∫ªí≠À“∑’Ë°”Àπ¥„À⇠¡Õ‰ª

- π—°‡√’¬π®–‰¡àª√– ∫§«“¡ ”‡√Á®„π√–¥—∫‡¥’¬«°—π∑—ÈßÀ¡¥

„π°“√„™â¬ÿ∑∏«‘∏’°“√·°âªí≠À“·µà≈–¬ÿ∑∏«‘∏’

°“√®—¥°‘®°√√¡°“√‡√’¬π°“√ Õπ°“√·°âªí≠À“

„π°“√‡√’¬π°“√ Õπ‡æ◊ËÕ„Àâ ‰¥â§«“¡√Ÿâ ºŸâ Õπ§«√‡πâπ

°√–∫«π°“√·≈–¬ÿ∑∏«‘∏’∑’Ë„™â„π°“√·°âªí≠À“ ·∑π∑’Ë®–‡πâπ‡©æ“–

°“√‰¥â§”µÕ∫∑’Ë∂Ÿ°µâÕ߇∑à“π—È𠧫√· ¥ß„Àâ‡ÀÁπ‡®µ§µ‘∑’Ë¥’µàÕ°“√

·°âªí≠À“ §«“¡°√–µ◊Õ√◊Õ√âπ„π°“√™à«¬‡À≈◊Õπ—°‡√’¬π∑’˵âÕß°“√

§”·π–π” ‰¡à§«√¬È” ‘Ëß∑’Ëπ—°‡√’¬π∑”º‘¥À√◊Õ‡¢â“„®º‘¥ ·µà§«√Õ∏‘∫“¬

·≈–Õ¿‘ª√“¬ —°∂“¡„Àℙ⧫“¡§‘¥·≈–¬È”§«“¡§‘¥√«∫¬Õ¥ µ≈Õ¥®π

À≈—°°“√∑’Ë∂Ÿ°µâÕß ∑’Ë ”§—≠§√Ÿ§«√„Àâ°”≈—ß„® ¬‘È¡·¬â¡·®à¡„ „π∫“ߧ√—Èß

π—°‡√’¬π∫“ߧπÕ“®æŸ¥«à“ ç©—π‰¡à∑√“∫«à“®–∑”Õ¬à“߉√é ç©—π‰¡à∑√“∫

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68

„Àâπ—°‡√’¬π 2 §π ∑’Ëπ—Ëß„°≈â°—π™à«¬°—𧑥 À√◊Õ„Àâ™à«¬°—𧑥‡ªìπ°≈ÿà¡Ê

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„π°“√∑”„Àâ ‰¥â§”µÕ∫ πÕ°®“°π’ȧ√Ÿ¬—ß “¡“√∂„À⧫“¡™à«¬‡À≈◊Õ‰¥â

„π°√≥’∑’Ë®”‡ªì𠇙àπ „πÀâÕßÀπ÷Ëß¡’π—°‡√’¬π 30 §π ∂â“π—°‡√’¬πÀ≈“¬

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π—°‡√’¬π‡ªìπ°≈ÿà¡ °≈ÿà¡≈– 3 - 4 §π ‚¥¬„Àâ·µà≈–°≈ÿà¡¡’∑—Èßπ—°‡√’¬π‡°àß

ª“π°≈“ß ·≈–ÕàÕπ §√Ÿ°Á “¡“√∂®—¥°≈ÿࡉ¥â 8 - 10 °≈ÿà¡ „π°√≥’

‡™àππ’Èπ—°‡√’¬π®–‰¥â™à«¬°—𧑥 ·≈–°≈ÿà¡„¥¡’ªí≠À“§√Ÿ°Á “¡“√∂™à«¬

·π–π”‰¥â ·µà∂â“‚®∑¬åπ—Èπ‡ªìπªí≠À“ßà“¬Ê §«√„Àâπ—°‡√’¬π·µà≈–§π·°â

ªí≠À“¥â«¬µπ‡Õß ‚®∑¬åªí≠À“∑’Ë ≈—∫´—∫´âÕπ ·≈–ªí≠À“∑’Ë „™â

°√–∫«π°“√ Õ“®„Àâπ—°‡√’¬π™à«¬°—π·°âªí≠À“‡ªìπ°≈ÿà¡ ”À√—∫„π

™à«ß§√÷Ëß·√°¢Õߪï§√ŸÕ“®®–„Àâπ—°‡√’¬π™à«¬°—π·°âªí≠À“‡ªìπ°≈ÿࡇ≈Á°

·≈–„π™à«ß§√÷ËßÀ≈—ߢÕߪï§√ŸÕ“®®–„Àâπ—°‡√’¬π·µà≈–§π§‘¥ ‡æ√“–

π—°‡√’¬π§«√‰¥â√—∫ª√– ∫°“√≥å°“√∑”ß“π§π‡¥’¬« ·≈–°“√∑”ß“π

°≈ÿà¡∑—Èß„π°√≥’∑’ˇªìπªí≠À“∑’Ëßà“¬·≈–¬“°

69

„π°“√¡Õ∫À¡“¬°“√∑”ß“π‡ªìπ°≈ÿࡇ≈Á° §√Ÿ§«√®–™’È·®ß

∫∑∫“∑ ¢Õßπ—°‡√’¬π„π°“√‡√’¬π·∫∫√à«¡¡◊Õ (co-operative learning)

§«√‡Õ“„®„ य़·≈‚¥¬°“√‡¥‘π¥Ÿ·µà≈–°≈ÿà¡∑”ß“π·≈– “¡“√∂®–ª√–‡¡‘π

‰¥â«à“π—°‡√’¬π§π„¥¡’ à«π√à«¡„π°“√·°âªí≠À“ πÕ°®“°π’Ȭ—ßÕ“®

°”Àπ¥¢âÕµ°≈ß°—∫π—°‡√’¬π«à“ §√ŸÕ“®®–‡√’¬°π—°‡√’¬π§π„¥„π°≈ÿà¡

¡“Õ∏‘∫“¬«‘∏’°“√∑”„Àâ‡æ◊ËÕπÊ „πÀâÕßøíß ·≈–ª√–∏“π¢Õß°≈ÿà¡

®–µâÕß√—∫º‘¥™Õ∫°“√∑”ß“π¢Õß°≈ÿà¡ ‡æ◊ËÕ à߇ √‘¡„Àâ∑ÿ°§π¡’ à«π√à«¡

·≈–‰¥âΩñ°Ωπ„π°“√∑”ß“π‡ªìπ°≈ÿà¡Õ¬à“ß·∑â®√‘ß

°“√®—¥°≈ÿà¡À“°„Àâπ—°‡√’¬π®—∫°≈ÿà¡°—π‡Õß Õ“®∑”„À⇰‘¥

ªí≠À“°“√‰¡à¬Õ¡√—∫´÷Ëß°—π·≈–°—π ‡°‘¥§«“¡¢—¥·¬â߉¥â °“√®—¥°≈ÿà¡π—Èπ

§√Ÿ§«√§”π÷ß∂÷ß≈—°…≥–¢Õßπ—°‡√’¬π∑’Ë®–∑”ß“π√à«¡°—π‰¥âµ“¡«—µ∂ÿª√– ߧå

∑’Ë°”À𥉫â¥â«¬ §«√¡’°“√ª∞¡π‘‡∑»π—°‡√’¬π‡°’ˬ«°—∫°“√®—¥°≈ÿà¡

·≈–√–¬–‡«≈“∑’Ëπ—°‡√’¬π∑”ß“π√à«¡°—π‡ªìπ°≈ÿà¡ Õ“®®–‡ªìπ‰ªµ“¡

√–¬–‡«≈“¢Õ߇π◊ÈÕÀ“„π·µà≈–∫∑ À√◊Õ§√÷Ëß¿“§‡√’¬π ∑—Èßπ’ȵâÕß·≈â«·µà

§«“¡µâÕß°“√¢Õßπ—°‡√’¬π¥â«¬ ®÷߉¡à¡’°Æ‡°≥±åµ“¬µ—« ”À√—∫√–¬–

‡«≈“∑’Ë·µà≈–°≈ÿà¡®–∑”ß“π√à«¡°—π

π—°°“√»÷°…“§≥‘µ»“ µ√剥â»÷°…“∂÷ß∫∑∫“∑·≈–«‘∏’°“√

Õπ¢Õߧ√Ÿ ·≈–«‘∏’°“√ à߇ √‘¡·≈–æ—≤𓧫“¡ “¡“√∂„π°“√

·°âªí≠À“¢Õßπ—°‡√’¬π‰«âÀ≈“¬∑à“π∑’Ë®–π”¡“°≈à“«§◊Õ George Polya,

Le Blanc ·≈–§≥–, ª√’™“ ‡π“«å‡¬Áπº≈, Bitter ·≈– ‘√‘æ√ ∑‘æ¬å§ß

¥—ßπ’È

70

∫∑∫“∑¢Õߧ√Ÿ„π°“√‡µ√’¬¡°“√ Õπ

George Polya (1957) ‰¥â°≈à“«∂÷ß∫∑∫“∑¢Õߧ√Ÿ„π°“√

·°âªí≠À“«à“ çß“π∑’Ë ”§—≠∑’Ë ÿ¥¢Õߧ√Ÿ §◊Õ °“√™à«¬‡À≈◊Õπ—°‡√’¬π

„π¢≥–·°âªí≠À“·≈–µâÕß°“√§«“¡™à«¬‡À≈◊Õ „π°“√·°âªí≠À“π—°

‡√’¬πµâÕß°“√‡«≈“„π°“√§‘¥ æ‘®“√≥“ «‘‡§√“–À委∂“¡ À“§”µÕ∫

·≈–µ√«® Õ∫§”µÕ∫é ∫∑∫“∑¢Õߧ√Ÿ„π°“√·°âªí≠À“®÷߇ªìπ‡√◊ËÕß

”§—≠ ·≈–¡’¢âÕ§«√§”π÷ß„π°“√ Õπ¥â«¬

1. „π°“√‡µ√’¬¡°“√ Õπ°“√·°âªí≠À“ ¡’¢âÕ§«√§”π÷ß

¥—ßπ’È

1) °àÕπ°“√·°âªí≠À“

- §«√Õ∏‘∫“¬„Àâ¡Õ߇ÀÁ𧫓¡ ”§—≠¢Õß°“√

Õà“π‚®∑¬åªí≠À“ Õà“π‚®∑¬åÕ¬à“ß√–¡—¥√–«—ß §‘¥¢≥–∑’ËÕà“π ·≈–„Àâ

§«“¡ π„®°—∫§”À√◊Õ¢âÕ§«“¡∑’Ë ◊ËÕ§«“¡À¡“¬∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å

- §«√°√–µÿâπ„Àâπ—°‡√’¬π π„®°—∫¢âÕ¡Ÿ≈µà“ßÊ „π

‚®∑¬åªí≠À“ ·≈–欓¬“¡∑”§«“¡‡¢â“„®„π·µà≈–ª√–‚¬§¢Õß‚®∑¬å

- ‡ªî¥‚Õ°“ „Àâπ—°‡√’¬π· ¥ß§«“¡§‘¥‡ÀÁπ«à“®–„™â

«‘∏’°“√„¥„π°“√·°âªí≠À“ „π°√≥’∑’Ëπ—°‡√’¬πµÕ∫º‘¥ §√Ÿ§«√„Àâ

°”≈—ß„®·≈–„À⇫≈“π—°‡√’¬π§‘¥

- §«√∑¥≈Õß·°â‚®∑¬åªí≠À“π—Èπ°àÕ𠇵√’¬¡

§”∂“¡ ·≈–«‘∏’°“√∑’ˇªìπ‰ª‰¥â∑—ÈßÀ¡¥„π°“√·°â‚®∑¬åªí≠À“π—Èπ

2) √–À«à“ß°“√·°âªí≠À“

- §«√µ√–Àπ—°„π®ÿ¥ÕàÕπ¢Õßπ—°‡√’¬π„π°“√·°â

ªí≠À“

71

- ™à«¬‡ πÕ·π–«‘∏’·°âªí≠À“„π°√≥’∑’Ëπ—°‡√’¬π

¡’ªí≠À“∑”‰¡à‰¥â

- ™à«¬°√–µÿâπ„Àℙ⫑∏’°“√§‘¥∑’Ë·µ°µà“ß®“°«‘∏’

∑’Ë„™â

- „Àâµ√«®∑“πß“π∑’Ë∑”À≈—ß®“°∑”‡ √Á®·≈â«

3) À≈—ß°“√·°âªí≠À“

- §«√‡ªî¥‚Õ°“ „Àâ· ¥ß«‘∏’∑” Õ∏‘∫“¬·π«§‘¥

µ≈Õ¥®π∫Õ°§”µÕ∫

- §«√∂“¡«à“π—°‡√’¬π„™â§«“¡√ŸâÕ–‰√∫â“ß„π°“√

·°âªí≠À“¢âÕπ’È

2. ªØ‘∫—µ‘µ“¡¢—ÈπµÕπ¢Õß°“√·°âªí≠À“ 5 ¢—ÈπµÕπ ¡’¥—ßπ’È

1) °“√∑”§«“¡‡¢â“„®ªí≠À“

§√Ÿ§«√°√–µÿâπ„Àâπ—°‡√’¬πÕà“π‚®∑¬åªí≠À“ ·≈â«

∂“¡§”∂“¡«à“π—°‡√’¬π‡¢â“„®‚®∑¬åªí≠À“‡æ’¬ß„¥ ‚®∑¬å°”Àπ¥Õ–‰√

¡“„Àâ ‚®∑¬åµâÕß°“√„ÀâÀ“Õ–‰√ „π°√≥’∑’Ë∑”ß“π‡ªìπ°≈ÿà¡ ¡“™‘°

„π°≈ÿà¡Õ“®®–™à«¬°—πµ—Èߧ”∂“¡‡æ◊ËÕ„À⇢Ⓞ®¡“°¢÷Èπ πÕ°®“°π’ÈÕ“®®–

‡ª≈’ˬπ‚®∑¬åªí≠À“‡ªìπ§”查¢Õßµπ‡Õß

2) °“√«“ß·ºπ°“√·°âªí≠À“

§√Ÿ§«√°√–µÿâπ„Àâπ—°‡√’¬πæ‘®“√≥“§«“¡ —¡æ—π∏å

¢ÕߢâÕ¡Ÿ≈„π‚®∑¬åªí≠À“ ·≈–∂“¡«à“‡§¬‡ÀÁπ‚®∑¬å≈—°…≥–π’È¡“°àÕπ

À√◊Õ‰¡à ∂Ⓡ§¬„™â«‘∏’°“√„¥ ‚¥¬„Àâ∫Õ°¬ÿ∑∏«‘∏’°“√·°âªí≠À“π—Èπ

72

3) °“√¥”‡π‘π°“√µ“¡·ºπ

‡¡◊ËÕπ—°‡√’¬π«“ß·ºπ°“√·°âªí≠À“·≈â« §«√‰¥â√—∫

°“√°√–µÿâπ®“°§√Ÿ „Àâ≈ß¡◊Õ·°âªí≠À“µ“¡·ºπ∑’Ë«“߉«â ∂â“·ºπ∑’Ë«“߉«â

„™â ‰¡à‰¥â §«√°√–µÿâπ„Àℙ⫑∏’„À¡à ·≈–„À⧔·π–π”„π°√≥’∑’Ëπ—°‡√’¬π

µâÕß°“√§«“¡™à«¬‡À≈◊Õ

4) °“√µ√«® Õ∫º≈/§”µÕ∫

¢—ÈπµÕππ’È¡’§«“¡ ”§—≠„π°“√·°âªí≠À“ ‡æ√“–

‡ªìπ°“√µ√«® Õ∫§«“¡‡¢â“„® §«“¡‡ªìπ‡Àµÿ‡ªìπº≈¢Õߧ”µÕ∫∑’ˉ¥â §

√ŸÕ“®®–∂“¡„Àâπ—°‡√’¬πÕ∏‘∫“¬«‘∏’°“√∑” ·≈–«‘∏’°“√µà“ßÊ ∑’Ë„™â„π°“√

·°âªí≠À“ ´÷Ëß®–¡’À≈“¬«‘∏’

