55장 장 지수함수와 지수함수와 지수함수와 로그함수로그 ... -...

5장 지수함수와 로그함수

1

5555555555555555555555555555장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 장 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 지수함수와 로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수5장 지수함수와 로그함수

개요

5.1 합성함수

5.2 역함수

5.3 지수함수

5.4 로그함수

5.5 로그의 성질

5장 복습 연습문제

5장 지수함수와 로그함수 5.1 합성함수

2

5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수합성함수5.1 합성함수

목표 5.1.1 합성함수를 만들고 그것의 정의역을 구하기


3

5.1.1 함수 을 생각하자. 우리가 과

라 하면, 대입과정에 의하여, 우리는 원래의 함수를 얻을 수 있다 :

.

이 과정을 합성(composition)이라 한다.

일반적으로, 와 는 가 의 정의역에 속하는 수인 두 함수라 가정하자. 에

서 의 값을 구함으로써, 우리는 를 얻는다. 가 의 정의역의 원이면,

우리는 에서 의값을구할수있고그때문에식 를얻는다. 에서

까지의 대응을 합성함수 ∘라 한다.

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 정의 5.1.1 합성함수

두 함수 와 의 합성함수(composition function)는 기호 ∘ 로 쓰고 다음과

같이 정의한다 :


4

그림 5.1.1

의 정의역 의 치역의 정의역

의 치역

∘ 의 정의역 ∘ 의 치역

∘ .

∘의 정의역은 가 의 정의역에 속하는 의 정의역의 모든 원 들의 집

합이다.

그림 5.1.1을 주의 깊게

살펴보자. 가 의 정

의역에 속하는 의 정의역

의 모든 원 만 ∘의

정의역에 속할 수 있다.

가 의 정의역의 원이 아니면 가 정의되지 않는다. 이 때문에,

∘의 정의역은 의 정의역의 부분집합이고, ∘의 치역은 의 치역의 부분

집합이다.


5

그림 5.1.2는 합성함수의 정의에 대한 두 번째 실례를 제공한다. 안에

서 함수 의 “내부”가 처음에 실행됨에 주목하라.

그림 5.1.2

입력 출력

몇 가지 보기를 살펴보자.


6

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 보기 5.1.1 합성함수의 값을 구하기

이고 라 하자. 다음 각각을 구하라.

(a) ∘ (b) ∘

(c) ∘ (d) ∘

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이

(a) ∘ ⋅

↑ ↑

.

(b) ∘ ⋅

↑ ↑

.


7

(c) ∘ ⋅ ↑

.

(d) ∘ ⋅ ↑

. ▣

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 보기 5.1.2 합성함수의 값을 구하기

이고 이라 하자. 다음 각각을 구하라.

(a) ∘ (b) ∘

각 합성함수의 정의역을 말하라.


8

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 의 정의역과 의 정의역은 모든 실수들이다.

(a) ∘

↑

와 의 정의역은 둘 다 모든 실수들이므로, ∘의 정의역은 모든 실수들이

다.

(b) ∘ ↑

와 의 정의역은 둘 다 모든 실수들이므로, ∘의 정의역은 모든 실수들이

다. ▣


9

그림5.1.1로돌아가살펴보자.합성함수 ∘ 의 정의역을 결정하

는데 있어서, 입력 에 대하여 다음의 두 가지 생각을 기억하고 있어라.

(1) 의 정의역의 원이 아닌 어떠한 도 제외되도록 를 정의해야만 한다.

(2) 가 의 정의역의 원이 아닌 어떠한 도 제외되도록 를 정의

해야만 한다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 보기 5.1.3 ( ∘의 정의역을 구하기)

이고

일 때 ∘의 정의역을 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 의 정의역은 ≠이다. 그래서 1은 ∘의 정의역에서 제외된다.

한편 의 정의역은 ≠ 다. 그러므로 ≠ . 이제 의 어떠한 값을


10

제외시켜야 하는지를 결정하기 위하여 방정식 를 푼다. 그러면

.

역시 -2는 ∘의 정의역에서 제외된다.

따라서 ∘의 정의역은 ≠ ≠.

확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인확인 : 에 대하여,

는 정의되지 않는다. 그러므로

∘ 은 정의되지 않는다.


11

에 대하여,

이고 ∘

는 정의되지 않는다. ▣

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 보기 5.1.4 합성함수와 그것의 정의역을 구하기

이고

라 하자. 다음 각각을 구하라.

(a) ∘ (b) ∘

각 합성함수의 정의역을 말하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 의정의역은 ≠ 이고 의정의역은 ≠이다.


12

(a) ∘

↑

을 곱한다

.

보기 5.1.3에서,우리는 ∘의정의역이 ≠ ≠임을 구했다.

우리는 역시 의 정의역, ≠을 처음에 살펴봄으로써 ∘의 정의역을

구할 수 있다. 결과로써, 1은 ∘의 정의역에서 제외된다. 다음에 ∘를 살펴

보면 일 때 가 되어 는 정의되지 않음에 주

목하라. 그러므로 -1은 ∘의 정의역에서 제외된다. 따라서 ∘의 정의역은

≠ ≠.


13

(b) ∘

의 정의역이 ≠ 이므로, 가 되는 는 ∘ 의정의역에

서제외된다. 그래서 방정식 를 풀면,


14

따라서 ∘ 의 정의역은 ≠

. ▣

보기 5.1.2에서 알 수 있듯이, 일반적으로 ∘≠∘이다. 때때로

∘ ∘인 경우가 있다. 다음의 보기를 생각한다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 5.1.5 보기 5.1.5 두 합성함수가 같음을 증명하기

이고

일 때 ∘ ∘임을 증명하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 ∘


15

를 에 대한 규칙 에 대입한다.

∘

를 에 대한 규칙

에 대입한다.

그래서 ∘ ∘ . 따라서 ∘ ∘. ▣

다음 절에서 우리는 ∘ ∘ 인 두 함수 와 사이에

중요한 관계가 있음을 알게 될 것이다.


16

미분적분학의 응용

합성함수의 성분을 결정할 수 있는 미분적분학에서 몇 가지 기술이 필요하다.

예로써, 함수 두 함수 와 의 합성이다. 여기서 이

고 . 왜냐면 ∘ 이기

때문이다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 5.1.6 보기 5.1.6 합성함수의 성분을 구하기

일 때 ∘ 인 함수 와 를 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 함수 는 을 택하여 이것을 50거듭제곱한다. 를 분해하는 자연스

러운 방법은 함수 을 50거듭제곱하는 것이다. 이제 이고


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라 하자. 그러면

∘

그림 5.1.3을 보라.

그림 5.1.3

따라서 이고 . ▣


18

보기 5.1.6에서 ∘ 인 다른 와 를 구할 수 있다. 예로써, 이고

라 하자. 그러면

∘

따라서 과 는 ∘가 되는 보기 5.1.6에서 구한

, 와 다름을 알 수 있다. 비록 보기 5.1.6의 해로 구해진 함수 와 는 유일하

지 않을 지라도, 처음에 마음속에 떠오르는 와 에 대한 “자연스러운” 선택이

보통 있다.


