제 10 장 지수함수와 로그함수

제제 1010 장장

지수함수와지수함수와로그함수로그함수

지수함수와 로그함수지수함수와 로그함수

지수함수와 로그함수

개요 (introduction) - 앞 장에서는 다항함수 또는 유리함수에서 하나의 선택 변수를 갖는 경우 극값의 문제 해결에 중점 - 본 장에서는 이러한 논리를 지수함수나 로그함수에 적용함 . - 지수함수나 로그함수는 경제학에서 광범위하게 응용됨 ( 특히 , 경제성장 문제 , 동태분석 등 ). - 여기서는 선택변수가 시간 (time) 이 되는 최적화문제를 다루는데 응용됨 .


지수함수의 성질

지수함수의 성질 (the nature of exponential function) - 지수 (exponent) 는 변수가 거듭제곱될 때 , 그 멱 (the power) 을 나타내는 지표임 . - 일반적으로 멱이 x3, x5 에서 지수는 상수 (constant) 임 . - 그러나 멱이 3x, 3t 과 같이 가변적인 지수 , 즉 3 은 가변 적인 멱에 의해서 거듭제곱됨 . - 이처럼 함수의 독립변수가 지수의 역할을 하는 함수를 지수함수 (exponential function) 라고 함 . - 즉 , 지수가 상수가 아닌 변수인 경우를 지수함수라 함 .



지수함수의 성질 (the nature of exponential function) - 지수함수는 간단히 다음의 형태로 표시할 수 있음 . y=f(t)=bt ( 단 , b1, b0) 여기서 y 와 t 는 각각 종속변수와 독립변수이며 , b 는 밑수 (base), t 를 지수 (exponent) 라고 함 . - 그런데 왜 b1 이라는 제약을 가하는가 ? ⑴ 만약 b 가 음이면 (b0), 예로 b1/2 은 음수의 제곱근을 취하게 됨 . 따라서 이러한 문제를 다루는 것은 복잡 하고 어려움 .



지수함수의 성질 (the nature of exponential function) ⑵ 만약 0b1 이면 , 예를 들어 다음과 같다면 y=(1/5)t=1/(5t)=5-t

즉 , 밑수가 1 보다 작은 함수인 경우는 밑수가 1 보다 큰 함수로 다시 변환할 수 있음 . ⑶ 만약 b=1 이면 , y=1t=1 이므로 사실상 지수함수는 상수함수가 됨 . - 따라서 지수함수는 b1 이라는 제약이 필요함 .



지수함수의 성질 (the nature of exponential function)

yy=bt

(0b1)

0 t

1

y=bt (b1)



지수함수의 성질 (the nature of exponential function) - 지수함수의 graph 는 일반적으로 [ 그림 10.1] 과 같은 곡선형태로 나타남 ( 여기서는 b=2 인 경우임 ). - 앞에서 지수함수는 b1 이므로 항상 증가하는 형태임 . - 그러나 0b1 이면 지수함수는 항상 감소하는 형태임 . 지수함수 graph 의 세 가지 특징 (salient features) ⑴ 지수함수의 graph 는 모든 점에서 연속이며 매끄러움 . 따라서 모든 점에서 미분이 가능함 .



지수함수의 성질 (the nature of exponential function) ⑵ 지수함수의 graph 는 강증가하고 , 사실상 y 는 모든 영역에서 기울기는 체증함 . ⑶ 지수함수의 정의역이 양수뿐만 아니라 음수라도 , 즉 독립변수 t 의 부호에 관계없이 종속변수 y 의 값은 항상 양 (+) 임 [ 정의역은 (-, ), 치역은 (0, )].



지수함수의 성질 (the nature of exponential function)



지수함수가 강단조성을 갖는다는 의미 ⑴ 지수함수는 반드시 역함수를 가지며 , 그 역함수 역시 강단조성을 가짐 . 지수함수의 역함수는 로그함수 (logarithmic function) 임 . ⑵ 강단조성은 주어진 y 의 값에 대해 유일한 t 값이 존재한다는 것을 의미하고 , 또 지수함수의 치역은 개구간 (0, ) 이기 때문에 , 어떤 양수라도 1 보다 큰 밑수 b 의 유일한 멱으로 나타낼 수 있음 .