Le Blanc ·≈–§≥– (1980) ‰¥â·∫àß°“√·°âªí≠À“ÕÕ°‡ªìπ

™à«ß‡«≈“ 3 ™à«ß¥—ßπ’È

1) °àÕπ°“√·°âªí≠À“

π—°‡√’¬πµâÕ߇¢â“„®‚®∑¬åªí≠À“ ¥—ßπ—Èππ—°‡√’¬πµâÕßÕà“π

‚®∑¬å¥â«¬§«“¡√–¡—¥√–«—ß „À⧫“¡ π„®°—∫§”À√◊Õ¢âÕ§«“¡∑’Ë ◊ËÕ

§«“¡À¡“¬∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å ¢âÕ¡Ÿ≈∑’Ë°”À𥉫â„π‚®∑¬å ·≈–∑”§«“¡

‡¢â“„®„π·µà≈– à«π¢Õß‚®∑¬åªí≠À“ §√ŸÕ“®®–∫Õ°„À⧑¥«à“®–„™â

«‘∏’°“√„¥„π°“√·°âªí≠À“ ∂â“π—°‡√’¬π¬—ß∑”‰¡à‰¥â§√ŸÕ“®®–‡ πÕ·π–

„Àâ √â“ßµ“√“ß ‡¢’¬π¿“æ≈“¬‡ âπ ‡æ◊Ëՙ૬„π°“√·°âªí≠À“

2) √–À«à“ß°“√·°âªí≠À“

§√Ÿ§«√ —߇°µπ—°‡√’¬π¢≥–∑’Ë·°âªí≠À“ ‡æ◊ËÕ§√Ÿ®–‰¥â

73

∑√“∫«à“π—°‡√’¬π√ŸâÕ–‰√∫â“ß ·≈–‰¡à∑√“∫Õ–‰√∫â“ß ·≈– ‘Ëß∑’˧«√

ªØ‘∫—µ‘„π°“√·°âªí≠À“ §◊Õ °“√Õà“π‚®∑¬åªí≠À“·≈â«¥Ÿ«à“‚®∑¬åµâÕß°“√

„ÀâÀ“Õ–‰√ ¢âÕ¡Ÿ≈Õ–‰√„π‚®∑¬å∑’Ë ”§—≠·≈–𔉪„™â·°âªí≠À“‰¥â

·≈â«≈ß¡◊Õ·°âªí≠À“ ‚¥¬°“√¥Ÿ·∫∫√Ÿª (pattern) §“¥‡¥“·≈–µ√«® Õ∫

‡¢’¬πª√–‚¬§ —≠≈—°…≥å „™â‡Àµÿº≈‡™‘ßµ√√° °“√§‘¥¬âÕπ°≈—∫ °“√

«“¥¿“æ √â“ßµ“√“ß ®—¥À¡«¥À¡Ÿà¢ÕߢâÕ¡Ÿ≈ ≈ß¡◊ժؑ∫—µ‘ „™â ◊ËÕ

√Ÿª∏√√¡ ‡æ◊ËÕ∑”„Àâ‚®∑¬åπ—Èπßà“¬¢÷Èπ πÕ°®“°π’ȧ√Ÿ§«√∂“¡«à“π—°‡√’¬π

„™â¢âÕ¡Ÿ≈∑’Ë ”§—≠·≈– ‘Ëß∑’Ë‚®∑¬å°”Àπ¥„Àâ∑—ÈßÀ¡¥À√◊Õ‰¡à „Àâµ√«® Õ∫

§”µÕ∫«‘∏’°“√∑’Ë∑” µ≈Õ¥®πµ—¥ ‘π«à“§”µÕ∫π—Èπ‡™◊ËÕ∂◊Õ‰¥âÀ√◊Õ‰¡à

·≈–‡¢’¬π§”µÕ∫„À⇪ìπª√–‚¬§∑’Ë ¡∫Ÿ√≥å

„π°√≥’∑’Ëπ—°‡√’¬π·°âªí≠À“‰¡à‰¥â ·≈–‰¡à∑√“∫«à“®–∑”

Õ¬à“߉√ §√Ÿ§«√„À⧫“¡™à«¬‡À≈◊Õ·π–π”·≈–∂“¡§”∂“¡ ‚¥¬∑—Ë«‰ª

‡ªìπ ‘Ëß∑’ˬ“°∑’Ë®–∫Õ°«à“∑”‰¡π—°‡√’¬π®÷ß∑”‰¡à ‰¥â µ—«Õ¬à“߇™àπ

π—°‡√’¬π∫“ߧπ·°âªí≠À“‰¡à‰¥â‡π◊ËÕß®“°‰¡à‡¢â“„®‚®∑¬åªí≠À“ §√Ÿ®÷ß

§«√«‘‡§√“–Àå«à“∑”‰¡π—°‡√’¬π®÷ß·°âªí≠À“‰¡à ‰¥â ‡π◊ËÕß®“°Õ–‰√

π—°‡√’¬π§«√‰¥â√—∫§«“¡™à«¬‡À≈◊Õ∑—π∑’ §√ŸÕ“®®–∂“¡π—°‡√’¬π«à“‚®∑¬å

°”Àπ¥Õ–‰√¡“„Àâ ¢âÕ¡Ÿ≈„¥∑’˧‘¥«à“ ”§—≠ ≈Õߧ‘¥¬âÕπ°≈—∫¥Ÿ

≈Õß«“¥√Ÿª· ¥ß‚®∑¬åªí≠À“π’È

¥—ßπ—Èπ°“√‡µ√’¬¡µ—«§√Ÿ„π°“√ à߇ √‘¡„Àâπ—°‡√’¬π·°â

ªí≠À“‡ªìπ®÷ß¡’§«“¡ ”§—≠ ‡æ√“–‡¡◊ËÕ‡√‘Ë¡µâπ·°âªí≠À“π—°‡√’¬π¬—ß¡’

ª√– ∫°“√≥å ‡°’ˬ«°—∫°“√·°âªí≠À“πâÕ¬ ®÷ß¡—°¡’§«“¡«‘µ°°—ß«≈

§√Ÿ®÷ߧ«√„À⧔·π–π” ™à«¬‡À≈◊Õ ‡µ√’¬¡§”∂“¡∑’Ë®–™à«¬°√–µÿâπ

74

§«“¡§‘¥ ·≈–„Àâπ—°‡√’¬π·°âªí≠À“∑’Ë¡’≈—°…≥–§≈⓬§≈÷ß°—π ‡æ◊ËÕ„Àâ

‰¥âΩñ°∑—°…–°“√·°âªí≠À“

3) À≈—ß°“√·°âªí≠À“

∂â“π—°‡√’¬π “¡“√∂·°â‚®∑¬åªí≠À“‰¥â·≈â« §√Ÿ§«√„Àâ

π—°‡√’¬π„πÀâÕßÕ¬à“ßπâÕ¬ 2 §π À√◊Õ„π°≈ÿà¡Õ¬à“ßπâÕ¬ 2 °≈ÿà¡

¡“‡¢’¬π· ¥ß·π«§‘¥·≈–§”µÕ∫∫π°√–¥“π ·≈â«π—°‡√’¬π∑—ÈßÀâÕß

™à«¬°—πÕ¿‘ª√“¬ ∂â“¡’«‘∏’°“√·°âªí≠À“Õ¬à“ßÕ◊Ëπ ”À√—∫‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ—Èπ

„Àâπ—°‡√’¬π™à«¬°—π‡ πÕ·π«§‘¥·≈–«‘∏’°“√∑’Ë·µ°µà“ß°—π „π°√≥’∑’Ë

π—°‡√’¬π· ¥ß·π«§‘¥ «‘∏’°“√∑” ·≈–§”µÕ∫∑’ˉ¡à∂Ÿ°µâÕß §√Ÿ§«√„Àâ

π—°‡√’¬π™à«¬°—πÕ¿‘ª√“¬«à“∑”‰¡®÷߉¡à∂Ÿ°µâÕß ‡æ√“–Õ–‰√ „Àâπ—°‡√’¬π

§‘¥À“‡Àµÿº≈ ‚¥¬§√Ÿ™à«¬·π–π”„π°√≥’∑’Ëπ—°‡√’¬πµÕ∫‰¡à‰¥â

®“°∑’Ë°≈à“«¡“·≈â« √ÿª‰¥â«à“„π°“√ Õπ°“√·°âªí≠À“ §√Ÿ

§«√®–¡’∫∑∫“∑¥—ßπ’È

°àÕπ°“√·°âªí≠À“

- „ÀâÕà“π‚®∑¬åªí≠À“ „π°√≥’∑’Ëπ—°‡√’¬π¬—ßÕà“π‚®∑¬å‰¡à‰¥â

‡™àπ π—°‡√’¬π™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 1 §√Ÿ§«√Õà“π‚®∑¬å„Àâπ—°‡√’¬πøíß

∑—ÈßÀâÕß

- „ÀâÕ¿‘ª√“¬‚®∑¬åªí≠À“ ‡æ◊ËÕæ‘®“√≥“ ‘Ëß∑’Ë‚®∑¬å°”Àπ¥„Àâ

‘Ëß∑’Ë ‚®∑¬åµâÕß°“√§”µÕ∫À√◊Õ‚®∑¬å∂“¡Õ–‰√ ·≈– ‘Ëß∑’Ë ‚®∑¬å°”Àπ¥

„Àâ —¡æ—π∏å°—∫ ‘Ëß∑’Ë ‚®∑¬å∂“¡Õ¬à“߉√

- „Àâ™à«¬°—π· ¥ß§«“¡§‘¥‡ÀÁπ«à“®–„™â«‘∏’°“√„¥ „π°“√

·°â‚®∑¬åªí≠À“

75

√–À«à“ß°“√·°âªí≠À“

- —߇°µ·≈–∂“¡π—°‡√’¬π«à“ π—°‡√’¬π°”≈—ß·°âªí≠À“‚¥¬

„™â«‘∏’°“√„¥ À√◊Õ∑”∂÷ߢ—ÈπµÕπ„¥ ‡™àπ ‡¢’¬πª√–‚¬§ —≠≈—°…≥å

„™â ¡∫—µ‘°“√‡∑à“°—π¢Õß°“√∫«°„π°“√·°â ¡°“√ À√◊Õ·∑π§à“µ—«·ª√

‡æ◊ËÕÀ“§”µÕ∫ ‡ªìπµâπ

- „Àâπ—°‡√’¬π‡ πÕ·π«§‘¥À√◊Õ«‘∏’°“√∑”∑’Ë·µ°µà“߉ª (∂â“¡’)

- „Àâπ—°‡√’¬πµÕ∫§”∂“¡¢Õß‚®∑¬åªí≠À“

À≈—ß°“√·°âªí≠À“

- „Àâ™à«¬°—πÕ¿‘ª√“¬§”µÕ∫ ∫Õ°‡Àµÿº≈ µ√«® Õ∫ §”µÕ∫

§‘¥¬âÕπ°≈—∫

- „À⇙◊ËÕ¡‚¬ß‚®∑¬åªí≠À“π’È°—∫‚®∑¬åªí≠À“µà“ßÊ ∑’ˇ§¬æ∫

„π°“√‡√’¬π‡π◊ÈÕÀ“π’È«à“ ‡À¡◊Õπ°—πÀ√◊Õ·µ°µà“ß°—πÕ¬à“߉√

- „Àâ≈Õ߇¢’¬π‚®∑¬åªí≠À“¢Õ߇π◊ÈÕÀ“π’È ®“°‚®∑¬å∑’Ëßà“¬

‰ª Ÿà‚®∑¬å∑’Ë ≈—∫´—∫´âÕπ

°“√ à߇ √‘¡·≈–°“√æ—≤𓧫“¡ “¡“√∂„π°“√·°âªí≠À“

ª√’™“ ‡π“«å‡¬Áπº≈ (2538 : 66 - 67) ‰¥â‡ πÕ«‘∏’°“√ Õπ

¢Õߧ√Ÿ ‡æ◊Ëՙ૬æ—≤𓧫“¡ “¡“√∂„π°“√·°âªí≠À“∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å

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76

1. °“√æ—≤𓧫“¡ “¡“√∂„π°“√∑”§«“¡‡¢â“„®ªí≠À“

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77

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3. °“√æ—≤𓧫“¡ “¡“√∂„π°“√¥”‡π‘π°“√µ“¡·ºπ

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78

4. °“√æ—≤𓧫“¡ “¡“√∂„π°“√µ√«® Õ∫º≈/§”µÕ∫

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‰¥âΩñ°°“√µ√«® Õ∫§«“¡∂Ÿ°µâÕß À“¢âÕ∫°æ√àÕß®“°°“√· ¥ß°“√

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«‘∏’°“√Õ◊Ëπ∑’Ë “¡“√∂„™âÀ“§”µÕ∫„πªí≠À“π—Èπ‰¥âÕ’°