19

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 5.1.7 보기 5.1.7 합성함수의 성분을 구하기

일 때 ∘ 인 함수 와 를 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 는 의 역수임을 쉽게 알 수 있다.

이고 라

하자. 그러면

∘

.

따라서

이고 다. ▣

5장 지수함수와 로그함수 5.2 역함수

20

5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수역함수5.2 역함수

목표 5.2.1 함수의 역

5.2.2 함수의 그래프로부터 역함수의 그래프를 얻기

5.2.3 역함수 을 구하기


21

함수의 역을 결정하기

5.2.1 1.5절에서 우리는 함수 를, 정의역으로부터 입력 를 받아, 그것을 솜씨

있게 처리하여, 값 를 출력하는, 기계로 생각할 수 있다고 말했다. 의 역

(inverse of )은 입력 를 받아, 그것을 솜씨 있게 처리하여, 값 를 출력한

다.


22

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 보기 5.2.1 함수의 역

다음 함수의 역을 구하라.

(a) 이 함수의 정의역은 A회사의 종업원을 나타내고 치역은 그들의 기본 봉급을

나타낸다.

김씨

이씨

박씨

정양

조양

1,000,000원

1,500,000원

2,000,000원

정의역 치역


23

(b) 이 함수의 정의역은 A 회사의 종업원을 나타내고 치역은 그들의 이름을 나

타낸다.


(a) 정의역의 원들은 함수에서 입력들을 나타내고, 치역의 원들은 출력을 나타낸

다. 역을 구하기 위하여, 정의역의 원과 치역의 원을 서로 바꾸어 놓는다. 예로

써, 이 함수는입력으로박씨를받고 1,500,000원을 출력한다. 그러므로 역은 입력

으로 1,500,000원을 받고 박씨를 출력한다. 따라서 주어진 함수의 역은 다음과

김씨

이씨

박씨

정양

조양

만길

은희

길동

춘삼

영자

정의역 치역


24

같은 꼴이다.

(b) 주어진 함수의 역은 다음과 같다.

▣

김씨

이씨

박씨

정양

조양

1,000,000원

1,500,000원

2,000,000원

치역정의역

김씨

이씨

박씨

정양

조양

만길

은희

길동

춘삼

영자

치역정의역


25

함수 가 순서 짝 들의 집합이면, 의 역은 순서짝 들의 집합이다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 보기 5.2.2 함수의 역을 구하기

다음 각 함수의 역을 구하라 :

(a)

(b)


(a) 주어진 함수의 역은 각 순서 짝의 성분들을 서로 교환함으로써 구해진다. 그

러므로 이 함수의 역은 다음과 같다 :

.


26

(b) 주어진 함수의 역은

. ▣

탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구 보기 5.2.1과 5.2.2로부터 함수들을 살펴보자. 보기 5.2.1(b)와 5.2.2(a)에 있

는 함수들은 역시 함수가 되는 역들을 가짐에 주목하라. 그러나, 보기 5.2.1(a)와

5.2.2(b)에 주어진 함수들은 함수가 아닌 역들을 갖는다. 보기 5.2.1(b)와 5.2.2(a)

있는 함수들은 어떻게 비슷한가? 보기 5.2.1(a)와 5.2.2(b)에 있는 함수들은 어떻

게 비슷한가?

결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과 보기 5.2.1(b)와 5.2.1(a)는 정의역의 각 원이 치역의 하나의 원에 대응하는

점에서 비슷하다. 그러나, 보기 5.2.1(a)와 5.2.2(b)에서, 정의역의 서로 다른 두

원이 치역의 같은 원에 대응하고 있음에 주목하라. 보기 5.2.2(b)에서, -3과 3이

9에 대응함을 알 수 있다.


27

탐구의 결과는 다음의 정의를 끌어낸다.

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 정의 5.2.1 단사함수 또는 1대1함수

가 1대1함수(one-to-one function) 또는 단사함수(injective function)이다 iff

의 정의역의 임의의 원 과 에 대하여, ≠면 ≠이다.

바꾸어 말하면, 치역의 어떠한 원 도 정의역의 두 개 이상의 원 의 상이 아니

면 는 1대1함수다. 정의역의 다른 두 원이 치역의 같은 원에 대응하면 는 1대

1함수가 아니다. 보기 5.2.2(b)에서 원 -3과 3은 모두 9에 대응한다. 그러므로 이

함수는 1대1함수가 아니다. 그림 5.2.1은 1대 1함수의 정의를 설명한다.


28

치역정의역정의역 치역

그림 5.2.1

함수 의 그래프가 알려지면, 가 1대1함수인지를 결정하기 위한, 가로직선

판정법(horizontal-line test)이라고 부르는, 간단한 판정법이 있다.


29

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 정리 5.2.2 가로직선 판정법

모든 가로 직선이 함수 의 그래프와 많아야 한 점에서 만나면, 는 1대1함

수다.

이 시험을 하는 이유를 그림 5.2.2에서 볼 수 있다. 여기서 가로직선 는 이

그래프와 두 개의 다른 점 와 에서 만난다. 는 과 ≠

의 상이므로, 는 1대1함수가 아니다.

그림 5.2.2에 근거하여, 우리는 다른 방법으로 가로 직선판정법을 설명 할 수 있

다 : 임의의 가로 직선의 그래프가 함수 의 그래프와 두 점 이상에서 만나면,

는 1대1함수가 아니다.


30

그림 5.2.2

,

이고 ≠;

는 1대1함수가 아니다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 보기 5.2.3 가로 직선판정법을 사용하기

다음의 각 함수가 1대1함수인지를 결정하기 위하여 그래프를 사용하라.

(a) (b)


(a) 그림 5.2.3(a)는 에 대한 가로직선 판정법을 설명한다.가로직선


31

은 의그래프와 (1,1)과 (-1, 1)에서 두 번 만난다. 따라서 는 1대1함수

가 아니다.

(b) 그림 5.2.3(b)는 에 대한 가로 직선판정법을 설명한다. 모든 가로

직선이 의 그래프와 꼭 한번만 만난다. 따라서 는 1대 1함수다.

그림 5.2.3

(a) 가로 직선은 이 그래프와 두 번 (b) 모든 가로 직선이 이 그래프와

만난다 : 는 1대1함수가 아니다. 꼭 한번만 만난다 : 는 1대1함수다.


32

정의역에서 증가(또는 감소)하는 함수는 1대1함수다.

1대 1함수 을 더욱 세밀하게 살펴보자. 이 함수는 증가함수다. 증가

(또는 감소)함수는 언제나 같지 않은 -값들에 대하여 다른 -값들을 갖기 때

문에, 이것의 정의역에서 증가(또는 감소)하는 함수는 역시 1대1함수가 된다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 정리 5.2.3 1대 1함수의 판정방법

의 역함수

가 1대1함수면, 그것의 역은 함수다. 그러면, 의 정의역의 각 원 에 대하여,

(가 함수이기 때문에) 치역의 꼭 하나의 원 가 있고; 의 치역의 각 원 에

대하여, (가 1대1함수이기 때문에) 정의역의 꼭 하나의 원 가 있다. 의 치역

에서 의 정의역으로 반대 대응을 의 역함수(inverse function of )라 하고 기


33

호 로 쓴다. 그림 5.2.5는 이 정의를 설명한다.