일반화된 지수함수 (generalized exponential function) - 밑수변환 (base conversion) 예를 들어 , 함수 y=9t 의 경우 , 이것을 y=(32)t=32t 으로 변형이 가능함 . 그러나 밑수변환이 반드시 새로운 형태의 함수를 만들어내는 것은 아님 . 왜냐하면 , w=2t 로 놓으면 , y=32t=3w 은 여전히 앞의 그림 형태와 같음 .



일반화된 지수함수 (generalized exponential function) 그러나 한 함수 y=f(t)=bt 이고 , 다른 함수 y=g(t)=b2t

이면 , 두 함수의 밑수가 같기 때문에 함수 g 에 임의의

값 t=t0 를 주고 , 함수 f 에 t=2t0 를 주면 , 두 함수의 값은

반드시 같아야 함 : f(2t0)=g(t0)=b =y02t0



일반화된 지수함수 (generalized exponential function)

- 이는 [ 그림 10.2] 에서 거리 y0J 는 y0K 의 절반이 됨 .

- 마찬가지로 y 의 어떤 값에 대해서도 함수 g 는 함수 f 와 세로축 사이의 중간에 위치함 . - 그러므로 지수를 두 배하는 것은 y 축쪽으로 원래의 지수함수를 절반으로 축소 (compress) 하는 효과를 , 그리고 지수를 반 배하는 것은 y 축으로부터 수평거리로 두 배 확대 (extend) 하는 효과를 가져옴 .



일반화된 지수함수 (generalized exponential function) - 한편 , 두 함수는 모두 세로축의 같은 절편을 가짐 . 즉 , f(0)=g(0)=b0=1 - 또 하나의 방법은 밑수 bt 과 2bt 에 계수를 붙이는 경우임 . y=f(t)=bt, y=g(t)=2bt

이 경우에는 지수곡선을 축소 또는 확대하는 효과도 나타나지만 , 그 방향이 수직이 됨 .



일반화된 지수함수 (generalized exponential function) - 앞의 함수에서 t 의 모든 값에 대하여 후자 [y=g(t)=2bt] 는 전자 [y=f(t)=bt] 보다 y 의 값이 두 배이기 때문에 , 후자는

전자의 두 배 높이에 위치함 (t0J=JK).

- 이 경우는 세로축 절편도 바뀜 : f(0)=b0=1, g(0)=2b0=2 - 결국 , 계수를 두 배한다는 것은 곡선을 가로축으로부터 수직거리로 두 배 확대 , 계수를 반 배하는 것은 반감하여 축소하는 것이 됨 .



일반화된 지수함수 (generalized exponential function)



일반화된 지수함수 (generalized exponential function) - 일반적인 지수함수는 다음과 같이 나타낼 수 있음 . y=abct

여기서 a, b, c 는 파라미터이며 , a 와 c 는 graph 를 확대 또는 축소하는 인수들임 . - 만약 a 와 c 가 양이면 , 지수함수의 형태는 [ 그림 10.2] 와 유사하지만 , a 와 c 가 음이면 , 지수함수의 graph 는 근본적으로 수정해야 함 .



바람직한 밑수 (a preferred base) - 미적분학에서는 기호 e(exponential: e=2.71828) 로 표시되는 특정한 무리수가 밑수인 지수함수가 가장 널리 사용됨 . - 밑수 e 가 지수함수에 사용될 때 , 그 함수를 자연지수 함수 (natural exponential function) 라고 함 . - 예를 들면 , 다음과 같음 . y=et y=e3t y=Aert



바람직한 밑수 (a preferred base) - 또한 이 함수들은 다음과 같은 표기법으로도 나타냄 . y=exp(t) y=exp(3t) y=Aexp(rt) - 단 , 약어 exp( 지수 exponential 을 표시 ) 는 밑수 e 가 그의 지수로서 괄호 안의 표현을 갖는다는 의미임 .