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§≥‘µ»“ µ√å¢Õßπ—°‡√’¬π∑’Ë°≈à“«¡“¢â“ßµâπ √ÿª‰¥â«à“ 惵‘°√√¡°“√

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„π°“√·°âªí≠À“µ“¡≈”¥—∫¢—Èπ à߇ √‘¡„Àâ ‰¥âæ—≤𓧫“¡ “¡“√∂

„π°“√≈ß¡◊Õ∑”µ“¡·ºπ ÷Ë߇ªìπ°“√æ—≤π“∑—°…–°“√§‘¥§”π«≥

79

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π—°‡√’¬π¡’§«“¡√Õ∫§Õ∫ „π°“√µ√«® Õ∫§«“¡∂Ÿ°µâÕߢÕߢ—ÈπµÕπ

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§”∂“¡¢Õß‚®∑¬å

Bitter (1990 : 43 - 44) ‰¥â‡ πÕ«‘∏’°“√ Õπ¢Õߧ√Ÿ‡æ◊Ëՙ૬

æ—≤𓧫“¡ “¡“√∂„π°“√·°âªí≠À“∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å¢Õßπ—°‡√’¬π √ÿª

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- §«√·∫àßπ—°‡√’¬π‡ªìπ°≈ÿ࡬àÕ¬Ê ‡æ◊ËÕ„Àâ√à«¡°—π·°âªí≠À“

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- §«√„Àâπ—°‡√’¬πæ‘®“√≥“ «à“ ‚®∑¬å°”Àπ¥¢âÕ¡Ÿ≈Õ–‰√

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- §«√„Àâπ—°‡√’¬πæ‘®“√≥“ «à“ ªí≠À“∂“¡À“Õ–‰√ ∂Ⓣ¡à

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- §«√„ÀâΩñ°°“√·°âªí≠À“À≈“¬Ê √Ÿª·∫∫ ‡æ◊ËÕ‰¡à„Àâ√Ÿâ ÷°

‡∫◊ËÕ°—∫°“√·°âªí≠À“∑’Ë È”´“° ‰¡à∑â“∑“¬§«“¡ “¡“√∂

80

- §«√„Àâπ—°‡√’¬π∑”°“√·°âªí≠À“∫àÕ¬Ê ®π‡§¬™‘π«à“‡ªìπ

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- §«√ à߇ √‘¡„Àâπ—°‡√’¬π·°âªí≠À“À≈“¬Ê ¢âÕ ‚¥¬„™â«‘∏’°“√

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- §«√™à«¬‡À≈◊Õπ—°‡√’¬π„π°“√‡≈◊Õ°«‘∏’°“√·°âªí≠À“∑’Ë

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- §«√„Àâπ—°‡√’¬πæ‘®“√≥“ «à“ ªí≠À“„π¢âÕπ—Èπ§≈⓬°—∫

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- §«√„À⇫≈“°—∫π—°‡√’¬π„π°“√≈ß¡◊Õ·°âªí≠À“ Õ¿‘ª√“¬

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- §«√„Àâπ—°‡√’¬πΩñ°°“√§“¥§–‡π§”µÕ∫·≈–°“√∑¥ Õ∫

§”µÕ∫∑’ˉ¥â ‡æ◊ËÕª√–À¬—¥‡«≈“„π°“√·°âªí≠À“

‘√‘æ√ ∑‘æ¬å§ß (2536 : 165 - 167) ‰¥â°≈à“«∂÷ßÀπâ“∑’Ë

¢Õߧ√Ÿ„π°“√ à߇ √‘¡°“√·°âªí≠À“∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å √ÿª‰¥â¥—ßπ’È

- §«√‡≈◊Õ°ªí≠À“∑’˙૬°√–µÿâ𧫓¡ π„® ·≈–‡ªìπªí≠À“

∑’Ëπ—°‡√’¬π¡’ª√– ∫°“√≥å„π‡√◊ËÕ߇À≈à“π—Èπ¡“„™â Õππ—°‡√’¬π

- §«√∑¥ Õ∫¥Ÿ«à“π—°‡√’¬π¡’æ◊Èπ∞“𧫓¡√Ÿâ‡æ’¬ßæÕÀ√◊Õ‰¡à

∑’Ë®–𔉪„™â„π°“√·°âªí≠À“‰¥â ∂â“¡’‰¡à‡æ’¬ßæÕπ—Èπ§√ŸµâÕß Õπ‡ √‘¡

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81

- §«√„ÀâÕ‘ √–·°àπ—°‡√’¬π„π°“√„™â§«“¡§‘¥·°âªí≠À“

- §«√„Àâ·∫∫Ωñ°À—¥∑’Ë¡’¢âÕ¬“° ª“π°≈“ß ·≈–ßà“¬ ‡æ◊ËÕ„Àâ

π—°‡√’¬π∑ÿ°§πª√– ∫§«“¡ ”‡√Á®„π°“√·°âªí≠À“ ‡ªìπ°“√‡ √‘¡ √â“ß

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- §«√∑¥ Õ∫¥Ÿ«à“π—°‡√’¬π‡¢â“„®ªí≠À“„π¢âÕπ—ÈπÊ À√◊Õ‰¡à

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- §«√Ωñ°„Àâπ—°‡√’¬π√Ÿâ®—°°“√À“§”µÕ∫ ‚¥¬°“√ª√–¡“≥

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- §«√™à«¬π—°‡√’¬π§‘¥À“§«“¡ —¡æ—π∏å¢Õߪí≠À“ ‚¥¬°“√

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- §«√™à«¬π—°‡√’¬π„π°“√§‘¥·°âªí≠À“ ‡™àπ °“√∂“¡«à“

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- §«√„Àâπ—°‡√’¬π§‘¥À“«‘∏’°“√Õ◊ËπÊ ‡æ◊ËÕ𔉪„™â„π°“√

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·°âªí≠À“¢âÕπ—ÈπÊ µ≈Õ¥®π„Àâ∑∫∑«π«‘∏’°“√§‘¥·°âªí≠À“·µà≈–¢—ÈπµÕπ

- §«√„Àâπ—°‡√’¬π™à«¬°—π·°âªí≠À“‡ªìπ°≈ÿ࡬àÕ¬Ê À√◊Õ„Àâ

π”ªí≠À“¡“‡Õ߇æ◊ËÕ‡ªìπ°“√·≈°‡ª≈’Ë¬π§«“¡§‘¥°—π

82

µ—«Õ¬à“ߢ—ÈπµÕπ°‘®°√√¡∑’Ë„™â„π°“√·°âªí≠À“

µ—«Õ¬à“ß

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°”Àπ¥ ·≈â«À“§”µÕ∫

¡π— ¡’µâπ‰¡â...µâπ ·≈–ª≈Ÿ°„π

«π„À⇪ìπ·∂«...·∂« ·µà≈–·∂«

®–¡’µâπ‰¡â°’˵âπ

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®–À“§”µÕ∫‰¥â‚¥¬°“√„™âµ“√“ß

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2 ∫“∑

Àπ—ß ◊Õ(‡≈à¡) 1 2 3 ...

°”‰√ (∫“∑) 2 4 6 ...

°“√ª√–¡“≥§à“§”µÕ∫«à“§”µÕ∫

π—Èπ¡’‡Àµÿº≈∑’Ëπà“‡™◊ËÕ∂◊Õ‰¥âÀ√◊Õ‰¡à

‡™àπ √â“π¢“¬·´π«‘™ ¢“¬·´π«‘™

«—π≈– 37 Õ—π ‡ªìπ‡«≈“ 21 «—π

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°”Àπ¥ªí≠À“·≈–À“§”µÕ∫

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¡’ ‡Àµÿº≈∑’Ëπà“‡™◊ËÕ∂◊Õ‰¥â

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¢—ÈπµÕπ

1. ∑”§«“¡‡¢â“„®ªí≠À“

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2. æ—≤π“·ºπ°“√¥”‡π‘π

°“√·°âªí≠À“

3. ¥”‡π‘π°“√µ“¡·ºπ

‚¥¬°“√≈ß¡◊Õ·°âªí≠À“

4. ª√–‡¡‘𧔵Õ∫

83

°“√·°âªí≠À“¡’§«“¡ ”§—≠µàÕ°“√‡√’¬π√Ÿâ ·≈–§âπ§«â“À“

§«“¡√Ÿâ¡“° ‡æ◊ËÕ„Àâ¡Õ߇ÀÁ𧫓¡ ”§—≠¢Õß°“√·°âªí≠À“ §√Ÿ§«√„Àâ

‡«≈“°—∫π—°‡√’¬π·≈–Ωñ°°“√·°âªí≠À“∑ÿ°«—π ‚¥¬„™â‡«≈“‡ªìπ 1_3 ‡∑à“

¢Õ߇«≈“∑’Ë„™â„π°“√‡√’¬π°“√ Õπ§≥‘µ»“ µ√å ·≈–§«√«“ß·ºπ°“√

Õπ‚¥¬°”Àπ¥√–¬–‡«≈“∑’Ë„Àâπ—°‡√’¬πΩñ°∑—°…–°“√·°âªí≠À“µ—Èß·µà

µâπªï°“√»÷°…“

µ—«Õ¬à“ß · ¥ß‡«≈“ ‡ªìπ®”π«ππ“∑’∑’Ë„™â„π°“√·°âªí≠À“

≈—°…≥–¢Õß°‘®°√√¡/ªí≠À“ §«“¡∂’Ë ‡«≈“ (π“∑’)

1. ‡µ√’¬¡§«“¡æ√âÕ¡‚¥¬ 1 §√—Èß/ —ª¥“Àå 5 - 10

∑∫∑«π°√–∫«π°“√∑’Ë„™â

„π°“√·°âªí≠À“

2. ªí≠À“∑’Ëßà“¬ À√◊Õªí≠À“ 1 §√—Èß/ —ª¥“Àå

∑’Ëπ—°‡√’¬π§ÿâπ‡§¬ 5 - 10

3. ªí≠À“∑’Ë —∫´âÕπ 1 §√—Èß/ —ª¥“Àå 10 - 20

4. ªí≠À“∑’Ë„™â°√–∫«π°“√ 2 §√—Èß/ —ª¥“Àå 15 - 20

84

°“√®—¥≈”¥—∫¢Õߪ√– ∫°“√≥å„π°“√·°âªí≠À“

§√ŸºŸâ Õπ§«√®–æ‘®“√≥“‡π◊ÈÕÀ“§«“¡√Ÿâ∑’ˇªìπæ◊Èπ∞“π·≈–

®”‡ªìπ„π°“√·°âªí≠À“‡√◊ËÕßπ—Èπ „Àâπ—°‡√’¬π‡√‘Ë¡·°âªí≠À“∑’Ëßà“¬°àÕπ∑’Ë

®–„Àâ·°âªí≠À“∑’ˬ“°·≈– ≈—∫´—∫´âÕπ ·≈–§«√µ—Èß®ÿ¥¡ÿàßÀ¡“¬«à“µâÕß°“√

®–æ—≤𓧫“¡ “¡“√∂„π°“√·°âªí≠À“ ‡™àπ π—°‡√’¬πµâÕß “¡“√∂∫Õ°

‰¥â«à“‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ’È„Àâ∑”Õ¬à“߉√ “¡“√∂‡¢’¬πª√–‚¬§ —≠≈—°…≥剥â

·µà∂Ⓣ¡à “¡“√∂À“§”µÕ∫‰¥â · ¥ß«à“¢“¥∑—°…– π—°‡√’¬π®÷ߧ«√

‰¥â√—∫°“√Ωñ°À—¥ ‡™àπ °“√Ωñ°À—¥‡°’ˬ«°—∫«‘∏’°“√À“√ ¥—ßπ—Èπ§√Ÿ§«√®–

°”Àπ¥«à“„π·µà≈–™—Ë«‚¡ßπ—Èπ §√ŸµâÕß°“√æ—≤𓧫“¡ “¡“√∂¢Õß

π—°‡√’¬π„π¥â“π„¥∫â“ß ®–‡ªìπ¥â“𧫓¡§‘¥ ∑—°…–°“√§”π«≥ °“√

·°âªí≠À“ °“√§âπÀ“·∫∫√Ÿª °“√§“¥‡¥“ ·≈–°“√µ√«® Õ∫§”µÕ∫

ªí≠À“∑’Ëπ”¡“„À⧑¥§«√‡ªìπªí≠À“∑’ˇ°’ˬ«¢âÕß°—∫™’«‘µª√–®”«—π∑’Ë„Àâ

π—°‡√’¬π‰¥âπ”¬ÿ∑∏«‘∏’°“√µà“ßÊ ∑’ˇ§¬‡√’¬π‰ª·≈â«„™â„π°“√·°âªí≠À“

µàÕ‰ªπ’ȇªìπµ—«Õ¬à“ß°“√«“ß·ºπ°“√ Õπ∑’ˇπâπ°√–∫«π°“√

µà“ßÊ „π°“√·°âªí≠À“

—ª¥“Àå∑’Ë °‘®°√√¡ —ª¥“Àå∑’Ë °‘®°√√¡

1 °“√§“¥‡¥“·≈–µ√«® Õ∫ 5 °“√§‘¥¬âÕπ°≈—∫

2 °“√«“¥√Ÿª 6 °“√¡ÕßÀ“·∫∫√Ÿª (pattern)

3 °“√®—¥‡√’¬ß¢âÕ¡Ÿ≈µ“¡≈”¥—∫°“√„™â 7 °“√„™â‡Àµÿº≈

4 °“√∑”µ“√“ß

85

°“√ √â“ß∫√√¬“°“»¢Õß°“√‡√’¬π ‡æ◊ËÕ à߇ √‘¡°“√·°âªí≠À“

‡ªìπ‡√◊ËÕß ”§—≠ ∫√√¬“°“»∑’Ë¥’®–™à«¬ à߇ √‘¡„À⺟â‡√’¬πª√– ∫§«“¡

”‡√Á®„π°“√·°âªí≠À“ ¥—ßπ—Èπ¿“¬„π√–¬–‡«≈“ 2 ‡¥◊Õπ·√°¢Õß°“√‡√’¬π

ºŸâ Õπ§«√ à߇ √‘¡∫√√¬“°“»„π°“√·°âªí≠À“ ‚¥¬°“√„Àâ‡√‘Ë¡µâπ

°“√·°âªí≠À“ßà“¬Ê ∑’ˇÀ¡“– ¡°—∫§«“¡ “¡“√∂¢Õßπ—°‡√’¬π°àÕπ

‡¡◊ËÕª√– ∫§«“¡ ”‡√Á® π—°‡√’¬π°Á®–¡’°”≈—ß„®∑’Ë®–·°âªí≠À“µà“ß

∑’ˬ“°¢÷Èπµ“¡≈”¥—∫¡“°¢÷Èπ ‚¥¬‡©æ“–π—°‡√’¬π∑’Ë¡’§«“¡ “¡“√∂∑“ß

§≥‘µ»“ µ√åµË” ®–µâÕß°“√§«“¡ ”‡√Á®„π°“√·°âªí≠À“π—ÈπÊ ‰¥â à«π

π—°‡√’¬π∑’Ë¡’§«“¡ “¡“√∂∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å Ÿß °ÁµâÕß°“√‚®∑¬åªí≠À“