그림 5.2.5

주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목 주의하라! 는 의 역함수에 대한 기호다. 에 사용된 -1은 지수가

아니다. 즉, 는 의 역수가 아니다 ; 는과 같지 않다.


34

의 정의역 = 의 치역, 의 치역 = 의 정의역

이제 함수 와 그 역 에 관하여 두 가지 사실이 얻어진다.

이 관계를 눈에 보이게 하기 위하여 다시 그림 5.2.5를 살펴보자. 우리가 에

서 시작하여, 를 적용하고, 다음에 를 적용하게 되면, 우리는 다시 를 되찾

는다. 우리가 에서 시작하여, 를 적용하고, 다음에 를 적용하면, 우리는 다

시 를 되찾는다. 즉, 가 하는 것을 가 원상태로 돌리고 역도 마찬가지다.

입력 를 적용

를 적용

입력 를 적용 를 적용


35

그림 5.2.6

바꾸어 말하면,

이고 .

독립변수 를 2로 곱하는, 함수 를 생각하자. 가 하는 것은 무엇이

든지 역함수 가 원 상태로 돌린다. 그러므로 의 역함수는, 독립변수를 2로

나누는,

다. 예로써, 이고

. 그러

므로 는 가 했던 것을 원 상태로 돌린다. 우리는 다음을 보여줌으로써 이

사실을 입증할 수 있다 :

이고

.

그림 5.2.6을 보라.


36

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 보기 5.2.4 역함수임을 증명하기

(a) 다음을 보여줌으로써, 우리는 의 역함수가 임을

증명한다 :

이고

(b) 다음을 보여줌으로써, 우리는 의 역함수

임을 증명

한다 :

이고


37

(c) 다음을 보여줌으로써, 우리는 의 역함수

임을 증명한다 :

이고

. ▣

기하학적 설명

5.2.2 보기 5.2.4(c)에 있는 함수에 대하여, 우리는, 표 5.2.1에서, 의 그래

프와 의 그래프 위의 점들을 나타낸다.

가 의 그래프 위의 점일 때는 언제나 는 의 그래프 위의 점임

을 우리는 알아챈다.


38

표 5.2.1

-5 -7 -7 -5-4 -5 -5 -4-3 -3 -3 -3-2 -1 -1 -2-1 1 1 -1 0 3 3 0 1 5 5 1

는 로 정의되는 1대1함수 의 그래프 위의 점이라 가정하자. 그

러면 . 이것은 임을 의미한다. 그러므로 는 역함수

의 그래프 위의 점이다. 위의 점 와 위의 점 사이의 관계가 그

림 5.2.7에서 보여진다. 와 를 포함하는 선분은 직선 에 수직이고

직선 에 의하여 2등분된다. (여러분 그 이유를 아는가?) 위의 점

는 직선 에 관한 위의 점 의 반사가 된다.


39

그림 5.2.7 그림 5.2.8

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 정리 5.2.4 함수 의 그래프와 역함수 의 그래프 사이의 관계

함수 의 그래프와 그 역함수 의 그래프는 직선 에 관하여 대칭이다.

그림 5.2.8은 이 결과를 설명한다. 일단 의 그래프가 알려지면, 직선 에 관

하여 의 그래프를 반사함으로써 의 그래프를 얻을 수 있다.


40

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 5.2.5 보기 5.2.5 역함수의 그래프를 그리기

그림 5.2.9(a)에 있는 그래프는 1대1함수 의 그래프다. 의 그래프를

그려라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 우리는 그림 5.2.9(a)에 의 그래프를 추가함으로써 시작한다. (-2, -1),

(-1, 0)과 (2, 1)은 의 그래프 위에 있으므로, (-1, -2), (0, -1)과 (1, 2)는 의

그래프 위에 있어야만 한다. 의 그래프는 직선 에 관한 의 그래프의

반사임을 마음에 간직하고, 우리는 를 그릴 수 있다. 그림 5.2.9(b)를 보라.


41

그림 5.2.9

(a) (b)

역함수를 구하기

5.2.3 1대1함수 와 역함수 의 그래프들이 직선 에 관하여 대칭이라는

사실은 우리에게 더 많은 것을 말해준다. 이 사실은 에서 와 의 역할을 서로


42

바꾸어 줌으로써 우리가 을 얻을 수 있음을 말한다. 다시 그림 5.4.8을 살펴

보자. 가 방정식

로 정의되면, 는 방정식

로 정의된다. 방정식 는 음함수꼴로 를 정의한다. 우리가 이 방정식

을 에 대하여 풀 수 있으면, 우리는 의 양함수 꼴, 즉,

를 가질 것이다.

의 역을 구하기 위하여 이 과정을 사용하자. (는 1차 함수고 증

가하므로, 가 1대1함수임을 안다. 그러므로 의 역함수 가 있다.)


43

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 5.2.6 보기 5.2.6 역함수를 구하기

의 역함수를 구하라. 역시 와 의 정의역과 치역을 구하라. 같

은 좌표축 위에 와 의 그래프를 그려라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 방정식 에서, 변수 와 를 서로 바꾼다. 그러면

은 음함수 꼴로 역함수 를 정의하는 방정식이다. 양함수 꼴을 구하기 위하여,

에 대하여 풀면,


44

그림 5.2.11

따라서 의 양함수꼴은 우리가 보기 5.4.4(c)에서 증명한

이다. 한편,

의 정의역 의 치역 ∞∞

의 치역 의 정의역 ∞∞

마지막으로 와 의 그래프는 그림 5.2.11에서 보여진다. ▣


45

이제 우리는 1대1함수의 역함수를 구하는 단계를 설명한다.

1대1함수의 역함수를 구하는 과정

단계 1 : 에서, 변수 와 를 서로 바꾸어 를 구한다. 이

방정식은 역함수 를 암시적으로 정의한다.

단계 2 : 가능하면, 음함수꼴의 방정식을 에 의하여 를 구하여 의

양함수 꼴 를 얻는다.

단계 3 : 이고 임을 보임으로써 이 결과를

확인한다.


46

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 5.2.7 보기 5.2.7 역함수를 구하기

다음 함수는 1대1함수다 :

≠

의 역함수를 구하고 그 결과를 확인하라.


단계 1 :

에서 변수 와 를 서로 바꾸어 다음을 얻는다 :

.


47

단계 2 : 에 대하여 푼다. 그러면

양변에 을 곱한다.

분배성질을 적용한다.

양변에서 를 빼고; 양변에 를 더한다.

인수분해 한다.

. 로 나눈다.

따라서 역함수는

≠ 대신에 로 바꾼다.