바람직한 밑수 (a preferred base) - 함수 y=et 의 도함수는 그 함수 자체임 . 즉 ,

et=et ex=ex

- 이 미분법칙을 이용하면 , 함수 y=Aert 의 도함수는 우선 , w=rt 라 하면 , 함수는 y=Aew 가 됨 (A 와 r 은 상수 ).

그러면 연쇄법칙에 의해

= =Aew(r)=rAert 즉 , Aert=rAert

ddt

ddx

dydt

dydw

dwdt

ddt


자연지수함수와 성장의 문제

e 의 정의 (the number e) - 앞의 미분법칙을 만족하는 실수 e 를 정의해 보기로 함 . - 임의의 m 에 대하여 다음과 같을 때 ,

f(m)=(1+ )m

- 만약 m 이 점점 더 큰 값을 가지면 , f(m) 도 역시 더 큰 값을 가짐 . - 더욱이 m 이 무한히 증가하면 f(m) 은 수 2.71828e 에 수렴함 .

1m



e 의 정의 (the number e) - 따라서 e 는 m 일 때 앞의 식의 극한값으로 정의할 수 있음 . 즉 , e f(m)= (1+ )m

- 실제로 e 는 무리수이며 , 그 값은 대략 2.71828 임 .

1mlim

m

lim

m



e 의 정의 (the number e) - e 의 근사값은 함수 (x)=ex 의 매클로린급수를 통해서 구할 수 있음 . 즉 , ex=(x)=(0)+(0)x+ x2+ x3+

+ xn+ xn+1+Rn

=1+x+ x2+ x3+ + xn+Rn

- 여기서 n 일 때 Rn0 이므로

(0)2

(0)3

(n)(0)n

(n+1)(0)n+1

12

13

1n



e 의 정의 (the number e) - 따라서 ex 의 값은 다음과 같은 수렴하는 무한급수 (infinite series) 로 표시할 수 있음 . ex=1+x+ x2+ x3+ x4+

- e 의 값을 구하기 위하여 x=1 을 대입하면 ,

e=1+ + + + +

=2.7182819

12

13

14

16

124

1120

12



e 의 경제적 해석 (an economic interpretation of e) - 이자율의 복리계산에 이용됨 . - 연이자율 100% 로 원금 1 원을 은행에 예치한 경우 - 단 , 괄호 안의 수는 1 년간에 이자가 원금에 산입되는 회수임 . V(1)= 초기의 원금 (1+ 이자율 ) =1(1+100%)=1[1+(1/1)]1=2



e 의 경제적 해석 (an economic interpretation of e) - 그러나 이자가 6 개월마다 원금에 산입된다면 , 원금의 50%(100% 의 절반 ) 에 달하는 이자가 6 개월이 경과한 후에 산입될 것임 . - 따라서 다음 6 개월 기간의 새로운 원금은 1.50 원이 되고 , 이자는 1.50 원의 50% 로 계산됨 . - 결국 , 연말의 자산가치는 1.50(1+50%) 가 됨 . 즉 , V(2)= 원금 (1+50%)(1+50%) =1[1+(1/2)]2=2.25



e 의 경제적 해석 (an economic interpretation of e) - 마찬가지로 3 회 , 4 회인 경우는 다음과 같음 . V(3)=[1+(1/3)]32.37, V(4)=[1+(1/4)]42.44 - 따라서 m 회인 경우를 일반화하면 , 다음과 같음 . V(m)=[1+(1/m)]m

여기서 m 은 1 년간 이자가 원금에 산입된 회수임 .



e 의 경제적 해석 (an economic interpretation of e) - 이제 , 이자가 1 년간 연속적으로 원금에 산입될 경우 , 즉 m 이 무한대로 커지면 연말에는 1 원의 자산가치는