∑’Ë∑â“∑“¬§«“¡ “¡“√∂¢Õßµπ

µ—«Õ¬à“ß‚®∑¬åªí≠À“·≈–§”∂“¡

1. µ—«Õ¬à“ß‚®∑¬åªí≠À“ ·≈–§”∂“¡∑’Ë„™â·°â‚®∑¬åªí≠À“

ç≈ÿߢ¬—π‡≈’Ȭ߉°à·≈–À¡Ÿ‰«â¢“¬ ‡¢“π—∫®”π«π‰°à·≈–

®”π«πÀ¡Ÿ‰¥â∑—ÈßÀ¡¥ 18 µ—« ·µà‡¡◊ËÕπ—∫¢“¢Õ߉°à·≈–À¡Ÿ√«¡°—π‰¥â

58 ¢“ ≈ÿߢ¬—π‡≈’Ȭ߉°à·≈–À¡ŸÕ¬à“ß≈–°’˵—«é

- ≈ÿߢ¬—π‡≈’È¬ß —µ«åÕ–‰√∫â“ß

- ¡’ —µ«å∑—ÈßÀ¡¥°’˵—«

- ‰°à·µà≈–µ—«¡’°’Ë¢“·≈–À¡Ÿ·µà≈–µ—«¡’°’Ë¢“

- ¡’‰°à·≈–À¡Ÿ∑—ÈßÀ¡¥°’˵—«

86

- ‡¡◊ËÕπ—∫¢“¢Õ߉°à·≈–À¡Ÿ¡’∑—ÈßÀ¡¥°’Ë¢“

- π—°‡√’¬π®–„™â«‘∏’°“√„¥·°âªí≠À“

- ‡ªìπ‰ª‰¥âÀ√◊Õ‰¡à∑’Ë®–‰¡à¡’‰°à‡≈¬¡’·µàÀ¡Ÿ À√◊Õ‰¡à¡’

À¡Ÿ‡≈¬¡’·µà‰°à À√◊Õ¡’‰°à 1 µ—« ·µà¡’À¡ŸÀ≈“¬µ—« À√◊Õ¡’À¡Ÿ 1 µ—« ·µà

¡’‰°àÀ≈“¬µ—«

- À¡Ÿ 1 µ—« ¡’¢“‡∑à“°—∫¢“¢Õ߉°à°’˵—«

- ∂â“¢“¬À¡Ÿ‰ª 1 µ—« ®–µâÕß¡’‰°à∑—ÈßÀ¡¥°’˵—« ®÷ß®–

¬—ߧߡ’®”π«π¢“‡∑à“‡¥‘¡

- ®ß √â“ßµ“√“ß· ¥ß®”π«π‰°à ®”π«πÀ¡Ÿ ·≈–

®”π«π¢“

- π—°‡√’¬π§‘¥«à“®–¡’‰°à·≈–À¡Ÿ°’˵—« ®÷ß®–‡ªìπ‰ªµ“¡

‘Ëß∑’Ë ‚®∑¬å°”Àπ¥

«‘∏’∑” ‡¡◊ËÕ°”Àπ¥„Àâ¡’®”π«π‰°à·≈–À¡Ÿ√«¡°—π∑—ÈßÀ¡¥

18 µ—« ®– √â“ßµ“√“ß · ¥ß®”π«π‰°à·≈–®”π«πÀ¡Ÿ∑’ˇªìπ‰ª‰¥â

87

®”π«π‰°à (µ—«) ®”π«πÀ¡Ÿ (µ—«) ®”π«π¢“∑—ÈßÀ¡¥

17 1 38

16 2 40

15 3 42

14 4 44

13 5 46

12 6 48

11 7 50

10 8 52

9 9 54

8 10 56

7 11 58

®“°µ“√“ß®–‡ÀÁπ «à“ ‰°à 17 µ—« ¡’¢“ 2 x 17 = 34 ¢“

·≈– À¡Ÿ 1 µ—« ¡’¢“ 4 ¢“ √«¡®”π«π¢“∑—ÈßÀ¡¥ 38 ¢“ ∂â“®”π«π

‰°à≈¥≈ß ®”π«πÀ¡Ÿ®–‡æ‘Ë¡¢÷Èπ ®π„π∑’Ë ÿ¥®–¡’‰°à 7 µ—« ·≈–¡’À¡Ÿ

11 µ—«¢“‰°à 2 x 7 = 14 ¢“ ¢“À¡Ÿ 4 x 11 = 44 ¢“ √«¡®”π«π

¢“∑—ÈßÀ¡¥ 14 + 44 = 58 ¢“ ‡¡◊ËÕ®”π«π‰°à≈¥≈ß ®”π«πÀ¡Ÿ‡æ‘Ë¡¢÷Èπ

®”π«π¢“®–‡æ‘Ë¡¢÷Èπ

„π°“√·°âªí≠À“¢âÕπ’È ∫“ߧπÕ“®®–‡√‘Ë¡µâπ‚¥¬ ¡¡µ‘ „Àâ¡’

®”π«π‰°à ·≈–®”π«πÀ¡Ÿ‡∑à“°—π „π∑’Ëπ’È §◊Õ 9 µ—« ¥—ßπ’È

88

®”π«π‰°à (µ—«) ®”π«πÀ¡Ÿ (µ—«) ®”π«π¢“∑—ÈßÀ¡¥

9 9 54

10 8 52

8 10 56

7 11 58

®–‡ÀÁπ«à“ ‰°à 9 µ—« ¡’¢“ 2 x 9 = 18 ¢“ ·≈–À¡Ÿ 9 µ—«

¡’¢“ 4 x 9 = 36 ¢“ √«¡®”π«π¢“∑—ÈßÀ¡¥ 18 + 36 = 54 ¢“ ‡¡◊ËÕ

≈Õß„Àâ®”π«π‰°à‡ªìπ 10 µ—« ¡’ 2 x 10 = 20 ¢“ À¡Ÿ¡’ 8 µ—«

¡’¢“ 4 x 8 = 32 ¢“ √«¡®”π«π¢“∑—ÈßÀ¡¥ 20 + 32 = 52 ¢“

®–‰¥â«à“ ®”π«π¢“≈¥≈ß ¥—ßπ—Èπ®÷ߧ«√‡æ‘Ë¡®”π«πÀ¡Ÿ·≈–≈¥®”π«π‰°à

‡æ◊ËÕ„Àâ ‰¥â®”π«π¢“‡æ‘Ë¡¢÷Èπ ∂Ⓣ°à 8 µ—«¡’ 2 x 8 = 16 ¢“

À¡Ÿ 10 µ—« ¡’¢“ 4 x 10 = 40 ¢“ √«¡®”π«π¢“∑—ÈßÀ¡¥

16 + 40 = 56 ¢“ ·≈–‰°à 7 µ—« ¡’ 2 x 7 = 14 ¢“ À¡Ÿ 11 µ—«

¡’ 4 x 11 = 44 ¢“ √«¡¡’®”π«π¢“∑—ÈßÀ¡¥ 14 + 44 = 58 ¢“

§”µÕ∫¢Õߪí≠À“¢âÕπ’È®÷߇ªìπ ‰°à 7 µ—« ·≈–À¡Ÿ 11 µ—«

„π°“√·°âªí≠À“‚®∑¬å¢âÕπ’È π—°‡√’¬π§«√∫Õ°‰¥â«à“‚®∑¬å

∂“¡Õ–‰√ ‰°à¡’°’Ë¢“ À¡Ÿ¡’°’Ë¢“ §√Ÿ§«√欓¬“¡„Àℙ⫑∏’°“√§‘¥À≈“¬Ê

«‘∏’ ·≈–„Àâπ—°‡√’¬πÕ∏‘∫“¬«‘∏’°“√∑”¢Õßµπ‡Õß πÕ°®“°π’ȧ«√∂“¡

π—°‡√’¬π«à“‰¥â√—∫§«“¡√ŸâÕ–‰√®“°°“√·°â‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ’È ·≈–‡√’¬π√Ÿâ

Õ–‰√‡æ‘Ë¡‡µ‘¡®“°∑’ˉ¡à‡§¬∑√“∫¡“°àÕπ

89

2. µ—«Õ¬à“ß‚®∑¬åªí≠À“ µ“¡§«“¡ “¡“√∂¢ÕߺŸâ‡√’¬π

§√ŸÀ≈“¬§π‡™◊ËÕ«à“π—°‡√’¬π∑’Ë¡’§«“¡ “¡“√∂ Ÿß ‡√’¬π‡°àß

‡∑à“π—Èπ®÷ß®– “¡“√∂·°âªí≠À“‰¥â ‚¥¬§«“¡®√‘ßπ—°‡√’¬π∑ÿ°§πµâÕß

‡√’¬π√Ÿâ°“√·°âªí≠À“ ‡æ√“–‡ªìπ ‘Ëß®”‡ªìπ·≈– ”§—≠ ”À√—∫°“√ Õπ

·≈–°“√‡√’¬π§≥‘µ»“ µ√å π—°‡√’¬π∑ÿ°§π§«√‰¥â√—∫°“√Ωñ°∑—°…–

°“√·°âªí≠À“ ·≈– “¡“√∂·°âªí≠À“‰¥â®πª√– ∫§«“¡ ”‡√Á®µ“¡

§«“¡ “¡“√∂¢Õßµπ

”À√—∫π—°‡√’¬π∑’ˇ√’¬πÕàÕπ§«√®–·°âªí≠À“∑’Ë¡’«‘∏’°“√

§‘¥∑’ˇ©æ“–‡®“–®ß ‰¡à ≈—∫´—∫´âÕ𠇙àπ

çπ—°‡√’¬π®–µ—¥¢π¡‡§â° ‚¥¬µ—¥„Àâºà“π®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß

¢Õß¢π¡‡§â° 4 §√—Èß ®–‰¥â¢π¡‡§â°¡“°∑’Ë ÿ¥°’Ë™‘Èπé

®”π«π§√—Èß∑’˵—¥ √Ÿª ‰¥â¢π¡‡§â°∑—ÈßÀ¡¥ (™‘Èπ)

1 2

2 4

3 6

4 8

”À√—∫π—°‡√’¬π∑’ˇ√’¬π‡°àß §«√®–·°âªí≠À“∑’˵âÕß„™â§«“¡

§‘¥ ≈—∫´—∫´âÕπ¡“°¢÷È𠇙àπ ç∂â“®–µ—¥¢π¡‡§â° 4 §√—Èß ‚¥¬µâÕß°“√„Àâ

‰¥â¢π¡‡§â°¡“°∑’Ë ÿ¥ π—°‡√’¬π®–‰¥â¢π¡‡§â°¡“°∑’Ë ÿ¥°’Ë™‘Èπé

90

®”π«π§√—Èß∑’˵—¥ √Ÿª ‰¥â¢π¡‡§â°∑—ÈßÀ¡¥ (™‘Èπ)

1 2

2 4

3 7

4 11

®–‡ÀÁπ«à“„π°“√·°âªí≠À“¢âÕπ’È °“√«“¥√Ÿª®–∑”„Àâπ—°‡√’¬π

¡Õ߇ÀÁπ¿“æ·≈–·°âªí≠À“‰¥â

3. µ—«Õ¬à“ß‚®∑¬åªí≠À“°“√¡’ à«π√à«¡

ªí≠À“∫“ߪí≠À“Õ“®„Àâπ—°‡√’¬π™à«¬°—𧑥 «‘‡§√“–Àå

·≈–Õ¿‘ª√“¬√à«¡°—π ‡æ◊ËÕ„Àâ ‰¥â¢âÕ √ÿª ‡™àπ

1) ç®ßÀ“º≈∫«°∑—ÈßÀ¡¥¢Õß®”π«π∫πÀπâ“≈Ÿ°‡µã“é

π—°‡√’¬π∫“ß§π®–§‘¥‚¥¬°“√π”®”π«πµ—Èß·µà 1 ∂÷ß 6

¡“∫«°°—π‰¥â 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 π—°‡√’¬π∫“ߧπ

Õ“®®–§‘¥‚¥¬π”®”π«π∫πÀπâ“≈Ÿ°‡µã“∑’ËÕ¬Ÿàµ√ߢⓡ°—π¡“∫«°°—π

‡ªìπ 1 + 6, 2 + 5 ·≈– 3 + 4 ÷Ë߉¥âº≈≈—æ∏å‡∑à“Ê °—π ·µàÀπâ“

≈Ÿ°‡µã“∑’ËÕ¬Ÿàµ√ߢⓡ°—π 3 §Ÿà ¥—ßπ—Èπº≈∫«°®÷߇∑à“°—∫ 3 x 7 = 21

ªí≠À“„π∑”πÕ߇¥’¬«°—π ç®ßÀ“º≈∫«°¢Õß®”π«π∫πÀπâ“≈Ÿ°‡µã“

‘∫ ÕßÀπâ“ (dodecahedron)é π—°‡√’¬π®–®—∫§Ÿà√–À«à“ß®”π«π

∫πÀπâ“≈Ÿ°‡µã“∑’ËÕ¬Ÿàµ√ߢⓡ°—π ®–‰¥â

91

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

®–‡ÀÁπ«à“º≈∫«°¢Õß®”π«π·µà≈–§Ÿà‡∑à“°—∫ 13 ·≈–¡’∑—ÈßÀ¡¥ 6 §Ÿà

¥—ßπ—Èπº≈∫«°¢Õß®”π«π∫πÀπâ“≈Ÿ°‡µã“‡∑à“°—∫ 6 x 13 = 78

∂â“‚®∑¬å∂“¡«à“º≈∫«°¢Õß®”π«π∫πÀπâ“≈Ÿ°‡µã“∑’Ë¡’ n Àπâ“

‡ªìπ‡∑à“‰√ π—°‡√’¬π„™â°“√ —߇°µ ·∫∫√Ÿª ¢Õߺ≈≈—æ∏å∑’ˇ°‘¥¢÷Èπ ·≈–

§‘¥«‘‡§√“–Àå Õ¿‘ª√“¬ ·≈–™à«¬°—π √ÿªµ—«Õ¬à“ßµ“¡µ“√“ß ®–æ∫«à“

º≈∫«°¢Õß®”π«π∫πÀπâ“≈Ÿ°‡µã“ n Àπâ“ ‡∑à“°—∫ n_2 (n + 1)

92

®”π«πÀπ⓺≈∫«°¢Õß®”π«π∫πÀπâ“≈Ÿ°‡µã“ «‘∏’§‘¥ º≈≈—æ∏å

¢Õß≈Ÿ°‡µã“

4 1 + 2 + 3 + 4 2 x 5 10

6 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 3 x 7 21

8 1 + 2 + 3 + ... + 6 + 7 + 8 4 x 9 36

10 1 + 2 + 3 + ... + 8 + 9 + 10 5 x 11 55

12 1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 6 x 13 78. . .. . .. . .