48

단계 3 : 확인 :

. ▣

1장에서 우리는 함수 의 치역을 구하는 것은 쉽지 않다고 말했다. 그러나,

가 1대1함수면, 우리는 역함수 의 정의역을 구함으로써 의 치역을 구할 수

있다.


49

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 5.2.8 보기 5.2.8 함수의 치역을 구하기

다음 함수의 정의역과 치역을 구하라 :

.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 의 정의역은 ≠다. 의 치역을 구하기 위하여, 먼저 역함수

를 구한다. 보기 5.2.7에 근거하여,

.

그래서 의 정의역은 ≠. 따라서 의 치역은 ≠. ▣


50

함수가 1대1이 아니면, 이 함수의 역은 함수가 아니다. 때때로 이와 같은 함수

의 정의역을 적당히 제한함으로써, 우리는 1대1이 되는 새로운 함수를 얻을 것

이다. 이 공통의 실제 문제로서 하나의 보기를 살펴보자.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 5.2.9 보기 5.2.9 정의역이 제한된 함수의 역을 구하기

≥ 일 때 의 역을 구하라. 와 의 그래프를 그려라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 함수 은 1대1이 아니다. [보기 5.2.3(a)를 참고하라.] 그러나, 지적된

대로, ≥ 인 의 정의역의 일부분만으로 이 함수를 제한하면, 새로운

함수는 증가한다. 그래서 이 새로운 함수는 1대1이다. 그러므로 ,

≥ 로 정의되는 이 함수는 역함수 를 갖는다.


51

그림 5.2.12

를 구하기 위하여 앞에서 제시한 단계를 따른다.

단계 1 : 방정식 , ≥ 에서, 변수 와 를 서로 바꾼다. 그러면

≥ .

이 방정식은 역함수를 (음함수꼴로) 정의한다.

단계 2 : 우리는 에 대하여 풀어서 역의 양함수 꼴을 얻는다. ≥ 이므로,

에 대한 꼭 하나의 해 를 얻는다. 따라서 .

단계 3 : 확인 :

≥ 이므로

그림 5.2.12는 와 의 그래프를 보여준다. ▣


52

요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약요약

(1) 함수 가 1대1이면, 는 역함수 를 갖는다.

(2) 의 정의역 의 치역; 의 치역 의 정의역.

(3) 가 의 역임을 증명하기 위하여,

이고 임을 보여라.

(4) 와 의 그래프는 직선 에 관하여 대칭이다.

(5) 1대1함수 의 치역을 구하기 위하여, 역함수 의 정의역을 구하라.

5장 지수함수와 로그함수 5.3 지수함수

53

5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수지수함수5.3 지수함수

목표 5.3.1 지수함수의 값

5.3.2 지수함수의 그래프

5.3.3 수 의 정의

5.3.4 지수방정식의 풀이


54

지수함수의 값을 구하기

5.3.1 0.6절에서, 우리는 실수 의 유리수 거듭제곱에 대한 정의를 주었다. 이 논

의에 근거하여, 우리는 꼴의 식에 의미를 주었다. 여기서 밑 는 양수고 지수

은 유리수다.

그러나 의 의미는 무엇인가? 여기서 밑 는 양수고 지수 는 무리수다. 비

록 엄밀하게 정의하기 위하여 미분적분에서 논의되는 방법들이 필요할지라도,

이 정의에 대한 기초는 다음과 같이 쉽다 : 무리수 로부터 유한개의 숫자를 제

외한 모든 끝수를 버림으로써 구성되는 유리수 을 선택한다. 그러면

≈

을 기대한다는 것은 온당하다.

예로써, 무리수 ⋯를 취하자. 그러면 의 근사값(approximation)

은 ≈다. 소수 둘째 자리 위치 이후의 숫자는 에 대한 값으로부터 제


55

거되었다. 더 좋은 근사값은

≈

일 것이다. 여기서 소수 다섯째 자리 위치 이후의 숫자는 제거되었다. 이 방법을

계속하여, 우리는 바라는 정확도에 따라서 의 근사값을 얻을 수 있다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.1보기 5.3.1 2의 거듭제곱 값을 구하기 위하여 계산기를 사용하기

계산기를 사용하여 다음의 각 값을 구하라 :

(a) (b) (c) (d) (e)


(a) ≈ (b) ≈

(c) ≈ (d) ≈

(e) ≈


56

유리수지수에 대한 잘 아는 법칙들이 실수지수에 대하여 성립한다는 것을 증

명할 수 있다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 5.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.15.3.1정리 5.3.1 지수법칙

와 는 임의의 실수고 라 하자. 그러면

⋅ , , ⋅,

,

, .


57

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 5.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.2정의 5.3.2 지수함수

지수함수(exponential function)란 다음과 같은 꼴의 함수를 말한다 :

.

여기서 이고 ≠. 의 정의역은 모든 실수들의 집합이다.

우리는 밑 을 제외한다. 왜냐면, 이 함수는 단순히 상수함수

이기 때문이다. 역시 우리는 음이 되는 밑을 제외할 필요가 있다.

등은 실수체계에서 정의되지 않음을 상기

하라.

다음은 지수 함수에 대한 몇 가지 예다 :

.


58

여러분은 지수함수 에서 는 어떤 역할을 할까 이상하게 여길 수

있다. 우리는 다음의 탐구를 사용하여 알아본다.

탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구탐구

(a) 와 에서 의 값을 구하라.

(b) 와 에서 의 값을 구하라.

(c) 와 의 값에 있는 패턴에 대하여 언급하라.

결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과결과

(a) 표 5.3.1은 와 에서 의 값을 보여준다.

(b) 표 5.3.2은 와 에서 의 값을 보여준다.


59

표 5.3.1 표 5.3.2

-2

-2

-1

-1 -1

0 1 0 21 2 1 52 4 2 83 8 3 11

(c) 표 5.3.1에서, 우리는 지수함수 의 각 값은 이 함수의 앞의 값

에 밑 를 곱함으로써 구해질 수 있음을 알아챈다. 예로써,

⋅ ⋅

,

⋅ ⋅

,


60

⋅ ⋅ , 등.

다른 방법으로 설명하면, 우리는 계속되는 출력의 비는 입력의 단위 증가에

대하여 상수임을 알게 된다. 이 상수는 지수함수의 밑 의 값과 같다. 예로써,

함수 에 대하여, 우리는 다음 사실을 인지한다 :

, 등.

표 5.3.2로부터, 우리는 함수 가 상수가 아닌 계속되는 출력의

비를 갖지 않음을 알게 된다. 예로써,

≠


61

대신에, 는 1차 함수이므로, 입력의 단위 증가에 대하여, 출력은 기

울기 값 3과 같은 고정된 양 만큼 증가한다.

이 탐구로부터, 우리는 다음의 결과를 얻는다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 5.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.3정리 5.3.3 지수함수의 기본성질

≠은 임의의 지수함수고 는 임의의 실수라 하자. 그러

면

.