V(m)= (1+ )m=e( 원 )

이 됨 . - 1 년 후에 1 원이 e 원이 되는 경우 , 100% 의 이자율은 명목이자율 (nominal interest rate) 이고 , 그것은 1 년 후 e=2.71828 원이 된다면 실효이자율 (effective interest rate) 은 연간 약 172% 임 .

lim

m

lim

m

1m



복리 (interest compounding) 와 함수 Aert

- 앞의 복리계산 문제를 일반화하면 , 즉 ⑴ 복리계산 년수를 t 년 , ⑵ 원금을 A 원 , ⑶ 명목이자율은 r% 임 .

V(m)=A(1+ )mt

- 여기서 =w( m=rw) 라 하면 ,

V(m)=A(1+ )wrt=Aert

rm

mr

1w



순간성장률 (instantaneous rate of growth) - 함수 V=Aert 이 주어지고 , 그것이 t 의 각 시점에서 V 값을 나타내면 , V 의 변화속도는 다음과 같은 도함수가 됨 .

=rAert=rV

- 어떤 주어진 시점에서 V 의 성장률은 다음과 같음 .

V 의 성장률 = =r

- 위의 정의에 의한 성장률 r 을 순간성장률이라 함 .

dVdt

dV/dtV

rVV



연속적 성장 대 이산적 성장 (continuous vs. discrete growth) - 앞의 논의는 수학적으로는 흥미가 있지만 현실 경제에 결부시키기에는 문제가 있음 . - 왜냐하면 , 실제로 경제성장 ( 또는 복리이자율 ) 이 항상 연속적으로 이루어진다고 단정할 수 없기 때문임 . - 그러나 변화가 순간 순간이라기보다는 어느 기간당 한 번만 발생하는 이산적 성장의 경우라도 연속적 지수성장함수 (continuous exponential growth function) 로 사용될 수 있음 .



할인과 음의 성장 (discounting and negative growth) - 복리계산과 밀접하게 관련된 것이 할인 (discounting) 이라는 개념임 . - 복리계산에 있어서는 원금 A 의 미래가치 V 에 관심을 가지며 , 할인은 t 기 이후에 이용가능한 금액인 V 의 현재가치 (present value) A 는 얼마인가에 관심을 가짐 . - 앞에서 살펴본 바와 같이 현재의 원금 A 의 t 기 이후의 가치는 연이자율 i, 연간 1 회의 복리로 계산하면 , V=A(1+i)t



할인과 음의 성장 (discounting and negative growth) - 즉 , 현재가치 A 원은 t 기 후의 미래가치 V 와 같음 . - 여기서 양변을 (1+i)t 로 나누면 , 다음의 식을 얻음 .

A= =V(1+i)-t

- 이 공식에서 미래가치 V 와 현재가치 A 의 역할은 반대임 . - 이제는 위 식에서 V 는 주어지고 , A 는 i( 할인률 ) 와 년수 (t) 로부터 계산되는 미지수임 .

V(1+i)t



할인과 음의 성장 (discounting and negative growth) - 마찬가지로 연속적인 경우를 보면 , 원금 A 가 공식 V=Aert

에 따라 이자율 r 로 연속 복리계산된 t 년 후에 Aert 이 되고 , 위의 방정식의 양변을 ert 으로 나누면 , 다음과 같은 연속적인 할인공식을 얻음 .

A= =Ve-rt

- 여기서 e-rt 는 흔히 할인요인 (discount factor) 이라 함 .

Vert



할인과 음의 성장 (discounting and negative growth) - 한편 , 앞의 식을 지수성장함수로 보면 , -r 은 A 의 순간 성장률로 볼 수 있음 . - 그런데 여기서 이 성장률이 음이기 때문에 감모율 (rate of decay) 이라고도 함 . - 결국 , 복리계산 방식이 양의 성장과정을 보여주는 반면 , 할인과정은 음의 성장과정을 보여줌 .