20 1 + 2 + 3 + ... + 18 + 19 + 20 10 x 21 210. . .. . .. . .

100 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 50 x 101 5050. . . .. . . .. . . .

n 1 + 2 + 3 + ... + n n_ (n+1)2

2) ç√â“π¢“¬ √âÕ¬¡ÿ°·ÀàßÀπ÷Ëß §‘¥√“§“ √âÕ¬¡ÿ°∑’Ë¢“¬

¥—ßπ’È √âÕ¬¡ÿ°·µà≈–‡ âπ®–¡’¡ÿ°‡¡Á¥°≈“ß„À≠à∑’Ë ÿ¥·≈–√“§“®–¡“°

∑’Ë ÿ¥ ¡ÿ°‡¡Á¥∑’ËÕ¬Ÿà∂—¥®“°¡ÿ°‡¡Á¥°≈“ß®–¡’¢π“¥‡≈Á°≈ßµ“¡≈”¥—∫ ·µà

®–¡’¢π“¥‡∑à“°—∫¡ÿ°‡¡Á¥∑’ËÕ¬Ÿà§π≈–¢â“ߢÕß¡ÿ°‡¡Á¥°≈“ß ‚¥¬®–¡’

¢π“¥‡∑à“°—π‡ªìπ§ŸàÊ ·≈–√“§“®–≈¥≈߇¡Á¥≈– 10 ∫“∑ µ“¡≈”¥—∫

Õ¬“°∑√“∫«à“¡ÿ°·µà≈–‡ âπ√“§“‡∑à“‰√ ·≈–∂â“´◊ÈÕ¡ÿ°∑’ˬ“« 51 ‡¡Á¥®–µâÕß

®à“¬‡ß‘π°’Ë∫“∑é

„π°“√·°âªí≠À“¢âÕπ’Èπ—°‡√’¬πÕ“®„™â°“√‡¢’¬πµ“√“ß

· ¥ß®”π«π¡ÿ° ·∫∫√Ÿª¢Õß°“√√âÕ¬¡ÿ° √“§“¢Õß¡ÿ°‡¡Á¥°≈“ß ·≈–

√“§“¢Õß √âÕ¬¡ÿ°

®”π«π ·∫∫√Ÿª¢Õß°“√√âÕ¬ √“§“¢Õß¡ÿ°‡¡Á¥°≈“ß (∫“∑) √“§“¢Õß √âÕ¬¡ÿ° (∫“∑)¡ÿ°

3 1 2 1 20 10 + 20 + 10 = 40

5 1 2 3 2 1 30 10 + 20 + 30 + 20 + 10 = 90

7 1 2 3 4 3 2 1 40 160

9 1 2 3 4 5 4 3 2 1 50 250

11 1 2 3 4 5 6 5 4 2 1 60 360

13 1 2 3...6 7 6...3 2 1 70 490. . . .. . . .. . . .

25 123...121312...321 130 1,690. . . .. . . .. . . .

n 123... n + 1 ...321 10 n + 1 = 5(n + 1) 10 n + 1 2= 5 (n + 1)2___ __ __ _

2 2 2 2

51 1 2 3...25 26 25...321 5(51 + 1) = 5 x 52 = 260 5 (52 x 52) = 6,760_2

93

94

®“°µ“√“߇¡◊ËÕæ‘®“√≥“®”π«π¡ÿ° √“§“¢Õß¡ÿ°‡¡Á¥°≈“ß

·≈–√“§“¢Õß √âÕ¬¡ÿ° ´÷Ëßπ—°‡√’¬π„™â°“√ —߇°µ·≈–Õ¿‘ª√“¬√à«¡°—π

°Á®–‰¥â√Ÿª∑—Ë«‰ª¢Õß√“§“¡ÿ°‡¡Á¥°≈“ß·≈–√“§“ √âÕ¬¡ÿ° ·≈–‡¡◊ËÕ

µâÕß°“√¡ÿ°®”π«π°’ˇ¡Á¥ °Á “¡“√∂·∑π§à“¢Õß n ¥â«¬®”π«π¡ÿ°

∑’˵âÕß°“√‰¥â

4. µ—«Õ¬à“ß‚®∑¬åªí≠À“∑’˺‘¥æ≈“¥∫àÕ¬Ê

µàÕ‰ªπ’ȇªìπ‚®∑¬åªí≠À“∑’Ëπ—°‡√’¬π¡—°®–∑”º‘¥ ‡π◊ËÕß®“°

°“√‡¢â“„®º‘¥ ¥—ßπ—Èπ°“√Õ¿‘ª√“¬√à«¡°—π°àÕπ≈ß¡◊Õ∑”‚®∑¬å®–™à«¬„Àâ

‡¢â“„®‚®∑¬å‰¥â∂Ÿ°µâÕß

1) º≈§Ÿ≥¢Õß®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’Ë¡’§à“·µ°µà“ß°—π

‡∑à“°—∫ 84 ®”π«π‡µÁ¡∫«°‡À≈à“π—Èπ§◊ÕÕ–‰√ ·≈–º≈∫«°∑’Ë¡’§à“πâÕ¬

∑’Ë ÿ¥¢Õß®”π«π‡µÁ¡∫«°‡À≈à“π—Èπ‡ªìπ‡∑à“‰√

‚®∑¬å¢âÕπ’Èπ—°‡√’¬π¡—°®–‡¢â“„®«à“º≈§Ÿ≥¢Õß®”π«π‡µÁ¡

∫«° ‡°‘¥¢÷Èπ®“°°“√π”®”π«π‡µÁ¡∫«° Õß®”π«π¡“§Ÿ≥°—π‡∑à“π—Èπ

·µà®“°°“√Õ¿‘ª√“¬π—°‡√’¬π®–µÕ∫‰¥â«à“ 84 = 1 x 2 x 2 x 3 x 7

¥—ßπ—Èπº≈§Ÿ≥∑’ˇ°‘¥¢÷Èπ Õ“®®–‡°‘¥®“°®”π«π‡µÁ¡∫«° Õß®”π«π

§Ÿ≥°—π À√◊Õ®”π«π‡µÁ¡∫«° “¡®”π«π§Ÿ≥°—π ·≈⫉¥âº≈≈—æ∏å 84

¥—ßµ“√“ßµàÕ‰ªπ’È

95

®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’˧Ÿ≥°—π‰¥â 84 º≈∫«°¢Õß®”π«π‡µÁ¡∫«°∑’Ëπ”¡“§Ÿ≥°—π

1, 84 852, 42 443, 28 317, 12 19

2, 3, 14 192, 6, 7 153, 4, 7 14

¥—ßπ—Èπ®”π«π‡µÁ¡∫«° §◊Õ 3, 4, 7 ·≈–º≈∫«°‡∑à“°—∫ 14

2) 癓¬§πÀπ÷Ëß„™â‡«≈“Àπ÷Ëß™—Ë«‚¡ß„π°“√¢ÿ¥À≈ÿ¡

°«â“ß 2 ‡¡µ√ ¬“« 2 ‡¡µ√ ·≈–≈÷° 2 ‡¡µ√∂â“™“¬§ππ’ȵâÕß°“√

¢ÿ¥À≈ÿ¡°«â“ß 4 ‡¡µ√ ¬“« 4 ‡¡µ√ ·≈–≈÷° 4 ‡¡µ√ ‚¥¬‡√‘Ë¡¢ÿ¥

µ—Èß·µà‡«≈“ 6.00 π. À¬ÿ¥æ—°‡ªìπ‡«≈“ 2 ™—Ë«‚¡ß ·≈–ÕÕ°·√ߢÿ¥¥â«

¬°”≈—ß∑’Ë¡’¢π“¥‡∑à“°—π‡ ¡Õ ™“¬§ππ’È®–¢ÿ¥‡ √Á®‡¡◊ËÕ‡«≈“‡∑à“„¥é

‚®∑¬å¢âÕπ’Èπ—°‡√’¬π¡—°®–µÕ∫∑—π∑’«à“ ™“¬§ππ’È„™â‡«≈“

¢ÿ¥ 2 ™—Ë«‚¡ß ¥—ßπ—Èπ‡¢“®–¢ÿ¥À≈ÿ¡‡ √Á®‡¡◊ËÕ‡«≈“ 10.00 π. ÷Ë߇ªìπ

§”µÕ∫∑’Ë ‰¡à∂Ÿ°µâÕß °“√Õ¿‘ª√“¬√à«¡°—π®–™à«¬„Àâπ—°‡√’¬π‡¢â“„®

«à“®–µâÕßÀ“ª√‘¡“µ√¢ÕßÀ≈ÿ¡ ‰¡à„™à«à“¢π“¥¢Õߧ«“¡¬“«·µà≈–¥â“π

‡æ‘Ë¡¢÷Èπ 2 ‡¡µ√ ·≈⫇«≈“„π°“√¢ÿ¥®–‡æ‘Ë¡‡ªìπ 2 ‡∑à“ „π°“√· ¥ß

«‘∏’°“√∑” π—°‡√’¬π®–µâÕßÀ“ª√‘¡“µ√¢ÕßÀ≈ÿ¡∑’Ë¢ÿ¥„π‡«≈“ 1 ™—Ë«‚¡ß

´÷Ë߇∑à“°—∫ 2 x 2 x 2 = 8 ≈Ÿ°∫“»°å‡¡µ√ ·≈–ª√‘¡“µ√¢ÕßÀ≈ÿ¡∑’Ë

96

µâÕß°“√¢ÿ¥‡∑à“°—∫ 4 x 4 x 4 = 64 ≈Ÿ°∫“»°å‡¡µ√ ¥—ßπ—ÈπÀ≈ÿ¡∑’Ë

µâÕß°“√¢ÿ¥®–µâÕß„™â‡«≈“¢ÿ¥∑—ÈßÀ¡¥ _648 = 8 ™—Ë«‚¡ß ™“¬§ππ’È

®–¢ÿ¥À≈ÿ¡‡ √Á®‡¡◊ËÕ‡«≈“ 16.00 π.

5. µ—«Õ¬à“ß‚®∑¬åªí≠À“∑’Ë¡’«‘∏’°“√§‘¥∑’ËÀ≈“°À≈“¬

°“√°√–µÿâπ„Àâπ—°‡√’¬π§‘¥·°âªí≠À“®–™à«¬„Àâπ—°‡√’¬π

欓¬“¡§‘¥À“«‘∏’°“√µà“ßÊ ‡æ◊ËÕ·°âªí≠À“π—Èπ ∑”„Àâ ‰¥â«‘∏’°“√∑’Ë

À≈“°À≈“¬ §√ŸÕ“®„Àâπ—°‡√’¬π™à«¬°—𧑥‡ªìπ°≈ÿà¡ À√◊ՙ૬°—𧑥

‡ªìπ§ŸàÊ ∑—Èßπ’È·≈â«·µà§«“¡¬“°ßà“¬¢Õߪí≠À“ µàÕ‰ªπ’ȇªìπµ—«Õ¬à“ß

¢Õߪí≠À“∑’Ë “¡“√∂· ¥ß«‘∏’°“√∑”‰¥âÀ≈“¬«‘∏’

1) √∂¬πµå§—πÀπ÷Ëß·≈àπÕÕ°®“°®ÿ¥‡√‘Ë¡µâ𠇫≈“

8.00 π. ·≈–«‘Ëߥ⫬՗µ√“‡√Á« 60 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß µàÕ¡“

√∂¬πµåÕ’°§—πÀπ÷Ëß·≈àπÕÕ°®“°®ÿ¥‡√‘Ë¡µâ𠇫≈“ 9.00 π. ·≈–«‘Ëߥ⫬

Õ—µ√“‡√Á« 75 °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™—Ë«‚¡ß ∂â“√∂¬πµå·µà≈–§—π«‘Ëߥ⫬

Õ—µ√“‡√Á«§ß∑’ˇ ¡Õ ‡«≈“‡∑à“„¥∑’Ë√∂¬πµå∑—Èß Õߧ—π®–æ∫°—π

«‘∏’∑’Ë 1 „™â°“√«“¥¿“æ· ¥ß√–¬–∑“ß∑’Ë√∂¬πµå«‘Ëß

®ÿ¥‡√‘Ë¡µâπ60 °.¡. 60 °.¡. 60 °.¡. 60 °.¡. 60 °.¡.

8.00 π. 13.00 π.

®ÿ¥‡√‘Ë¡µâπ75 °.¡. 75 °.¡. 75 °.¡. 75 °.¡.

9.00 π. 13.00 π.

97

«‘∏’∑’Ë 2 „™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕß §.√.π.

À“ §.√.π. ¢Õß 60 ·≈– 75

60 = 2 x 2 x 3 x 5

75 = 3 x 5 x 5

∴ §.√.π. ¢Õß 60 ·≈– 75 §◊Õ 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 300

∴ √–¬–∑“ß∑’ËπâÕ¬∑’Ë ÿ¥∑’Ë√∂¬πµå∑—Èß Õߧ—π®–«‘Ëß∑—π°—π

§◊Õ 300 °‘‚≈‡¡µ√

¥—ßπ—Èπ √∂¬πµå§—π·√°„™â‡«≈“‡¥‘π∑“ß 300 = 5 ™—Ë«‚¡ß__60

∴ √∂¬πµå∑—Èß Õߧ—π®–æ∫°—π‡«≈“ 13.00 π.