증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명

▣


62

지수함수의 그래프

5.3.2 먼저, 우리는 지수함수 의 그래프를 그린다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.25.3.2보기 5.3.2 지수함수의 그래프를 그리기

지수함수 의 그래프를 그려라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 의 정의역은 모든 실수들의 집합이다. 우리는 의 그래프 위의 몇 개의

점을 정함으로써 시작한다. 표 5.3.3을 보라.

모든 에 대하여 이므로, 의 치역은 ∞다. 그래서 의 그래프는

-절편을 갖지 않는다. 실로, 의 그래프는 모든 에 대하여 -축 위쪽에 있다.

표 5.3.3에서 보이듯이, -절편은 1이다. 표 5.3.3은 역시 → ∞일 때,

의 값은 점점 더 0에 가깝게 됨을 나타낸다. 그러므로 -축 은


63

→ ∞일 때 의 그래프의 점근선이다.

의 큰 양의 값에 대하여 끝행동을 결정하기 위하여, 표 5.3.3을 살펴보자.

→∞일 때, 는 매우 빨리 커진다. 가 증가함수고 따라서 1대1임은

분명하다.

그림 5.3.1은 의 그래프를 보여준다. 이미 위에서 얻은 모든 결론들

이 이 그래프에 의하여 확인된다.

표 5.3.3

-3 0.125

-1 0.5

0 1

1 2

3 8

10 1024▣

그림 5.3.1


64

그림 5.3.1에 있는 그래프와 같이 보이는 그래프들은 다양한 상태로 매우 자주

발생한다.

그림 5.3.1에 있는 의 그래프는 1보다 큰 밑을 갖는 모든 지수함수를

대표한다. 이와 같은 함수는 증가하고 따라서 1대1이다. 그들의 그래프는 -축

위쪽에 있고, 점 을 지나고, →∞일 때 급속히 증가한다.

그림 5.3.2

→ ∞일 때, -축 은 가로점근선이다. 세로점근선은 존재하지 않는다.

마지막으로, 이 그래프들은 돌출부분(corner)도 틈(gap)도 없는 매끄럽고 연속이

다. 따라서 우리는 다음의 결과를 갖는다.


65

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 5.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.4정리 5.3.4 지수함수의 성질(Ⅰ)

, 은 임의의 지수함수라 하자.

(1) 정의역은 모든 실수들의 집합이고; 치역은 양의 실수들의 집합이다.

(2) -절편은 존재하지 않고; -절편은 1이다.

(3) -축 은 → ∞일 때 가로 점근선이다.

(4) 는 증가함수고 1대1이다.

(5) 의 그래프는 점 와

을 포함한다.(6) 의 그래프는 돌출부분도 끊어짐도 없는 매끄럽고 연속이다.

그림 5.3.2를 보라.


66

이제 일 때 을 생각하자.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.35.3.3보기 5.3.3 지수함수의 그래프를 그리기

지수함수

의 그래프를 그려라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 의 정의역은 모든 실수들의 집합이다. 보기 5.3.2에서처럼, 우리는 의 그

래프 위의 몇 개의 점들을 정한다. 표 5.3.4를 보라. 모든 에 대하여

이므로, 의 치역은 구간 ∞다. 이 그래프는 -축 위쪽에 있다. 그러므로 이

그래프는 -절편을 갖지 않는다. -절편은 1이다. → ∞일 때,


67

은 매우 빨리 커진다. →∞일 때, 의 값은 0에 가깝다. 즉, lim→∞

.

그러므로 →∞일 때 -축 은 가로 점근선이다. 는 감소함수고 따라서

1대1임은 분명하다. 그림 5.3.3은 이 그래프를 설명한다.

표 5.3.4

-10 1024

-3 8

-1 2

0 1

1 0.5

3 0.125

우리는 변환을 사용하여

의 그래프를 의 그래프로부터 얻을 수

있다.

그림 5.3.3


68

면,

. 그래서

의 그래프는

-축에 대한 의 그래프의 반사다. 그림 5.3.1과 그림 5.3.3을 비교하라.

그림 5.3.3에 있는

의 그래프는 0과 1 사이에 있는 밑을 갖는 모

든 지수함수를 대표한다. 그들의 그래프는 -축 위쪽에 있고, 점 (0,1)을 지난다.

이 그래프들은 → ∞일 때 급속히 증가한다. →∞일 때, -축 은 가

로 점근선이다. 세로점근선은 존재하지 않는다. 마지막으로, 이 그래프들은 돌출

부분도 틈도 없는 매끄럽고 연속이다. 따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.


69

는 임의의 함수라 하자.

(1) 정의역은 모든 실수들의 집합이고; 치역은 양의 실수들의 집합이다.

(2) -절편은 존재하지 않고; -절편은 1이다.

(3) -축 은 →∞일 때 가로점근선이다.

(4) 는 감소함수고 1대1이다.

(5) 의 그래프는 점 와

을 포함한다.(6) 의 그래프는 돌출부분도 끊어짐도 없는 매끄럽고 연속이다.

그림 5.3.4를 보라.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 5.3.5 정리 5.3.5 지수함수 성질(Ⅱ)


70

그림 5.3.4


71

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.45.3.4보기 5.3.4 변환을 사용하여 지수함수의 그래프를 그리기

의 그래프를 그리고 의 정의역, 치역과 가로점근선을 결정하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 우리는 의 그래프부터 시작한다. 그림 5.3.5는 단계를 보여준다.

(c) (b)

3을 빼고;

3단위 아래로

이동한다.

(a) 를 로

바꾸고; -축에

대하여 반사한다.

그림 5.3.5


72

그림 5.3.5(c)에서 설명되듯이, 의 정의역은 구간 ∞∞고 치

역은 구간 ∞다. 의 가로점근선은 직선 이다. ▣


73

밑

5.3.3 곧 알게 되듯이, 현존하여 발생하는 많은 문제들은, 문자 로 기호되는, 어

떤 무리수를 밑으로 갖는 지수함수를 사용할 필요가 있다.

이 중요한 수 에 도달하는 하나의 방법을 살펴보자.

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 5.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.6정의 5.3.6 무리수

수 는 →∞일 때 식

(5.3.1)

이 가까이 가는 수로 정의된다. 미분적분학에서, 이것은 극한 표시법을 사용

하여 다음과 같이 표시한다:

lim→∞

.


74

표 5.3.5

1 1 2 2

2 0.5 1.5 2.25

5 0.2 1.2 2.48832

10 0.1 1.1 2.59374246

100 0.01 1.01 2.704813829

1,000 0.001 1.001 2.716923932

10,000 0.0001 1.0001 2.718145927

100,000 0.00001 1.00001 2.718268237

1,000,000 0.000001 1.000001 2.718280469

1,000,000,000 2.718281827

표 5.3.5는 이 증가하는 큰 값을 취할 때 식 (5.3.1)에 어떤 일이 발생하는가

를 설명한다. 밑이 무리수 인 지수함수 은 응용에서 흔히 발생한다.