로그 (logarithm)

로그의 의미 (the mean of logarithm) - 예를 들어 , 방정식 42=16 으로 상호 관련되는 두 수 4 와 16 이 있을 때 , 그 식의 지수 2 를 밑수 4 에 대한 16 의 로그라고 정의하고 , 다음과 같이 표기함 .

log416=2

- 즉 , 로그는 밑수 (4) 가 어떤 특정한 수 (16) 를 얻기 위해 거듭제곱되어야 하는 멱수 (the power) 임 . - 일반적으로 다음과 같이 나타냄 .

y=bt t=logby y=blogby


로그 (logarithm)

로그의 의미 (the mean of logarithm) - 지수함수는 강증가함수이므로 , 이것은 y 의 어떤 양의 값에 대해서 y=bt 를 만족하는 유일한 지수 t(반드시 양수일 필요는 없음 ) 가 존재함을 의미함 . - 또한 , y 의 값이 커지면 t 의 값도 더 커져야 함 . 따라서 y 가 커지면 y 의 로그도 커져야 함 . - y 는 지수함수 y=bt 에서 반드시 양임 . 그러므로 음수나 0 은 로그 (logarithm) 를 가질 수 없음 .


로그 (logarithm)

상용로그와 자연로그 (common log and natural log) - 로그의 밑수 (base) 는 어떤 특정한 수로 제약할 필요는 없지만 , 실제로 로그계산에서는 두 개의 수 (10 과 e)가 밑수로 가장 널리 사용됨 . - 밑수가 10(십진법 ) 인 로그를 상용로그 (common

logarithm) 라 하고 (log10 로 표기 ), 밑수가 e 인 로그를

자연로그 (natural logarithm) 라 함 .

- 특히 , 자연로그는 loge 또는 ln(natural logarithm 을

의미 ) 으로 표기함 .


로그 (logarithm)

상용로그와 자연로그 (common log and natural log) - 상용로그의 표 ( 예 )

log101,000=3 ( 103=1,000)

log10100=2 ( 102=100)

log1010=1 ( 101=10)

log101=0 ( 100=1)

log100.1=-1 ( 10-1=0.1)

log100.01=-2 ( 10-2=0.01)


로그 (logarithm)

상용로그와 자연로그 (common log and natural log) - 그러나 분석작업에서는 상용로그를 사용하는 것보다 자연로그를 사용하는 것이 훨씬 편리함 . - 로그의 정의에 의하여 ,

y=et t=logey ( 또는 t=lny)


로그 (logarithm)

상용로그와 자연로그 (common log and natural log) - 자연로그의 표 ( 예 )

lne3=logee3=3

lne2=logee2=2

lne1=logee1=1

ln1=logee0=0

ln =logee-1=-1

- 상용로그와 자연로그는 서로 대체될 수 있음 .

1e


로그 (logarithm)

로그법칙 (rules of logarithms) 로그는 지수의 성질을 가지므로 앞에서 다룬 바와 같이 밀접하게 관련된 일정한 법칙을 따름 . - 처음의 세 법칙 ( 법칙 1, 법칙 2, 법칙 3) 은 자연로그를

서술하고 있지만 , 그것들은 기호 ln 이 logb 로

대체해도 그대로 성립함 . 법칙 1: 곱의 로그 ln(uv)=lnu+lnv (u, v0) - 예 1: ln(e6e4)=lne6+lne4=6+4=10 - 예 2: ln(Ae7)=lnA+lne7=lnA+7


로그 (logarithm)

로그법칙 (rules of logarithms) 법칙 2: 몫의 로그 ln(u/v)=lnu-lnv (u, v0) - 예 3: ln(e2/c)=lne2-lnc=2-lnc - 예 4: ln(e2/e5)=lne2-lne5=2-5=-3 법칙 3: 멱의 로그 lnua=alnu (u0) - 예 5: lne15=15lne=15 - 예 6: lnA3=3lnA - 예 7: ln(uva)=lnu+lnva=lnu+alnv - 예 8: lnu+alnv=lnu+lnva=ln(uva) [ 예 7 의 역 ]