«‘∏’∑’Ë 3 „™â§«“¡√Ÿâ‡°’ˬ«°—∫æ’™§≥‘µ

„Àâ t ™—Ë«‚¡ß‡ªìπ‡«≈“∑’Ë√∂¬πµå§—π·√°«‘Ëß

√∂¬πµå§—π∑’Ë 2 «‘Ëß ‚¥¬„™â‡«≈“ t - 1 ™—Ë«‚¡ß

√–¬–∑“ß = Õ—µ√“‡√Á« x ‡«≈“ ·≈–√∂¬πµå∑—Èß Õߧ—π

«‘Ë߉¥â√–¬–∑“߇∑à“°—π

¥—ßπ—Èπ 60t = 75(t - 1)

60t = 75 t - 75

15t = 75

t = 5

∴ √∂¬πµå§—π·√°„™â‡«≈“«‘Ëß 5 ™—Ë«‚¡ß ·≈–√∂¬πµå§—π∑’Ë

Õß„™â‡«≈“«‘Ëß 4 ™—Ë«‚¡ß

¥—ßπ—Èπ√∂¬πµå∑—Èß Õߧ—π®–æ∫°—π‡«≈“ 13.00 π.

98

2) √â“π‡øÕ√å𑇮Õ√å·ÀàßÀπ÷Ëß¡’ºŸâ¡“ —Ëß∑”‚µä–∑’Ë¡’ 4 ¢“

·≈–‡°â“Õ’È∑’Ë¡’ 3 ¢“ ®”π«π 100 µ—« ·≈–‡¡◊ËÕπ—∫®”π«π¢“¢Õß‚µä–

·≈–‡°â“Õ’È√«¡°—π‰¥â 340 ¢“ Õ¬“°∑√“∫«à“¡’ºŸâ¡“ —Ëß∑”‚µä–·≈–

‡°â“Õ’È®”π«πÕ¬à“ß≈–°’˵—«

«‘∏’∑’Ë 1 „™â§«“¡√Ÿâ‡°’ˬ«°—∫æ’™§≥‘µ

¡¡µ‘„Àâ x ‡ªìπ®”π«π‡°â“Õ’È ·≈– y ‡ªìπ®”π«π‚µä–

¥—ßπ—Èπ x + y = 100 ............... ➀

3x + 4y = 340 ............... ➁

➀ x ➂ , 3x + 3y = 300 ............... ➂

➁ - ➂ , y = 40

·∑π§à“ y „π ➀ , x = 100 - 40 = 60

¥—ßπ—Èπ¡’ºŸâ¡“ —Ëß∑”‚µä– 40 µ—« ·≈– —Ëß∑”‡°â“Õ’È 60 µ—«

«‘∏’∑’Ë 2 „™â°“√§“¥‡¥“·≈–°“√µ√«® Õ∫

‚µä– ‡°â“Õ’È √«¡®”π«π¢“

®”π«π‚µä– ®”π«π¢“ ®”π«π‡°â“Õ’È ®”π«π¢“ ∑—ÈßÀ¡¥

80 320 20 60 38070 280 30 90 37060 240 40 120 36050 200 50 150 35040 160 60 180 340*

¥—ßπ—Èπ¡’ºŸâ¡“ —Ëß∑”‚µä– 40 µ—« ·≈– —Ëß∑”‡°â“Õ’È 60 µ—«

99

«‘∏’∑’Ë 3 „™â°“√«“¥¿“æ

≈¥®”π«π‚µä–·≈–‡°â“Õ’È 100 µ—« ‡ªìπ 10 µ—«

·≈–≈¥®”π«π¢“¢Õß‚µä–·≈–‡°â“Õ’È 340 ¢“ ‡ªìπ 34 ¢“

‡¡◊ËÕπ”¡“«“¥√Ÿª

®”π«π‡°â“Õ’È ®”π«π‚µä–

®”π«π¢“‡°â“Õ’È 6 x 3 = 18 ¢“ ®”π«π¢“‚µä– 4 x 4 = 16 ¢“

¥—ßπ—Èπ¡’ºŸâ —Ëß∑”‚µä– 4 x 10 = 40 µ—« ·≈– —Ëß∑”‡°â“Õ’È

6 x 10 = 60 µ—«

3) °”Àπ¥„Àâ AE_

‡ªìπ‡ âπ —¡º— «ß°≈¡ ∑’Ë¡’®ÿ¥ C ‡ªìπ

®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß AC_

⊥ CE_

·≈– DCE = 30 Ì, CD = 5 ‡´πµ‘‡¡µ√

®ßÀ“§«“¡¬“«¢Õß AB_

(5 «‘∏’)

C E

D

B

A

F

P

5

100

«‘∏’∑’Ë 1 „™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕßÕ—µ√“ à«πµ√’‚°≥¡‘µ‘

√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ACD ¡’ ACD = 90 Ì - 30 Ì = 60 Ì

cos 60 Ì = CD_AC

1 = 5_ _2 AC

∴ AC = 5 x 2 = 10 ´¡.

ᵈ AC = AB + BC

10 = AB + 5

AB = 10 - 5 = 5 ´¡.

«‘∏’∑’Ë 2 „™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¥â“π‡∑à“ √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡Àπâ“®—Ë«

≈“° BD_

„π√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ BCD ¡’ BCD = 60 Ì ·≈–

BC = CD

¥—ßπ—Èπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ BCD ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¥â“π‡∑à“

·≈– BC = CD = BD = 5 ´¡.

ᵈ ACE = ACD + DCE

90 Ì = ACD + 30 Ì

ACD = 90 Ì - 30 Ì = 60 Ì

·µà ADC = 90 Ì

„π√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ACD ®–‰¥â CAD = 90 Ì - 60 Ì = 30 Ì

„π√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ BCD ¡’ BDC = 60 Ì

·≈– ADC = 90 Ì

∴ BDA = 90 Ì - 60 Ì = 30 Ì

¥—ßπ—Èπ ABD ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡Àπâ“®—Ë«

·≈– AB = BD

¥—ßπ—Èπ AB = 5 ´¡.

«‘∏’∑’Ë 3 „™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¥â“π‡∑à“ √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡Àπâ“®—Ë«

·≈–°“√‡∑à“°—π∑ÿ°ª√–°“√ ≈“° BF_

·≈– CF_

BC = CD, CF ‡ªìπ¥â“π√à«¡ ·≈– CBF = CDF = 90 Ì

∴ BCF ≅ CDF ‡π◊ËÕß®“°√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡©“°

Õß√Ÿª¡’¥â“πµ√ߢⓡ¡ÿ¡©“°¬“«‡∑à“°—π ·≈–¡’¥â“πÕ’°¥â“π

Àπ÷Ë߬“«‡∑à“°—π ·≈â«√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ Õß√Ÿªπ—Èπ‡∑à“°—π∑ÿ°

ª√–°“√ (©“°-¥â“π-¥â“π)

¥—ßπ—Èπ BCF = FCD = 60 Ì = 30 Ì_2

·µà CBF = 90 Ì

BFC = 90 Ì - 30 Ì = 60 Ì

·µà BFC = CFD = 60 Ì ‡æ√“– BCF ≅ CFD

¥—ßπ—Èπ AFB = 180 Ì - (BFC + CFD)

= 180 Ì - (60 Ì + 60 Ì) = 60 Ì

ᵈ BF_

µ—Èß©“°°—∫ AC_

∑’Ë®ÿ¥ B ·≈– AFB = BFC = 60 Ì

¥—ßπ—Èπ AB = BC = 5 ´¡. ‡æ√“–‡ âπ·∫àߧ√÷Ëß¡ÿ¡∑’˵—Èß©“°

°—∫∞“π¬àÕ¡·∫àߧ√÷Ëß∞“π

101

102

«‘∏’∑’Ë 4 „™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕßÕ—µ√“ à«πµ√’‚°≥¡‘µ‘

„Àâ CE_

µ—¥°—∫ à«π‚§âߢÕß«ß°≈¡∑’Ë®ÿ¥ P „Àâ PE = m ´¡.

DCE, CD = sin 60 Ì_CE5 = √3___ _

5 + m 2

10 = √3 (5 + m)

10 = 5 √3 + √3 m

√3 m = 10 - 5 √3

m = 10_√3

- 5

ACE, AC = tan 60 Ì_CE

AC_____ = √3105 + (_ - 5)√3

AC = 5 √3 + 10 - 5 √3

= 10

¥—ßπ—Èπ AB = AC - BC = 10 - 5 = 5 ´¡.

103

«‘∏’∑’Ë 5 „™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕß°Æ¢Õ߉´πå

„π ACD, AC = CD___ ___sin 90 Ì sin 30 Ì

AC = 5_ _1 1_

2

AC = 5 x 2 = 10 ´¡.

¥—ßπ—Èπ AB = AC - BC = 10 - 5 = 5 ´¡.

4) ®“°√Ÿª ®ßÀ“§à“¢Õß m

«‘∏’∑’Ë 1 „™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕßæ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡

æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ = 1 x ∞“π x Ÿß_2

æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª ABC = 1 x 4 x 3 = 6 µ“√“ßÀπ૬_2

·µàæ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª ABC = 1 x 5 x m = 5m µ“√“ßÀπ૬_ _

2 2

¥—ßπ—Èπ 5m = 6_2

CA

m

θ

D5

B

4 3

104

m = 6 x 2 = 12___ _5 5

¥—ßπ—Èπ BD = 2.4 Àπ૬

«‘∏’∑’Ë 2 „™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕßæ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡

æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ = √s(s-a)(s-b)(s-c)

·µà S = a+b+c = 5+4+3 = 6 Àπ૬___ ___2 2

¥—ßπ—Èπæ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª ABC = √6(6-5)(6-4)(6-3)

= √6(1)(2)(3) = 6

π—Ëπ§◊Õ 5m = 6_2

m = 6 x 2__5

BD = 12 = 2.4 Àπ૬_5

«‘∏’∑’Ë 3 „™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕßÕ—µ√“ à«πµ√’‚°≥¡‘µ‘

„π√Ÿª BCD, sinθ = BD = m_ _BC 3

„π√Ÿª ABC, sinθ = AB = 4_ _AC 5

¥—ßπ—Èπ m = 4_ _3 5

m = 4 x 3__5

BD = 12 = 2.4 Àπ૬_5

105

«‘∏’∑’Ë 4 „™â§«“¡√Ÿâ‡√◊ËÕß√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡§≈⓬

ABC = BDC = 90 Ì, ACB = BCD = θ

¥—ßπ—Èπ BAC = CBD

®–‰¥â ABC ~ BDC π—Ëπ§◊Õ BC = BD_ _AC AB4 = m_ _

5 3

m = 4 x 3__5

= 12 = 2.4 Àπ૬BD _5

«‘∏’∑’Ë 5 „™â§«“¡√Ÿâ‡°’ˬ«°—∫æ’™§≥‘µ

„Àâ CD_

¬“« n Àπ૬ ¥—ßπ—Èπ AD = 5 - n Àπ૬

„π√Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡©“° ABD, (5 - n)2 + m2 = 42

25 - 10n + n2 + m2 = 16

∴ m2 + n2 = 10n - 9 ........................➀

BDC, m2 + n2 = 32 ........................➁

➁ = ➀ , 10n - 9 = 32

10n = 9 + 9

n = 18 = 1.8_10·∑π§à“ n „π ➁ ,

m2 + (1.8)2 = 9

m2 = 9 -(1.8)2

= 9 - 3.24

= 5.76

106

m = ±√5.76

m = ±√2.4

·µà§«“¡¬“«µâÕ߇ªìπ∫«°‡ ¡Õ

¥—ßπ—Èπ m = 2.4 Àπ૬

ªí®®—¬ ”§—≠∑’Ë¡’Õ‘∑∏‘æ≈µàÕ°“√·°âªí≠À“

‘Ëß∑’Ë¡’Õ‘∑∏‘æ≈¡“°∑’Ë ÿ¥µàÕ°“√·°âªí≠À“ ¡’¥—ßπ’È

ë §«“¡ —∫´âÕπ¢Õß‚®∑¬åªí≠À“ ¢âÕ¡Ÿ≈∑’Ë°”Àπ¥„Àâ¡’

®”π«π¡“°

ë «‘∏’°“√𔇠πÕ‚®∑¬åªí≠À“

ë §«“¡§ÿâπ‡§¬°—∫°√–∫«π°“√·°âªí≠À“

ë °“√„™â«‘∏’°“√·°âªí≠À“∑’ˉ¡à∂Ÿ°µâÕß µ—«Õ¬à“߇™àπ °“√

·°â‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ’È

çÀπÕπµ—«Àπ÷ËßÕ¬Ÿà„π¢«¥ ÷Ëß Ÿß 8 π‘È« ·≈–°«â“ß 6 π‘È«

„π·µà≈–«—πÀπÕπ®–§≈“π¢÷Èπ‰ª‰¥â Ÿß 4 π‘È« ·≈–„π‡«≈“°≈“ߧ◊π

ÀπÕπ®–‡≈◊ËÕπÀ≈àπ≈ß¡“ 2 π‘È« Õ¬“°∑√“∫«à“µâÕß„™â‡«≈“°’Ë«—πÀπÕπ

µ—«π’È®÷ß®–§≈“π∂÷ߪ“°¢«¥é

°“√µÕ∫ªí≠À“¢âÕπ’È®–‡ÀÁπ«à“„π‡«≈“ 1 «—π ÀπÕπ

®–§≈“π¢÷Èπ‰ª‰¥â 4 - 2 = 2 π‘È« ·≈–¢«¥ Ÿß 8 π‘È« ¥—ßπ—ÈπÀπÕπ

®÷ß„™â‡«≈“§≈“π 8 ÷ 2 = 4 «—π ®÷ß®–∂÷ߪ“°¢«¥ ·µà∂â“„™â°“√

«“¥¿“æ· ¥ß°“√·°â‚®∑¬åªí≠À“¢âÕπ’È ®–‡ÀÁπ«à“ÀπÕπ„™â‡«≈“

‡¥‘π∑“ß‡æ’¬ß 3 «—π‡∑à“π—Èπ ·≈–‡ªì𧔵Õ∫∑’Ë∂Ÿ°µâÕß

107

ë °“√‡√‘Ë¡µâπ°“√·°âªí≠À“ π—°‡√’¬π‰¡à∑√“∫«à“®–‡√‘Ë¡µâπ

Õ¬à“߉√ ®–µâÕß∑”Õ–‰√°àÕπ

ë ¢âÕ¡Ÿ≈∑’Ë°”Àπ¥„Àâ ‰¡à‡æ’¬ßæÕ µ—«Õ¬à“߇™àπ 祫߄®

¡’¢π¡‡§â°Àπ÷Ëß°âÕπ¢π“¥ 3 ªÕπ¥å ‡¡◊ËÕµ—¥¢π¡‡§â° 5 §√—Èß ®–‰¥â

¢π¡‡§â°∑—ÈßÀ¡¥°’Ë™‘Èπé ªí≠À“¢âÕπ’ÈÕ¬Ÿàµ√ߧ”∂“¡∑’Ë«à“ ç°“√µ—¥

¢π¡‡§â°°âÕππ’ȵâÕßµ—¥„Àâºà“π®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß∑ÿ°§√—ÈßÀ√◊Õ‰¡à À√◊Õµ—¥