75

지수방정식

5.3.4 ≠꼴의 항을 포함하는 방정식을 지수방정식(exponential

equation)이라 한다. 이와 같은 방정식을 때때로 지수법칙과 다음의 성질 (5.3.2)

를 적당히 적용함으로 풀 수 있다.

⇔ . (5.3.2)

성질 (5.3.2)는 지수함수가 1대1이라는 사실의 결과다. 성질 (5.3.2)를 사용하기

위하여, 등식의 각 변은 같은 밑을 가져야만 한다.


76

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.3.55.3.55.3.55.3.55.3.55.3.55.3.55.3.55.3.55.3.55.3.55.3.55.3.55.3.55.3.55.3.55.3.55.3.5보기 5.3.5 지수방정식의 풀이

을 풀어라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 이므로, 주어진 방정식은

.

각 변에 사용된 밑은 3으로 같으므로, 성질 (5.3.2)에 의하여,

따라서

은 주어진 방정식의 해다. ▣


77

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.65.3.6보기 5.3.6 지수방정식의 풀이

방정식

⋅

을 풀어라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 지수법칙을 사용하여 주어진 방정식의 우변을 밑 를 갖는 지수함수로 고

친다. 즉,

⋅

⋅ .

그러면

성질 (5.3.2)를 적용한다.

표준 꼴의 2차 방정식으로 고친다.


78

인수분해한다.

또는 영-곱 성질을 사용한다.

따라서 해집합은 . ▣


79

요약

지수함수의 성질

정의역 : 구간 ∞ ∞ ; 치역 : 구간 ∞

-절편 : 없음 ; -절편 : 1 ; 가로 점근선 : →∞일 때

-축 ; 증가 ; 1대1 ; 매끄럽고 연속

특별한 그래프에 대하여 그림 5.3.2를 보라.

정의역 : 구간 ∞ ∞ ; 치역 : 구간 ∞

-절편 : 없음 ; -절편 : 1 ; 가로 점근선 : →∞일 때

-축 ; 감소 ; 1대1 ; 매끄럽고 연속

특별한 그래프에 대하여 그림 5.3.4를 보라.

⇔

5장 지수함수와 로그함수 5.4 로그함수

80

5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수로그함수5.4 로그함수

목표 5.4.1 지수 식을 로그 식으로 바꾸기

5.4.2 로그 식을 지수 식으로 바꾸기

5.4.3 로그함수의 값

5.4.4 로그함수의 정의역

5.4.5 로그함수의 그래프

5.4.6 로그 방정식의 풀이


81

1대1함수 는 방정식 에 의하여 (암시적으로) 정의되는 역함수

를 가짐을 상기하라. 특히, 지수함수 ≠ 은 1대1이고 따

라서 방정식

≠

에 의하여 암시적으로 정의되는 역함수를 갖는다. 이 역함수는 매우 중요하고

이 함수의 이름을 로그함수라 한다.


82

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 5.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.1정의 5.4.1 로그함수

밑 의 로그함수(logarithmic function to the base )는 기호 log(“는 밑에 대한 의 로그다”라고 읽음)로 쓰고 다음과 같이 정의된다 :

log iff .

여기서 ≠이다. 로그함수 log의 정의역은 집합 이다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.15.4.1보기 5.4.1 로그를 지수에 관련시키기

(a) log면, . 예로써, log iff .

(b) log면, . 예로써, log iff

.


83

5.4.1 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.2보기 5.4.2 지수 식을 로그 식으로 바꾸기

각 지수 식을 로그를 포함하는 논리적으로 같은 식으로 바꾸라.

(a) (b) (c)

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 우리는 정의 5.4.1을 사용한다.

(a) 이면, log.

(b) 면, log.(c) 면, log. ▣


84

5.4.2 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.3보기 5.4.3 로그 식을 지수 식으로 바꾸기

각 로그 식을 지수를 포함하는 논리적으로 같은 식으로 바꾸라.

(a) log (b) log (c) log .

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 정의 5.4.1을 사용한다.

(a) log 이면, .

(b) log 면, .

(c) log 면, . ▣


85

로그의 값

5.4.3 로그의 정확한 값을 구하기 위하여, 로그를 지수표시로 쓰고 면

인 사실을 사용한다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.4보기 5.4.4 로그 식의 정확한 값을 구하기

다음 각각의 정확한 값을 구하라 :

(a) log (b) log


(a) log

지수 꼴로 바꾼다.


86

(5.3.2)를 적용한다.

따라서 log .

(b) log


(5.3.2)를 적용한다.

따라서 log

.


87

로그함수의 정의역

5.4.4 로그함수 log는 지수함수 의 역으로 정의되었다. 즉,

면, log. 역함수에 대한 5.2절에서 주어진 논의에 근거하여, 우리는

함수 와 그 역함수 에 대하여 다음의 사실을 안다 :

의 정의역 의 치역이고 의 치역 의 정의역.

따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 5.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.25.4.2정리 5.4.2 로그함수의 정의역과 치역

log ≠는 임의의 로그함수라 하자. 그러면

정의역 : ∞ ; 치역 : ∞∞


88

로그함수의 정의역은 양의 실수로 이루어짐에 주목하라. 이것은 로그함수의

독립변수는 0보다 더 커야만 한다는 것을 의미한다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.5보기 5.4.5 로그함수의 정의역을 구하기

다음 각 함수의 정의역을 구하라.

(a) log (b) log

(c) log


(a) 정리 5.4.2에 의하여, 의 정의역은 인 모든 실수 로 이루어 진다.

따라서 의 정의역은 또는 ∞다.


89

(b) 정리 5.4.2에 의하여, 의 정의역은

로 제한된다. 이 부등식을 풀면,

. 따라서 의 정의역은 또는 구간 이다.

(c) 정리 5.4.2에 의하여, 의 정의역은 인 모든 실수 로 이루어진다. 그

런데 ≠이면 . 따라서 의 정의역은 ≠ 또는, ∞ 또는

∞다. ▣


90

로그함수의 그래프

5.4.5 지수함수와 로그함수는 서로 역이므로, 로그함수 log의 그래프는 직

선 에 대한 지수함수 의 그래프의 반사다. 그림 5.4.1을 보라.

(a) (b)

그림 5.4.1


91

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 5.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.35.4.3정리 5.4.3 로그함수의 성질

로그함수 log에 대하여 다음이 성립한다 :(1) 정의역은 양의 실수집합이고, 치역은 모든 실수들의 집합이다.

(2) 이 그래프의 -절편은 1이고, -절편은 존재하지 않는다.

(3) -축 은 이 그래프의 세로점근선이다.

(4) 는 이면 감소하고 이면 증가한다.

(5) 의 그래프는 점 (1, 0), (, 1)과

을 포함한다.(6) 의 그래프는 돌출부분도 틈도 없는 매끄럽고 연속이다.


92

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 5.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.45.4.4정의 5.4.4 자연로그함수

밑이 수 인 로그함수 log를 자연로그함수(natural logarithm function)라하고 log를 기호 ln(라틴어 logarithmus naturalis에서 따옴)으로 쓴다. 따라서

ln iff .