로그 (logarithm)

로그법칙 (rules of logarithms)

법칙 4: 로그밑수의 변환 logbu=(logbe)(logeu)

(u0)

- 예 9: logeu=(loge10)(log10u)

법칙 5: 로그밑수의 역변환 logbe= =

- 예 10: logbb=(logbe)(logeb) 여기서 logbb=1 임 . - 예 11: loge100=2.3026(log10100)=2.3026(2)=4.6052 역으로 , log10100=0.4343(loge100) =0.4343(4.6052)=2 (10 의 자연로그값 2.3026, e 의 상용로그값 0.4343)

1logeb

1lnb


로그 (logarithm)

응용 (an application) 지수방정식이 다음과 같음 . abx-c=0 (a, b, c0) - 위 방정식을 만족하는 x 의 값을 구하기 위해서는 우선 , 로그를 이용하여 , 이 지수방정식을 선형방정식으로 변형시킨 후 , 그 선형방정식을 풀면 됨 . - 우선 , c 를 우변으로 이항시킴 . abx=c


로그 (logarithm)

응용 (an application) - 앞 식의 양변에 (10 을 밑수로 하는 ) 로그를 취하면 , 다음을 얻음 . loga+xlogb=logc - 이 식은 변수 x 에 관한 선형방정식이며 , 해는 다음과 같음 .

x=

logc-logalogb


로그함수 (logarithmic function)

로그함수와 지수함수 - 로그함수는 지수함수의 역함수임 . 즉 ,

t=logby y=bt

t=logey (=lny) y=et

- 왜냐하면 , 위의 두 로그함수는 그에 대응하는 지수함수 의 종속변수와 독립변수의 역할을 역전시킨 결과임 . - 로그함수는 강증가함수 ( 지수함수 ) 의 역함수이므로 , 로그함수도 역시 강증가함수이어야 함 .



로그함수와 지수함수의 graph 형태 - 로그함수에 대응하는 지수함수의 graph 는 원점을 통과하는 45 선에 대해 서로 대칭임 ( 어떤 한 쌍의 역함수의 graph 도 일반적으로 이런 성질을 가짐 ). - [ 그림 10.3] 에서 그림 (b) 를 그림 (a) 위에 포개놓고 , y 축은 y 축 , t 축은 t 축에 위치하도록 하면 , 두 곡선은 완전 일치함 .



로그함수와 지수함수



로그함수와 지수함수의 graph 형태의 특징 - 두 곡선은 단조적으로 증가하고 있지만 , 지수곡선은 체증률로 증가하는 반면 , 로그곡선은 체감률로 증가함 . - 지수함수는 양의 치역 (range) 을 갖는 반면 , 로그함수는 양의 정의역 (domain) 을 가짐 ( 로그함수의 정의역이 양이라는 제약은 오직 양수로만 로그를 취함 ). - 지수함수 y=et 은 1 에서 세로축 절편을 갖는 것처럼 ,

로그함수 t=logey 는 y=1 에서 가로축과 교차함 .

이것은 loge1=0 이라는 것을 의미함 .



로그함수와 지수함수의 graph 형태의 특징 - 로그곡선은 어떠한 밑수에 대해서도 다음의 관계가 성립함 . 0y1 logy0 y=1 logy=0 y1 logy0 - 그리고 다음의 관계도 성립함 . y 일 때 logy

y0+ 일 때 logy-



로그함수와 지수함수의 graph 형태의 특징 - 일반적인 지수함수 y=Aert 과 이에 상응하는 로그함수를 비교하여도 동일한 결과를 얻음 . - ( 양의 ) 상수 A 와 r 이 지수곡선을 확대 (extend) 또는 축소 (compress) 시키는 효과를 갖더라도 , 그 곡선의 세로축 절편은 y=1 이 아니라 , y=A(t=0 일 때 y=Ae0=A)임 . - 이에 따라 , 그 함수의 역함수도 y=A 에서 가로축 절편을 가짐 .