Õ¬à“߉√°Á‰¥âé ‡æ√“–°“√µ—¥¥â«¬≈—°…≥–∑’Ë·µ°µà“ß°—π ®–∑”„Àâ ‰¥â

®”π«π™‘Èπ¢Õß¢π¡‡§â°‰¡à‡∑à“°—π

ë ‡®µ§µ‘¢Õßπ—°‡√’¬π∑’Ë¡’µàÕ°“√·°âªí≠À“ ‡¡◊ËÕπ—°‡√’¬π

ª√– ∫§«“¡ ”‡√Á®„π°“√·°âªí≠À“ π—°‡√’¬π¡’°”≈—ß„®∑’Ë®–·°âªí≠À“µà“ßÊ

ë ª√– ∫°“√≥å„π°“√·°âªí≠À“¢Õßπ—°‡√’¬π·µà≈–§π

·µ°µà“ß°—π °“√∑’Ë®–‡ªìππ—°·°âªí≠À“∑’Ë¥’®–µâÕ߉¥â√—∫ª√– ∫°“√≥å

„π°“√·°âªí≠À“∑’ËÀ≈“°À≈“¬ ´÷Ëߧ≈⓬°—∫°“√∑’Ë®–‡ªìππ—°»‘≈ª–∑’ˇ°àß

π—°‡≈àπ°Õ≈åøΩï¡◊Õ‡¬’ˬ¡°ÁµâÕßΩñ°ΩπΩñ°À—¥Õ¬à“ß ¡Ë”‡ ¡Õ °“√Ωñ°À—¥

¡’§«“¡ ”§—≠¡“° µ—«Õ¬à“߇™àπ π—°»‘≈ª–∑’ˇ°àß°ÁµâÕ߇√‘Ë¡µ—Èß·µà°“√

º ¡ ’∑’Ë®–„™â«“¥ °“√∂◊Õ·ª√ß °“√Ωñ°∑“ ’„À⇰àßπ—ÈπµâÕß„™â‡«≈“

Ωñ°ΩπÀ≈“¬™—Ë«‚¡ß ∫“ߧπÕ“®®–¡’æ√ «√√§å„π°“√∑“ ’¡“·µà°”‡π‘¥

·µà°ÁµâÕßΩñ°·≈–„™â§«“¡√Ÿâ·≈–‡∑§π‘§µà“ßÊ ´÷Ëß°ÁµâÕßÕ“»—¬‡«≈“

ª√– ∫°“√≥å„π°“√·°âªí≠À“ ®–™à«¬„Àâπ—°‡√’¬π¡’

§«“¡æ√âÕ¡ ¡’§«“¡‡™◊ËÕ¡—Ëπ„𧫓¡ “¡“√∂¢Õßµπ‡Õß √Ÿâ®—°„™â§«“¡√Ÿâ

∑’ˇ§¬‡√’¬π¡“‡¢’¬πµ“√“ßÀ√◊Õ·ºπ¿“æ™à«¬·°âªí≠À“ ”À√—∫π—°‡√’¬π

„π™—Èπª√–∂¡»÷°…“ªï∑’Ë 1 - 2 ¬—߉¡à “¡“√∂Õà“π‚®∑¬åªí≠À“‰¥â §√Ÿ

108

Õ“®®–∫Õ°„Àâπ—°‡√’¬πÀ≈—∫µ“ ·≈â«Õà“π‚®∑¬å„Àâøíß ·≈–„Àâπ—°‡√’¬π

®‘πµπ“°“√«à“„π‚®∑¬åªí≠À“π—Èπ¡’Õ–‰√‡°‘¥¢÷Èπ À√◊Õ„Àâπ—°‡√’¬π¥Ÿ¿“æ

·≈â«„Àâµ—Èß‚®∑¬å‡°’ˬ«°—∫°“√∫«°·≈–°“√≈∫ À√◊Õ°”Àπ¥ª√–‚¬§

—≠≈—°…≥å∑’Ë· ¥ß°“√∫«°À√◊Õ°“√≈∫·≈â«„Àâπ—°‡√’¬πµ—Èß‚®∑¬åªí≠À“

À√◊Õ„Àâ √â“ß‚®∑¬åªí≠À“∑’Ë¡’≈—°…≥–§≈⓬§≈÷ß°—∫‚®∑¬åªí≠À“∑’Ë°”Àπ¥

„Àâ πÕ°®“°π’ȧ√ŸÕ“®®–∂“¡π—°‡√’¬π«à“ çπ—°‡√’¬π‡§¬‡ÀÁπ®”π«π„π

∂“π∑’Ë„¥∫â“ßé §”µÕ∫Õ“®®–‡ªìπ ç„π≈‘øµåé ·≈–§√Ÿπ”°“√Õ¿‘ª√“¬

«à“ ç®”π«ππ—Èπ„™â‡æ◊ËÕÕ–‰√é À√◊Õ°“√‡≈à“‡√◊ËÕßÀ√◊Õ‡≈à“π‘∑“π∑’ˇ°’ˬ«°—∫

§≥‘µ»“ µ√å·≈⫧√Ÿ«“¥√Ÿª· ¥ß‡√◊ËÕß√“«‡À≈à“π—Èπ ‘Ë߇À≈à“π’È®–™à«¬

°√–µÿâ𧫓¡ π„®¢Õßπ—°‡√’¬π ∑”„Àâπ—°‡√’¬π πÿ°°—∫°“√·°âªí≠À“

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·°âªí≠À“ §«“¡ π„®·≈–§«“¡°√–µ◊Õ√◊Õ√âπ ®–™à«¬„Àâπ—°‡√’¬π

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112

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- „π¢«¥¡’≈Ÿ°·°â« 90 ≈Ÿ° ∂â“„ à≈Ÿ°·°â«„π¢«¥Õ’° 3 ≈Ÿ°

®–¡’≈Ÿ°·°â«„π¢«¥∑—ÈßÀ¡¥°’Ë≈Ÿ°

- ´◊ÈÕ∂ÿß¡◊Õ 3 §Ÿà §‘¥‡ªìπ‡ß‘π 90 ∫“∑ ∂ÿß¡◊Õ·µà≈–§Ÿà√“§“

‡∑à“‰√

113

- ¡’¡–π“« 90 ≈Ÿ° „πµ–°√â“ ·¡à§â“À¬‘∫¡–π“«∑’ˇ ’¬ÕÕ°

3 ≈Ÿ° ®–¡’¡–𓫇À≈◊ÕÕ¬Ÿà„πµ–°√â“°’Ë≈Ÿ°

- ‡ ◊ÈÕπ—°‡√’¬π√“§“µ—«≈– 90 ∫“∑ ∂â“´◊ÈÕ‡ ◊ÈÕ 3 µ—«

§‘¥‡ªìπ‡ß‘π‡∑à“‰√

‡°≥±å°“√ª√–‡¡‘π°“√·°âªí≠À“

°“√ª√–‡¡‘𧫓¡ “¡“√∂„π°“√·°âªí≠À“ §«√®–¡’«‘∏’°“√

∑’Ë¡“°°«à“°“√‰¥â§”µÕ∫∑’Ë∂Ÿ°µâÕß ‡°≥±å°“√ª√–‡¡‘π°“√·°âªí≠À“

§«√¡’ ¥—ßπ’È

1. §«“¡‡¢â“„®ªí≠À“

2 §–·ππ ”À√—∫§«“¡‡¢â“„®ªí≠À“‰¥â∂Ÿ°µâÕß

1 §–·ππ ”À√—∫°“√‡¢â“„®‚®∑¬å∫“ß à«π‰¡à∂Ÿ°µâÕß

0 §–·ππ ‡¡◊ËÕ¡’À≈—°∞“π∑’Ë· ¥ß«à“‡¢â“„®πâÕ¬¡“°

À√◊Õ‰¡à‡¢â“„®‡≈¬

2. °“√‡≈◊Õ°¬ÿ∑∏«‘∏’°“√·°âªí≠À“

2 §–·ππ ”À√—∫°“√‡≈◊Õ°«‘∏’°“√·°âªí≠À“‰¥â∂Ÿ°µâÕß

·≈–‡¢’¬πª√–‚¬§§≥‘µ»“ µ√å∂Ÿ°

1 §–·ππ ”À√—∫°“√‡≈◊Õ°«‘∏’°“√·°âªí≠À“ ´÷ËßÕ“®

®–𔉪 Ÿà§”µÕ∫∑’Ë∂Ÿ° ·µà¬—ß¡’∫“ß à«πº‘¥

‚¥¬Õ“®‡¢’¬πª√–‚¬§§≥‘µ»“ µ√剡à∂Ÿ°µâÕß

0 §–·ππ ”À√—∫°“√‡≈◊Õ°«‘∏’°“√·°âªí≠À“‰¡à∂Ÿ°µâÕß

114

3. °“√„™â¬ÿ∑∏«‘∏’°“√·°âªí≠À“

2 §–·ππ ”À√—∫°“√π”¬ÿ∑∏«‘∏’°“√·°âªí≠À“‰ª„™â ‰¥â

∂Ÿ°µâÕß

1 §–·ππ ”À√—∫°“√π”«‘∏’°“√·°âªí≠À“∫“ß à«π

‰ª„™â ‰¥â∂Ÿ°

0 §–·ππ ”À√—∫°“√„™â¬ÿ∑∏«‘∏’°“√·°âªí≠À“‰¡à∂Ÿ°µâÕß

4. °“√µÕ∫

2 §–·ππ ”À√—∫°“√µÕ∫§”∂“¡‰¥â∂Ÿ°µâÕß ¡∫Ÿ√≥å

1 §–·ππ ”À√—∫°“√µÕ∫∑’Ë ‰¡à ¡∫Ÿ√≥åÀ√◊Õ„™â

—≠≈—°…≥庑¥

0 §–·ππ ‡¡◊ËÕ‰¡à‰¥â√–∫ÿ§”µÕ∫

°“√ª√–‡¡‘πµ“¡ ¿“æ®√‘ß

„πªí®®ÿ∫—π°“√ª√–‡¡‘ππ—°‡√’¬π®–ª√–‡¡‘πµ“¡ ¿“æ®√‘ß

(Authentic assessment) ‡ªìπ°“√ª√–‡¡‘πµ“¡∏√√¡™“µ‘¢Õßß“π

·≈–∫√‘∫∑∑’ˇ°’ˬ«¢âÕß ∑’Ë· ¥ß∂÷ߪí≠À“ ÷Ë߇°‘¥¢÷Èπ„π™’«‘µ®√‘ß °“√

ª√–‡¡‘πº≈°“√∑”ß“π ¡’°“√°”Àπ¥°“√„À⧖·ππ·∫∫ Scoring

Rubric Õ¬à“ß™—¥‡®π‡ªìπ√Ÿª∏√√¡ ´÷Ëß Rubric ‡ªìπ√–∫∫°“√„Àâ

√–¥—∫§–·ππ ‚¥¬§√Ÿæ‘®“√≥“«à“π—°‡√’¬π “¡“√∂∑”ß“π‰¥â„π√–¥—∫„¥

¡’§«“¡√Ÿâ§«“¡ “¡“√∂„π√–¥—∫„¥ ®÷߇ªìπ°“√„À⧖·ππ°—∫°“√

∑”ß“π¢Õßπ—°‡√’¬π ‰¡à„™à„Àâµ—«π—°‡√’¬π

115

µ—«Õ¬à“ß°“√„À⧖·ππ

1. ·∫∫∑’Ë 1 ‡ªìπ°“√„À⧖·ππ∑’Ë·∫àß√–¥—∫¢Õߧ–·ππ

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Kutz (1991) ‰¥â‡ πÕ«‘∏’°“√„À⧖·ππ¥—ßπ’È