자연로그함수는 응용에서 매우 자주 발생한다.


93

ln와 지수함수 은 서로 역함수이므로, 우리는 직선 에 대하여

을 반사함으로써 ln의 그래프를 얻을 수 있다. 그림 5.4.2를 보라.

그림 5.4.2


94

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.4.65.4.65.4.65.4.65.4.65.4.65.4.65.4.65.4.65.4.65.4.65.4.65.4.65.4.65.4.65.4.65.4.65.4.6보기 5.4.6 변환을 사용하여 로그함수의 그래프를 그리기

ln의 그래프에서 출발함으로써 ln 의 그래프를 그려라. 의

정의역, 치역과 세로점근선을 결정하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 의 정의역은 또는 인 모든 실수 로 이루어진다. 따라

서 의 정의역은 구간 ∞다. ln 의 그래프를 얻기 위하여, 우

리는 그림 5.4.3에 설명된 단계를 사용한다.


95

그림 5.4.3

(a) ln -1을 곱하고;-축에 대하여반사한다.

(b) ln 를 로 바꾸고;2 단위만큼 가로왼쪽으로 이동한다.

(c) ln

의 치역은 구간 ∞∞이고 세로점근선은 다. [여러분은 그 이유를

아는가? 원래의 점근선 이 2 단위만큼 왼쪽으로 이동된다.] ▣


96

그림 5.4.4

정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 정의 5.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.55.4.5정의 5.4.5 상용로그

밑이 10인 로그함수 log를 상용로그함수(common logarith function)라하

고 보통 밑 10을 생략하여 log로 쓴다. 따라서 log iff .

log와 지수함수 은 서로 역함수이므로,

직선 에 관하여 의 그래프를 반사함으로써

log의 그래프를 얻을 수 있다. 그림 5.4.4를 보라.


97

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.4.75.4.75.4.75.4.75.4.75.4.75.4.75.4.75.4.75.4.75.4.75.4.75.4.75.4.75.4.75.4.75.4.75.4.7보기 5.4.7 변환을 사용하여 로그함수의 그래프를 그리기

log 의 그래프를 그려라. 의 정의역, 치역과 세로점근선을 구하

라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 의 정의역은

또는

인 모든 실수 로 이루어진다. 따라서 의 정의역은 구간 ∞다.

log 의 그래프를 얻기 위하여, 그림 10.4.5에서 설명된 단계를 사용한

다. 그림 5.4.5(c)로부터, 의 치역은 구간 ∞∞이고 세로점근선은 이

다.


98

그림 5.4.5

(a) log

를 로 바꾸고;

1단위 만큼 오른쪽으로

이동한다.

3을 곱하고;

가로3의 인수만큼

세로로 확대한다.

(c) log (b) log


99

로그방정식

5.4.6 로그를 포함하는 방정식을 로그 방정식(logarithmic equation)이라 한다.

로그 방정식을 풀 때 주의하지 않으면 안 된다. 반드시 원래 방정식에 나타나는

각 해를 확인하여 관계없는 해를 버려야 한다. 식 log에서, 와 은 양이고

≠임을 기억하라.

로그 식을 지수 식으로 바꾸어 줌으로써 어떠한 로그 방정식도 풀 수 있다.


100

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.4.85.4.85.4.85.4.85.4.85.4.85.4.85.4.85.4.85.4.85.4.85.4.85.4.85.4.85.4.85.4.85.4.85.4.8보기 5.4.8 로그 방정식의 풀이

다음 각 방정식을 풀어라 :

(a) log (b) log

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 정의 5.4.1에 의하여, 로그 꼴을 지수 꼴로 바꾼다.

(a) log


.

이제 에 대하여, 임을 확인하자. 그러면

.

따라서 해는 4다.


101

(b) log


± ±.

로그의 정의에 의하여, 이고 ≠이다. 그래서 을 버린다. 따라

서 해는 8이다. ▣


102

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.4.95.4.95.4.95.4.95.4.95.4.95.4.95.4.95.4.95.4.95.4.95.4.95.4.95.4.95.4.95.4.95.4.95.4.9보기 5.4.9 지수방정식을 풀기 위하여 로그를 사용하기

를 풀어라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 정의 5.4.1에 의하여, 지수 꼴을 로그 꼴로 바꾼다.

ln 정의 5.4.1을 사용한다.

ln정확한 해

≈. 근사값 해 ▣


103

요약

로그함수의 성질

log 정의역 : 구간 ∞ ; 치역 : 구간 ∞∞;

( log iff ) -절편 : 1 ; -절편 : 없음 ;

세로 점근선 : (-축) ; 증가 ; 1대1

특별한 그래프에 대하여 그림 5.4.6(a)를 보라.

log 정의역 : 구간 ∞ ; 치역 : 구간 ∞∞;

( log iff ) -절편 : 1 ; -절편 : 없음 ;

세로점근선 : (-축) ; 감소 ; 1대1

특별한 그래프에 대하여 그림 5.4.6(b)를 보라.


104

그림 5.4.6

5장 지수함수와 로그함수 5.5 로그의 성질

105

5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 5.5 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 로그의 성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질성질5.5 로그의 성질

목표 5.5.1 로그의 성질

5.5.2 로그 식을 로그의 합과 차로 쓰기

5.5.3 로그 식을 하나의 로그로 쓰기

5.5.4 밑이 10도 도 아닌 로그 함수의 값


106

로그의 성질

5.5.1 로그는 그 정의와 지수법칙으로부터 직접 유도될 수 있는 몇 가지 매우 유

용한 성질들을 갖는다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.1보기 5.5.1 로그의 성질을 증명하기

(a) log 임을 증명하라. (b) log 임을 증명하라.


(a) log라 하자. 그러면 정의 5.4.1에 의하여

이면

따라서 log . log


107

log , log .

(b) log라 하자. 그러면 정의 5.4.1에 의하여

이면

따라서 log . log ▣

위의 보기 5.5.1로부터, 우리는 다음의 결과를 얻는다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.15.5.1보기 5.5.1 로그의 성질(I)


108

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 5.5.25.5.25.5.25.5.25.5.25.5.25.5.25.5.25.5.25.5.25.5.25.5.25.5.25.5.25.5.25.5.25.5.25.5.2정리 5.5.2 로그의 성질 (II)

과 는 임의의 양의 실수, ≠이고 은 임의의 실수라 하자.

log . (5.5.1)

log . (5.5.2)

(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)(5.5.1)의의의의의의의의의의의의의의의의의의 증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명(5.5.1)의 증명 과 log은 서로 역인 사실을 사용한다. 라 하자. 그러면 log. 그래서

log log .

이제 이라 하자. 그러면 log .


109

(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)(5.5.2)의의의의의의의의의의의의의의의의의의 증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명(5.5.2)의 증명 라 하자. 그러면 log. 그래서 log .