로그함수와 지수함수의 graph 형태의 특징 - 일반적으로 지수함수와 그에 대응하는 로그함수는 45

선에 대해 대칭이 됨 . - 만약 y=Aert 의 역함수를 특정 대수식으로 표시할 경우 , 이 지수함수의 양변에 자연로그를 취하고 , t 에 관해서 풀면 됨 . 즉 , lny=ln(Aert)=lnA+rtlne=lnA+rt - 따라서 역함수는 다음과 같음 .

t= (r0)

lny-lnAr



밑수변환 (base conversion) - 지수함수 y=Abt 은 항상 자연지수함수 y=Aert 으로 변형될 수 있음 . - 이제 , 밑수변환 공식을 도출하기 위해 Abt 대신에 일반적인 식 Abct 을 Aert 으로 변환하는 문제를 고려 - 문제의 요점은 다음과 같음 . er=bc



밑수변환 (base conversion) - 앞의 식의 양변에 자연로그를 취하면 , lner=lnbc

- 위 식의 좌변은 r 이 되므로 구하려는 식 ( 밑수변환 공식 ) 은 다음과 같음 . r=lnbc=clnb - 이것은 함수 y=Abct 을 항상 자연로그가 밑수로 주어 지는 형태인 y=Ae(clnb)t 으로 변형시킬 수 있음을 나타냄 .



밑수변환 (base conversion) 예 1 : y=2t 을 자연지수함수로 변환하라 . 여기서 A=1, b=2, c=1 임 . - 따라서 r=clnb=ln2 임 . - 구하려는 지수함수는 다음과 같음 . y=Aert=e(ln2)t

- 상용로그표를 사용하여 ln2 의 값을 계산하면 ,

ln2=2.3026log102=2.3026(0.3010)=0.6931

- 결국 , y=e0.6931t 으로 달리 나타낼 수 있음 .



밑수변환 (base conversion) 예 2 : y=3(5)2t 을 자연지수함수로 변환하라 . 여기서 A=3, b=5, c=2 임 . - 따라서 r=clnb=2ln5 임 . - 구하려는 지수함수는 다음과 같음 . y=Aert=3e(2ln5)t

- 다시 , 상용로그표를 사용하여 ln2 의 값을 계산하면 ,

ln2=ln25=2.3026log1025=2.3026(1.3979)=3.2188

- 결국 , y=e3.2188t 으로 달리 나타낼 수 있음 .



밑수변환 (base conversion)

앞의 [ 로그법칙 4] 를 적용하면 , 즉 logby=(logbe)

(logey)

- 이 결과를 주어진 로그함수에 대입하면 , 자연로그함수는

t= logey [ 로그법칙 5 에 의해 ]

=

- 이와 같은 방식으로 일반적인 로그함수 y=alogb(cy)

는 다음과 같이 동치인 형태로 변형 가능함 .

t=a(logbe)(logecy)= loge(cy)= ln(cy)

1logeblnylnb

alogeb

alnb




예 3 : 함수 t=log2y 를 자연로그형태로 변환하라 .

여기서 b=2, a=c=1 이기 때문에 , - 구하려는 로그함수는 다음과 같음 .

t= lny

- 상용로그표를 사용하여 ln2 의 값을 계산하면 ,

ln2=2.3026log102=2.3026(0.3010)=0.6931

- 결국 , t=(1/0.6931)lny 로 나타낼 수 있음 .

1ln2




예 4 : 함수 t=7log102y 를 자연로그형태로 변환하라 .

여기서 a=7, b=10, c=2 이기 때문에 , - 구하려는 로그함수는 다음과 같음 .

t= ln(2y)

- ln10(10 의 자연로그 ) 의 값을 계산하면 , ln10=2.3026 - t=(7/2.3026)ln(2y)=3.0400ln(2y) 로 나타낼 수 있음 .

7ln10

제 10 장 지수함수와 로그함수

Documents

Transcript of 제 10 장 지수함수와 로그함수