0 §–·ππ ”À√—∫°“√∑’ˉ¡à‰¥â· ¥ß§«“¡æ¬“¬“¡„π°“√

·°âªí≠À“‡≈¬

1 §–·ππ ”À√—∫°“√· ¥ß§«“¡æ¬“¬“¡„π°“√·°â

ªí≠À“∫â“ß ·µà‰¡à‰¥â· ¥ß§«“¡°â“«Àπâ“„π

°“√À“§”µÕ∫∑’Ë∂Ÿ°

2 §–·ππ ”À√—∫°√–∫«π°“√·°âªí≠À“∑’Ë ‡ªìπ‰ª‰¥â

∂÷ß·¡â®–¬—߉¡à‰¥â§”µÕ∫

3 §–·ππ ”À√—∫°“√„™â°√–∫«π°“√·°âªí≠À“∑’Ë∂Ÿ°µâÕß

·µà¡’°“√§‘¥§”π«≥º‘¥‡≈Á°πâÕ¬

4 §–·ππ ”À√—∫°“√„™â°√–∫«π°“√·°âªí≠À“∑’Ë∂Ÿ°µâÕß

∑”„Àâ ‰¥â§”µÕ∫∑’Ë∂Ÿ° ·≈–¡’°“√Õ∏‘∫“¬§”µÕ∫

π—Èπ

+1 §–·ππ ”À√—∫°√–∫«π°“√·°âªí≠À“∑’Ë™—¥‡®π Õ∏‘∫“¬

¢—ÈπµÕπ°“√‰¥â¡“´÷Ëߧ”µÕ∫∑’Ë∂Ÿ°µâÕß

116

µ—«Õ¬à“ß

(1) çµâÕß°“√∑√“∫«à“°âÕπÀ‘πªŸæ◊Èπ¢π“¥„°≈⇧’¬ß°—π

®”π«π 1,000,000 °âÕπ ®–π”¡“ªŸæ◊ÈπÀâÕ߇°Á∫¢Õß

‰¥â‡µÁ¡ÀâÕßÀ√◊Õ‰¡à

§”µÕ∫∑’Ë 1 ªŸ‰¥â‡µÁ¡ÀâÕß·≈–„™â°âÕπÀ‘π ®”π«π 6,156 °âÕπ

«‘∏’∑” «—¥§«“¡¬“«¢ÕßÀâÕ߉¥â 47 Àπ૬

«—¥§«“¡°«â“ߢÕßÀâÕ߉¥â 34 Àπ૬

¥—ßπ—È𠧫“¡¬“«·≈–§«“¡°«â“ߢÕßÀâÕß∑—ÈßÀ¡¥

47 + 47 + 34 + 34 = 162 Àπ૬

·µà≈–Àπ૬¢Õߧ«“¡¬“«„™â°âÕπÀ‘π«“߇√’¬ßµàÕ°—π

®”π«π 38 °âÕπ

¥—ßπ—Èπ ®÷ß¡’°âÕπÀ‘π‡æ’¬ßæÕ∑’Ë®–ªŸ‰¥â‡µÁ¡ÀâÕß ‡æ√“–„™â

°âÕπÀ‘π∑—ÈßÀ¡¥ 162 x 38 = 6,156 °âÕπ

§”µÕ∫∑’Ë 1 ‰¥â 1 §–·ππ ‡π◊ËÕß®“°À“§«“¡

¬“«‡ âπ√Õ∫√Ÿª ´÷Ë߉¡à∂Ÿ°µâÕß

§”µÕ∫∑’Ë 2 ªŸ‰¥â‡µÁ¡ÀâÕß·≈–„™â°âÕπÀ‘π®”π«π 178,500 °âÕπ

«‘∏’∑” «—¥§«“¡¬“«¢ÕßÀâÕ߉¥â 35 øÿµ

«—¥§«“¡°«â“ߢÕßÀâÕ߉¥â 25 øÿµ

‡¡◊ËÕπ—∫®”π«π°âÕπÀ‘π∑’Ë„™âªŸ∫πæ◊Èπ∑’ËÀâÕß 1 µ“√“ßπ‘È«

µâÕß„™â°âÕπÀ‘π®”π«π 17 °âÕπ ·≈– 12 π‘È«‡∑à“°—∫

1 µ“√“ßøÿµ

¥—ßπ—Èπ 1 µ“√“ßøÿµ ®–„™â°âÕπÀ‘π ®”π«π

12 x 17 = 204 °âÕπ

117

æ◊Èπ∑’ËÀâÕ߇ªìπ 35 x 25 = 875 µ“√“ßøÿµ

¥—ßπ—Èπ µâÕß„™â°âÕπÀ‘π®”π«π∑—ÈßÀ¡¥

875 x 204 = 178,500 °âÕπ

§”µÕ∫∑’Ë 2 ‰¥â 2 §–·ππ ‡π◊ËÕß®“° 12 π‘È«

‡∑à“°—∫ 1 µ“√“ßøÿµ ÷Ë߉¡à∂Ÿ°µâÕß ∑’Ë∂Ÿ°µâÕߧ◊Õ

1 µ“√“ßøÿµ‡∑à“°—∫ 12 x 12 = 144 µ“√“ßπ‘È«

¥—ßπ—Èπ ®÷ßµâÕß„™â°âÕπÀ‘π∑—ÈßÀ¡¥

875 x 144 x 17 = 2,142,000 °âÕπ

§”µÕ∫∑’Ë 3 ªŸ‰¥â‡µÁ¡ÀâÕß·≈–„™â°âÕπÀ‘π®”π«π 268,464 °âÕπ

«‘∏’∑” «—¥§«“¡¬“«¢ÕßÀâÕ߉¥â 47 Àπ૬

«—¥§«“¡°«â“ߢÕßÀâÕ߉¥â 34 Àπ૬

æ◊Èπ∑’ËÀâÕ߇ªìπ 47 x 34 = 1,598 µ“√“ßÀπ૬

‡¡◊ËÕπ—∫®”π«π°âÕπÀ‘π∑’Ë„™âªŸ∫πæ◊Èπ∑’ËÀâÕß 1 µ“√“ßÀπ૬

µâÕß„™â°âÕπÀ‘π ®”π«π 41 x 41 = 1,681 °âÕπ

¥—ßπ—Èπ µâÕß„™â°âÕπÀ‘π∑—ÈßÀ¡¥

1,598 x 168 = 268,464 °âÕπ

§”µÕ∫∑’Ë 3 ‰¥â 3 §–·ππ ‡π◊ËÕß®“°«‘∏’°“√

∑”∂Ÿ°µâÕß ·µà§‘¥§”π«≥º‘¥

1,598 x 168 = 268,464 °âÕπ

∑’Ë∂Ÿ°µâÕß §◊Õ 1,598 x 1,681 = 2,686,238 °âÕπ

118

§”µÕ∫∑’Ë 4 ªŸ‰¡à‡µÁ¡ÀâÕß ‡æ√“–µâÕß„™â°âÕπÀ‘π®”π«π 2,686,238

°âÕπ

«‘∏’∑” «—¥§«“¡¬“«¢ÕßÀâÕ߉¥â 47 Àπ૬ ·≈–§«“¡°«â“ß

¢ÕßÀâÕ߉¥â 34 Àπ૬

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’ËÀâÕß 47 x 34 = 1,598 µ“√“ßÀπ૬

‡¡◊ËÕπ—∫®”π«π°âÕπÀ‘π∑’Ë„™âªŸæ◊ÈπÀâÕß 1 µ“√“ßÀπ૬

µâÕß„™â°âÕπÀ‘π®”π«π 41 x 41 = 1,681 °âÕπ

¥—ßπ—Èπ µâÕß„™â°âÕπÀ‘π∑—ÈßÀ¡¥

1,598 x 1,681 = 2,686,238 °âÕπ

§”µÕ∫∑’Ë 4 ‰¥â 4 §–·ππ ‡π◊ËÕß®“°«‘∏’°“√

∑”∂Ÿ°µâÕß ·≈–Õ∏‘∫“¬°“√‰¥â¡“´÷Ëߧ”µÕ∫

§”µÕ∫∑’Ë 5 ªŸ‰¡à‡µÁ¡ÀâÕß ‡æ√“–µâÕß„™â°âÕπÀ‘π®”π«π 2,686,238

°âÕπ ·≈–¬—ߢ“¥°âÕπÀ‘πÕ’° 1,686,238 °âÕπ

«‘∏’∑” «—¥§«“¡¬“«¢ÕßÀâÕ߉¥â 47 øÿµ ·≈–§«“¡°«â“ß

¢ÕßÀâÕ߉¥â 34 øÿµ

æ◊Èπ∑’Ë¢Õß√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡º◊πºâ“ = °«â“ß x ¬“«

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’ËÀâÕ߇ªìπ 37 x 47 = 1,598 µ“√“ßøÿµ

‡¡◊ËÕπ—∫®”π«π°âÕπÀ‘π∑’Ë„™âªŸæ◊ÈπÀâÕß 1 µ“√“ßøÿµ

µâÕß„™â°âÕπÀ‘π®”π«π 41 x 41 = 1,681 °âÕπ

¥—ßπ—Èπ æ◊Èπ∑’ËÀâÕß 1,598 µ“√“ßøÿµ µâÕß„™â°âÕπÀ‘π

∑—ÈßÀ¡¥ 1,598 x 1,681 = 2,686,238 °âÕπ

·µà‚®∑¬å°”Àπ¥„Àâ¡’®”π«π°âÕπÀ‘π 1,000,000 °âÕπ

119

¥—ßπ—Èπ ¬—ß¢“¥°âÕπÀ‘π∑’Ë®–π”¡“ªŸæ◊ÈπÀâÕßÕ’°

2,686,238 - 1,000,000 = 1,686,238 °âÕπ

§”µÕ∫∑’Ë 5 ‰¥â 5 §–·ππ ‡π◊ËÕß®“°¡’

°√–∫«π°“√·°âªí≠À“∑’Ë™—¥‡®π Õ∏‘∫“¬¢—ÈπµÕπ°“√

∑”‰¥â∂Ÿ°µâÕß ·≈–§”µÕ∫∑’ˉ¥â¡’§«“¡™—¥‡®π¡“°

®÷ß„À⧖·ππ 4 §–·ππ + 1 §–·ππ √«¡‡ªìπ 5 §–·ππ

2. ·∫∫∑’Ë 2 ‡ªìπ°“√„À⧖·ππ∑’Ë°”Àπ¥‡æ’¬ß°√Õ∫‡∑à“π—Èπ

µ—«Õ¬à“ß

çπ—°‡√’¬π§πÀπ÷Ëß‚¬π≈Ÿ°∫Õ≈¢÷Èπ‰ª Ÿß 5 øÿµ ¥â«¬Õ—µ√“‡√Á«

50 øÿµµàÕ«‘π“∑’ ‡¡◊ËÕ‡«≈“ºà“π‰ª t «‘π“∑’ ≈Ÿ°∫Õ≈®–¢÷Èπ‰ª Ÿß h øÿµ

¥—ß ¡°“√ h = -16t2 + 50t + 5 Õ¬“°∑√“∫«à“≈Ÿ°∫Õ≈®–µ°∂÷ß

æ◊Èπ¥‘π‡¡◊ËÕ‡«≈“ºà“π‰ª°’Ë«‘π“∑’é

°“√„À⧖·ππ ¡’¥—ßπ’È

4 §–·ππ ”À√—∫«‘∏’°“√∑”·≈–§”µÕ∫∑’Ë∂Ÿ°µâÕß ¡∫Ÿ√≥å

3 §–·ππ ”À√—∫°“√· ¥ß«‘∏’∑”·≈–§”µÕ∫∑’ˇ°◊Õ∫∂Ÿ°µâÕß·≈–

¡∫Ÿ√≥å ¡’∑’˺‘¥‡æ’¬ß‡≈Á°πâÕ¬ ‡™à𠧑¥§”π«≥º‘¥

„™â Ÿµ√º‘¥ ‡ªìπ b_2a ·∑π∑’Ë®–„™â b-_

2a2 §–·ππ ”À√—∫°“√· ¥ß«‘∏’∑”‰¥â∂Ÿ°µâÕ߇撬ߧ√÷Ë߇¥’¬« À√◊Õ

· ¥ß«‘∏’∑”∂Ÿ°·µà§”µÕ∫º‘¥À√◊Õ‰¡à™—¥‡®π«à“À“§”µÕ∫

¡“‰¥âÕ¬à“߉√

120

1 §–·ππ ”À√—∫°“√∑”∂Ÿ°‰¡à∂÷ߧ√÷ËßÀπ÷Ëß ·≈–¢“¥‡Àµÿº≈„π°“√§‘¥

0 §–·ππ ”À√—∫°“√· ¥ß«‘∏’∑”º‘¥∑—ÈߢâÕ ·≈–§”µÕ∫º‘¥

À≈—ß®“°°“√ª√–‡¡‘π°“√·°âªí≠À“ §√Ÿ§«√®–·®âߺ≈°“√

ª√–‡¡‘π„Àâπ—°‡√’¬π∑√“∫∑—π∑’ ‚¥¬„À⥟«‘∏’°“√∑’Ëπ—°‡√’¬π§‘¥·≈–

·°âªí≠À“ µ≈Õ¥®πº≈°“√µ√«®¢Õߧ√Ÿ ´÷Ëߧ√ŸÕ“®®–‡¢’¬π§«“¡

º‘¥æ≈“¥¢Õßπ—°‡√’¬π‰«â ∑”„Àâπ—°‡√’¬π∑√“∫¢âÕ∫°æ√àÕß·≈–§«“¡

‰¡à√Õ∫§Õ∫¢Õßµπ‡Õß ‡æ◊ËÕ∑’Ëπ—°‡√’¬π®–‰¥â·°â ‰¢·≈–ª√—∫ª√ÿßµπ‡Õß

µàÕ‰ª

®“°∑’Ë°≈à“«¡“·≈â«®–‡ÀÁπ«à“°“√ Õπ°“√·°âªí≠À“‰¡à„™à ‘Ëß

„À¡à π—°‡√’¬π∑ÿ°§π‰¥â√—∫ª√– ∫°“√≥å°“√·°âªí≠À“µ—Èß·µà‡√‘Ë¡‡√’¬π

«‘™“§≥‘µ»“ µ√å ·µàπ—°‡√’¬π∫“ߧπÕ“®®–¡’ªí≠À“ ‡π◊ËÕß®“°°“√

Õà“π‚®∑¬å·≈⫉¡à‡¢â“„® · ¥ß«à“π—°‡√’¬π¡’ªí≠À“‡°’ˬ«°—∫¿“…“‰∑¬

¥—ßπ—Èπ°“√Ωñ°∑—°…–°“√Õà“π®÷ß®”‡ªìπ ”À√—∫°“√∑”§«“¡‡¢â“„®‚®∑¬å

·≈–°“√ √â“ß∫√√¬“°“»∑’Ë¥’∑’˙૬ à߇ √‘¡°“√·°âªí≠À“ ®–™à«¬∑”„Àâ

π—°‡√’¬π “¡“√∂·°âªí≠À“‰¥â ∑—È߬—ߙ૬æ—≤𓧫“¡§‘¥ §«“¡¡’‡Àµÿº≈

“¡“√∂«‘‡§√“–Àå µ≈Õ¥®πµ—¥ ‘π„®„π°“√·°â ‰¢ªí≠À“µà“ßÊ ‰¥â

121

∫√√≥“πÿ°√¡

ª√’™“ ‡π“«å‡¬Áπº≈. 2538. ç°“√·°âªí≠À“∑“ߧ≥‘µ»“ µ√åé. °“√æ—≤π“∑—°…–

°“√§‘¥§”π«≥¢Õßπ—°‡√’¬π√–¥—∫ª√–∂¡»÷°…“. ¡“§¡§≥‘µ-

»“ µ√å·Ààߪ√–‡∑»‰∑¬„πæ√–∫√¡√“™Ÿª∂—¡¿å. °√ÿ߇∑æ¡À“π§√ :

‚√ßæ‘¡æå®ÿÓ≈ß°√≥å¡À“«‘∑¬“≈—¬.

¡‡¥™ ∫ÿ≠ª√–®—°…å. 2540. °“√æ—≤π“»—°¬¿“æ∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å¢Õßπ—°‡√’¬π

¡—∏¬¡»÷°…“ªï∑’Ë 1 ‚¥¬„™â°“√‡√’¬π·∫∫√à«¡¡◊Õ. ª√‘≠≠“π‘æπ∏å

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