이제 이라 하자. 그러면 log . ▣

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 5.5.2 보기 5.5.2 성질 (5.5.1)과 (5.5.2)를 사용하기

(a) log (b) log (c) ln ▣


110

다음은 로그에 대한 또 다른 성질들이다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 5.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.3정리 5.5.3 로그의 성질(III)

는 임의의 양수, ≠이고 은 임의의 실수라 하자.

곱의 로그는 각각의 로그의 합이다.

log log log. (5.5.3)

몫의 로그는 각각의 로그의 차다.

log log log. (5.5.4)

거듭제곱의 로그는 지수와 로그의 곱이다.

log log (5.5.5)


111

우리는 (5.5.3)과 (5.5.5)만을 증명하고 (5.5.4)는 연습문제로 남겨둘 것이다 (연

습문제 38을 보라).

(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)(5.5.3)의의의의의의의의의의의의의의의의의의 증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명(5.5.3)의 증명 log이고 log이라 하자. 그러면, 정의 5.4.1에 의하

여,

이고 .

그래서

log log log 지수법칙

성질 (5.3.2)

log log.


112

(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)(5.5.5)의의의의의의의의의의의의의의의의의의 증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명(5.5.5)의 증명 log이라 하자. 그러면, 정의 5.4.1에 의하여, .

이제

log log log지수법칙

성질 (5.3.2)

log. ▣


113

정리 5.5.3의 이용

5.5.2 정리 5.5.3의 결과들은 어떤 형태의 미분적분의 문제 해결에 유용하게 사용

된다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.35.5.3보기 5.5.3 로그 식을 로그의 합으로 쓰기

log 을 로그의 합으로 써라. 모든 거듭제곱을 인수로 나타내라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 log log log 성질 (5.5.3)

log log

log

log . 성질 (5.5.5) ▣


114

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.4보기 5.5.4 로그 식을 로그의 차로 쓰기

ln

을 로그의 차로 써라. 모든 거듭제곱은 인수로 나타내라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 ln

ln ln ln ln

↑성질 ↑성질

▣


115

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.5.55.5.55.5.55.5.55.5.55.5.55.5.55.5.55.5.55.5.55.5.55.5.55.5.55.5.55.5.55.5.55.5.55.5.5보기 5.5.5 로그 식을 로그의 합과 차로 쓰기

log

을 로그의 합과 차로 써라. 모든 거듭제곱을 인수로 나타내라.


log

log log

성질 (5.5.4)

log log log 성질 (5.5.3)

log log log

log

log log . 성질 (5.5.5)


116

로그 식을 하나의 식으로 쓰기

5.5.3 성질 (5.5.3), (5.5.4)와 (5.5.5)의 다른 사용은 같은 밑을 갖는 로그의 합과

(또는) 차를 하나의 로그로 쓰는 것이다. 이 기술은 다음 절에서 논의 되는 어떤

로그 방정식을 풀 때에 필요하게 될 것이다.

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.5.65.5.65.5.65.5.65.5.65.5.65.5.65.5.65.5.65.5.65.5.65.5.65.5.65.5.65.5.65.5.65.5.65.5.6보기 5.5.6 로그식을 하나의 로그로 쓰기

다음 각 식을 하나의 로그로 써라.

(a) loglog (b)

ln ln

(c) log log log log풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이

(a) loglog log log성질 (5.5.5)


117

log log

log ⋅ 성질 (5.5.3)

log.

(b)

ln ln ln ln 성질 (5.5.5)

ln ln

ln

성질 (5.5.4)

(c) log log log log log log log log log log

. ▣


118

주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목주목 몇몇 학생들이 공통으로 잘못을 하는 것은 합의 로그를 각각의 로그의 합

으로 나타내는 것이다 :

log ≠ log log.옳은 명제 log log log. 성질 (5.5.3)

또 다른 공통의 잘못은 로그의 차를 로그의 몫으로 나타내는 것이다 :

log log ≠loglog

.

옳은 명제 log log log . 성질 (5.5.4)

세 번째 공통의 잘못은 거듭제곱된 로그를 로그에 지수배의 곱으로 나타내는 것

이다:

log ≠ log.옳은 명제 log log. 성질 (5.5.5)


119

다음은 로그함수 log가 1대1이라는 사실의 직접적인 결과다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 5.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.45.5.4정리 5.5.4 로그의 성질 (IV)

과 는 임의의 실수고 ≠라 하자.

⇔ log log (5.5.6)

성질 (5.5.6)은 다음 절에서 논의되는 지수와 로그 방정식을 푸는데 사용된다.


120

10 또는 이외의 밑을 갖는 로그의 값을 구하기

5.5.4 밑이 10인 로그, 즉, 상용로그는 계산기가 널리 사용되기 전에 산수계산을

쉽게 하기 위하여 사용되었다. 밑이 인 로그, 즉, 자연로그는 여전히 매우 중요

하다. 왜냐면 자연로그는 자연현상의 연구에 자주 발생하기 때문이다. 보통 사용

로그 log는 밑 을 생략하고 log로 쓴다.


121

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.5.75.5.75.5.75.5.75.5.75.5.75.5.75.5.75.5.75.5.75.5.75.5.75.5.75.5.75.5.75.5.75.5.75.5.7보기 5.5.7 밑이 10도 도 아닌 로그의 근사 값을 구하기

log의 근사값을 구하라. 답을 소수 넷째자리까지 구하라.

풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이풀이 log이라 하자. 그러면 . 그래서

ln ln 성질 (5.5.6)

ln ln 성질 (5.5.5)

ln

ln정확한 해

≈. 소수 넷째자리까지의 근사 해 ▣


122

보기 5.5.7은 밑 를 포함하는 로그로 바꾸어 줌으로써 밑 2인 로그의 근사 값

을 구하는 방법을 보여준다. 이와 같이, 밑을 바꾸는 것을 밑 변환공식

(change-of-base formula)이라 한다.

정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 정리 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 5.5.5 정리 5.5.5 밑 변환공식

≠≠과 은 임의의 양수라 하자. 그러면

log loglog

. (5.5.7)

특히,

log loglog

이고 log ln

ln. (5.5.8)


123

증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명증명 log이라 하자. 그러면 정의 5.4.1

log log 성질 (5.5.6)

log log 성질 (5.5.5)

loglog

에 대하여 푼다.

log loglog

. log ▣


124

보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 보기 5.5.85.5.85.5.85.5.85.5.85.5.85.5.85.5.85.5.85.5.85.5.85.5.85.5.85.5.85.5.85.5.85.5.85.5.8보기 5.5.8 밑변환공식의 사용

근사 값을 구하라 :

(a) log (b) log

답을 소수 넷째자리까지 써라.


(a) log loglog

≈

또는

log ln

ln≈

(b) log log

log≈ 또는

log ln

ln≈ ▣

5장 지수함수와 로그함수 5.6 로그와 지수 방정식

125

요약

로그의 성질

≠이고 ≠ ; 역시 라 하자.

정의 log iff .

로그의 성질 log ; log log loglog ; log ⇔ log loglog log loglog

log log

밑 변환공식 log loglog

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